2021年新高考数学一轮复习题型归纳与达标检测：25 简单的三角恒等变换(试题)(解析版)
『高考复习·精推资源』『题型归纳·高效训练』
第25讲 简单的三角恒等变换（达标检测）
[A 组]—应知应会
1．（2020?赤峰模拟）1
tan15(tan15?-=?
) A
．B
．C
．-D ．4
【分析】把正切转化为正弦和余弦，再结合二倍角公式的逆用即可求解结论．
【解答】解：因为221sin15cos151515cos30tan151tan15cos15sin15cos15sin15sin 302
sin cos ???-?-?
?-
=-===-?????? 故选：C ．
2．（2020?赣州模拟）若cos78m ?=，则sin(51)(-?= ) A
．B
．C
D
【分析】由已知利用诱导公式可得cos102m ?=-，
利用二倍角的余弦函数公式可求sin51?=，进而根据诱导公式化简所求即可求解sin(51)-?的值． 【解答】解：cos78m ?=，
cos(18078)cos102cos78m ∴?-?=?=-?=-，可得212sin 51cos102m -?=?=-， 21sin 512
m
+∴?=
，解得：sin51?=
sin(51)∴-?= 故选：A ．
3．（2019秋?临沂期末）若θ
( ) A ．2tan θ
B ．2
tan θ
-
C ．2tan θ-
D ．
2
tan θ
【分析】因为θ为第四象限角，所以sin 0θ<，再利用221cos sin θθ-=化简即可． 【解答】解：θ为第四象限角，sin 0θ∴<，
∴
原式1cos 1cos 2cos 2
sin sin sin tan θθθθθθθ
-+=-==--，
故选：D ．
4．（2019秋?沙坪坝区校级期末）
sin53sin 23cos30(cos23?-??
=?
)
A ．1
B ．
12
C
D
【分析】由于533023?=?+?，然后结合两角和的正弦公式展开即可求解． 【解答】解：
sin53sin 23cos30sin(2330)sin 23cos30cos23cos23?-???+?-??
=
??
， 1
cos 2312cos 232
?
==?，
故选：B ．
5．（2019秋?丽水期末）若1
cos sin 4
x y +=，则2sin sin x y -的取值范围是( ) A ．[1-，2] B ．5
[,1]4
-
C ．7[,1]16
-
D ．9[,1]16
-
【分析】由1cos sin 4x y +=
，可求得3cos 14x -，又21sin sin (cos )12
x y x -=--+，利用二次函数的单调性质即可求得2sin sin x y -的取值范围． 【解答】解：1cos sin 4
x y +=， 1
1sin cos 14
y x ∴-=-， 3
cos 14
x ∴-
． 222111
sin sin sin (cos )1cos cos (cos )1442x y x x x x x ∴-=--=-+-=--+，
当3cos 4x =-时，2sin sin x y -取得最小值9
16
-；
当1
cos 2
x =
时，2sin sin x y -取得最大值1； 2sin sin x y ∴-的取值范围是9
[,1]16
-， 故选：D ．
6．（2020?来宾模拟）若tan()34π
α+=-，则2sin 2cos (αα-= )
A ．35
B ．25
-
C ．1-
D ．3
【分析】由tan()34π
α+=-，可求出tan α的值，所求式子可以写成分母为1的形式，用22sin cos 1αα+=进
行代换，分子、分母同时除以2cos α，然后把tan α的值代入求值即可．
【解答】解：tan tan
4tan()33tan 241tan tan 4
π
απααπα++=-?
=-?=-， 222
222222sin 22sin cos 2tan 12213
sin 2sin cos sin cos 1tan 125
cos cos cos ααααααααααααα---?--=====++++，
即23
sin 25
cos αα-=，
故选：A ．
7．（2020?宜宾模拟）已知(0,)2π
α∈，且223sin 5cos sin 20ααα-+=，则sin 2cos2(αα+= )
A ．1
B ．2317
-
C ．23
17
-
或1 D ．1-
【分析】由同角三角函数基本关系式化弦为切求得tan α，进一步得到α的值，则答案可求． 【解答】解：由223sin 5cos sin 20ααα-+=，
得2222352sin cos 0sin cos sin cos αααααα-+=+，
∴2232tan 501
tan tan ααα+-=+，
即23tan 2tan 50αα+-=， 解得tan 1α=或5
tan 3
α=-．
(0,)2
πα∈，
tan 1α∴=，即4
π
α=
．
sin 2cos2sin
cos
12
2
π
π
αα∴+=+=．
故选：A ．
8．（2020?陕西二模）已知sin 2cos 5sin 2cos αααα+=-，则21
cos sin 2(2
αα+= )
A ．25
-
B ．3
C ．3-
D ．
2
5
【分析】根据同角三角函数关系求出tan α的值，利用弦化切结合1的代换进行求解即可． 【解答】解：
sin 2cos 5sin 2cos αα
αα
+=-，
sin 2cos 5sin 10cos αααα∴+=-，
即12cos 4sin αα=， 则tan 3α=，
则22
2
222
1sin cos 1tan 1342cos sin 2cos sin cos 2119105
cos sin cos tan αααααααααααα++++=+=====+++， 故选：D ．
9．（2020?沈阳三模）被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618优选法”在生产和科
研实践中得到了非常广泛的应用，0.618就是黄金分割比m 的近似值，黄金分割比还可以表示成
2sin18?(= )
A ．4
B 1
C ．2
D 1-
【分析】把2sin18m =?
【解答】解：由题意，2sin18m ?=， 224sin 18m ∴=?，
244sin ?-=2sin182cos182sin362cos54cos54???
=
==??
．
故选：C ．
10．（2020?长治模拟）cos75cos15?-?的值是 ． 【分析】利用三角函数公式化简即可求解．
【解答】解：原式000011sin15cos15sin(4530)cos(4530)))22=?-?=---=-+=，
故答案为：2
． 11．（2020?武昌区模拟）给出以下式子：
①tan 25tan3525tan35?+?+??； ②2(sin35cos25cos35cos65)??+??； ③
1tan151tan15+?
-?
的式子的序号是 ．
【分析】由已知分别结合和差角的正切及正弦余弦公式进行化简即可求解．
【解答】解：①tan 25tan35tan 60tan(2535)1tan 25tan35?+?
?=?+?=
-??
tan 25tan3525tan35?+???；
tan 25tan 35)25tan 35=-????，
=
②2(sin35cos25cos35cos65)2(sin35cos25cos35sin 25)??+??=??+??，
2sin 60=?
③
1tan15tan 45tan15tan(4515)tan 601tan151tan 45tan 45+??+?
==?+?=?-?-??
故答案为：①②③
12．（2019秋?费县期末）若tan 3α=，则
sin 2tan()
4
α
π
α+的值为 ．
【分析】直接利用三角函数关系式的变换和倍角公式的应用求出结果． 【解答】解：由于tan 3α=， 所以2
2tan 3sin 21tan 5ααα=
=+，1tan 4
tan()241tan 2
πααα++===--- 所以
3sin 23
5210tan()4απα==--+． 故答案为：310
-
13．（2020春?郑州期末）已知3sin()65x π+=-，则25
sin ()sin()36
x x ππ---的值 ．
【分析】由已知中3
sin()65
x π+=-，利用诱导公式和同角三角函数的基本关系公式，可得
5sin(
)sin()66x x ππ-=+，222sin ()cos ()1sin ()366
x x x πππ
-=+=-+，代入可得答案． 【解答】解：3sin()65
x π+=-，
53
sin(
)sin[()]sin()6665
x x x ππππ∴-=-+=+=-， 222216
sin ()sin [()]cos ()1sin ()3266625x x x x πππππ-=-+=+=-+=
， 2516331
sin ()sin()3625525
x x ππ∴---=+=
． 故答案为：
31
25
． 14．（2020春?徐汇区校级期中）设x ，(0,)y π∈，且满足222222sin cos cos cos sin sin 1sin()
x x x y x y
x y -+-=+，则
x y -= ．
【分析】结合已知条件，利用和差角公式，平方关系化简可得sin()1x y -=，进而得到答案． 【解答】解：x ，(0,)y π∈，
∴222222sin cos cos cos sin sin 1sin()x x x y x y x y -+-=+
2222sin (1sin )cos (cos 1)1sin()
x y x y x y -+-?=+
2222sin cos cos sin (sin cos cos sin )(sin cos cos sin )1sin()sin()
x y x y x y x y x y x y x y x y -+-?==++
sin()sin()sin()1sin()2
x y x y x y x y x y π
+-?
=-=?-=+．
故答案为：
2
π
． 15．（2020春?启东市校级月考）化简00
000
1cos201sin10(tan5)2sin 20tan5
+--的值为 ． 【分析】利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数化简表达式，求解即可．
【解答】解：原式
2210cos5sin 5cos102cos10cos102sin(3010)
sin10()sin104sin10cos10sin 5cos52sin10sin102sin101cos102(cos10)
222sin10cos ??????-?-?=-?-=-?=????????-??=
?=
=
，
． 16．（2020春?驻马店期末）化简求值： （Ⅰ）
sin 70sin50cos10?+?
?
；
（Ⅰ）4cos50tan40?-?．
【分析】（Ⅰ）利用两角和与差的正弦函数公式化简即可求解； （Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用化简即可求解． 【解答】解：（Ⅰ
）
sin70sin50sin(6010)sin(6010)2sin60cos102sin60cos10cos10cos10?+??+?+?-???
===????
；
（Ⅰ）4cos50tan40?-? 4cos50cos40sin 40cos40??-?=?
2sin80sin 40cos40?-?
=
?
简单三角恒等变换典型例题
简单三角恒等变换复习 一、公式体系 1、和差公式及其变形： （1）βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ? )s i n (s i n c o s c o s s i n βαβαβα±=± （2）βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ? )c o s (s i n s i n c o s c o s βαβαβα±= （3）β αβ αβαtan tan 1tan tan )tan( ±= ± ? 去分母得 )t a n t a n 1)(tan(tan tan βαβαβα-+=+ )tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα+-=- 2、倍角公式的推导及其变形： （1）αααααααααcos sin 2sin cos cos sin )sin(2sin =+=+= ?ααα2sin 2 1 cos sin = ?2)cos (sin 2sin 1ααα±=± （2）ααααααααα22 sin cos sin sin cos cos )cos(2cos -=-=+= )sin )(cos sin (cos sin cos 2cos 22ααααααα-+=-=? 1 cos 2)cos 1(cos sin cos 2cos 22222-=--=-=?αααα αα?把1移项得αα2cos 22cos 1=+ 或 αα 2cos 2 2cos 1=+ 【因为α是 2α 的两倍，所以公式也可以写成 12cos 2cos 2-=αα 或 2cos 2cos 12αα=+ 或 2 c o s 2c o s 12αα=+ 因为α4是α2的两倍，所以公式也可以写成 12cos 24cos 2-=αα 或 αα2c o s 24c o s 12=+ 或 αα2c o s 24c o s 12 =+】 α α αααα22222sin 21sin )sin 1(sin cos 2cos -=--=-=? ?把1移项得αα2 sin 22cos 1=- 或 αα 2sin 2 2cos 1=- 【因为α是2 α 的两倍，所以公式也可以写成 2sin 21cos 2αα-= 或 2s i n 2c o s 12αα=- 或 2 s i n 2c o s 12αα=- 因为α4是α2的两倍，所以公式也可以写成 αα2sin 214cos 2-= 或 αα2s i n 24c o s 12 =- 或 αα2s i n 2 4c o s 12=-】
第25讲 简单的三角恒等变换(讲)(解析版)
第25讲 简单的三角恒等变换 思维导图 知识梳理 题型归纳 题型1 三角函数式的化简 【例1-1】（2020春?临渭区期末）已知(0,)απ∈(1sin cos )(cos sin ) 2 α α αα+ +-= ． 【分析】由条件利用二倍角公式、以及三角函数在各个象限内的符号，化简要求的式子，可得结果．
【解答】解：(0,)απ∈， ∴ 2(1sin cos )(cos sin )(12sin cos 2cos 1)(cos sin )2ααααααα αα++-++--= 2cos (sin cos )(cos sin )2cos cos 2 22222cos |2cos |2cos 22 α α αα αα αααα +-= ==， 故答案为：cos α． 【跟踪训练1-1】（2019秋?淮安期末）设4 2 x π π ，则 ( + ) A ．2sin x B ．2cos x C ．2sin x - D ．2cos x - ，然后结合已知角的范围进行化简即可． 【解答】解： 4 2 x π π ， sin cos sin cos 2sin x x x x x =++-=． 故选：A ． 【跟踪训练1-2】（2019秋?徐州期末）若α可以化简为( ) A ．2 sin α - B ． 2 cos α C ．2 tan α - D ．2tan α- 【分析】由a 为第四象限角，结合已知条件利用同角三角函数基本关系式求解． 【解答】解：α为第四象限角， ∴ 1sin 1sin 2sin 2tan cos cos cos ααα αααα -+--==-． 故选：D ． 【名师指导】 1．三角函数式的化简要遵循“3看”原则
高中数学必修四第三章-三角恒等变换知识点总结
第三章 三角恒等变换 一、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+； ⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-； ⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ --= + ? ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+ ⑹()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ ++=- ? ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+- 二、二倍角的正弦、余弦和正切公式： sin 22sin cos ααα =222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±? ⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin α αααα=-=-=- ?2 2 1cos 2cos 1cos 2sin 2 2 α α αα+=-=， ?2 cos 21cos 2 αα+= ，2 1cos 2sin 2αα-=． ⑶22tan tan 21tan α αα =-． 三、辅助角公式： () 22sin cos sin α+=++a x b x a b x ， 2 2 2 2 cos sin a b a b a b ???= = ++其中由，决定
四、三角变换方法： （1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的 相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如： ①α2是α的二倍；α4是α2的二倍；α是2α的二倍；2α是4 α的二倍； ②2 304560304515o o o o o o =-=-=； ③()ααββ=+-；④ ()4 24 π π π αα+= --； ⑤2()()()()44 ππ ααβαβαα=++-=+--；等等 （2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如 在三角函数中正余弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名。 （3）“1”的代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转 化为三角函数值，例如常数“1”的代换变形有： 221sin cos sin90tan45o o αα=+== （4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式， 一般采用降幂处理的方法。降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式αcos 1+常用升幂化为有理式。 （5）三角函数式的变换通常从：“角、名、形、幂”四方面入手； 基本原则是：见切化弦，异角化同角，倍角化单角，异名化同名， 高次降低次，特殊值与特殊角的三角函数互化等。
2021年新高考数学一轮复习题型归纳与达标检测：25 简单的三角恒等变换(试题)(解析版)
『高考复习·精推资源』『题型归纳·高效训练』
第25讲 简单的三角恒等变换（达标检测） [A 组]—应知应会 1．（2020?赤峰模拟）1 tan15(tan15?-=? ) A ．B ．C ．-D ．4 【分析】把正切转化为正弦和余弦，再结合二倍角公式的逆用即可求解结论． 【解答】解：因为221sin15cos151515cos30tan151tan15cos15sin15cos15sin15sin 302 sin cos ???-?-? ?- =-===-?????? 故选：C ． 2．（2020?赣州模拟）若cos78m ?=，则sin(51)(-?= ) A ．B ．C D 【分析】由已知利用诱导公式可得cos102m ?=-， 利用二倍角的余弦函数公式可求sin51?=，进而根据诱导公式化简所求即可求解sin(51)-?的值． 【解答】解：cos78m ?=， cos(18078)cos102cos78m ∴?-?=?=-?=-，可得212sin 51cos102m -?=?=-， 21sin 512 m +∴?= ，解得：sin51?= sin(51)∴-?= 故选：A ． 3．（2019秋?临沂期末）若θ ( ) A ．2tan θ B ．2 tan θ - C ．2tan θ- D ． 2 tan θ 【分析】因为θ为第四象限角，所以sin 0θ<，再利用221cos sin θθ-=化简即可． 【解答】解：θ为第四象限角，sin 0θ∴<， ∴ 原式1cos 1cos 2cos 2 sin sin sin tan θθθθθθθ -+=-==--， 故选：D ． 4．（2019秋?沙坪坝区校级期末） sin53sin 23cos30(cos23?-?? =? )
高中数学人教版必修简单的三角恒等变换教案(系列一)
3.2 简单的三角恒等变换 一．教学目标 1、通过二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦、正切公式，体会化归、换元、方程、逆向 使用公式等数学思想，提高学生的推理能力。 2、理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形，体会三 角恒等变形在数学中的应用。 3、通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中 如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力． 二、教学重点与难点 教学重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力． 教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力． 三、教学设想： （一）复习：三角函数的和（差）公式，倍角公式 （二）新课讲授： 1、由二倍角公式引导学生思考：2 αα与有什么样的关系？ 学习和（差）公式，倍角公式以后，我们就有了进行变换的性工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富，这为我们的推理、运算能力提供了新的平台． 例1、试以cos α表示222 sin ,cos ,tan 222α α α． 解：我们可以通过二倍角2cos 2cos 12αα=-和2cos 12sin 2αα=-来做此题． 因为2cos 12sin 2αα=-，可以得到21cos sin 2 2α α-=；
因为2cos 2cos 12α α=-，可以得到21cos cos 22 α α+=． 又因为222 sin 1cos 2tan 21cos cos 2α α ααα-==+． 思考：代数式变换与三角变换有什么不同？ 代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点． 例2．已知135sin = α，且α在第二象限，求2tan α的值。 例3、求证： （１）、()()1sin cos sin sin 2 αβαβαβ=++-????； （２）、sin sin 2sin cos 22θ? θ? θ?+-+=． 证明：（１）因为()sin αβ+和()sin αβ-是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手． ()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-． 两式相加得()()2sin cos sin sin αβαβαβ=++-； 即()()1sin cos sin sin 2 αβαβαβ=++-????； （２）由（１）得()()sin sin 2sin cos αβαβαβ++-=①；设,αβθαβ?+=-=， 那么,22θ? θ? αβ+-==． 把,αβ的值代入①式中得sin sin 2sin cos 22θ?θ?θ?+-+=． 思考：在例3证明中用到哪些数学思想？ 例3证明中用到换元思想，（１）式是积化和差的形式，
简单的三角恒等变换(基础)
第20讲：简单的三角恒等变换 【学习目标】 1．能用二倍角公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式； 2．掌握公式应用的常规思路和基本技巧； 3．了解积化和差、和差化积公式的推导过程，能初步运用公式进行互化； 4．通过运用公式进行简单的恒等变换，进一步提高运用联系的观点、化归的思想方法处理问题的自觉性，体会换元思想的作用，发展推理能力和运算能力； 5．通过公式的推导，了解它们的内在联系和知识发展过程，体会特殊与一般的关系，培养利用联系的观点处理问题的能力． 【要点梳理】 要点一：升（降）幂缩（扩）角公式 升幂公式：21cos 22cos αα+=， 21cos 22sin αα-= 降幂公式：21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2 α α-= 要点诠释： 利用二倍角公式的等价变形：2 1cos 2sin 2α α-=，2 1cos 2cos 2 α α+=进行“升、降幂”变 换，即由左边的“一次式”化成右边的“二次式”为“升幂”变换，逆用上述公式即为“降幂”变换． 要点二：辅助角公式 1．形如sin cos a x b x +的三角函数式的变形： sin cos a x b x + x x ??? 令cos ??= = sin cos a x b x + )sin cos cos sin x x ??+ )x ?+ （其中?角所在象限由,a b 的符号确定，?角的值由tan b a ?= 确定， 或由sin ?= 和cos ?= 2．辅助角公式在解题中的应用 通 过 应 用 公 式 sin cos a x b x + = )x ?+（或 sin cos a x b x + =)α?-），将形如sin cos a x b x +（,a b 不同时为零）收缩为一
人教版高中数学必修四三角恒等变换题库
（数学4必修）第三章 三角恒等变换 [基础训练A 组] 一、选择题 1．已知(,0)2x π∈-，4cos 5x =，则=x 2tan （ ） A ．247 B ．247- C ．724 D ．7 24- 2．函数3sin 4cos 5y x x =++的最小正周期是（ ） A . 5π B .2 π C .π D .2π 3．在△ABC 中，cos cos sin sin A B A B >，则△ABC 为（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．无法判定 4．设00sin14cos14a =+，00sin16cos16b =+，c = ， 则,,a b c 大小关系（ ） A ．a b c << B ．b a c << C ．c b a << D ．a c b << 5．函数)cos[2()]y x x ππ= -+是（ ） A .周期为4π的奇函数 B .周期为4 π的偶函数 C .周期为2π的奇函数 D .周期为2 π的偶函数 6．已知cos 2θ= 44sin cos θθ+的值为（ ） A ．1813 B ．1811 C ．9 7 D ．1- 二、填空题 1．求值：0000 tan 20tan 4020tan 40+=_____________。 2．若1tan 2008,1tan αα+=-则1tan 2cos 2αα += 。 3．函数f x x x x ()cos sin cos =-223的最小正周期是___________。
4．已知sin cos 223 θ θ +=那么sin θ的值为 ,cos2θ的值为 。 5．ABC ?的三个内角为A 、B 、C ，当A 为 时，cos 2cos 2 B C A ++取得最大值，且这个最大值为 。 三、解答题 1．已知sin sin sin 0,cos cos cos 0,αβγαβγ++=++=求cos()βγ-的值. 2．若,2 2sin sin = +βα求βαcos cos +的取值范围。 3．求值：0 010001cos 20sin10(tan 5tan 5)2sin 20 -+-- 4．已知函数.,2 cos 32sin R x x x y ∈+= （1）求y 取最大值时相应的x 的集合； （2）该函数的图象经过怎样的平移和伸变换可以得到)(sin R x x y ∈=的图象. （数学4必修）第三章 三角恒等变换 [综合训练B 组] 一、选择题 1．设2132tan131cos50cos6sin 6,,,221tan 13a b c -=-==+则有（ ） A .a b c >> B .a b c << C .a c b << D .b c a <<
三角恒等变换公式
三角恒等变换公式 1.两角和与差的三角函数 和（差）角公式： sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β cos(α±β)=cos αcos β sin αsin β tan(α±β)= β αβαtan tan 1tan tan ± 倍角公式： sin 2α =2sin αcos α cos2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1 - sin 2α tan2α=αα2tan 1tan 2- 2.和差化积与积化和差公式 积化和差公式： 2sin αcos β=sin(α+β)+sin(α-β) 2cos αsin β= sin(α+β)-sin(α-β) 2cos αcos β= cos(α+β)+cos(α-β) -2sin αsin β=cos(α+β)-cos(α-β) 和差化积公式： sin α+ sin β=2sin 2βα+cos 2 β α- sin α- sin β=2cos 2βα+sin 2 βα- cos α+ cos β=2cos 2βα+cos 2 βα- cos α- cos β=-2sin 2βα+sin 2βα- 3.万能公式与半角公式 万能公式：
sin α=2tan 12tan 22 αα+ cos α=2tan 12tan 12 2 αα+- tan α=2tan 12tan 22 αα- 半角公式： sin 2 cos 12αα -±= cos 2 cos 12αα+±= tan ααα cos 1cos 12+-± ==ααsin cos 1-=ααcos 1sin + 其他： cos 2 2cos 12αα+= sin 22cos 12αα-= 1+cos2α=2cos α2 1-cos2α=2sin α2
简单的三角恒等变换(讲义)
简单的三角恒等变换 【学习目标】 1．能用二倍角公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式； 2．掌握公式应用的常规思路和基本技巧； 3．了解积化和差、和差化积公 式的推导过程，能初步运用公式进行互化； 4．通过运用公式进行简单的恒等变换，进一步提高运用联系的观点、化归的思想方法处理问题的自觉性，体会 换元思想的作用，发展推理能力和运算能力； 5．通过公式的推导，了解它们的内在联系和知识发展过程，体会特殊与一般的关系，培养利用联系的观点处理 问题的能力． 要点梳理】 要点一：升（降）幂缩（扩）角公式 升幂公式： 22 1 cos2 2cos ， 1 cos2 2sin 降幂公式： 2 1 cos 2 2 1 cos2 cos ， sin 22 要点诠释： 利用二倍角公式的等价变形： 1 cos 2sin 2 ， 1 cos 2cos 2 进行“升、降幂”变换，即由左边的 22 “一次式”化成右边的“二次式”为“升幂”变换，逆用上述公式即为 “降幂”变换． 要点二：辅助角公式 1．形如 asinx b cosx 的三角函数式的变形： asin x bcosx asin x b cosx = a 2 b 2 sin x cos a 2 b 2 sin(x ) （其 中 角所在 象限由 a,b 的 符号确 定， 角的值 由 tan b 确定， 或由 sin b 和 a 确定， 或由 a 2 b 2 a cos 共同确定．） a 2 b 2 2．辅助角公式在解题中的应用 通过应用公式 asinx bcosx = a 2 b 2 sin （x ）（或 asinx bcosx = a 2 b 2 cos （ ） ），将形如 asinx bcosx （ a, b 不同时为零）收缩为一个三角函数 a 2 b 2 sin （x ）（或 a 2 b 2 cos （ ））．这种 恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和变形为一个三角函数， 这样做有利于函数式的化 简、求值等． a a 2 b 2 sinx cosx 令 cos a a 2 b 2 ,sin cosxsin b a 2 b 2 b
2020届高考一轮复习理科数学(人教版)练习：第25讲 倍角公式及简单的三角恒等变换
第25讲 倍角公式及简单的三角恒等变换 1．sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°的值为(C) A ．－32 B ．－12 C.12 D.32 原式＝sin (30°＋17°)－sin 17°cos 30°cos 17° ＝ sin 30°cos 17°＋cos 30°sin 17°－sin 17°cos 30°cos 17° ＝sin 30°cos 17°cos 17°＝sin 30°＝12 . 2.(2017·山西太原4月模拟)已知α为锐角，若sin(α－π6)＝13，则cos(α－π3 )＝(A) A.26＋16 B.3－28 C.3＋28 D.23－16 (方法1)因为α为锐角，sin(α－π6)＝13 ， 所以cos(α－π6)＝223 ， 所以cos(α－π3)＝cos[(α－π6)－π6 ] ＝cos(α－π6)cos π6＋sin(α－π6)sin π6 ＝223×32＋13×12＝26＋16 . (方法2)令α－π6＝θ，则sin θ＝13，cos θ＝223 ， 所以cos(α－π3)＝cos(θ－π6 ) ＝ 32×cos θ＋12×sin θ＝26＋16 . 3. (2018·佛山一模)已知tan θ＋1tan θ＝4，则cos 2(θ＋π4)＝(C ) A .12 B .13 C .14 D .15 由tan θ＋1tan θ＝4，得sin θcos θ＋cos θsin θ ＝4， 即sin 2θ＋cos 2θsin θcos θ＝4，所以sin θcos θ＝14，
所以cos 2(θ＋π4)＝1＋cos （2θ＋π2）2＝1－sin 2θ2 ＝1－2sin θcos θ2＝1－2×142＝14 . 4．(2018·全国卷Ⅰ·文)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos 2α＝2 3，则|a －b|＝(B ) A .15 B .5 5 C .25 5 D ．1 由cos 2α＝2 3，得cos 2α－sin 2α＝2 3， 所以cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝23，即1－tan 2α1＋tan 2α＝2 3， 所以tan α＝±5 5，即b －a 2－1＝±55，所以|a －b|＝5 5. 5．(经典真题)设θ为第二象限角，若tan(θ＋π4)＝12，则sin θ＋cos θ＝ －10 5 . 因为tan(θ＋π4)＝12，所以1＋tan θ1－tan θ＝1 2， 解得tan θ＝－1 3， 所以(sin θ＋cos θ)2＝sin 2θ＋cos 2θ＋2sin θ·cos θ sin 2θ＋cos 2θ ＝tan 2θ＋2tan θ＋1tan 2θ＋1＝19－2 3＋1 19＋1 ＝2 5， 因为θ为第二象限角，tan θ＝－1 3， 所以sin θ＋cos θ<0， 所以sin θ＋cos θ＝－10 5. 6．(2016·浙江卷)已知2cos 2x ＋sin 2x ＝A sin (ωx ＋φ)＋b (A >0)，则A ＝ 2 ，b ＝ 1 . 因为2cos 2x ＋sin 2x ＝1＋cos 2x ＋sin 2x ＝1＋ 2sin (2x ＋π 4)， 所以1＋ 2sin(2x ＋π 4)＝A sin(ωx ＋φ)＋b ，
高中数学必修4 三角恒等变换
高中数学必修4 三角恒等变换1 1．已知(,0)2 x π ∈-，4 cos 5 x = ，则=x 2tan （ ） A ． 247 B ．247- C ．7 24 D ．724- 2．函数3sin 4cos 5y x x =++的最小正周期是（ ） A . 5π B .2 π C .π D .2π 3．在△ABC 中，cos cos sin sin A B A B >，则△ABC 为（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．无法判定 4．函数)cos[2()]y x x ππ= -+是（ ） A .周期为 4π的奇函数 B.周期为4π 的偶函数 C .周期为2π的奇函数 D .周期 为2 π 的偶函数 5．已知cos 23 θ= ，则44 sin cos θθ+的值为（ ） A ． 1813 B ．1811 C ．9 7 D ．1- 6. 函数2 sin cos y x x x =+的图象的一个对称中心是（ ） A .2( ,32π- B .5(,62π- C .2(,32π- D .(,3 π 7. 当04 x π <<时,函数22cos ()cos sin sin x f x x x x =-的最小值是（ ） A ．4 B ． 12 C ．2 D ．14 8. 已知函数()sin(2)f x x ?=+的图象关于直线8 x π= 对称，则?可能是（ ） A . 2π B .4π- C .4 π D .34π 9. 将函数sin()3y x π =-的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将 所得的图象向左平移3 π 个单位，得到的图象对应的僻析式是（ ） A ．1sin 2y x = B ．1sin()22y x π=- C .1sin()26y x π=- D .sin(2)6 y x π =-
简单三角恒等变换典型例题
简单三角恒等变换 一、公式体系 1、和差公式及其变形： （1）βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ? )sin(sin cos cos sin βαβαβα±=± （2）βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ? )cos(sin sin cos cos βαβαβα±= （3）β αβ αβαtan tan 1tan tan )tan( ±= ± ? 去分母得 )tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα-+=+ )tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα+-=- 2、倍角公式的推导及其变形： （1）αααααααααcos sin 2sin cos cos sin )sin(2sin =+=+= ?ααα2sin 2 1 cos sin = ?2)cos (sin 2sin 1ααα±=± （2）ααααααααα2 2 sin cos sin sin cos cos )cos(2cos -=-=+= )sin )(cos sin (cos sin cos 2cos 22ααααααα-+=-=? 1 cos 2)cos 1(cos sin cos 2cos 22222-=--=-=?αααα αα?把1移项得αα2cos 22cos 1=+ 或 αα 2cos 2 2cos 1=+ 【因为α是 2α 的两倍，所以公式也可以写成 12cos 2cos 2-=αα 或 2cos 2cos 12αα=+ 或 2 cos 2cos 12α α=+ 因为α4是α2的两倍，所以公式也可以写成 12cos 24cos 2-=αα 或 αα2cos 24cos 12=+ 或 αα 2cos 2 4cos 12=+】 α ααααα22222sin 21sin )sin 1(sin cos 2cos -=--=-=? ?把1移项得αα2 sin 22cos 1=- 或 αα 2sin 2 2cos 1=- 【因为α是 2 α 的两倍，所以公式也可以写成 2sin 21cos 2αα-= 或 2sin 2cos 12αα=- 或 2 sin 2cos 12α α=- 因为α4是α2的两倍，所以公式也可以写成 αα2sin 214cos 2-= 或 αα2sin 24cos 12=- 或 αα 2sin 2 4cos 12=-】
简单的三角恒等变换练习题
3.2 简单的三角恒等变换 一、填空题 1．若 25π＜α＜411π，sin2α=－54，求tan 2α________________ 2．已知sin θ=－ 53，3π＜θ＜2π7，则tan 2θ的值为___________． 4．已知α为钝角、β为锐角且sin α= 54，sin β=1312，则cos 2-βα的值为____________． 5． 设5π＜θ＜6π，cos 2θ=a ，则sin 4θ的值等于________________ 二、解答题 6．化简 θθθθ2cos 2sin 12cos 2sin 1++-+． 7．求证：2sin （ 4π－x ）·sin （4 π+x ）=cos2x ． 8．求证： αααααtan 1tan 1sin cos cos sin 2122+-=-?-a ．
9．在△ABC 中，已知cos A =B b a b B a cos cos ?--?，求证：b a b a B A -+=2tan 2tan 2 2 ． 10． 求sin15°，cos15°，tan15°的值． 11． 设－3π＜α＜－ 2 π5，化简2)πcos(1--α． 12． 求证：1+2cos 2θ－cos2θ=2． 13． 求证：4sin θ·cos 2 2θ=2sin θ+sin2θ． 14． 设25sin 2x +sin x －24=0，x 是第二象限角，求cos 2 x 的值． 15． 已知sin α= 1312，sin （α+β）=54，α与β均为锐角，求cos 2β．
参考答案 一、填空题 1． 2 15+． 2．－3 4． 65657 5．－21a - 二、解答题 6．解：原式=θ θθθ2cos 2sin 12cos 2sin 1++-+ =1) -(+?+)-(-?+θθθθθθ22cos 2cos sin 21sin 21cos sin 21 =θ θθθθθ22cos 2cos sin 2sin cos sin 2+?2+? =) cos (sin cos 2sin cos sin 2θθθθθθ+?)+(? =tan θ． 7．证明：左边=2sin （ 4π－x ）·sin （4π+x ） =2sin （ 4π－x ）·cos （4π－x ） =sin （2 π－2x ） =cos2x =右边，原题得证． 8．证明：左边=α ααα22sin cos cos sin 21-?- =) sin (cos )sin (cos cos sin 2sin cos 22αααααααα+?-?-+ =) sin )(cos sin (cos )sin (cos 2 αααααα+-- = ααααsin cos sin cos +- =α αtan 1tan 1+- =右边，原题得证．
高中数学三角恒等变换精选题目(附答案)
高中数学三角恒等变换精选题目（附答案） 1、cos 24cos36cos66cos54? ? ? ? -的值为（ ） A 0 B 12 C 2 D 1 2 - 2.3cos 5α=- ，,2παπ?? ∈ ??? ，12sin 13β=-，β是第三象限角，则=-)cos(αβ（ ） A 、3365- B 、6365 C 、5665 D 、1665 - 3. tan 20tan 4020tan 40? ? ? ? ++的值为（ ） A 1 B 3 C D 4. 已知()()tan 3,tan 5αβαβ+=-=，则()tan 2α的值为（ ） A 47- B 47 C 18 D 18- 5.βα,都是锐角，且5sin 13α=，()4 cos 5 αβ+=-，则βsin 的值是（ ） A 、3365 B 、1665 C 、5665 D 、6365 6.,)4,43(ππ- ∈x 且3cos 45x π?? -=- ??? 则cos2x 的值是（ ） A 、725- B 、2425- C 、2425 D 、7 25 7. 函数4 4 sin cos y x x =+的值域是（ ） A []0,1 B []1,1- C 13,22?????? D 1,12?? ???? 8. 已知等腰三角形顶角的余弦值等于 5 4 ,则这个三角形底角的正弦值为（ ） A 1010 B 1010- C 10103 D 10 103- 9.要得到函数2sin 2y x =的图像，只需将x x y 2cos 2sin 3-= 的图像（ ）
A 、向右平移6π个单位 B 、向右平移12π个单位 C 、向左平移6π个单位 D 、向左平移12π个单位 10. 函数sin 22x x y =+的图像的一条对称轴方程是 （ ） A 、x =113π B 、x = 53π C 、53x π=- D 、3 x π =- 11. 已知1cos sin 21cos sin x x x x -+=-++，则x tan 的值为 （ ） A 、34 B 、34- C 、43 D 、4 3- 12.若0,4πα? ? ∈ ?? ?()0,βπ∈且()1tan 2αβ-=,1 tan 7 β=-,则=-βα2 （ ） A 、56π- B 、23π- C 、 712 π- D 、34π- 13. .在ABC ?中，已知tanA ,tanB 是方程2 3720x x -+=的两个实根，则tan C = 14. 已知tan 2x =，则 3sin 22cos 2cos 23sin 2x x x x +-的值为 15. 已知直线12//l l ，A 是12,l l 之间的一定点，并且A 点到12,l l 的距离分别为12,h h ，B 是直线2l 上一动点，作AC ⊥AB ，且使AC 与直线1l 交于点C ，则ABC ?面积的最小值为 。 16. 关于函数( )cos2cos f x x x x =-，下列命题： ①若存在1x ，2x 有12x x π-=时，()()12f x f x =成立；②()f x 在区间,63ππ?? - ???? 上是单调递增； ③函数()f x 的图像关于点,012π?? ??? 成中心对称图像； ④将函数()f x 的图像向左平移 512 π 个单位后将与2sin 2y x =的图像重合． 其中正确的命题序号 （注：把你认为正确的序号都填上） 17. 已知02 π α<< ，15tan 2 2tan 2 α α + = ，试求sin 3πα? ?- ?? ?的值． 18. 求) 212cos 4(12sin 3 12tan 30 200--的值．
简单的三角恒等变换(教案)
简单的三角恒等变换(一) 张掖中学 宋娟 一、教学目标 知识与技能：理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形，体会三角恒等变形在数学中的应用； 过程与方法：通过二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦、正切公式，体会化归、方程、逆向使用公式的数学思想，提高学生推理能力； 情感、态度与价值观：通过例题的讲解，让学生体会化归、变形使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生推理能力. 二、教学重、难点 教学重点：利用公式进行简单的恒等变换； 教学难点：利用倍角公式推出半角公式，并利用变形的方法解决问题. 三、教学方法：探究式教学法. 四、教学类型：新授课. 五、教学内容 复习引入(学生组织完成) 问题1：和差角的正弦、余弦、正切公式(六个)； 问题2：二倍角的正弦、余弦、正切公式(三个)； 问题3：二倍角的变形公式(四个). 新课讲解 思考1(学生组织完成)：如何用cos α表示222sin cos tan 222 ααα、、？ 分析：观察α与2 α 的关系是2倍的关系，所以我们要利用刚刚学过的二倍角的 变形公式. 解：α是2α的二倍角.在倍角公式2cos 212sin αα=-中，以α代替2α，以2 α 代 替α，即得2cos 12sin 2 α α=-， 所以21cos sin 22 αα -=； ① 在倍角公式2cos 22cos 1αα=-中，以α代替2α，以2 α 代替α，即得 2cos 2cos 12 α α=-， 所以21cos cos 22 αα +=. ② 将①②两个等式的左右两边分别相除，即得 21cos tan 21cos ααα-=+. 思考2：若已知cos α，如何计算sin cos tan 222 ααα、、？
高一数学必修一三角恒等变换公式
三角恒等变换公式 教学目标： 1、掌握二倍角公式、和差公式的应用； 2、掌握拼凑法在求解角度三角函数值的应用。 重难点分析： 重点：1、和差公式、二倍角公式的记忆； 2、公式变换与求解三角函数值。 难点：1、二倍角公式的灵活使用； 2、整体代换思想与求解三角函数值。 知识点梳理 1、和差公式 sin()__________________±=αβcos()________________±=αβtan()___________ ±=αβ。 2、二倍角公式 sin 2_______________α=； cos 2___________________________________α===； tan 2____________α=。 3、半角公式[升（降）幂公式] 2sin ____________α=、2cos _________α=、sin cos _________αα=。 4、合一公式[辅助角公式] sin cos ____________a b αα+=（?由,a b 具体的值确定）； )sin(cos sin 22?ααα++= +b a b a )sin ,(cos 2 2 2 2 b a a b a b += += ?? 注意：公式中的α是角度代表，可以是α2、2 α 等。
知识点1：利用公式求值 （1）和差公式 【例1】cos79°cos34°＋sin79°sin34°＝【 】 A ．2 1 B ．1 C ． 2 2 D ． 2 3 【例2】sin 27cos63cos27sin63??+??=【 】 A ．1 B ．1- C ． 22 D ．2 2- 【随堂练习】 1、sin15°cos75°＋cos15°sin75°等于【 】 A ．0 B ． 2 1 C ． 2 3 D ．1 2、cos12°cos18°－sin12°sin18°＝【 】 (A )2 1- (B )2 3- (C )2 1- (D ) 2 3 3、sin70°sin25°＋cos70°cos25°=________。 4、sin34sin 26cos34cos26??-??=【 】 A ．12 B ．1 2 - C ．32 D ．32- 5、式子cos cos sin sin 12 6 12 6 π π π π -的值为【 】
(完整版)简单的三角恒等变换(一)
§3.2 简单的三角恒等变换（一） 学习目标：⒈熟练掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式的正用、逆用． ⒉能灵活应用和（差）角公式、二倍角公式进行简单三角恒等变形． 教学重点：以推导积化和差、和差化积、半角公式作为基本训练，学习三角变 换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力． 教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计， 不断提高从整体上把握变换过程的能力． 教学方法：讲练结合． 教具准备：多媒体投影． 教学过程： （Ⅰ）复习引入： 师：前面一段时间，我们学习了三角函数的和（差）角公式、二倍角公式等十一个公式，请同学们默写这些公式． 生：（默写公式）． 师：学习了上述公式以后，我们就有了研究三角函数问题的新工具，从而使三角函数的内容、思路和方法更加丰富，为我们提高推理、运算能力提供了新的平台 本节课我们将利用已有的这十一个公式进行简单的三角恒等变换，了解三角恒等变换在数学中的应用． （Ⅱ）讲授例题： 例1试以cos α表示2 sin 2α，2cos 2α，2tan 2α． 分析：α是2 α的二倍角，因此在仅含α的正弦、余弦的二倍角公式(2)C α中，以2 α代替α就可以得到2sin 2α、2cos 2α，然后运用同角三角函数的基本关系可得2tan 2 α． 解：略． 师：例1的结果还可以表示为：
sin 2α =cos 2α=tan 2α=， 有些书上称之为半角公式，其符号由角2 α终边的位置确定． 师：由例题1和以往的经验，你认为代数式变换与三角变换有什么不同？ 生：代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的角之间的联系． 师：由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此以式子所包含的角之间的关系为依据选择可以联系它们的适当公式，这是三角恒等变换的特点． 例2求证： ⑴1sin cos [sin()sin()]2 αβαβαβ=++-； ⑵sin sin 2sin cos 22 θ?θ?θ?+-+=． 分析：对于⑴我们可以从其中右式出发，利用和（差）的正弦公式展开、合并即可得出左式．我们也可以从两个式子结构形式的不同点考虑，发现 sin cos αβ与和（差）的正弦公式之间的联系．记sin cos x αβ=，cos sin y αβ=， 则有sin()x y αβ+=+，sin()x y αβ-=-，由此解出x ，即求出了sin cos αβ． ⑵的证明可以直接利用⑴的结果，令αβθ+=，αβ?-=，解出α、β后代如即可． 证明：略 师：在此例中，如果不利用⑴的结果，怎样证明⑵？大家可以从角与角之间的关系入手考虑． 生：将22θ?θ?θ+-=+，22 θ?θ??+-=-代入左边，然后利用和（差）的正弦公式展开、合并即可得出右式． 师：在例2的证明中，把sin cos αβ看成x ，cos sin αβ看成y 把等式看作x ， y 的方程，通过解方程组求得x ，是方程思想的体现；把αβ+看作θ，αβ-看作?，从而把包含α、β的三角函数式变换成θ、?的三角函数式，是换元思想的应用．