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最新高等数学下册典型例题精选集合

第八章 多元函数及其微分法

最大者泄义域,并在平面上画出泄义域的图形。

A - 77

Z[ = J4x_），的定义域是y 2 < 4x

z 2二丿

的定义域是

从而z = :）-的定义域是Z]=』4x-护 与z? = / 1 定义域 的公共部分，即

V4x >y>0 x 2 > y>0

例 2 设 z 二 x+y + /(x 一 y),当 y = 0吋 z = ,求 z. 解：代入y = 0时Z = F,得〒=兀+ /（兀），即/（兀）=亍一匕 所以

z = (x- y)2 +2y.

2 2

例3求lim

——

>4o J ，+)" +1 _ [

lim(Jx 2 + y 2 +1 +1) = 2

XT O V

尸0

例1求函数z

解：此函数可以看成两个函数Z 严』4x-y2与Z2

=的乘积。

兀-">0,即兀2 >y >0o y>0

lim

(* +

)(J 兀2 + y2 + ] 4- 1)

解:

XT O 原式=厂0

(J 对 + )厂 +1 -1)( J 兀~ + + ] + 1)

法2化为一元函数的极限计算。令衣+八］=(,则当

x —0, y —?0 吋，t ―> 1 o

『2 _1

原式=lim --------- = lim(r +1) = 2。

t —I / — ]

i ―I

例 4 求 lim r 兀+厂

，T()

丿

解:法1用夹逼准则。因为2 | xy \< x 2 2 + y 2,所以

2

9

0<

而lim凶=0,从而lim| |=0

XT O 2 XT O厂 + \厂

〉?T O 〉?T O兀十〉

于是lim「1=0

牙-叮兀.+ y 尸0 丿

法2利用无穷小与有界函数的乘积

是无穷小的性质。

因为2|xy|< x2 + y2所以—^―

Q +y

=lim(

AT O

〉?T O

尢y ?x) = 0

例5研究lim^-

:护+y

解：取路径y二二一x + kxSke R± ,则lim 小 = [由k是任意非零

F *+y k

yTO 丿

的常数，表明原极限不存在。a,

又limx = 0

XT O

〉T()

所以

例6求函数/(x, y)=— --------- ； -- 的连续范围。

x y - xy + xy

解：此函数为二元初等函数，因此它的连续范围就是它的定义域。即除去

xyC?_y + l) = 0的点集。即xOy 平面上除去X 轴、y 轴及抛物线

》，= /+1的所有点外，函数都是连续的。 例 7 已知/(x,y) = (l + xy)\ 求(1,1)与人(1,1)。

解:求f x (x, y)时，视y 为常数，按一元函数幕函数的求导法则，得

f x (兀,y) = y(l + xy)y ~2 (1 + xyY x = y(l + xy)y ~l ? y = y? (1 +

求人(九刃时，因/(x, y)是关于y 的幕指函数，视x 为常数，按一元函 数中幕指函数求导法则，两边取对数，得

In /(x, y) = ^ln(l + xy)

对y 求导得

2 = F .兀2 * 任2)2 * c (Q ,解得 c (Q = 1 — 2*,

故 z = x 2y+ y 2

+1 — 2兀4

.

例]0设z = w(x, y)可微,且当y = x 2时,u(x, y) = 1及磐=兀，(兀工0)

0X

求当y = x 2时的学,(兀工0)

oy

解：因为当y = x 2时，/心*) = 1,所以単+単(宀 =0,故

ox dy

1 y)

?/v(x, y) = ln(l + xy) + y-

M)")=G刃［吨 f)+島 I+切?(i+小)+

从而f x (1,1) = 1，f y (1,1)二2(ln 2 +》=In 4 +1

例8证明函数/(兀,y)=丿血在点(0,0)处两个偏导数人(0,0)和

f y(0,0)存在，但在该点不可微。

证明：因为

f x (0,0) = lim /(心°)-灿°)= lim 0 = 0

A XT O Ar &T0

人(0,0)—/(°4)7(°'°)=恤0 = 0

△VT O△), Ay->0

故人(0,0)和人(0,0)均存在。

\f -[f x (0,0)必+ f y (O,O)dy ] = J| Ar ||Ay| ,当点(0 + Ar,0 + Ay)沿着直线y = x趋向原点(0,0)时，则心=4歹，于是

纣-也(0,0)么+人(0,0)如—Ji心| _ 1 3 1

p J(心『+(心)2 2

当° T 0时，其极限不为零，即纣一 [f x (0,0)必+ f y (0,0)心]不是比。高阶的无穷小，所以/(x,y) =在点(0,0)不可微。

例9 设z = z(x, y)满足[z v一“,求z。

[z(x,x2) = \

解:z = Jz；dy = J(兀2 + y)dy = x2y-^- y2 +C(x),其中C(x)为任意可微函数。

du _ I du _ 1

dy〉* 2xdx ~ 2

例H 设u = u(x, y) nJ微，且弘(匕兀2) = x2 -x4,u x(x,x2) = x-x2,

求u (x, x ),(兀工0) o

解：w(x,x2) = x2一/得u x(x,x2) + u y(x,x2)-2x = 2x-4x3,

故u v（兀，兀2）=2f .（% 工0）

2x

例12证明函数z = xV(^T) (n为常数，/?)可微)满足JC

dz dz _

X — - F 2 V —- = HZ o

dx“ dy

证明：令u=^

兀-

因为字=nx n'{f(u)-2x n~3yfXu),琴=x n~2f(u) dx dy

代入左端得

x— + 2y 亍=nx n f(u)二nz。ox dy

例］3设方程F（-A = 0确定了函数z = z（x,y）,求尖与尖。z z o x Sy

解：设U =—,v = —

z z

法1公式法：(用复合函数的求导法则，x,y,z处于等同地位)

3F dF du dF dv 1 dF dF dF du dF dv 1 dF

— ------- ---- ---- --------- 1 ?■"I* ■_ ，

dx du dx3v dx z du dy du dy3v dy z dv

dF dF du dF dv - x dF y dF

dz du dz dv dz z2 du z2 dv

又zCr,/) = i,代入上式得

法2用隐函数求导法，方程F （兰，丄）=0两端对x 求导，此时要注意刁是

Z Z

x,y 的函数。

ar

z —

du "ar dF

法3利用一阶全微分形式的不变性：

将方程F （-,^） = 0两边求全微分得

Z Z

— du + — dv = Q,即 du dv

f dz) z — x —— ox z 2

dF + — < dz}

~y dx z 2

\ 丿

< 丿

0,

dF du

3F dF

Bz _ dx _ du 荻—一亦— 3F dF dz _ dy

矿—迹

dz

dF dv

dF dF

dF

du

J

化简后可解得尖二 OX

dF dx_

dF dz

E)F￥aFar - az-ay

dF dF dF

=0,即 dv

dF ( zdx - xdz \ du dF ( zdy - yz

z2丿22丿

=0（Z2 ^0）,化简得

3F 3F z ——

z —-

dz

=

必 + dF dF dy f

兀需 + F 兀需*乔 从而可得同样的结果。

例14设)匸,而/是由方程F(x.= 0所确定的的函数, 试证:

dy = f x F t -f l F x dx~ /￡+斥

证明：由y 二fMx.y)］得字二f x + /厶二人+ /」字+肇字］,

dx ox dy dx

又由F(x, y,t) = 0得舉=-竺g =-負,代入解出空即得结果。 dx F t oy F { d x 或利用一阶微分形式的不变性：

dy = f x dx + f x dx — dy + 力力=0

(1) x 耳-(2) x f (消去含dt 的项即可得结果。

例15设2= f(x,-\ f 具有二阶连续偏导数，求半

y ox

X X

解：设 u=—,则 z = f （x,u ）,u =—

y

y

dz _df df du _df 1 df

— + — +

dx dx du dx dx y du

几 二 d （0z ）二 — 1 必）=2（必）+ 2（丄％） dx 2 dx dx dx dx y du dx

dx dx y du

（1）

F x dx 十 F y dy + F t dt = 0 （2）

2（妙）=写+空屯=写+丄吃

dx dx dx 4 5 dxdu dx dx 2 y dxdu

2（丄必）=丄2（必）=_L （2i￡+空也）=丄（i!￡+

丄孚）

dx y du y dx du y dxdu du 2 dx y dxdu y du 2

代入可得

d 2z = d 2f [ 2 d 2f 1 行

dx 2 dx 2 y dxdu y 2 du 2

例16求曲线y 2 - 2mx,z 2 =m-x 在点M （）（%（）,y （）,z （））处的

切线及法线 方程。

解：设x 为参数，则曲线方程可表示为参数方式

x = X < y 2 = 2nvc z~ = m - x

在点M 0（x 0,y 0,z 0）处的切向量为：

切线方程为：兀—兀。=— y°） = —2z°（z-z°） m

4

法平面方程为：x — x （） H （y —）b ） -- （z — z 0） = 0 o

>0 2z°

例17求证锥面z = V （-）上任一点戶（心,儿,z （））（Xo H 0）处的切平面都通 过原点。

例18设f 的一阶偏导数都连续且不同时为零，证明曲面 f{ax-bz,ay-cz ） = 0上的切平面都与某一定直线平行（a,b,c 不同时 为0）.

1

2z°

}，

证明：定直线为兰=2二兰。

b c a

例19证明曲面z = x+/(y-x)±任一点的切平面平行于一-条定直线。 解：此定直线的方向向量求在点处s = {1JJ}

例 20 求函数 f(x,y) = x 2 + 2xy-4x + 8y (0 < x < 1,0 < y < 2)的最大

值与最小值。

解:由

外，故在区域D 内无极值，所以此函数的最大值与最小值仅在边界上达到。 当),=0时，/v (x,0) = 2x-4<0 (因为05x51),则/(匕0)为单调 减函数，故/(0,0) = 0可能为最大值，/(1.0) = -3为可能最小值。

当 y = 2时，f x (x,2) = 2x>0 (因为05x51),则 /(x,2)为单调增 函数，故/(0,2) = 16可能为最小值，/(1,2) = 17为可能最大值。 在x = 0,x = 1两条边界上检验，可得出同样的结果，故

/(1.0) = -3为最小值，/(1,2) = 17为最大值。

2 2 9

例21求内接于椭球畤+ * +汁1的直立方体的最大体积。

解：设直立方体在第一卦限的顶点坐标为(x,y,z),则体积V = 8兀yz , 于是问题转化为在条件

2 2 2

务+与+彳=1下求函数V = 8xyz 的极值。若直接转化为无条件极值 用 b 2 C 2 计算较较烦，为简化，转而讨论函数

u = (xyz)2在条件二+斗+二=1下的极值(因为当U 取得最大值 「 CT

/?- L

时，V 亦収得最大值)，即讨论函数

f x (x, y) = 2x + 2y-4 = 0

人(x,y) = 2x + 8 = 0

解得驻点为(一4,6) ?此点在区域D

兀2 v2

u = c2x2y2z2(l-^一―)的(无条件)极值。

a~ b~

x = ~^=, y = ~^=, z = ~^=,最大体积V = Sxyz =鱼◎ abc。

V3 V3 V3 9

2

例22在旋转椭球面^+y2+z2 =1±,求距平面3x + 4y + 12z = 288

为最近和最远的点。

解：设(x,y,z)为旋转椭球面上的点，它到平面的距离为

」|3x + 4y + 12z-288|

a = ---------- :----------------

13

故可作目标函数

D =(13d)2 =(3 兀+ 4y + 12z-288)2

限制条件为

2

r

— +y2+z2 = 1 或宀96)”+96z?—96 = 0

96

作函数

F(x, y,z) = (3x + 4y + 12z-288尸 + A(x2+96y2 +96z2 -96)

1 3

令其三个偏导数为零并连同限制条件解得点(±9,±-,±|).

8 8 取正号的点为最近点，取负号的点为最远点。

」256」320

d\ = ----- = ---------- .

I 13 - 13

例23抛物面z = x2 + y2被平面兀+y + z二1所截，得一椭圆，求此椭圆到原点的最大与最小距离。

解：可看作在条件z = X2 + >'2与兀+y + z = 1下，求距离的平方=/+y2+z2的极值。令

F(x, y, z) — x~ + y~ + z~ + 6Z (x + y + z — 1) + 0(x~ + y~ — z) 令其各偏

导数为零，并连同限制条件解得两点 吉￡斗迄2 _舲),(斗I,芈血,2 +石)，

2 2 2 2

d =』9 土 5羽.

例24证明：曲面x 2 +j 2+z 2-xz + l = 0的切平面不会平行于直线

J x + j + z + 5 = 0 [x + 2j + z-8 = 0*

证明：直线的方向向量为S = {-1,0,1}

曲而上任一点的切平而的法向量为n = {2x-z,2j,2z-x}, 反证，若平行，则应有§ ?斤=0,得x 二z,代入曲面方程得

X 2+J 2

+1 = O 在实数内无解，故得证。

例25求函数z = x 2y\6-x-y)的极值。 解：解方程组

J z ； = XJ 3(12-3X -2J ) = 0 [z y = X 2J 2(18-3X -4J ) = 0

求得驻点 P 、(2,3), P 2(x,0), P 3 (0,刃.又 z ： = J 2(12X -6X -2J ),Z *. =

XJ 2(36-9X -8J ),Z ^, = 2XJ 2(18-3X -6J ).

在点片处，A = -162,B = -108,C = -144,A = B 2 - 4AC < 0, 故函数Z 在点P }处取得极大值z(2,3) = 108.

在点P 2(x,0)处，即在直线y=0上，当x # 0及兀H 6吋，

兀气6-兀-刃工0,在确定点的足够小的邻域内也不变号，但b 可正可 负，因此，函数z 变号，即在上述情况下没有极值。当兀=0及x = 6时, 类似地可以判断也无极值。

在点P 3(0, j)处，即在直线x = 0±,在y = 0及y = 6点的情况可 类似地

判断函数无极值。

但在0 v y <6吋，y\6-x-y) > 0,且在所对应的点的足够小的邻域内保持正号，因此，在足够小的邻域内，z = x2J3(6-X-J)>0也成立，但邻域内任意近处总有z = 0的点，于是对于x = 0,0< j<6的点函数z取得弱极小值z二0。同法可判定，对于直线x=0 ± y<0及y>6的各点处，函数z取得弱极大值z=0.例26在曲面x2 +2y2 +3z2+2XJ +2XZ +4JZ = 0上求出切平而平行于坐标平面的诸切点。

解：已知曲血的切平血的法向量为

n = {2(x + y + x),2(x + 2y + 2z),2(x + 2y + 3z)}?

市题设当

兀+ ?y + z = 0

< x + 2j+ 2z = 0

x + 2y + 3z = t

时，与*={0,01}平行，即切平面平行与xoy坐标平面。

解上面的方稈组得x = 09y = -t,z = t,代入所给曲面方程得t = ±2^2. 于是，切平而平行与xoy面的切点坐标为：(0,+2^2,±2^2).

用同样的方法了求得切平面平行与yoz坐标平面及xoz坐标平面的诸切点

分别为:(+4,±2,0)及仟2,±4,+2).

例27 求函数/(x,y) = x2 +12xj+ 2j2在区域4x2 + j2 =25±最大值与最小值。解:先求f(x,y)在区域4X2+J2 <25内的驻点，解方程组

[/；=2X +12J =0 ,

“/ c得驻点(0,0)。可以验证B2-AC = 136>0,所以函=12 兀+ 4y = 0

数在此区域内部无极值。故函数的最值必在区域边界4工2+歹2 =25上达到。

现求f(x,y)在条件4* +于=25下的极值。设

L(x, jj)二x2+12XJ +2J2-t(4x2 + y2 -25)

解方程组

二0

17

二0先求得(=一2,—.

4

=0

33

可求得驻点为:(2,-3),(一2,3),(-,4),(--,-4).

2 2

3 3 1

比较/(2,-3) = /(-2,3) = -50, f(-A) = /(---4) = 106-的大小，

2 2 4

可知函数f(x,y)在区域4兀2 + j2 <25上的最大值为106丄,最小值为一50.

4

例28 已知x,y,z 为实数，且e x+j2+|z|= 3,求证：e x y2\z\

证明：设f(x,y) = e x y2(3-e x-y2\由题设e x+j2+|z|= 3,而

I Z |> 0,故x,y 应满足E* + j2 < 3,

对f(x,y)可求得驻点(0,1)和(0,-1.)虽因y=0也满足驻点方程组，但y二0时不等式显然成立。

在边界e x+j2<3,±, f(x,y)=(),故/(0,±1) = 1,为最大值，由此得

/(X,J)<1,(^+J2<3),即"biziG.

例29己知两平面曲线/(x,j) = O,g(x,j) = O, (。,0)和(§,〃)分别为两曲线上的点，证明：如果这两点是两曲线上相距最近或最远的点，则必有如下关系式：

a_g =

0-〃/；(Z0) g；(§，〃)?

证明：设d(a,0,§,77)表示点(a,0)和(§,〃)的距离的平方,即

d(a,0,g,“) = (a-g)2 +(0-“)2.

显然d的约束条件为/(x, y) = 0, gg y) = 0,

令Q = 〃 + 〃 + “g,因为〃在处达到最大值或最小值，所以

应有

L：=2(a-0 +廿;?,0) = 0

馬=2(0-〃) + 〃；(％0) = 0

4=—2(G —f) + 〃g；(§,〃) = 0

4 = 一2(0-〃)+ 〃g；(§,〃) = 0

因此有洋绘徐谿/；(Z0)

/；(%")

由后两个等式得需=溜

1 7 例30设z = -/(x2,xy2), /具有二阶连续偏导数，求需x dxoy

解:令u = x2,v = xy2,则乙二丄/仏卩)

X

若先求半较麻烦，由于f具有二阶连续偏导数，故可先求尖oxdy 务二丄竽?2旷2普dy x dv 3v

空=2y(吃?2兀+写= “比+ 2,空二空

dydx dvdu3v~ dvdu9v dxdy

r)7dz

例31证明：当ab主0时，若函数z = /(x, y)满足b— = —9则ox dy

f(x9y) =(p(ax+by).

证明：设u = ax + by，则y =丄(比一ax)9从而z = f(x9—(u一or)),故z

为b b

x9u的函数：z = z(兀,u)?由于

半=/；+ //(--) = 0,故对于z = z(x,w), z仅于u有关,即ax b

z =(p(w) = ?(or + hy).

07 07

b—二dp也是z = /(x,y) =(p(<7x + by)成立的必要条件。ox

dy

注:

第九章重积分

例 1 设 /(x)在［0,d ］上连续，证明：(d 吐' f{x)dx = ］(d - x) f{x)clx o 证明：法1

fO < X < y

由要证等式左端得积分域：D:\ ~

改变积分次序得

|0< y ￡ dy^ f(x)dx = ￡ f(x)dx^ dy = ￡ (a 一 x)f(x)dx

法 3 设 F(y) = ￡ f{x)dx ,则

例2设/(兀)在［a,b ］上连续，且/(x) > 0,证明:

——dx > (h-a)2 fM

证明：法1因为

￡/⑴坷：爲张="⑷呵:命处=

其中 D \ a< x

所以打⑴迸帀

f(x)dx

\^a-x)f(x)dx

1 f f 2f^f^ dxd y = jj dxd y = (b~a)2

D

法2 设F(u)二］f(x)dx^ ,)cZx_(u_d)2

(a

只需证明F(b) > 0 o显然F(a) = 0

尸⑺）=/（砒:命必+ 命￡ f^dx - 2（% -。） "：誥喘H）由于f(x) > 0,n 2 ,所以F\u) > 2(w 一a)一2(w 一a) = 0, f(x) f(u)

故F（u）在［0,a］上不减，因而F（b） > F（a） = 0,即所给不等式成立。

例3设积分区域0 =。+。2,如图所示，关于y轴对称，公共部分是y轴的一段，试证：

（1）若连续函数/（X, y）关于变量x为偶函数，则

JJ /（兀，y）da = 2 jj /（x, y）da

D D、

（2）若连续函数/（兀,y）关于变量x为奇函数，则

JJ /（兀，y）d（r = 0.

D

证明：将区域9以任意分法分成子区域厶0］,452，???仏0〃，以y轴为对称轴，相应地将D.分成Aqi, A（722，…,A C T2Z?,其中△叭?与关于y 轴对称Q = 1,2,-??,/?）.

在A久中任取一点（&,小），则是?中的点，在D上作积分

/=] ;=1

由于/(兀,y)关于变量x为偶函数，故必满足