2020年高考理科数学重难点05 概率与统计(教师版)

重难点05 概率与统计

【高考考试趋势】统计主要考查抽样的统计分析、变量的相关关系，独立性检验、用样本估计总体及其特征的思想，以排列组合为工具，考查对五个概率事件的判断识别及其概率的计算.试题考查特点是以实际应用问题为载体，小题部分主要是考查排列组合与古典概型，几何概型解答题部分主要考查独立性检验、超几何分布、离散型分布以及正态分布对应的数学期望以及方差.概率的应用立意高，情境新，赋予时代气息，贴近学生的实际生活.取代了传统意义上的应用题，成为高考中的亮点.解答题中概率与统计的交汇是近几年考查的热点趋势，应该引起关注

【知识点分析以及满分技巧】

1抽样方法是统计学的基础，在复习时要抓住各种抽样方法的概念以及它们之间的区别与联系.茎叶图也成为高考的热点内容，应重点掌握.明确变量间的相关关系，体会最小二乘法和线性回归方法是解决两个变量线性相关的基本方法，就能适应高考的要求.

2.求解概率问题首先确定是何值概型再用相应公式进行计算，特别对于解互斥事件（独立事件）的概率时，要注意两点：（1）仔细审题，明确题中的几个事件是否为互斥事件（独立事件），要结合题意分析清楚这些事件互斥（独立）的原因.（2）要注意所求的事件是包含这些互斥事件（独立事件）中的哪几个事件的和（积），如果不符合以上两点，就不能用互斥事件的和的概率.

3.离散型随机变量的均值和方差是概率知识的进一步延伸，是当前高考的热点内容.解决均值和方差问题，都离不开随机变量的分布列，另外在求解分布列时还要注意分布列性质的应用.

【常见题型限时检测】（建议用时：35分钟）

一、单选题

1．（2019·广西高考模拟（理））中国古代的五经是指：《诗经》、《尚书》、《礼记》、《周易》、《春秋》，甲、乙、丙、丁、戊5名同学分别选取了其中一本不同的书作为课外兴趣研读，若甲乙都没有选《诗经》，乙也没选《春秋》，则5名同学所有可能的选择有（）

A．18种B．24种C．36种D．54种

【答案】D

【分析】

分两类求解：(1)甲选《春秋》；(2)甲不选《春秋》；分别求出可能的选择情况，再求和即可得出结果.

【详解】

(1)若甲选《春秋》，则有13

3318

C A=种情况；

(2)若甲不选《春秋》，则有23

3336

A A=种情况；

+=种情况.

所以5名同学所有可能的选择有183654

故选D

【点睛】本题主要考查计数原理，熟记排列组合的概念等即可，属于常考题型. 2．（2020·重庆巴蜀中学高三月考（理））新高考方案规定，普通高中学业水平考试分为合格性考试（合格考）和选择性考试（选择考）.其中“选择考”成绩将计入高考总成绩，即“选择考”成绩根据学生考试时的原始卷面分数，由高到低进行排序，评定为A、B、C、D、E五个等级.某试点高中2018年参加“选择考”总人数是2016年参加“选择考”总人数的2倍，为了更好地分析该校学生“选择考”的水平情况，统计了该校2016年和2018年“选择考”成绩等级结果，得到如下图表：

针对该校“选择考”情况，2018年与2016年比较，下列说法正确的是（）

A．获得A等级的人数减少了B．获得B等级的人数增加了1.5倍

C．获得D等级的人数减少了一半D．获得E等级的人数相同

【答案】B

【分析】

设出两年参加考试的人数，然后根据图表计算两年等级为A,B,C,D,E的人数，由此判断出正确选项.

【详解】

设2016年参加考试x人，则2018年参加考试2x人，根据图表得出两年各个等级的人数如下图所示：

由图可知A,C,D 选项错误，B 选项正确，故本小题选B. 【点睛】

本小题主要考查图表分析，考查数据分析与处理能力，属于基础题.

3．（2019·广东高考模拟（理））己知某产品的销售额y 与广告费用x 之间的关系如下表：

若求得其线性回归方程为 6.5?y

x a =+，则预计当广告费用为6万元时的销售额为 A ．42万元 B ．45万元

C ．48万元

D ．51万元

【答案】C 【分析】

根据上表中的数据，求得样本点中心(),x y ，代入回归直线的方程，求得a 的值，得到回归直线的方程，即可求解. 【详解】

由题意，根据上表中的数据，可得2x =，22y =，即回归方程经过样本点中心(),x y ，

又由线性回归方程为 6.5?y

x a =+，所以22 6.52a =?+，解得9a =， 所以 6.59?y

x =+，当6x =时，?48y =，故选C. 【点睛】

本题主要考查了回归直线方程的应用问题，其中解答中熟记回归直线方程的性质，求得归直线的方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.

4．（2019·横峰中学高考模拟（理））已知(1)n x λ+展开式中第三项的二项式系数与第四项

的二项式系数相同，且01(1)n x a a x λ+=++22n

n a x a x +?+,若12242n a a a ++?+=,

则4()x x

λ

+展开式中常数项( )

A ．32

B ．24

C ．4

D ．8

【答案】B 【分析】

先由二项展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相同，求出n ；再由

2012(1)n n n x a a x a x a x λ+=+++?+求出λ，由二项展开式的通项公式，即可求出结果.

【详解】

因为(1)n

x λ+展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相同， 所以23

n n C C =，因此5n =，

又5205125

(1)x a a x a x a x λ+=+++?+，所以01a =， 令1x =，则01525

(1)a a a a λ+=+++?+，

又125242a a a ++?+=，所以55

(3)3124λ+==，因此2λ=， 所以4

2

()x x +展开式的通项公式为44214422k k k k k k k k T C x x C x ---+==，

由420k -=得2k =，

因此4

2()x x

+展开式中常数项为2234224T C ==.

故选B

【点睛】本题主要考查求指定项的系数，熟记二项式定理即可，属于常考题型. 5．（2019·山东高三月考）2

5

21(2)(1)x x

+-的展开式的常数项是（ ） A ．3- B ．2-

C ．2

D ．3

【答案】D 【详解】

的展开式通项为：

，由2100r -=得=5r ，

所以的常数项系数为

；由2102r -=-得4r =，所以

的 项系数为

，所以

的展开式的常数项是

,

故选D.

6．（2019·安徽高考模拟（理））2019年5月22日具有“国家战略”意义的“长三角一体化”会议在芜湖举行；长三角城市群包括：上海市以及江苏省、浙江省、安徽省三省部分城市，简称“三省一市”. 现有4 名高三学生准备高考后到上海市、江苏省、浙江省、安徽省四个地方旅游，

假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游， 则恰有一个地方未被

选中的概率为（）

A．27

64

B．

9

16

C．

81

256

D．

7

16

【答案】B

【分析】

根据排列组合的知识分别求解出恰有一个地方未被选中的情况和所有情况，利用古典概型计算可得结果.

【详解】

4名同学去旅游的所有情况有：44256

=种

恰有一个地方未被选中共有：

21

13

42

43

2

2

144

C C

C A

A

??=种情况

∴恰有一个地方未被选中的概率：

1449

25616 p==

本题正确选项：B

【点睛】

本题考查古典概型计算概率的问题、排列组合中的分组分配问题；关键是能够利用排列组合的知识准确求解出恰有一个地方未被选中的情况种数；易错点是忽略了分组分配中的平均分配问题.

二、解答题

7．（2020·四川高三期末（理））随着科技的发展，网络已逐渐融入了人们的生活．网购是非常方便的购物方式，为了了解网购在我市的普及情况，某调查机构进行了有关网购的调查问卷，并从参与调查的市民中随机抽取了男女各100人进行分析，从而得到表（单位：人）

（1）完成上表，并根据以上数据判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市

市民网购与性别有关？

（2）①现从所抽取的女市民中利用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机选取3人赠送优惠券，求选取的3人中至少有2人经常网购的概率；

①将频率视为概率，从我市所有参与调查的市民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常网购的人数为X ，求随机变量X 的数学期望和方差．

参考公式：()()()()()

2

2

n ad bc K a b c d a c b d -=

++++

【答案】（①）详见解析；（①）①49

60

；①数学期望为6，方差为2.4. 【分析】

（1）完成列联表，由列联表，得2

25

8.333 6.6353

K =

≈>，由此能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关．

（2）① 由题意所抽取的10名女市民中，经常网购的有70

107100

?=人，偶尔或不用网购的有30

103100

?

=人，由此能选取的3人中至少有2人经常网购的概率． ① 由22?列联表可知，抽到经常网购的市民的频率为：

120

0.6200

=，由题意100.6X B :（，），由此能求出随机变量X 的数学期望()E X 和方差()D X ． 【详解】

解：（1）完成列联表（单位：人）：

由列联表，得： ()2

2

2005030507025

8.333 6.63512080100100

3

K ??-?=

=

≈>???， ①能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关． （2）①由题意所抽取的10名女市民中，经常网购的有70

107100

?=人， 偶尔或不用网购的有30

103100

?

=人， ①选取的3人中至少有2人经常网购的概率为：

2137373

104960

c c c P c +==． ① 由22?列联表可知，抽到经常网购的市民的频率为：120

0.6200

=， 将频率视为概率，

①从我市市民中任意抽取一人，恰好抽到经常网购市民的概率为0.6， 由题意()100.6X B :，

， ①随机变量X 的数学期望()100.66E X =?=， 方差D （X ）=()100.60.4 2.4D X =??=． 【点睛】

本题考查独立检验的应用，考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，考查古典概型、二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

8．（2020·四川高三期末（理））某市教育部门为了了解全市高一学生的身高发育情况，从本市全体高一学生中随机抽取了100人的身高数据进行统计分析.经数据处理后,得到了如下图1所示的频事分布直方图，并发现这100名学生中,身不低于1.69米的学生只有16 名,其身高茎叶图如下图2所示，用样本的身高频率估计该市高一学生的身高概率.

(I)求该市高一学生身高高于1.70米的概率,并求图1中a b c 、、的值.

(II)若从该市高一学生中随机选取3名学生,记ξ为身高在(]

1.501.70

，的学生人数,求ξ 的分布列和数学期望；

(①)若变量S 满足-<+)>0.6826P

S （μσμσ≤且22)0.9544P S μσμσ-≤+（,则称变量S 满足近似于正态分布2

(,)N μσ的概率分布.如果该市高一学生的身高满足近似于正态分布(1.6,0.01)N 的概率分布，则认为该市高一学生的身高发育总体是正常的.试判断该市高一学生的身高发育总体是否正常,并说明理由. 【答案】(I) 见解析;（①）见解析；(①) 见解析. 【解析】

分析: (I)先求出身高高于1.70米的人数,再利用概率公式求这批学生的身高高于1.70 的概率.分别利用面积相等求出a 、b 、c 的值. (II)先求出从这批学生中随机选取1名，身高

在[]

1.501.70

，的概率，再利用二项分布写出ξ的分布列和数学期望. (①)先分别计算出-

S μσμσ-<≤+（，再看是否满足-<+)>0.6826P S μσμσ≤（且22)0.9544P S μσμσ-<≤+>（,给出判断.

详解： (I)由图2 可知，100名样本学生中身高高于1.70米共有15 名，以样本的频率估计总体的概率，可得这批学生的身高高于1.70 的概率为0.15. 记X 为学生的身高，结合图1可得:

2

(1.30 1.40)(1.80 1.90)0.02100f X f X <≤=<≤=

=， 13

(1.40 1.50)(1.70 1.80)0.13100f X f X <≤=<≤==,

1

(1.50 1.60)(1.60 1.70)(120.0220.13)0.352f X f X <≤=<≤=-?-?=,

又由于组距为0.1,所以0.2a =， 1.3 3.5b c ==， （①）以样本的频率估计总体的概率，

可得: 从这批学生中随机选取1名，身高在[]

1.501.70

，的概率 (1.50 1.70)(1.50 1.60)+(1.60 1.70)0.7P X f X f X <≤=<≤<≤=.

因为从这批学生中随机选取3 名，相当于三次重复独立试验， 所以随机变量ξ服从二项分布(3,0.7)B ，

故ξ的分布列为:()3()?0.3?0.70,1,2,33

n n

n P n C n ξ-===

=00.027+10.189+20.441+30.343=2.1E ξ????（）（或=30.7=2.1E （））ξ?

(①)由 1.60.01N （，）

，取=1.60=0.1μσ， 由（①）可知，-

P X μσμσ≤<≤=>（）（, 又结合(I)，可得:-2

P X μσμσ≤<≤（）（ =2 1.70（）（，

所以这批学生的身高满足近似于正态分布(1.60.01N ，）的概率分布，应该认为该市高

一学生的身高发育总体是正常的.

【点睛】：(1)本题不难，但是题目的设计比较新颖，有的同学可能不能适应. 遇到这样的问题,首先是认真审题，理解题意，再解答就容易了. (2)在本题的解答过程中，要灵活利用频率分布图计算概率.

9．（2019·陕西西北工业大学附属中学高考模拟（理））2017年3月智能共享单车项目正

式登陆某市，两种车型(“小绿车”、“小黄车”)采用分时段计费的方式，“小绿车”每30分钟收费0.5元(不足30分钟的部分按30分钟计算)；

“小黄车”每30分钟收费1元(不足30分钟的部分按30分钟计算).有甲、乙、丙三人相互独立的到租车点租车骑行(各租一车一次).设甲、乙、丙不超过30分钟还车的概率分别为

34，23，1

2

，三人租车时

间都不会超过60分钟

.甲、乙均租用“小绿车”，丙租用“小黄车”．

()1求甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用的概率；

(2)设甲、乙、丙三人所付的费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．

【答案】(1)7

24

;(2)见解析.

【解析】

【分析】

（1）利用相互独立事件的概率公式，分两种情况计算概率即可；

（2）根据相互独立事件的概率公式求出各种情况下的概率，得出分布列，利用公式求解数学期望．

【详解】

（I）由题意得，甲乙丙在30分钟以上且不超过60分钟还车的概率分别为．记甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用为事件A．则

，

答：甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用的概率为，

（①）ξ可能取值有2，2.5，3，3.5，4，

①；；

；

，

．

甲、乙、丙三人所付的租车费用之和ξ的分布列为：

①．

【点睛】

本题主要考查了相互对立事件的概率的计算，以及离散型随机变量的分布列、数学期望

的求解，其中正确理解题意，利用相互独立事件的概率计算公式求解相应的概率是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，能很好的考查考生数学应用意识、基本运算求解能力等.

10．（2019·江西高三月考（理））据报道，全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点，一时间“英语考试该如何改革”引起广泛关注，为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法，某媒体在该地区选择了3600人进行调查，就“是否取消英语听力”问题进行了问卷调查统计，结果如下表：

（1）已知在全体样本中随机抽取1人，抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05，现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取360人进行问卷访谈，问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？

（2）在持“应该保留”态度的人中，用分层抽样的方法抽取6人，再平均分成两组进行深入交流，求第一组中在校学生人数ξ的分布列和数学期望．

【答案】(1)72；（2）2 .

【解析】

【分析】

(1)由题意得持“应该保留”态度的人为120x

+,占总人数3600的0.05,列出对应的概率等式即可算得60

x=,再利用分层抽样的方法求解在持“无所谓”态度的人中抽取多少人即可.

(2)由分层抽样可求得在校学生为4人,社会人士为2人,再利用超几何分布的方法列出分布列求解期望即可.

【详解】

（1）因为抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05,

所以120

0.05

3600

x

+

=，所以60

x=.

所以持“无所谓”态度的人数共有3600210012060060720

----=,

所以应在“无所谓”态度抽取360

720723600

?

=人. （2）解：由（①）知持“应该保留”态度的一共有180人， 所以在所抽取的6人中，在校学生为120

64180

?=人， 社会人士为

60

62180

?=人， 则第一组在校学生人数1,2,3ξ=

1242361(1)5C C P C ξ===,2142363(2)5C C P C ξ===,30423

61

(3)5

C C P C ξ===, 即ξ的分布列为:

所以131

1232555

E ξ=?+?+?=. 【点睛】

本题主要考查分层抽样的一般方法与超几何分布的一般方法.同时也考查了分布列与数学期望的方法,属于中等题型.

11．（2019·深圳市高级中学高考模拟（理））某景区的各景点从2009年取消门票实行免费开放后，旅游的人数不断地增加，不仅带动了该市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构，促进了该市旅游向“观光、休闲、会展”三轮驱动的理想结构快速转变．下表是从2009年至2018年，该景点的旅游人数y （万人）与年份x 的数据：

该景点为了预测2021年的旅游人数，建立了y 与x 的两个回归模型：

模型①：由最小二乘法公式求得y 与x 的线性回归方程$50.8169.7y x =+；

模型①：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线bx

y ae =的附近．

（1）根据表中数据，求模型①的回归方程$bx y ae =．（a 精确到个位，b 精确到0．01）． （2）根据下列表中的数据，比较两种模型的相关指数2R ，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测2021年该景区的旅游人数（单位：万人，精确到个位）．

参考公式、参考数据及说明：

①对于一组数据()()()1122,,,,,,n n v w v w v w L ，其回归直线μμμw

v αβ=+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为μμμ1

2

1

()()

,()

n

i

i

i n

i

i w w v v w v v v β

α

β==--==--∑∑． ①刻画回归效果的相关指数μ2

2

1

2

1

()1()n

i

i i n i

i y

y R y

y ==-=-

-∑∑ ．

①参考数据： 5.46235e ≈， 1.43 4.2e ≈．

表中10

1

1ln ,10i i i i u y u u ===∑． 【答案】(1) $0.11235x y e = (2)见解析 【解析】 【分析】

（1）对bx

y ae =取对数，得ln ln y bx a =+， 设ln u y =，ln c a =，先建立u 关于x 的

线性回归方程，进而可得结果；（2）由表格中的数据， 30407>14607，可得

10

10

2

2

1

1

30407

14607

()

()

i

i

i i y y y y ==>

--∑∑，从而得22

12R R < ，进而可得结果.

【详解】

（1）对bx

y ae =取对数，得ln ln y bx a =+，

设ln u y =，ln c a =，先建立u 关于x 的线性回归方程，

()()

()

10

1

10

2

1

9.00

0.10883

i

i

i i

i x x u u b

x x ==--==

≈-∑∑$， 6.050.108 5.5 5.456 5.46c

u bx =-≈-?=≈$$ $ 5.46235c a e e =≈≈$

∴模型①的回归方程为$0.11235x y e =

（2）由表格中的数据，有30407>14607，即

10

10

2

2

1

1

30407

14607

()

()

i

i

i i y y y y ==>

--∑∑，

即

10

10

2

2

1

1

30407

14607

11()

()

i

i

i i y y y y ==-

<-

--∑∑，22

12R R <

模型①的相关指数21R 小于模型①的2

2R ，说明回归模型①的拟合效果更好.

2021年时，13x =，预测旅游人数为$0.1113 1.43235235235 4.2987y e e ?==≈?=（万人） 【点睛】

本题考查了非线性拟合及非线性回归方程的求解与应用，是源于课本的试题类型，解答非线性拟合问题，先作出散点图，再根据散点图选择合适的函数类型，设出回归方程，利用换元法将非线性回归方程化为线性回归方程，求出样本数据换元后的值，然后根据线性回归方程的计算方法计算变换后的线性回归方程系数，即可求出非线性回归方程，再利用回归方程进行预报预测，注意计算要细心，避免计算错误.

12．（2019·湖南高考模拟（理））在全国第五个“扶贫日”到来之前,某省开展“精准扶贫,携手同行”的主题活动,某贫困县调查基层干部走访贫困户数量．A 镇有基层干部60人,B 镇有基层干部60人,C 镇有基层干部80人,每人都走访了若干贫困户,按照分层抽样,从

,,A B C 三镇共选40名基层干部,统计他们走访贫困户的数量,并将走访数量分成5组,

[)[)[)[)[]5,15,15,25,25,35,35,45,45,55,绘制成如图所示的频率分布直方图．

(1) 求这40人中有多少人来自C 镇,并估计,,A B C 三镇的基层干部平均每人走访多少 贫困户；(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)

(2)如果把走访贫困户达到或超过25户视为工作出色,以频率估计概率,从,,A B C 三镇的所有基层干部中随机选取3人,记这3人中工作出色的人数为X ,求X 的分布列及数学期望．

【答案】（1）40人中有16人来自C 镇，28.5户（2）见解析 【分析】

（1）先确定抽样比，再由C 镇有基层干部80人即可求出结果；求平均数时，只需每组

的中间值乘以该组的频率再求和即可；

（2）先确定从三镇的所有基层干部中随机选出1人，其工作出色的概率，由题意可知X 服从二项分布，进而可求出结果. 【详解】

解：（1）因为,,A B C 三镇分别有基层干部60人，60人，80人，共200人， 利用分层抽样的方法选40人，则C 镇应选取40

8016200

?=（人）， 所以这40人中有16人来自C 镇

因为100.15200.25300.3x =?+?+? 400.2500.128.5+?+?=， 所以三镇基层干部平均每人走访贫困户28.5户

（2）由直方图得，从三镇的所有基层干部中随机选出1人，其工作出色的概率为35

显然X 可取0，1，2，3，且33,5X B ??~ ???

，则

()32805125P X ??=== ???， ()12

133236155125P X C ????=== ? ?

????， ()2

1

233254255125P X C ????=== ? ?????， ()3

32735125

P X ??=== ??? 所以X 的分布列为

所以数学期望()8365427901231251251251255

E X =?+?+?+?= 【点睛】

本题主要考查频率分布直方图，以及二项分布，由频率分布直方图求平均数，只需每组的中间值乘以该组频率再求和即可，对于二项分布的问题，熟记二项分布即可求解，属于常考题型.

以下内容为“高中数学该怎么有效学习？”

首先要做到以下两点：

1、先把教材上的知识点、理论看明白。买本好点的参考书，做些练习。如果没问题了就可以做些对应章节的试卷。做练习要对答案，最好把自己的错题记下来。平时学习也是，看到有比较好的解题方法，或者自己做错的题目，做标记，或者记在错题本上，大考之前那出来复习复习。

2、首先从课本的概念开始，要能举出例子说明概念，要能举出反例，要能用自己的话解释概念（理解概念）

然后由概念开始进行独立推理活动，要能把课本的公式、定理自己推导一遍（搞清来龙去脉），课本的例题要自己先试做，尽量自己能做的出来（依靠自己才是最可靠的力量）。

最后主动挑战问题（兴趣是最好的老师），要经常攻关一些问题。（白天攻，晚上钻，梦中还惦着它）

其次，先看笔记后做作业。有的高中学生感到。老师讲过的，自己已经听得明明白白了。但是，为什么自己一做题就困难重重了呢？其原因在于，学生对教师所讲的内容的理解，还没能达到教师所要求的层次。因此，每天在做作业之前，一定要把课本的有关内容和当天的课堂笔记先看一看。能否坚持如此，常常是好学生与差学生的最大区别。尤其练习题不太配套时，作业中往往没有老师刚刚

讲过的题目类型，因此不能对比消化。如果自己又不注意对此落实，天长日久，就会造成极大损失。

做题之后加强反思。学生一定要明确，现在正坐着的题，一定不是考试的题目。而是要运用现在正做着的题目的解题思路与方法。因此，要把自己做过的每道题加以反思。总结一下自己的收获。要总结出，这是一道什么内容的题，用的是什么方法。做到知识成片，问题成串，日久天长，构建起一个内容与方法的科学的网络系统。

主动复习总结提高。进行章节总结是非常重要的。初中时是教师替学生做总结，做得细致，深刻，完整。高中是自己给自己做总结，老师不但不给做，而且是讲到哪，考到哪，不留复习时间，也没有明确指出做总结的时间。

积累资料随时整理。要注意积累复习资料。把课堂笔记，练习，单元测试，各种试卷，都分门别类按时间顺序整理好。每读一次，就在上面标记出自己下次阅读时的重点内容。这样，复习资料才能越读越精，一目了然。

精挑慎选课外读物。初中学生学数学，如果不注意看课外读物，一般地说，不会有什么影响。高中则不大相同。高中数学考的是学生解决新题的能力。作为一名高中生，如果只是围着自己的老师转，不论老师的水平有多高，必然都会存在着很大的局限性。因此，要想学好数学，必须打开一扇门，看看外面的世界。当然，也不要自立门户，

另起炉灶。一旦脱离校内教学和自己的老师的教学体系，也必将事半功倍。

配合老师主动学习。高中学生学习主动性要强。小学生，常常是完成作业就尽情的欢乐。初中生基本也是如此，听话的孩子就能学习好。高中则不然，作业虽多，但是只知道做作业就绝对不够；老师的话也不少，但是谁该干些什么了，老师并不一一具体指明，因此，高中学生必须提高自己的学习主动性。准备向将来的大学生的学习方法过渡。

合理规划步步为营。高中的学习是非常紧张的。每个学生都要投入自己的几乎全部的精力。要想能迅速进步，就要给自己制定一个较长远的切实可行的学习目标和计划，详细的安排好自己的零星时间，注意事项

我们在学习高中数学的时候，除了上课认真听老师讲解外，学习方法，学习习惯也很重要，只要学生认真努力，数学成绩提高是很容易的。

数学的学习过程中千万不要有心理包袱和顾虑，任何学科也是一样，是一个慢慢学习和积累的过程。但要记住的一点，这个过程我们是否能真正的学好初三数学课程（或者其他课程），除了以上的方法，我们最终的目的是：要养成一个良好的学习习惯，要培养出自己优质的学习兴趣，要掌握和形成一套自己的学习方法。