03 第三节 全微分及其应用

第三节 全微分及其应用

分布图示

★ 偏增量与全增量 ★ 全微分的定义

★ 可微的必要条件 ★ 可微的充分条件

★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4

★ 多元函数连续、可导、可微的关系.

★ 全微分在近似计算中的应用

★ 例5 ★ 绝对误差与相对误差 ★ 例6

★ 例7 ★ 内容小结 ★ 课堂练习

★ 习题8—3

★ 返回

例题选讲

例1(E01) 求函数62354y x xy z +=的全微分.

解 因为

,3012,1045

2263y x xy y z

xy y x z

+=??+=??

.)3012()104(52263dy y x xy dx xy y dz +++=

例2 (E02) 计算函数xy e z =在点(2, 1)处的全微分.

解 ,xy ye x z =??,xy xe y z

=??

,2)1,2(e x z =??,2

2)

1,2(e y z =??

所求全微分

.222dy e dx e dz +=

例3 求函数 yz e y

x u ++=2sin 的全微分.

解 由

,1=??x u

,2cos 21

yz ze y

y u

+=??

,yz ye z u

=??

故所求全微分

.)2

cos 21(dz ye dy ze y dx du yz yz +++=

例4 (E03) 求函数z

y x u =的偏导数和全微分.

解 z z y z y z x x y x y x u ?=?=??-1 z z y z z y x y

x y z x y z x y u ??=???=??-ln ln 1 y x y x y y x x z

u z y z y z z ln ln ln ln ???=??=?? dz z u dy y u dx x u du ??+??+??=.ln ln ln ???

? ???+?+=ydz x y dy y x y z dx x y x z z z y z

例5 (E04) 计算02.2)04.1(的近似值.

解 设函数.),(y x y x f =.02.0,04.0,2,1=?=?==y x y x

,),(,1)2,1(1-==y x yx y x f f ,ln ),(x x y x f y y =,0)2,1(,2)2,1(==y x f f

由二元函数全微分近似计算公式得

02.0004.021)04.1(02.2?+?+≈.08.1=

例6 测得矩形盒的边长为75cm 、60cm 以及40cm ，且可能的最大测量误差为0.2cm. 试用全微分估计利用这些测量值计算盒子体积时可能带来的最大误差.

解 以x 、y 、z 为边长的矩形盒的体积为,xyz V = 所以dz z

V dy y V dx x V dV ??+??+??=.xydz xzdy yzdx ++= 由于已知 ,2.0||≤?x ,2.0||≤?y ,2.0||≤?z 为了求体积的最大误差,取,2.0===dz dy dx 再结合,40,60,75===z y x 得

dV V ≈?2.060752.040752.04060??+??+??=,1980=

即每边仅0.2cm 的误差可以导致体积的计算误差过到.19803cm

例7 利用摆摆动测定重力加速度g 的公式是.42

2T l

g π= 现测得单摆摆长l 与振动周期T 分别为cm l 1.0100±=、s T 004.02±=. 问由于测定l 与T 的误差而引起g 的绝对误差和相对误差各为多少?

解 如果把测量l 与T 时所产生的误差当作||l ?与|,|T ?则题设公式计算所产生的误差就是二元函数224T

l g π=的全增的绝对值.||g ?由于||||T l ??、都很小，因此可用dg 近似的

代替.g ?这样就得到g 的误差为

g ?dg ≈T l T g l g ???+???=T T g l l g δδ???+???≤,214322??

? ??+=T l T l T δδπ 其中l δ与T δ为l 与T 的绝对误差.

把004.0,1.0,2,100====T l T l δδ代入上式，得g 的绝对误差约为

??

?

????+=004.02100221.04322g πδ25.0π=)./cm 93.42s （≈ 从而g 的相对误差为 %.5.02/)1004(5.02

22g

=?=ππδg

课堂练习

1. 讨论函数??

???=+≠++=0,00,2222242y x y x y x y x z 在点(0, 0)处函数的全微分是否存在? 2. 设,),,(1z

y x z y x f ???? ??=求).1,1,1(df

03 第三节 全微分及其应用

第三节 全微分及其应用 分布图示 ★ 偏增量与全增量 ★ 全微分的定义 ★ 可微的必要条件 ★ 可微的充分条件 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 多元函数连续、可导、可微的关系. ★ 全微分在近似计算中的应用 ★ 例5 ★ 绝对误差与相对误差 ★ 例6 ★ 例7 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题8—3 ★ 返回 例题选讲 例1(E01) 求函数62354y x xy z +=的全微分. 解 因为 ,3012,1045 2263y x xy y z xy y x z +=??+=?? .)3012()104(52263dy y x xy dx xy y dz +++= 例2 (E02) 计算函数xy e z =在点(2, 1)处的全微分. 解 ,xy ye x z =??,xy xe y z =?? ,2)1,2(e x z =??,2 2) 1,2(e y z =?? 所求全微分 .222dy e dx e dz += 例3 求函数 yz e y x u ++=2sin 的全微分. 解 由 ,1=??x u ,2cos 21 yz ze y y u +=?? ,yz ye z u =?? 故所求全微分

.)2 cos 21(dz ye dy ze y dx du yz yz +++= 例4 (E03) 求函数z y x u =的偏导数和全微分. 解 z z y z y z x x y x y x u ?=?=??-1 z z y z z y x y x y z x y z x y u ??=???=??-ln ln 1 y x y x y y x x z u z y z y z z ln ln ln ln ???=??=?? dz z u dy y u dx x u du ??+??+??=.ln ln ln ??? ? ???+?+=ydz x y dy y x y z dx x y x z z z y z 例5 (E04) 计算02.2)04.1(的近似值. 解 设函数.),(y x y x f =.02.0,04.0,2,1=?=?==y x y x ,),(,1)2,1(1-==y x yx y x f f ,ln ),(x x y x f y y =,0)2,1(,2)2,1(==y x f f 由二元函数全微分近似计算公式得 02.0004.021)04.1(02.2?+?+≈.08.1= 例6 测得矩形盒的边长为75cm 、60cm 以及40cm ，且可能的最大测量误差为0.2cm. 试用全微分估计利用这些测量值计算盒子体积时可能带来的最大误差. 解 以x 、y 、z 为边长的矩形盒的体积为,xyz V = 所以dz z V dy y V dx x V dV ??+??+??=.xydz xzdy yzdx ++= 由于已知 ,2.0||≤?x ,2.0||≤?y ,2.0||≤?z 为了求体积的最大误差,取,2.0===dz dy dx 再结合,40,60,75===z y x 得 dV V ≈?2.060752.040752.04060??+??+??=,1980= 即每边仅0.2cm 的误差可以导致体积的计算误差过到.19803cm 例7 利用摆摆动测定重力加速度g 的公式是.42 2T l g π= 现测得单摆摆长l 与振动周期T 分别为cm l 1.0100±=、s T 004.02±=. 问由于测定l 与T 的误差而引起g 的绝对误差和相对误差各为多少? 解 如果把测量l 与T 时所产生的误差当作||l ?与|,|T ?则题设公式计算所产生的误差就是二元函数224T l g π=的全增的绝对值.||g ?由于||||T l ??、都很小，因此可用dg 近似的

高等数学(II-2)

单项选择题 1、级数为( ) B、条件收敛但不绝对收敛 2、曲线在t=2处的切向量是（）。 A、(2,1, 4) 3、在)处均存在是 在处连续的（）条件。 D、既不充分也不必要 4、设a为常数，则级数( ) A、绝对收敛 5、 二元函数的定义域是（）。

A、 6、方程表示的曲面是（）。 D、球面 7、有且仅有一个间断点的函数是（）。 B、 8、下列级数中,收敛级数是（） A、 9、按牛顿冷却定律：物体在空气中冷却的速度与物体的温度和空气的温度之差成正比。已知空气温度为300C,而物体在15分钟内从1000C冷却到700C，求物体冷却到400C所需的时间为（）分钟。 C、52 10、平面4y－7z=0的位置特点是（） D、通过x轴 11、若满足，则交错级数

。 C、可收敛也可发散 12、下列无穷级数中发散的是（）。 C、 13、下列说法正确的是（）。 C、两向量之间的夹角范围在 14、级数收敛，则参数a满足条件（） A、a>e 15、下列方程中( )是表示母线平行于y轴的双曲柱面。 D、 16、求点(1,2,3)到平面的距离是（）。

D、 17、以下各方程以为解的是（）。 A、 18、，且收敛，则 ( )。 A、绝对收敛 19、当k =（）时,平面与 互相垂直。 A、0

20、设，u=cos x, v=sin x,则=（）。 C、1 21、二元函数的定义域是( )。 A、 22、方程x=2在空间表示( ) D、与yoz面平行的平面 23、设的三个线性无关的解 ，则该方程的通解为（）。 D、 24、设和是微分方程的解，则（）也是微分方程的解。

多元函数微分学及其应用

第8章 多元函数微分学及其应用 参考解答 1、设22 , y f x y x y x ??+=- ??? ，求(),f x y ，(),f x y xy -。 解：()()()()2 21, 1y y x y x f x y x y x y x y x y y x x y x - -??+=+-=+=+ ?+? ? + ，故得 ()2 1,1y f x y x y -=+，()()21,1xy f x y xy x y xy --=-+ 2、求下列各极限： 2242222 2220000 cos sin 1(1) lim lim lim sin 204x r r y x y r r x y r θθθ→→→→===+ 注意：在利用极坐标变换cos , sin x r y r θθ==来求极限时，θ也是变量。本题中，0r →时，2r 为无穷小量，而2 sin 2θ为有界变量，故所求极限为零。 ()00sin sin (2) lim lim 1x t y a xy t xy t →→→== 3、证明极限2 2400 lim x y xy x y →→+不存在。 证明：当2 y kx =时，()2242,1xy k f x y x y k ==++，故2 22420 lim 1y kx x xy k x y k =→=++与k 有关。可见，(),x y 沿不同的路径趋于()0,0时，函数极限不同，故极限不存在。（两路径判别法） 4、讨论下列函数在()0,0点处的连续性： （1）()()()222222 22 ln , 0 ,0, 0 x y x y x y f x y x y ?+++≠?=?+=?? 解： ()() ()()() ()()()2 222,0,0,0,0 lim ,lim ln lim ln 00,0x y x y t f x y x y x y t t f →→→= ++=== 故原函数在()0,0点处连续。

计算题库及参考答案

计算题库及参考答案 1、设A 点高程为，欲测设设计高程为的B 点，水准仪安置在A 、B 两点之间，读得A 尺读数a=，B 尺读数b 为多少时，才能使尺底高程为B 点高程。 【解】水准仪的仪器高为=i H +=，则B 尺的后视读数应为 b==，此时，B 尺零点的高程为16m 。 2、在1∶2000地形图上，量得一段距离d =，其测量中误差=d m ±，求该段距离的实地长度D 及中误差D m 。 【解】==dM D ×2000=464m ，==d D Mm m 2000×=200cm=2m 。 3、已知图中AB 的坐标方位角，观测了图中 四个水平角，试计算边长B →1，1→2，2→3， 3→4的坐标方位角。 【解】=1B α197°15′27″+90°29′25″ -180°=107°44′52″ =12α107°44′52″+106°16′32″ -180°=34°01′24″ =23α34°01′24″+270°52′48″ -180°=124°54′12″ =34α124°54′12″+299°35′46″ -180°=244°29′58″ 4、在同一观测条件下，对某水平角观测了五测回，观测值分别为：39°40′30″，39°40′48″，39°40′54″，39°40′42″，39°40′36″，试计算： ① 该角的算术平均值——39°40′42″； ② 一测回水平角观测中误差——±″； ③ 五测回算术平均值的中误差——±″。 5、在一个直角三角形中，独立丈量了两条直角边a ，b ，其中误差均为m ，试推导由a ，b 边计算所得斜边c 的中误差c m 的公式？ 【解】斜边c 的计算公式为22b a c +=，全微分得 db c b da c a bdb b a ada b a dc +=+++=--2)(212)(2121222122 应用误差传播定律得222 2 2222 222 2m m c b a m c b m c a m c =+=+= 6、已知=AB α89°12′01″，=B x ，=B y ，坐标推算路线为B →1→2，测得坐标推算路线的右角分别为=B β32°30′12″，=1β261°06′16″，水平距离分别为=1B D ，=12D ，试计算1，2点的平面坐标。 【解】 1) 推算坐标方位角 =1B α89°12′01″-32°30′12″+180°=236°41′49″ =12α236°41′49″-261°06′16″+180°=155°35′33″ 2) 计算坐标增量 =?1B x ×cos236°41′49″=， =?1B y ×sin236°41′49″=。 =?12x ×cos155°35′33″=， =?12y ×sin155°35′33″=。 3) 计算1，2点的平面坐标 图 推算支导线的坐标方位角

多元函数微分学及其应用归纳总结

第八章 多元函数微分法及其应用 一、多元函数的基本概念 1、平面点集，平面点集的内点、外点、边界点、聚点，多元函数的定义等概念 2、多元函数的极限 ? 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y A →=（或0 lim (,)P P f x y A →=）的εδ-定义 ? 掌握判定多元函数极限不存在的方法： （1）令(,)P x y 沿y kx =趋向00(,)P x y ，若极限值与k 有关，则可断言 函数极限不存在； （2）找两种不同趋近方式，若 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →存在，但两者不相等， 此时也可断言极限不存在。 ? 多元函数的极限的运算法则（包括和差积商，连续函数的和差积商， 等价无穷小替换，夹逼法则等）与一元类似： 例1．用εδ-定义证明 2222 (,)(0,0) 1 lim ()sin 0x y x y x y →+=+ 例2（03年期末考试 三、1，5分）当0,0→→x y 时，函数22 2 222 ()+++-x y x y x y 的极限是否存在？证明你的结论。 例3 设22 2222,0 (,)0,0xy x y x y f x y x y ?+≠?+=??+=? ，讨论(,)(0,0) lim (,)x y f x y →是否存在？ 例4（07年期末考试 一、2，3分）设222 24 22,0(,)0,0?+≠?+=??+=? xy x y x y f x y x y ，讨论 (,)(0,0) lim (,)→x y f x y 是否存在？

例5．求222 (,)(0,0)sin() lim x y x y x y →+ 3、多元函数的连续性0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →? = ? 一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的，定义区域是指包含 在定义域内的区域或闭区域。 ? 在定义区域内的连续点求极限可用“代入法” 例1． 讨论函数3322 22 22,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ?++≠?+=??+=? 在（0，0）处的连续性。 例2． （06年期末考试 十一，4分）试证222 24 22,0(,)0,0?+≠?+=??+=? xy x y x y f x y x y 在 点(0,0)不连续，但存在一阶偏导数。 例3．求 (,)(1,2)lim x y x y xy →+ 例4 ．(,)(0,0)lim x y → 4、了解闭区域上商连续函数的性质：有界性，最值定理，介值定理 二、多元函数的偏导数 1、 二元函数(,)z f x y =关于,x y 的一阶偏导数的定义（二元以上类似定义） 如果极限00000 (,)(,) lim x f x x y f x y x ?→+?-?存在，则有 00 000 0000000 (,)(,) (,)lim x x x x x y y x x x x y y y y f x x y f x y z f z f x y x x x =?→=====+?-??= ===??? （相当于把y 看成常数！所以求偏导数本质是求一元函数的导数。）

(整理)多元函数微分学及其应用归纳总结.

第八章 多元函数微分法及其应用一、多元函数 的基本概念 1、平面点集，平面点集的内点、外点、边界点、聚点，多元函数的定义等概念 2、多元函数的极限 ? 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y A →=（或0 lim (,)P P f x y A →=）的εδ-定义 ? 掌握判定多元函数极限不存在的方法： （1）令(,)P x y 沿y kx =趋向00(,)P x y ，若极限值与k 有关，则可断言 函数极限不存在； （2）找两种不同趋近方式，若 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →存在，但两者不相等， 此时也可断言极限不存在。 ? 多元函数的极限的运算法则（包括和差积商，连续函数的和差积商， 等价无穷小替换，夹逼法则等）与一元类似： 例1．用εδ-定义证明 2222 (,)(0,0) 1 lim ()sin 0x y x y x y →+=+ 例2（03年期末考试 三、1，5分）当0,0→→x y 时，函数22 2 222 ()+++-x y x y x y 的极限是否存在？证明你的结论。 例3 设22 22 22,0(,)0,0xy x y x y f x y x y ?+≠?+=??+=? ，讨论(,)(0,0) lim (,)x y f x y →是否存在？

例4（07年期末考试 一、2，3分）设2 2224 22,0(,)0,0?+≠?+=??+=? xy x y x y f x y x y ，讨论 (,)(0,0) lim (,)→x y f x y 是否存在？ 例5．求222 (,)(0,0)sin() lim x y x y x y →+ 3、多元函数的连续性0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →? = ? 一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的，定义区域是指包含 在定义域内的区域或闭区域。 ? 在定义区域内的连续点求极限可用“代入法” 例1． 讨论函数3322 22 22,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ?++≠?+=??+=? 在（0，0）处的连续性。 例2． （06年期末考试 十一，4分）试证222 24 22,0(,)0,0?+≠?+=??+=? xy x y x y f x y x y 在 点(0,0)不连续，但存在一阶偏导数。 例3．求 (,)(1,2)lim x y x y xy →+ 例4 ．(,)(0,0)lim x y → 4、了解闭区域上商连续函数的性质：有界性，最值定理，介值定理 二、多元函数的偏导数 1、 二元函数(,)z f x y =关于,x y 的一阶偏导数的定义（二元以上类似定义） 如果极限00000 (,)(,) lim x f x x y f x y x ?→+?-?存在，则有

2021年考研数学之高等数学考前必背公式梳理

2021年考研数学之高等数学考前必背公式梳理因式分解 经典不等式年 数列 等差 等比 其他 三角 倍角 和差 降阶 平方 和差化积 积化和差 几何 幂指函数化简 极限 泰勒展开式（幂级数）（8+4） 重要极限 一元微分 导数定义 微分运算

求导(7+10) 高阶求导 莱布尼茨公式 泰勒公式 麦克劳林公式 中值定理 介值定理 零点定理 费马定理 罗尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 泰勒公式（中值定理）积分中值定理（2） 辅助函数（6） 微分不等式（6） 曲率、曲率半径 一元积分 不定积分 基本积分表（10+10）分部积分 定积分

定积分定义 定积分公式 平面图形面积 平面曲线弧长 旋转体体积 旋转体侧面积 形心坐标 截面面积已知的立体体积物理应用 反常积分判敛 变限积分求导 多元微分 基本概念 全增量 全微分 偏增量 偏导 隐函数求导 一个方程 方程组 二阶泰勒公式 二重积分

定义 应用 柱体体积 总质量 质心坐标 转动惯量 微分方程 一阶 伯努利方程 二阶可降阶 二阶线性 齐次方程的特征方程齐次方程的通解 特解 欧拉方程 n阶线性齐次 特征方程 通解 无穷级数 判敛法 重要结论 先积后导

先导后积 傅里叶级数 多元积分 基础 曲线的切线与法平面参数方程 方程组 曲面的切平面与法线显式/隐式方程 参数方程 柱面问题 曲线在面上的投影 旋转曲面 空间向量 数量积 向量积 混合积 方向角 方向向量（单位向量）平面方程 直线方程 位置关系

点到平面的距离平面与平面 直线与直线 平面与直线 场论 方向导数与梯度散度 旋度 三重积分 常见曲面 球面坐标系 应用 重心 转动惯量 一型线 普通对称性 轮换对称性 直角坐标系 参数方程 极坐标系 应用 曲杆长度

多元函数微分学及其应用

《高等数学》课程学习指导与讨论题 第五章多元函数微分学及其应用 在理论研究和实际应用中，经常遇到具有两个或两个以上自变量取值为数量或向量的函数，就是多元数量值函数与多元向量值函数，统称为多元函数，本章研究多元函数微分学的基本概念、理论和方法以及它们的应用，包括多元函数的极限与连续性。导数(方向导数，偏导数与梯度)与全微分等基本概念，多元函数微分法、极值问题以及多元函数微分学的一些几何应用。多元函数微分学中的基本概念、理论和方法是一元函数相应概念、理论和方法的推广和发展，因此它们之间既有相同之处，又有许多本质上的不同，同学们在学习这部分内容的时候，既要注意它们的相同点和互相联系，更要注意它们之间的不同点，善于将它们进行比较，研究推广到多元函数之后出现的新情况和新问题以及为什么会出现这些差异，有能力的同学还应注意推广的方法，以提高自己分析和解决问题的能力。 本章教学实施方案(总计30学时) 讲课：24学时分 1.n维Enclid空间中点集的初步知识（2学时）2.多元函数的极限与连续性(2学时) 3.多元数量值函数的导数与微分(7学时) 4．多元函数的Taylor公式与极值问题(4学时)；5．多元向量值函数的导数与微分(3学时)；6．多元函数微分学的几何应用(3学时) 7.空间曲线的曲率与挠率（3学时）。 习题课：4学时 1.多元函数极限、连续、偏导数与全微分（2学时）；2.多元函数的极值与多元微分在几何中的应用（2学时）。 讨论课：2学时多元函数极限、连续、偏导数、方向导数、梯度、全微分的概念及联系；；多元函数在极值问题中与几何方面的应用。 第一节 n维Enclid空间中点集的初步知识 一、教学内容与重点 n R中点列的极限与点集的初步知识。 二、教学要求 1. 理解n维欧氏空间n R中点列极限的概念及性质，了解它们与一维空间中

第九章 多元函数微分学及应用(完整资料).doc

【最新整理，下载后即可编辑】 第九章 多元函数微分学及应用 一. 设f , g 为连续可微函数, )(),(xy x g v xy x f u +==，, 求x v x u ?????. 解. y f f x u ''21+=??, )1('y g x v +=??. 所以 )''(')1(21y f f g y v v x u ++=????? 二. 设??? ? ??=+y z y z x ?22, 其中?为可微函数, 求 y z ??. 解. 原式两边对y 求导. 2'2y z y y z y z y y z y z z -????? ? ??+???? ??=????. 所以 ? ?? ? ??-???? ??-???? ??=??y z y yz y z z y z y y z '2'??? 三. 设x u z x t t x y z y x f u ??===，求 ，，又),(),(),,(ψ?. 解. 由上述表达式可知x, z 为自变量, 所以 ()'''''''''''''x t y x y x x t x y x y x f f f f f x y f f x u ψ??ψ??++=++=??+=?? 四. 求下列方程所确定函数的全微分: 1. dz x z z y y x f ，求0),,(=+++; 2. dz y z xz f z ，求，)(-=. 解. 1. 0)1('' '321=??++??+x z f x z f f , 所以''''3231f f f f x z ++-=?? 0)1('''231=??++??+y z f y z f f , 所以''''3221f f f f y z ++-=?? 所以 ' ')''()''(322131f f dy f f dx f f dy y z dx x z dz ++++-=??+??= 2. x z f x z x z f x z ??+??+=??')('21, 所以''1'211f xf zf x z --=?? )1(''21-??+??=??y z f y z x f y z , 所以''1'212f xf f y z ---=??

(整理)多元函数微分法及其应用81534

第八章 多元函数微分法及其应用一、多元函数的基本概念 1、平面点集，平面点集的内点、外点、边界点、聚点，多元函数的定义等概念 2、多元函数的极限 ? 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y A →=（或0 lim (,)P P f x y A →=）的εδ-定义 ? 掌握判定多元函数极限不存在的方法： （1）令(, )P x y 沿y kx =趋向00(,)P x y ，若极限值与k 有关，则可断言函数极限不存在； （2）找两种不同趋近方式，若00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →存在，但两者不相等，此时也可断言极限不存在。 ? 多元函数的极限的运算法则（包括和差积商，连续函数的和差积商，等价无穷小替换，夹逼法则等）与一元类似： 例1．用 εδ-定义证明2222 (,)(0,0) 1 lim ()sin 0x y x y x y →+=+ 例2（03年期末考试 三、1，5分）当0,0→→x y 时，函数22 2 222 ()+++-x y x y x y 的极限是否存在？证明你的 结论。 例3 设 22 2222,0 (,)0,0xy x y x y f x y x y ?+≠?+=??+=? ，讨论(,)(0,0) lim (,)x y f x y →是否存在？ 例4（07年期末考试 一、2，3分）设 2 2224 22,0(,)0,0?+≠?+=??+=? xy x y x y f x y x y ，讨论(,)(0,0) lim (,)→x y f x y 是否 存在？ 例5．求222 (,)(0,0)sin()lim x y x y x y →+ 3、多元函数的连续性0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →? = ? 一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的，定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域。 ? 在定义区域内的连续点求极限可用“代入法” 例1． 讨论函数 332 222 22,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ?++≠?+=??+=? 在（0，0）处的连续性。

(完整版)多元函数微分学复习题及答案

第八章 多元函数微分法及其应用 复习题及解答 一、选择题 1. 极限lim x y x y x y →→+00 242= （提示：令22y k x =） （ B ） (A) 等于0 (B) 不存在 (C) 等于 12 (D) 存在且不等于0或1 2 2、设函数f x y x y y x xy xy (,)sin sin =+≠=? ????1100 ，则极限lim (,)x y f x y →→0 = （ C ） （提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小） (A) 不存在 (B) 等于1 (C) 等于0 (D) 等于2 3、设函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=??? ? ?22 2222000 ，则(,)f x y （ A ） （提示：①在220x y +≠，(,)f x y 处处连续；②在0,0x y →→ ，令y kx = ， 20 0(0,0)x x y f →→→=== ，故在220x y +=，函数亦连续.所以， (,)f x y 在整个定义域内处处连续.） (A) 处处连续 (B) 处处有极限，但不连续 (C) 仅在（0,0）点连续 (D) 除（0,0）点外处处连续 4、函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处具有偏导数是它在该点存在全微分的 （ A ） (A)必要而非充分条件 (B)充分而非必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件 5、设u y x =arctan ，则??u x = （ B ） (A) x x y 22 + (B) - +y x y 22 (C) y x y 22 + (D) -+x x y 22 6、设f x y y x (,)arcsin =，则f x '(,)21= （ A ） （A ）-1 4 （B ） 14 （C ）-12 （D ）1 2 7、设y x z arctan =，v u x +=，v u y -=，则=+v u z z （ C ）

《常微分方程》所有证明题及答案

证 明 题（每题10分） 1、设函数f (t)在[,)0+∞上连续且有界，试证明方程 dx dt x f t +=()的所有解均在[,)0+∞上有界. 2、设函数f (x),p(x)在[,0+∞）上连续，且b x f a x p x <>=+∞ →|)(|0)(lim 且 (a,b ,为常数) 求证：方程 ()()dy p x y f x dx +=的所有解均在[,)0+∞上有界. 3、设函数f (x)在[,0+∞）上连续，且lim ()x f x b →+∞ =又a >0， 求证：方程()dy ay f x dx +=的一切解()y x ，均有lim ()x b y x a →+∞= 4、设函数y (x)在[,)0+∞上连续且可微，且lim['()()]x y x y x →+∞ +=0试证lim ()x y x →+∞ =0 5、若y 1(x ),y 2(x )为微分方程12()()()0y p x y x p x y '''++=的两个解，则它们的朗斯基 行列式为w y y ke p x dx (,) ()121==? -其中k 为由y 1(x ),y 2(x )确定的常数 6、已知()f x 是连续函数。 （1）求初值问题0 () |0x y ay f x y ='+=??=?的解()y x ，其中a 是正常数。 （2）若|()|f x k ≤（k 为常数），证明当0x >时有|()|(1)ax k y x e a -≤-。 7、已知当1x >-时()f x 具有一阶连续导数，且满足()01()()01(0)1 x f x f x f t dt x f ? +-=?+??=?? （1）求()f x '； （2）证明：当0x ≥时有()1x e f x -≤≤。 8、设12(),()y x y x 是方程()()y p x y q x '+=的两个不同的解，求证它的任何一个解()y x 满 足恒等式： 121()() ()() y x y x K y x y x -=- （K 为常数） 9、当x -∞<<∞时，()f x 连续且|()|f x M ≤。证明：方程 ()y y f x '+= （1） 在区间x -∞<<∞上存在一个有界解，求出这个解。并证明：若函数()f x 是以ω为周 期的周期函数，则这个解也是以ω为周期的周期函数。 10、设函数(),()f u g u 连续可微，且()()f u g u ≠，试证方程()()0yf xy dx xg xy dy +=

高等数学教案ch 8.3 全微分及其应用

§8.3 全微分及其应用 一、全微分的定义 根据一元函数微分学中增量与微分的关系, 有 偏增量与偏微分: f (x +?x , y )-f (x , y )≈f x (x , y )?x , f (x +?x , y )-f (x , y )为函数对x 的偏增量, f x (x , y )?x 为函数对x 的偏微分; f (x , y +?y )-f (x , y )≈f y (x , y )?y , f (x , y +?y )-f (x , y )为函数)对y 的偏增量, f y (x , y )?y 为函数对y 的偏微分. 全增量: ?z = f (x +?x , y +?y )-f (x , y ). 计算全增量比较复杂, 我们希望用?x 、?y 的线性函数来近似代替之. 定义 如果函数z =f (x , y )在点(x , y )的全增量 ?z = f (x +?x , y +?y )-f (x , y ) 可表示为 ) )()(( )(22y x o y B x A z ?+?=+?+?=?ρρ, 其中A 、B 不依赖于?x 、?y 而仅与x 、y 有关, 则称函数z =f (x , y )在点(x , y )可微分, 而称A ?x +B ?y 为函数z =f (x , y )在点(x , y )的全微分, 记作dz , 即 dz =A ?x +B ?y . 如果函数在区域D 内各点处都可微分, 那么称这函数在D 内可微分. 可微与连续: 可微必连续, 但偏导数存在不一定连续. 这是因为, 如果z =f (x , y )在点(x , y )可微, 则 ?z = f (x +?x , y +?y )-f (x , y )=A ?x +B ?y +o (ρ), 于是 0lim 0 =?→z ρ, 从而 ),(]),([lim ),(lim 0)0,0(),(y x f z y x f y y x x f y x =?+=?+?+→→??ρ. 因此函数z =f (x , y )在点(x , y )处连续. 可微条件: 定理1(必要条件) 如果函数z =f (x , y )在点(x , y )可微分, 则函数在该点的偏导数x z ??、y z ??必定存在, 且函数z =f (x , y )在点(x , y )的全微分为 y y z x x z dz ???+???=. 证 设函数z =f (x , y )在点P (x , y )可微分. 于是, 对于点P 的某个邻域内的任意一点P '(x +?x , y +?y ), 有?z =A ?x +B ?y +o (ρ). 特别当?y =0时有

多元函数微分学及应用(word版)

《多元函数微分学及应用》练习题 一、填空题 1.已知22)/,(y x x y y x f -=+，则=),(y x f . 2.函数 y x z -= 的定义域为 {(y x ,)| y x ≥，0≥y }. 3.设f(x,y)=ln(x 2+y 2),g(x,y)=e (x+y),则f[x 2,g(x,y)]= . 4.设y x y x y x f tan )1(),(22-+=，则=)1,(x f x . 5.设()()xy xy z 2cos sin +=，则 =??y z . 6.设()22ln y x z +=，则=??==1 1y x x z ， . 7.设函数u x y (,)= y x du ,(,)则34= . 8.设?? ? ??=x y f y z ，其中)(u f 具有一 阶连续导数，则 =??y z . 9.设),,(w v u f z =具有连续的一阶偏导数，其中 2x u = ,y e v sin =,y w ln =，则 10.设u=),(z y xy f +，),(t s f 可微，du=. . 11.设u x y x y =+-4422 4，则??22u x = . 12.设y x z =，则=???y x z 2 . 13.设))z y x (g y x (f z --+-=,其中g ,f 可导, x z ??= . 14.设函数),(y x z z =由方程z e z y x =-+2sin 所确定，则=??x z . 15.设x y z 2 tan =,则=dz . 16.设y x u =（0>x ，1≠x ），则.=u d . 17．设()xy z arctan =，则=dz 18.设)sin ,,(y x ye x f z =μ，则du =

全微分及其应用

第四节 全微分及其应用 一元函数)(x f y =在x 处可微的本质是:可用x 处自变量的增量x ?的线性函数x A ?近似地描述函数值增量y ?,从而可简化y ?的计算.我们自然要问:给定二元函数 ()y x f z ,=,当y x ,有改变量y x ??,时,相应的函数值的改变量z ?与y x ??,有何关系? 可否用y x ??,的线性函数y B x A ?+?来近似代替z ?? 一、全微分 1. 全微分的定义 对于一元函数)(x f y =,当自变量在点x 处有增量x ?时,若函数的增量y ?可表示为 )(x o x A y ?+??=?,其中,A 与x ?无关而仅与x 有关,当0→x ?时,)(x o ?是比x ?高阶 的无穷小量.则称函数)(x f y =在点x 可微,并把x A ?叫做)(x f y =在点x 的微分,记作 dy ,即x A dy ?=.类似的,我们给出二元函数全微分的定义. 定义 如果二元函数),(y x f z =在点()y x P ,的某一个邻域)(P U 内有定义,相应于自变量的增量y x ??,,函数的增量为),(),(y x f y y x x f z -?+?+=?.称z ?为函数 ),(y x f 在点),(y x P 处的全增量.若全增量z ?可表示为: )(ρo y B x A z +?+?=? (6.4.1) 其中B A ,仅与y x ,有关,而与y x ??,无关,22)()(y x ?+?=ρ,则称函数),(y x f z =在点),(y x P 可微.并称y B x A ?+?为),(y x f 在点),(y x P 的全微分,记作z d 或),(y x f d ,即: y B x A z d ?+?=. (6.4.2) [说明] (1) 当0→ρ时,)(ρo 是比ρ高阶的无穷小量,即: () ()() ( );0)()()()(lim lim 2 22 20,0,0 =?+??+?= →??→y x y x o o y x ρ ρρ

物化全题目

一：选择题 1.系统传热给环境后, 系统的焓值 D . A. 减小, B. 增大, C. 不变, D. 难以判定. 2.对一封闭的绝热系统做功后,系统的温度 B . A. 不变, B. 升高, C. 降低, D. 难以确定. 3. 非理想气体进行绝热可逆循环, A. > 0, B. < 0, . 4. A. ΔG > ΔA; B. ΔG < 0; 5.温度为T 时, 体积恒定为V 的容器中有A 与B 二组分的混合理想气体, 分压力分别为p A与p B. 若往容器中注入n ( mol ) 理想气体C, 则A 与B 的分压 A . A. 均不变; B.p A增大, p B减小; C. p A减小, p B增大; D.均增大 6糖可以溶解在水中,这说明固体糖的化学势（B）于水溶液中糖的化学势. A.等； B.高； C.低； D.难以判断是否等于或高 7对于二组分系统能平衡共存的最多相数为：( D ) A.1 B.2 C.3 D.4 8在水的三相点，冰、水、水蒸气三相共存，此时的温度压力都有确定值，体系的自由度为：( A ) A. 0 B.1 C.2 D.3 9. 可将反应的Δr H fΘ(T) 称为CO(g) 的标准摩尔生成焓ΔH fΘ(CO,g,T)的反应为 （A） A. C(石墨) + 1/2O2 (g) = CO(g)； B. C(石墨) + 1/2O2 (g) = CO(g)； C. CO(g) + 1/2O2 (g) = CO(g)； D. CO(g) = C(石墨) +1/2O2 (g)； 10已知反应H2(g) + ?O2(g) ＝H2O(g)的标准摩尔反应焓为?r H(T)，下列说法中不正确的是：（B）。 A.?r H(T)是H2O(g)的标准摩尔生成焓； B.?r H(T)是H2O(g)的标准摩尔燃烧焓； C.?r H(T)是负值； D.?r H(T)与反应的?r U数值不等。 11.CO和O2在绝热钢瓶中化学反应生成CO2的过程：( B ) A. ΔH = 0; B.ΔU = 0; C. ΔS= 0; D. ΔG = 0 12.(2分) 理想气体反应的平衡常数可用K p和K c表示,温度和压力对K p和K c

第一章热力学的基本规律课后作业及答案

第一章 热力学的基本规律 1．1 试求理想气体的体胀系数α，压强系数β和等温压缩系数κT 。 解：已知理想气体的物态方程为nRT pV = 由此得到 体胀系数T pV nR T V V p 1 1== ??? ????= α， 压强系数T pV nR T P P V 1 1==? ?? ????= β 等温压缩系数2111 ()T T V nRT V p V p p κ?????=- =-= ? ? ????? 1.2试证明任何一种具有两个独立参量,T p 的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数α及等温压缩系数T k ，根据下述积分求得： ln (d d )T V T k p α=-? 如果1 T α= ，1T k p =，试求物态方程。 解 以,T p 为自变量，物质的物态方程为 (,)V V T p = 其全微分为 d d d p T V V V T p T p ?????? =+ ? ? ?????? (1) 全式除以V ，有 d 11d d p T V V V T p V V T V p ?? ????=+ ? ??????? 根据体胀系数α和等温压缩系数T k 的定义，可将上式改写为 d d d T V T k p V α=- (2) 有 ln (d d )T V T k p α=-? (3)

若1 T α= ，1T k p =，式(3)可表示为 11 ln (d d )V T p T p =-? (4) 积分 pV CT = (5) 1.3测得一块铜块的体胀系数和等温压缩系数分别为514.8510K α--=?和71n 7.8*10p T κ--=，α和T κ可近似看作常量，今使铜块加热至10C ?。问（1压强要增加多少才能使铜块体积不变？（2若压强增加，铜块的 体积改多少 解：（1）有d d d T V p p p V T V T ?????? =+ ? ???????知，当d 0V =时，有 d 0d d d V T p p T p T T T αβκ???=+== ???? 故 ()2 1 2121 d T T T T p p T T T α α κκ-= = -? 即 ()2121 n 622p T p p p T T α κ?=-= -= 分别设为V xp n ?;，由定义得： 4474.85810; 4.85101007.810T x V κ?---=?=?-?? 所以，44.0710V ?-=? 1.4 1mol 理想气体，在27C ?的恒温下发生膨胀，其压强由n 20p 准静态地降到n 1p ，求气体所做的功和所吸取的热量。 解 将气体的膨胀过程近似看作准静态过程。根据式(1.4.2)，在准静态等温过程中气体体积由A V 膨胀到B V ，外界对气体所做的功为 d d ln ln B B A A V V B A V V A B V p V W p V RT RT RT V V p =-=-=-=-?? 气体所做的功是上式的负值，将题给数据代入，得 3ln 8.31300ln 207.4710J A B p W RT J p -==??=? 在等温过程中理想气体的内能不变，即 0U ?= 根据热力学第一定律(式(1.5.3))，气体在过程中吸收的热量Q 为

多元函数微分学及其应用

第五章多元函数微分学及其应用 导学：在上册已经学习了一元函数的微分学及其应用。用导数和微分可以研究函数的很多性质。一元函数描述的是两个变量之间的关系，现实中或者理论上很自然的需要研究多个自变量之间的关系，形成多元函数的概念，研究多元函数需要把一元函数的微分学的有关概念和方法推广到多元函数情形，这就是本章的主要任务。在学习中要充分注意到相关概念、理论和思想方法的平行特点，这使得理解本章内容比较容易，同时要注意到新产生的差异的地方。 第一节 n维Euclid空间n R中的点集的初步知识 导学：一元函数的定义域和值域都是实直线上的区间，多元函数的定义域和值域都是高维空间的点集，因此，需要先对n维空间的点集及其性质做些研究，这些概念还可以推广到一般的无穷维空间。 问题1 回忆n维线性空间、向量的运算、内积运算，定义n维空间的距离、范数。具体化为1、2、3维空间看看距离、范数的几何特征。问题2类比n R中点列的到极限、极限的性质、聚点原理、柯西收敛原理。特别注意：n R中点列收敛和实直线R中数列收敛的关系。 问题3 n R中的极限点、聚点、孤立点、内点；点的邻域；集合的导集、开集、闭集；集合的内部、外部、边界；集合的紧性、集合的凸性；有界集合、区域、有界闭区域。注意对比实直线上的开区间、闭区间和n R中的开集合、有界闭区域的关系。 问题4 注意n R中开集合的三条性质、闭集合的三条性质。这三条性质可以推广成一般的抽象的拓扑空间上去。

第二节多元函数的极限与连续性 导学：多元函数的概念是一元函数概念的直接推广，多元函数极限、连续的概念也是一元函数极限、连续的概念的直接推广。注意二元函数等值线、三元函数等值面的意义及几何直观。注意二重极限、多重极限与一元函数极限思想的类同与不同之处。注意有界闭区域上多元连续函数的性质与一元函数有界闭区间上连续函数的性质的类同之处。 问题 1 类比多元数量值函数的概念和一元函数概念的类同；二元函数定义域的几何图像；二元函数的几何意义；等值线、等值面； 问题2 注意多元向量值函数的概念、记号。 问题 3 注意二重极限、连续的概念与一元函数概念的相同与不同之处；特别注意例2.5，2.6的的思想方法；注意从二元到n元函数的极限概念的推广？ 问题 4 注意闭区间上一元连续函数到有界闭区域上多元连续函数的性质的直接推广。 讨论题： 1、回答P.21练习(A)习题2的问题. 2、讨论P.22练习(A)习题11、12中的问题