离散数学课后习题答案 (邱学绍)
第一章 命题逻辑
习题1.11．解 ⑴不是陈述句，所以不是命题。 ⑵x 取值不确定，所以不是命题。 ⑶问句，不是陈述句，所以不是命题。 ⑷惊叹句，不是陈述句，所以不是命题。 ⑸是命题，真值由具体情况确定。 ⑹是命题，真值由具体情况确定。 ⑺是真命题。
⑻是悖论，所以不是命题。 ⑼是假命题。
2．解 ⑴是复合命题。设p ：他们明天去百货公司；q ：他们后天去百货公司。命题符号化为q p ∨。
⑵是疑问句，所以不是命题。 ⑶是悖论，所以不是命题。 ⑷是原子命题。
⑸是复合命题。设p ：王海在学习；q ：李春在学习。命题符号化为p ∧q 。 ⑹是复合命题。设p ：你努力学习；q ：你一定能取得优异成绩。p →q 。 ⑺不是命题。 ⑻不是命题
⑼。是复合命题。设p ：王海是女孩子。命题符号化为：?p 。 3．解 ⑴如果李春迟到了，那么他错过考试。
⑵要么李春迟到了，要么李春错过了考试，要么李春通过了考试。 ⑶李春错过考试当且仅当他迟到了。
⑷如果李春迟到了并且错过了考试，那么他没有通过考试。
4．解 ⑴?p →(q ∨r )。⑵p →q 。⑶q →p 。⑷q → p 。 习题1.2
1．解 ⑴是1层公式。 ⑵不是公式。 ⑶一层： p ∨q ，?p
二层：?p ?q
所以，)()(q p q p ??→∨是3层公式。 ⑷不是公式。
⑸(p →q )∧?(?q ?( q →?r ))是5层公式，这是因为 一层：p →q ，?q ，?r 二层：q →?r 三层：?q ?( q →?r ) 四层：?(?q ?( q →?r ))
2．解 ⑴A =(p ∨q )∧q 是2层公式。真值表如表2-1所示：
表2-1
⑵p q p q A →→∧=
)(是3层公式。真值表如表2-2所示：
表2-2
⑶)()(q p r q p A ∨→∧∧=
是3层公式。真值表如表2-3所示：
表2-3
⑷
)()()(r q r p q p A ∨∧∨?∧∨=是4层公式。真值表如表2-4所示：
3．解 ⑴p q p A ∨
?∧?=)(真值表如表2-5所示：
表2-5
所以其成真赋值为：00，10，11；其成假赋值为01。 ⑵)(q p r A ∧→=
真值表如表2-6所示：
表2-6
所以其成真赋值为：000，010，100，110，111；其成假赋值为001，011，101。
⑶
)()(q p q p A ?∨?→=真值表如表2-7所示，所以其成真赋值为：00，11；成假赋值为：
01，10，。
4．解 ⑴设)(q p p A ∧?∨=
，其真值表如表2-8所示：
表2-8
故
)(q p p A ∧?∨=为重言式。
⑵设A =(p ∧q )∧?(p ∨q )，其真值表如表2-9所示：
表2-9
故A =(p ∧q )∧?(p ∨q )为矛盾式。
⑶设A =(p →q )?(?p ?q )，其真值表如表2-10所示：
表2-10
故A =(p →q )?(?p ?q )为可满足式。 ⑷设)())()((r p r q q p
A →→→∧→=，其真值表如表2-11所示：
表2-11
故
)())()((r p r q q p A →→→∧→=为重言式。
习题1.3
1．解 ⑴真值表如表2-12所示：
表2-12
由真值表可以看出)(q p ∨?和q p ?∧?所在的列相应填入值相同，故等值。 ⑵真值表如表2-13所示：
表2-13
由真值表可以看出
p 和)()(q p q p ?∧∨∧所在的列相应填入值相同，故等值。
⑶真值表如表2-14所示：
表2-14
由真值表可以看出?p 和(p →q )∧(p →?q )所在的列相应填入值相同，故等值。
⑷真值表如表2-15所示：
表2-15
由真值表可以看出p →(q →r )和(p ∧q )→r 所在的列相应填入值相同，故等值。
2．证明 ⑴(p ∧q )∨? (?p ∨q )? (p ∧q )∨( p ∧?q ) ? p ∧ (q ∨?q )? p 。
⑵(p →q )∧(q →p )?(?p ∨q ) ∧(?q ∨p ) ?(?p ∧?q )∨(?p ∧ p )∨( q ∧?q )∨(q ∧ p ) ?( p ∧q )∨(?p ∧?q )。
⑶由⑵可得，?(p ?q )??(( p ∧q )∨(?p ∧?q )) ?(? p ∨?q )∧(p ∨q )?(q →?p )∧(?p →q )??p ?q 。 ⑷p →(q →r )?? p ∨(?q ∨ r ) ?? q ∨(?p ∨ r )? q →( p →r )。 ⑸
)()(r q p r q p ∨∨??∨→
r q p ∨∨??)(r q p ∨?∧??)( r q p →?∧?)(
⑹)()()()(q r q p q r q p
∨?∧∨??→∧→
q r p ∨?∧??)(q r p →∨?)(
3．解 ⑴?(p →?q )??(?p ∨?q )?p ∧q ⑵?(?p →?q )??( p ∨?q )??p ∧q
⑶?(p ??q )??((p →?q )∧(?q →p ))??(p →?q )∨?(?q →p )
?(p ∧q ) ∨(?p ∧?q )? p ?q 。 ⑷同理可证?(?p ?q )? p ?q 。 4．解 ⑴与习题2.2第4（4）相同。 ⑵真值表如表2-16所示：
表2-16
所以公式是重言式。
⑶真值表如表2-17所示，所以公式是矛盾式。
表2-17
⑷真值表如表2-18所示，所以公式是重言式。
表2-18
⑸真值表如表2-19所示，所以公式仅为可满足式。
表2-19
⑹真值表如表2-20所示，所以公式是重言式。
表2-20
5．解 ⑴设p ：他努力学习；q ：他会通过考试。则命题符号化p →q 。 其否定?(p →q )? p ∧?q 。
所以语句的否定：他学习很努力但没有通过考试。 ⑵设p ：水温暖；q ：他游泳。则命题符号化p ?q 。 其否定?(p ?q )? p ??q 。
所以语句的否定：当且仅当水不温暖时他游泳。
⑶设p ：天冷；q ：他穿外套；r ：他穿衬衫。则命题符号化p →(q ∧?r ) 其否定?( p →(q ∧?r )) ??(?p ∨(q ∧?r )) ? p ∧?( q ∧?r ) ? p ∧(?q ∨ r )
所以语句的否定：天冷并且他不穿外套或者穿衬衫。
⑷设p ：他学习；q ：他将上清华大学；r ：他将上北京大学。则命题符号化
)(r q p ∨→
其否定))((r q p ∨→?))((r q p ∨∨???r q p ?∧?∧?
所以语句的否定：他努力学习，但是没有上清华大学，也没有上北京大学。 6．解 设p ：张三说真话；q ：李四说真话；r ：王五说真话。
则：p ??q , q ??r (??q ?r ), r ?(?p ∧?q )为真,
因此p ?(?p ∧?q )?(p ∧?p ∧?q )∨(?p ∧(p ∨q ))??p ∧q 为真。 因此，p 为假，q 为真，所以r 为假。 故张三说谎，李四说真话，王五说谎。
7．解 设p ：甲得冠军；q ：乙得亚军；r ：丙得亚军；s ：丁得亚军。
前提：p →(q ∨r )，q →?p ，s →?r ，p 结论：?s
证明 p →(q ∨r )为真，其前件p 为真，所以q ∨r 为真，
又q →?p 为真，其后件?p 为假，所以要求q 为假，所以r 为真。 又s →?r 为真，其后件?r 为假，所以要求s 为假，故?s 为真。 习题1.4
1．解 ⑴设p ：明天下雨；q ：后天下雨。命题符号化
q p ∨。
⑵设p ：明天我将去北京；q ：明天我将去上海。命题符号化q p ∨。
2．解 ⑴p q p
∨→)(
))(())((p q p p q p ∧→?∨?∧→? ))(())((p q p p q p ∧∨??∨?∧∨?? )(p q p p ∧?∧∨??q p ?∨??
⑵
)(p q p ∨↓))((p q p ∨∨??
))()((p q p q p ∧?∨?∧∨?? ))((p q p ?∧∨?? )(q p ∨??q p ?∧??
⑶r q p
↓↑)(
))((r q p ∨↑??))((r q p ∨∧???
r q p ?∧∧?
3．证明 因为，{?→∧∨?,,,,}是功能完备联结词集，所以，含有{?→∧∨?,,,,}外的其他联结词的公式均可以转换为仅含{?→∧∨?,,,,}中的联结词的公式。
又因为
q p q p ∨??→
)()()()(p q q p p q q p q p ∨?∧∨??→∧→??
即含有?→,的公式均可以转换为仅含{∧∨?,,}中的联结词的公式。因此，含{∧∨?,,}外其他联结词的公式均可以转换为仅含{∧∨?,,}中的联结词的公式。 故{∧∨?,,}是功能完备联结词集。
4．证明 },{∧?是极小功能完备集，因而只需证明},{∧?中的每个联结词都可以用↑ 表示，就说明}{↑是功能完备集。只有一个联结词，自然是极小功能完备集。事实上，
?p ??(p ∧p )?p ↑p ，
p ∧q ???(p ∧q )??(p ↑q )?(p ↑q )↑(p ↑q )。 对于证明}{↓是极小功能完备集，可类似证明。 习题1.5
1．解 ⑴)()(q p q p ∧?∨?∧?； ⑵p r p r q p ?∨?∧∨∨?∧))()((( 2．解 ⑴)()(s r q p
→→→?)()(s r q p ∨?∨∨??
?s r q p ∨?∨?∧)(即为其析取范式。
)()(s r q p →→→?s r q p ∨?∨?∧)(
?)()(s r q s r p ∨?∨?∧∨?∨即为其合取范式。
⑵
)(r q p ?∧??)()(q r r q p ∨?∧∨?∧?即为其合取范式。
?p ∧(q ?r )??p ∧((q ∧r )∨(?q ∧?r ))
?(?p ∧q ∧r )∨(?p ∧?q ∧?r ) 即为其析取范式。 ⑶r q p ?∧∨)(即为其合取范式。
r q p ?∧∨)(?)()(r q r p ?∧∨?∧为其析取范式。
⑷
)(r q p →→?r q p ∨?∨?即为其析取范式和合取范式。
3．解 ⑴)
(q p p ∨?∧)())((q p q q p ∨?∧∧?∨?
∏?∨?∧∨∧?∨?)2,1,0()()()(q p q p q p 即为其主合取范式。
其主析取范式为∑3?p ∧q 。 ⑵)
()(q p q p ?∧?∨→?1)()(?∨?∨∨?q p q p 。
故其主析取范式为∑(0,1,2,3)=(?p ∧?q )∨(?p ∧q )∨(p ∧?q )∨(p ∧q )。 ⑶p
r q p →→∨))((p r q p ∨∨∨???))((
p r q p ∨?∧∨?))(()()(r p q p ?∨∧∨?
))()(())()((q q r p r r q p ?∧∨?∨∧?∧∨∨?
)()()()(r q p r q p r q p r q p ?∨?∨∧?∨∨∧?∨∨∧∨∨? ∏?)3,1,0(即为其主合取范式。
其主析取范式为∑(2,4,5,6,7) ? (?p ∧q ∧?r )∨(p ∧?q ∧?r )∨(p ∧?q ∧r )∨(p ∧q ∧?r )∨(p ∧q ∧r )。 ⑷)
()(s r q p →→→)()(s r q p ∨?∨∨???
)()()()(s r q s r p s r q p ∨?∨?∧∨?∨?∨?∨?∧?
)()()()(s r q p s r q p s r q p s r q p ∨?∨?∨?∧∨?∨?∨∧∨?∨?∨∧∨?∨∨?∏?)14,6,2(即为其主合取范式。
其主析取范式为∑)15,13,12,11,10,9,8,7,5,4,3,1,0(。
4．解 ⑴真值表如表2-21所示, 所以其极小项是p ∧?q ，极大项为p ∨q ，p ∨?q ，?p ∨?q 。
表2-21
其主析取范式是：p ∧?q ，主合取范式为：(p ∨q )∧( p ∨?q )∧(?p ∨?q )。
⑵真值表如表2-222所示, 所以其极小项是?p ∧q , p ∧?q , p ∧q , 极大项为p ∨q 。
表2-22
其主析取范式是：(?p ∧q )∨(p ∧?q )∨(p ∧q )，主合取范式为：p ∨q 。
⑶真值表如表2-23所示，所以其极小项是?p ∧q ∧r ,p ∧?q ∧?r , p ∧?q ∧r , p ∧q ∧?r ,p ∧q ∧r ,
表2-23
极大项为p ∨q ∨r ，p ∨q ∨?r ，p ∨?q ∨r 。其主析取范式是：(?p ∧q ∧r )∨(p ∧?q ∧?r )∨(p ∧?q ∧r ) ∨(p ∧q ∧?r )∨(p ∧q ∧r )，主合取范式为：(p ∨q ∨r )∧(p ∨q ∨?r )∧(p ∨?q ∨r ) 。
⑷真值表如表2-24所示,所以其极小项为?p ∧?q ∧r ,?p ∧q ∧r ,p ∧?q ∧?r ,p ∧?q ∧r ,p ∧q ∧r , 而极大项分为p ∨q ∨r ，p ∨?q ∨r ，?p ∨?q ∨r .主合取范式为(p ∨q ∨r )∧(p ∨?q ∨r )∧(?p ∨?q ∨r ), 主析取范式为(?p ∧?q ∧r )∨(?p ∧q ∧r )∨(p ∧?q ∧?r ,)∨(p ∧?q ∧r )∨(p ∧q ∧r )。
表2-24
5．解 ⑴(?p ∨q )∧(?(?p ∧?q ))?(?p ∨q )∧(p ∨q ) ? q ? (?p ∧q )∨(p ∧q )， 故⑴为可满足式。
⑵)())()((r p r q q p →→→∧→
(()())()p q q r p r ???∨∧?∨∨?∨ ()()()p q q r p r ?∧?∨∧?∨?∨
()()()()p q r p q r p q r p q r ?∧?∧∨∧?∧?∨∧∧?∨?∧∧? ()()()()p q r p q r p q r p q r ∨?∧∧∨?∧∧?∨?∧?∧∨?∧?∧? ()()()()p q r p q r p q r p q r ∨∧∧∨∧?∧∨?∧∧∨?∧?∧
(0,1,2,3,4,5,6,7)?∑
故⑵为重言式。
⑶?(p ∨(q ∧r ))?((p ∨q )∧(p ∨r ))??(p ∨(q ∧r ))?(p ∨(q ∧r )) ?(p ∨(q ∧r ))∨(p ∨(q ∧r ))∧?(p ∨(q ∧r ))∨?(p ∨(q ∧r )) ?(p ∨(q ∧r ))∧?(p ∨(q ∧r )) ?(p ∨(q ∧r ))∧?p ∧?(q ∧r ) ?(?p ∧q ∧r )∧(?q ∨?r )?0。 故⑶为矛盾式。 ⑷(()())(()())p
q r s p r q s →∨→→∨→∨
离散数学第三版课后习题答案
离散数学辅助教材 概念分析结构思想与推理证明 第一部分 集合论
离散数学习题解答 习题一（第一章集合） 1. 列出下述集合的全部元素： 1）A={x | x ∈N∧x是偶数∧x＜15} 2）B={x|x∈N∧4+x=3} 3）C={x|x是十进制的数字} [解] 1）A={2，4，6，8，10，12，14} 2）B= 3）C={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9} 2. 用谓词法表示下列集合： 1）{奇整数集合} 2）{小于7的非负整数集合} 3）{3，5，7，11，13，17，19，23，29} [解] 1）{n n∈I∧(?m∈I)(n=2m+1)}； 2）{n n∈I∧n≥0∧n<7}； 3）{p p∈N∧p>2∧p<30∧?(?d∈N)(d≠1∧d≠p∧(?k∈N)(p=k?d))}。 3. 确定下列各命题的真假性： 1） 2）∈ 3）{} 4）∈{} 5）{a，b}{a，b，c，{a，b，c}} 6）{a,b}∈(a，b，c，{a，b，c}) 7）{a，b}{a，b，{{a，b，}}} 8）{a，b}∈{a，b，{{a，b，}}} [解]1）真。因为空集是任意集合的子集； 2）假。因为空集不含任何元素； 3）真。因为空集是任意集合的子集； 4）真。因为是集合{}的元素； 5）真。因为{a，b}是集合{a，b，c，{a，b，c}}的子集； 6）假。因为{a,b}不是集合{a，b，c，{a，b，c}}的元素；
7）真。因为{a，b}是集合{a，b，{{a，b}}}的子集； 8）假。因为{a,b}不是集合{a，b，{{a，b}}}的元素。 4. 对任意集合A，B，C，确定下列命题的真假性： 1）如果A∈B∧B∈C，则A∈C。 2）如果A∈B∧B∈C，则A∈C。 3）如果A B∧B∈C，则A∈C。 [解] 1）假。例如A={a}，B={a，b}，C={{a}，{b}}，从而A∈B∧B∈C但A∈C。 2）假。例如A={a}，B={a，{a}}，C={{a}，{{a}}}，从而A∈B∧B∈C，但、A ∈C。 3）假。例如A={a}，B={a，b}，C={{a}，a，b}，从而ACB∧B∈．C，但A∈C。5．对任意集合A，B，C，确定下列命题的真假性： 1）如果A∈B∧B C，则A∈C。 2）如果A∈B∧B C，则A C。 3）如果A B∧B∈C，则A∈C。 3）如果A B∧B∈C，则A C。 [解] 1）真。因为B C x（x∈B x∈C），因此A∈B A∈C。 2）假。例如A={a}，B={{a}，{b}}，C={{a}，{b}，{c}}从而A∈B∧B C，但A C。 3）假。例如A={a}，B={{a，b}}，C={{a，{a，b}}，从而A B∧B∈C，但A C。 4）假。例如A={a}，B={{a，b}}，C={{a，b}，b}，从而A B∧B∈C，但A C。 6．求下列集合的幂集： 1）{a，b，c} 2）{a，{b，c}} 3）{} 4）{，{}} 5）{{a，b}，{a，a，b}，{a，b，a，b}} [解] 1）{，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}} 2）{，{a}，{{b，c}}，{a，{a，b}}} 3）{，{}} 4）{，{}，{{}}，{，{}}}
离散数学课后习题答案
习题参考解答 习题 1、（3）P：银行利率降低 Q：股价没有上升 P∧Q （5）P：他今天乘火车去了北京 Q：他随旅行团去了九寨沟 Q P? （7）P：不识庐山真面目 Q：身在此山中 Q→P，或～P→～Q （9）P：一个整数能被6整除 Q：一个整数能被3整除 R：一个整数能被2整除 T：一个整数的各位数字之和能被3整除 P→Q∧R ，Q→T 2、（1）T （2）F （3）F （4）T （5）F （6）T （7）F （8）悖论 习题 1（3） ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( R P Q P R P Q P R Q P R Q P → ∨ → ? ∨ ? ∨ ∨ ? ? ∨ ∨ ? ? ∨ →
（4） ()()()(())()(()())(())()()()()P Q Q R R P P R Q R P P R R P Q R P P R P R Q R Q P ∧∨∧∨∧=∨∧∨∧=∨∨∧∧∨∧=∨∧∨∧∨∧∨=右 2、不， 不， 能 习题 1(3) (())~((~)) (~)()~(~(~))(~~)(~) P R Q P P R Q P P R T P R P R Q Q P R Q P R Q →∧→=∨∧∨=∨∧=∨=∨∨∧=∨∨∧∨∨、 主合取范式 ) ()()()()()()()()()()()()()())(())(()()(()) ()())(()((Q P R P Q R P Q R R Q P R Q P R Q P Q P R Q P R P Q R P Q R R Q P R Q P R Q P R Q P Q Q P R P P Q R R R Q Q P P R Q R P P Q R P P Q R P ∧∧∨∧?∧∨?∧?∧∨∧?∧?∨?∧∧?∨?∧?∧?=∧∧∨?∧∧∨∧?∧∨?∧?∧∨∧?∧?∨∧?∧?∨?∧∧?∨?∧?∧?=∨?∧∧∨∨?∧?∧∨∨?∧∨?∧?=∧∨?∧∨?=∨?∧∨?=→∧→ ————主析取范式 (2) ()()(~)(~) (~(~))(~(~))(~~)(~)(~~) P Q P R P Q P R P Q R R P R Q Q P Q R P Q R P R Q →∧→=∨∧∨=∨∨∧∧∨∨∧=∨∨∧∨∨∧∨∨Q 2、 ()~() (~)(~) (~~)(~)(~~)P Q R P Q R P Q P R P Q R P Q R P R Q →∧=∨∧=∨∧∧=∨∨∧∨∨∧∨∨∴等价 3、解：根据给定的条件有下述命题公式： （A →（CD ））∧～（B ∧C ）∧～（C ∧D ） （～A ∨（C ∧～D ）∨（～C ∧D ））∧（～B ∨～C ）∧（～C ∨～D ） （（～A ∧～B ）∨（C ∧～D ∧～B ）∨（～C ∧D ∧～B ）∨ （～A ∧～C ）∨（C ∧～D ∧～C ）∨（～C ∧D ∧～C ））∧（～C ∨～D ）
离散数学习题解答
习题一 1.下列句子中,哪些是命题？在是命题的句子中,哪些是简单命题？哪些是真命题？哪些命题的真值现在还不知道？ （1）中国有四大发明. 答：此命题是简单命题，其真值为1. （2）5是无理数. 答：此命题是简单命题，其真值为1. （3）3是素数或4是素数. 答：是命题，但不是简单命题，其真值为1. x+< （4）235 答：不是命题. （5）你去图书馆吗？ 答：不是命题. （6）2与3是偶数. 答：是命题，但不是简单命题，其真值为0. （7）刘红与魏新是同学. 答：此命题是简单命题，其真值还不知道. （8）这朵玫瑰花多美丽呀！ 答：不是命题. （9）吸烟请到吸烟室去！ 答：不是命题. （10）圆的面积等于半径的平方乘以π. 答：此命题是简单命题，其真值为1. （11）只有6是偶数，3才能是2的倍数. 答：是命题，但不是简单命题，其真值为0. （12）8是偶数的充分必要条件是8能被3整除. 答：是命题，但不是简单命题，其真值为0. （13）2008年元旦下大雪. 答：此命题是简单命题，其真值还不知道. 2.将上题中是简单命题的命题符号化. 解:（1）p：中国有四大发明. （2）p:是无理数. （7）p:刘红与魏新是同学. （10）p:圆的面积等于半径的平方乘以π. （13）p:2008年元旦下大雪. 3.写出下列各命题的否定式,并将原命题及其否定式都符号化,最后指出各否定式的真值. （1）5是有理数. 答：否定式：5是无理数.p：5是有理数.q：5是无理数.其否定式q的真值为1.
（2）25不是无理数. 答：否定式：25是有理数. p ：25不是无理数. q ：25是有理数. 其否定式q 的真值为1. （3）2.5是自然数. 答：否定式：2.5不是自然数. p ：2.5是自然数. q ：2.5不是自然数. 其否定式q 的真值为1. （4）ln1是整数. 答：否定式：ln1不是整数. p ：ln1是整数. q ：ln1不是整数. 其否定式q 的真值为1. 4.将下列命题符号化，并指出真值. （1）2与5都是素数 答：p ：2是素数，q ：5是素数，符号化为p q ∧，其真值为1. （2）不但π是无理数，而且自然对数的底e 也是无理数. 答：p ：π是无理数，q ：自然对数的底e 是无理数，符号化为p q ∧，其真值为1. （3）虽然2是最小的素数，但2不是最小的自然数. 答：p ：2是最小的素数，q ：2是最小的自然数，符号化为p q ∧?，其真值为1. （4）3是偶素数. 答：p ：3是素数，q ：3是偶数，符号化为p q ∧，其真值为0. （5）4既不是素数，也不是偶数. 答：p ：4是素数，q ：4是偶数，符号化为p q ?∧?，其真值为0. 5.将下列命题符号化，并指出真值. （1）2或3是偶数. （2）2或4是偶数. （3）3或5是偶数. （4）3不是偶数或4不是偶数. （5）3不是素数或4不是偶数. 答: p ：2是偶数，q ：3是偶数，r :3是素数，s :4是偶数, t :5是偶数 (1) 符号化: p q ∨，其真值为1. (2) 符号化：p r ∨，其真值为1. (3) 符号化：r t ∨，其真值为0. (4) 符号化：q s ?∨?，其真值为1. (5) 符号化：r s ?∨?，其真值为0. 6.将下列命题符号化. （1）小丽只能从筐里拿一个苹果或一个梨. 答：p ：小丽从筐里拿一个苹果，q ：小丽从筐里拿一个梨，符号化为: p q ∨. （2）这学期，刘晓月只能选学英语或日语中的一门外语课. 答：p ：刘晓月选学英语，q ：刘晓月选学日语，符号化为: ()()p q p q ?∧∨∧?. 7.设p ：王冬生于1971年，q ：王冬生于1972年，说明命题“王冬生于1971年或1972年”既可以化 答:列出两种符号化的真值表：
屈婉玲版离散数学课后习题答案【1】
第一章部分课后习题参考答案 16 设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。 （1）p∨(q∧r)?0∨(0∧1) ?0 （2）（p?r）∧(﹁q∨s) ?（0?1）∧(1∨1) ?0∧1?0. （3）（?p∧?q∧r）?(p∧q∧﹁r) ?（1∧1∧1）? (0∧0∧0)?0 (4)（?r∧s）→(p∧?q) ?（0∧1）→(1∧0) ?0→0?1 17．判断下面一段论述是否为真：“π是无理数。并且，如果3是无理数，则2也是无理数。另外6能被2整除，6才能被4整除。” 答：p: π是无理数 1 q: 3是无理数0 r: 2是无理数 1 s:6能被2整除 1 t: 6能被4整除0 命题符号化为：p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1，所以这一段的论述为真。19．用真值表判断下列公式的类型： （4）(p→q) →(?q→?p) （5）(p∧r) ?(?p∧?q) （6）((p→q) ∧(q→r)) →(p→r) 答：（4） p q p→q ?q ?p ?q→?p (p→q)→(?q→?p) 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 所以公式类型为永真式//最后一列全为1 （5）公式类型为可满足式（方法如上例）//最后一列至少有一个1 （6）公式类型为永真式（方法如上例）// 第二章部分课后习题参考答案 3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值.
(1) ?(p∧q→q) (2)(p→(p∨q))∨(p→r) (3)(p∨q)→(p∧r) 答：(2)（p→(p∨q)）∨(p→r)?(?p∨(p∨q))∨(?p∨r)??p∨p∨q∨r?1所以公式类型为永真式 (3)P q r p∨q p∧r （p∨q）→(p∧r) 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 所以公式类型为可满足式 4.用等值演算法证明下面等值式： (2)(p→q)∧(p→r)?(p→(q∧r)) (4)(p∧?q)∨(?p∧q)?(p∨q) ∧?(p∧q) 证明（2）(p→q)∧(p→r) ? (?p∨q)∧(?p∨r) ??p∨(q∧r)) ?p→(q∧r) （4）(p∧?q)∨(?p∧q)?(p∨(?p∧q)) ∧(?q∨(?p∧q) ?(p∨?p)∧(p∨q)∧(?q∨?p) ∧(?q∨q) ?1∧(p∨q)∧?(p∧q)∧1 ?(p∨q)∧?(p∧q) 5.求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值 (1)(?p→q)→(?q∨p) (2)?(p→q)∧q∧r (3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r) 解： （1）主析取范式 (?p→q)→(?q∨p)
离散数学课后习题答案(左孝凌版)
离散数学课后习题答案(左孝凌版) 1-1，1-2解： a)是命题，真值为T。 b)不是命题。 c)是命题，真值要根据具体情况确定。 d)不是命题。 e)是命题，真值为T。 f)是命题，真值为T。 g)是命题，真值为F。 h)不是命题。 i)不是命题。 （2）解： 原子命题：我爱北京天安门。 复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。 （3）解： a)(┓P ∧R)→Q b)Q→R c)┓P d)P→┓Q （4）解： a)设Q:我将去参加舞会。R:我有时间。P:天下雨。 Q (R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。 b)设R:我在看电视。Q:我在吃苹果。
R∧Q:我在看电视边吃苹果。 c) 设Q:一个数是奇数。R:一个数不能被2除。 （Q→R）∧(R→Q):一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。 (5) 解： a)设P：王强身体很好。Q：王强成绩很好。P∧Q b)设P：小李看书。Q：小李听音乐。P∧Q c)设P：气候很好。Q：气候很热。P∨Q d)设P： a和b是偶数。Q：a+b是偶数。P→Q e)设P：四边形ABCD是平行四边形。Q ：四边形ABCD的对边平行。P Q f)设P：语法错误。Q：程序错误。R：停机。（P∨ Q）→ R (6) 解： a)P:天气炎热。Q:正在下雨。 P∧Q b)P:天气炎热。R:湿度较低。 P∧R c)R:天正在下雨。S:湿度很高。 R∨S d)A:刘英上山。B:李进上山。 A∧B e)M:老王是革新者。N:小李是革新者。 M∨N f)L:你看电影。M:我看电影。┓L→┓M g)P:我不看电视。Q:我不外出。 R:我在睡觉。 P∧Q∧R h)P:控制台打字机作输入设备。Q:控制台打字机作输出设备。P∧Q 1-3 （1）解：
离散数学课后答案
离散数学课后答案 习题一 6.将下列命题符号化。 （1）小丽只能从框里那一个苹果或一个梨. （2）这学期，刘晓月只能选学英语或日语中的一门外语课. 答： （1）（p Λ?q ）ν（?pΛq）其中p:小丽拿一个苹果，q:小丽拿一个梨（2）（p Λ?q ）ν（?pΛq）其中p:刘晓月选学英语，q:刘晓月选学日语 14.将下列命题符号化. (1) 刘晓月跑得快, 跳得高. (2)老王是山东人或河北人. (3)因为天气冷, 所以我穿了羽绒服. (4)王欢与李乐组成一个小组. (5)李辛与李末是兄弟. (6)王强与刘威都学过法语. (7)他一面吃饭, 一面听音乐. (8)如果天下大雨, 他就乘班车上班. (9)只有天下大雨, 他才乘班车上班. (10)除非天下大雨, 他才乘班车上班. (11)下雪路滑, 他迟到了. (12)2与4都是素数, 这是不对的. (13)“2或4是素数, 这是不对的”是不对的. 答： (1)p∧q, 其中, p: 刘晓月跑得快, q: 刘晓月跳得高. (2)p∨q, 其中, p: 老王是山东人, q: 老王是河北人. (3)p→q, 其中, p: 天气冷, q: 我穿了羽绒服. (4)p, 其中, p: 王欢与李乐组成一个小组, 是简单命题. (5)p, 其中, p: 李辛与李末是兄弟. (6)p∧q, 其中, p: 王强学过法语, q: 刘威学过法语. (7)p∧q, 其中, p: 他吃饭, q: 他听音乐. (8)p→q, 其中, p: 天下大雨, q: 他乘班车上班. (9)p→q, 其中, p: 他乘班车上班, q: 天下大雨. (10)p→q, 其中, p: 他乘班车上班, q: 天下大雨. (11)p→q, 其中, p: 下雪路滑, q: 他迟到了. (12) ? (p∧q)或?p∨?q, 其中, p: 2是素数, q: 4是素数. (13) ? ? (p∨q)或p∨q, 其中, p: 2是素数, q: 4是素数. 16. 19.用真值表判断下列公式的类型: (1)p→ (p∨q∨r) (2)(p→?q) →?q
离散数学第四版课后标准答案
离散数学第四版课后答案 第1章习题解答 1．1 除（3），（4），（5），（11）外全是命题，其中，（1），（2），（8），（9）， （10），（14），（15）是简单命题，（6），（7），（12），（13）是复合命题。 分析首先应注意到，命题是陈述句，因而不是陈述句的句子都不是命题。 本题中，（3）为疑问句，（5）为感叹句，（11）为祈使句，它们都不是陈述句，所以它们都不是命题。 其次，4）这个句子是陈述句，但它表示的判断结果是不确定。又因为（1），（2），（8），（9），（10），（14），（15）都是简单的陈述句，因而作为命题，它们都是简单命题。（6）和（7）各为由联结词“当且仅当”联结起来的复合命题，（12）是由联结词“或”联结的复合命题，而（13）是由联结词“且”联结起来的复合命题。这里的“且”为“合取”联结词。在日常生活中，合取联结词有许多表述法，例如，“虽然……，但是……”、“不仅……，而且……”、“一面……，一面……”、“……和……”、“……与……”等。但要注意，有时“和”或“与” 联结的是主语，构成简单命题。例如，（14）、（15）中的“与”与“和”是联结的主语，这两个命题均为简单命题，而不是复合命题，希望读者在遇到“和”或“与”出现的命题时，要根据命题所陈述的含义加以区分。 1．2 （1）p: 2是无理数，p为真命题。 （2）p:5能被2整除，p为假命题。 （6）p→q。其中，p:2是素数，q：三角形有三条边。由于p与q都是真 命题，因而p→q为假命题。 （7）p→q，其中，p：雪是黑色的，q：太阳从东方升起。由于p为假命
题，q为真命题，因而p→q为假命题。 （8）p:2000年10月1日天气晴好，今日（1999年2月13日）我们还不 知道p的真假，但p的真值是确定的（客观存在的），只是现在不知道而已。（9）p：太阳系外的星球上的生物。它的真值情况而定，是确定的。 1 （10）p：小李在宿舍里. p的真值则具体情况而定，是确定的。 （12）p∨q，其中，p:4是偶数，q:4是奇数。由于q是假命题，所以，q 为假命题，p∨q为真命题。 （13）p∨q，其中，p:4是偶数，q:4是奇数，由于q是假命题，所以，p∨q 为假命题。 （14）p：李明与王华是同学，真值由具体情况而定（是确定的）。 （15）p：蓝色和黄色可以调配成绿色。这是真命题。 分析命题的真值是唯一确定的，有些命题的真值我们立即可知，有些则不能马上知道，但它们的真值不会变化，是客观存在的。 1．3 令p:2+2=4,q:3+3=6,则以下命题分别符号化为 （1）p→q （2）p→?q （3）?p→q （4）?p→?q
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离散数学习题答案 习题一及答案：（P14-15） 14、将下列命题符号化： （5）李辛与李末是兄弟 解：设p ：李辛与李末是兄弟，则命题符号化的结果是p （6）王强与刘威都学过法语 解：设p ：王强学过法语；q ：刘威学过法语；则命题符号化的结果是 p q ∧ （9）只有天下大雨，他才乘班车上班 解：设p ：天下大雨；q ：他乘班车上班；则命题符号化的结果是q p → （11）下雪路滑，他迟到了 解：设p ：下雪；q ：路滑；r ：他迟到了；则命题符号化的结果是()p q r ∧→ 15、设p ：2+3=5. q ：大熊猫产在中国. r ：太阳从西方升起. 求下列复合命题的真值： （4）()(())p q r p q r ∧∧???∨?→ 解：p=1，q=1，r=0， ()(110)1p q r ∧∧??∧∧??， (())((11)0)(00)1p q r ?∨?→??∨?→?→? ()(())111p q r p q r ∴∧∧???∨?→??? 19、用真值表判断下列公式的类型： （2）()p p q →?→? 解：列出公式的真值表，如下所示： 20、求下列公式的成真赋值：
（4）()p q q ?∨→ 解：因为该公式是一个蕴含式，所以首先分析它的成假赋值，成假赋值的条件是： ()10p q q ?∨??????00 p q ????? 所以公式的成真赋值有：01，10，11。 习题二及答案：（P38） 5、求下列公式的主析取范式，并求成真赋值： （2）()()p q q r ?→∧∧ 解：原式()p q q r ?∨∧∧q r ?∧()p p q r ??∨∧∧ ()()p q r p q r ??∧∧∨∧∧37m m ?∨，此即公式的主析取范式， 所以成真赋值为011，111。 6、求下列公式的主合取范式，并求成假赋值： （2）()()p q p r ∧∨?∨ 解：原式()()p p r p q r ?∨?∨∧?∨∨()p q r ??∨∨4M ?，此即公式的主合取范式， 所以成假赋值为100。 7、求下列公式的主析取范式，再用主析取范式求主合取范式： （1）()p q r ∧∨ 解：原式()(()())p q r r p p q q r ?∧∧?∨∨?∨∧?∨∧ ()()()()()()p q r p q r p q r p q r p q r p q r ?∧∧?∨∧∧∨?∧?∧∨?∧∧∨∧?∧∨∧∧ ()()()()()p q r p q r p q r p q r p q r ??∧?∧∨?∧∧∨∧?∧∨∧∧?∨∧∧ 13567m m m m m ?∨∨∨∨，此即主析取范式。 主析取范式中没出现的极小项为0m ，2m ，4m ，所以主合取范式中含有三个极大项0M ，2M ，4M ，故原式的主合取范式024M M M ?∧∧。 9、用真值表法求下面公式的主析取范式：
离散数学答案 屈婉玲版 第二版 高等教育出版社课后答案
离散数学答案屈婉玲版 第二版高等教育出版社课后答案 第一章部分课后习题参考答案 16 设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。 （1）p∨(q∧r)?0∨(0∧1) ?0 （2）（p?r）∧(﹁q∨s) ?（0?1）∧(1∨1) ?0∧1?0. （3）（?p∧?q∧r）?(p∧q∧﹁r) ?（1∧1∧1）? (0∧0∧0)?0 (4)（?r∧s）→(p∧?q) ?（0∧1）→(1∧0) ?0→0?1 17．判断下面一段论述是否为真：“π是无理数。并且，如果3是无理数，则2也是无理数。另外6能被2整除，6才能被4整除。” 答：p: π是无理数 1 q: 3是无理数0 r: 2是无理数 1 s:6能被2整除 1 t: 6能被4整除0 命题符号化为：p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1，所以这一段的论述为真。19．用真值表判断下列公式的类型： （4）(p→q) →(?q→?p) （5）(p∧r) ?(?p∧?q) （6）((p→q) ∧(q→r)) →(p→r) 答：（4） p q p→q ?q ?p ?q→?p (p→q)→(?q→?p) 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 所以公式类型为永真式 （5）公式类型为可满足式（方法如上例） （6）公式类型为永真式（方法如上例） 第二章部分课后习题参考答案
3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值. (1) ?(p∧q→q) (2)(p→(p∨q))∨(p→r) (3)(p∨q)→(p∧r) 答：(2)（p→(p∨q)）∨(p→r)?(?p∨(p∨q))∨(?p∨r)??p∨p∨q∨r?1所以公式类型为永真式 (3)P q r p∨q p∧r （p∨q）→(p∧r) 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 所以公式类型为可满足式 4.用等值演算法证明下面等值式： (2)(p→q)∧(p→r)?(p→(q∧r)) (4)(p∧?q)∨(?p∧q)?(p∨q) ∧?(p∧q) 证明（2）(p→q)∧(p→r) ? (?p∨q)∧(?p∨r) ??p∨(q∧r)) ?p→(q∧r) （4）(p∧?q)∨(?p∧q)?(p∨(?p∧q)) ∧(?q∨(?p∧q) ?(p∨?p)∧(p∨q)∧(?q∨?p) ∧(?q∨q) ?1∧(p∨q)∧?(p∧q)∧1 ?(p∨q)∧?(p∧q) 5.求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值 (1)(?p→q)→(?q∨p) (2)?(p→q)∧q∧r (3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r)
离散数学最全课后答案(屈婉玲版)
1.1．略 1.2．略 1.3．略 1.4．略 1.5．略 1.6．略 1.7．略 1.8．略 1.9．略 1.10．略 1.11．略 1.12．将下列, 并给出各命题的: (1)2+2＝4 当且仅 当3+3＝6. (2)2+2＝4 的充要 条件是3+3 6. (3)2+2 4 与3+3 ＝6 互为充要条件. (4)若2+24, 则 3+36, 反之亦然. (1)p q, 其中, p: 2+2＝4, q: 3+3＝6, 真值为1. (2)p q,
其中, p: 2+2＝4, q: 3+3＝6, 真值为0. (3) p q, 其中, p: 2+2＝4, q: 3+3＝6, 真值为0. (4) p q, 其中, p: 2+2＝4, q: 3+3＝6, 真值为1. 1.13．将下列命题符号化, 并给出各命题的真值:(1)若今天是星期一, 则明天是星期二. (2)只有今天是星期一, 明天才是星期二. (3)今天是星期一当且仅当明天是星期二. (4)若今天是星期一, 则明天是星期三. 令p: 今天是星期一; q: 明天是星期二; r: 明天是星期三. (1) p q 1. (2) q p 1. (3) p q 1.
(4) p r 当p 0 时为真; p 1 时为假. 1.14．将下 列 . (1) 刘 晓月跑得快, 跳得高. (2) 老王是山东 人或河北人. (3)因为天气冷, 所以我穿了羽 绒服. (4)王欢与李乐组成一个 小组. (5)李辛与李末是兄弟. (6)王强与刘威都学 过法语. (7)他一面 吃饭, 一面听音乐. (8)如果天下大雨, 他就乘班车上班. (9)只有天下大雨, 他才乘班车上班. (10)除非天下大雨, 他才乘班车上班. (11)下雪路滑, 他 迟到了. (12)2 与4 都是素数, 这是不对的. (13)“2或4 是素数, 这是不对的”是不对的.
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离散数学习题答案 习题一及答案：（P14-15） 14、将下列命题符号化： （5）李辛与李末是兄弟 解：设p ：李辛与李末是兄弟，则命题符号化的结果是p （6）王强与刘威都学过法语 解：设p ：王强学过法语；q ：刘威学过法语；则命题符号化的结果是 p q ∧ （9）只有天下大雨，他才乘班车上班 解：设p ：天下大雨；q ：他乘班车上班；则命题符号化的结果是q p → （11）下雪路滑，他迟到了 解：设p ：下雪；q ：路滑；r ：他迟到了；则命题符号化的结果是()p q r ∧→ 15、设p ：2+3=5. q ：大熊猫产在中国. r ：太阳从西方升起. 求下列复合命题的真值： （4）()(())p q r p q r ∧∧???∨?→ 解：p=1，q=1，r=0， ()(110)1p q r ∧∧??∧∧??， (())((11)0)(00)1p q r ?∨?→??∨?→?→? ()(())111p q r p q r ∴∧∧???∨?→??? 19、用真值表判断下列公式的类型： （2）()p p q →?→? 解：列出公式的真值表，如下所示： p q p ? q ? ()p p →? ()p p q →?→? 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 由真值表可以看出公式有3个成真赋值，故公式是非重言式的可满足式。 20、求下列公式的成真赋值：
离散数学课后习题答案_(左孝
证明 设A 上定义的二元关系R 为： ＜＜x,y ＞, ＜u,v ＞＞∈R ?x y =u v ① 对任意＜x,y ＞∈A ，因为x y =x y ，所以 ＜＜x,y ＞, ＜x,y ＞＞∈R 即R 是自反的。 ② 设＜x,y ＞∈A ，＜u,v ＞∈A ，若 ＜＜x,y ＞, ＜u,v ＞＞∈R ?x y =u v ?u v =x y ?＜＜u,v ＞,＜x,y ＞＞∈R 即R 是对称的。 ③ 设任意＜x,y ＞∈A ，＜u,v ＞∈A ，＜w,s ＞∈A ，对 ＜＜x,y ＞, ＜u,v ＞＞∈R ∧＜＜u,v ＞, ＜w,s ＞＞∈R ?（x y =u v ）∧（u v =w s ）?x y =w s ?＜＜x,y ＞, ＜w,s ＞＞∈R 故R 是传递的，于是R 是A 上的等价关系。
3-10.6 设R是集合A 上的对称和传递关系，证明如果对于A中的每一个元素a,在A中同时也存在b，使
离散数学课后习题答案二
习题3.7 1. 列出关系}6|{=???∈><+ d c b a d c b a d c b a 且，，，，，，Z 中所有有序4元组。 解 }6|{=???∈><+ d c b a d c b a d c b a 且，，，，，，Z ,2,1,3,1,3,1,2,1,2,3,1,1,3,2,1,1,1,1,1,6,1,1,6,1,1,6,1,1,6,1,1,1{><><><><><><><><= ><><><><><><><><2,1,1,3,3,1,1,2,1,2,1,3,1,3,1,2,1,1,2,3,1,1,3,2,1,2,3,1,1,3,2,1 2. 列出二维表 3.18所表示的多元关系中所有5元组。假设不增加新的5元组，找出二维表3.18所有的主键码。 表3.18 航班信息 航空公司 航班 登机口 目的地 起飞时间 Nadir 112 34 底特律 08:10 Acme 221 22 丹佛 08:17 Acme 122 33 安克雷奇 08:22 Acme 323 34 檀香山 08:30 Nadir 199 13 底特律 08:47 Acme 222 22 丹佛 09:10 Nadir 322 34 底特律 09:44 解 略 3. 当施用投影运算5,3,2π到有序5元组> 1-1，1-2 （1）解： a)是命题，真值为T。 b)不是命题。 c)是命题，真值要根据具体情况确定。 d)不是命题。 e)是命题，真值为T。 f)是命题，真值为T。 g)是命题，真值为F。 h)不是命题。 i)不是命题。 （2）解： 原子命题：我爱北京天安门。 复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。 （3）解： a)(┓P ∧R)→Q b)Q→R c)┓P d)P→┓Q （4）解： a)设Q:我将去参加舞会。R:我有时间。P:天下雨。 Q (R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。 b)设R:我在看电视。Q:我在吃苹果。 R∧Q:我在看电视边吃苹果。 c) 设Q:一个数是奇数。R:一个数不能被2除。 （Q→R）∧(R→Q):一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。 (5) 解： a)设P：王强身体很好。Q：王强成绩很好。P ∧Q b)设P：小李看书。Q：小李听音乐。P∧Q c)设P：气候很好。Q：气候很热。P∨Q d)设P： a和b是偶数。Q：a+b是偶数。P →Q e)设P：四边形ABCD是平行四边形。Q ：四 边形ABCD的对边平行。P Q f)设P：语法错误。Q：程序错误。R：停机。 （P∨ Q）→ R (6) 解： a)P:天气炎热。Q:正在下雨。 P∧Q b)P:天气炎热。R:湿度较低。 P∧R c)R:天正在下雨。S:湿度很高。 R∨S d)A:刘英上山。B:李进上山。 A∧B e)M:老王是革新者。N:小李是革新者。 M∨ N f)L:你看电影。M:我看电影。┓L→┓M g)P:我不看电视。Q:我不外出。 R:我在睡觉。 P∧Q∧R h)P:控制台打字机作输入设备。Q:控制台打 字机作输出设备。P∧Q 1-3 （1）解： a)不是合式公式，没有规定运算符次序（若 规定运算符次序后亦可作为合式公式） b)是合式公式 c)不是合式公式（括弧不配对） d)不是合式公式（R和S之间缺少联结词） e)是合式公式。 （2）解： 习题 1-5 （1）证明： a)(P∧(P→Q))→Q (P∧(┐P∨Q))→Q (P∧┐P)∨(P∧Q)→Q (P∧Q)→Q ┐(P∧Q)∨Q ┐P∨┐Q∨Q ┐P∨T T b)┐P→(P→Q) P∨(┐P∨Q) (P∨┐P)∨Q T∨Q T c)((P→Q)∧(Q→R))→(P→R) 因为(P→Q)∧(Q→R)(P→R) 所以(P→Q)∧(Q→R)为重言式。 d)((a∧b)∨(b∧c) ∨(c∧a))(a∨b)∧(b∨c)∧(c∨a) 因为((a∧b)∨(b∧c)∨(c∧a)) ((a∨c)∧b)∨(c∧a) ((a∨c)∨(c∧a))∧(b∨(c∧a)) (a∨c)∧(b∨c)∧(b∨a) 所以((a∧b)∨(b∧c) ∨(c∧a))(a∨b)∧(b∨c)∧(c∨a)为重言式。 （2）证明： a)(P→Q)P→(P∧Q) 解法1： 设P→Q为T （1）若P为T，则Q为T，所以P∧Q为T，故P→(P∧Q)为T （2）若P为F，则Q为F，所以P∧Q为F，P→(P∧Q)为T 命题得证 解法2： 设P→(P∧Q)为F ，则P为T，(P∧Q)为F ，故必有P为T，Q为F ，所以P→Q为F。 解法3： (P→Q) →(P→(P∧Q)) ┐(┐P∨Q)∨(┐P∨(P∧Q)) ┐(┐P∨Q)∨((┐P∨P)∧(┐P∨Q)) T 所以(P→Q)P→(P∧Q) b)(P→Q)→Q P∨Q 设P∨Q为F，则P为F，且Q为F， 故P→Q为T，(P→Q)→Q为F， 所以(P→Q)→Q P∨Q。 c)(Q→(P∧┐P))→(R→(R→(P∧┐P)))R→Q 设R→Q为F，则R为T，且Q为F，又P∧┐P为F 所以Q→(P∧┐P)为T，R→(P∧┐P)为F 所以R→(R→(P∧┐P))为F，所以(Q→(P∧┐P))→(R→(R→(P∧┐P)))为F 即(Q→(P∧┐P))→(R→(R→(P∧┐P)))R→Q成立。 （3）解： a) P→Q表示命题“如果8是偶数，那么糖果是甜的”。 b)a)的逆换式Q→P表示命题“如果糖果是甜的，那么8是偶数”。 c)a)的反换式┐P→┐Q表示命题“如果8不是偶数，那么糖果不是甜的”。 d)a)的逆反式┐Q→┐P表示命题“如果糖果不是甜的，那么8不是偶数”。（4）解： a)如果天下雨，我不去。 设P：天下雨。Q：我不去。P→Q 逆换式Q→P表示命题:如果我不去，则天下雨。 逆反式┐Q→┐P表示命题:如果我去，则天不下雨 b)仅当你走我将留下。 设S：你走了。R：我将留下。R→S 逆换式S→R表示命题：如果你走了则我将留下。 逆反式┐S→┐R表示命题：如果你不走，则我不留下。 c)如果我不能获得更多帮助，我不能完成个任务。 设E：我不能获得更多帮助。H：我不能完成这个任务。E→H 逆换式H→E表示命题：我不能完成这个任务，则我不能获得更多帮助。 逆反式┐H→┐E表示命题：我完成这个任务，则我能获得更多帮助（5）试证明P Q，Q逻辑蕴含P。 证明：解法1： 本题要求证明(P Q) ∧Q P, 设(P Q) ∧Q为T，则(P Q)为T，Q为T ，故由的定义，必有P为T。 所以(P Q) ∧Q P 解法2： 由体题可知，即证((P Q)∧Q)→P是永真式。 ((P Q)∧Q)→P (((P∧Q) ∨(┐P∧┐Q)) ∧Q)→P (┐((P∧Q) ∨(┐P∧┐Q)) ∨┐Q) ∨P (((┐P∨┐Q) ∧(P∨Q)) ∨┐Q) ∨P ((┐Q∨┐P∨┐Q) ∧(┐Q∨P∨Q)) ∨P ((┐Q∨┐P) ∧T) ∨P ┐Q∨┐P∨P 第四章部分课后习题参考答案 3. 在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命题的真值: (1) 对于任意x,均有2=(x+)(x). (2) 存在x,使得x+5=9. 其中(a)个体域为自然数集合. (b)个体域为实数集合. 解： F(x): 2=(x+)(x). G(x): x+5=9. (1)在两个个体域中都解释为)(x ?，在（a）中为假命题， xF 在(b)中为真命题。 (2)在两个个体域中都解释为)(x ?，在（a）(b)中均为真命 xG 题。 4. 在一阶逻辑中将下列命题符号化: (1) 没有不能表示成分数的有理数. (2) 在北京卖菜的人不全是外地人. 解: (1)F(x): x能表示成分数 H(x): x是有理数 命题符号化为: )) F x∧ x ?? ? ) ( H ( (x (2)F(x): x是北京卖菜的人 H(x): x是外地人 命题符号化为: )) F ?? x x→ (x ( H ) ( 5. 在一阶逻辑将下列命题符号化: (1) 火车都比轮船快. (3) 不存在比所有火车都快的汽车. 解: (1)F(x): x是火车; G(x): x是轮船; H(x,y): x比y快 命题符号化为: )) F y x G ? y ? ∧ x→ ((y ( )) ( H ) x , ( (2) (1)F(x): x是火车; G(x): x是汽车; H(x,y): x比y 快 命题符号化为: ))) x F x y y→ ?? ∧ ? H G ) ( , x ( ( ( (y ) 9.给定解释I如下: (a) 个体域D为实数集合R. (b) D中特定元素=0. (c) 特定函数(x,y)=x y,x,y D ∈. (d) 特定谓词(x,y):x=y,(x,y):x 离散数学~ 习题1.1 1.下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？如果是命题，指出它的真值。 ⑴中国有四大发明。 ⑵计算机有空吗? ⑶不存在最大素数。 ⑷21+3＜5。 ⑸老王是山东人或河北人。 ⑹2与3都是偶数。 ⑺小李在宿舍里。 ⑻这朵玫瑰花多美丽呀! ⑼请勿随地吐痰! ⑽圆的面积等于半径的平方乘以 。 ⑾只有6是偶数，3才能是2的倍数。 ⑿雪是黑色的当且仅当太阳从东方升起。 ⒀如果天下大雨，他就乘班车上班。 解：⑴⑶⑷⑸⑹⑺⑽⑾⑿⒀是命题，其中⑴⑶⑽⑾是真命题，⑷⑹⑿是假命题，⑸⑺⒀的真值目前无法确定；⑵⑻⑼不是命题。 2. 将下列复合命题分成若干原子命题。 ⑴李辛与李末是兄弟。 ⑵因为天气冷，所以我穿了羽绒服。 ⑶天正在下雨或湿度很高。 ⑷刘英与李进上山。 ⑸王强与刘威都学过法语。 ⑹如果你不看电影，那么我也不看电影。 ⑺我既不看电视也不外出，我在睡觉。 ⑻除非天下大雨，否则他不乘班车上班。 解：⑴本命题为原子命题； ⑵p：天气冷；q：我穿羽绒服； ⑶p：天在下雨；q：湿度很高； ⑷p：刘英上山；q：李进上山； ⑸p：王强学过法语；q：刘威学过法语； ⑹p：你看电影；q：我看电影； ⑺p：我看电视；q：我外出；r：我睡觉； ⑻p：天下大雨；q：他乘班车上班。 3. 将下列命题符号化。 ⑴他一面吃饭，一面听音乐。 ⑵3是素数或2是素数。 ⑶若地球上没有树木，则人类不能生存。 ⑷8是偶数的充分必要条件是8能被3整除。 ⑸停机的原因在于语法错误或程序错误。 ⑹四边形ABCD是平行四边形当且仅当它的对边平行。 ⑺如果a和b是偶数，则a+b是偶数。 解：⑴p：他吃饭；q：他听音乐；原命题符号化为：p∧q ⑵p：3是素数；q：2是素数；原命题符号化为：p∨q ⑶p：地球上有树木；q：人类能生存；原命题符号化为：?p→?q ⑷p：8是偶数；q：8能被3整除；原命题符号化为：p?q ⑸p：停机；q：语法错误；r：程序错误；原命题符号化为：q∨r→p ⑹p：四边形ABCD是平行四边形；q：四边形ABCD的对边平行；原命题符号化为：p?q。 ⑺p：a是偶数；q：b是偶数；r：a+b是偶数；原命题符号化为：p∧q→r 4. 将下列命题符号化，并指出各复合命题的真值。 ⑴如果3+3=6，则雪是白的。 ⑵如果3+3≠6，则雪是白的。 ⑶如果3+3=6，则雪不是白的。 ⑷如果3+3≠6，则雪不是白的。 ⑸3是无理数当且仅当加拿大位于亚洲。 ⑹2+3=5的充要条件是3是无理数。(假定是10进制) ⑺若两圆O1，O2的面积相等，则它们的半径相等，反之亦然。 ⑻当王小红心情愉快时，她就唱歌，反之，当她唱歌时，一定心情愉快。 解：设p：3＋3＝6。q：雪是白的。 ⑴原命题符号化为：p→q；该命题是真命题。 ⑵原命题符号化为：?p→q；该命题是真命题。 ⑶原命题符号化为：p→?q；该命题是假命题。 ⑷原命题符号化为：?p→?q；该命题是真命题。 ⑸p：3是无理数；q：加拿大位于亚洲；原命题符号化为：p?q；该命题是假命题。 ⑹p：2+3＝5；q：3是无理数；原命题符号化为：p?q；该命题是真命题。 ⑺p：两圆O1,O2的面积相等；q：两圆O1,O2的半径相等；原命题符号化为：p?q；该命题是真命题。 ⑻p：王小红心情愉快；q：王小红唱歌；原命题符号化为：p?q；该命题是真命题。离散数学课后习题答案
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