当前位置：文档库 › 高数下第十章复习题

高数下第十章复习题

第十章曲线积分与曲面积分

曲线积分

一、对弧长的曲线积分例1．计算

y x ds e

2, 其中L 为圆周)0(2

22>=+a a y x , 直线x y =及x 轴在第一象限内所围

成的扇形的整个边界。(07)

解：所求积分的曲线可分为三段：线段OA 、弧AB 、线段OB 。线段OA ：y = 0，0 ≤ x ≤ a ，112

='+x y ，102

2-==

??+a

y x e dx e

ds e

；

弧AB ：x =a cos t ，y =a sin t ，4

0π

≤

≤t ，a y x t t ='+'22，

2π

a AB

y x ae adt e ds e

==???

+；

线段OB ：y=x ，2

0a x ≤≤，212

='+x y ，122022

2-==

??+a a

y x e dx e

ds e

。

所以，?+L

y x ds e

2=2)4

2(-+

a e a 。例2．ds y L

2，其中L 为摆线的一拱)sin (t t a x -=，)cos 1(t a y -= （π≤≤t 0）(05)

解:

)cos 1(t a dt dx -=, t a dt

dy sin = 原式=?

+-?-π

sin )cos 1()cos 1(dt t a t a t a =?+-?-π

1cos 21)

cos 1(dt t t a

=dt t a ?

-π

3)cos 1(2=

1283

a 例3．计算?Γ

yzds x 2，其中Γ 为折线ABCD ，这里A , B , C , D 四点的坐标依次为点(0, 0, 0), (0, 0, 2), (1 ,0 , 2),

(1,3,2)；

解：所求积分的曲线可分为三段：线段AB 、线段BC 、线段CD 。

线段AB ：x = 0，y = 0，0 ≤ z ≤ 2，112

2='+'+z z y x ，02=?AB

yzds x ；

线段BC ：y = 0，z = 2，0 ≤ x ≤ 1，1122='+'+x x z y ,

=?BC yzds x

；

线段CD ：x = 1，z = 2，0 ≤ y ≤ 2，1122='+'+y y z x , ??==

0292ydy yzds x BC

；

所以，?Γ

yzds x 2= 9。

二、对坐标的曲线积分曲面积分时候加根号倒

例1．?L

xydx ，其中L 为圆周 (x – a )2 + y 2 = a 2 (a >0)，及x 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按

逆时针方向绕行)；

解：将圆周ABO ：(x – a )2 + y 2 = a 2用参数方程表示：

?=+=t a y t

a a x sin cos （t 从0变到π）； x 轴上的一线段OA 为：y =0，（ x 从0变到2a ）；

则：?L

xydx 0=+=?

?ABO

xydx xydx +

?-+π

)sin (sin )cos (dt t a t a t a a ?+-=π

sin

)cos 1(tdt t a

A x

2a a

y x

o y a a ??--=π

sin cos sin tdt t a tdt a 02

3--

=a π32

a π-

=。

例2．?

+--+L

x dy

y x dx y x 2

)()(，其中L 为圆周x 2 + y 2 = a 2 (按逆时针方向饶行)；

解：积分曲线L 的参数方程为：?

?==t a y t

a x sin cos （t 从0变到2π）；则

?+--+L

y x dy

y x dx y x 2

2)()(dt t a t a t a t a t a t a a

)]cos )(sin cos ()sin )(sin cos [(120

---+=

?π

ππ

220

-=-

=?dt

例3．

?+-Γydz dy dx ,其中Γ为有向闭折线ABCA , 这里A , B , C 三点的坐标依次为点(1, 0, 0),

(0, 1, 0), (0, 0, 1)；

解：由A , B , C 三点的坐标可得有向线段AB , BC , CA 的参数方程及参数t 的变化范围为:

?????==-=01z t

y t x t 由0变到1；?????=-==t z t y x 10 t 由0变到1；???

??-===t z y t x 10 t 由0变到1；则，

+-AB

ydz dy dx =?

?+--1

00dt t dt dt = –2；

?+-BC ydz dy dx =?-+--?10

)1()(0dt t dt dt =?-=-1

2)2(dt t ； ?

+-CA

ydz dy dx =1)(001

=-?+?-?

dt dt dt ；所以，

?+-Γ

ydz dy dx =

。三、两类曲线积分之间的联系

例. 将对坐标的曲线积分?+L

dy y x Q dx y x P ),(),(化成对弧长的曲线积分, 其中L 为:沿上半圆周x 2 + y 2 = 2x 从

点(0, 0)到点(1, 1)。

解：由于L 的方程为?????-==2

x y x

x , x 从0变到1, 则∴--=},21,1{2x x x T 22cos x x -=α,

)1(cos x -=β, 故?+L

dy y x Q dx y x P ),(),(=

?-+-L

ds y x Q x y x P x x )),()1(),(2(

2。

四、格林公式

例1. 利用曲线积分, 求星形线x = a cos 3 t ，y = a sin 3 t 所围成的图形的面积。解：画积分曲线如图，则所求面积为

A =?

-L ydx xdy 21

-??-??=π

202323)]sin (cos 3sin cos sin 3cos [2

1dt t t a t a t t a t a

π20

222cos sin 23tdt t a =

832

a π。例2. 设平面曲线12:2

2=+y x C 取正向，则曲线积分

=+-?

y x ydx

xdy 2

2 。

（06）解：2222 , y x P Q x y x y -==++ 22

22222

(0)()

y x y x P Q x y x y -==+≠+ 。

取1C ：cos , sin , : 02x y θθθπ==→，则

22C xdy ydx x y -+? ＝11222222()C C C xdy ydx xdy ydx xdy ydx

x y x y x y ----++++???

＝1

22C xdy ydx

x y

-+?

＝22

2220cos sin 2cos sin d πθθθπθθ+=+? 。例2﹡. 设平面曲线2)1(:22=+-y x C 取逆时针方向，则曲线积分

=+-?C y x ydx

xdy )(222

解 )

(222y x y P +=, )(222y x x Q +-=. 当x 2+y 2

≠0时y P x Q ??-??0)(2)(22222222222=+--+-=y x y x y x y x . 在L 内作逆时针方向的ε小圆周 l : x =εcos θ, y =εsin θ(0≤θ≤2π), 在以L 和l 为边界的闭区域D ε上利用格林公式得

0)(=??-??=+

???-

+d x d y y

x Q Q d y P d x D l L ε

, 即 ???+=+-=+-

L l

dy Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx .

因此 ??+-=+-l L y x xdy ydx y x xdy ydx )(2)(22222?--=πθεθεθε20222222cos sin d ?-=-=ππθ20

21d 例3. 证明：

=+L

y xdy dx e π

，其中L 是x y x

8422

=+正向一周。(07)

解：因曲线为封闭曲线，P ,Q 满足Green 公式条件，从而直接应用Green 公式有：

原式＝????-=??-??D D

y dxdy ye dxdy y P x Q )21()(

＝????-D D y dxdy ye dxdy 22＝021-??π＝π2 例4.设L 为圆周9)4()1(2

2=-+-y x ，取顺时针方向，则?

=-+-L

dy y x dx x y )3()2(（ B ）（05）

(A) π18；(B) π18-；(C) π36；(D) π36- 例5. 计算曲线积分

()()

?-+-L

x x

dy y e dx y y e

8cos 8sin ，其中L 是由点A （a ，0）到点O （0，0）的

上半圆周 )0,0(22>≥=+a y ax

y x （02）

解：这里()()8cos ,

8sin -=-=y e x Q y y e x P x x

，得到8=??-??y

P x

Q ，由格林公式

????

-???? ????-??=-

+OA D OA

L dxdy y P x Q I 2

08a dxdy D

π=-=?? 例6. 计算曲线积分

++++c

dy y x x dx x y )2()21(22，其中C 是由x y x 222=+的上半圆周由点A

（2，0）到点B （0，0）的弧段。（06）

解：加补直线段BA ，则 AB 与BA 构成封闭曲线的正向，

记其所围成区域为D 。显然， , Q P

x y

???? 在D 内具有一阶连续偏导数，由格林公式有：

22(12)(2)[(22)(21)]2

AB BA

y x dx x x y dy x x dxdy dxdy π

+++++=+-+==

?????

在BA 上，0 , 0y dy ==，因此 22(12)(2)0BA

y x dx x x y dy ++++=?

故

22(12)(2)02

y x dx x x y dy π

++++=

五、曲线积分与路径无关的等价条件例1. 计算曲线积分

()

+--L

dy y x dx y x 22sin )(，其中L 是在圆周22x x y -=上由点O （0，0）

到点A （1，1）的一段弧解：这里()())sin (,

y x x Q y x x P +-=-=，得到y

P x

Q ??=?? ，故积分与路径无关

()

+--L

dy y x dx y x 22sin )(=6

42sin )sin 1(1

210

2-=

+-+??dy y dx x 例 2. 验证

2232(38)(812)y

x y xy dx x x y ye dy ++++在整个xoy 面内为某一函数),(y x u 的全微分，并求出这样一个),(y x u 。（04）

解: 这里2

83xy y x P += ，y

ye y x x Q 1282

++=则

xy x y

1632+=??=x Q ?? 因为

y P ??=

??,所以Qdy Pdx +在整个xoy 面内为某一函数),(y x u 的全微分. 且),(y x u ?

)

,()

0,0(y x Qdy Pdx ??+++=x y

y dy ye y x x dx 0

23)128(0

y y

e ye

y x y x 02

23]12124[-++=1212124223+-++=y y e ye y x y x

例3. 验证下列曲线积分与路径无关，再求积分值

dy xy x dx y xy )4()32(32)

1,2()

0,1(4-++-?

（03）

解： P =2xy -y 4+3, Q =x 2-4xy 3, 显然P 、Q 在整个xOy 面内具有一阶连续偏导数, 并且3

42y x x

Q y P -=??=??,

所以在整个xOy 面内积分与路径无关, 选取路径为从(1, 0)→(1, 2)→(2, 1)的折线, 则

?-++-)

1 ,2()

0 ,1(324)4()32(dy xy x dx y xy ??=++-=10

35)1(2)41(dx x dy y .

例 4. 证明曲线积分?

--+

---

)

,()1,1(1

cos )1cos (sin ππππdy x

x dx x

x x 与路径无

关，并计算积分值（05）

解：因为

x x x y

x Q 1

cos sin ---

=??=??π，所以积分与路径无关。取路径x y =，

得积分=?

+=π

1cos 1sin xdx

例5.已知()()

dy y x x by dx x y axy 22233sin 1cos +++-为某二元函数的全微分，则a 和b 的值分别为 ( C ). （02）

(A) –2和2

(B) –3和3 (C)2和–2 (D) 3和–3

例6．设),(y x F 可微，如果?

ydy xdx y x F ))(,(与路径无关，则),(y x F 应满足的条件为（D ）；（04）

(A)

),(),(y x xF y x yF x y =；(B)),(),(y x F y x F y x =；(C)),(),(y x yF y x xF yy xx =；

(D)),(),(y x yF y x xF x y =

曲面积分

一、对面积的曲面积分加根号

例1. 若∑为2222R z y x =++的外侧，且γβαcos ,cos ,cos 是其外法线向量的方向余弦，则

=++++??∑

dS z y x z y x 2

22cos cos cos γ

βα。(07)

解：R R R

dV R zdxdy ydzdx xdydz R dS z y x z y x V

ππγβα4343131

cos cos cos 3

222=??=

++=

++++???????

∑

例2. 设曲面∑是上半球面x 2 + y 2 + z 2 = a 2 (z ≥0)，曲面∑1是曲面∑在第一卦限中的部分，则有( C )。 A ．

????∑∑

4xdS xdS ； B ．????

∑∑

xdS ydS ； C ．????∑∑

4xdS zdS ； D ．??

??∑∑

4xyzdS xyzdS 。

解：函数x , y , xyz 在上半球面x 2 + y 2 + z 2 = a 2

(z ≥0)上分别关于0=x 或0=y 具有“奇函数”性质，而上半球面x 2 + y 2 + z 2 = a 2 (z ≥0)关于0=x 或0=y 对称，故

0=??∑

xdS 、0=??

∑

ydS 、

0=??∑

xyzdS ，而01≠??∑xdS 、01

≠??

∑ydS 、

≠??

∑xyzdS 。

另一方面，由对称性，

??????∑∑∑∑

===1

444ydS xdS zdS zdS ，故答案C 的正确性。

例3. 计算曲面积分

??∑

+,)3

2(dS y x z 其中:∑为平面1432=++z y x 在第一卦限中的部分。

（06）解：∑：4423z x y =--

，显然 43

2 , . :03,0232

xy z z D y x x x y ??=-=-≤≤-≤≤??。 2222461

1()()1(2)()33

z z

dS dxdy dxdy dxdy x y

??=++=

+-+-

=??

44461461(2)[(42)(2)]33333xy

D D I z x y dS x y x y dxdy dxdy ∑

=++

=--++=??????＝461 例4．

??∑

++dS zx yz xy )(, 其中曲面∑为锥面22y x z +=

被柱面x 2 + y 2 = 2ax 所截得的有限部分。

解法一：曲面∑：22y x z +=在xoy 坐标面上的投影区域D 为：x 2 + y 2 ≤ 2ax ，22)()(1y x z z ++=2，

??∑

++dS zx yz xy )(=??

??++++D

d y x x y x y xy σ2)(2222

???+?+?-

πθθθθθ

cos 20

)cos sin sin cos (2a rdr r r r r r r d

++2

4)cos 2(4

)cos sin sin (cos 2

θθθθθθd a

=?-

++22

5454)cos cos sin sin (cos 2

4π

θθθθθθd a =15

162

44a =4

15264a 。解法二：曲面∑：22y x z +=在xoy 坐标面上的投影区域D 为：x 2 + y 2 ≤ 2ax ，22)()(1y x z z ++=2，

??∑

++dS zx yz xy )(=??

??++++D

d y x x y x y xy σ2)(2222（D 关于0=y 对称）

?????=+=

-θ

πθθσcos 20

2)cos (22a D

rdr r r d d y

x x

=?-2

4)(cos 24π

πθθd a =15

16244a =4

15264a 。例5．

??∑

++dS z y x )(，其中曲面∑为球面x 2

+ y 2

+ z 2

= a 2

上z ≥ h (0< h < a )的部分。

解：曲面∑的方程为z =22y x a --，其在xoy 坐标面上的投影区域D 为：x 2 + y 2 ≤ a 2 – h 2，

22)()(1y x z z ++=

2y x a a --

，

∑

++dS z y x )(=

--++D

d y x a a y x a y x σ2

22)

(

--+D

d y x a y x a σ2

22)(+

ad σ

由积分区域和被积函数的对称性得??

--+D

d y x a y x a σ2

22)(=0，且

ad σ= a π(a 2 – h 2)，

所以

∑

++dS z y x )(= a π(a 2 – h 2)。

二、对坐标的曲面积分坐标不加根号例1．计算曲面积分

∑

++ydzdx xdydz zdxdy , 其中∑是柱面12

2=+y x 被平面0=z 及3=z 所截得

的在第一卦限内的部分的前侧。(07)

解：由于曲面∑在xoy 坐标面上的投影区域D xy 为0，所以

??∑

=0zdxdy ；

曲面∑在yoz 坐标面上的投影区域D yz 为0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 3, ??∑

xdydz =

-yz

D dydz y 21=

?-1

1dy y dz

3π

; 同理，曲面∑在xoz 坐标面上的投影区域D xz 为0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 3,

∑

ydxdz =

-xz

D dxdz x 21=?

?-1

230

1dx x dz

3π

;

故，

∑

++ydzdx xdydz zdxdy =2〃4

3π

3π。例2. 计算曲面积分

∑

zdxdy y x 22, 其中∑是球面2

R z y x =++的下半部分的下侧。

解 ∑的方程为222y x R z ---=, D xy : x 2+y 2≤R , 于是

zdxdy y x 22∑

??dxdy y x R y x xy

D )(22222----=?????-??=πθθθ2022220

2sin cos rdr r R r r d R

??-=πθθ20

052222s i n 41R dr r r R d 71052R π=.

三*、两类曲面积分之间的联系例：计算

[][][]??∑

+++++dxdy z z y x f dzdx y z y x f dydz x z y x f ),,(),,(2),,(，其中),,(z y x f 为连续

函数，∑是平面1=+-z y x 在第四卦限部分的上侧.

解：曲面∑可表示为z =1-x +y , (x , y )∈D xy ={(x , y )|0≤x ≤1, 0≤y ≤x -1},

∑上侧的法向量为n =(1, -1, 1), 单位法向量为 )31 ,31 ,31()cos ,cos ,(cos -=γβα,

由两类曲面积分之间的联系可得

d x d y z z y x f d z d x y z y x f d y d z x z y x f ]),,([]),,(2[]),,([++++

+∑

?? dS z f y f x f ]cos )(cos )2(cos )[(γβα+++++=∑

dS z f y f x f ]31)()31()2(31)(?++-?++?+=∑??

2131)(31===+-=??????∑

∑d x d y dS dS z y x xy

四、高斯公式例 1. 计算

??∑

-+dxdy z

yzdzdx xzdydz 2

23，其中∑为由22y x z +=与222y x z --=所围立体

的表面外侧.（04）

解：求交线的投影???==+0

22z y x 由高斯公式

原式=???Ω

zdv 3 =???

-πθ20

3r r

zdz rdr d =π2

例2.

??∑

-+++dzdx z y x dydz xz dxdy z y

xy )()2(3222

其中，:∑为上半球面222y x a z --=的上

侧。(05)

解: 0:=∑'z ，由高斯公式:

?????Ω

∑'

+∑++=dv z y x )(2

=dr r r d d a

????0

2220

sin ??θπ

=dr r d a

sin 2??ππ=5552512a a ππ=?

又0=??∑'

，原积分555252a a ππ=-=??∑' 例3. 求曲面积分

??∑

++ydzdx xdydz zdxdy 其中，:∑为上半球面222y x R z --=

的上侧。（03）

解设∑1为xOy 面上圆域x 2+y 2≤R 2的下侧, Ω为由∑与∑1所围成的空间区域, 则由高斯公式得

dv z R

y Q x P zdxdy ydzdx xdydz )(1

??+??+??=++Ω

∑+∑?????

332)32(33R R dv ππ===Ω

???,

而

0001

====++??????∑∑dxdy zdxdy zdxdy ydzdx xdydz xy

D ,

所以

3202R R zdxdy ydzdx xdydz ππ=-=++∑

?? 五*、斯托克斯公式计算

?Γ

+-dz yz

xzdy ydx 23,

其中Γ 是圆周x 2 + y 2 = 2z , z = 2, 若从z 轴正向看去, 这圆周是逆时针方向。

解：这里P = 3y , Q = –xz , R = yz 2, 取平面z = 2上由闭曲线Γ所围的曲面为∑, 并取上侧,

{}01

,0=n

，所以1cos ,0cos ,0cos ===γβα 则由Stokes 公式得 ?Γ+-dz yz xzdy ydx 23=dS yz xz y

z y x ??∑

-??

????

3cos cos cos γβα

==-=--????∑

∑

dS dS z 5)3( –5〃4π = –20π

高等数学(下册)期末复习试题及答案

一、填空题（共21分每小题3分） 1．曲线???=+=0 12x y z 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为122++=y x z ． 2．直线35422:1z y x L =--=-+与直线?? ???+=+-==t z t y t x L 72313:2的夹角为2π． 3．设函数22232),,(z y x z y x f ++=，则=)1,1,1(grad f }6,4,2{． 4．设级数∑∞=1n n u 收敛，则=∞→n n u lim 0． 5．设周期函数在一个周期内的表达式为???≤<+≤<-=, 0,10,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于21π +． 6．全微分方程0d d =+y x x y 的通解为 C xy =． 7．写出微分方程x e y y y =-'+''2的特解的形式x axe y =*．二、解答题（共18分每小题6分） 1．求过点)1,2,1(-且垂直于直线???=+-+=-+-0 2032z y x z y x 的平面方程．解：设所求平面的法向量为n ，则{}3,2,11 11121=--=k j i n (4分) 所求平面方程为 032=++z y x (6分) 2．将积分???Ω v z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分，其中Ω是曲面 )(222y x z +-=及22y x z +=所围成的区域．解： πθ20 ,10 ,2 :2 ≤≤≤≤-≤≤Ωr r z r (3分)

???Ωv z y x f d ),,(???-=221020d ),sin ,cos (d d r r z z r r f r r θθθπ (6分) 3．计算二重积分??+-=D y x y x e I d d )(22，其中闭区域.4:22≤+y x D 解 ??-=2020d d 2r r e I r πθ??-- =-20220)(d d 212r e r πθ?-?-=202d 221r e π)1(4--=e π 三、解答题（共35分每题7分） 1．设v ue z =，而22y x u +=，xy v =，求z d ．解：)2(232y y x x e y ue x e x v v z x u u z x z xy v v ++=?+?=?????+?????=?? (3分) )2(223xy x y e x ue y e y v v z y u u z y z xy v v ++=?+?=?????+?????=?? (6分) y xy x y e x y y x x e z xy xy d )2(d )2(d 2332+++++= (7分) 2．函数),(y x z z =由方程0=-xyz e z 所确定，求y z x z ????,．解：令xyz e z y x F z -=),,(， (2分) 则 ,yz F x -= ,xz F y -= ,xy e F z z -= (5分) xy e yz F F x z z z x -=-=??， xy e xz F F y z z z y -=-=??． (7分) 3．计算曲线积分 ?+-L y x x y d d ，其中L 是在圆周22x x y -=上由)0,2(A 到点)0,0(O 的有向弧段．解：添加有向辅助线段OA ，有向辅助线段OA 与有向弧段OA 围成的闭区域记为D ，根据格林公式 ????+--=+-OA D L y x x y y x y x x y d d d d 2d d (5分) ππ=-? =022 (7分) 4．设曲线积分?++L x y x f x y x f e d )(d )]([与路径无关，其中)(x f 是连续可微函数且满足1)0(=f ，

高等数学[下册]期末考试试题和答案解析

高等数学A(下册)期末考试试题一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上） 1、已知向量a 、b 满足0a b +=，2a =，2b =，则a b ?= ．

2、设ln()z x xy =，则32 z x y ?=?? ． 3、曲面2 2 9x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为． 4、设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =，则()f x 的傅里叶级数在3x =处收敛于，在x π=处收敛于． 5、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则 ()L x y ds +=? ． ※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级．二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分） 1、求曲线222 222 239 3x y z z x y ?++=??=+??在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程． 2、求由曲面2222z x y =+及22 6z x y =--所围成的立体体积． 3、判定级数 1 1 (1)ln n n n n ∞ =+-∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 4、设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2, z z x x y ?????． 5、计算曲面积分 ,dS z ∑ ??其中∑是球面2222x y z a ++=被平面(0)z h h a =<<截出的顶部．三、（本题满分9分）抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值．（本题满分10分）计算曲线积分 (sin )(cos )x x L e y m dx e y mx dy -+-? ，其中m 为常数，L 为由点(,0)A a 至原点(0,0)O 的上半圆周2 2 (0)x y ax a +=>．四、（本题满分10分）求幂级数1 3n n n x n ∞ =?∑的收敛域及和函数．

高等数学下考试题库(附答案)复习过程

《高等数学》试卷1（下）一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a ρρρρρ??+=++-=2,2，则有（）. A.a ρ∥b ρ B.a ρ⊥b ρ C.3,π=b a ρρ D.4 ,π=b a ρρ 3.函数11 22222-++--=y x y x y 的定义域是（）. A.(){ }21,22≤+≤y x y x B.(){}21,22<+p D.1≥p 8.幂级数∑∞ =1n n n x 的收敛域为（）. A.[]1,1- B ()1,1- C.[)1,1- D.(]1,1- 9.幂级数n n x ∑∞=?? ? ??02在收敛域内的和函数是（）.

A.x -11 B.x -22 C.x -12 D.x -21 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（）. A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题（4分?5） 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 23+--=xy xy y x z ，则=???y x z 2_____________________________. 4. x +21的麦克劳林级数是___________________________. 三.计算题（5分?6） 1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求.,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程05242222=-+-+-z x z y x 确定，求.,y z x z ???? 3.计算σd y x D ??+22sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）. 四.应用题（10分?2） 1.要用铁板做一个体积为23 m 的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？ . 试卷1参考答案一.选择题 CBCAD ACCBD 二.填空题 1.0622=+--z y x . 2.()()xdy ydx xy +cos . 3.1962 2--y y x . 4. ()n n n n x ∑∞=+-01 21.

高等数学1试卷(附答案)

一、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 1．由曲线2cos r θ=所围成的图形的面积是 π 。 2．设由方程22x y =所确定的隐函数为)(x y y =，则2y dy dx x = - 。 3．函数2 sin y x =的带佩亚诺余项的四阶麦克劳林公式为2 44 1()3 x x o x -+。 4． 1 1 dx =? 。 5．函数x x y cos 2+=在区间?? ? ???20π，上的最大值为 6 π +。 6． 222222lim 12n n n n n n n n →∞?? +++ ?+++? ? = 4 π。二、选择题（共7小题，每小题3分，共21分） 1. 设21cos sin ,0 ()1,0x x x f x x x x ? +

暨南大学《高等数学I 》试卷A 考生姓名：学号： 3. 1 +∞=? C 。 A ．不存在 B ．0 C ．2π D ．π 4. 设()f x 具有二阶连续导数，且(0)0f '=，0 lim ()1x f x →''=-，则下列叙述正确的是 A 。 A ．(0)f 是()f x 的极大值 B ．(0)f 是()f x 的极小值 C ．(0)f 不是()f x 的极值 D ．(0)f 是()f x 的最小值 5.曲线2x y d t π-=?的全长为 D 。 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6. 当,a b 为何值时，点( 1, 3 )为曲线3 2 y ax bx =+的拐点？ A 。 A ．32a =- ，92b = B. 32a =，9 2b =- C ．32a =- ，92b =- D. 32a =，92 b = 7. 曲线2x y x -=?的凸区间为 D 。 A.2(,)ln 2-∞- B.2(,)ln 2-+∞ C.2(,)ln 2+∞ D.2(,)ln 2 -∞ 三、计算题（共7小题，其中第1～5题每小题6分，第6~7题每小题8分，共46分） 1. 2 1lim cos x x x →∞?? ?? ? 解：()2 1 cos lim , 1 t t t x t →==原式令 )0 0( cos ln lim 2 0型t t t e →= （3分） t t t t e cos 2sin lim ?-→= 12 e - = （6分）

大一下学期高等数学考试题

大一下学期高等数学考试题文件编码（008-TTIG-UTITD-GKBTT-PUUTI-WYTUI-8256）

一、单项选择题（6×3分） 1、设直线，平面，那么与之间的夹角为() B. C. D. 2、二元函数在点处的两个偏导数都存在是在点处可微的（） A.充分条件 B.充分必要条件 C.必要条件 D.既非充分又非必要条件 3、设函数，则等于（） A. B. C． D. 4、二次积分交换次序后为（） A. B. C. D. 5、若幂级数在处收敛，则该级数在处（） A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散C.不能确定其敛散性 6、设是方程的一个解，若，则在处（）

A.某邻域内单调减少 B.取极小值 C.某邻域内单调增加 D.取极大值二、填空题（7×3分） 1、设＝（4，-3，4），＝（2，2，1），则向量在上的投影＝ 2、设，，那么 3、D为，时， 4、设是球面，则＝ 5、函数展开为的幂级数为 6、＝ 7、为通解的二阶线性常系数齐次微分方程为三、计算题(4×7分) 1、设，其中具有二阶导数，且其一阶导数不为1，求。 2、求过曲线上一点（1，2，0）的切平面方程。 3、计算二重积分，其中 4、求曲线积分，其中是沿曲线由点（0，1）到点（2，1）的弧段。

5、求级数的和。四、综合题(10分) 曲线上任一点的切线在轴上的截距与法线在轴上的截距之比为3，求此曲线方程。五、证明题(6分) 设收敛，证明级数绝对收敛。一、单项选择题（6×3分） 1、A 2、C 3、C 4、B 5、A 6、D 二、填空题（7×3分） 1、2 2、 3、 4、 5、6、07、三、计算题(5×9分) 1、解：令则，故 2、解：令则所以切平面的法向量为：切平面方程为： 3、解：＝＝＝ 4、解：令，则

高数下A试题及答案

高等数学A （下）课程考试试题参考解答一、单项选择题(满分15分，每小题3分，共5道小题), 请将合适选项填在括号内． 1. 函数3y z x e =-的全微分dz =【 C 】． (A) 2 2y x dx e dy -； (B) 2 3y x dx e dy +； (C) 2 3y x dx e dy -； (D) 2 3y e dx x dy -． 2. 球面2 2 2 1x y z ++= 在点P 处的切平面方程是【 D 】． (A) 0x y -=； (B) 0x y ++=； (C) 0x y -=； (D) 0x y +=． 3. 设区域{} 2(,)11, 1.D x y x x y =-≤≤≤≤，二重积分 ()2 cos D x x xy dxdy +=??【 B 】． (A) 1-； (B) 0； (C) 1； (D) 1 2 ． 4. 级数n n ∞ = A 】． (A) 条件收敛； (B) 绝对收敛； (C) 发散； (D) 其它选项都不对． 5. 曲线22 1() 4 4 z x y y ?=+???=?在点)5,4,2(处的切线对于x 轴的倾角为【 C 】． (A) 3 π ； (B) 3π-； (C) 4 π ； (D) 4π-．二、填空题 ( 满分15分，每小题3分，共5道小题 )，请将答案填在横线上． 1. dx x y dy I y ? ? = 55 1 ln 1 = 4 . 2. 设L 是圆周2 2 2 R y x =+，曲线积分 ()2 2L x y ds +??= 32R π .

3. 设?? ?? ? ≤<≤≤=πππx x x f 20201)(可以展开为正弦级数，此正弦级数在4x π=处收敛于 1 . 解由于4 π= x 是)(x f 的连续点，则)(x f 的正弦级数在4 π= x 收敛于1)4 (=π f ． 4. 微分方程20y y y '''-+=的通解为 12()x y c c x e =+ . 5. 函数33 (,,)3f x y z z xyz y =-+在点(1,2,3)处的梯度为 (18,3,21)- . 三．（满分10分）设( ) 22 ,ln 2z f xy x y =+，求z x ??和2z x y ???（其中f 具有二阶连续偏导数）. 解 2122z f y f xy x ?''=+? 2z x y ???33221211 221222225yf xf xy f x yf x y f ''''''''=++++ 四. （满分10分）计算曲线积分22 L xy dy x ydx -??，其中L 为圆周222a y x =+的正向. 解 2 2 ,xy Q y x P =-=， 22,y x Q x y P =??-=??，由格林公式，得 ydx x dy xy L 22-? = 222x y a Q P dxdy x y +≤????- ???? ??? ()222 2 2x y a x y dxdy +≤= +?? 2 4 3 20 a dr r d a πθπ= =?? . 五．（满分10分）试将函数()2 x t f x e dt =? 展成x 的幂级数，（要求写出该幂级数的一般项并指出其收敛域）。解：因为 ∑∞ ==0! n n t n t e ()+∞<<∞-t 则∑∞ ==02! 2 n n t n t e ()+∞<<∞-t ，将上式两端逐项积分，得 ()?∑????? ??==∞=x n n x t dt n t dt e x f 00 20!2

大一下学期高等数学考试题

大一下学期高等数学考试题 This manuscript was revised by the office on December 10, 2020.

一、单项选择题（6×3分） 1、设直线，平面，那么与之间的夹角为() 、二元函数在点处的两个偏导数都存在是在点处可微的（） A.充分条件 B.充分必要条件 C.必要条件 D.既非充分又非必要条件 3、设函数，则等于（） . C． D. 4、二次积分交换次序后为（） . . 5、若幂级数在处收敛，则该级数在处（） A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散C.不能确定其敛散性 6、设是方程的一个解，若，则在处（） A.某邻域内单调减少 B.取极小值

C.某邻域内单调增加 D.取极大值二、填空题（7×3分） 1、设＝（4，-3，4），＝（2，2，1），则向量在上的投影＝ 2、设，，那么 3、D为，时， 4、设是球面，则＝ 5、函数展开为的幂级数为 6、＝ 7、为通解的二阶线性常系数齐次微分方程为三、计算题(4×7分) 1、设，其中具有二阶导数，且其一阶导数不为1，求。 2、求过曲线上一点（1，2，0）的切平面方程。 3、计算二重积分，其中 4、求曲线积分，其中是沿曲线由点（0，1）到点（2，1）的弧段。 5、求级数的和。

四、综合题(10分) 曲线上任一点的切线在轴上的截距与法线在轴上的截距之比为3，求此曲线方程。五、证明题(6分) 设收敛，证明级数绝对收敛。一、单项选择题（6×3分） 1、A 2、C 3、C 4、B 5、A 6、D 二、填空题（7×3分） 1、2 2、 3、 4、 5、6、07、三、计算题(5×9分) 1、解：令则，故 2、解：令则所以切平面的法向量为：切平面方程为： 3、解：＝＝＝ 4、解：令，则当，即在x轴上方时，线积分与路径无关，选择由（0，1）到（2，1）则

高数下试题及答案

第二学期期末考试试卷一、填空题(每空 3 分，共 15 分) 1. 已知向量()1,1,4r a =-,()3,4,0r b =,则以r a ,r b 为边的平行四边形的面积等于. 2. 曲面sin cos z x y =在点1,,442ππ?? ??? 处的切平面方程是. 3. 交换积分次序()22 0,x dx f x y dy = ??. 4. 对于级数11 n n a ∞ =∑（a ＞0），当a 满足条件时收敛. 5. 函数1 2y x =-展开成x 的幂级数为 . 二、单项选择题 (每小题3分,共15分) 1. 平面20x z -=的位置是（）（A ）通过y 轴（B ）通过x 轴（C ）垂直于y 轴（D ）平行于xoz 平面 2. 函数(),z f x y =在点()00,x y 处具有偏导数 ()00,x f x y '，()00,y f x y ',是函数在该点可微分的（）（A ）充要条件（B ）充分但非必要条件（C ）必要但非充分条件（D ）既非充分又非必要条件 3. 设()cos sin x z e y x y =+，则10 x y dz ===（）（A ）e （B ）()e dx dy +

（C ）1()e dx dy -+ （D ）()x e dx dy + 4. 若级数()11n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（）（A ）敛散性不确定（B ）发散（C ）条件收敛（D ）绝对收敛 5. 微分方程y xy x '-=的通解是（）（A ）212 1x y e =- （B ）212 1x y e -=- （C ）212 x y Ce -= （D ）212 1x y Ce =- 三、(本题满分8分) 设平面通过点()3,1,2-，而且通过直线43521 x y z -+==，求该平面方程．四、(本题满分8分) 设(),z f xy x y =+，其中(),f u v 具有二阶连续偏导数，试求z x ??和2z x y ???．五、(本题满分8分) 计算三重积分y zdxdydz Ω =???，其中 (){},,01,11,12x y z x y z ≤≤-≤≤≤≤．六、(本题满分8分) 计算对弧长的曲线积分L ?，

高数下期末复习题(解答题)

1.求曲面6322 2 2 =++z y x 在点 ()1,1,1P 处的切平面方程和法线方程. 2.设z=z(x,y)由方程y z z x ln =所确定，求y z x z ????, 3.设 g ,f y x g )xy (f z 其中 ??? ? ??++=为可微函数，求 y x z ????z ， 4. 设),(v u f 具有二阶连续偏导数，且满足 2222 1f f u v ??+=??，又 )](2 1,[),(2 2y x xy f y x g -=,求.22 22y g x g ??+?? 5.将正数a 分成三个正数之和，使它们的乘积为最大. 6.设长方体内接于半径为R 的半球,问长

方体各边为多少时,其体积为最大. 7.求椭球面 142222=++z y x 与平面07=-++z y x 之间的最短距离. 8.设),(y x z z =是由0),(=++nz y mz x F 确定的函数，其中F 是可微函数,m 、n 是常数,求y z n x z m ??+?? 9.计算二重积分?? +D dxdy y x 22 ，其中 D 是由圆周 y y x 22 2 =+所围成的闭区域. 10.设函数)(t f 在),0[+∞上连续，且满足方程，dxdy y x f e t f t y x t )2 1()(2 222 422 4?? ≤+++ =π求)(t f . 11.求三重积分??? Ω zdxdydz ，其中Ω为球面42 22 =++z y x 与抛物面 z y x 32 2 =+所围成的闭区域

12.求由曲面2 2 5y x z --=与物面z y x 42 2 =+所围成的立体体积。 13.计算 ?-+++-=L dy x y dx y x I )635()42(，其中L 为三顶点分别为(0, 0)、(3, 0)和（3， 2）的三角形正向边界. 14.计算? L xds ,其中曲线L 为直线y=x 及抛物线2 x y =所围成的区域的边界 15.计算曲线积分 ?-+++- L dy x y dx y x )635()42(其中L 为从点(0,0)到点(3,2)再到点(4,0)的折线段. 16.问当 a 取何值时,曲线积分 ? --+-) 2,1() 0,1(2232dy )y x 2xy (a dx )y xy 6(与路径无关,并计算此曲线积分的值. 17.设函数)(x f 在),(∞+∞-内具有一阶连续

大学高等数学下考试题库(附答案)

. 一.选择题（3分10） 1.点到点的距离（）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量，则有（）. A.∥ B.⊥ C. D. 3.函数的定义域是（）. A. B. C. D 4.两个向量与垂直的充要条件是（）. A. B. C. D. 5.函数的极小值是（）. A.2 B. C.1 D. 6.设，则＝（）. A. B. C. D. 7.若级数收敛，则（）. A. B. C. D. 8.幂级数的收敛域为（）. A. B C. D. 9.幂级数在收敛域内的和函数是（）. A. B. C. D. 10.微分方程的通解为（）. A. B. C. D. 二.填空题（4分5） 1.一平面过点且垂直于直线，其中点，则此平面方程为______________________. 2.函数的全微分是______________________________. 3.设，则_____________________________. 4.的麦克劳林级数是___________________________. 5.微分方程的通解为_________________________________. 三.计算题（5分6） 1.设，而，求 2.已知隐函数由方程确定，求 3.计算，其中. 4.如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（为半径）. 5.求微分方程在条件下的特解. 四.应用题（10分2） 1.要用铁板做一个体积为2的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省 2..曲线上任何一点的切线斜率等于自原点到该切点的连线斜率的2倍，且曲线过点，求此曲线方程试卷1参考答案一.选择题 CBCAD ACCBD 二.填空题 1.. 2. . 3. . 4. . 5. . 三.计算题 1. ，. 2.. 3.. 4. . 5.. 四.应用题 1.长、宽、高均为时，用料最省. 2. 高数试卷2（下）一.选择题（3分10） 1.点，的距离（）. A. B. C. D. 2.设两平面方程分别为和，则两平面的夹角为（）. A. B. C. D. 3.函数的定义域为（）. A. B. C. D. 4.点到平面的距离为（）. A.3 B.4 C.5 D.6 5.函数的极大值为（）. A.0 B.1 C. D. 6.设，则（）. A.6 B.7 C.8 D.9 7.若几何级数是收敛的，则（）. A. B. C. D. 8.幂级数的收敛域为（）. A. B. C. D. 9.级数是（）. A.条件收敛 B.绝对收敛 C.发散 D.不能确定二.填空题（4分5） 1.直线过点且与直线平行，则直线的方程为__________________________. 2.函数的全微分为___________________________. 3.曲面在点处的切平面方程为_____________________________________. 4.的麦克劳林级数是______________________. 三.计算题（5分6） 1.设，求 2.设，而，求 3.已知隐函数由确定，求 4.如图，求球面与圆柱面（）所围的几何体的体积. 四.应用题（10分2） 1.试用二重积分计算由和所围图形的面积. 试卷2参考答案一.选择题 CBABA CCDBA. 二.填空题 1.. 2.. 3.. 4.. 5.. 三.计算题 1.. 2. . 3.. 4. . 四.应用题 1.. 高等数学试卷3（下）一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分） 1、二阶行列式 2 -3 的值为（） 4 5 A、10 B、20 C、24 D、22 2、设ai2j-k,b2j3k，则a与b 的向量积为（） A、i-j2k B、8i-j2k C、8i-3j2k D、8i-3ik 3、点P（-1、-2、1）到平面x2y-2z-50的距离为（） A、2 B、3 C、4 D、5 4、函数zxsiny在点（1，）处的两个偏导数分别为（） A、 B、 C、 D、 5、设x2y2z22Rx，则分别为（） A、 B、 C、 D、 6、设圆心在原点，半径为R，面密度为的薄板的质量为（）（面积A） A、R2A B、2R2A C、3R2A D、 7、级数的收敛半径为（） A、2 B、 C、1 D、3 8、cosx的麦克劳林级数为（） A、 B、 C、 D、 9、微分方程y4y5y20的阶数是（） A、一阶 B、二阶 C、三阶 D、四阶 10、微分方程y3y2y0的特征根为（） A、-2，-1 B、2，1 C、-2，1 D、1，-2 二、填空题（本题共5小题，每题4分，共20分） 1、直线L1xyz与直线L2___________。直线L3____________。 3、二重积分___________。 4、幂级数__________，__________。三、计算题（本题共6小题，每小题5分，共30分） 1、用行列式解方程组-3x2y-8z17 2x-5y3z3 x7y-5z2 2、求曲线xt,yt2,zt3在点（1，1，1）处的切线及法平面方程. 3、计算. 4、问级数 5、将函数fxe3x展成麦克劳林级数 6、用特征根法求y3y2y0的一般解四、应用题（本题共2小题，每题10分，共20分） 1、求表面积为a2而体积最大的长方体体积。 2、放射性元素铀由于不断地有原子放射出微粒子而变成其它元素，铀的含量就不断减小，这种现象叫做衰变。由原子物理学知道，铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比，（已知比例系数为k）已知t0时，铀的含量为M0，求在衰变过程中铀含量M

(word完整版)高数一试题及答案,推荐文档

《高等数学(一) 》复习资料一、选择题 1. 若23lim 53 x x x k x →-+=-，则k =（） A. 3- B.4- C.5- D.6- 2. 若21lim 21 x x k x →-=-，则k =（） A. 1 B.2 C.3 D.4 3. 曲线3sin 1x y e x =-+在点（0，2）处的切线方程为( ) A.22y x =+ B.22y x =-+ C.23y x =+ D.23y x =-+ 4. 曲线3sin 1x y e x =-+在点（0，2）处的法线方程为( ) A.122y x =+ B.122y x =-+ C.132y x =+ D.1 32 y x =-+ 5. 211 lim sin x x x →-=( ) A.0 B.3 C.4 D.5 6.设函数0()(1)(2)x f x t t dt =+-?，则(3)f '=（） A 1 B 2 C 3 D 4 7. 求函数43242y x x =-+的拐点有（）个。 A 1 B 2 C 4 D 0 8. 当x →∞时，下列函数中有极限的是（）。 A. sin x B. 1x e C. 21 1x x +- D. arctan x 9.已知'(3)=2f ，0(3)(3) lim 2h f h f h →--=( ) 。 A. 32 B. 3 2- C. 1 D. -1 10. 设42()=35f x x x -+,则(0)f 为()f x 在区间[2,2]-上的（）。

A. 极小值 B. 极大值 C. 最小值 D. 最大值 11. 设函数()f x 在[1,2]上可导，且'()0,(1)0,(2)0,f x f f <><则()f x 在(1,2)内( ) A.至少有两个零点 B. 有且只有一个零点 C. 没有零点 D. 零点个数不能确定 12. [()'()]f x xf x dx +=?( ). A.()f x C + B. '()f x C + C. ()xf x C + D. 2()f x C + 13. 已知2 2 (ln )y f x =，则y '=( C ) A.2222(ln )(ln )f x f x x ' B. 24(ln )f x x ' C. 224(ln )(ln ) f x f x x ' D. 222(ln )()f x f x x ' 14. ()d f x ? =( B) A.'()f x C + B.()f x C.()f x ' D.()f x C + 15. 2ln x dx x =?( D ) A.2ln x x C + B. ln x C x + C.2ln x C + D.()2ln x C + 16. 211 lim ln x x x →-=( ) A.2 B.3 C.4 D.5 17. 设函数0()(1)(2)x f x t t dt =-+?，则(2)f '-=（） A 1 B 0 C 2- D 2 18. 曲线3y x =的拐点坐标是( ) A.(0,0) B.( 1,1) C.(2,2) D.(3,3) 19. 已知(ln )y f x =，则y '=( A ) A. (ln )f x x ' B.(ln )f x ' C.(ln )f x D.(ln ) f x x 20. ()d df x =?( A) A.()df x B.()f x C.()df x ' D.()f x C +

高等数学下册试题及答案解析

高等数学（下册）试卷（一）一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 2 2>+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为，其值为。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则 =++?? ∑ ds y x )122 （。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为。 8、级数 ∑∞ =+1) 1(1 n n n 的和为。二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（）（A ）),(y x f 在),(00y x 处连续；（B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在；（C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(2 2→?+?y x 时，是无穷小；（D ）0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ??+??等于（）（A ）y x +；（B ）x ； (C)y ； (D)0 。 3、设Ω：,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分???Ω = zdV I 等于（）（A ）4 ? ??20 20 1 3cos sin π π ???θdr r d d ；

高等数学(下)期末复习题(附答案)

《高等数学（二）》期末复习题一、选择题 1、若向量b 与向量)2,1,2(-=a 平行，且满足18-=?b a ，则=b （）（A ） )4,2,4(-- （B ）(24,4)--，（C ） (4,2,4)- （D ）(4,4,2)--. 2、在空间直角坐标系中，方程组2201x y z z ?+-=?=? 代表的图形为 ( ) （A ）直线 (B) 抛物线（C ）圆 (D)圆柱面 3、设22 ()D I x y dxdy =+?? ，其中区域D 由222x y a +=所围成，则I =（） (A) 2240 a d a rdr a π θπ=? ? (B) 2240 2a d a adr a π θπ=? ? (C) 2230 02 3 a d r dr a π θπ=? ? (D) 2240 01 2 a d r rdr a π θπ=? ? 4、设的弧段为：2 3 0,1≤ ≤=y x L ，则=? L ds 6 （）（A ）9 (B) 6 （C ）3 (D) 2 3 5、级数 ∑∞ =-1 1 ) 1(n n n 的敛散性为（）（A ）发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 敛散性不确定 6、二重积分定义式∑??=→?=n i i i i D f d y x f 1 0),(lim ),(σηξσλ中的λ代表的是（）（A ）小区间的长度 (B)小区域的面积 (C)小区域的半径 (D)以上结果都不对 7、设),(y x f 为连续函数，则二次积分??-1 010 d ),(d x y y x f x 等于 ( ) （A ）??-1010 d ),(d x x y x f y (B) ??-1010d ),(d y x y x f y (C) ? ?-x x y x f y 10 1 0d ),(d (D) ?? 1 010 d ),(d x y x f y 8、方程2 2 2z x y =+表示的二次曲面是 ( ) （A ）抛物面（B ）柱面（C ）圆锥面（D ）椭球面

北京科技大学高等数学下册试题

高等数学试题一、填空题 1.设sin z xyz 1,-=则 z yz x cos z xy ?=?-. 2.设L 为圆周22x y 4+= ，则对弧长曲线积分=12π? . 3.交换积分次序( )22 2y 410y 0x 2dy f x,y dx =dx y)dy ????. 4.方程2x y"4y'4y e -++=的一个特解是2x x e -212 . 二、选择题 1.函数( )2222x y 0f x,y 0x y 0 +≠=+=?在点（0，0）处A . A.连续 B.两个偏导数都存在，且为0 C.两个偏导数都存在，但不为0 D.全微分存在 2.设有空间区域2221:x y z 1,z 0Ω++≤≥； 2222:x y z 1,x 0,y 0,z 0Ω++≤≥≥≥,则C . A.12xdv 4xdv ΩΩ=?????? B.12 ydv 4ydv ΩΩ=?????? C.12zdv 4zdv ΩΩ=?????? D.12 xyzdv xyzdv ΩΩ=?????? 3.设∑为球面222x y z 1++=的外侧，则222 x dydz x y z ∑++?? 等于C . A.0 B. 22y z 1+≤?? C.43π D.22x z 1 +≤-?? 4.下列微分方程中，通解为()2x 12y e c cos x c sin x =+的方程是B .

A.y"4y'5y 0--= B.y"4y'5y 0-+= C.y"2y'5y 0-+= D.2x y"4y'5y e -+= 三、计算二重积分2y 2D e dxdy y ??.其中D 为3x y =与5x y =所围区域. 1e 12- 五、设y u y f 2x,x ??=? ??，f 具有二阶连续偏导数，求 22 11222223u 2y 2y y 2f f f f x y x x x ?''''''=+--??. 六、设()f x 是一个连续函数，证明：（1）()()22f x y xdx ydy ++是一个全微分；（2）()()()u 2201d f u du f x y xdx ydy 2??=++ ??? ?，其中22u x y =+. 证明：（1） ()()()( ) 222222222222222222f x y xdx ydy xf (x y )dx yf (x y )dy (xf (x y ))2xyf (x y )y (yf (x y ))(xf (x y ))2xyf (x y )x y f x y xdx ydy ++=+++?+'=+??+?+'=+=??∴++ （2） ()()22 u x y 2222002222111d f u du f u du f (x y )d(x y )2221f (x y )(2xdx 2ydy)f (x y )(xdx ydy).2 +??==++ ???=++=++?? 七、求：由曲面2222z 0,z y 1,x y 4== +=+=所围空间立体Ω的体积. 解： 22010V dxdydz d d dz 14d d dz 3πρρρθθρρπΩΩ ====????????? 是一个全微分。

高等数学下册期末考试试题附标准答案75561

高等数学(下册)期末考试试题考试日期：2012年院（系）别班级学号姓名成绩一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上） 1、已知向量a 、b 满足0a b +=，2a =，2b =，则a b ?=-4． 2、设ln()z x xy =，则32 z x y ?=??-(1/y2)． 3、曲面2 2 9x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为 2 (x-1)+4(y-2)+z-4=0． 4、设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =，则()f x 的傅里叶级数在3x =处收敛于，在x π=处收敛于． 5、设L 为连接(1,0) 与(0,1)两点的直线段，则 ()L x y ds +=?√2． ※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级．二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分） 1、求曲线222 222 239 3x y z z x y ?++=??=+??在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程． 2、求由曲面2222z x y =+及22 6z x y =--所围成的立体体积．故所求的体积为V dv Ω =???22 2620 20 2(63)6d d dz d πρρθρπρρπ-==-=?? (7) 3、判定级数 1 1 (1) ln n n n n ∞ =+-∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 4、设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2,z z x x y ?????．

(完整版)高等数学试题及答案

《高等数学》试题30 考试日期：2004年7月14日星期三考试时间：120 分钟一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的（） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+? D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（）. A ）、 ()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（） A ）、 C bx bx b x +-sin cos B ）、C bx bx b x +-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin