2020-2021学年数学人教A版必修4学案：1.6三角函数模型的简单应用

1.6三角函数模型的简单应用

[目标] 1.会用三角函数解决一些简单的实际问题． 2.知道三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．

[重点] 利用三角函数的图象和性质解决实际问题．

[难点] 三角函数模型的建立．

知识点三角函数的应用

[填一填]

(1)根据实际问题的图象求出函数解析式．

(2)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型．

(3)利用搜集的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型．

[答一答]

1．散点图在建模过程中起到什么作用？

提示：利用散点图可以较为直观地分析两个变量之间的某种关系，然后利用这种关系选择一种合适的函数去拟合这些散点，从而避免因盲目选择函数模型而造成不必要的失误．

2．应按怎样的流程解决三角函数模型的应用问题？

提示：应按如下流程进行：

类型一函数解析式与图象的对应问题

[例1]函数y＝x＋sin|x|，x∈[－π，π]的大致图象是()

[解析]由奇偶性的定义可知函数y＝x＋sin|x|，x∈[－π，π]既不是奇函数也不是偶函数．选项A，D中图象表示的函数为奇函数，B 中图象表示的函数为偶函数，C中图象表示的函数既不是奇函数也不是偶函数．

[答案] C

已知函数解析式判断函数图象，可结合函数的有关性质排除干扰项即可得到正确的选项.

[变式训练1] 函数y ＝ln(cos x )(－π2

解析：y ＝ln(cos x )(－π2

所以y ＝ln(cos x )≤ln1＝0，所以函数的图象不能在x 轴上方

. 类型二 根据三角函数图象研究实际问题

[例2] 如图，某动物种群数量12月1日低至700,6月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化．

(1)求出种群数量关于月份t 的函数表达式；

(2)估计当年3月1日动物的种群数量．

[分析] (1)根据曲线求出函数表达式；(2)由表达式求出当年3月1日即t ＝3时对应的函数值．

[解] (1)设种群数量y 关于t 的解析式为y ＝A sin(ωt ＋φ)＋b (A >0，

ω>0)，则??? －A ＋b ＝700，A ＋b ＝900，解得A ＝100，b ＝800，

又周期T ＝2(6－0)＝12，∴ω＝2πT ＝2π12＝π6.

则有y ＝100sin(π6t ＋φ)＋800.

又当t ＝6时，y ＝900，

∴900＝100sin(π6×6＋φ)＋800，

∴sin(π＋φ)＝1，∴sin φ＝－1，∴取φ＝－π2.

∴y ＝100sin(π6t －π2)＋800.

(2)当t ＝3时，y ＝100sin(π6×3－π2)＋800＝800，即当年3月1日种

群数量约是800.

这类题一般明确地指出了周期现象满足的变化规律，例如，周期现象可用形如y ＝A sin (ωx ＋φ)＋b 或y ＝A cos (ωx ＋φ)＋b 的函数来刻画，解这样的题一般很容易，只需根据已知条件确定参数求解函数解析式，再将题目涉及的具体的值代入计算即可.

[变式训练2] 某地夏天一天的用电量变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0,0<φ<π)，部分图象如右图所示．

(1)求这一天的最大用电量及最小用电量；

(2)写出该函数的解析式．

解：(1)由题图可知，最大用电量为50万千瓦时，最小用电量为30万千瓦时．

(2)观察题图象可知从8时到14时的图象是y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的半个周期的图象．

∴A ＝12×(50－30)＝10，b ＝12×(50＋30)＝40.

∵12×2πω＝14－8，∴ω＝π6，∴y ＝10sin ? ??

??π6x ＋φ＋40， 将x ＝8，y ＝30代入上式，解得φ＝π6，

故所求函数解析式为y ＝10sin ? ??

??π6x ＋π6＋40，x ∈[0,24]． 类型三 利用已知数据建立拟合函数模型

[例3] 某港口的水深y (单位：m)是时间t (0≤t ≤24，单位：h)的函数，下面是水深数据： t /h 0 3 6 9 12 15 18 21 24

y /m 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0

数y ＝A sin ωt ＋b 的图象．

(1)试根据以上数据，求函数解析式；

(2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离不少于4.5 m 时是安全的，如果某船的吃水深度(船底与水面的距离)为7 m ，那么该船何时能进入港口？在港口能呆多久？

[解] (1)从题拟合曲线，可知函数y ＝A sin ωt ＋b 在一个周期内由最大变到最小需9－3＝6(h)，此为半个周期，则函数的最小正周期为

12 h ，因此，2πω＝12，得ω＝π6.

∵当t ＝0时，y ＝10，∴b ＝10.

∵y max ＝13，∴A ＝13－10＝3.

∴所求函数的解析式为y ＝3sin π6t ＋10，t ∈[0,24]．

(2)由于船的吃水深度为7 m ，船底与海底的距离不少于4.5 m ，故在船舶航行时水深y 应不小于7＋4.5＝11.5 (m)．

故当y ≥11.5时就可以进港．

令y ＝3sin π6t ＋10≥11.5，得sin π6t ≥12，

∴π6＋2k π≤π6t ≤5π6＋2k π(k ∈Z )，

∴1＋12k ≤t ≤5＋12k (k ∈Z )．

取k ＝0，则1≤t ≤5；取k ＝1，则13≤t ≤17；

取k＝2，则25≤t≤29(不合题意)．

∴该船可以在凌晨1点进港，5点出港；或在13点进港，17点出港．每次可以在港口停留4小时．

注意用数形结合的方法解决实际应用题，根据已知数据对应图，由图联想解析式等.

[变式训练3]生物节律是描述体温、血压和其他易变的生理变化的每日生物模型．下表中给出了在24小时期间人的体温的典型变化(从夜间零点开始计时).

时间(时)024681012

温度(℃)36.836.736.636.736.83737.2

时间(时)141618202224

温度(℃)37.337.437.337.23736.8

(2)选用一个三角函数来近似描述这些数据；

(3)作出(2)中所选函数的图象．

解：(1)散点图如下：

(2)设t时的体温y＝A sin(ωt＋φ)＋C，则

C ＝37.4＋36.62＝37，A ＝37.4－36.62

＝0.4，ω＝2πT ＝2π24＝π12. 由0.4sin(π12×16＋φ)＋37＝37.4，得sin(4π3＋φ)＝1，取φ＝－5π6.

故可用函数y ＝0.4sin(π12t －5π6)＋37来近似描述这些数据．

(3)图象如下：

1．已知某人的血压满足函数解析式f (t )＝24sin(160πt )＋115.其中f (t )为血压(mmHg)，t 为时间(min)，则此人每分钟心跳的次数为( C )

A ．60

B ．70

C ．80

D ．90

解析：由题意可得频率f ＝1T ＝160π2π＝80(次/分)，所以此人每分钟

心跳的次数是80.

2．如图表示电流I 与时间t 的关系I ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0)在一个周期内的图象，则该函数的解析式为( C )

A ．I ＝300sin ? ????50πt ＋π3

B ．I ＝300sin ? ????50πt －π3

C ．I ＝300sin ? ????100πt ＋π3

D ．I ＝300sin(100πt －π3)

解析：由题图象得周期T ＝2(1150＋1300)＝150，最大值为300，图象经过点(1150，0)，则ω＝2πT ＝100π，A ＝300，∴I ＝300sin(100πt ＋φ)．∴

0＝300sin(100π×1150＋φ)．∴sin(2π3＋φ)＝0.取φ＝π3，

∴I ＝300sin(100πt ＋π3)．

3．如图为某简谐运动的图象，则这个简谐运动需要0.8 s 往复一次．

解析：由题图知周期T ＝0.8－0＝0.8，则这个简谐运动需要0.8 s 往复一次．

4．据市场调查，某种商品每件的售价按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋

B (A >0，ω>0，|φ|<π2)的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价8

千元，7月份价格最低为4千元，则f (x )＝2sin ? ??

??π4x －π4＋6. 解析：由题意得??? A ＋B ＝8，－A ＋B ＝4，解得A ＝2，B ＝6.

周期T ＝2(7－3)＝8，∴ω＝2πT ＝π4，

∴f (x )＝2sin ? ??

??π4x ＋φ＋6. 又当x ＝3时，y ＝8，∴8＝2sin ? ??

??3π4＋φ＋6. ∴sin ? ??

??3π4＋φ＝1.由于|φ|<π2，∴φ＝－π4， ∴f (x )＝2sin ? ??

??π4x －π4＋6. 5.如图所示，摩天轮的半径为40 m ，O 点距地面的高度为50 m ，摩天轮做匀速转动，每3 min 转一圈，摩天轮上的P 点的起始位置在最低点处．

(1)试确定在时刻t min 时P 点距离地面的高度；

(2)在摩天轮转动的一圈内，有多长时间P 点距离地面超过70 m? 解：

(1)以中心O 为坐标原点建立如图所示的坐标系，设t min 时P 距地面的高度为y ，依题意得

y ＝40sin ? ??

??2π3t －π2＋50. (2)令40sin ? ??

??2π3t －π2＋50>70，

则sin ? ????2π3t －π2>12，∴2k π＋π6<2π3t －π2<2k π＋5π6(k ∈Z )，∴2k π＋2π3<2π3t <2k π＋4π3(k ∈Z )，

∴3k ＋1

因此，共有1 min P 点距地面超过70 m.

——本课须掌握的两大问题

1．三角函数模型应用的步骤

三角函数模型应用即建模问题，根据题意建立三角函数模型，再求出相应的三角函数在某点处的函数值，进而使实际问题得到解决．

步骤可记为：审读题意→建立三角函数式→根据题意求出某点的三角函数值→解决实际问题．

这里的关键是建立数学模型，一般先根据题意设出代表函数，再利用数据求出待定系数，然后写出具体的三角函数解析式．

2．三角函数模型的应用

三角函数模型在现实生活中主要有以下几方面的应用：

(1)在日常生活中的应用；

(2)在建筑学方面的应用；

(3)在航海中的应用；

(4)在气象学中的应用；

(5)在天文学中的应用；

(6)在物理学中的应用．