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高等数学微分方程练习题

(一)微分方程的基本概念

微分方程:含未知函数的导数或微分的方程,称为微分方程、

微分方程的阶:微分方程所含未知函数的最高阶导数或微分的阶数称为微分方程的阶数、

1、不就是一阶微分方程.

A、正确

B、不正确

2、不就是一阶微分方程.

A、正确

B、不正确

一阶线性微分方程:未知函数及其导数都就是一次的微分方程d

()()

P x y Q x

+=称为一阶

线性微分方程、

微分方程的解:如果一个函数代入微分方程后,方程两边恒等,则称此函数为微分方程的解、通解:如果微分方程的解中所含独立任意常数C的个数等于微分方程的阶数,则此解称为微分方程的通解、

特解:在通解中根据附加条件确定任意常数C的值而得到的解,称为特解、

1、就是微分方程的解.

A、正确

B、不正确

2、就是微分方程的解.

A、正确

B、不正确

3、就是微分方程的通解.

A、正确

B、不正确

4、微分方程的通解就是( ).

A、 B、 C、 D、

(二)变量可分离的微分方程:()()dy f x g y dx

= 一阶变量可分离的微分方程的解法就是:

(1)分离变量:1221()()()()g y f x dy dx g y f x =;(2)两边积分:1221()()()()g y f x dy dx g y f x =?? 左边对y 积分,右边对x 积分,即可得微分方程通解、 1、微分方程

的通解就是( ). A 、

B 、

C 、

D 、 2、微分方程的通解就是( ). A 、 B 、 C 、 D 、 3、微分方程的通解就是( ).

A 、

B 、

C 、

D 、 4、微分方程

的通解就是( ). A 、

B 、

C 、

D 、

5、微分方程

的通解就是( ). A 、 B 、 C 、 D 、 6、微分方程的通解( ).

A 、

B 、

C 、

D 、 7、微分方程

的通解就是( ). A 、

B 、

C 、

D 、 8、 x y dy e dx

-=就是可分离变量的微分方程. A 、正确 B 、不正确

9、微分方程0dx dy y x

+=满足(3)4y =的特解就是( ). A 、2

2x y C += B 、 22x y C -= C 、 2225x y += D 、 2225x y -=

(二)一阶线性微分方程 )()(x q y x p y =+'

通解公式为:()()(())p x dx p x dx y e q x e dx C -??=?+?

1、微分方程2d 2e d x y xy x

-+=的通解就是y =( ). A.e ()x x C + B .2e ()x x C + C.2e ()x x C -+ D. e ()x

x C -+ 2、微分方程

的通解就是( ). A 、 B 、 C 、 D 、

3、微分方程的通解就是( ).

A 、

B 、

C 、

D 、 4.微分方程22d (+1)24d y x xy x x +=的通解就是( ). A.3241x C x ++ B .3241

x C x +- C.3243(1)x C x +- D.3243(1)x C x ++ 5.微分方程2

(1)d (2cos )d 0x y xy x x -+-=满足01x y ==的特解就是( ). A.2sin 11x y x -=

- B .2cos 1x y x =+ C.2sin 11x y x +=+ D.2cos 1x y x

=- 6.微分方程3d 2e d x y x y x x -=满足10x y ==的特解就是( ). A.2(e

e)x y x -=+ B .2(e e)x y x -=- C.2(e e)x y x =- D.2(e e)x y x =+

高等数学第七章微分方程习题

第七章微分方程与差分方程习题7－1（A ） 1．说出下列微分方程的阶数： ;02)()1(2=+'-'x y y y x ;0)2(2=+'+'''y y x y x .0)32()67()3(=++-dy y x dx y x 2．下列函数是否为该微分方程的解： x e x y y y y 2; 02)1(==+'-'' )(2; 0)()2(2为任意常数C x x C y xdy dx y x -==++ ),(cos sin ; 0) 3(212122 2为任意常数C C ax C ax C y y a dx y d +==+ )(ln ; 02)()4(2xy y y y y y x y x xy =='-'+'+''+ 3．在下列各题中，确定函数关系式中所含的参数，写出符合初始条件的函数： ;5, )1(0 22==-=x y C y x ;1,0,)()2(0 221=' =+===x x x y y e x C C y . 0,1, )(sin )3(21='=-===ππx x y y C x C y 4．写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程：点横坐标的平方。处的切线的斜率等于该曲线在点),()1(y x 轴平分。被，且线段轴的交点为处的法线与曲线上点y PQ Q x y x P ),()2( 习题7－1（B ） 1．在下列各题中，对各已知曲线族（其中 C 1, C 2, C 3 都是任意常数）求出相应的微分方程： ; 1)()1(22=+-y C x . )2(21x x e C e C xy -+= 2．用微分方程表示下列物理问题：平方成反比。温度的成正比，与的变化率与气压对于温度某种气体的气压P T P )1( 。速度成反比（比例系数同时阻力与，成正比（比例系数与时间用在它上面的一个力的质点作直线运动，作一质量为)))2(11k k t m 习题7－2（A ） 1．求下列微分方程的通解： ;0ln )1(=-'y y y x ;0553)2(2='-+y x x ; )()3(2y y a y x y '+='-'

高数公式大全(全)

高数公式大全 1.基本积分表：三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x += =+-=+=，　，　，　一些初等函数：两个重要极限： ? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 ππx x arthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x x x x x x x -+=-+±=++=+-==+= -=----11ln 21)1ln(1ln(:2 :2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e x x x x x x

(完整版)高等数学微分方程试题

第十二章微分方程 §12-1 微分方程的基本概念一、判断题 1.y=ce x 2(c 的任意常数)是y '=2x 的特解。 ( ) 2.y=(y '')3是二阶微分方程。 ( ) 3.微分方程的通解包含了所有特解。 ( ) 4.若微分方程的解中含有任意常数，则这个解称为通解。（） 5.微分方程的通解中任意常数的个数等于微分方程的阶数。（）二、填空题 1. 微分方程.(7x-6y)dx+dy=0的阶数是。 2. 函数y=3sinx-4cosx 微分方程的解。 3. 积分曲线y=(c 1+c 2x)e x 2中满足y x=0=0, y ' x=0=1的曲线是。三、选择题 1．下列方程中是常微分方程（A ）、x 2+y 2=a 2 (B)、 y+0)(arctan =x e dx d (C)、22x a ??+22y a ??=0 （D ）、y ''=x 2+y 2 2.下列方程中是二阶微分方程（A ）（y ''）+x 2y '+x 2=0 (B) (y ') 2+3x 2y=x 3 (C) y '''+3y ''+y=0 (D)y '-y 2=sinx 3.微分方程2 2dx y d +w 2 y=0的通解是其中c.c 1.c 2均为任意常数（A ）y=ccoswx (B)y=c sinwx (C)y=c 1coswx+c 2sinwx (D)y=c coswx+c sinwx 4. C 是任意常数，则微分方程y '=3 23y 的一个特解是（A ）y-=(x+2)3 (B)y=x 3+1 (C) y=(x+c)3 (D)y=c(x+1)3 四、试求以下述函数为通解的微分方程。 1．2 2 C Cx y +=（其中C 为任意常数） 2.x x e C e C y 3221+=（其中21,C C 为任意常数）五、质量为m 的物体自液面上方高为h 处由静止开始自由落下，已知物体在液体中受的阻力与运动的速度成正比。用微分方程表示物体，在液体中运动速度与时间的关系并写出初始条件。

高等数学微分方程

第十二章微分方程 § 1 微分方程的基本概念 1、由方程x 2-xy+y 2=C 所确定的函数是方程（）的解。 A. (x-2y)y '=2-xy '=2x-y C.(x-2)dx=(2-xy)dy D.(x-2y)dx=(2x-y)dy 2、曲线族y=Cx+C 2 (C 为任意常数) 所满足的微分方程（） 4.微分方程y '=y x 21-写成以 y 为自变量，x 为函数的形式为（） A.y x 21dx dy -= B.y x 21dy dx -= '=2x-y D. y '=2x-y §2 可分离变量的微分方程 1.方程P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0是（） A.可分离变量的微分方程一阶微分方程的对称形式， C.不是微分方程 D.不能变成 ) y ,x (P ) y ,x (Q dy dx -= 2、方程xy '-ylny=0的通解为（） A y=e x B. y=Ce x cx D.y=e x +C 3、方程满足初始条件：y '=e 2x-y , y|x=0=0的特解为（） A. e y =e 2x +1 2 1 e ln x 2+= C. y=lne 2x +1-ln2 D. e y =21e 2x +C 4、已知y=y(x)在任一点x 处的增量α+?+=?x x 1y y 2 ，且当?x →0时，α是?x 高阶无穷小，y(0)=π,则y(1)=( ) A. 2π B. π C. 4 e π 4e ππ 5、求特解 cosx sinydy=cosy sinxdx ， y|x=0=4 π 解：分离变量为tanydy=tanxdx ，即-ln(cosy)=-ln(cosx)-lnC ，cosy=ccosx 代入初始条件：y|x=0= 4π 得：2 2C =特解为：2cosy=cosx 6、求微分方程()2 y x cos y x 2 1cos dx dy +=-+满足y(0)=π的特解。

高等数学微分方程试题及答案.docx

第九章常微分方程一．变量可分离方程及其推广 1．变量可分离的方程（ 1）方程形式：dy P x Q y Q y0通解 dy P x dx C dx Q y （注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加）（ 2）方程形式：M1x N1 y dx M 2x N 2y dy0 通解M 1x dx N 2 y dy C M 2 x 0, N 1 y 0 M 2x N 1y 2．变量可分离方程的推广形式 dy f y （ 1）齐次方程 x dx 令y u ，则 dy u x du f u f du dx c ln | x | c x dx dx u u x 二．一阶线性方程及其推广 1．一阶线性齐次方程 dy P x y0 它也是变量可分离方程，通解y Ce P x dx ，（c为任意常数）dx 2．一阶线性非齐次方程精品文档令 z y1把原方程化为dz1P x z 1Q x 再按照一阶线性 dx 非齐次方程求解。 dy1可化为 dx P y x Q y y x 以为自变量，．方程： P y x dy dx Q y 为未知函数再按照一阶线性非齐次方程求解。三、可降阶的高阶微分方程方程类型解法及解的表达式通解 y n C 2 x n 2C n 1 x C n y n f f x dx C1 x n 1 x n次令 y p ，则 y p ，原方程 y f x, y f x, p ——一阶方程，设其解为p g x, C1 p，即y g x, C1，则原方程的通解为y g x, C1dx C2。令 y p ，把p看作y的函数，则 y dp dp dy p dp dx dy dx dy y f 把 y， y 的表达式代入原方程，得 dp1 f y, p—一阶方程， y, y dy p dy dx P x y Q x用常数变易法可求出通解公式设其解为 p g y, C 1 , 即 dy g y, C1，则原方程的通解为 dx 令 y C x e P x dx代入方程求出 C x 则得ye P x dx Q x e P x dx dx C 3．伯努利方程 dy Q x y0,1 P x y dx dy x C2。 g y, C1

高等数学第九章微分方程试题及答案

第九章常微分方程一．变量可分离方程及其推广 1．变量可分离的方程（1）方程形式： ()()()()0≠=y Q y Q x P dx dy 通解() ()? ?+=C dx x P y Q dy （注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加）（2）方程形式：()()()()02211=+dy y N x M dx y N x M 通解()()()() C dy y N y N dx x M x M =+??1221 ()()()0,012≠≠y N x M 2．变量可分离方程的推广形式（1）齐次方程 ?? ? ??=x y f dx dy 令 u x y =，则()u f dx du x u dx dy =+= ()c x c x dx u u f du +=+=-?? ||ln 二．一阶线性方程及其推广 1．一阶线性齐次方程 ()0=+y x P dx dy 它也是变量可分离方程，通解()?-=dx x P Ce y ，（c 为任意常数） 2．一阶线性非齐次方程 ()()x Q y x P dx dy =+ 用常数变易法可求出通解公式令()()?-=dx x P e x C y 代入方程求出()x C 则得 ()()()[] ?+=??-C dx e x Q e y dx x P dx x P 3．伯努利方程 ()()()1,0≠=+ααy x Q y x P dx dy 令α-=1y z 把原方程化为()()()()x Q z x P dx dz αα-=-+11 再按照一阶线性非齐次方程求解。 4．方程： ()()x y P y Q dx dy -=1可化为()()y Q x y P dy dx =+ 以y 为自变量，x 为未知函数再按照一阶线性非齐次方程求解。三、可降阶的高阶微分方程

高数第七章题库微分方程

第十二章微分方程答案一、选择题 1．下列不是全微分方程的是 C 1 A.2()(2)0x y dx x y dy ++-= B.2 (3)(4)0y x dx y x dy ---= C.3 2 2 2 3(23)2(2)0x xy dx x y y dy +++= D.2 2 2(1)0x x x ye dx e dy -+= 2. 若3y 是二阶非齐次线性方程(1):()()()y P x y Q x f x '''++=的一个特解，12,y y 是对应的齐次线性方程(2)的两个线性无关的特解，那么下列说法错误的是（123,,c c c 为任意常数） C 2 A.1122c y c y +是(2)的通解 B. 113c y y +是(1)的解 C. 112233c y c y c y ++是(1)的通解 D. 23y y +是(1)的解 3．下列是方程xdx ydy += 的积分因子的是 D 2 A.2 2x y + B. 221x y + 4．方程32 2321x x d y d y e e dx dx ++=的通解应包含得独立常数的个数为（ B ）. 1 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 0 5．已知方程'()0y p x y +=的一个特解cos 2y x =，则该方程满足初始特解(0)2y =的特解为（ C ）. 2 (A) cos 22y x =+ (B) cos 21y x =+ (C) 2cos 2y x = (D) 2cos y x = 6．方程32232 1x x d y d y e e dx dx ++=的通解应包含得独立常数的个数为（ B ）. 1 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 0 7．设线性无关的函数123,,y y y 都是微分方程''()'()()y p x y q x y f x ++=的解，则该方程的通解为（ D ）. 2 (A) 11223y c y c y y =++ (B) 1122123()y c y c y c c y =+-+ (C) 1122123(1)y c y c y c c y =+--- (D) 1122123(1)y c y c y c c y =++-- 8．设方程''2'3()y y y f x --=有特解*y ，则其通解为（ B ）. 1

(完整版)高等数学第七章微分方程试题及答案

第七章常微分方程一．变量可分离方程及其推广 1．变量可分离的方程（1）方程形式： ()()()()0≠=y Q y Q x P dx dy 通解() ()? ?+=C dx x P y Q dy （注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加）（2）方程形式：()()()()02211=+dy y N x M dx y N x M 通解()()()() C dy y N y N dx x M x M =+??1221 ()()()0,012≠≠y N x M 2．变量可分离方程的推广形式（1）齐次方程 ?? ? ??=x y f dx dy 令 u x y =，则()u f dx du x u dx dy =+= ()c x c x dx u u f du +=+=-?? ||ln 二．一阶线性方程及其推广 1．一阶线性齐次方程 ()0=+y x P dx dy 它也是变量可分离方程，通解()?-=dx x P Ce y ，（c 为任意常数） 2．一阶线性非齐次方程 ()()x Q y x P dx dy =+ 用常数变易法可求出通解公式令()()?-=dx x P e x C y 代入方程求出()x C 则得 ()()()[] ?+=??-C dx e x Q e y dx x P dx x P 3．伯努利方程 ()()()1,0≠=+ααy x Q y x P dx dy 令α -=1y z 把原方程化为()()()()x Q z x P dx dz αα-=-+11 再按照一阶线性非齐次方程求解。 4．方程： ()()x y P y Q dx dy -=1可化为()()y Q x y P dy dx =+ 以y 为自变量，x 为未知函数再按照一阶线性非齐次方程求解。

高等数学微分方程练习题

高等数学微分方程练习题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

（一）微分方程的基本概念微分方程：含未知函数的导数或微分的方程，称为微分方程. 微分方程的阶：微分方程所含未知函数的最高阶导数或微分的阶数称为微分方程的阶数. 1.不是一阶微分方程． A.正确 B.不正确 2.不是一阶微分方程． A.正确 B.不正确一阶线性微分方程：未知函数及其导数都是一次的微分方程d ()() d y P x y Q x x += 称为一阶线性微分方程. 微分方程的解：如果一个函数代入微分方程后，方程两边恒等，则称此函数为微分方程的解. 通解：如果微分方程的解中所含独立任意常数C的个数等于微分方程的阶数，则此解称为微分方程的通解. 特解：在通解中根据附加条件确定任意常数C的值而得到的解，称为特解. 1.是微分方程的解． A.正确 B.不正确 2.是微分方程的解． A.正确 B.不正确 3.是微分方程的通解． A.正确 B.不正确

4.微分方程的通解是（）． A. B. C. D. （二）变量可分离的微分方程：()()dy f x g y dx = 一阶变量可分离的微分方程的解法是：（1）分离变量：1221()()()() g y f x dy dx g y f x =；（2）两边积分：1221()()()()g y f x dy dx g y f x =?? 左边对y 积分，右边对x 积分，即可得微分方程通解. 1.微分方程的通解是（）． A. B. C. D. 2.微分方程的通解是（）． A. B. C. D. 3.微分方程的通解是（）． A. B. C. D. 4.微分方程的通解是（）．

高等数学微分方程试题汇编

第十二章微分方程 §2-1 微分方程的基本概念一、判断题 1. y=ce 2x （c 的任意常数）是y ' =2x 的特解。（） 2. y=（ y ）3是二阶微分方程。（） 3. 微分方程的通解包含了所有特解。（） 4. 若微分方程的解中含有任意常数，则这个解称为通解。（） 5. 微分方程的通解中任意常数的个数等于微分方程的阶数。（）二、填空题微分方程.(7x-6y)dx+dy=0的阶数是 _______________ 。 2. 函数y=3sinx-4cosx ___________ 微分方程的解。 3. 积分曲线y=(c 1 +c 2x)e 2x 中满足 y x=o =O, y" x=o =1的曲线是 _________________ 。三、选择题 1. _________________ 下列方程中是常微分方程 _2 _2 2 2 2 d arctan x 3 '3 2 2 (A )、x+y =a (B)、 y+——(e ) = 0 (C)、—2 +— =0 ( D )、y =x +y dx ex cy 2. _______________ 下列方程中是二阶微分方程 2 y 2 i-2 2 3 2 (A ) ( y ) +x +x =0 (B) ( y ) +3x y=x (C) y +3 y +y=0 (D) y -y =sinx (A ) y=ccoswx (B)y=c sinwx (C)y=c i coswx+c 2sinwx (D)y=c coswx+c sinwx 2 4. C 是任意常数，则微分方程 y =3y 3的一个特解是 ______________ 3 3 3 3 (A ) y-=(x+2) (B)y=x +1 (C) y=(x+c) (D)y=c(x+1) 四、试求以下述函数为通解的微分方程。 2 2 2x 3x 1. y =Cx C (其中C 为任意常数) 2.y =C i e C 2e (其中C-C ?为任意常数) 五、质量为 m 的物体自液面上方高为 h 处由静止开始自由落下，已知物体在液体中受的阻力与运 3.微分方程穿+w2y =0的通解是 ______ 中c.c i.c 2均为任意常数

高数一试题库

南京工业大学继续教育学院南京高等职业技术学校函授站《高等数学一》课程复习题库一．选择题 1. 0sin 3lim x x x →=（） A.0 B. 1 3 C.1 D.3 2. 0sin lim 22x ax x →=，则a =（） A.2 B. 12 C.4 D. 1 4 3. 0sin 5sin 3lim x x x x →-?? ??? =（） A.0 B. 1 2 C.1 D.2 4. 极限0tan 3lim x x x →等于（） A 0 B 3 C 7 D 5 5.设()2,0 ,0x x x f x a x ?+<=?≥?，且()f x 在0x =处连续，则a =（） A.0 B. 1- C.1 D.2 6. 设()21,1 0,1ax x f x x ?+<=?≥?，且()f x 在1x =处连续，则a =（） A.1 B. 1- C.-2 D. 2 7. 设()2 1,02,0,0x x f x a x x x ???在0x =处连续，则a =（） A.1 B. 1- C.0 D. 12 8．设2cos y x =，则y '=（） A. 2sin x B. 2sin x - C. 22sin x x - D. 22sin x x

9. 设21y x -=+，则y '= （） A.32x - B.12x -- C.32x -- D.121x --+ 10．设5sin y x x -=+则y '=（） A ．65cos x x --+ B 45cos x x --+ C.45cos x x --- D.65cos x x --- 11. 设5 1 y x = ，则dy =（） A.45x - .B.45x dx -- C. 45x dx D.45x dx - 12. 设1cos 2,y x =-则dy =（） A ．sin 2xdx B sin 2xdx - C.2sin 2xdx D.2sin 2xdx - 13. 设() 2ln 1,y x =+则dy =（） A ． 21dx x + B 21dx x -+ C.221xdx x + D.2 21xdx x -+ 14. ()1 lim 1x x x →-=（） A. e B. 1e - C. 1e -- D. e - 15．()x x x 21 21lim +→ =（） A 0 B ∞ C e D 2e 16. 0 1lim 1x x x →?? += ??? （） A. e B. 1e - C.0 D. 1 17.226 lim 2 x x x x →+--=（）

高等数学微分方程试题及答案

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专业班级学号姓名成绩时间174 第十二章微分方程 §12-1 微分方程的基本概念一、判断题 1.y=ce 2 x (c 的任意常数 )是y =2x 的特解。( ) 2.y=( y ) 3是二阶微分方程。( ) 3.微分方程的通解包含了所有特解。( ) 4.若微分方程的解中含有任意常数，则这个解称为通解。（） 5.微分方程的通解中任意常数的个数等于微分方程的阶数。（）二、填空题 1. 微分方程 .(7x-6y)dx+dy=0 的阶数是。 2. 函数 y=3sinx-4cosx 微分方程的解。 3. 积分曲线 y=(c 1 +c 2 x)e 2 x 中满足 y x=0=0, y x=0=1的曲线是。三、选择题 1．下列方程中是常微分方程（ A ）、 x2+y 2=a2 d (e arctan x ) 0 (C)、 2 a 2 a =0 （ D）、y =x 2+y 2 (B) 、 y+ 2 + 2 dx x y 2.下列方程中是二阶微分方程（ A ）（y）+x 2 y +x 2=0(B) ( y ) 2+3x 2y=x 3 (C) y +3 y +y=0 (D) y -y2=sinx d 2 y 2 1. 2 3.微分方程 dx2 +w y=0 的通解是其中 c.c c 均为任意常数（ A ）y=ccoswx (B)y=c sinwx (C)y=c 1coswx+c 2sinwx (D)y=c coswx+c sinwx 2 4. C 是任意常数，则微分方程y = 3y3 的一个特解是（ A ）y-=(x+2) 3 (B)y=x 3+1 (C) y=(x+c) 3 (D)y=c(x+1) 3 四、试求以下述函数为通解的微分方程。 1．y Cx2 C 2 （其中 C 为任意常数） 2. y C1e2 x C 2e3x （其中 C1 ,C2 为任意常数）五、质量为m 的物体自液面上方高为h 处由静止开始自由落下，已知物体在液体中受的阻力与运动的速度成正比。用微分方程表示物体，在液体中运动速度与时间的关系并写出初始条件。

高等数学基本公式整理(微分方程部分)

微分方程的相关概念：即得齐次方程通解。，代替分离变量，积分后将，，，则设的函数，解法：，即写成程可以写成齐次方程：一阶微分方称为隐式通解。得：的形式，解法：为：一阶微分方程可以化可分离变量的微分方程　或　一阶微分方程：u x y u u du x dx u dx du u dx du x u dx dy x y u x y y x y x f dx dy C x F y G dx x f dy y g dx x f dy y g dy y x Q dx y x P y x f y -=∴=++====+====+='??)()(),(),()()()()()()(0 ),(),(),(???一阶线性微分方程： )1,0()()(2))((0)(,0)()()(1)()()(≠=+?+? =≠? ===+?--n y x Q y x P dx dy e C dx e x Q y x Q Ce y x Q x Q y x P dx dy n dx x P dx x P dx x P ，、贝努力方程：时，为非齐次方程，当为齐次方程，时当、一阶线性微分方程：全微分方程：通解。应该是该全微分方程的，，其中：分方程，即：中左端是某函数的全微如果C y x u y x Q y u y x P x u dy y x Q dx y x P y x du dy y x Q dx y x P =∴=??=??=+==+),(),(),(0),(),(),(0),(),( 二阶微分方程：时为非齐次时为齐次，0)(0)()()()(22≠≡=++x f x f x f y x Q dx dy x P dx y d 二阶常系数齐次线性微分方程及其解法： 2 122,)(2,,(*)0)(1,0(*)r r y y y r r q pr r q p qy y p y 式的两个根、求出的系数；式中的系数及常数项恰好是，，其中、写出特征方程：求解步骤：为常数；，其中?'''=++?=+'+''式的通解：出的不同情况，按下表写、根据(*),321r r

高等数学微分方程试题及答案

精品文档 . 第九章常微分方程一．变量可分离方程及其推广 1．变量可分离的方程（1）方程形式： ()()()()0≠=y Q y Q x P dx dy 通解() ()? ?+=C dx x P y Q dy （注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加）（2）方程形式：()()()()02211=+dy y N x M dx y N x M 通解()()()() C dy y N y N dx x M x M =+??1221 ()()()0,012≠≠y N x M 2．变量可分离方程的推广形式（1）齐次方程 ?? ? ??=x y f dx dy 令 u x y =，则()u f dx du x u dx dy =+= ()c x c x dx u u f du +=+=-?? ||ln 二．一阶线性方程及其推广 1．一阶线性齐次方程 ()0=+y x P dx dy 它也是变量可分离方程，通解()?-=dx x P Ce y ，（c 为任意常数） 2．一阶线性非齐次方程 ()()x Q y x P dx dy =+ 用常数变易法可求出通解公式令()()?-=dx x P e x C y 代入方程求出()x C 则得 ()()()[] ?+=??-C dx e x Q e y dx x P dx x P 3．伯努利方程 ()()()1,0≠=+ααy x Q y x P dx dy 令α -=1y z 把原方程化为 ()()()()x Q z x P dx dz αα-=-+11 再按照一阶线性非齐次方程求解。 4．方程： ()()x y P y Q dx dy -=1可化为()()y Q x y P dy dx =+ 以y 为自变量，x 为未知函数再按照一阶线性非齐次方程求解。三、可降阶的高阶微分方程

高等数学微分方程练习题

（一）微分方程的基本概念微分方程：含未知函数的导数或微分的方程，称为微分方程. 微分方程的阶：微分方程所含未知函数的最高阶导数或微分的阶数称为微分方程的阶数. 1.不是一阶微分方程． A.正确 B.不正确 2.不是一阶微分方程． A.正确 B.不正确一阶线性微分方程：未知函数及其导数都是一次的微分方程d ()() d y P x y Q x x +=称为一阶线性微分方程. 微分方程的解：如果一个函数代入微分方程后，方程两边恒等，则称此函数为微分方程的解. 通解：如果微分方程的解中所含独立任意常数C的个数等于微分方程的阶数，则此解称为微分方程的通解. 特解：在通解中根据附加条件确定任意常数C的值而得到的解，称为特解. 1.是微分方程的解． A.正确 B.不正确 2.是微分方程的解． A.正确 B.不正确 3.是微分方程的通解． A.正确 B.不正确 4.微分方程的通解是（）． A. B. C. D.

（二）变量可分离的微分方程：()()dy f x g y dx = 一阶变量可分离的微分方程的解法是：（1）分离变量：1221()()()()g y f x dy dx g y f x =；（2）两边积分：1221()()()() g y f x dy dx g y f x =?? 左边对y 积分，右边对x 积分，即可得微分方程通解. 1.微分方程的通解是（）． A. B. C. D. 2.微分方程的通解是（）． A. B. C. D. 3.微分方程的通解是（）． A. B. C. D. 4.微分方程的通解是（）． A. B. C. D. 5.微分方程的通解是（）． A. B. C. D. 6.微分方程的通解（）． A. B. C. D. 7.微分方程的通解是（）． A. B. C. D. 8. x y dy e dx -=是可分离变量的微分方程． A.正确 B.不正确

高等数学常微分方程的基础知识和典型例题

常微分方程一、一阶微分方程的可解类型（一）可分离变量的方程与一阶线性微分方程 1.（05,4分）微分方程_________.1 2ln (1)9 xy y x x y '+==-满足的解为 2222223332.+ln ,=ln . 111 ln ln ln . 339 111 (1)0ln . 939 dx x dy y x e x dx x d x x x dx x x xdx C xdx C x x x y C y x x x ?==+=+-=-=?=-??分析：这是一阶线性微分方程原方程变形为两边乘得 (y)= 积分得 y=C+由得 2.（06,4分） (1) y x x -'————.微分方程y = 的通解为 111 (1).ln ln .,C x x dy dx y x x C y e x e y x y Cxe C --=-=-+==分析：这是可变量分离的一阶方程，分离变量得积分得，即因此，原微分方程的通解为其中为任意常数. （二）奇次方程与伯努利方程 1.（97,2,5分）2 2 2 (32)(2)0x xy y dx x xy dy +-+-=求微分方程的通解. 22223122+1-23 , 1ln 13ln ,1=..y xu dy xdu udx u u dx x u du u du dx u u x u u x C u u Cx y C u x xy y x x -=-+-+-=-++-= +-=解：所给方程是奇次方程.令 =,则=+.代入原方程得 3（1-）+(1-2)=0. 分离变量得积分得即以代入得通解 2.(99,2,7分) 1(0(0),0 x y dx xdy x y =?+-=>??=??求初值问题的解.

高等数学第七章测试题答案(第7版)

第七章测试题答案一、填空（20分） 1、5 322x y x y x y x =+'+'''是 3 阶微分方程； 2、与积分方程?=x x dx y x f y 0),(等价的微分方程初值问题是?????=='=0),(0 x x y y x f y ； 3、已知微分方程02=+'-''y y y ，则函数x e x y 2=不是（填“是”或“不是”）该微分方程的解； 4、设1y 和2y 是二阶齐次线性方程0)()(=+'+''y x q y x p y 的两个特解， 21,C C 为任意常数，则2211y C y C y +=一定是该方程的解（填“通解”或“解”）； 5、已知1=y 、x y =、2x y =是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该方程的通解为：1)1()1(221+-+-=x C x C y ； 6、方程054=+'-''y y y 的通解为)sin cos (212x C x C e y x +=. 7、微分方程x y y cos 4=+''的特解可设为x B x A y sin cos *+=； 8、以221==x x 为特征值的阶数最低的常系数线性齐次微分方程是： 044=+'-''y y y ； 9、微分方程1+=-''x e y y 的特解*y 形式为：b axe y x += ； 10、微分方程044=-'+''-'''y y y y 的通解：x C x C C x 2sin 2cos e 221++。二、（10分）求x x y y =+'的通解. 解：由一阶线性微分方程的求解公式 )(11 C xdx e e y x dx x +??=?-， x C x C dx x x +=+=?2231)(1 三、（10分）求解初值问题2)0(,0==+'y xy y .

高等数学题库常微分方程

第6章常微分方程习题一一、填空题： 1、微分方程 1sin 2=+''-'''x y y 的阶数为__________。 2、设某微分方程的通解为()x e x c c y 221+=，且00 ==x y ，10='=x y 则 ___________1=c ，_____________2=c 。 3、通解为x ce y =（c 为任意常数）的微分方程是___________。 4、满足条件 ()()=+?dx x f x f x 2的微分方程是__________。 5、 y y x 4='得通解为__________。 6、 1+=y dx dy 的满足初始条件()10=y 的特解为__________。 7、设()n c c c x y y ???=,,,21是微分方程12=+'-'''y y x y 的通解，则任意常数的个数 __________=n 。 8、设曲线()x y y =上任意一点()y x ,的切线垂直于该点与原点的连线，则曲线所满足的微分方程为___________ 。二、求下列微分方程满足初始条件的特解： 1、y y x y ln sin ='，e y x == 2 π 2、()0sin 1cos =-+-ydy e ydx x ，4 π = =x y 3、y x e y -='2，00 ==x y 4、xdx y xdy y sin cos cos sin =，4 π = =x y 三、求下列微分方程得通解： 1、122 2 +='y y y x 2、2 211y y x -='- 3、0ln =-'y y y x 4、 by ax e dx dy += 5、02 2=---'x y y y x 6、x y y dx dy x ln = 四、验证函数x e c x c y 21+=是微分方程()01=-'+''-y y x y x 的通解，并求满足初始条件 1,100 ='-===x x y y 的特解。五、验证函数2 2 x x y - =是微分方程x y y x =-''22 的解。

高等数学I(1)试题

高等数学I （1）试题选编 1．求函数的极限（1）5 2432)76()23()34(lim +--∞→x x x x ；（2）x x x x x sin cos 2lim -+∞→；（3） x x x x 2sin 3tan lim 20→；（4） x x x 3cot 5sin lim π→；（5）x x x x 1 0) 121(lim +-→；（6）x x x x o x 23151lim 2+--+→。 2．求数列的极限：（1） n n n n ???? ??+∞→2 1lim ；（2） ???? ??-+-∞→111lim 3n n n n ；（3）) (lim n b n a n e e n -∞ →，其中b a ,为正的常数。 3．研究并确定x x x arctan 1 arcsin lim ∞ →。 4．求b a ,之值使2 )15(lim 2=++-+∞ →bx ax x x 5．设 x x x f ln 1 )(-= ，确定b a ,之值，使得当a x →时)(x f 为无穷小；当b x →时)(x f 为无穷大。 6．设)(x f 在),(b a 内有定义，且单调增加， ) (lim ),,(0 0x f b a x x x →∈又存在，求证)(x f 在0x 处连续。 7．确定 )1(2 cos )(-= x x x x f π 的间断点，并判定其类型。 8．求?????? ?+-+-=)1ln(21 )(22x x x x x f 121≥-≠

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