2018浦东二模
2018年浦东新区初三数学二模
（时间：100分钟，满分：150分）
2018.5
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1．下列代数式中，单项式是 （A ）
x
1
； （B ）0； （C ）1+x ； （D ）x ． 2．下列代数式中，二次根式n m +的有理化因式可以是 （A ）n m +； （B ）n m -；
（C ）n m +； （D ）n m -．
3．已知一元二次方程0122
=-+x x ，下列判断正确的是
（A ）该方程有两个不相等的实数根； （B ）该方程有两个相等的实数根； （C ）该方程没有实数根； （D ）该方程的根的情况不确定．
4．某运动员进行射击测试，共射靶6次，成绩记录如下：8.5，9.0，10，8.0，9.5，10，在下列各统计量中，表示这组数据离散程度的量是 （A ）平均数； （B ） 众数； （C ） 方差； （D ） 频率． 5．下列y 关于x 的函数中，当0>x 时，函数值y 随x 的值增大而减小的是
（A ）2
x y = ；
（B ）2
2
+=
x y ； （C ）3x y =
； （D ）x
y 1=． 6．已知四边形ABCD 中，AB //CD ，AC=BD ，下列判断中正确．．的是 （A ）如果BC=AD ，那么四边形ABCD 是等腰梯形；
（B ）如果AD //BC ，那么四边形ABCD 是菱形； （C ）如果AC 平分BD ，那么四边形ABCD 是矩形； （D ）如果AC ⊥BD ，那么四边形ABCD 是正方形． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．计算：=?b
a a
b 2
32 ▲ ． 8．因式分解：=-2
24y x ▲ ． 9．方程312=-x 的解是 ▲ ．
10．如果将分别写着“幸福”、“奋斗”的两张纸片，随机放入“■都是■出来的”中的两个
■内（每个■只放一张纸片），那么文字恰好组成“幸福都是奋斗出来的”概率是 ▲ ．
11. 已知正方形的边长为2cm，那么它的半径长是▲ cm．
12．某市种植60亩树苗，实际每天比原计划多种植3亩树苗，因此提前一天完成任务，求原计划每天种植多少亩树苗．设原计划每天种植x亩树苗，根据题意可列出关于x的方程▲ ．13．近年来，出境旅游成为越来越多中国公民的假期选择.将2017年某小区居民出境游的不同方式的人次情况画成扇形图和条形图,如图1所示.那么2017年该小区居民出境游中跟团游的人数为▲ ．
14．如图2，在□ABCD中，E是BC中点，AE交BD于点F，如果=，那么AF= ▲ （用向量表示）．
15．在南海阅兵式上，某架“直-8”型直升飞机在海平面上方1200米的点A处，测得其到海平面观摩点B的俯角为?
60，此时点A、B之间的距离是▲ 米．
16．如图3，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=DC=3，BC=6，将△ABD绕着点D逆时针旋转，使点A落在点C处，点B落在点B'处，那么B
B'= ▲ ．
17．如果抛物线C：)0
(
2≠
+
+
=a
c
bx
ax
y与直线l：)0
(≠
+
=k
d
kx
y都经过y轴上一点P，且抛物线C的顶点Q在直线l上，那么称此直线l与该抛物线C具有“点线和谐”关系．如果直线1
+
=mx
y与抛物线n
x
x
y+
-
=2
2具有“点线和谐”关系，那么=
+n
m▲ ．18. 已知1l∥2l，1l、2l之间的距离是3cm，圆心O到直线1l的距离是1cm，如果⊙O与直线1l、
2
l有三个公共点，那么圆O的半径为▲ cm．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（本题满分10分）
计算：1-
3
1
2
1
27
-
2
-1
8）
（
+
+．
图2
图1图3
图 5
图4
20．（本题满分10分）
解不等式组??
?
??+≤-->612163x x x x ， ，并把它的解集在数轴（如图4）上表示出来．
21．（本题满分10分）
如图5，已知AB 是⊙O 的直径，弦CD 交AB 于点E ，
30=∠CEA ，OE =4，DE =35．求弦CD 及⊙O 的半径长．
22．（本题满分10分，其中第（1）小题5分，第（2）小题5分）
某市为鼓励市民节约用气，对居民管道天然气实行两档阶梯式收费.年用天然气量310立方米及以下为第一档；年用天然气量超出310立方米为第二档．某户应交天然气费y （元）与年用天然气量x （立方米）的关系如图6所示，观察图像并回答下列问题：
（1）年用天然气量不超过310立方米时，求y 关于x 的函数解析式（不写定义域）； （2）小明家2017年天然气费为1029元，求小明家2017年使用天然气量．
23.（本题满分12分，其中第（1）小题5分，第（2）小题7分）
已知：如图7，在正方形ABCD 中，点E 为边AB 的中点，联结DE ．点F 在DE 上，且CF=CD ，过点F 作FG ⊥FC 交AD 于点G ． （1）求证：GF=GD ；
（2）联结AF ，求证：AF ⊥DE ．
图6 x 1 2 3 4 5 –1 –2 –3 –4 –5 O 图5
图7
24．（本题满分12分，每小题4分）
已知平面直角坐标系xOy（如图8），二次函数y＝ax2＋bx＋4的图像经过A（-2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）如果点E在线段OC上，且∠CBE=∠ACO，求点E的坐标；
（3）点M在y轴上，且位于点C上方，点N在直线BC上，点P为上述二次函数图像的对称轴
．．．上的点，如果以C、M、N、P为顶点的四边形是菱形，求点M的坐标.
25．（本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）
如图9，已知在△ABC 中，AB=AC ，2
1
tan =
B ，B
C =4，点E 是在线段BA 延长线上一点，以点E 为圆心，EC 为半径的圆交射线BC 于点C 、F （点C 、F 不重合），射线EF 与射线AC 交于点P ．
（1）求证：AC AP AE ?=2；
（2）当点F 在线段BC 上，设CF =x ，△PFC 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式及定义域； （3）当2
1
=EF FP 时，求BE 的长．
备用图
图9
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．B ； 2．C ； 3．A ； 4．C ； 5．D ； 6．C ．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．22ab ；8．()()y x y x 22-+； 9．5=x ；10．21；11．2；12．13
60
60=+-x x ； 13．24； 14．
a
3
2； 15．3800；16．9；17．0；18．2或4．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．解：原式23-1-222++=．…………………………………………………（8分） 2-23=．………………………………………………………………（2分）
20. 解：3611.2
6x x x x >-??
-+?≤??，
由①得：62->x ．…………………………………………………………（2分）
解得3->x ．…………………………………………………………（1分）
由②得：11-3+≤x x ）（
．……………………………………………………（1分） 133+≤-x x ．……………………………………………………（1分）
42≤x ．
解得2≤x ．……………………………………………………………（1分） ∴原不等式组的解集为23-≤ …………………………………（2分） 21. 解：OD M CD OM O ，联结于点作过点⊥.……………………………………（1分） ∵，?=∠30CEA ∴?=∠=∠30CEA OEM .…………………………………（1分） 在Rt △OEM 中，∵OE =4， ∴22 1==OE OM ，322 3 430cos =? =?=? OE EM ． （2分） ∵35=DE ，∴33=-=EM DE DM ．…………（1分） ∵CD OM OM ⊥过圆心，,∴DM CD 2=.…………（2分） ∴36=CD ．……………………………………………（1分） ∵，，332==DM OM ∴在Rt △DOM 中，() 313 322 22 2 =+= +=DM OM OD ．……（1分） ∴ 弦CD 的长为36，⊙O 的半径长为31．……………………………（1分） ① ② 22．解：（1）设)0(≠=k kx y .…………………………………………………………（1分） ∵)0(≠=k kx y 的图像过点（310，930），……………………………（1分） ∴，k 310930=∴3=k .…………………………………………………（2分） ∴ x y 3=．…………………………………………………………… （1分） （2）设)0(≠+=k b kx y .………………………………………………………（1分） ∵ )0(≠+=k b kx y 的图像过点（310，930）和（320，963）， ∴ ?? ?=+=+63. 9320930310b k b k ， ∴ ?? ?-== 3. 93.3b k ，……………………………………………………………（1分） ∴933.3-=x y .…………………………………………………………（1分） 当3401029933.31029==-=x x y ，解得时，.……………………（1分） 答：小明家2017年使用天然气量为340立方米.……………………（1分） 23.证明：（1）∵是正方形四边形ABCD ，∴?=∠90ADC .………（1分） ∵FG ⊥FC ， ∴∠GFC = 90°. …………………………（1分） ∵，CD CF = ∴∠CDF =∠CFD .………………………（1分） ∴∠GFC -∠CFD =∠ADC -∠CDE ，即∠GFD =∠GDF .（1分） ∴GF =GD .………………………………………………（1分） （2）联结CG . ∵，，GD GF CD CF == ∴的中垂线上在线段、点FD C G .……（1分） ∴GC ⊥DE ，∴∠CDF +∠DCG = 90°， ∵∠CDF +∠ADE = 90°，∴∠DCG =∠ADE . ∵是正方形四边形ABCD ，∴AD =DC ，∠DAE =∠CDG = 90°， ∴△DAE ≌△CDG .……………………………………………………（1分） ∴DG AE =.………………………………………………………… （1分） ∵的中点，是边点AB E ∴的中点，是边点AD G ∴GF GD AG ==.……………………………………………………（1分） ∴，，GFD GDF AFG DAF ∠=∠∠=∠………………………………（1分） ∵，? =∠+∠+∠+∠180GDF GFD AFG DAF ……………………（1分） ∴，?=∠+∠18022GFD AFG ∴∠AFD = 90°，即AF ⊥DE .…………………………………………（1分） 证法2：（1）联结CG 交ED 于点H . ∵是正方形四边形ABCD ，∴?=∠90ADC .…………………………（1分） ∵FG ⊥FC ，∴∠GFC = 90°.……………………………………………（1分） 在Rt △C FG 与Rt △CDG 中， ?? ?==. CG CG CD CF ，…………………………………………………………… （1分） ∴Rt △CFG ≌Rt △CDG .………………………………………………（1分） ∴GD GF =.…………………………………………………………（1分） （2）∵，，GD GF CD CF == ∴的中垂线上在线段、点FD C G . ……………………………… （1分） ∴FH=HD ，GC ⊥DE ， ∴∠EDC +∠DCH = 90°，∵∠ADE +∠EDC= 90°， ∴∠ADE =∠DCH .……………………………………………………（1分） ∵是正方形四边形ABCD ， ∴AD=DC =AB ，∠DAE =∠CDG= 90°， ∵GDC EAD DC AD DCH ADE ∠=∠=∠=∠，，. ∴△ADE ≌△DCG .……………………………………………………（1分） ∴DG AE =.…………………………………………………………（1分） ∵的中点，是边点AB E ∴的中点，是边点AD G ∵的中点，是边点FD H ∴GH 是△AFD 的中位线.………………（1分） ∴，AF GH // ∴，GHD AFD ∠=∠ ∵GH ⊥FD ，∴∠GHD = 90°，………………………………………（1分） ∴∠AFD = 90°，即AF ⊥DE .………………………………………（1分） 24．解：（1）∵ 抛物线42++=bx ax y 与x 轴交于点A （-2，0），B （4，0）， ∴ ?? ?=++=+. 04416042-4b a b a ；…………………………………………………（1分） 解得?????==.121-b a ； …………………………………………………………（2分） ∴ 抛物线的解析式为42 1-2++=x x y .……………………………（1分） （2）H BC EH E 于点作过点⊥. 在Rt △ACO 中， ∵A （-2，0），∴ OA =2， 442 1-02=++==x x y x 时，当，∴OC=4， 在Rt △C OB 中，∵∠COB=90°，OC=OB=4， ∴2445==∠?BC OCB ，. ∵BC EH ⊥，∴CH=EH . ∴在Rt △ACO 中，2 1 tan == ∠CO AO ACO …………………………（1分） ∵∠CBE=∠ACO ，∴在Rt △EBH 中，1 tan 2 EH EBH BH ∠= =. 设k BH k k EH 2)0(=>=，则，CH=k ，CE =. ∴243==+=k HB CH CB . ∴，3 2 4= k ……………………………………………………………（1分） ∴，3 8=CE ………………………………………………………………（1分） ∴，3 4=EO ∴），（3 40E .………………………………………………（1分） （3）∵ A （-2，0），B （4，0）， ∴抛物线的对称轴为直线x =1.………………………………………（1分） ①的边时，为菱形当MCNP MC ∴，PN CM //∴∠PNC =∠NCO =45°. ∵点P 在二次函数的对称轴上， ∴，的横坐标为 点1P 1的横坐标为点N . ∴245 sin 1 == ? CN . ∵是菱形，四边形MCNP ∴，2==CN CM ∴，24+=+=CM OC OM ∴)240(+，M .……………………………………………………（1分） ②的边时，不存在为菱形当MCPN MC .……………………（1分） ③的对角线时，为菱形当MNCP MC ，于点交设Q CM NP ∴ 互相垂直平分，、NP CM ∴1==QP NQ .，QC MQ = ∵上，在直线点BC N ∠NCM =∠OCB=45°. P M C E H F B A 在Rt △CQN 中，∴∠NCQ =∠CNQ=45°， ∴，1==CQ QN ∴1MQ CQ ==， ∴，2=CM ∴，624=+=+=CM OC OM ∴ M （0，6）.………………………………………………………（1分） ∴综上所述)240(+，M 或 M （0，6）. 25．证明：（1）∵，AC AB =∴∠B =∠ACB . ∵，EC EF =∴∠EFC =∠ECF .…………………………………（1分） ∵，BEF B EFC ∠+∠=∠ 又∵，ACE ACB ECF ∠+∠=∠ ∴∠BEF =∠ACE .………………………………………………（1分） ∵是公共角，EAC ∠ ∴△AEP ∽△ACE .……………………………………………（1分） ∴ ， AE AP AC AE =∴AC AP AE ?=2.……………………………（1分） （2）∵∠B =∠ACB ，∠ECF =∠EFC ， ∴△ECB ∽△PFC . ∴2 ?? ? ??=??CB FC S S ECB PFC .………………………………………………（1分） E EH C F H ⊥过点做于点， ∵，经过圆心，CF EH EH ⊥ ∴x FC CH 2121== .∴x BH 2 1 4-=.…………………………（1分） 在Rt △BEH 中，∵， 21tan == ∠BH EH B ∴x EH 4 1 -2=. ∴x x EH BC S ECB 2 1 4)412(42121-=-??=?= ?.…………（1分） ∴2 42 1 4??? ??=-x x y . ∴)40(32 83 2<<-= x x x y .………………………………………（2分） （3） ①上时，在线段当点BC F ∵， 21 =EF FP A B F E C P ∴ ， 21 ==EC PE EF PE ∵△AEP ∽△ACE . ∴ ， EC PE AC AE = ∴12 AE AC =.……………………………………………………（1分） M BC AM A ，垂足为点作过点⊥. ∵，AC AB =，4=BC ∴， 221 == BC BM 在Rt △ABM 中，∵，2 1 tan =∠B ∴1AM AB AC ==，…（1分） ∴，25=AE ∴2 53=BE .………………………………………（1分） ②F BC 当点在线段延长线上时， ∵∠EFC =∠ECF ，EFC FCP P ∠=∠+∠， ECF B BEC ∠=∠+∠. 又∵B ACB ACB FCP ∠=∠∠=∠，，∴∠B =∠FCP . ∴∠P =∠BEC . ∵是公共角，EAC ∠ ∴△AEP ∽△ACE ，∴ ， EC PE AC AE = ∵，21=EF FP ∴32 PE PE EF EC ==， ∴32AE AC =………（1分） ∴2 5 5=BE .………………（1分） 综上所述,253=BE .