第36招归纳法、定义法、公式法、累加法、累乘法

高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第36讲：

数列通项的求注一(归纳法、定义法、公式法、累加法、累乘法)

【知识要点】

一、数列的通项公式

如果数列〈an ?的第n 项a n 和项数n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列

的通项公式.即a . = f (n).不是每一个数列都有通项公式

.不是每一个数列只有一个通项公式

二、数列的通项的常见求法：通项五法

1、归纳法：先通过计算数列的前几项，再观察数列中的项与系数，根据 的通项公式，最后再证明.

2、公式法：若在已知数列中存在： a n 1 -a n = d(常数)或a n 1二q,(q = 0)的关系，可采用求等差数列、

a n

等比数列的通项公式的求法，确定数列的通项；若在已知数列中存在：

S n 二f (a n )或S n 二f(n)的关系,

$ (n =1)

可以利用项和公式 a=

，求数列的通项.

n

IS n —S n 』(n >2)

3、累加法：若在已知数列中相邻两项存在：

a n - a n 』二f (n) (n _ 2)的关系，可用“累加法”求通项

5、构造法：(见下一讲)

*

【例 1】在数列｛a n ｝中，ai =6，且 a n - a n4

心5 1 (n ，N , n - 2)，

n

(1)求 a 2

,a 3, a 4的值;

(2)猜测数列｛ a n ｝的通项公式，并用数学归纳法证明

【解析】 ⑴ ^-12^=20^ = 30

a n 与项数n 的关系，猜想数列

4 、累乘法：若在已知数列中相邻两项存在:

a n

=g( n)( n 一2)的关系, 可用“累乘法”求通项

a n J

<2)猜测q = 3+10+2)下用数学归纳法证明：

①当科=1.2,??4时,显然成立；

②fii设当科二上(上之4,上丘讯)时成立，即有级=仏十】)(无+ 2儿贝I］当冲二七+】时，由

1 p ”曰W + 1 r

碍一勺-1 = —— +呛十1倚务=-- 口_丄+曲+ 1 j

H n

古攵= ：：「比+ 上 +1 +1 = |T±(jt+lX)t 十2)+t+ 2

= (jt+2)1+(Jt+2)=(^+2XAr+3)、故冲=亡+1 时等式成立；

由①?可知，a n= (n+lXn+2)对一切n e A**均成立一

【点评】(1 )本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明?( 2)归纳法在主观题中一般用的比较少，一是因为它要给予严格的证明，

二是有时数列的通项并不好猜想?如果其它方法实在不行，再考虑利用归纳法?

【反馈检测1】在单调递增数列｛a n｝中，a i =1，a2 =2，且a2ni,a n,an+成等差数列，a2n , a?卄，a2n半

成等比数列，n = 1,2,3,

(1 )分别计算a3, a5和a4 , a6的值；

(2)求数列｛a n｝的通项公式(将a n用n表示);

(3)设数列｛—｝的前n项和为Sn，证明：S :：：-4^ , n?N * .

a n n+2

使用情景已知数列是等差数列或等比数列或已知S n = f (a n)或S n = f (n).

解题步骤

已知数列是等差数列或等比数列，先求出等差(比)数列的基本量a1,d(q)，再代入等差(比)数列的通项公式；已知S n = f (a n)或S n = f(n)的关系，可以利用项和公式S (n =1)

a n=《，求数列的通项.学科*网

S 一S n」(n X 2)

【例2】已知数列:a n 1, S n是其前n项的和，且满足a i =2 ,对一切n ? N ”都有S n 3S n - n2? 2 成立，设b n=a n? n .

(1 )求a2; (2)求证：数列仏？是等比数列;

(3)求使丄?丄1. 40成立的最小正整数n的值.

b i b2 b n 81

【解析】⑴由场=2及Sg — 33^ + + 2 当科=1时a2 ~7

(丄)由^3S n+n2 + 2及気二35^ + (i7-l):+2 (n>2)

得- 3a H +2川一1,故(务4-? +1) = 3(陽 + n),

即纭严3? 0王2),当“ 1时上式也成立,

故⑹提以3为百项，3为公比的等比数列

故3" >81解得心4,最小正整数科的值5

【点评】利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差(公比)后再写出通项

【反馈检测2】已知等比数列｛a n｝中，q =64,公比q =1, a21a31a4又分别是某等差数列的第7项，第

3项，第1项.

(1)求a n; (2)设b n -log2a n,求数列｛| g |｝的前n 项和T n.

【例3】数列｛a n｝的前n项和为S n, 6=1, a n?1=2S n( n € N”)，求｛a n｝的通项公式

⑶由⑵得= =

2

【解析】由场二「隔=2￡电当炉2时冷二-务)得也期因此也」罡首项为

2

J

.

fl

(n=l)

①屯qp 的等比数列.故^=2x3^ (心2),而绚P 不满足该式」所以心二=勺“ ^

2x3^2

(n>2)

【点评】(1)已知S n =f(a n )或S n =f( n)，—般利用和差法.如果已知S ^： f (a n 1)或f(a nj )也可 以采用和差法?( 2)利用此法求数列的通项时，一定要注意检验

n =1是否满足，能并则并，不并则分 ?

【例4】已知函数f(x)二「3x —6x ，&是数列｛a n ｝的前n 项和，点(n ,&)( n ?N“)在曲线y=f(x)

1 a ? b 上.(I)求数列｛a n ｝的通项公式；(n)若b n =(—)

2 , C n = __-，且T n 是数列｛ C n ｝的前n 项和.试

2

6

问T n 是否存在最大值？若存在，请求出 T n 的最大值；若不存在，请说明理由

【解析】(I)因为点(n,S n )在曲线y = f(x)上，又f(x) =-3x 2 ? 6x ，所以S ^-3n 2 6n .

当 n 时，a i 二 S =3.

2

2

当 n 1 时，a n -S n J 1=(-3n

6n)-[-3(n-1) 6(n -1)] = 9-6n

所以 a n =9 -6n .

1 1

(9 -

(n)

因为 0 =(—)"」,G = - a n b n :

2 6 6

1

1 2 13,丄

1

n

T n

(-1)(亍 (-3)(亍 川(3-2n )U ),

2 2 2 2 九=(弓2 (一1)(弓3(一3)(￡)4 川(3-2 门疋厂1, 2 2 2 2 2

111 1 1 1

②—③得 -T n =- (-2)(-)2 (-2)(；)3 ?

(-2)(；)n -(3-2n)(；)n 勺

2 2 2 2

2 2

1

(尹口-(2严]

1

=2(2)

2

12 (3-2n)(*

2

1 -― 2

2

1 整理得 T n =(2n 1)(-)n -1 , 2

方法一 利用差值比较法 由④式得T n

(2 n 3)(-)n 1 -1，所以

①所以

n

」

1

因为n _1

，所以丄-n ：：：0.

2

1

又(_)n 0 ,所以 T n d

-T n :：: 0 所以「i :：:「,

2

1 所以T i T 2?T| ?… T n ?T n1 ?….所以Tn 存在最大值T i . 2

方法二利用商倩比较法 由④式得7；+1=(2?+^-)* >0.

￡

-(加打2卄 3 GTT

人+1

5 + 1x4 2(2 讪)2(2 小厂

所次匚】+ 1<匚+1,即所次五> 所口存在最大值7；=^

方法三利用放缩法

由①式得C n 1二[3 -2(n 1)]( A )n 1 =(1 _2n)』)n1 ：：： 0，又因为T 是数列 ?｝的前n 项和，

2 2

所以 T n 1

：：：「?所以 T i

T 2

T^

T n ，T n 1 ?…

1

所以T n 存在最大值T i .

2

【反馈检测3】已知数列｛

a n ｝的前n 项和S n = — a n

~2“1 ■— ( n = 1,2,3, 4…)，求｛ a n ｝的通项公 3 3 3

式?

方法三

累加法

T

n A ―人

=(2n '

n

—(2 n 1

n

1

—[(2 n 3)(2)-(2 n 1

n

二[n | 一(2n 1

n

使用情景 在已知数列中相邻两项存在：

a n -a n 」=f( n) (n32)的关系

解题步骤

先给递推式a n-a n 」= f( n) (n >2)中的n 从2开始赋值，一直到 n ，—共得到n-1个

式子，再把这n-1个式子左右两边对应相加化简，即得到数列的通项

【例4】已知数列a 二 讣 a i =1, a^a nj ■ 2, 0二匹 , 为数列 ⑴的前项和，人

a n a

n*

为数列s ［的前n 项和?

(1)求数列；a n ?的通项公式；(2)求数列 b 詁勺前n 项和S n ；

(3)求证：T n

- --? 2 3

【解析】(〔)法：-an — an□ '2 . a^ -(ai _ai-) '(ai 二…ai_2)■ '(S2 -ai) ■ ai ,

1 _2n

= 2n 」2n_2

亠 亠2 1 二 ------ =2n _1

1-2

曰以-衲首项，以?为公比的等比数列一

二“才-1

赫2 林 _1)_(2「1)]

—丄

=_ ( 鼻 ― : )

(2^-lX2

fl_1

-l)~ (2fl

-lX2^-l)

~2 2K

-1 2^-1

1

2^1

2:-? +(2;-1_23-?

+ +t 2B

-l"2^-P

_ -

!_ __ 1

丄丄

2^-1

2 2(2“-1)

2 3-2^2k

-2~ 2 3

-T n 胡+①+…十恥牛-+

…+

21

-1 1

(3〉证明：TS 上

01(1

一

【点评】(1)本题an -an4二n T ，符合累加法的使用情景 a^an^ - f(n)(n 一 2)，所以用累加法求

数列的通项?( 2)使用累加法时，注意等式的个数，是

n-1个，不是n 个.

又-^-1=4二数列