文档视界 最新最全的文档下载
当前位置:文档视界 > 复变函数论第三版课后习题答案 2

复变函数论第三版课后习题答案 2

第一章习题解答

(一)

1

.设z =z 及Arcz 。

复变函数论第三版课后习题答案 2

解:由于3i z e π

-==

复变函数论第三版课后习题答案 2

所以1z =,2,0,1,

3

Arcz k k ππ=-+=±。

2

.设121z z =,试用指数形式表示12z z 及12

z z 。

复变函数论第三版课后习题答案 2

解:由于6412,2i i z e z i e ππ

复变函数论第三版课后习题答案 2

复变函数论第三版课后习题答案 2

复变函数论第三版课后习题答案 2

-==== 所以()6

46

4

12

12222i i i

i

z z e e

e

e π

πππ

π

--===

54()14612

26

11222i

i i i z e e e z e πππππ

+-===。 3.解二项方程440,(0)z a a +=>。

解:1

244

4

(),0,1,2,3k i

i z a e ae

k ππ

π+====。

复变函数论第三版课后习题答案 2

4.证明2

2

21212122()z z z z z z ++-=+,并说明其几何意义。

证明:由于2

2

2

1212122Re()z z z z z z +=++

2

2

2

12

12122Re()z z z z z z -=+-

所以2

2

21212

122()z z z z z z ++-=+

其几何意义是:平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。 5.设z 1,z 2,z 3三点适合条件:0321=++z z z ,1321===z z z 。证明z 1,z 2,z 3是内

接于单位圆

1

=z 的一个正三角形的顶点。

证 由于1

321

===z z z

,知

321z z z ?的三个顶点均在单位圆上。

因为

3

33

31z z z ==

()[]()[]212322112121z z z z z z z z z z z z +++=+-+-=

21212z z z z ++=

所以, 1212

1-=+z z z z ,

)

())((1221221121212

21z z z z z z z z z z z z z z +-+=--=-

()322121=+-=z z z z

故 3

21

=-z z ,

同理

33231=-=-z z z z ,知321z z z ?是内接于单位圆1=z 的一个正三角形。

6.下列关系表示点z 的轨迹的图形是什么?它是不是区域。 (1) 1212,()z z z z z z -=-≠; 解:点

z 的轨迹是1

z 与2

z

两点连线的中垂线,不是区域。

(2)4z z ≤-; 解:令z x yi =+

由(4)x yi x yi +≤-+,即2222(4)x y x y +≤-+,得2x ≤ 故点

z 的轨迹是以直线2x =为边界的左半平面(包括直线2x =);不是区域。

(3)

1

11

z z -<+ 解:令z x yi =+,

由11z z -<+,得22(1)(1)x x -<+,即0x >; 故点

z 的轨迹是以虚轴为边界的右半平面(不包括虚轴);是区域。

(4)0arg(1),2Re 34

z z π

<-<≤≤且;

解:令z x yi =+

由0arg(1)42Re 3z z π?

<-

1423y x x π?<

,即0123y x x <<-??

≤≤? 故点

z 的轨迹是以直线2,3,0,1x x y y x ====-为边界的梯形(包括直线2,3x x ==;

不包括直线0,1y y x ==-);不是区域。 (5)2,1z z >>且-3; 解:点

z 的轨迹是以原点为心,2为半径,及以3z =为心,以1为半径的两闭圆外部,

是区域。

(6)Im 1,2z z ><且; 解:点

z 的轨迹是位于直线Im 1z =的上方(不包括直线Im 1z =),且在以原点

为心,2为半径的圆内部分(不包括直线圆弧);是区域。

(7)2,0arg 4

z z π

<<<

且;

解:点

z 的轨迹是以正实轴、射线arg 4

z π=及圆弧1z =为边界的扇形(不包括边界),

是区域。 (8)131,2222

i z z i -

>->且 解:令z x yi =+

由12231

22i z z i ?->????->??

,得2

211

()2431()24

x y x y ?+->???

?+->?? 故点

z 的轨迹是两个闭圆2

21131

(),()2424

x

y x y +-=+-=的外部,是区域。

7.证明:z 平面上的直线方程可以写成C z a z a =+(a 是非零复常数,C 是实常数) 证 设直角坐标系的平面方程为

Ax By C +=将

11

Re (),Im ()22x z z z y z z z i

==+==-代入,得

C z B A z B A =-+-)i (21

)i (21

)i (21B A a +=

,则)i (21

B A a -=,上式即为

C z a z a =+。

反之:将,z x yi z x yi =+=-,代入C z a z a =+ 得()()a a x ia ia y c ++-= 则有

Ax By C +=;即为一般直线方程。

8.证明:

z 平面上的圆周可以写成

0.Azz z z c ββ+++=

其中A 、C 为实数,0,A β≠为复数,且2

AC β>。

证明:设圆方程为

22()0A x y Bx Dy C ++++=

其中0,A ≠当2

2

4B D AC +>时表实圆;

2

2

11

,(),()22x y zz x z z y z z i

+==+=-代入,得 11

()()022

Azz B Di z B Di z c +-+++=

即0.Azz z z c ββ+++= 其中11

(),()22

B Di B Di ββ=+=- 且2

2211

()444

B D A

C AC β

=

+>?=; 反之:令,z x yi a bi β=+=+代入2

0()Azz z z c AC βββ+++=>

得22()0,A x y Bx Dy C ++++=其中2,2B a B b == 即为圆方程。

10.求下列方程(t 是实参数)给出的曲线。 (1)

t z i)1(+=; (2)t b t a z sin i cos +=;

(3)

t t z i

+

=; (4)2

2i t t z +=,

解(1)???∞

<<-∞==?+=+=t t y t x t y x z ,)i 1(i 。即直线x y =。

(2)

π

20,

sin cos sin i cos i ≤

a x t

b t a y x z ,即为椭圆12

2=+b y a x ;

(3)

????

?==?+=+=t y t x t t y x z 1

i i ,即为双曲线1=xy ; (4)???

??==?+=+=22221i i t y t x t t y x z ,即为双曲线1=xy 中位于第一象限中的一支。

11.函数

z w 1

=

将z 平面上的下列曲线变成w 平面上的什么曲线()iv u w iy x z +=+=,?

(1)x y =; (2)()112

2

=+-y x

222211y x y i

y x x iy x z w +-+=+==

,2222,y x y v y x x u +-=+=,可得

(1)

()v

y x y y x y y x x u -=+--=+=+=

2

22222是w 平面上一直线;

(2)

()21

211222222=

+?

=+?=+-y x x x y x y x ,

于是

21

=

u ,是w 平面上一平行与v 轴的直线。

13.试证)arg (arg ππ≤<-z z 在负实轴上(包括原点)不连续,除此而外在z 平面上处处连续。

证 设z z f arg )(=,因为f (0)无定义,所以f (z )在原点z =0处不连续。 当z 0为负实轴上的点时,即)0(000<=x x z ,有

?

?

?-=???????????? ??-???

??+=-+

→→→→→ππππx y x y z y x x y x x z z arctan lim arctan lim arg lim 00000

所以z

z z arg lim 0→不存在,即z arg 在负实轴上不连续。而argz 在z 平面上的其它点处的连续性

显然。

14. 设

00=≠z z 求证()z f 在原点处不连接。 证 由于

()01lim lim lim 42

062400=+=+=→→=→x x x x x z f x x x

y z

()21

lim lim 666003

=+=→=→y y y z f y y

x z

( )

? ? ? ? ? + = , 0 , 6 2 3 y x xy z f

可知极限()

z f z 0

lim →不存在,故()z f 在原点处不连接。

16. 试问函数f (z ) = 1/(1 – z )在单位圆| z | < 1内是否连续?是否一致连续? 【解】(1) f (z )在单位圆| z | < 1内连续.

因为z 在 内连续,故f (z ) = 1/(1 – z )在 \{1}内连续(连续函数的四则运算),因此f (z )在单位圆| z | < 1内连续.

(2) f (z )在单位圆| z | < 1内不一致连续.

令z n = 1 – 1/n ,w n = 1 – 1/(n + 1),n ∈ +. 则z n , w n 都在单位圆| z | < 1内,| z n - w n | 0,

但| f (z n ) - f (w n ) | = | n - (n + 1) | = 1 > 0,故 f (z )在单位圆| z | < 1内不一致连续. [也可以直接用实函数f (x ) = 1/(1 – x )在(0, 1)不一致连续来说明,只要把这个实函数看成是f (z )在E = { z ∈ | Im(z ) = 0, 0 < Re(z ) < 1 }上的限制即可.]

17. 试证:复数列z n = x n + i y n 以z 0 = x 0 + i y 0为极限的充要条件是实数列{x n }及{y n }分别以x 0及y 0为极限.

【解】( ) 若复数列z n = x n + i y n 以z 0 = x 0 + i y 0为极限, 则?ε > 0,?N ∈ +,使得?n > N ,有| z n - z 0 | < ε. 此时有| x n - x 0 | ≤ | z n - z 0 | < ε;| y n - y 0 | ≤ | z n - z 0 | < ε. 故实数列{x n }及{y n }分别以x 0及y 0为极限.

( ) 若实数列{x n }及{y n }分别以x 0及y 0为极限,则?ε > 0,

?N 1∈ +,使得?n > N 1,有| x n - x 0 | < ε/2; ?N 2∈ +,使得?n > N 2,有| y n - y 0 | < ε/2.

令N = max{N 1, N 2},则?n > N ,有n > N 1且n > N 2,

故有| z n - z 0 | = | (x n - x 0) + i (y n - y 0) | ≤ | x n - x 0 | + | y n - y 0 | < ε/2 + ε/2 = ε. 所以,复数列z n = x n + i y n 以z 0 = x 0 + i y 0为极限.

20. 如果复数列{z n }合于lim n ∞ z n = z 0 ≠ ∞,证明lim n ∞ (z 1 + z 2 + ... + z n )/n = z 0. 当z 0 ≠ ∞时,结论是否正确?

【解】(1) ?ε > 0,?K ∈ +,使得?n > K ,有| z n - z 0 | < ε /2. 记M = | z 1 - z 0 | + ... + | z K - z 0 |,则当n > K 时,有

| (z 1 + z 2 + ... + z n )/n - z 0 | = | (z 1 - z 0) + (z 2 - z 0) + ... + (z n - z 0) |/n ≤ ( | z 1 - z 0 | + | z 2 - z 0 | + ... + | z n - z 0 |)/n

= ( | z 1 - z 0 | + ... + | z K - z 0 |)/n + ( | z K +1 - z 0 | + ... + | z n - z 0 |)/n ≤ M /n + (n - K )/n · (ε /2) ≤ M /n + ε /2. 因lim n ∞ (M /n ) = 0,故?L ∈ +,使得?n > L ,有M /n < ε /2. 令N = max{K , L },则当n > K 时,有

| (z 1 + z 2 + ... + z n )/n - z 0 | ≤ M /n + ε /2 < ε /2 + ε /2 = ε. 所以,lim n ∞ (z 1 + z 2 + ... + z n )/n = z 0.

(2) 当z 0 ≠ ∞时,结论不成立.这可由下面的反例看出.

例:z n = (-1)n · n ,n ∈ +.显然lim n ∞ z n = ∞. 但?k ∈ +,有(z 1 + z 2 + ... + z 2k )/(2k ) = 1/2, 因此数列{(z 1 + z 2 + ... + z n )/n }不趋向于∞.

[这个结论的证明的方法与实数列的情况完全相同,甚至反例都是一样的.] 2.如果it

e z =,试证明

(1)nt z z n n

cos 21=+; (2)nt z z n

n

sin i 21=-

解 (1)

nt e e e e z z n n sin 21

int int int int =+=+=+

-

(2)

nt e e e e z z n n sin i 21int

int int int =-=-=-

-

4.设iy x z +=,试证

y

x z y x +≤≤+2

证 由于

y

x y x y x y x z +=++≤

+=22

222

()

2

2

22

2222

22

2

y x y

x y x y x y x z +=

++≥+=

+=

y

x z y

x +≤≤+2

6. 设| z | = 1,试证:| (a z + b )/(b * z + a * ) | = 1.(z *表示复数z 的共轭) 【解】此题应该要求b * z + a * ≠ 0.

| a z + b | = | (a z + b )* | = | a * z * + b * | = | a * z * + b * | · | z | = | (a * z * + b *) · z | = | a * z * · z + b * · z | = | a * | z |2 + b * · z | = | b * z + a * |. 故| (a z + b )/(b * z + a * ) | = 1.

8. 试证:以z 1, z 2, z 3为顶点的三角形和以w 1, w 2, w 3为顶点的三角形同向相似的充要条件为

1

1133

2211w z w z w z = 0. 【解】两个三角形同向相似是指其中一个三角形经过(一系列的)旋转、平移、位似这三种初等几何变换后可以变成另一个三角形(注意没有反射变换).例如

复变函数论第三版课后习题答案 2

z'z 3

1

2

我们将采用下述的观点来证明:

以z 1, z 2, z 3为顶点的三角形和以w 1, w 2, w 3为顶点的三角形同向相似的充要条件是:将它们的一对对应顶点都平移到原点后,它们只相差一个位似旋转.

记f 1(z ) = z - z 1 (将z 1变到0的平移);f 3(z ) = z - w 1 (将0变到w 1的平移); 那么,三角形z 1z 2z 3与三角形w 1w 2w 3同向相似 存在某个绕原点的旋转位似变换f 2(z ) = z 0 z , 使得f 2 ( f 1(z k )) = f 3(w k ),(k = 2, 3),其中z 0∈ \{0}

存在z 0∈ \{0},使得z 0(z k - z 1) = w k - w 1,(k = 2, 3) (w 2 - w 1)/(z 2 - z 1) = (w 3 - w 1)/(z 3 - z 1)

1

31

31212w w z z w w z z ----= 0

1

11

013131212w w z z w w z z ----= 0

1

11

33

2211

w z w z w z = 0.[证完] 9. 试证:四个相异点z 1, z 2, z 3, z 4共圆周或共直线的充要条件是 (z 1 – z 4)/(z 1 – z 2) : (z 3 – z 4)/(z 3 – z 2)为实数.

【解】在平面几何中,共线的四个点A , B , C , D 的交比定义为

(A , B ; C , D ) = (AC /CB ) : (AD /DB ).

这是射影几何中的重要的不变量.

类似地,在复平面上,(不一定共线的)四个点z 1, z 2, z 3, z 4的交比定义为

[z 1z 2, z 3z 4] = (z 1 – z 3)/(z 2 – z 3) : (z 1 – z 4)/(z 2 – z 4).

本题的结论是说:复平面上四个点共圆或共线的充要条件是其交比为实数. ( ) 分两种情况讨论

(1) 若(z 1 – z 4)/(z 1 – z 2)为实数,则(z 3 – z 4)/(z 3 – z 2)也是实数. 设(z 1 – z 4)/(z 1 – z 2) = t ,t ∈ .则z 4 = (1 – t )z 1 + t z 2,

故z4在z1, z2所确定的直线上,即z1, z2, z4共线.

因此,同理,z1, z2, z3也共线.所以,z1, z2, z3, z4是共线的.

(2) 若(z1–z4)/(z1–z2)为虚数,则(z3–z4)/(z3–z2)也是虚数.

故Arg ((z1–z4)/(z1–z2)) ≠kπ,Arg ((z3–z4)/(z3–z2)) ≠kπ.

而Arg ((z1–z4)/(z1–z2)) – Arg ((z3–z4)/(z3–z2))

= Arg ((z1–z4)/(z1–z2) : (z3–z4)/(z3–z2)) = kπ.

注意到Arg ((z–z4)/(z–z2)) = Arg ((z4–z)/(z2–z))是z2–z到z4–z的正向夹角,

若Arg ((z1–z4)/(z1–z2)) = Arg ((z3–z4)/(z3–z2)),

则z1, z3在z2, z4所确定的直线的同侧,且它们对z2, z4所张的角的大小相同,

故z1, z2, z3, z4是共圆的.

若Arg ((z1–z4)/(z1–z2)) = Arg ((z3–z4)/(z3–z2)) + π,

则z1, z3在z2, z4所确定的直线的异侧,且它们对z2, z4所张的角的大小互补,

故z1, z2, z3, z4也是共圆的.

( ) 也分两种情况讨论

(1) 若z1, z2, z3, z4是共线的,则存在s, t∈ \{0, 1},使得

z4 = (1 –s)z3 + s z2,z4 = (1 –t)z1 + t z2,

那么,z3–z4 = s (z3 –z2),即(z3–z4)/(z3–z2) = s;

而z1–z4 = t (z1 –z2),即(z1–z4)/(z1–z2) = t,

所以,(z1–z4)/(z1–z2) : (z3–z4)/(z3–z2) = t/s∈ .

(2) 若z1, z2, z3, z4是共圆的,

若z1, z3在z2, z4所确定的直线的同侧,那么,

Arg ((z4–z1)/(z2–z1)) = Arg ((z4–z3)/(z2–z3))

因此(z4–z1)/(z2–z1) : (z4–z3)/(z2–z3)是实数.

也就是说(z1–z4)/(z1–z2) : (z3–z4)/(z3–z2)是实数.

若z1, z3在z2, z4所确定的直线的异侧,

则Arg ((z4–z1)/(z2–z1)) + Arg ((z2–z3)/(z4–z3)) = (2k + 1)π,

故Arg ((z1–z4)/(z1–z2) : (z3–z4)/(z3–z2))

= Arg ((z1–z4)/(z1–z2)) – Arg ((z3–z4)/(z3–z2))

= Arg ((z1–z4)/(z1–z2)) + Arg ((z3–z2)/(z3–z4))

= Arg ((z4–z1)/(z2–z1)) + Arg ((z2–z3)/(z4–z3)) = (2k + 1)π,

所以,(z1–z4)/(z1–z2) : (z3–z4)/(z3–z2)仍为实数.[证完]

这个题目写的很长,欢迎同学们给出更简单的解法.

11. 试证:方程| z -z1 |/| z -z2 | = k ( 0 < k ≠ 1,z1≠z2 )表示z平面的一个圆周,其圆心为z0,半径为ρ,且z0 = (z1 -k2 z2)/(1-k2),ρ = k | z1 -z2|/| 1-k2 |.

【解】到两定点距离成定比的点的轨迹是圆或直线.当比值不等于1时,轨迹是一个圆,这个圆就是平面几何中著名的Apollonius圆.

设0 < k ≠ 1,z1≠z2,z0 = (z1 -k2 z2)/(1-k2),ρ = k | z1 -z2|/| 1-k2 |.

?z∈ ,| z -z0 | = ρ

| z - (z1 -k2 z2)/(1-k2)| = k | z1 -z2|/| 1-k2 |

| z(1-k2)- (z1 -k2 z2) | = k | z1 -z2 |

| (z -z1) -k2 (z-z2)| = k | z1 -z2|

| (z -z1)/k-k (z-z2) | = | z1 -z2|

| (z -z1)/k-k (z-z2) | = | (z -z1)- (z-z2) |

| (z -z1)/k-k (z-z2) |2 = | (z -z1) - (z-z2) |2

| z - z 1 |2/k 2 + k 2 | z - z 2 |2 = | z - z 1 |2 + | z - z 2 |2 (1/k 2 - 1)| z - z 1 |2 = (1 - k 2 ) | z - z 2 |2 | z - z 1 |2/k 2 = | z - z 2 |2

| z - z 1 |/| z - z 2 | = k .[证完]

直接地双向验证,可能需要下面的结论,其几何意义非常明显的. 命题:若复数z , w ≠ 0,则| | z | · w /| w | - | w | · z /| z | | = | w - z |. 证明:我们用z *表示复数z 的共轭.

| | z | · w /| w | - | w | · z /| z | |2 = | | z | · w /| w | |2 + | | w | · z /| z | |2 - 2Re[( | z | · w /| w |) · (| w | · z /| z |)* ] = | z |2 + | w |2 - 2Re( w · z * ) = | w - z |2. 或更直接地,| | z | · w /| w | - | w | · z /| z | | = | | z | · w /| w | - | w | · z /| z | | · | z * /| z | | · | w * /| w | | = | (| z | · w /| w | - | w | · z /| z |) · (z */| z |) · (w */| w |) | = | (| z | · (z */| z |) - | w | · (w */| w |)) | = | w - z |.

12. 试证:Re(z ) > 0 | (1 - z )/(1 + z ) | < 1,并能从几何意义上来读本题. 【解】Re(z ) > 0 点z 在y 轴右侧

点z 在点-1和点1为端点的线段的垂直平分线的右侧

点z 在点-1和点1为端点的线段的垂直平分线的与1同侧的那一侧 点z 到点-1的距离大于点z 到点1的距离 |1 + z | > | 1 - z | | (1 - z )/(1 + z ) | < 1. 不用几何意义可以用下面的方法证明:

设z = x + i y ,x , y ∈ .

| (1 - z )/(1 + z ) | < 1 |1 + z | > | 1 - z | |1 + z |2 > | 1 - z |2 1 + z 2 + 2Re(z ) > 1 + z 2 - 2Re(z ) Re(z ) > 0.

[由本题结论,可知映射f (z ) = (1 - z )/(1 + z )必然把右半平面中的点映射到单位圆内的点.并且容易看出,映射f (z )把虚轴上的点映射到单位圆周上的点.

问题:f (z )在右半平面上的限制是不是到单位圆的双射?f (z )在虚轴上的限制是不是到单位圆周的双射?]

???-?±≠≥·?≤≡⊕ ?αβχδεφγηι?κλμνοπθρστυ?ωξψζ∞??????∏∑ ⊥∠ √§ψ ∈??? ??? ∠?????§ ∑ΓΦΛΩ

?m ∈ +,?m ∈ +

,★? α1, α2, ..., αn ?lim n ∞,+n ∞?ε > 0,∑ u n ,∑ n ≥ 1 u n ,m ∈ , ?ε > 0,?δ > 0,【解】 [0, 2π] l 2 dx ,f (x ) = (-∞, +∞)[-π, π]∑1 ≤ k ≤ n u n ,[0, 2π]

相关文档
  • 复变函数论课后题答案

  • 复变函数论试卷和答案

  • 复变函数论习题答案

  • 复变函数论第三版

  • 复变函数论试卷

  • 复变函数论第四版答案

相关推荐: