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等腰三角形三线合一专项综合练习[1]

等腰三角形性质：三线合一专项练习

主备人：刘明汉

1、已知ABC ?的周长为cm 36，且AC AB =，又BC AD ⊥，D 为垂足，ABD ?的周长为cm 30，那么AD 的长为（）

A ．cm 6 B. cm 8 C. cm 12 D. cm 20

如图2，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAD=300，AD=AE ，则∠EDC=（） A ．100 B. 12.50 C.150 D.200

3、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，则图中全等三角形共有（）

A 、 2对

B 、3对

C 、4对

D 、5对

4 、如图，在等腰直角△ABC 中，AD 为斜边上的高，以D 为端点任作两条互相垂直的射

线与两腰相交于E 、F ，连结EF 与AD 相交于G ，则∠AED 与∠AGF 的关系为( ) A ．∠AED>∠AGF B ．∠AED ＝∠AGF C ．∠AED<∠AGF D ．不能确定

5、如图，在△ABC 中，AB=AC ，BD 平分∠ABC ，且BD=BE ，∠A=84°，则∠DEC=

6、如图，CE 平分∠ACB ，且C E ⊥BD ，DA=DB ，又知AC=18，△CDB 的周长为28，那么BE 的长为。

7、如图，在等腰△ABC 中，∠ABC=90°，D 为AC 边上中点，过D 点作DE ⊥DF ，交AB 于E ，交BC 于F ，若AE=4，FC=3，则△ABC 的面积为 8、、如图，四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于E 点，若AC 平分∠DAB ，且AB=AE ，AC=AD ，有如下四个结论： ①AC ⊥BD ；②BC=DE ；③∠DBC=

∠DAB ； ④△ABE 是等边三角形．请写出正确结论的序号．(把你认为正确结论的序号都填上)

第3题图

A B

第2题图

第4题图

C 第7题图 B

F C 第5题图

第6题图

9、已知：如图2，△ABC 中，AB=AC ，CE ⊥AE 于E ，C E B C 12

，E 在△ABC 外，求证：∠ACE=∠B 。

10、如图△ABC 中，AB=AC D 为AC 上任意一点，延长BA 到E 使得AE=AD 连接DE ，求证DE ⊥BC

11、已知：如图１，△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，Ｄ是ＢＣ上一点，Ｅ、Ｆ分别为ＡＢ、ＡＣ上的点，且ＢＤ＝ＣＦ，ＣＤ＝ＢＥ，Ｇ为ＥＦ的中点，求证：ＤＧ⊥ＥＦ．

12、如图，以△ABC 的边AB ，AC 为边分别向形外作正方形ABDE 和ACFG ，DM 、FN 分别垂直直线BC 于M 、N.若DM=FN,求证： ∠ABC=∠ACB

等腰三角形性质三线合一”专题

等腰三角形性质：三线合一”专题等腰三角形有一个重要的性质：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。这就是著名的等腰三角形 “三线台一”性质。“三线合一”性质常用来证明两线垂直、两线段相等和两角相等。反之，如果三角形一边上的中线、这边上的高、这边所对角的角平分线中有两条重合，那么这个三角形就是等腰三角形。【例题讲解】例二：如图△ ABC 中，AB = AC, / A = 36°, BD 平分/ ABQ DE 丄 AB 于 E ,若 CD= 4，且△ BDC 周长为 24，求 AE 的长度。变式练习1-2 已知，如图所示, 求证：AD 垂直平分EF 。 AD >△ ABC ，DE DF 分另U >△ ABDA ACD 的高。求证：AD 垂直平分BG

例三?等腰三角形顶角为，一腰上的高与底边所夹的角是，则与的关系式为图2 分析：欲证/ ACE=/ B,由于AC=AB 因此只需构造一个与 Rt △ ACE 全等的三角形，即做底边 BC 上的高即可。证明：作 ADL BC 于D, ?/ AB=AC 1 ??? BD BC 2 1 又??? CE BC , 2 ? - BD=CE 在 Rt △ ABD 和 Rt △ ACE 中， AB = AC, BD=CE ? Rt △ ABD^ Rt △ ACE( HL )。 ? / ACE 玄 B 例五?已知：如图3,等边三角形 ABC 中，D 为AC 边的中点，E 为BC 延长线一点，CE=CD DM L BC 于M,求证: M 是BE 的中点。分析：如图1，AB=AC EAC 90° / C ，/ BD 丄AC 于D,作底边 BC 上的高 AE, E 为垂足，则可知/ EAC=/ EAB - 又/ 2 ， 90° / C ，所以例四?已知：如图2, △ ABC 中，AB=AC CE!AE 于E , CE 1 — 。 2 1 BC , E 在厶 ABC 外,求证：/ ACE / B 。 2 图1

等腰三角形三线合一

.选择题（共11小题） 1. （2017?绵阳）下列图案中，属于轴对称图形的是（）【分析】根据轴对称图形的定义求解可得. 【解答】解：A ,此图案是轴对称图形，有5条对称轴，此选项符合题意; B 、此图案不是轴对称图形，此选项不符合题意； C 、此图案不是轴对称图形，而是旋转对称图形，不符合题意； D 、此图案不是轴对称图形，不符合题意；故选：A . 【点评】本题主要考查轴对称图形，掌握其定义是解题的关键：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形. 【分析】根据轴对称图形的概念求解. 【解答】解：A 、不是轴对称图形，不合题意; B 、不是轴对称图形，不合题意; C 、是轴对称图形，符合题意； D 、不是轴对称图形，不合题意. 故选：C. 【点评】此题主要考查了轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴, 图形两部分折叠后可重合. 3. （2017?呼和浩特）图中序号（1）（2）（3）（ 4）对应的四个三角形，都是△ A . 2. （2017?重庆）下列图形中是轴对称图形的是（ B. )

ABC这个图形进行了一次变换之后得到的，其中是通过轴对称得到的是（）

【分析】轴对称是沿着某条直线翻转得到新图形，据此判断出通过轴对称得到的是哪个图形即可. 【解答】解：???轴对称是沿着某条直线翻转得到新图形， ???通过轴对称得到的是（1）. 故选：A. 【点评】此题主要考查了轴对称图形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：轴对称是沿着某条直线翻转得到新图形，观察时要紧扣图形变换特点，进行分析判断. 4?如图，已知点P到AE, AD, BC的距离相等，有下列说法: ①点P在/ BAC的平分线上； ②点P在/ CBE的平分线上； ③点P在/ BCD的平分线上； ④点P在/ BAC，/ CBE / BCD的平分线的交点上. C.④ D.②③ 【分析】根据角平分线的性质定理进行判断即可. 【解答】解：???点P到AE, AD的距离相等, ???点P在/ BAC的平分线上，①正确； ???点P到AE, BC的距离相等， ???点P在/ CBE的平分线上，②正确；

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等腰三角形三线合一专题训练1 例1：如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。求证：BC=AB+DC。变1：如图，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝2，BC＝3，CD＝1，E是AD边中点。求证：CE⊥BE。变2：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，E是CD上一点，且AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC. （1）求证：AE⊥BE；（2）求证：E是CD的中点；（3）求证：AD+BC=AB.

变3：△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC=90° ,AB=AC.⑴若D 为BC 的中点，过D 作DM ⊥DN 分别交AB 、AC 于M 、N ，求证：（1）DM ＝DN 。 ⑵若DM ⊥DN 分别和BA 、AC 延长线交于M 、N 。问DM 和DN 有何数量关系。 (1) 已知：如图，AB=AC ，E 为AB 上一点，F 是AC 延长线上一点，且BE=CF ，EF 交BC 于点D ．求证：DE=DF ． D B C F A E M N D C B A M N D C B A

(2)已知：如图，AB=AC ，E 为AB 上一点，F 是AC 延长线上一点，且，EF 交BC 于点D ，且D 为EF 的中点．求证：BE=CF ． D B C F A E 利用面积法证明线段之间的和差关系 1、如图，在△ABC 中，AB=AC ，P 为底边BC 上的一点，PD ⊥AB 于D ，PE ⊥AC 于E ，?CF ⊥AB 于 F ，那么PD+PE 与CF 相等吗？

变1：若P点在直线BC上运动，其他条件不变，则PD 、PE与CF的关系又怎样，请你作图，证明。ＦＦ 1、已知等腰三角形的两边长分别为4、9，则它的周长为（） A 17 B 22 C 17或22 D 13 根据等腰三角形的性质寻求规律例1．在△ABC中，AB=AC，∠1=1 2 ∠ABC，∠2= 1 2 ∠ACB，BD与CE相交于点O，如图，∠BOC的大小与∠A的大小有什么关系？若∠1=1 3 ∠ABC，∠2= 1 3 ∠ACB，则∠BOC与∠A大小关系如何？若∠1=1 n ∠ABC，∠2= 1 n ∠ACB，则∠BOC与∠A大小关系如何？

等腰三角形三线合一

等腰三角形的性质教案设计诸城市密州街道卢山中学钟宪梅教案背景：面向：初二学生教学方法：自主合作，交流探究教材分析等腰三角形的性质是三年制初二学生学习的内容，教材从动手实践中得出等腰三角形的两个底角相等以及等腰三角顶角的角平分线，底边的中线以及底边的高线三线合一，然后利用等腰三角形是轴对称图形进行了理论论证。课时：1课时课前准备：学生自己用硬纸板做一个两边相等的等腰三角形，一个三边相等的等腰三角形（等边三角形）等腰三角形的性质教学设计教学目标 1、掌握等腰三角形的两底角相等，底边上的高、中线及顶角平分线三线合一的性质，并能运用它们进行有关的论证和计算。 2、理解等腰三角形和等边三角形性质定理之间的联系。重点：等腰三角形的三线合一

难点：等腰三角形的三线合一的应用一、课前预习 1、什么样的三角形叫做等腰三角形？ 2、指出等腰三角形的腰、底边、顶角、底角。首先教师提问了解前置知识掌握情况。二、构设悬念，创设情境 1、一般三角形有哪些性质？ 2、等腰三角形除具有一般三角形的性质外，还有那些特殊性质？把问题作为教学的出发点，激发学生的学习兴趣。三、目标导向，自然引入本节课我们一起研究——等腰三角形的性质。四、设问质疑，探究尝试请同学们拿出准备好的等腰三角形，与教师一起按照要求，把两腰叠在一起。 [问题]通过观察，你发现了什么结论？ [结论] 1、 2、 3、三线合一 [填空]根据等腰三角形性质定理的推论，在△ABC中（符号语言）（1）∵AB=AC，AD⊥BC， ∴∠＿=∠＿，＿=＿；（2）∵AB=AC，AD是中线，

∴∠＿=∠＿，＿⊥＿；（3）∵AB=AC，AD是角平分线， ∴＿⊥＿，＿=＿。五、变式训练，巩固提高达标练习一 A组：根据等腰三角的形性质定理 (1)等腰直角三角形的每一个锐角都等于多少度？ (2)若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角为多少度? (3)若等腰三角形的一个底角为40°,则它的顶角为多少度? B组：根据等腰三角形的性质定理 (1)若等腰三角形的一个内角为40°,则它的其余各角为多少度? (2) 若等腰三角形的一个内角为120°,则它的其余各角为多少度? (3)等边三角形的三个内角有什么关系?各等于多少度? 从而引出推论 2 等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60°. 达标练习二 A组：等腰三角形斜边上的高把直角分成两个角，求这两个角的度数。B组：已知：如图，房屋的顶角∠BAC=100°。求顶架上∠B、∠C、 ∠BAD、∠CAD的度数。六、小结

等腰三角形三线合一典型题型

等腰三角形三线合一专题训练例1：如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。求证：BC=AB+DC。变1：如图，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝2，BC＝3，CD＝1，E是AD边中点。求证：CE⊥BE。变2：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，E是CD上一点，且AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC. （1）求证：AE⊥BE；（2）求证：E是CD的中点；（3）求证：AD+BC=AB. C E A D

变3：△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC=90°,AB=AC.⑴若D 为BC 的中点，过D 作DM ⊥DN 分别交AB 、AC 于M 、N ，求证：（1）DM ＝DN 。 ⑵若DM ⊥DN 分别和BA 、AC 延长线交于M 、N 。问DM 和DN 有何数量关系。 (1) 已知：如图，AB=AC ，E 为AB 上一点，F 是AC 延长线上一点，且BE=CF ，EF 交BC 于点D ．求证：DE=DF ． M N D C B A M N D C B A

D B C F A E (2)已知：如图，AB=AC ，E 为AB 上一点，F 是AC 延长线上一点，且，EF 交BC 于点D ，且D 为EF 的中点．求证：BE=CF ． D B C F A E 利用面积法证明线段之间的和差关系 1、如图，在△ABC 中，AB=AC ，P 为底边BC 上的一点，PD ⊥AB 于D ，PE ⊥AC 于E ，?CF ⊥AB 于F ，那么PD+PE 与CF 相等吗？

变1：若P点在直线BC上运动，其他条件不变，则PD 、PE与CF的关系又怎样，请你作图，证明。Ｆ

等腰三角形及三线合一经典试题难题

等腰三角形及三线合一经典试题难题 1．等腰三角形的对称轴是（） 2． 1、等腰三角形有两条边长为4cm 和9cm ，则该三角形的周长是（） 2．2、等腰三角形的顶角是80°，则一腰上的高与底边的夹角是（） A ．40° B ．50° C ．60° D ．30° 3．等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是（） A ．100° B ．100°或40°C ．40°D ．80° 4．如图，C 、E 和B 、D 、F 分别在∠GAH 的两边上，且AB=BC=CD=DE=EF ，若∠A=18°，则∠GEF 的度数是（） A ．80° B ．90° C ．100° D ．108° 5．等腰三角形的一个内角为 80 ，则另两个内角的度数为 6．等腰三角形底边长为10，则腰长的取值范围为 7．等腰三角形的顶角的度数是底角的4倍，则它的顶角是________． 8. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 交AC 于点F ，若 ∠EDF=70°，求∠AFD 的度数 9.如图，△ABC 中，∠ABC,∠CAB 的平分线交于点P ，过点P 作DE ∥AB ，分别交BC 、AC 于点D 、E 求证：DE=BD+AE 10. 已知如图: △ABC 和△ADE 都是等腰三角形且顶角∠BAC ＝∠DAE, 则BD ＝CE ( ) 11. 已知：如图：CA=CB, DA=DB 求证：(1)∠1=∠2．(2)CD ⊥AB ． A B C D F E C B A D E P E C A H F G

E D C A B H F 12.如图，已知点B 、C 、D 在同一条直线上，△ABC 和△CDE?都是等边三角形．BE 交AC 于F ，AD 交CE 于H ， ①求证：△BCE ≌△ACD ； ②求证：CF=CH ； ③判断△CFH 的形状并说明理由． 13．如图，中，，试说明：． 14.如图3，在?ABC 中，∠=A 90ο ，AB AC =，D 是BC 的中点，P 为BC 上任一点，作PE AB ⊥，PF AC ⊥，垂足分别为E 、F 求证：（1）DE ＝DF ；（2）DE DF ⊥ A E F B D P C 图3 15.已知，如图1，AD 是?ABC 的角平分线，DE 、DF 分别是?ABD 和?ACD 的高。求证：AD 垂直平分EF A 1 2 E F B D C 图1

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1、如图，已知AC 平分∠BAD,CE ⊥AB 于E，CF⊥AD 于F，且BC="CD." ：△BCE≌△DCF （1）求证（2）若AB=17 ，AD=9 ，求AE 的长. 2、如图，已知AB=AC, ∠A=36°，AB 的中垂线M N 交AC 于点D,交AB 于点M, ：（1）BD 平分∠ABC ；求证等腰三角形. （2）△BCD为 3、已知：如图∠BAC 的角平分线与BC 的垂直平分线D G 交于点D,DE⊥AB,DF ⊥AC ,垂足分别为E，F． ⑴试说明：BE=CF ； ⑵若AF=3 ，BC=4 ，求△ABC 的周长．

4、如图，△ABC 中，AC ＝BC，∠ACB ＝90°，点D为B C 的中点，点 E 与点C 关于直线AD对称，CE 与AD、AB 分别交于点F、G，连接BE、BF、GD 等腰直角三角形；（2) ∠ADC ＝∠BDG. 求证：(1) △BEF为 5、如图，在等腰Rt△ABC 中，∠C＝90°，D 是斜边上AB 上任一点，AE⊥CD 于E， BF⊥CD 交CD 的延长线于F，CH⊥AB 于H 点，交AE 于G．（1）试明AH ＝BH 说：BD＝CG．（2）求证的数量关系（3）探索AE 与EF、BF 之间 6、（本题14 分）如图（1），在△ABC 和△EDC 中，D为△ABC边A C 上一点，CA 平分 ∠BCE ，BC＝CD，AC ＝CE. ：△ABC ≌△EDC；（1）求证接BE 交AC 于F，G为边CE 上一点，满足CG＝（2），若∠ACB ＝60°，连（2）如图 CF，连接DG 交BE 于H. ①求∠DHF 的度数； ②若EB 平分∠DEC，试说明：BE 平分∠ABC.

等腰三角形性质：三线合一”专题

等腰三角形性质：三线合一”专题等腰三角形有一个重要的性质：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。这就是著名的等腰三角形“三线台一”性质。“三线合一”性质常用来证明两线垂直、两线段相等和两角相等。反之，如果三角形一边上的中线、这边上的高、这边所对角的角平分线中有两条重合，那么这个三角形就是等腰三角形。【例题讲解】例1．如图所示，在等腰△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，点E 在AD 上。求证：BE=CE 。变式练习1-1 如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 是形外一点，且BD=CD 。求证：AD 垂直平分BC 。变式练习1-2 已知，如图所示，AD 是△ABC ，DE 、DF 分别是△ABD 和△ACD 的高。求证：AD 垂直平分EF 。例二：如图△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于E ，若CD ＝4，且△ BDC 周长为24，求AE 的长度。 A B C E D

例三. 等腰三角形顶角为α，一腰上的高与底边所夹的角是β，则β与α的关系式为β=___________。图1 分析：如图1，AB=AC ，BD ⊥AC 于D ，作底边BC 上的高AE ，E 为垂足，则可知∠EAC=∠EAB = 1 2 α，又∠EAC C C =-=-9090°∠，∠°∠β，所以∠，EAC == ββα1 2 。例四. 已知：如图2，△ABC 中，AB=AC ，CE ⊥AE 于E ，CE BC = 1 2 ，E 在△ABC 外，求证：∠ACE=∠B 。图2 分析：欲证∠ACE=∠B ，由于AC=AB ，因此只需构造一个与Rt △ACE 全等的三角形，即做底边BC 上的高即可。证明：作AD ⊥BC 于D ， ∵AB=AC ， ∴BD BC = 1 2 又∵CE BC =1 2 ， ∴BD=CE 。在Rt △ABD 和Rt △ACE 中， AB ＝AC ，BD=CE ， ∴Rt △ABD ≌Rt △ACE （HL ）。 ∴∠ACE=∠B 例五. 已知：如图3，等边三角形ABC 中，D 为AC 边的中点，E 为BC 延长线一点，CE=CD ，DM ⊥BC 于M ，求证：

等腰三角形三线合一典型题型

等腰三角形三线合一专题训练姓名例1：如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。求证：BC=AB+DC。变1：如图，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝2，BC＝3，CD＝1，E是AD边中点。求证：CE⊥BE。变2：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，E是CD上一点，且AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC. （1）求证：AE⊥BE；（2）求证：E是CD的中点；（3）求证：AD+BC=AB. C E A D

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1、如图，已知AC平分∠BAD,CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC="CD." （1）求证：△BCE≌△DCF （2）若AB=17，AD=9，求AE的长. 2、如图，已知AB=AC,∠A=36°，AB的中垂线MN交AC于点D,交AB于点M, 求证：（1）BD平分∠ABC；（2）△BCD为等腰三角形. 3、已知：如图∠BAC的角平分线与BC的垂直平分线DG交于点D,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E，F． ⑴试说明：BE=CF； ⑵若AF=3，BC=4，求△ABC的周长．

4、如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D为BC的中点，点E与点C关于直线AD对称，CE与AD、AB分别交于点F、G，连接BE、BF、GD 求证：(1) △BEF为等腰直角三角形；（2) ∠ADC＝∠BDG. 5、如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，D是斜边上AB上任一点，AE⊥CD于E， BF⊥CD交CD的延长线于F，CH⊥AB于H点，交AE于G．（1）试说明AH＝BH （2）求证：BD＝CG．（3）探索AE与EF、BF之间的数量关系 6、（本题14分）如图（1），在△ABC和△EDC中，D为△ABC边AC上一点，CA平分∠BCE，BC＝CD，AC＝CE. （1）求证：△ABC≌△EDC；（2）如图（2），若∠ACB＝60°，连接BE交AC于F，G为边CE上一点，满足CG＝CF，连接DG交BE于H. ①求∠DHF的度数； ②若EB平分∠DEC，试说明：BE平分∠ABC.

参考答案 1、（1）证明见解析（2）1 2、（1）证明见解析（2）证明见解析 3、(1)证明详见解析；(2)10． 4、（1）证明见解析；（2）证明见解析. 5、（1）见解析；（2）见解析；（3）AE=EF＋BF，理由见解析 6、（1）略（2）①∠DHF="60°" ②略【解析】 1、试题分析：(1)根据角平分线的性质可以得出CF="CE," 在证明就可以得出DF=BE； (2)先证明，就可以得出AF=AE，设DF=BE=x，就可以得出8+x=10-x，求出方程的解即可. 试题解析：（1）∵AC平分∠BAD,CE⊥AB于E,CF⊥AD于F ∴CE=CF, 在Rt△BCE和Rt△DCF中, ∵ CE=CF BC=CD, ∴Rt△BCE≌Rt△DCF （HL）．（2）由（1）得，Rt△BCE≌Rt△DCF ∴DF=EB，设DF=EB=X 由Rt△AFC≌Rt△AEC（HL）可知AF=AE 即：AD+DF=AB-BE ∵AB=17，AD=9，DF=EB=x ∴9+x=17-x 解得，x=4 ∴AE=AB-BE=17-4=1 点睛：本题考查了角平分线性质，全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．直角三角形全等的判定定理是SAS，ASA，AAS，SSS，HL． 2、试题分析：（1）由AB的中垂线MN交AC于点D，交AB于M，求得△ABD是等腰三角形，即可求得∠ABD的度数，然后根据等边对等角，求得∠DBC的度数，从而得证；（2）根据（1）的结论和外角的性质，可得∠BDC=∠C，再根据等角对等边得证. 试题解析：（1）∵MN为AB的中垂线， ∴AD=BD，则∠A=∠ABD=36°， ∵AB=AC，∠A=36°， ∴∠ABC=∠C=72°， ∴∠DBC=36°，因此，BD平分∠ABC；（2）由①和∠2="36°" ∠C="72°" ， ∵∠BDC=180°-36°-72°=72°，

等腰三角形“三线合一”

巧用等腰三角形的“三线合一” 连州市慧光学校辛星林八年级《北师大版.上册》学习了等腰三角形的重要性质，其中等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线，底边上的高互相重合，我们把等腰三角形的这一性质简称为“三线合一”，这是等腰三角形的重要性质，灵活运用此定理在解决某些几何问题时,能起到化繁为简,化难为易的绝妙效果,笔者就例说这一性质在解题中的灵活运用。一．利用“三线合一”求线段最值例1 如图1，在⊿ABC中，AB=AC=5，BC=6，若点P在边AC上移动，则BP的最小值是_________. 解：过点A作AD⊥BC于点D，因为AB=AC=5，BC=6，根据等腰三角形的三线合一的性质，可得BC=3.再根据勾股定理可知AD=4，因为垂线段最短，所以当BP ⊥AC时，BP有最小值. 利用等面积法，可得 AD·BC=BP·AC, 即4×6=5BP，则BP=25/4 在处理线段问题时，如果既能运用全等三角形的知识，又能运用等腰三角形的知识，则应尽可能地运用“三线合一”的性质。这样，还能帮助同学们熟练掌握“三线合一”性质的转化。点评本题考查了勾股定理、等腰三角形三线合一的性质、等面积法，题中还考查了学生为了解决等腰三角形问题添加辅助线的方法。二、利用“三线合一”证明直线垂直

在证明两直线垂直的问题时，如具备以下两个条件：可用“三线合一”来证明: （1）两线段中一条是这个三角形顶角的平分线或底边上的中线; （2）三角形是等腰三角形。例2 如图2所示，已知AB=AE，∠B=∠E,BC=ED,F是CD的中点。分析由已知，F是CD的中点，要证AF⊥CD，若连结AC与AD，则只要证得AC=AD，则由等腰三角形三线合一可证AF⊥CD。证明连结AC与AD ∵在ABC和AED中， AB=AE，∠B=∠E, BC=ED, ∴⊿ABC≌⊿AED，则AC=AD， ∵AF是等腰三角形⊿ACD的底边上的中线， ∴AF⊥CD. 点评本题考查了等腰三角形三线合一的性质，全等三角形的性质以及线段的垂直平分线的性质的应用。三、利用“三线合一”处理角与角之间的关系在处理角之间的关系时，利用等腰三角形三线合一的性质，并将已知条件与待求证的角关系转化到一起，可以使问题容易地得到了解决。例3 如图3所示，∠A =∠D=90°，AB=CD，AC与BD相交于点F，E是BC的中点. 求证：∠BFE = ∠CFE.

(完整版)等腰三角形三线合一性质应用

等腰三角形专题基本知识总结： 1、基本概念：有两条边相等的三角形才是等腰三角形，所有的证明需证明至此（如：若知道三角形的两个底角相当，则需要使用等角对等边，证明边相等才可） 2、性质：①等边对等角 ②三线合一 3、判定：等角对等边常见题型： 1、等腰三角形的构造型问题：（1）①角平分线+平行线②角平分线+垂线③利用倍角半角（2）找点问题例1：如图，有直线n m ,，n m ,之间的间距为cm 2，在n 上取cm AB 3=，在m 上取点p ，使得PAB ?为等腰三角形，则满足条件的点p 有几个？ m n ? ? A B 变式1：若取cm AB 2=，则点p 有几个？变式2：如图，在ABC Rt ?中，?=∠90ABC ，?=∠30BAC ，在直线上或AC BC 取一点P ，使得PAB ?为等腰三角形，则符合条件的点p 有几个？ 2、三线合一的性质应用（知二即知三）应用一：证明角度和线段的相等及倍数关系例1：已知：如图，在ABC ?中，AC AB =，AD BD ⊥于D ，求证：DBC BAC ∠=∠2.

例2：△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC ，若D 为BC 的中点，过D 作DM ⊥DN 分别交AB 、AC 于M 、N ，求证：DM ＝DN. 变式1：若DM ⊥DN 分别和BA 、AC 延长线交于M 、N 。问DM 和DN 有何数量关系。变式2：如图，在ABC ?中，?=∠90A ，AC AB =，D 是BC 的中点，P 为BC 上任一点，作AB PE ⊥，AC PF ⊥，垂足分别为F E 、，求证：（1）DF DE =；（2）DF DE ⊥ 应用二：证垂直平分例3：已知，如图，AD 是ABC ?的角平分线，DF DE 、分别是ABD ?和ACD ?的高。求证：AD 垂直平分EF . 例4：已知四边形ABCD 中，?=∠=∠90ADB ACB ，N M 、分别为CD AB 、的中点，求证：MN 垂直平分CD . 应用三：逆命题：知二即知等腰 ①一边上的高与这边上的中线重合的三角形是等腰三角形．（线段垂直平分线的性质） ②一边上的高与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形．

等腰三角形三线合一考点总结

等腰三角形、等边三角形三线合一考点总结在等腰三角形中，中线、角平分线、高三线合一作辅助线证明 1、如图，点D，E在△ABC的边AB上，CA＝CB，CD＝CE，求证：AD＝BE. 2、如图，△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC 于点F.求证：AE＝AF 3、如图，△ABC中，CA＝CB，D是AB的中点，∠CED＝∠CFD＝90°，CE ＝CF.求证：∠ADF＝∠BDE

4、如图，△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，O为AB的中点，D，E分别在AC，BC上，且OD⊥OE.求证：CE＋CD＝AC 5、如图，四边形ADBC中，BC＝2BD，AB平分∠DBC，AB＝AC，求证：AD ⊥BD 6、如图，△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于D，试探究∠BAC与∠BCD之间的数量关系．

7、如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AC，垂足为E.若∠BAC＝50°，求∠ADE的度数． 8、如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AD⊥AB交BC于点D，AD＝4 cm，求BC的长． 9、如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°，AB的垂直平分线ED交AB于点E，交BC于点D，若CD=3，则BD的长为为多少？

10、如图，△ABC的高BD与CE相交于点O，OD＝OE，AO的延长线交BC于点M，请你从图中找出所有全等的直角三角形，并说明理由． 11、如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠ABC＝35°，E是BC边上一点，且AE＝CE，D是BC的中点，连结AD，AE. (1)求∠DAE的度数． (2)若BD上存在点F，且∠AFE＝∠AEF，求证：BF＝CE. 12、如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M. （1）若∠B=70°，则∠MNA的度数是. （2）连接NB，若AB=8cm，△NBC的周长是14cm. ①求BC的长； ②在直线MN上是否存在P，使由P、B、C构成的△PBC的周长值最小？若存在，标出点P的位置并求△PBC的周长最小值；若不存在，说明理由.

等腰三角形及三线合一试题难题

等腰三角形及三线合一经典试题难题1．等腰三角形的对称轴是（） 2．1、等腰三角形有两条边长为4cm和9cm，则该三角形的周长是（） 2．2、等腰三角形的顶角是80°，则一腰上的高与底边的夹角是（） A．40°B．50°C．60°D．30° 3．等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是（） A．100°B．100°或40°C．40°D．80° 4．如图，C、E和B、D、F分别在∠GAH的两边上，且 AB=BC=CD=DE=EF，若∠A=18°，则∠GEF的度数是（） A．80°B．90°C．100°D．108° 5．等腰三角形的一个内角为 80，则另两个内角的度数为 6．等腰三角形底边长为10，则腰长的取值范围为 7．等腰三角形的顶角的度数是底角的4倍，则它的顶角是________． 8.如图，△ABC中，AB=AC，D在BC上，DE⊥AB于E，DF⊥BC交AC于点F，若∠EDF=70°，求∠AFD的度数 E D C A B H F G

E D C A B H F 9.如图，△ABC 中，∠ABC,∠CAB 的平分线交于点P ，过点P 作DE ∥AB ，分别交BC 、AC 于点D 、E 求证：DE=BD+AE 10.已知如图:?△ABC 和△ADE 都是等腰三角形且顶角∠BAC ＝∠DAE,?则BD ＝CE(????) 11.已知：如图：CA=CB,DA=DB 求证：(1)∠1=∠2．(2)CD ⊥AB ． 12.如图，已知点B 、C 、D 在同一条直线上，△ABC 和△CDE?都是等边三角形．BE 交AC 于F ，AD 交CE 于H ， ①求证：△BCE ≌△ACD ； ②求证：CF=CH ； ③判断△CFH 的形状并说明理由． 13．如图，中，，试说明：． 14.如图3，在?ABC 中，∠=A 90ο，AB AC =，D 是BC 的中点， P 为BC 上任一点，作PE AB ⊥，PF AC ⊥，垂足分别为E 、F 求证：（1）DE ＝DF ；（2）DE DF ⊥ 15.已知，如图1，AD 是?ABC 的角平分线，DE 、DF 分别是?ABD 和?ACD 的高。求证：AD 垂直平分EF C B A D E P

等腰三角形三线合一专项综合练习

等腰三角形性质：三线合一专项练习十一初中八（）班姓名： 1、已知ABC ?的周长为cm 36，且AC AB =，又BC AD ⊥，D 为垂足，ABD ?的周长为cm 30，那么AD 的长为（） A ．cm 6 B. cm 8 C. cm 12 D. cm 20 如图2，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAD=300，AD=AE ，则∠EDC=（） A ．100 B. 12.50 C.150 D.200 3、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，则图中全等三角形共有（） A 、 2对 B 、3对 C 、4对 D 、5对 4 、如图，在等腰直角△ABC 中，AD 为斜边上的高，以D 为端点任作两条互相垂直的射线与两腰相交于E 、F ，连结EF 与AD 相交于G ，则∠AED 与∠AGF 的关系为( ) A ．∠AED>∠AGF B ．∠AED ＝∠AGF C ．∠AED<∠AGF D ．不能确定 5、如图，在△ABC 中，AB=AC ，BD 平分∠ABC ，且BD=BE ，∠A=84°，则∠DEC= 6、如图，CE 平分∠ACB ，且C E ⊥BD ，DA=DB ，又知AC=18，△CDB 的周长为28，那么BE 的长为。 7、如图，在等腰△ABC 中，∠ABC=90°，D 为AC 边上中点，过D 点作DE ⊥DF ，交AB 于E ，交BC 于F ，若AE=4，FC=3，则△ABC 的面积为 8、、如图，四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于E 点，若AC 平分∠DAB ，且AB=AE ，AC=AD ，有如下四个结论： ①AC ⊥BD ；②BC=DE ；③∠DBC= 2 1 ∠DAB ； ④△ABE 是等边三角形．请写出正确结论的序号．(把你认为正确结论的序号都填上) D A B C E F 第3题图 A B E C 第2题图第4题图 C C 第7题图 B F C 第5题图第6题图

等腰三角形“三线合一”的应用举例

例说等腰三角形的“三线合一” 济宁市梁山县小路口镇初级中学李丽（适用于人教版初二版 10月刊） “三线合一”性质是等腰三角形所特有的重要性质，即等腰三角形底边上的中线、顶角的平分线、底边上的高线互相重合.该性质其实包括如下三方面的内容：如图1，△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 上的一点. 图1 （1）若AD 是等腰△ABC 底边BC 上的中线，那么AD 是顶角∠BAC 的平分线，AD 是底边BC 上的高线；（2）若AD 是等腰△ABC 顶角∠BAC 的平分线，那么AD 是底边BC 上的中线，AD 是底边BC 上的高线；（3）若AD 是等腰△ABC 底边BC 上的高线，那么AD 是顶角∠BAC 的平分线，AD 是底边BC 上的中线. 由此可以看出，“三线合一”性质给我们提供了证明角相等、直线垂直、线段相等的新思想和新方法.在解答一些图形有关的证明问题时，要注意灵活运用它们。下面仅举几例和同学们共同见识一下“三线合一”的神通. 一、证明角相等或倍数关系例1、已知：如图2，在ABC ?中，AC AB =，AD BD ⊥于D ．求证：DBC BAC ∠=∠2．【分析】作出等腰ABC ?的顶角平分线将顶角分为相等的两部分，根据“三线合一”的性质证得DBC ∠等于其中任一部分即可．【证明】作BAC ∠的平分线AE ，则有BAC ∠=∠=∠21 21． ∵AC AB =，21∠=∠，∴BC AE ⊥（三线合一）． ∴?=∠+∠902C ．又∵AD BD ⊥， ∴?=∠+∠90C DBC ． ∴DBC ∠=∠2．∴DBC BAC ∠=∠2．【点拨】添加辅助线，利用等腰三角形的“三线合一”性质，巧妙地构造了两个具有同

等腰三角形三线合一性质应用

等腰三角形三线合一性质应用 Prepared on 22 November 2020

等腰三角形专题基本知识总结： 1、基本概念：有两条边相等的三角形才是等腰三角形，所有的证明需证明至此（如：若知道三角形的两个底角相当，则需要使用等角对等边，证明边相等才可） 2、性质：①等边对等角 ②三线合一 3、判定：等角对等边常见题型： 1、等腰三角形的构造型问题：（1）①角平分线+平行线②角平分线+垂线③利用倍角半角（2）找点问题例1：如图，有直线n m ,，n m ,之间的间距为cm 2，在n 上取cm AB 3=，在m 上取点p ，使得PAB ?为等腰三角形，则满足条件的点p 有几个 m n ? ? A B 变式1：若取cm AB 2=，则点p 有几个变式2：如图，在ABC Rt ?中，?=∠90ABC ，?=∠30BAC ，在直线上或AC BC 取一点P ，使得PAB ?为等腰三角形，则符合条件的点p 有几个 2、三线合一的性质应用（知二即知三）应用一：证明角度和线段的相等及倍数关系例1：已知：如图，在ABC ?中，AC AB =，AD BD ⊥于D ，求证： DBC BAC ∠=∠2.

例2：△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC ，若D 为BC 的中点，过D 作DM ⊥DN 分别交AB 、AC 于M 、N ，求证：DM ＝DN. 变式1：若DM ⊥DN 分别和BA 、AC 延长线交于M 、N 。问DM 和DN 有何数量关系。变式2：如图，在ABC ?中，?=∠90A ，AC AB =，D 是BC 的中点，P 为BC 上任一点，作AB PE ⊥，AC PF ⊥，垂足分别为F E 、，求证：（1） DF DE =；（2）DF DE ⊥ 应用二：证垂直平分例3：已知，如图，AD 是ABC ?的角平分线，DF DE 、分别是ABD ?和ACD ?的高。求证：AD 垂直平分EF . 例4：已知四边形ABCD 中，?=∠=∠90ADB ACB ，N M 、分别为CD AB 、的中点，求证：MN 垂直平分CD . 应用三：逆命题：知二即知等腰 ①一边上的高与这边上的中线重合的三角形是等腰三角形．（线段垂直平分线的性质） ②一边上的高与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形． ③一边上的中线与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形. 例5：如图，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，CD ⊥AB 于D ，BE ⊥AC 于E ，求证：AC=AB. 例6：已知，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，CD ⊥AD,D 为垂足，AB>AC 。求证：∠2=∠1+∠B

八年级人教版新版等腰三角形三线合一典型题型[1]

八年级人教版新版等腰三角形三线合一专题训练姓名例1：如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。求证：BC=AB+DC。变1：如图，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝2，BC＝3，CD＝1，E是AD边中点。求证：CE⊥BE。变2：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，E是CD上一点，且AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC. （1）求证：AE⊥BE；（2）求证：E是CD的中点；（3）求证：AD+BC=AB.

人教版八年级数学讲义等腰三角形“三线合一”的性质(含解析)(2020年最新)

第5讲等腰三角形“三线合一”的性质知识定位讲解用时：5分钟 A、适用范围：人教版初二，基础较好； B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要重点学习等腰三角形“三线合一”的性质。我们知道等腰三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形所有的性质外，还有许多特殊性，正是由于它的这些特殊性，使得它比一般三角形的应用更广泛。因此，我们有必要把这部分内容学得更扎实。知识梳理讲解用时：20分钟等腰三角形 1、等腰三角形的概念：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另外一条边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边和腰的夹角叫做底角。 2、等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等；（简写成“等边对等角”）（2）等腰三角形的角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.（简写成“三线合一”） 3、等腰三角形的判定方法：（1）有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；（定义法）（2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角对应的边也相等.（简写成“等角对等边”） A B C

等边三角形我们知道等边三角形是特殊的等腰三角形，所以接下来要研究等边三角形的性质和判定！ 1、等边三角形的概念：在等腰三角形中，有一种特殊的等腰三角形——三条边都相等的三角形，我们把这样的三角形叫做等边三角形。 2、等边三角形的性质：（1）等边三角形的三条边都相等；（定义）（2）等边三角形的三个内角都相等，都等于60°；（3）等腰三角形“三线合一”的性质同样适用于等边三角形. 3、等边三角形的判定方法：（1）有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；（定义）（2）三个内角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. A B C 课堂精讲精练【例题1】如图，点D、E在△ABC的BC边上，AB=AC，AD=AE．求证：BD=CE．