课前练习-图论
课前练习
一、填空题
1、图G 是简单图当且仅当 。
2、简单图G 是二部图当且仅当 。
3、若简单图G 满足(G)δ≥3，则G 中存在长度至少为 的圈。
4、连通图G 具有欧拉通路，而无欧拉回路的充要条件为 。
5、一颗树有两个2度分支点，一个3度分支点，三个4度分支点，则该树有 片树叶。
6、设T 为高为k 的二叉树，则T 最多有 个顶点。
7、设图G 是具有6条边、4个顶点的平面图,则图G 的面数为 。
8、一个图为非平面图当且仅当 。
9、S V ?，S 是图G 的极大独立集，则()V G S -是图G 的 。 10、带权为1，3，5，7，8，11，13的最优二叉树T 的权W(T)= 。 二、解答题
1、求下图G 1的色多项式，并指出其色数、点连通度和边连通度。
图G 1
2、（1）证明自补图的阶数n 4k =或者n 4k 1=+，k 为某个自然数。 （2）找出所有4阶的自补图。
3、（1）证明：设G 是有v 个顶点ε条边，且G 是自对偶平面图，则2v 2ε=-。 （2）已知一颗无向树T 有三个3度结点，一个二度结点，其余都是1度结点。
①T 有几个1度结点？
②试画出两棵满足上述度数要求的非同构的无向树。 4、通过布尔变量的运算，求下图3的全部极小支配集。
V 1
6 图3
图G 2
5、用破圈法求下图G 3中的一颗最小生成树,写出具体过程，并计算生成树的权。
图G 3
6、设简单图,, |V|=n, |E|=m,G V E =<> 若有2
12n m C -≥+，则G 是哈密尔顿图。
7、证明：5K 不是平面图.
8、证明：若,(,1)m n K m n ≥是哈密顿图，则必有.m n = 9、若,m n K 是树，求,m n 应满足的条件.
1
3
2
4
1
12
5
3
e 6
e 1
e 2
e 3
e 4
e 5
e 7
e 8
e 9
图论练习题2009(学生练习)
图论练习题 一、基本题 1、设G是由5个顶点构成的完全图，则从G中删去（）边可以得到树。 A．6 B．5 C．8 D．4 2、下面哪几种图不一定是树（）。 A．无回路的连通图 B．有n个结点，n-1条边的连通图 C．对每对结点间都有通路的图 D．连通但删去任意一条边则不连通的图。 3、5阶无向完全图的边数为（）。 A．5 B．10 C．15 D．20 4、把平面分成x个区域，每两个区域都相邻，问x最大为（） A．6 B．4 C．5 D．3 5、设图G有n个结点，m条边，且G中每个结点的度数不是k，就是k+1，则G中度数为k的节点数是（） A．n/2 B．n(n+1) C．nk-2m D．n(k+1)-2m 6、设G=
电子科技大学研究生试题《图论及其应用》(参考答案)
电子科技大学研究生试题 《图论及其应用》(参考答案) 考试时间：120分钟 一．填空题(每题3分，共18分) 1．4个顶点的不同构的简单图共有__11___个； 2．设无向图G 中有12条边，已知G 中3度顶点有6个，其余顶点的度数均小于3。则G 中顶点数至少有__9___个； 3．设n 阶无向图是由k(k ?2)棵树构成的森林，则图G 的边数m= _n-k____; 4．下图G 是否是平面图？答__是___; 是否可1-因子分解？答__是_. 5．下图G 的点色数=)(G χ______, 边色数=')(G χ__5____。 图G 二．单项选择(每题3分，共21分) 1．下面给出的序列中，是某简单图的度序列的是( A ) (A) (11123); (B) (233445); (C) (23445); (D) (1333). 2．已知图G 如图所示，则它的同构图是（ D ） 3． 下列图中，是欧拉图的是（ D ） 4． 下列图中，不是哈密尔顿图的是（B ） 5． 下列图中，是可平面图的图的是（B ） A C D A B C D
6．下列图中，不是偶图的是（ B ） 7．下列图中，存在完美匹配的图是（B ） 三．作图(6分) 1．画出一个有欧拉闭迹和哈密尔顿圈的图； 2．画出一个有欧拉闭迹但没有哈密尔顿圈的图； 3．画出一个没有欧拉闭迹但有哈密尔顿圈的图； 解： 四．(10分)求下图的最小生成树，并求其最小生成树的权值之和。 解：由克鲁斯克尔算法的其一最小生成树如下图： 权和为：20. 五．(8分)求下图G 的色多项式P k (G). 解：用公式 (G P k -G 的色多项式： )3)(3)()(45-++=k k k G P k 。 六．(10分) 22，n 3个顶点的度数为3，…，n k 个顶点的度数为k ，而其余顶点的度数为1，求1度顶点的个数。 解：设该树有n 1个1度顶点，树的边数为m. 一方面：2m=n 1+2n 2+…+kn k 另一方面：m= n 1+n 2+…+n k -1 v v 1 3 图G
离散数学图论练习题
图论练习题 一.选择题 1、设G是一个哈密尔顿图，则G一定是( )。 (1) 欧拉图(2) 树(3) 平面图(4)连通图 2、下面给出的集合中，哪一个是前缀码？() (1) {0，10，110，101111}(2) {01，001，000，1} (3) {b，c，aa，ab，aba}(4) {1，11，101，001，0011} 3、一个图的哈密尔顿路是一条通过图中()的路。 4、设G是一棵树，则G 的生成树有( )棵。 (1) 0(2) 1(3) 2(4) 不能确定 5、n阶无向完全图Kn 的边数是( )，每个结点的度数是( )。 6、一棵无向树的顶点数n与边数m关系是()。 7、一个图的欧拉回路是一条通过图中( )的回路。 8、有n个结点的树，其结点度数之和是()。 9、下面给出的集合中，哪一个不是前缀码( )。 (1) {a，ab，110，a1b11} (2) {01，001，000，1} (3) {1，2，00，01，0210} (4) {12，11，101，002，0011} 10、n个结点的有向完全图边数是( )，每个结点的度数是( )。 11、一个无向图有生成树的充分必要条件是( )。 12、设G是一棵树，n,m分别表示顶点数和边数，则 (1) n=m (2) m=n+1 (3) n=m+1 (4) 不能确定。 13、设T=〈V,E〉是一棵树，若|V|>1，则T中至少存在( )片树叶。 14、任何连通无向图G至少有( )棵生成树，当且仅当G 是( )，G的生成树只有一棵。 15、设G是有n个结点m条边的连通平面图，且有k个面，则k等于: (1) m-n+2 (2) n-m-2 (3) n+m-2 (4) m+n+2。 16、设T是一棵树，则T是一个连通且( )图。 17、设无向图G有16条边且每个顶点的度数都是2，则图G有( )个顶点。 (1) 10 (2) 4 (3) 8 (4) 16 18、设无向图G有18条边且每个顶点的度数都是3，则图G有( )个顶点。 (1) 10 (2) 4 (3) 8 (4) 12
图论期末考试整理复习资料
目录 第一章图的基本概念 (2) 二路和连通性 (4) 第二章树 (4) 第三章图的连通度 (6) 第四章欧拉图与哈密尔顿图 (8) 一，欧拉图 (8) 二．哈密尔顿图 (10) 第五章匹配与因子分解 (14) 一．匹配 (14) 二．偶图的覆盖于匹配 (15) 三．因子分解 (16) 第六章平面图 (20) 二．对偶图 (24) 三．平面图的判定 (25) 四．平面性算法 (28) 第七章图的着色 (34) 一．边着色 (34) 二．顶点着色 (35)
第九章 有向图 (40) 二 有向树 (41) 第一章 图的基本概念 1. 点集与边集均为有限集合的图称为有限图。 2. 只有一个顶点而无边的图称为平凡图。 3. 边集为空的图称为空图。 4. 既没有环也没有重边的图称为简单图。 5. 其他所有的图都称为复合图。 6. 具有二分类（X, Y ）的偶图（或二部图）：是指该图的点集可以分解为两个（非空）子 集 X 和 Y ，使得每条边的一个端点在 X 中，另一个端点在Y 中。 7. 完全偶图：是指具有二分类（X, Y ）的简单偶图，其中 X 的每个顶点与 Y 的每个顶点 相连，若 |X|=m ，|Y|=n ，则这样的偶图记为 Km,n 8. 定理1 若n 阶图G 是自补的（即 ），则 n = 0, 1（mod 4） 9. 图G 的顶点的最小度。 10. 图G 的顶点的最大度。 11. k-正则图: 每个点的度均为 k 的简单图。 例如,完全图和完全偶图Kn,n 均是正则图。 12. 推论1 任意图中，奇点的个数为偶数。 ()G δ()G ?
13. 14.频序列：定理4 一个简单图G的n个点的度数不能互不相同。 15.定理5 一个n阶图G相和它的补图有相同的频序列。 16. 17. 18.对称差：G1△G2 = (G1∪G2) - (G1∩G2) = (G1-G2)∪(G2-G1) 19.定义：联图在不相交的G1和G2的并图G1+G2中，把G1的每个顶点和G2的每个 顶点连接起来所得到的图称为G1和G2的联图，记为G1∨G2 20.积图：积图设G1= (V1, E1)，G2 = (V2, E2)，对点集V = V1×V2中的任意两个点u = (u1,u2)和v = (v1,v2)，当(u1 = v1和u2 adj v2) 或(u2 = v2 和u1 adj v1) 时就把u 和v 连接起来所得到的图G称为G1和G2积图。记为G = G1×G2 设G1= (V1, E1)，G2 = (V2, E2)，对点集V = V1×V2中的任意两个点u = (u1,u2)和v = (v1,v2)，当(u1 adj v1) 或(u1= v1 和u2 adj v2) 时就把u 和v 连接起来所得到的图G称为G1和G2的合成图。记为G=G1[G2]。
图论1-3藏习题解答
学号：0441 姓名：张倩 习题1 4．证明图1-28中的两图是同构的 证明：将图1-28的两图顶点标号为如下的(a)与(b)图 作映射f : f(v i )?u i (1? i ? 10) 容易证明，对?v i v j ?E((a)),有f(v i v j )?u i u j ?E((b)) (1? i ? 10, 1?j? 10 ) 由图的同构定义知，图1-27的两个图是同构的。 5.证明：四个顶点的非同构简单图有11个。 证明：设四个顶点中边的个数为m ，则有： m=0: m=1 ： m=2： m=3： (a) v 1 v 2 v 3 v v 5 v 6 v 7 v 8 v 9 v 10 u 1 u 2 u 3 u 4 u 5 u 6 u 7 u 8 u 9 u 10 (b)
m=4： m=5： m=6： 因为四个顶点的简单图最多就是具有6条边，上面所列出的情形是在不同边的条件下的不同构的情形，则从上面穷举出的情况可以看出四个顶点的非同构简单图有11个。 11.证明：序列（7,6,5,4,3,3,2）和（6,6,5,4,3,3,1）不是图序列。 证明：由于7个顶点的简单图的最大度不会超过6，因此序列（7,6,5,4,3,3,2）不是图序列； （6,6,5,4,3,3,1）是图序列 ()1 1 123121,1,,1,,,=d d n d d d d d π++---是图序列 （5,4,3,2,2,0）是图序列，然而（5,4,3,2,2,0）不是图序列，所以（6,6,5,4,3,3,1）不是图序列。 12.证明：若δ≥2，则G 包含圈。 证明 只就连通图证明即可。设V(G)=｛v1,v2,…,vn｝,对于G 中的路v1v2…vk,若vk 与v1邻接，则构成一个圈。若vi1vi2…vin 是一条路，由于?? 2，因此，对vin ，存在点vik 与之邻接，则vik?vinvik 构成一个圈 。 17.证明：若G 不连通，则G 连通。 证明 对)(,_ G V v u ∈?,若u 与v 属于G 的不同连通分支，显然u 与v 在_ G 中连通；若u 与v 属于g 的同一连通分支，设w 为G 的另一个连通分支中的一个顶点，则u 与w ，v 与w 分别在_ G 中连通，因此，u 与v 在_ G 中连通。
离散数学图论部分经典试题及答案
离散数学图论部分综合练习 一、单项选择题 1．设图G 的邻接矩阵为 ??? ???? ? ????? ???0101 010******* 11100100110 则G 的边数为( )． A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 2．已知图G 的邻接矩阵为 ， 则G 有（ ）． A ．5点，8边 B ．6点，7边 C ．6点，8边 D ．5点，7边 3．设图G ＝
图三 7．设有向图（a ）、（b ）、（c ）与（d ）如图四所示，则下列结论成立的是 ( ) ． 图四 A ．（a ）是强连通的 B ．（b ）是强连通的 C ．（c ）是强连通的 D ．（d ）是强连通的 应该填写：D 8．设完全图K n 有n 个结点(n ≥2)，m 条边，当（ ）时，K n 中存在欧拉回路． A ．m 为奇数 B ．n 为偶数 C ．n 为奇数 D ．m 为偶数 9．设G 是连通平面图，有v 个结点，e 条边，r 个面，则r = ( )． A ．e －v ＋2 B ．v ＋e －2 C ．e －v －2 D ．e ＋v ＋2 10．无向图G 存在欧拉通路，当且仅当( )． A ．G 中所有结点的度数全为偶数 B ．G 中至多有两个奇数度结点 C ．G 连通且所有结点的度数全为偶数 D ．G 连通且至多有两个奇数度结点 11．设G 是有n 个结点，m 条边的连通图，必须删去G 的( )条边，才能确定G 的一棵生成树． A ．1m n -+ B ．m n - C ．1m n ++ D ．1n m -+ 12．无向简单图G 是棵树，当且仅当( )． A ．G 连通且边数比结点数少1 B ．G 连通且结点数比边数少1 C ．G 的边数比结点数少1 D ．G 中没有回路． 二、填空题 1．已知图G 中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结 点，则G 的边数是 ． 2．设给定图G (如图四所示)，则图G 的点割 ο ο ο ο c a b f
图论与组合数学期末复习题含答案
组合数学部分 第1章 排列与组合 例1： 1)、求小于10000的含1的正整数的个数； 2、)求小于10000的含0的正整数的个数； 解：1)、小于10000的不含1的正整数可看做4位数,但0000除外.故有9×9×9×9－1＝6560个.含1的有：9999－6560=3439个 2)、“含0”和“含1”不可直接套用。0019含1但不含0。在组合的习题中有许多类似的隐含的规定，要特别留神。不含0的1位数有19个，2位数有29个，3位数有39个，4位数有49个 不含0小于10000的正整数有() ()73801919999954321=--=+++个含0小于10000的正整数9999－7380=2619个。 例2： 从[1,300]中取3个不同的数，使这3个数的和能被3整除，有多少种方案？ 解：将[1,300]分成3类： A={i|i ≡1(mod 3)}={1,4,7,…,298}, B={i|i ≡2(mod 3)}={2,5,8,…,299}, C={i|i ≡0(mod 3)}={3,6,9,…,300}. 要满足条件，有四种解法： 1)、3个数同属于A; 2)、3个数同属于B ； 3)、3个数同属于C; 4)、A,B,C 各取一数；故共有3C(100,3)+1003=485100+1000000=1485100。 例3：（Cayley 定理：过n 个有标志顶点的数的数目等于2-n n ） 1）、写出右图所对应的序列； 2）、写出序列22314所对应的序列； 解： 1）、按照叶子节点从小到大的顺序依次去掉节点（包含与此叶子 节点相连接的线），而与这个去掉的叶子节点相邻的另外一个点值则记入序列。如上图所示，先去掉最小的叶子节点②，与其相邻的点为⑤，然后去掉叶子节点③，与其相邻的点为①，直到只剩下两个节点相邻为止，则最终序列为51155.。 2）、首先依据给定序列写出（序列长度+2）个递增序列，即1234567，再将给出序列按从小到大顺序依次排列并插入递增序列得到：7。我们再将给出序列22314写在第一行，插入后的递增序列写在第二行。如下图第一行所示： ??→????? ??--②⑤67112223344522314??→???? ? ??--②⑥11223344672314 ??→????? ??--③②11233447314??→???? ? ??--①③11344714
图论习题
图论习题 考研习题与经典习题 2004-5 ?一、握手定理的应用 ?二、平面图、欧拉公式的应用 ?三、图的基本概念与应用 ?四、欧拉图和哈密顿图 ?五、图的着色 一、握手定理的应用 ?1. 已知具有n个度数都为3的结点的简单图G有e条边， ?（1）若e=3n-6，证明G在同构意义下唯一，并求e，n。 ?（2）若n=6，证明G在同构意义下不唯一。 ?提示：握手定理（北师大2000考研） ?解： ?（1）由握手定理，3n=2e; 因为e=3n-6，所以n=4，e=6。这样的图是完全图K4，所以在同构的意义下唯一。 ?（2）由握手定理，3*6=2e；e=9。在同构的意义下不唯一。 ?2. 无向图G有21条边，12个结点度数为3，其余结点度数为2，求G的顶点数。 ?提示：握手定理（北大2001考研）
?解： ?3. 已知n个结点的简单图G有e条边，各结点度数为3， 2n=e+3。试画出满足条件的所有不同构的G。 ?提示：握手定理（西南交大2000考研/北京大学1990考研）?参考1(2) ?解：由握手定理，e=(3n/2)；由已知，e=2n-2；所以n=6，e=9。 ?在同构意义下G不是唯一的。 ?4. 设树T有17条边，12片树叶，4个4度内结点，1个3度内结点，求T的树根的度数。 ?（提示：握手定理。北大1997考研） ?解：结点数为17+1=18 由握手定理，12*1+4*4+1*3+1*l=34, l=3. ?5. 设无向树T有3个3度，2个2度结点，其余结点都是树叶，
问T有几片树叶？ ?握手定理 ?6. 证明：在任何两个或两个以上人的组内，存在两个人在组内有相同个数的朋友。 ?/*等价于：至少有两个顶点的简单图有两个相同度数的顶点 ?/*中国科学院自动化所1998考研 二、平面图、欧拉公式的应用 ?1，关于平面图的不等式的证明 欧拉公式及其推论的运用 ?2，非平面图的判定 应用库拉托斯基定理 ?1. 设G是n个结点的连通简单平面图，若n≥3，则G中必有一个结点度数不超过5。 ?提示：涉及度数，握手定理；连通平面图，欧拉公式；简单平面图，若n≥3，欧拉公式的推论 ?（西南交大1999考研） ?证明： 握手定理：∑dev(v i)=2e;
图论习题
习题八 8.1 设V={u,v,w,x,y}, 画出图G: (V ,E). (1) E={(u,v),(u,x),(v,w),(v,y),(x,y)} (2) E={(u,v),(v,w),(w,x),(w,y),(x,y)} 再求每个结点的次数。 8.2 设G 是具有4个结点的完全图： (1) 写出G 的所有子图； (2) 写出G 的所有生成子图。 8.3 画出一个多重图，使它们的邻接矩阵为 1300301101220 120?? ? ? ? ??? . 8.4 对于图1，试求 (1) 从a 到h 的所有基本通路； (2) 从a 到h 的所有简单通路； (3) 从a 到h 的距离。 h e d 图1 8.5 图2中哪个有欧拉通路、有欧拉回路、有汉密尔顿通路、有汉密尔顿回路？ b c e 图2 8.6 图G 1，G 2的邻接矩阵分别为A 1，A 2，试求： (1) 2323 1122,,,A A A A ; (2) 在G 1内列出每两个结点间的距离； (3) 列出G 1，G 2中的所有基本回路。 100110000011 00101010001001A ?? ? ? ?= ? ? ?? ?， 20 0011000 0000110001000101010010010000 1000000100000A ?? ? ? ? ? = ? ? ? ? ??? 8.7 设有向图D 如下，试求： (1) 每个结点的入次与出次； (2) 它的邻接矩阵M D ； (3) D 是强连通、弱连通还是单向连通？ (4) 求从a 到c 长度小于或等于3的通路数。
8.8 D 是具有结点v 1、v 2、v 3、v 4的有向图，它的邻接矩阵表示如下： 0111011011011 00 0?? ? ? ? ??? (1) 画出这个图； (2) D 是强连通还是单向连通？ (3) 求从v 1到v 1长度是3的回路，从v 1到v 2、v 1到v 3、v 1到v 4长度是3的通路数。 习题九 9.4 设有代数表示式如下：4 2 (35)(2) x y a b c -+，试画出这个表示式的树. 第四篇 1. 在图G=(V,E)中，结点次数与边数的关系是下面4个中的哪一个？ (1) deg()2||i v E = (2) deg()||i v E = (3) deg()2||v V v E ∈=∑ (4) deg()||v V v E ∈=∑ 2. 设G 是n 个结点的无向完全图，则图G 的边数是多少？设D 是n 个结点的有向完全图，则图D 的边数又是多少？ 3. 仅有一个结点是图称为什么图？ 4. 设G=(V ,E)为无向简单图，|V|=n ，?(G)为G 中结点的最大次数，请指出下面4个中哪个不等式是正确的。 (1) ?(G)
《集合论与图论》课堂练习3
《集合论与图论》课堂练习3 （2007年6月18日 8:00-9:40 复旦大学计算机系06级） 学号姓名 一、判断下列命题是否正确，并说明理由。（括号内写“是”或“否”）（40分，每题8分，是非判断4分，证明或反例4分） 1 存在7个结点的自补图。 （） n 的连通图。则G没有割点当且仅当G的剖分也没有割点。 2 设G是顶点数3 （）
3 若G是简单连通图，边数为e，结点数为n。若e n，则G至少有3棵生成树。 （） 4 一个有向图D中仅有一个顶点的入度为0，其余顶点的入度均为1，则D是有根树。（） 5 设C是简单连通图G的回路，若删去C中任一边后所得到的路C’为G中的最长路，则C是图G的哈密顿回路。 （）
二、综合题（60分） 1．证明：任何平面图是5-可着色的。 2．如果在一个地图上任何两个地区都相邻，问在该地图上最多有几个地区？
3．如果为一个无向图的每一条边确定一个方向，使得所得到的有向图是强连通的，称该无向图是可定向的。证明：欧拉图和哈密顿图都是可定向。 4．设G为非平凡有向图，V为G的结点集合，若对V的任一非空子集S，G中起始结点在S 中，终止结点在V-S中的有向边至少有k条，则称G是k边连通的。 证明：非平凡有向图是强连通的充要条件为它是一边连通的。
5．证明：任何一个竞赛图是半哈密顿图。 6在2005年9月复旦大学百年校庆的庆典日，有4对毕业于复旦大学计算机系的新婚夫妇在袁成瑛计算机楼“仰止”石前的草坪上举行集体婚礼，婚礼由从加拿大远道赶来的复旦大学计算机系82级校友顾若平学长主持。 在婚礼结束时，这4对夫妇互相握手，彼此祝愿对方新组成的家庭，因此，不会有自己和自己握手，也不会有夫妻间的握手，并且没有两个人握手超过一次。握手之后，新郎计算机系99级的陈宇阳校友问其他3对夫妇和他的新婚妻子：他或她握了多少次手？陈宇阳校友得到的答案都不相同。陈宇阳校友想到在复旦求学时，计算机系的老教师多次向他们提及顾若平学长，说他当年是“复旦第一聪明人”。于是一贯争强好胜的陈宇阳校友就去挑战前辈，他将握手的情况告诉顾学长，然后问顾学长：“前辈，我握了几次手？”而顾若平学长则不假思索地就给出了正确答案。 本题的正确答案是什么？请证明。
电子科技大学2017年图论期末试卷
1 2017年图论课程练习题 一．填空题 1.图1中顶点a 到顶点b 的距离d (a ,b )= 。 a b 9 图1 1 2.已知图G 的邻接矩阵0 11011 01001 1010001011001 0A = ，则G 中长度为2的途径总条数为 。 3.图2中最小生成树T 的权值W (T )= 。 4.图3的最优欧拉环游的权值为 。 12 图 2
2 图3 5.树叶带权分别为1,2,4,5,6,8的最优二元树权值为 。 二．单项选择 1．关于图的度序列，下列说法正确的是( ) (A) 对任意一个非负整数序列来说，它都是某图的度序列； (B) 若非负整数序列12(,,,)n d d d π= 满足1n i i d =∑为偶数，则它一定是图序 列； (C) 若图G 度弱于图H ，则图G 的边数小于等于图H 的边数； (D) 如果图G 的顶点总度数大于或等于图H 的顶点总度数，则图G 度优 于图H 。 2．关于图的割点与割边，下列说法正确的是（ ） (A) 有割边的图一定有割点； (B) 有割点的图一定有割边； (C) 有割边的简单图一定有割点； (D) 割边不在图的任一圈中。 3.设()k G ，()G λ，()G δ分别表示图G 的点连通度，边连通度和最小度。下面说法错误的是( )
3 (A) 存在图G ，使得()k G =()G δ=()G λ； (B) 存在图G ，使得()()()k G G G λδ<<； (C) 设G 是n 阶简单图，若()2n G δ ≥ ，则G 连通，且()()G G λδ=； (D) 图G 是k 连通的，则G 的连通度为k 。 4.关于哈密尔顿图，下列命题错误的是( ) (A) 彼得森图是非哈密尔顿图； (B) 若图G 的闭包是哈密尔顿图，则其闭包一定是完全图； (C) 若图G 的阶数至少为3且闭包是完全图，则图G 是哈密尔顿图； (D) 设G 是三阶以上简单图，若G 中任意两个不邻接点u 与v ，满足 ()()d u d v n +≥，则G 是哈密尔顿图。 5.下列说法错误的是( ) (A) 有完美匹配的三正则图一定没有割边； (B) 没有割边的三正则图一定存在完美匹配； (C) 任意一个具有哈密尔顿圈的三正则图可以1因子分解； (D) 完全图21n K +是n 个哈密尔顿圈的和。 三、 设无向图G 有10条边，3度与4度顶点各2个，其余顶点度数均小于3，问G 中至少有几个顶点？在最少顶点数的情况下，写出G 的度序列，该度序列是一个图序列吗？。
习题参考解答(图论部分)
习题十 1. 设G 是一个(n ，m)简单图。证明：，等号成立当且仅当G 是完全图。 证明：（1）先证结论： 因为G 是简单图，所以G 的结点度上限 max(d(v)) ≤ n-1, G 图的总点度上限为 max(Σ(d(v)) ≤ n ﹒max(d(v)) ≤ n(n-1) 。根据握手定理，G 图边的上限为 max(m) ≤ n(n-1)/2,所以。 （2） =〉G 是完全图 因为G 具有上限边数，假设有结点的点度小于n-1,那么G 的总度数就小于上限值，边数就小于上限值，与条件矛盾。所以，G 的每个结点的点度都为n-1，G 为完全图。 G 是完全图 =〉 因为G 是完全图，所以每个结点的点度为n-1, 总度数为n(n-1)，根据握手定理，图G 的边数 。■ 2. 设G 是一个（n ，n +1）的无向图，证明G 中存在顶点u ，d （u ）≥3。 证明：反证法，假设,则G 的总点度上限为max(Σ(d(u)) ≤2 n ，根据握手定理，图边的上限为max(m) ≤ 2n/2=n 。与题设m = n+1，矛盾。因此，G 中存在顶点u ，d （u ）≥3。■ 3．确定下面的序列中哪些是图的序列，若是图的序列，画出一个对应的图来: （1）（3，2，0，1，5）； （2）（6，3，3，2，2） （3）（4，4，2，2，4）； （4）（7，6，8，3，9，5） 解：除序列（1）不是图序列外，其余的都是图序列。因为在（1）中，总和为奇数，不满足图总度数为偶数的握手定理。 可以按如下方法构造满足要求的图：序列中每个数字ai 对应一个点，如果序列数字是偶数，那么就在对应的点上画ai/2个环，如果序列是奇数，那么在对应的点上画(ai-1)/2个环。最后，将奇数序列对应的点两两一组，添加连线即可。下面以（2）为例说明： (6 , 3, 3, 2, 2 ) 对应图G 的点集合V= { v 1,v 2,v 3,v 4,v 5} 每个结点对应的环数(6/2, (3-1)/2, (3-1)/2, 2/2,2/2) = (3,1,1,1,1)
图论习题参考答案
二、应用题 题0：（1996年全国数学联赛） 有n （n ≥6）个人聚会，已知每个人至少认识其中的[n /2]个人，而对任意的[n /2]个人，或者其中有两个人相互认识，或者余下的n -[n /2]个人中有两个人相互认识。证明这n 个人中必有3个人互相认识。 注：[n /2]表示不超过n /2的最大整数。 证明 将n 个人用n 个顶点表示，如其中的两个人互相认识，就在相应的两个顶点之间连一条边，得图G 。由条件可知，G 是具有n 个顶点的简单图，并且有 （1）对每个顶点x ， )(x N G ≥[n /2]； （2）对V 的任一个子集S ，只要S ＝[n /2]，S 中有两个顶点相邻或V-S 中有 两个顶点相邻。 需要证明G 中有三个顶点两两相邻。 反证，若G 中不存在三个两两相邻的顶点。在G 中取两个相邻的顶点x 1和y 1,记N G (x 1)＝{y 1,y 2,……,y t }和N G (y 1)={x 1,x 2,……,x k },则N G (x 1)和N G (y 1)不相交，并且N G (x 1)（N G (y 1)）中没有相邻的顶点对。 情况一；n=2r ：此时[n /2]＝r ，由（1）和上述假设，t=k=r 且N G (y 1)＝V-N G (x 1)，但N G (x 1)中没有相邻的顶点对，由（2），N G (y 1)中有相邻的顶点对，矛盾。 情况二；n=2r+1: 此时[n /2]＝r ，由于N G (x 1)和N G (y 1)不相交，t ≥r,k ≥r,所以r+1≥t,r+1≥k 。若t=r+1,则k=r ，即N G (y 1)=r ，N G (x 1)＝V-N G (y 1)，由（2），N G (x 1)或N G (y 1)中有相邻的顶点对，矛盾。故k ≠r+1，同理t ≠r+1。所以t=r,k=r 。记w ∈V- N G (x 1) ∪N G (y 1),由（2），w 分别与N G (x 1)和N G (y 1)中一个顶点相邻，设wx i0∈E, wy j0∈E 。若x i0y j0∈E ，则w ，x i0, y j0两两相邻，矛盾。若x i0y j0?E ，则与x i0相邻的顶点只能是(N G (x 1)-{y j0})∪{w},与y j0相邻的顶点只能是(N G (y 1)-{x j0})∪{w}。但与w 相邻的点至少是3，故N G (x 1)∪N G (y 1)中存在一个不同于x i0和y j0顶点z 与w 相邻，不妨设z ∈N G (x 1)，则z ，w ，x i0两两相邻，矛盾。 题1：已知图的结点集V ={a ,b ,c ,d }以及图G 和图D 的边集合分别为： E (G )={(a ,a ), (a ,b ), (b ,c ), (a ,c )} E (D)={, ,
2015电子科技大学_图论期末考试复习题
2015电子科技大学 图论考试复习题 关于图论中的图，以下叙述不正确的是 A ．图中点表示研究对象，边或有向边表示研究对象之间的特定关系。 B ．图论中的图，画边时长短曲直无所谓。 C ．图中的边表示研究对象，点表示研究对象之间的特定关系。 D ．图论中的图，可以改变点与点的相互位置，只要不改变点与点的连接关系。 一个图中最长的边一定不包含在最优生成树内。 下面哪个图形不与完全二分图K 3,3同构？ A ． B ． C ． D ． 有10条边的5顶单图必与K 5同构。 完全二分图K m ,n 的边数是 A ．m B ．n C ．m +n D ．mn 无向完全图K n 的边数为 A ．n B ．n 2 C ．n (n -1) D ．n (n -1)/2 若一个无向图有5个顶点，如果它的补图是连通图，那么这个无向图最多有 条边。 对于两个图，如果顶点数目相等，边数相等，次数相等的顶点数目也相等，则这两个图同构。 有15个顶的单图的边数最多是 A ．105 B ．210 C ．21 D ．45 图G 如右，则dacbeb A ．是G 中的一条道路 B ．是G 中的一条道路但不是行迹 C ．是G 中的一条行迹但不是轨道 D ．不是G 的一条道路 图G 如右，则befcdef A ．是G 的一个圈 B ．是G 的一条道路但不是行迹 C ．是G 的一条行迹但不是轨道 D ．是G 的一条轨道但不是圈
v1 36 7 图G如右图所示，则ω (G)= A．1 B．2 C．7 D．8 下列图形中与其补图同构的是 A．B．C．D． 求下图中顶u0到其余各顶点的最短轨长度。 u0v1=8，u0v2=1，u0v3=4，u0v4=2，u0v5=7，v1v2=7，v1v3=2，v1v6=4，v2v4=2，v2v7=3，v3v5=3，v3v6=6，v4v5=5，v4v7=1， v5v 6 =4，v 5 v7=3，v6v7=6， 请画出6阶3正则图。 请画出4个顶，3条边的所有非同构的无向简单图。 设图G={V(G)，E(G)}其中V ={ a1, a2, a3, a4, a5}，E(G)={(a1, a2)，(a2, a4)，(a3, a1)，(a4, a5)，(a5, a2)}，试给出G的图形表示并画出其补图的图形。 一个图的生成子图必是唯一的。 不同构的有2条边，4个顶的无向简单图的个数为 A．1 B．2 C．3 D．4 画出5个具有5个结点5条边的非同构的无向连通简单图。 u0到v1的最短轨长度为6，u0到v2的最短轨长度为1，u0 到v3的最短轨长度为4，u0到v4的最短轨长度为2，u0到v5的最短轨长度为6 ，u0到v6的最短轨长度为9，u0到v7的最短轨长度为3。
离散数学图论部分综合练习
离散数学图论部分综合练习 1 ．设图G ＝
电子科技大学研究生试题图论及其应用参考答案完整版
电子科技大学研究生试题图论及其应用参考答 案 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】
电子科技大学研究生试题 《图论及其应用》(参考答案) 考试时间：120分钟 一．填空题(每题3分，共18分) 1．4个顶点的不同构的简单图共有__11___个； 2．设无向图G 中有12条边，已知G 中3度顶点有6个，其余顶点的度数均小于3。则G 中顶点数至少有__9___个； 3．设n 阶无向图是由k(k2)棵树构成的森林，则图G 的边数m= _n-k____; 4．下图G 是否是平面图？答__是___; 是否可1-因子分解？答__是_. 5．下图G 的点色数=)(G χ______, 边色数=')(G χ__5____。 图G 二．单项选择(每题3分，共21分) 1．下面给出的序列中，是某简单图的度序列的是( A ) (A) (11123); (B) (233445); (C) (23445); (D) (1333). 2．已知图G 如图所示，则它的同构图是（ D ） 3． 下列图中，是欧拉图的是（ D ） 4． 下列图中，不是哈密尔顿图的是（B ）
5． 下列图中，是可平面图的图的是（B ） 6．下列图中，不是偶图的是（ B ） 7．下列图中，存在完美匹配的图是（B ） 三．作图(6分) 1．画出一个有欧拉闭迹和哈密尔顿圈的图； 2．画出一个有欧拉闭迹但没有哈密尔顿圈的图； 3．画出一个没有欧拉闭迹但有哈密尔顿圈的图； 解： 四． A C D 1 2 3 A B C D
解：由克鲁斯克尔算法的其一最小生成树如下图： 权和为：20. 五．(8分) 求下图G 的色多项式P k (G). 解：用公式 )(e G P k -G 的色多项式： )3)(3)()(345-++=k k k G P k 。 六．(10分) 一棵树有n 2个顶点的度数为2，n 3个顶点的度数为3，…，n k 个顶点的度数 为k ，而其余顶点的度数为1，求1度顶点的个数。 解：设该树有n 1个1度顶点，树的边数为m. 一方面：2m=n 1+2n 2+…+kn k 另一方面：m= n 1+n 2+…+n k -1 由上面两式可得：n 1=n 2+2n 3+…+(k -1)n k 七．证明：(8分) 设G 是具有二分类(X,Y)的偶图，证明(1)G 不含奇圈；（2）若|X |≠|Y |，则G 是非哈密尔顿图。 证明：(1) 若不然，设C=v 1v 2…v m v 1为G 的一个奇圈，不妨设v 1X, v 5 v v v 6 图G
运筹学期末试题
《运筹学》试题样卷（一） 一、判断题（共计10分，每小题1分，对的打√，错的打X ） 1. 无孤立点的图一定是连通图。 2. 对于线性规划的原问题和其对偶问题，若其中一个有最优解， 另一个也一定有最优解。 3. 如果一个线性规划问题有可行解，那么它必有最优解。 4．对偶问题的对偶问题一定是原问题。 5．用单纯形法求解标准形式（求最小值）的线性规划问题时，与0 >j σ 对应的变量都 可以被选作换入变量。 6．若线性规划的原问题有无穷多个最优解时，其对偶问题也有无穷 多个最优解。 7. 度为0的点称为悬挂点。 8. 表上作业法实质上就是求解运输问题的单纯形法。 9. 一个图G 是树的充分必要条件是边数最少的无孤立点的图。 二、建立下面问题的线性规划模型（8分） 某农场有100公顷土地及15000元资金可用于发展生产。农场劳动力情况为秋冬季3500人日；春夏季4000人日。如劳动力本身用不了时可外出打工，春秋季收入为25元 / 人日，秋冬季收入为20元 / 人日。该农场种植三种作物：大豆、玉米、小麦，并饲养奶牛和鸡。种作物时不需要专门投资，而饲养每头奶牛需投资800元，每只鸡投资3元。养奶牛时每头需拨出1.5公顷土地种饲料，并占用人工秋冬季为100人日，春夏季为50人日，年净收入900元 / 每头奶牛。养鸡时不占用土地，需人工为每只鸡秋冬季0.6人日，春夏季为0.3人日，年净收入2元 / 每只鸡。农场现有鸡舍允许最多养1500只鸡，牛栏允许最多养200头。三种作物每年需要的人工及收入情况如下表所示：
试决定该农场的经营方案，使年净收入为最大。 三、已知下表为求解某目标函数为极大化线性规划问题的最终单纯形表，表中54,x x 为 1x 2x 3x 4x 5x 3x 5/2 0 1/2 1 1/2 ０ 1x 5/2 1 －1/ 2 0 －1/6 1/ 3 j j z c - －４ －４ －２ (1)写出原线性规划问题；（4分） (2)写出原问题的对偶问题；（3分） (3)直接由上表写出对偶问题的最优解。（1分） 四、用单纯形法解下列线性规划问题（16分） 3212max x x x Z +-= s. t. 3 x 1 + x 2 + x 3 ￡ 60 x 1- x 2 +2 x 3 ￡ 10 x 1+ x 2- x 3 ￡ 20 x 1, x 2 , x 3 30 五、求解下面运输问题。 （18分） 某公司从三个产地A 1、A 2、A 3 将物品运往四个销地B 1、B 2、B 3、B 4，各产地的产量、各销地的销量和各产地运往各销地每件物品的运费如表所示： 问：应如何调运，可使得总运输费最小? 销 地 产 地 1B 2 B 3 B 4 B 产 量 1A 2 A 3 A 10 8 9 5 2 3 6 7 4 7 6 8 25 25 50 销 量 15 20 30 35 100 六、灵敏度分析（共8分） 线性规划max z = 10x 1 + 6x 2 + 4x 3 s.t. x 1 + x 2 + x 3 ￡ 100 10x 1 +4 x 2 + 5 x 3 ￡ 600