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八年级数学第17届“希望杯”第2试试题

八年级数学第17届“希望杯”第2试试题

一、选择题(每小题4分,共40分.)以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将表示正确答案的英文字母填在每题后面的圆括号内.

1.下列四组根式中,是同类二次根式的一组是( )

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2.要使代数式有意义,那么实数x的取值范围是( )

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3.以线段a=13,b=13,c=10,d=6为边作梯形,其中a,c为梯形的两底,这样的梯形( ) (A)能作一个. (B)能作两个. (C)能作无数个. (D)一个也不能作.

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(英汉词典:Fig.figure的缩写,图;quadrilateral四边形;diagonal对角线;value 数值;variable变量;to depend on取决于;position位置)

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(A)是完全平方数,还是奇数. (B)是完全平方数,还是偶数.

(C)不是完全平方数,但是奇数. (D)不是完全平方数,但是偶数.

6.将任意一张凸四边形的纸片对折,使它的两个不相邻的顶点重合,然后剪去纸片的不重合部分,展开纸片,再一次对折,使另外的两个顶点重合,再剪去不重合的部分后展开,此时纸片的形状是( )

(A)正方形. (B)长方形. (C)菱形. (D)等腰梯形.

7.若a,b,c都是大于l的自然数,且c a=252b,则n的最小值是( )

(A)42. (B)24. (C)21 (D)15

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(英汉词典:two-placed number两位数;number数,个数;to satisfy满足;complete square 完全平方(数);total总的,总数)

9.下表是某电台本星期的流行歌曲排行榜,其中歌曲J是新上榜的歌曲,箭头“↑”或“↓”分别表示该歌曲相对于上星期名次的变化情况,“↑”表示上升,“↓”表示下降,不标注的则表明名次没有变化,已知每首歌的名次变化都不超过两位,则上星期排在第1,

5,7名的歌曲分别是( )

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(A)D ,E ,H . (B)C ,F ,I . (C)C ,E ,I . (D)C ,F ,H .

10.设n(n ≥2)个正整数1a ,2a ,…,n a ,任意改变它们的顺序后,记作1b ,2b ,…,n b ,若P=(1a -1b )(2a -2b )(33b a -)…(n a 一n b ),则( )

(A)P 一定是奇数. (B)P 一定是偶数.

(C)当n 是奇数时,P 是偶数. (D)当”是偶数时,P 是奇数. 二、填空题(每小题4分,共40分.)

11.消防云梯的长度是34米,在一次执行任务时,它只能停在离大楼16米远的地方,则云梯能达到大楼的高度是______米.

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15.从凸n 边形的一个顶点引出的所有对角线把这个凸n 边形分成了m 个小三角形,若m 等于这个凸n 边形对角线条数的

9

4

,那么此n 边形的内角和为_____. 16.某种球形病毒,直径是0.01纳米,每一个病毒每过一分钟就能繁殖出9个与自己同样的病毒,假如这种病毒在人体中聚集到一定数量,按这样的数量排列成一串,长度达到1分米时,人就会感到不适,那么人从感染第一个病毒后,经过_______分钟,就会感到不适.(1米=109

纳米)

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19.如图2,等腰△ABC 中,AB=AC ,P 点在BC 边上的高AD 上,且

2

1

=PD AP , BP 的延长线交AC 于E ,若ABC S ?=10,则ABE S ?=______,DEC S ?=_______.

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20.一个圆周上依次放有1,2,3,…,20共20个号码牌,随意选定一个号码牌(如8),从它开始,先把它拿掉,然后每隔一个拿掉一个(如依次拿掉8,10,12,…),并一直循环下去,直到剩余两个号码牌时停止,则最后剩余的两个号码的差的绝对值是______或_______.

三、解答题(本大题共3小题,共40分.) 要求:写出推算过程. 21.(本小题满分10分) 如图3,正方形ABCD 的边长为a ,点E 、F 、G 、H 分别在正方形的四条边上,已知EF ∥GH .EF=GH . (1)若AE=AH=

a 3

1

,求四边形EFGH 的周长和面积; (2)求四边形EFGH 的周长的最小值.

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22.(本小题满分15分)

已知A 港在B 港的上游,小船于凌晨3:00从A 港出发开往B 港,到达后立即返回,来回穿梭于A 、B 港之间,若小船在静水中的速度为16千米/小时,水流速度为4千米/小时,在当晚23:OO 时,有人看见小船在距离A 港80千米处行驶.求A 、B 两个港口之间的距离.

23.(本小题满分15分) 在2,3两个数之间,第一次写上

51

3

2=+,第二次在2,5之间和5,3之间分别写上27252=+和42

3

5=+,如下所示:

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第k 次操作是在上一次操作的基础上,在每两个相邻的数之间写上这两个数的和的k

1. (1)请写出第3次操作后所得到的9个数,并求出它们的和;

(2)经过k 次操作后所有数的和记为k S ,第k+1次操作后所有数的和记为1+k S ,写出1+k S 与k S 之间的关系式; (3)求6S 的值.

第十七届“希望杯”全国数学邀请赛

参考答案及评分标准

初中二年级 第2试 一.选择题(每小题4分)

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二.填空题(每小题4分)

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三、解答题

21.(1)如图1,连结HF .由题知四边形EFGH 是平行四 边形,所以

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所以

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所以

(3分)

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所以△AHE 和△DHG 都是等腰直角三角形,故∠EHG=0

90,四边形EFGH 是矩形.

易求得

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所以四边形EFGH 的周长 为2a 2,面积为

2

9

4a .(5分)

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(2)如图2,作点H 关于AB 边的对称点H ',连结H F ',交AB 于E ',连结 E 'H .显然,点E 选在E '处时.EH+EF 的值最小,最小值等于H F '.

(7分)

仿(1)可知当AE≠AH 时,亦有

(8分)

所以

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因此,四边形EFGH 周长的最小值为2a 2.

(10分) 22.设A 、B 两个港口之间的距离为L ,显然

(1分)

(1)若小船在23:00时正顺流而下,则小船由A 港到达下游80千米处需用

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即19:00时小船在A 港,那么在3:00到19:00的时间段内,小船顺流行驶的路程与逆流行驶的路程相同,而所用的时间与速度成反比,设小船顺流行驶用了t 小时,则逆流行驶用了(16一t)小时,所以

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解得 t=6 (5分) 即顺流行驶了

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由于

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所以A 、B 两个港口之间的距离是120千米.

(7分)

(2)若小船在23:00时正逆流而上,则小船到达A 港需再用

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即小船在

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内顺流行驶的路程与逆流行驶的路程相同,而所用的时间与速度成反比,设小船顺流行驶用了t 小时,则逆流行驶用了

小时,所以

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解得 (12分)

即顺流行驶了

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由于

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所以A 、B 两个港口之间的距离可能是100千米或200千米. (14分)

综上所述,A 、B 两港口之间的距离可能是100千米或120千米或200千米. (15分)

23.(1)第3次操作后所得到的9个数为

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它们的和为

2

55

(4分) (2)由题设知0S =5,则

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(10分)

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(3)因为

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所以

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(15分)