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高考数学(理)总复习高考达标检测(五十二) 离散型随机变量的均值与方差、正态分布

高考达标检测(五十二) 离散型随机变量的均值与方差、正态分布 一、选择题

1.设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,且概率都是0.4,则此人三次上班途中遇红灯的次数的期望为( )

A .0.4

B .1.2

C .0.43

D .0.6

解析:选B ∵途中遇红灯的次数X 服从二项分布,即X ~B (3,0.4), ∴E (X )=3×0.4=1.2.

2.在某次数学测试中,学生成绩ξ服从正态分布N (100,σ2

)(σ>0),若ξ在(80,120)内的概率为0.6,则ξ在(0,80)内的概率为( )

A .0.05

B .0.1

C .0.15

D .0.2

解析:选D 根据正态曲线的对称性可知,ξ在(80,100)内的概率为0.3, 因为ξ在(0,100)内的概率为0.5,所以ξ在(0,80)内的概率为0.2,故选D. 3.(2016·南阳二模)设随机变量X ~B (2,p ),随机变量Y ~B (3,p ),若P (X ≥1)=59,

则D (3Y +1)=( )

A .2

B .3

C .6

D .7

解析:选C 法一:由题意得P (X ≥1)=P (X =1)+P (X =2)=C 12p (1-p )+C 22p 2

=59

,所以

p =1

3,则Y ~B 3,13

,故D (Y )=3×13×? ????1-13

=23

,所以D (3Y +1)=9D (Y )=9×23

=6.

法二:因为P (X ≥1)=1-P (X =0)=59,所以P (X =0)=C 02(1-p )2

=49,所以p =13

,则Y ~

B ?

??

??

3,13,故D (Y )=3×13

×?

????

1-13

=23

,所以D (3Y +1)=9D (Y )=9×23

=6.

4.已知袋中有20个大小相同的球,其中记上0号的有10个,记上n 号的有n 个(n =1,2,3,4).现从袋中任取一球,X 表示所取球的标号.若η=aX +b ,E (η)=1,D (η)=11,则a +b 的值是( )

A .1或2

B .0或2

C .2或3

D .0或3

解析:选B 由题意可知,X 的所有可能取值为0,1,2,3,4,E (X )=12×0+120×1+1

10×2

320×3+15×4=32,D (X )=12×? ????0-322+120×? ????1-322+110×? ????2-322+320×? ????3-322+1

5

×? ????4-322=114

. 由D (η)=a 2

D (X ),得a 2

×

11

4

=11,即a =±2. 又E (η)=aE (X )+b ,所以当a =2时,由1=2×3

2+b ,

得b =-2,此时a +b =0.

当a =-2时,由1=-2×3

2

+b ,得b =4,此时a +b =2.故选B.

5.已知甲、乙两个工人在同样的条件下生产某种材料,日生产量相等,每天出废品的情况如表所示,则下列结论正确的是( )

高考数学(理)总复习高考达标检测(五十二) 离散型随机变量的均值与方差、正态分布

A B .乙生产的产品质量比甲生产的产品质量好一些 C .两人生产的产品质量一样好 D .无法判断谁生产的产品质量好一些

解析:选B 根据离散型随机变量的分布列可知甲生产的产品出废品的平均值为0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1=1,乙生产的产品出废品的平均值为0×0.3+1×0.5+2×0.2+3×0=0.9,结合实际可知乙生产的产品质量比甲生产的产品质量好一些,故选B

6.如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为125个同样大小的

高考数学(理)总复习高考达标检测(五十二) 离散型随机变量的均值与方差、正态分布

小正方体.经过搅拌后,从中随机取一个小正方体,记它的涂漆面数为X ,则X 的均值E (X )等于( )

A.126

125 B.65 C.168125

D.75

解析:选B 由题意X 可取0,1,2,3, 且P (X =0)=33

125=27

125

P (X =1)=9×6125=54

125, P (X =2)=3×12125=36

125, P (X =3)=

8125

.

故E (X )=

54125+2×36125+3×8125=65

. 二、填空题

7.(2015·广东高考)已知随机变量X 服从二项分布B (n ,p ).若E (X )=30,D (X )=20,则p =________.

解析:由E (X )=30,D (X )=20,可得?

??

??

np =30,

np -p =20,

解得p =1

3.

答案:1

3

8.在某项测量中,测量结果ξ服从正态分布N (1,σ2

)(σ>0),若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4,则ξ在(0,2)内取值的概率为________.

解析:由正态分布N (1,σ2

)(σ>0)的图象关于直线x =1对称,且ξ在(0,1)内取值的概率为0.4,知ξ在(1,2)内取值的概率也为0.4,故ξ在(0,2)内取值的概率为0.8.

答案:0.8

9.若某科技小制作课的模型制作规则是:每位学生最多制作3次,一旦制作成功,则停止制作,否则可制作3次.设某学生一次制作成功的概率为p (p ≠0),制作次数为X ,若

X 的数学期望E (X )>74

,则p 的取值范围是________.

解析:由已知条件可得P (X =1)=p ,

P (X =2)=(1-p )p ,

P (X =3)=(1-p )2p +(1-p )3=(1-p )2,

则E (X )=P (X =1)+2P (X =2)+3P (X =3) =p +2(1-p )p +3(1-p )2=p 2

-3p +3>74

解得p >52或p <12,又p ∈(0,1],可得p ∈? ????0,12.答案:? ????0,12 三、解答题

10.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛,射击次数相同,已知两名运动员击中的环数稳定在7环、8环、9环、10环,他们比赛成绩的统计结果如下:

高考数学(理)总复习高考达标检测(五十二) 离散型随机变量的均值与方差、正态分布

高考数学(理)总复习高考达标检测(五十二) 离散型随机变量的均值与方差、正态分布

请你根据上述信息,解决下列问题:

(1)估计甲、乙两名射击运动员击中的环数都不少于9环的概率;

(2)若从甲、乙两名运动员中挑选一名参加某大型比赛,请你从随机变量均值意义的角度,谈谈让谁参加比较合适?

解:(1)由题意易知a =1-0.2-0.15-0.3=0.35,b =1-0.2-0.2-0.35=0.25, 用频率估计概率,可得甲击中的环数不少于9环的概率为0.65,乙击中的环数不少于9环的概率为0.55,

∴甲、乙两名射击运动员击中的环数都不少于9环的概率等于0.65×0.55=0.357 5. (2)设甲、乙两名射击运动员击中的环数分别为随机变量X ,Y ,X 的分布列为

高考数学(理)总复习高考达标检测(五十二) 离散型随机变量的均值与方差、正态分布

E (X )=7×0.2+8×0.15+9×0.3+10×0.35=8.8. Y 的分布列为

高考数学(理)总复习高考达标检测(五十二) 离散型随机变量的均值与方差、正态分布

E (Y )=7×0.2+8×0.25+9×0.2+10×0.35=8.7.

∵E (X )>E (Y ),

∴从随机变量均值意义的角度看,选甲去比较合适.

11.(2016·济南模拟)某校为了普及环保知识,增强学生的环保意识,在全校组织了一次有关环保知识的竞赛.经过初赛、复赛,甲、乙两个代表队(每队3人)进入了决赛,规定每人回答一个问题,答对为本队赢得10分,答错得0分.假设甲队中每人答对的概率均为34,乙队中3人答对的概率分别为45,34,2

3,且各人回答正确与否相互之间没有影响,

用ξ表示乙队的总得分.

(1)求ξ的分布列和均值;

(2)求甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率. 解:(1)由题意知,ξ的所有可能取值为0,10,20,30.

P (ξ=0)=1

5×14×13=160

P (ξ=10)=45×14×13+15×34×13+15×14×23=960=320

, P (ξ=20)=45

×34

×13

+45×14×23+15

×34

×23=2660=1330

, P (ξ=30)=45

×34

×23=25

故ξ的分布列为

高考数学(理)总复习高考达标检测(五十二) 离散型随机变量的均值与方差、正态分布

所以E (ξ)=0×160+10×320+20×1330+30×25=133

6

.

(2)记“甲队得30分,乙队得0分”为事件A ,“甲队得20分,乙队得10分”为事件

B ,则A ,B 互斥.

又P (A )=? ????343×1

60=91 280

P (B )=C 23? ??

??34

2

×14×

320=81

1 280

, 故甲、乙两队总得分之和为30分且甲队获胜的概率为

P (A +B )=P (A )+P (B )=

901 280=9

128

. 12.(2017·淄博模拟)某茶楼有四类茶饮,假设为顾客准备泡茶工具所需的时间相互独立,且都是整数(单位:分钟).现统计该茶楼服务员以往为100位顾客准备泡茶工具所需的时间t ,结果如表所示.

高考数学(理)总复习高考达标检测(五十二) 离散型随机变量的均值与方差、正态分布

注:服务员在准备泡茶工具时的间隔时间忽略不计,并将频率视为概率. (1)求服务员恰好在第6分钟开始准备第三位顾客的泡茶工具的概率;

(2)用X 表示至第4分钟末服务员已准备好了泡茶工具的顾客数,求X 的分布列及均值. 解:(1)由题意知t 的分布列为

高考数学(理)总复习高考达标检测(五十二) 离散型随机变量的均值与方差、正态分布

设A 表示事件“服务员恰好在第6分钟开始准备第三位顾客的泡茶工具”,则事件A 对应两种情形:

①为第一位顾客准备泡茶工具所需的时间为2分钟,且为第二位顾客准备泡茶工具所需的时间为3分钟;

②为第一位顾客准备泡茶工具所需的时间为3分钟,且为第二位顾客准备泡茶工具所需的时间为2分钟.

所以P (A )=P (t =2)×P (t =3)+P (t =3)×P (t =2)=15×310+310×15=3

25.

(2)X 的所有可能取值为0,1,2,

X =0对应为第一位顾客准备泡茶工具所需的时间超过4分钟,所以P (X =0)=P (t >4)

=P (t =6)=1

10

X =1对应为第一位顾客准备泡茶工具所需的时间为2分钟且为第二位顾客准备泡茶工

具所需的时间超过2分钟,或为第一位顾客准备泡茶工具所需的时间为3分钟,或为第一位顾客准备泡茶工具所需的时间为4分钟,

所以P (X =1)=P (t =2)·P (t >2)+P (t =3)+P (t =4)=15×45+310+25=43

50

X =2对应为两位顾客准备泡茶工具所需的时间均为2分钟,

所以P (X =2)=P (t =2)·P (t =2)=15×15=1

25.

所以X 的分布列为

高考数学(理)总复习高考达标检测(五十二) 离散型随机变量的均值与方差、正态分布

所以X 的均值E (X )=0×110+1×4350+2×125=47

50.

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