§4.1.2圆的一般方程

§4.1.2圆的一般方程

一、课前准备

复习：已知圆的圆心为),(b a M ，半径为r ，则圆的标准方程为 ，若圆心为坐标原点上，则圆的方程就是 .

二、新课导学

探究一：圆的一般方程

问题1．下列方程表示什么图形？

（1）222410x y x y +-++=

（2）054222=++-+y x y x

（3）222460x y x y +-++=

问题2．方程220x y Dx Ey F ++++=在什么条件下表示圆？

新知1：方程220x y Dx Ey F ++++=表示的轨迹.（什么是轨迹？）

（1）当 时，表示以 为圆心，以 为半径的圆；

（2）当 时，方程只有一组解 即只表示一个点 ;

（3）当 时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形王新敞

新知2：方程220x y Dx Ey F ++++=表示的曲线不一定是圆.只有当2240D E F +->时，它表示的曲线才是圆，此时把形如220x y Dx Ey F ++++=的二元二次方程称为圆的一般方程.

思考：

1．圆的一般方程的特点？

2．圆的标准方程与一般方程的区别？

例1、判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径.

（1）012

2=+-++y x y x

（2）224441290x y x y +-++=；

（3）2244412110x y x y +-++=.

变式：若方程0522222=++-++m m y mx y x 表示圆，求

（1） 实数m 的取值范围；

（2） 圆心坐标和半径

探究二：圆的一般方程的应用

例2、求过三点)5,4(),3,2(),4,1(--C B A 的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标.

例3、已知圆的方程为0222=-+x y x ，点P （x ，y ）在圆上运动，求222y x +的最值

探究三：求动点的轨迹方程

例4、 已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3)，端点A 在圆上()2214x y ++=运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.

变式：等腰三角形的顶点为A(4，2)，底边一个端点为B(3，5)，求另一个端点C 的轨迹方程，并说明它是什么图形？