当前位置：文档库 › 线性代数知识点总结

线性代数知识点总结

第一章行列式

1. n 阶行列式()()

1212

11121212221212

-∑

n n

n t p p p n p p np p p p n n nn

a a a a a a D a a a a a a 2.特殊行列式

()

1112

11222211221122010

n t n n nn nn nn

a a a a a D a a a a a a a =

=-=

n n

λλλλλλ=，

()

()1

121n n n n

λλλλλλ-=-

3.行列式的性质

定义

记

11121212221

n n n nn

a a a a a a D a a a =，11211

1222212n n T n

a a a a a a D a a a =

，行列式T

D 称为行列式D 的转置行列式。

性质1 行列式与它的转置行列式相等。

性质2 互换行列式的两行()

?i j r r 或列()

?i j c c ，行列式变号。推论

如果行列式有两行（列）完全相同（成比例），则此行列式为零。

性质3 行列式某一行（列）中所有的元素都乘以同一数()?j k r k ，等于用数k 乘此行列式；推论1 D 的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到D 的外面;

推论2 D 中某一行（列）所有元素为零，则=0D 。

性质4 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则

1112111212222212

()

()()i i n

i i n n n ni ni

a a a a a a a a a a D a a a a a '+'+='+11121111121121222221222212

i n i n

i n i n n n ni

n n ni

a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ''=+

' 性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，

行列式的值不变。

算得行列式的值。

4. 行列式按行（列）展开

余子式在n 阶行列式中，把元素ij a 所在的第i 行和第j 列划去后，留下来的1n -阶行列式叫做元素ij a 的余子式，记作ij M 。代数余子式 ()

1i j

ij ij A M +=-记，叫做元素ij a 的代数余子式。

引理

一个n 阶行列式，如果其中第i 行所有元素除（i ，j ）(,)i j 元外ij a 都为零，那么这

行列式等于ij a 与它的代数余子式的乘积，即ij ij D a A =。

（高阶行列式计算首先把行列上的元素尽可能多的化成0，保留一个非零元素，降阶）

定理

n 阶行列式 111212122212

n n n n nn

a a a a a a D a a a 等于它的任意一行（列）的各元素与其对应

的代数余子式的乘积之和，即1122i i i i in in D a A a A a A =+++，

(1,2,

,)i n =1122j j j j nj nj D a A a A a A =+++或，(1,2,

,)j n =。

第二章矩阵

1.矩阵

1112121

211

n n m m mn a a a a a a A a a a ?? ? ?

= ?

???

行列式是数值，矩阵是数表，各个元素组成

阵：行数与列数都等于n 的矩阵A 。记作：A n 。行(列)矩阵：只有一行(列)的矩阵。也称行(列)向量。同型矩阵：两矩阵的行数相等，列数也相等。

相等矩阵：AB 同型,且对应元素相等。记作：A ＝B 零矩阵：元素都是零的矩阵（不同型的零矩阵不同）对角阵：不在主对角线上的元素都是零。

单位阵：主对角线上元素都是1，其它元素都是0，记作：E 注意

矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个算式，一个数字行列式经过计算可求得

其值，而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同。

2. 矩阵的运算

矩阵的加法 111112121121212222221122n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b A B a b a b a b +++??

+++ ?

+= ?

+++??

说明只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算。矩阵加法的运算规律

()1A B B A +=+；()()()2A B C A B C ++=++

()()1112121222113,()n n ij ij m n

m n m m mn a a a a a a A a A a a a a ??---??

?--- ?

=-=-= ?

?---??

设矩阵记，A -称为矩阵A 的负矩阵

()()()40,A A A B A B +-=-=+-。

数与矩阵相乘

1112121

211

,n n m m mn a a a a a a A A A A A a a a λλλλλλλλλλλλλλ?? ? ?

== ?

???

数与矩阵的乘积记作或规定为

数乘矩阵的运算规律（设A B 、为m n ?矩阵，,λμ为数）

()()()1A A λμλμ=；()()2A A A λμλμ+=+；()()3A B A B λλλ+=+。

矩阵相加与数乘矩阵统称为矩阵的线性运算。

矩阵与矩阵相乘设(b )ij B =是一个m s ?矩阵，(b )ij B =是一个s n ?矩阵，那么规定矩阵A

与矩阵

的乘积是一个

m n

?矩阵

(c )

ij C =，其中

()1212

1122j j i i is i j i j is sj sj b b a a a a b a b a b b ??

? ?

=+++ ? ? ???

ik kj k a b ==∑，()1,2,

;1,2,

,i m j n ==，

并把此乘积记作C AB = 注意

1。A 与B

2BA ≠，而且两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵。

3。对于n 阶阵A 和B ，若AB=BA ，则称A 与B 是可交换的。

矩阵乘法的运算规律

()()()1AB C A BC =；()()()()2AB A B A B λλλ==

()()3A B C AB AC +=+，()B C A BA CA +=+()4m n n n m m m n m n A E E A A ?????== ()5若A 是n 阶阵，则称 A k 为A 的k 次幂，即k k A A A

A =个

，并且m k m k A A A +=，

()k

m mk A A =(),m k 为正整数。规定：A 0＝E （只有阵才有幂运算）

注意矩阵不满足交换律，即AB BA ≠，()k

k k AB A B ≠（但也有例外）

转置矩阵

把矩阵A 的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做A 的转置矩阵，记作A T

，

()()

T A A =；()()2T T T A B A B +=+；()()3T T A A λλ=；()()4T

T T AB B A =。

阵的行列式由n 阶阵A 的元素所构成的行列式，叫做阵A 的行列式，记作A

注意矩阵与行列式是两个不同的概念，n 阶矩阵是n 2个数按一定式排成的数表，而n

阶行列式则是这些数按一定的运算法则所确定的一个数。

()1T A A =；()2n A A λλ=；(3)AB A B B A BA ===

对称阵设A 为n 阶阵，如果满足A =A T ，那么A 称为对称阵。伴随矩阵

行列式A 的各个元素的代数余子式ij A 所构成的如下矩阵

1121112

22212n n n

nn A A A A A A A A A A *?? ? ?

= ? ???

称为矩阵A 的伴随矩阵。性质 AA A A A E **==（易忘知识点）

总结

（1）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算。

（2）只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘,且矩

阵相乘不满足交换律。

（3）矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同。

逆矩阵：AB ＝BA ＝E ，则说矩阵A 是可逆的，并把矩阵B 称为A 的逆矩阵。1A B -=即。

说明

1 A ，B互为逆阵，A = B-1

2只对阵定义逆阵。（只有阵才有逆矩阵）

3.若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的。

定理1 矩阵A可逆的充分必要条件是0

A≠，并且当A可逆时，有1*

A A

-=（重要）奇异矩阵与非奇异矩阵当0

A=时，A称为奇异矩阵，当0

A≠时，A称为非奇异矩阵。即0

A A A

??≠

可逆为非奇异矩阵。

求逆矩阵法*

(1)||||0

(3)

A A

≠

先求并判断当时逆阵存在；

（）求；

求。

初等变换的应用：求逆矩阵：()1

(|)|

A E E A-

????→

初等行变换。

逆矩阵的运算性质

()()1

1,,

A A A A

--=

若可逆则亦可逆且

()()11

2,0,,

A A A A

λλλ

≠=

若可逆数则可逆且。

()111

3,,,

A B AB AB B A

---

若为同阶方阵且均可逆则亦可逆且()。

()()()

4,,T

T T

A A A A

若可逆则亦可逆且。

()1

A A A-

若可逆则有。

3.矩阵的初等变换

初等行（列）变换

()1()

i j

r r

对调两行，记作。

()20()

k r k

≠?

以数乘以某一行的所有元素，记作。

()3()i j k r kr +把某一行所有元素的倍加到另一行对应的元素上去，记作。

初等列变换：把初等行变换中的行变为列，即为初等列变换，所用记号是把“r ”换成“c ”。矩阵等价

A B A B 如果矩阵经有限次初等变换变成矩阵，就称矩阵与等价。

行阶梯形矩阵：可画出一条阶梯线，线的下全为零，每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也是非零行的第一个非零元。（非零行数及矩阵的秩）

000003400052130230

12的秩求矩阵????

??? ??----=B R(B)=3

行最简形矩阵：行阶梯矩阵中非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列的其他元

素都为0.

标准型：对行最简形矩阵再施以初等列变换，可以变换为形如r m n

E O

F O O ???

???的矩阵，称为标准型。标准形矩阵是所有与矩阵A 等价的矩阵中形状最简单的矩阵。初等变换的应用

求逆矩阵：()1

(|)|A E E A -????→初等行变换

或1A E E A -????

????

→ ? ?????

初等列变换。 4. 矩阵的秩矩阵的秩

任矩阵m n A ?，总可以经过有限次初等变换把它变为行阶梯形，行阶梯形矩阵

中非零行的行数是唯一确定的。（非零行的行数即为矩阵的秩）

说明

1. 矩阵A m ×n ，则 R (A ) ≤min{m ,n };

2. R (A ) = R (A T );

3. R (A )≥r 的充分必要条件是至少有一个r 阶子式不为零;

4. R (A )≤r 的充分必要条件是所有r + 1 阶子式都为零. 满秩和满秩矩阵

矩阵()

ij m n

A a ?=，若()R A m =，称A 为行满秩矩阵；若()R A n =，

称A 为列满秩矩阵；,(),A n R A n A =若为阶方阵且则称为满秩矩阵。

()n A R A n =若阶方阵

满秩，即

1A -?

必存在；

A ?为非奇异阵；

,~.n n A E A E ?

必能化为单位阵即

矩阵秩的求法

定理1矩阵A 经过有限次行(列)初等变换后其秩不变。即若A ～B ，则R (A )=R (B )。推论

()()P Q R PAQ R A =若、可逆，则

矩阵秩的性质总结

(1)0()min{,}m n R A m n ?≤≤(2)()()T R A R A =

()()(3)~, A B R A R B =若则()()P Q R PAQ R A =(4)若、可逆，则

(5)max{(),()}(,)()()

()(,)() 1.R A R B R A B R A R B B b R A R A R A ≤≤+=≤≤+b 特别当为非零列向量时，有

(6)()()()R A B R A R B +≤+ (7)()min{(),()}.R AB R A R B ≤

(8),()().m n n l A B O R A R B n ??=+≤若则

(9)AB=O A B=O 设，若为列满秩矩阵，则（矩阵乘法的消去率）。

第三章

1. n 维向量 n 个数a 1,a 2,…,a n 组成的一个有序数组(a 1,a 2,…,a n ) 称为一个n 维向量,记为

1212()(,,,)

...T n n a a a a a a αα?? ? ?== ? ???

列向量形式或（行向量形式），其中第i 个数a i 称为向量的第i 个分量。

向量组若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组。

设矩阵A=(a ij )m ×n

有n 个m 维列向量，即11

121121

221

2j n

n m m mj

mn A a a a a a a a a

a a

a ?? ? ?=

? ? ???

，

12n a ,a ,,a A 向量组称为矩阵的列向量组。同理，也可说矩阵A 有m 个行向量组组成。

向量，向量组，矩阵与程组的关系向量组?矩阵：12 (,,

,)m A ααα=

向量程 ?程组：11112122122212

n n1n2n ...m m m m a a a b a a a b x x x a a a b ???????? ? ? ? ? ?

? ? ?+++= ? ? ? ? ? ? ? ?????????

，可简写作1122n n x x x αααβ++

向量程?程组?矩阵形式112212 (,,

,)m n n x b x b Ax b x b ααα????

? ? ? ?=?= ? ? ? ?????

线性组合

给定向量组12:,,,m A ααα和向量b ，如果存在一组数12,m λλλ，，使

1122m m b λαλαλα=++

，则向量b 是向量组A 的线性组合，这时称b 向量能由向量组

A 线性表示。

定理1 向量b 能由向量组12:,,,m A ααα线性表示的充分必要条件是矩阵

12(,,,)m A a a a =的秩等于矩阵12(,,

,,b)m B a a a =的秩。即R(A)=R(A,b)。

向量组的线性表示

设有两个向量组1212:,,

,:,,,m s A B αααβββ及，若B 组中每

个向量都能由向量组A 线性表示，则称向量组B 能由向量组A 线性表示，若向量组A 与向量组B 能相互线性表示，则称这两个向量组等价。向量组的线性相关给定向量组12m :,,,A ααα，如果存在不全为零的数12,,,m

k k k 使11220m m k k k ααα++

+=，则称向量组是线性相关的，否则称它线性无关；若当且仅