2020版新设计一轮复习数学(理)江苏专版讲义：第六章 第五节 数列的综合问题 含答案
第五节数列的综合问题
考点一数列与不等式问题(重点保分型考点——师生共研)
[典例引领]
若各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，且2S n＝a n＋1 (n∈N*)．
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)若正项等比数列{b n}，满足b2＝2,2b7＋b8＝b9，求T n＝a1b1＋a2b2＋…＋a n b n；
(3)对于(2)中的T n，若对任意的n∈N*，不等式λ(－1)n＜
1
2n＋1
(T n＋21)恒成立，求实数λ的取值
范围．
解：(1)因为2S n＝a n＋1，
所以4S n＝(a n＋1)2，且a n＞0，
则4a1＝(a1＋1)2，解得a1＝1，
又4S n＋1＝(a n＋1＋1)2，
所以4a n＋1＝4S n＋1－4S n＝(a n＋1＋1)2－(a n＋1)2，
即(a n＋1－a n－2)(a n＋1＋a n)＝0，
因为a n＞0，所以a n＋1＋a n≠0，
所以a n＋1－a n＝2，
所以{a n}是公差为2的等差数列，
又a1＝1，
所以a n＝2n－1.
(2)设数列{b n}的公比为q，
因为2b7＋b8＝b9，所以2＋q＝q2，解得q＝－1(舍去)或q＝2，
由b2＝2，得b1＝1，故b n＝2n－1.
因为T n＝a1b1＋a2b2＋…＋a n b n＝1×1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－1)×2n－1，
所以2T n＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n－1)×2n，
两式相减得－T n＝1＋2(2＋22＋…＋2n－1)－(2n－1)×2n，
故T n＝(2n－1)×2n－1－2(2＋22＋…＋2n－1)＝(2n－1)×2n－1－2(2n－2)＝(2n－3)×2n＋3.
(3)不等式λ(－1)n＜
1
2n＋1
(T n＋21)可化为(－1)nλ＜n－
3
2＋
6
2n－1
.
①当n为偶数时，λ＜n－3
2＋
6
2n－1
，
记g(n)＝n－3
2＋
6
2n－1
，则有λ＜g(n)min.
因为g (n ＋2)－g (n )＝2＋
62
n ＋1－6
2
n －1＝2－92
n ，
当n ＝2时，g (n ＋2)＜g (n )，当n ≥4时，g (n ＋2)＞g (n )，
即g (4)＜g (2)，当n ≥4时，g (n )单调递增，g (n )min ＝g (4)＝134，所以λ＜13
4.
②当n 为奇数时，λ＞32－n －6
2n －1，
记h (n )＝32－n －6
2n －1，则有λ＞h (n )max .
因为h (n ＋2)－h (n )＝－2－
62
n ＋1＋6
2
n －1＝－2＋9
2
n ，
当n ＝1时，h (n ＋2)＞h (n )，当n ≥3时，h (n ＋2)＜h (n )，
即h (3)＞h (1)，当n ≥3时，h (n )单调递减，h (n )max ＝h (3)＝－3，所以λ＞－3. 综上所述，实数λ的取值范围为?
???－3，134. [由题悟法]
1．数列与不等式的综合问题考查类型 (1)判断数列中的一些不等关系问题；
(2)以数列为载体，考查不等式的恒成立问题； (3)考查与数列问题有关的不等式的证明问题． 2．解决数列与不等式问题的两个注意点
(1)利用基本不等式或函数的单调性求解相关最值时，应注意n 取正整数的限制条件． (2)利用放缩法证明不等式、求解参数的范围时，尽量先求和、后放缩，注意放缩的尺度，否则会导致范围扩大或缩小而得不到正确的结果．
[即时应用]
已知数列{a n }满足a 1＝6，a 2＝20，且a n －1·a n ＋1＝a 2n －8a n ＋12(n ∈N *
，n ≥2)．
(1)证明：数列{a n ＋1－a n }为等差数列；
(2)令c n ＝(n ＋1)a n na n ＋1＋na n ＋1(n ＋1)a n ，数列{c n }的前n 项和为T n ，求证：2n ＜T n ＜2n ＋23.
证明：(1)当n ＝2时，a 1·a 3＝a 22－8a 2＋12， 所以a 3＝42.
当n ≥2时，由a n －1·a n ＋1＝a 2n －8a n ＋12， 得a n ·a n ＋2＝a 2n ＋1－8a n ＋1＋12，
两式相减得a n a n ＋2－a n －1a n ＋1＝a 2n ＋1－a 2
n －8a n ＋1＋8a n ， 所以a 2n ＋a n a n ＋2－8a n ＝a 2n ＋1＋a n －1a n ＋1－8a n ＋1，
即a n (a n ＋a n ＋2－8)＝a n ＋1(a n ＋1＋a n －1－8)，
所以a n ＋a n ＋2－8a n ＋1
＝a n ＋1＋a n －1－8a n ＝…＝a 3＋a 1－8a 2＝2.
所以a n ＋2＋a n －8＝2a n ＋1， 即a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝8， 即(a n ＋2－a n ＋1)－(a n ＋1－a n )＝8， 当n ＝1时，也满足此式． 又a 2－a 1＝14，
所以数列{a n ＋1－a n }是以14为首项，8为公差的等差数列． (2)由(1)知a n ＋1－a n ＝14＋8(n －1)＝8n ＋6.
由a 2－a 1＝8×1＋6，a 3－a 2＝8×2＋6，…，a n －a n －1＝8×(n －1)＋6，累加得a n －a 1＝8×[1＋2＋3＋…＋(n －1)]＋6(n －1)＝8×
(n －1)(1＋n －1)
2
＋6(n －1)＝4n 2＋2n －6，所以a n ＝4n 2＋2n .
所以c n ＝
(n ＋1)a n na n ＋1＋na n ＋1(n ＋1)a n ＝2n ＋12n ＋3＋2n ＋3
2n ＋1
＝????1－22n ＋3＋????1＋22n ＋1＝2＋
2???
?12n ＋1－1
2n ＋3， 所以T n ＝2n ＋2????????13－15＋????15－17＋…＋????12n ＋1－12n ＋3＝2n ＋2
????13－12n ＋3， 又13＞13－1
2n ＋3＝2n ＋3－33(2n ＋3)＝2n 3(2n ＋3)＞0， 所以2n ＜T n ＜2n ＋2
3
.
考点二 与数列有关的探索性问题 (重点保分型考点——师生共研)
[典例引领]
已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝a ，且a n ＋1＝k (a n ＋a n ＋2)对任意正整数n 都成立，数列{a n }的前n 项和为S n .
(1)若k ＝1
2
，且S 2 018＝2 018a ，求a 的值；
(2)是否存在实数k ，使数列{a n }是公比不为1的等比数列，且对任意相邻三项a m ，a m ＋1，a m ＋2
按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有k 的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)当k ＝12时，a n ＋1＝1
2(a n ＋a n ＋2)，即a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，
所以数列{a n }是等差数列，
此时首项a 1＝1，公差d ＝a 2－a 1＝a －1，
所以数列{a n }的前2 018项和S 2 018＝2 018＋1
2×2 018×(2 018－1)(a －1)＝2 018a ，
解得a ＝1.
(2)设数列{a n }是等比数列，则它的公比q ＝a 2
a 1＝a (a ≠1)，
所以a m ＝a m －
1，a m ＋1＝a m ，a m ＋2＝a m ＋
1.
①若a m ＋1为等差中项，则2a m ＋1＝a m ＋a m ＋2，
即2a m ＝a
m －1
＋a
m ＋1
，解得a ＝1，不合题意；
②若a m 为等差中项，则2a m ＝a m ＋1＋a m ＋2， 即2a m －
1＝a m ＋a m ＋
1，
化简得a 2＋a －2＝0，解得a ＝－2(a ＝1舍去)， 所以k ＝a m ＋1a m ＋a m ＋2＝a m a m －1＋a m ＋1＝a 1＋a 2＝－2
5； ③若a m ＋2为等差中项，则2a m ＋2＝a m ＋1＋a m ， 即2a m ＋
1＝a m ＋a m －
1，
化简得2a 2－a －1＝0，解得a ＝－1
2(a ＝1舍去)，
所以k ＝a m ＋1a m ＋a m ＋2＝a m a m －1＋a m ＋1＝a 1＋a 2＝－2
5. 综上，满足要求的实数k 有且仅有一个，且k ＝－25
.
[由题悟法]
数列中存在性问题的求解策略
数列中的探索性问题的主要题型为存在型，解答的一般策略为：先假设所探求的对象存在或结论成立，以此假设为前提条件进行运算或逻辑推理，若由此推出矛盾，则假设不成立，从而得到否定的结论，即不存在．若推理不出现矛盾，能求得已知范围内的数值或图形，就得到肯定的结论，即得到存在的结果．
[即时应用]
设数列{a n }的前n 项和为S n ，且(S n －1)2＝a n S n . (1)求a 1；
(2)求证：数列????
??
1S n －1为等差数列；
(3)是否存在正整数m ，k ，使
1a k S k ＝1
a m
＋19成立？若存在，求出m ，k ；若不存在，说明理由． 解：(1)当n ＝1时，(a 1－1)2＝a 21，∴a 1＝1
2. (2)证明：∵(S n －1)2＝a n S n ，
∴当n ≥2时，(S n －1)2＝(S n －S n －1)S n ， ∴－2S n ＋1＝－S n －1S n ， 即1－S n ＝S n (1－S n －1)， ∴1
S n －1－1＝S n S n －1
，
∴
1S n －1－1S n －1－1＝1
S n －1－S n S n －1＝1－S n S n －1
＝－1为定值， ∴????
??
1S n －1为等差数列．
(3)∵1
a 1－1
＝－2， ∴
1
S n －1
＝－2＋(n －1)×(－1)＝－n －1， ∴S n ＝n n ＋1，∴a n ＝(S n －1)2S n
＝1
n (n ＋1).
假设存在正整数m ，k ，使1a k S k ＝1a m ＋19成立，
则(k ＋1)2＝m (m ＋1)＋19， ∴4(k ＋1)2＝4m (m ＋1)＋76，
∴[(2k ＋2)＋(2m ＋1)][(2k ＋2)－(2m ＋1)]＝75，
∴(2k ＋2m ＋3)(2k －2m ＋1)＝75＝75×1＝25×3＝15×5，
∴?????
2k ＋2m ＋3＝75，2k －2m ＋1＝1或?????
2k ＋2m ＋3＝25，2k －2m ＋1＝3 或?
????
2k ＋2m ＋3＝15，2k －2m ＋1＝5. 解得????? k ＝18，m ＝18或????? k ＝6，m ＝5或?
????
k ＝4，m ＝2. 考点三 新定义数列问题 (重点保分型考点——师生共研)
[典例引领]
若存在非零常数p ，对任意的正整数n ，a 2
n ＋1＝a n a n ＋2＋p ，则称数列{a n }是“T 数列”．
(1)若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2(n ∈N *)，求证：{a n }是“T 数列”； (2)设{a n }是各项均不为0的“T 数列”． ①若p ＜0，求证：{a n }不是等差数列；
②若p ＞0，求证：当a 1，a 2，a 3成等差数列时，{a n }是等差数列． 证明：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1， 当n ＝1时，符合上式， 所以a n ＝2n －1.
则{a n }是“T 数列”?存在非零常数p ，对任意正整数n ，(2n ＋1)2＝(2n －1)(2n ＋3)＋p ， 显然p ＝4满足题意，所以{a n }是“T 数列”． (2)①假设{a n }是等差数列，设a n ＝a 1＋(n －1)d ，
则由a 2n ＋1＝a n a n ＋2＋p ，得(a 1＋nd )2＝[a 1＋(n －1)d ]·
[a 1＋(n ＋1)d ]＋p ， 解得p ＝d 2≥0，这与p ＜0矛盾，故假设不成立， 从而{a n }不是等差数列． ②因为a 2n ＋1＝a n a n ＋2＋p ， 所以a 2n ＝a n －1a n ＋1＋p (n ≥2)，
两式相减得，a 2n ＋1－a 2
n ＝a n a n ＋2－a n －1a n ＋1.
因为{a n }的各项均不为0， 所以a n ＋1＋a n －1a n ＝a n ＋a n ＋2a n ＋1
(n ≥2)，
故??
??
??
a n ＋1＋a n －1a n (n ≥2)是常数列， 因为a 1，a 2，a 3成等差数列，所以a 3＋a 1
a 2＝2，
从而a n ＋1＋a n －1
a
n
＝2(n ≥2)， 即a n ＋1＋a n －1＝2a n (n ≥2)，所以{a n }是等差数列．
[由题悟法]
(1)新情境和新定义下的新数列问题，一般命题形式是根据定义的条件推断这个新数列的一些性质或判断一个数列是否属于这类数列的问题.
(2)数列试题的情境，除了常见的等差数列、等比数列和递推数列外，有时还会出现周期数列、分段数列、数表型数列以及子数列问题等新情境．
[即时应用]
对于数列{a n }，记Δ1a n ＝a n ＋1－a n ，Δk ＋
1a n ＝Δk a n ＋1－Δk a n ，k ，n ∈N *，则称数列{Δk a n }为数列{a n }
的“k 阶差数列”．
(1)已知Δ1a n ＝???
?－1
2n ， ①若{a n }为等比数列，求a 1的值；
②证明：当n ＞m ，n ，m ∈N *时，|a n －a m |＜2
3
.
(2)已知数列{b n }为数列{a n }的“2阶差数列”，若b n ＝3n －2，a 1＝1，且a n ≥a 3对n ∈N *恒成立，求a 2的取值范围．
解：(1)①因为a 2＝a 1＋Δ1a 1＝a 1－12，a 3＝a 2＋Δ1a 2＝a 1－1
4，且{a n }为等比数列，
所以a 22＝a 1·a 3，即????a 1－122＝a 1????a 1－1
4， 解得a 1＝1
3
.
②证明：当n ＞m 时， 因为a n －a m ＝Δ1a n －1＋…＋Δ1a m
＝????－12m ????1－????－12n －m 1－???
?－12
＝23·????
???
?－12m －????－12n ，
所以|a n －a m |＝23·????????－12m －????－12n ≤23·????????12n ＋????12m ＜43·????12m
. 又43·???
?12m
单调递减， 所以43·????12m ≤43×12＝23
，
故当n ＞m ，n ，m ∈N *时，|a n －a m |＜23
.
(2)因为数列{b n }为数列{a n }的“2阶差数列”，且b n ＝3n －2，所以Δ2a n ＝3n －2， 所以Δ1a n ＝Δ2a n －1＋Δ2a n －2＋…＋Δ2a 1＋Δ1a 1 ＝3(1－3n －
1)1－3
－2(n －1)＋Δ1a 1
＝3n 2－2n ＋1
2＋Δ1a 1 ＝3n 2－2n ＋a 2－12
. 由Δ2a n ＝3n －2＞0知，{Δ1a n }单调递增， 所以要使a n ≥a 3对n ∈N *恒成立，
当且仅当?????
Δ1a 2＝a 3－a 2≤0，Δ1a 3＝a 4－a 3≥0，
即?
????
a 2≤0，
a 2＋7≥0，解得－7≤a 2≤0. 所以a 2的取值范围是[－7,0]．
1．已知各项都不小于1的数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＝6S n ＋3n －2. (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝a n ＋1，从数列{b n }中抽取部分项b 1，b 9，bn 3，bn 4，…，bn k ，…，按从小到大的顺序构成等比数列．
①求{n k }的通项公式；
②记c k ＝
???
???
?13k ，k ＝1，2，
3k 9n k
－3
2k ，k ≥3，k ∈N
*
，
数列{c k }的前k 项和是T k ，求证：T k ＜25
36
.
解：(1)由a n ＝6S n ＋3n －2，
移项并平方得(a n ＋2)2＝a 2n ＋4a n ＋4＝6S n ＋3n ，
则a 2n －1＋4a n －1＋4＝6S n －1＋3(n －1)，n ≥2，
两式相减得，
a 2n －a 2n －1＋4a n －4a n －1＝6a n ＋3，n ≥2，
即
a 2n －2a n ＋1＝a 2n －1＋4a n －1＋4，n ≥2，
即(a n －1)2＝(a n －1＋2)2，n ≥2.
又a n ≥1，所以a n －1＝a n －1＋2，n ≥2， 即a n －a n －1＝3，n ≥2，
又a 1＋2＝6a 1＋3，所以a 21－2a 1＋1＝0，解得a 1＝1， 所以数列{a n }是首项为1，公差为3的等差数列， 故a n ＝1＋3(n －1)＝3n －2. (2)①由b n ＝3n －2＋1，
得b 1＝2，b 9＝6，故等比数列的首项为2，公比为3， 则bn k ＝2×3k －
1＝3n k －2＋1.
化简得n k ＝4×32k －
3－4×3k －
2＋1.
②证明：由题意可得T 1＝13＜2536，T 2＝13＋19＝49＜2536，
当k ≥3，k ∈N *时，
c k ＝3k
4×32k －
1－4×3k ＋9－32k ＝3k ＋
132k －12×3k ＋27
＝3k ＋
1(3k －3)(3k
－9)＝92?
???1
3k －9－13k ＋1－9. 则T k ＝c 1＋c 2＋…＋c k ＝49＋92???
?133－9－134－9＋134－9－135－9＋…＋13k －9－13k ＋1－9＝ 49＋
9
2????133－9－13k ＋1
－9＝2536－32×13k －3＜2536
， 综上，T k ＜
2536
. 2．设数列{a n }的首项为1，前n 项和为S n ，若对任意的n ∈N *，均有S n ＝a n ＋k －k (k 是常数且k ∈N *)成立，则称数列{a n }为“P (k )数列”．
(1)若数列{a n }为“P (1)数列”，求数列{a n }的通项公式；
(2)是否存在数列{a n }既是“P (k )数列”，也是“P (k ＋2)数列”？若存在，求出符合条件的数列{a n }的通项公式及对应的k 的值；若不存在，请说明理由；
(3)若数列{a n }为“P (2)数列”，a 2＝2，设T n ＝a 12＋a 222＋a 323＋…＋a n
2n ，证明：T n ＜3.
解：(1)数列{a n }为“P (1)数列”，则S n ＝a n ＋1－1， 所以S n ＋1＝a n ＋2－1，两式相减得，a n ＋2＝2a n ＋1， 又n ＝1时，a 1＝a 2－1＝1，所以a 2＝2， 故a n ＋1＝2a n 对任意的n ∈N *恒成立，即a n ＋1
a n
＝2，
所以数列{a n }为等比数列，其通项公式为a n ＝2n －
1，n ∈N *.
(2)假设存在这样的数列{a n }，由{a n }是“P (k )数列”可得，S n ＝a n ＋k －k ，
故有S n ＋1＝a n ＋k ＋1－k ，
两式相减得，a n ＋1＝a n ＋k ＋1－a n ＋k ， 则有a n ＋3＝a n ＋k ＋3－a n ＋k ＋2.
同理，由{a n }是“P (k ＋2)数列”可得，a n ＋1＝a n ＋k ＋3－a n ＋k ＋2， 所以a n ＋1＝a n ＋3对任意的n ∈N *恒成立，
所以S n ＝a n ＋k －k ＝a n ＋k ＋2－k ＝S n ＋2，即S n ＝S n ＋2. ① 又S n ＝a n ＋k ＋2－k －2＝S n ＋2－2，即S n ＋2－S n ＝2. ②
①②两式矛盾，故不存在数列{a n }既是“P (k )数列”，也是“P (k ＋2)数列”． (3)证明：因为数列{a n }为“P (2)数列”，所以S n ＝a n ＋2－2， 所以S n ＋1＝a n ＋3－2，
两式相减得，a n ＋1＝a n ＋3－a n ＋2， 又n ＝1时，a 1＝a 3－2＝1，故a 3＝3， 又a 2＝2，满足a 3＝a 2＋a 1，
所以a n ＋2＝a n ＋1＋a n 对任意的n ∈N *恒成立， 所以数列{a n }的前几项为1,2,3,5,8，
故T n ＝a 12＋a 222＋a 323＋…＋a n 2n ＝12＋222＋323＋524＋825＋…＋a n
2n ，③
当n ＝1时，T 1＝a 12＝12＜3，当n ＝2时，T 2＝a 12＋a 2
22＝1＜3，
当n ≥3时，12T n ＝122＋223＋324＋5
25＋…＋a n －12n ＋a n 2n ＋1，④
由③④得，12T n ＝12＋122＋123＋2
24＋…＋a n －a n －12n －a n 2n ＋1
＝12＋122＋123＋2
24＋…＋a n －22n －a n 2n ＋1 ＝34＋1
4T n －2－a n 2
n ＋1， 显然T n －2＜T n ，a n 2n ＋1＞0，故12T n ＜34＋1
4T n ，即T n ＜3.
综上，T n ＜3.
3．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：(t －1)S n －ta n ＋t ＝0(t 为常数，且t ≠0，t ≠1，n ∈N *)． (1)设b n ＝a n (a n ＋S n )，若数列{b n }为等比数列，求t 的值； (2)当t ＞1时，记c n ＝
a n (a n －1)(a n ＋1－1)，T n 是数列{c n }的前n 项和，求证：T n ＜1
(t －1)2
；
(3)当t ＝5时，是否存在整数对(m ，n )(其中m ∈Z ，n ∈N *)满足a 2n －(4＋m )a n ＋7m ＋15＝0？若存在，求出所有满足题意的整数对(m ，n )；若不存在，请说明理由．
解：(1)当n ＝1时，(t －1)S 1－ta 1＋t ＝0，得a 1＝t . 当n ≥2时，由(1－t )S n ＝－ta n ＋t ，①
得(1－t )S n －1＝－ta n －1＋t ，② ①－②，得(1－t )a n ＝－ta n ＋ta n －1， 即a n ＝ta n －1，∴
a n
a n －1
＝t (n ≥2)， ∴数列{a n }是等比数列，且公比是t ，∴a n ＝t n . 由b n ＝a n (a n ＋S n )知，
b n ＝(t n )2
＋t (1－t n )1－t ·t n ＝t 2n ＋t n ＋
1－2t 2n ＋
1
1－t
.
若数列{b n }为等比数列，则有b 22＝b 1·b 3， 而b 1＝2t 2，b 2＝t 3(2t ＋1)，b 3＝t 4(2t 2＋t ＋1)， 故[t 3(2t ＋1)]2＝2t 2·t 4(2t 2＋t ＋1)，
解得t ＝12，将t ＝1
2代入b n ，得b n ＝????12n ，满足{b n }为等比数列， ∴t ＝12
.
(2)证明：由(1)知，a n ＝t n ，
∴c n ＝a n (a n －1)(a n ＋1－1)＝t n (t n －1)(t n ＋
1－1)＝1t －1????1t n －1－1t n ＋1－1， 则T n ＝1t －1????????1t －1－1t 2－1＋???
?1t 2－1－1t 3－1＋…＋
????1t n －1－1t n ＋1－1 ＝
1t －1???
?1
t －1－1t n ＋1－1，
又t ＞1，∴T n ＜
1
(t －1)2
. (3)当t ＝5时，由(1)知a n ＝5n ，
由a 2n －(4＋m )a n ＋7m ＋15＝0，
得52n －(4＋m )5n ＋7m ＋15＝0，
故m ＝52n －4×5n ＋155n －7＝(5n －7)(5n ＋3)＋365n －7
＝5n ＋3＋36
5n －7
.
若存在整数对(m ，n )，则36
5n －7必须是整数．
当n ＝1时，m ＝－10； 当n ＝2时，m ＝30；
当n ≥3时，5n －7＞36，不符合．
综上，所有满足题意的整数对(m ，n )为(－10,1)，(30,2)．
4．定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都大于或等于2，则称这个数列为“D 数列”．
(1)若数列{a n }为“D 数列”，且a 1＝a －3，a 2＝a ，a 3＝a 2
－4，求实数a 的取值范围； (2)若首项为1的等差数列{a n }的每一项均为正整数，且数列{a n }为“D 数列”，其前n 项和S n
满足S n ＜n 2＋2n (n ∈N *)，求数列{a n }的通项公式；
(3)已知等比数列{a n }的每一项均为正整数，且数列{a n }为“D 数列”，a 2－a 1＜3，设b n ＝2×6n
(n ＋1)·a n
(n ∈N *)，试判断数列{b n }是否为“D 数列”，并说明理由．
解：(1)由题意得a 2－a 1＝3＞2， a 3－a 2＝a 2－4－a ≥2，即a 2－a －6≥0， 解得a ≥3或a ≤－2.
所以实数a 的取值范围为(－∞，－2]∪[3，＋∞)． (2)设等差数列{a n }的公差为d ，则d ≥2， 由a 1＝1，得S n ＝n ＋n (n －1)
2d ，
由题意得，n ＋
n (n －1)
2
d ＜n 2＋2n 对n ∈N *均成立． 当n ＝1时，上式成立． 当n ≥2时，d ＜2n ＋2n －1＝2＋4
n －1.
又d ∈N *，所以d ≤2，所以d ＝2，
所以等差数列{a n }的通项公式a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1. (3)设等比数列{a n }的公比为q ，则a n ＝a 1q n －
1，
因为数列{a n }的每一项均为正整数，且a n ＋1－a n ＝a n q －a n ＝a n (q －1)≥2＞0，所以q ＞1，且q 为整数，
则a n ＋1－a n ＝q (a n －a n －1)＞a n －a n －1，n ≥2，n ∈N *， 所以在数列{a n －a n －1}中，a 2－a 1为最小项．
由数列{a n }为“D 数列”，可知只需a 2－a 1≥2，即a 1(q －1)≥2， 又a 2－a 1＜3，即a 1(q －1)＜3，
由数列{a n }的每一项均为正整数，可得a 1(q －1)＝2， 所以a 1＝1，q ＝3或a 1＝2，q ＝2. ①当a 1＝1，q ＝3时，a n ＝3
n －1
，则b n ＝2×6n (n ＋1)·3n －1＝3n ＋1
×2n ＋
1. 令c n ＝b n ＋1－b n (n ∈N *)，则c n ＝
3n ＋2×2n ＋2－3n ＋1
×2n ＋1＝3×2n ＋1×????2n ＋2－1n ＋1＝3×2n
＋
1
×n
(n ＋2)(n ＋1)
， 所以c n ＋1－c n ＝3×2n ＋
2×
n ＋1(n ＋3)(n ＋2)－3×2n ＋
1×n (n ＋2)(n ＋1)
＝3×2n＋1×
n2＋n＋2
(n＋3)(n＋2)(n＋1)
＞0，
所以数列{c n}为递增数列，即c n＞c n－1＞c n－2＞…＞c1. 又c1＝b2－b1＝2，
所以对任意的n∈N*都有b n＋1－b n≥2，
所以数列{b n}是“D数列”．
②当a1＝2，q＝2时，a n＝2n，则b n＝
2×6n
(n＋1)·2n
＝
2
n＋1
×3n.
令d n＝b n＋1－b n(n∈N*)，
则d n＝
2
n＋2
×3n＋1－
2
n＋1
×3n＝2×3n×????
3
n＋2
－
1
n＋1＝2×3
n×
2n＋1
(n＋2)(n＋1)
，
所以d n＋1－d n＝2×3n＋1×
2n＋3
(n＋3)(n＋2)
－2×3n×
2n＋1
(n＋2)(n＋1)
＝2×3n×4n2＋8n＋6
(n＋3)(n＋2)(n＋1)
＞0，
所以数列{d n}为递增数列，
即d n＞d n－1＞d n－2＞…＞d1.
又d1＝b2－b1＝3，
所以对任意的n∈N*都有b n＋1－b n≥2，
所以数列{b n}是“D数列”．
综上，数列{b n}是“D数列”．
命题点一数列的概念及表示
1.(2016·上海高考)无穷数列{a n}由k个不同的数组成，S n为{a n}的前n项和．若对任意n∈N*，S n∈{2,3}，则k的最大值为________．
解析：由S n∈{2,3}，得a1＝S1∈{2,3}．将数列写出至最多项，其中有相同项的情况舍去，共有如下几种情况：
①a1＝2，a2＝0，a3＝1，a4＝－1；
②a1＝2，a2＝1，a3＝0，a4＝－1；
③a1＝2，a2＝1，a3＝－1，a4＝0；
④a1＝3，a2＝0，a3＝－1，a4＝1；
⑤a1＝3，a2＝－1，a3＝0，a4＝1；
⑥a1＝3，a2＝－1，a3＝1，a4＝0.
最多项均只能写到第4项，即k max＝4.
答案：4
2．(2014·全国卷Ⅱ)数列 {a n }满足 a n ＋1＝1
1－a n ，a 8
＝2，则a 1 ＝________. 解析：将a 8＝2代入a n ＋1＝11－a n ，可求得a 7＝12；再将a 7＝12代入a n ＋1＝11－a n
，可求得a 6＝－
1；再将a 6＝－1代入a n ＋1＝1
1－a n
，可求得a 5＝2；由此可以推出数列{a n }是一个周期数列，且周期为3，所以a 1＝a 7＝12
.
答案：12
命题点二 等差数列与等比数列
1．(2018·北京高考)设{a n }是等差数列，且a 1＝3，a 2＋a 5＝36，则{a n }的通项公式为________． 解析：法一：设数列{a n }的公差为d .∵a 2＋a 5＝36，∴(a 1＋d )＋(a 1＋4d )＝2a 1＋5d ＝36.∵a 1＝3，∴d ＝6，∴a n ＝6n －3.
法二：设数列{a n }的公差为d ，∵a 2＋a 5＝a 1＋a 6＝36，a 1＝3，∴a 6＝33，∴d ＝a 6－a 1
5
＝6，∴a n ＝6n －3.
答案：a n ＝6n －3
2．(2017·江苏高考)等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n .已知S 3＝74，S 6＝634，则
a 8＝________.
解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则由S 6≠2S 3，得q ≠1，
则?????
S 3＝a 1(1－q 3)1－q
＝74，
S 6
＝a 1
(1－q 6
)1－q
＝63
4，解得????
?
q ＝2，a 1＝1
4
， 则a 8＝a 1q 7＝1
4×27＝32.
答案：32
3．(2018·全国卷Ⅰ)记S n 为数列{a n }的前n 项和．若S n ＝2a n ＋1，则S 6＝________. 解析：∵S n ＝2a n ＋1，∴当n ≥2时，S n －1＝2a n －1＋1， ∴a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1， 即a n ＝2a n －1.
当n ＝1时，由a 1＝S 1＝2a 1＋1，得a 1＝－1.
∴数列{a n }是首项a 1为－1，公比q 为2的等比数列， ∴S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝－1×(1－2n )1－2＝1－2n ，
∴S 6＝1－26＝－63. 答案：－63
4．(2016·江苏高考)已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 1＋a 22＝－3，S 5＝10，则
a 9
的值是________．
解析：法一：设等差数列{a n }的公差为d ，由S 5＝10，知S 5＝5a 1＋
5×4
2
d ＝10，得a 1＋2d ＝2，即a 1＝2－2d .所以a 2＝a 1＋d ＝2－d ，代入a 1＋a 22＝－3，化简得d 2
－6d ＋9＝0，所以d ＝3，a 1＝－
4.故a 9＝a 1＋8d ＝－4＋24＝20.
法二：设等差数列{a n }的公差为d ，由S 5＝10，知
5(a 1＋a 5)
2
＝5a 3＝10，所以a 3＝2. 所以由a 1＋a 3＝2a 2，得a 1＝2a 2－2，代入a 1＋a 22＝－3，化简得a 2
2＋2a 2＋1＝0，所以a 2＝－
1.
公差d ＝a 3－a 2＝2＋1＝3，故a 9＝a 3＋6d ＝2＋18＝20. 答案：20
5．(2018·北京高考)设{a n }是等差数列，且a 1＝ln 2，a 2＋a 3＝5ln 2. (1)求{a n }的通项公式； (2)求e 1a
＋e
2
a ＋…＋e
n
a .
解：(1)设{a n }的公差为d . 因为a 2＋a 3＝5ln 2， 所以2a 1＋3d ＝5ln 2. 又a 1＝ln 2，所以d ＝ln 2. 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ln 2. (2)因为e 1a
＝e ln 2＝2，e a n
e 1
n a -＝e
1
n n a a －－＝e ln 2＝2，
所以数列{e a n }是首项为2，公比为2的等比数列， 所以e 1
a ＋e
2
a ＋…＋e
n
a ＝2×(1－2n )1－2
＝2n ＋1－2.
6．(2017·江苏高考)对于给定的正整数k ，若数列{a n }满足：a n －k ＋a n －k ＋1＋…＋a n －1＋ a n ＋1
＋…＋a n ＋k －1＋a n ＋k ＝2ka n ，对任意正整数n (n ＞k )总成立，则称数列{a n }是“P (k )数列”．
(1)证明：等差数列{a n }是“P (3)数列”；
(2)若数列{a n }既是“P (2)数列”，又是“P (3)数列”，证明：{a n }是等差数列． 证明：(1)因为{a n }是等差数列，设其公差为d ， 则a n ＝a 1＋(n －1)d ，
从而，当n ≥4时，a n －k ＋a n ＋k ＝a 1＋(n －k －1)d ＋a 1＋(n ＋k －1)d ＝2a 1＋2(n －1)d ＝2a n ，k ＝1,2,3，
所以a n －3＋a n －2＋a n －1＋a n ＋1＋a n ＋2＋a n ＋3＝6a n ， 因此等差数列{a n }是“P (3)数列”．
(2)数列{a n }既是“P (2)数列”，又是“P (3)数列”，因此，
当n ≥3时，a n －2＋a n －1＋a n ＋1＋a n ＋2＝4a n ，①
当n ≥4时，a n －3＋a n －2＋a n －1＋a n ＋1＋a n ＋2＋a n ＋3＝6a n .② 由①知，a n －3＋a n －2＝4a n －1－(a n ＋a n ＋1)，③ a n ＋2＋a n ＋3＝4a n ＋1－(a n －1＋a n )．④
将③④代入②，得a n －1＋a n ＋1＝2a n ，其中n ≥4， 所以a 3，a 4，a 5，…是等差数列，设其公差为d ′. 在①中，取n ＝4，则a 2＋a 3＋a 5＋a 6＝4a 4， 所以a 2＝a 3－d ′，
在①中，取n ＝3，则a 1＋a 2＋a 4＋a 5＝4a 3， 所以a 1＝a 3－2d ′， 所以数列{a n }是等差数列．
7．(2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．已知S 2＝2，S 3＝－6. (1)求{a n }的通项公式；
(2)求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列． 解：(1)设{a n }的公比为q .
由题设可得?????
a 1(1＋q )＝2，a 1(1＋q ＋q 2
)＝－6. 解得?
???
?
a 1＝－2，q ＝－2.
故{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n . (2)由(1)可得S n ＝(－2)×[1－(－2)n ]1－(－2)
＝－23＋(－1)n 2n ＋
1
3
. 由于S n ＋2＋S n ＋1＝－4
3＋(－1)n
2n ＋3
－2n ＋
2
3
＝2????－2
3
＋(－1)n 2n ＋1
3＝2S n ，
故S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列．
8．(2015·江苏高考)设a 1，a 2，a 3，a 4是各项为正数且公差为d (d ≠0)的等差数列． (1)证明：2a 1，2a 2，2a 3，2a 4依次构成等比数列．
(2)是否存在a 1，d ，使得a 1，a 22，a 33，a 44依次构成等比数列？并说明理由． (3)是否存在a 1，d 及正整数n ，k 使得a n 1，a n ＋
k 2，a n ＋2k
3
，a n ＋3k
4
依次构成等比数列？并说明理由．
解：(1)证明：因为2a n ＋12a n
＝2a n ＋1－a n ＝2d (n ＝1,2,3)是同一个常数，所以2a 1，2a 2，2a 3，2a 4依
次构成等比数列．
(2)不存在，理由如下：
令a 1＋d ＝a ，则a 1，a 2，a 3，a 4分别为a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d (a ＞d ，a ＞－2d ，d ≠0)．
假设存在a 1，d ，使得a 1，a 22，a 33，a 4
4依次构成等比数列，
则a 4＝(a －d )(a ＋d )3，且(a ＋d )6＝a 2(a ＋2d )4. 令t ＝d
a ，则1＝(1－t )(1＋t )3，
且(1＋t )6＝(1＋2t )4????－1
2＜t ＜1，t ≠0， 化简得t 3＋2t 2－2＝0(*)，且t 2＝t ＋1.
将t 2＝t ＋1代入(*)式，得t (t ＋1)＋2(t ＋1)－2＝t 2＋3t ＝t ＋1＋3t ＝4t ＋1＝0，则t ＝－1
4.
显然t ＝－1
4
不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立，
因此不存在a 1，d ，使得a 1，a 22，a 33，a 4
4依次构成等比数列．
(3)不存在，理由如下：
假设存在a 1，d 及正整数n ，k ，使得a n 1，a n ＋
k 2，a n ＋2k
3
，a n ＋3k
4
依次构成等比数列，
则a n 1(a 1＋2d )n
＋2k
＝(a 1＋d )2(n
＋k )
，
且(a 1＋d )n ＋
k (a 1＋3d )n ＋3k
＝(a 1＋2d )2(n
＋2k )
，
分别在两个等式的两边同除以a 2(n ＋k )
1
及a 2(n
＋2k )
1
，并令t ＝d
a 1?
???t ＞－13，t ≠0， 则(1＋2t )n
＋2k
＝(1＋t )2(n
＋k )
，
且(1＋t )n ＋k (1＋3t )n
＋3k
＝(1＋2t )2(n
＋2k )．
将上述两个等式两边取对数，得 (n ＋2k )ln(1＋2t )＝2(n ＋k )ln(1＋t )，
且(n ＋k )ln(1＋t )＋(n ＋3k )ln(1＋3t )＝2(n ＋2k )·ln(1＋2t )． 化简得
2k [ln(1＋2t )－ln(1＋t )]＝n [2ln(1＋t )－ln(1＋2t )]， 且3k [ln(1＋3t )－ln(1＋t )]＝n [3ln(1＋t )－ln(1＋3t )]． 再将这两式相除，化简得
ln(1＋3t )ln(1＋2t )＋3ln(1＋2t )ln(1＋t ) ＝4ln(1＋3t )ln(1＋t )．(**)
令g (t )＝4ln(1＋3t )ln(1＋t )－ln(1＋3t )ln(1＋2t )－3ln(1＋2t )ln(1＋t )，则g ′(t )＝ 2[(1＋3t )2ln (1＋3t )－3(1＋2t )2ln (1＋2t )＋3(1＋t )2ln (1＋t )](1＋t )(1＋2t )(1＋3t ).
令φ(t )＝(1＋3t )2ln(1＋3t )－3(1＋2t )2ln(1＋2t )＋3(1＋t )2ln(1＋t )， 则φ′(t )＝6[(1＋3t )ln(1＋3t )－2(1＋2t )ln(1＋2t )＋(1＋t )ln(1＋t )]． 令φ1(t )＝φ′(t )，
则φ1′(t )＝6[3ln(1＋3t )－4ln(1＋2t )＋ln(1＋t )]．
令φ2(t )＝φ1′(t )，则φ2′(t )＝12
(1＋t )(1＋2t )(1＋3t )＞0.
由g (0)＝φ(0)＝φ1(0)＝φ2(0)＝0，φ2′(t )＞0，
知φ2(t )，φ1(t )，φ(t )，g (t )在???
?－1
3，0和(0，＋∞)上均单调． 故g (t )只有唯一零点t ＝0，即方程(**)只有唯一解t ＝0，故假设不成立．
所以不存在a 1，d 及正整数n ，k ，使得a n 1，a n ＋
k 2，a n
＋2k
3
，a n ＋3k
4
依次构成等比数列．
命题点三 数列求和
1.(2018·江苏高考)已知集合A ＝{x |x ＝2n －1，n ∈N *}，B ＝{x |x ＝2n ，n ∈N *}．将A ∪B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a n }．记S n 为数列{a n }的前n 项和，则使得S n ＞12a n ＋1成立的n 的最小值为________．
解析：所有的正奇数和2n (n ∈N *)按照从小到大的顺序排列构成{a n }，在数列{a n }中，25前面有16个正奇数，即a 21＝25，a 38＝26.当n ＝1时，S 1＝1＜12a 2＝24，不符合题意；当n ＝2时，S 2＝3＜12a 3＝36，不符合题意；当n ＝3时，S 3＝6＜12a 4＝48，不符合题意；当n ＝4时，S 4＝10＜12a 5＝60，不符合题意；…；当n ＝26时，S 26＝21×(1＋41)2＋2×(1－25)1－2＝441＋62＝503＜12a 27＝516，
不符合题意；当n ＝27时，S 27＝22×(1＋43)2＋2×(1－25)
1－2＝484＋62＝546＞12a 28＝540，符合题意．故
使得S n ＞12a n ＋1成立的n 的最小值为27.
答案：27
2．(2017·全国卷Ⅱ)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝3，S 4＝10，则∑k ＝1
n 1
S k
＝________.
解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，
依题意有????? a 1＋2d ＝3，4a 1＋6d ＝10，解得?????
a 1＝1，
d ＝1，
所以S n ＝n (n ＋1)2，1S n
＝2
n (n ＋1)＝2????1n －1n ＋1，
因此∑k ＝1
n 1S k ＝2????1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝2n
n ＋1.
答案：2n
n ＋1
3．(2018·全国卷Ⅲ)等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3. (1)求{a n }的通项公式；
(2)记S n 为{a n }的前n 项和．若S m ＝63，求m . 解：(1)设{a n }的公比为q ，由题设得a n ＝q n －
1.
由已知得q 4＝4q 2，解得q ＝0(舍去)或q ＝－2或q ＝2. 故a n ＝(－2)n
－1
或a n ＝2n －
1.
(2)若a n ＝(－2)n －
1，则S n ＝
1－(－2)
n
3
. 由S m ＝63，得(－2)m ＝－188，此方程没有正整数解． 若a n ＝2
n －1
，则S n ＝1－2n 1－2
＝2n
－1.
由S m ＝63，得2m ＝64，解得m ＝6. 综上，m ＝6.
4．(2018·浙江高考)已知等比数列{a n }的公比q ＞1，且a 3＋a 4＋a 5＝28，a 4＋2是a 3，a 5的等差中项．数列{b n }满足b 1＝1，数列{(b n ＋1－b n )a n }的前n 项和为2n 2＋n .
(1)求q 的值；
(2)求数列{b n }的通项公式．
解：(1)由a 4＋2是a 3，a 5的等差中项， 得a 3＋a 5＝2a 4＋4，
所以a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＋4＝28， 解得a 4＝8.
由a 3＋a 5＝20，得8????q ＋1
q ＝20， 解得q ＝2或q ＝1
2.
因为q ＞1，所以q ＝2.
(2)设c n ＝(b n ＋1－b n )a n ，数列{c n }的前n 项和为S n .
由c n ＝?????
S 1，n ＝1，
S n －S n －1
，n ≥2，解得c n ＝4n －1.
由(1)可得a n ＝2n －
1，
所以b n ＋1－b n ＝(4n －1)×????12n －1
， 故b n －b n －1＝(4n －5)×????12n －2，n ≥2，
b n －b 1＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 3－b 2)＋(b 2－b 1)＝(4n －5)×????12n －2＋(4n －9)×????12n －3＋…＋7×1
2
＋3.
设T n ＝3＋7×12＋11×????122＋…＋(4n －5)×????12n －2，n ≥2， 则12T n ＝3×12＋7×????122＋…＋(4n －9)×????12n －2＋(4n －5)×????12n －1， 两式相减，得12T n ＝3＋4×12＋4×????122＋…＋4×????12n －2－(4n －5)×????12n －1， 所以T n ＝14－(4n ＋3)×????12n －2
，n ≥2.
又b 1＝1，所以b n ＝15－(4n ＋3)×????12n －2
. 命题点四 数列的综合应用
1.(2016·江苏高考)记U ＝{1,2，…，100}，对数列{a n }(n ∈N *)和U 的子集T ，若T ＝?，定义S T
＝0；若T ＝{t 1，t 2，…，t k }，定义S T ＝at 1＋at 2＋…＋at k .例如：T ＝{1,3,66}时，S T ＝a 1＋a 3＋a 66.现设{a n }(n ∈N *)是公比为3的等比数列，且当T ＝{2,4}时，S T ＝30.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)对任意正整数k (1≤k ≤100)，若T ?{1,2，…，k }，求证：S T ＜a k ＋1； (3)设C ?U ，D ?U ，S C ≥S D ，求证：S C ＋S C ∩D ≥2S D . 解：(1)由已知得a n ＝a 1·3n －
1，n ∈N *.
于是当T ＝{2,4}时，S T ＝a 2＋a 4＝3a 1＋27a 1＝30a 1. 又S T ＝30，故30a 1＝30，即a 1＝1.
所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －
1，n ∈N *.
(2)证明：因为T ?{1,2，…，k }，a n ＝3n －
1＞0，n ∈N *，
所以S T ≤a 1＋a 2＋…＋a k ＝1＋3＋…＋3k －
1＝12(3k －1)＜3k .
因此，S T ＜a k ＋1.
(3)证明：下面分三种情况证明．
①若D 是C 的子集，则S C ＋S C ∩D ＝S C ＋S D ≥S D ＋S D ＝2S D . ②若C 是D 的子集，则S C ＋S C ∩D ＝S C ＋S C ＝2S C ≥2S D . ③若D 不是C 的子集，且C 不是D 的子集． 令E ＝C ∩?U D ，F ＝D ∩?U C ， 则E ≠?，F ≠?，E ∩F ＝?.
于是S C ＝S E ＋S C ∩D ，S D ＝S F ＋S C ∩D ，进而由S C ≥S D 得S E ≥S F .
设k 为E 中的最大数，l 为F 中的最大数，则k ≥1，l ≥1，k ≠l .由(2)知，S E ＜a k ＋1. 于是3l －
1＝a l ≤S F ≤S E ＜a k ＋1＝3k ，
所以l －1＜k ，即l ≤k . 又k ≠l ，故l ≤k －1.从而 S F ≤a 1＋a 2＋…＋a l ＝1＋3＋…＋3
l －1
＝3l －12≤3k －
1－12＝a k －12≤S E －12
，
故S E ≥2S F ＋1，所以S C －S C ∩D ≥2(S D －S C ∩D )＋1， 即S C ＋S C ∩D ≥2S D ＋1.
综合①②③得，S C ＋S C ∩D ≥2S D .
2．(2018·天津高考)设{a n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为S n (n ∈N *)，{b n }是等差数列．已知a 1＝1，a 3＝a 2＋2，a 4＝b 3＋b 5，a 5＝b 4＋2b 6.
(1)求{a n }和{b n }的通项公式；
(2)设数列{S n }的前n 项和为T n (n ∈N *)，
①求T n ；
②证明∑k ＝1n
(T k ＋b k ＋2)b k (k ＋1)(k ＋2)＝2n ＋
2
n ＋2
－2(n ∈N *)．
解：(1)设等比数列{a n }的公比为q . 由a 1＝1，a 3＝a 2＋2，可得q 2－q －2＝0. 由q ＞0，可得q ＝2，故a n ＝2n －
1.
设等差数列{b n }的公差为d . 由a 4＝b 3＋b 5，可得b 1＋3d ＝4.① 由a 5＝b 4＋2b 6，可得3b 1＋13d ＝16.② 联立①②解得b 1＝1，d ＝1，故b n ＝n .
所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －
1，数列{b n }的通项公式为b n ＝n .
(2)①由(1)，有S n ＝1－2n
1－2
＝2n －1，
所以T n ＝∑k ＝1n
(2k
－1)＝∑k ＝1
n
2k
－n ＝2(1－2n )1－2－n ＝2n ＋
1－n －2.
②证明：因为(T k ＋b k ＋2)b k (k ＋1)(k ＋2)＝(2k ＋
1－k －2＋k ＋2)k
(k ＋1)(k ＋2)
＝k ·2k ＋
1(k ＋1)(k ＋2)＝2k ＋
2k ＋2－2k ＋
1
k ＋1
， 所以∑k ＝1n
(T k ＋b k ＋2)b k (k ＋1)(k ＋2)
＝????233－222＋????244－233＋…＋? ????2n ＋
2n ＋2－2n ＋
1n ＋1＝
2n ＋2n ＋2－2. 3．(2018·江苏高考)设{a n }是首项为a 1，公差为d 的等差数列，{b n }是首项为b 1，公比为q 的等比数列．
(1)设a 1＝0，b 1＝1，q ＝2，若|a n －b n |≤b 1对n ＝1,2,3,4均成立，求d 的取值范围； (2)若a 1＝b 1＞0，m ∈N *，q ∈(1，
m
2]，证明：存在d ∈R ，使得|a n －b n |≤b 1对n ＝2,3，…，m
＋1均成立，并求d 的取值范围(用b 1，m ，q 表示)．
解：(1)由条件知a n ＝(n －1)d ，b n ＝2n －
1.
因为|a n －b n |≤b 1对n ＝1,2,3,4均成立， 即|(n －1)d －2n －
1|≤1对n ＝1,2,3,4均成立，
所以1≤1,1≤d ≤3,3≤2d ≤5,7≤3d ≤9， 解得73≤d ≤5
2
.
所以d 的取值范围为????73，52.
(2)由条件知a n ＝b 1＋(n －1)d ，b n ＝b 1q n －
1.
若存在d ，使得|a n －b n |≤b 1(n ＝2,3，…，m ＋1)成立，
高考数学数列题型专题汇总
高考数学数列题型专题 汇总 公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]
高考数学数列题型专题汇总 一、选择题 1、已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且S S n n =∞ →lim .下列 条件中，使得()*∈ A ．{}n S 是等差数列 B ．2{}n S 是等差数列 C ．{}n d 是等差数列 D ．2{}n d 是等差数列 【答案】A 二、填空题 1、已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若16a =，350a a +=，则 6=S _______.. 【答案】6 2、无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意 *∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为________. 【答案】4 3、设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2a n 的最大值 为 . 【答案】64 4、设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4，a n +1=2S n +1，n ∈N *，则 a 1= ，S 5= . 【答案】1 121 等差数列的性质总结 1.等差数列的定义：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）； 2．等差数列通项公式： *11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ ， 首项:1a ，公差:d ，末项:n a 推广： d m n a a m n )(-+=． 从而m n a a d m n --= ； 3．等差中项 （1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2b a A += 或b a A +=2 . （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式： 1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22 d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项 ()()()12121121212n n n n a a S n a +++++==+（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项） 5．等差数列的判定方法 （1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列． ` （2） 等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a ． ⑶数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=（其中b k ,是常数）。 （4）数列{}n a 是等差数列?2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。 6．等差数列的证明方法 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列． 7.提醒： （1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。 （2）设项技巧： ： ①一般可设通项1(1)n a a n d =+- ②奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）； ③偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（注意；公差为2d ） 8..等差数列的性质： （1）当公差0d ≠时， 等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ； 前n 和211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0. （2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。 ？ （3）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=. 中职数学等差数列单元测试题及参考答案 一、选择题 1、等差数列{}n a 中，10120S =，那么110a a +=（ ） A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 2、已知等差数列{}n a ，219n a n =-，那么这个数列的前n 项和n s （ ） A.有最小值且是整数 B. 有最小值且是分数 C. 有最大值且是整数 D. 有最大值且是分数 3、已知等差数列{}n a 的公差1 2 d =，8010042=+++a a a ，那么=100S A ．80 B ．120 C ．135 D ．160． 4、已知等差数列{}n a 中，6012952=+++a a a a ，那么=13S A ．390 B ．195 C ．180 D ．120 5、从前180个正偶数的和中减去前180个正奇数的和，其差为（ ） A. 0 B. 90 C. 180 D. 360 6、等差数列{}n a 的前m 项的和为30，前2m 项的和为100，则它的前3m 项的和为( ) A. 130 B. 170 C. 210 D. 260 7、在等差数列{}n a 中，62-=a ，68=a ，若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ） A.54S S < B.54S S = C. 56S S < D. 56S S = 8、一个等差数列前3项和为34，后3项和为146，所有项和为390，则这个数列的项数为（ ） A. 13 B. 12 C. 11 D. 10 9、已知某数列前n 项之和3n 为，且前n 个偶数项的和为)34(2+n n ，则前n 个奇数项的和为（ ） A ．)1(32+-n n B ．)34(2-n n C ．23n - D ．32 1n 10若一个凸多边形的内角度数成等差数列，最小角为100°，最大角为140°，这个凸多边形的边比为（ ） A ．6 B ．8 C ．10 D ．12 二．填空题 1、等差数列{}n a 中，若638a a a =+，则9s = . 2、等差数列{}n a 中，若232n S n n =+，则公差d = . 3、在小于100的正整数中，被3除余2的数的和是 4、已知等差数列{}n a 的公差是正整数，且a 4,126473-=+-=?a a a ，则 前10项的和S 10= 5、一个等差数列共有10项，其中奇数项的和为25 2 ，偶数项的和为15，则这个数列的第6项是 *6、两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，若3 3 7++= n n T S n n ，则88 a b = . 三．解答题 1、 在等差数列{}n a 中，40.8a =，11 2.2a =，求515280a a a +++. 第 1 页 共 28 页 2021年江苏省高考数学二轮解答题专项复习：数列 1．在数列{a n }中a 1＝1，且3a n +1＝a n +13n （n ∈N +）． （1）求证：数列{3n ?a n }为等差数列； （2）求数列{a n }的前n 项和S n ． 【解答】解：（1）证明：由a 1＝1，3a n +1＝a n + 13n ，可得3n +1a n +1＝3n a n +1， 即3n +1a n +1﹣3n a n ＝1， 可得数列{3n ?a n }是以3为首项，1为公差的等差数列； （2）由（1）可得3n ?a n ＝3+n ﹣1＝n +2， 则a n ＝（n +2）?（13）n ， 可得前n 项和S n ＝3?13+4?（13）2+5?（13）3+…+（n +2）?（13 ）n ， 13S n ＝3?（13）2+4?（13）3+5?（13）4+…+（n +2）?（13 ）n +1， 两式相减可得23S n ＝1+（13）2+（13）3+…+（13）n ﹣（n +2）? （13）n +1 ＝1+19(1?13n?1)1?13 ?（n +2）?（13）n +1， 化简可得S n =74?2n+74?（13 ）n ． 2．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足2S n ＝（n +1）a n （n ∈N ）且a 1＝2． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）设b n ＝（a n ﹣1）2a n ．求数列{b n }的前n 项和T n ． 【解答】解：（1）由题意，2S n ＝（n +1）a n ，n ∈N *． 则2S n +1＝（n +2）a n +1，n ∈N *． 两式相减，得2a n +1＝（n +2）a n +1﹣（n +1）a n ， 整理，得 na n +1＝（n +1）a n ． 即a n+1n+1= a n n ，n ∈N *． ∴数列{a n n }为常数列． ∴a n n =a 11=2， ∴数列{a n }的通项公式为：a n ＝2n ． m n a a d n a a d d n a a d m n a a d n a a d a a m n n n m n n n n --=--= --=-+=-+==-+1; )1()()1(1 111变式：推广：通项公式：递推关系：必修5 数列 二、等差数列 知识要点 1．数列的通项n a 与前n 项和n S 的关系 ∑==++++=n i i n n a a a a a S 1321 ?? ?≥-==-2 11 1 n S S n S a n n n 2．递推关系与通项公式 () 1(),(), ,n n a dn a d a f n kn b k b =+-==+特征：即：为常数 (),,n a kn b k b =+为常数?数列{}n a 成等差数列． 3．等差中项： 若c b a ,,成等差数列，则b 叫做c a 与的等差中项，且2 c a b += ；c b a ,,是等差数列?c a b +=2． 4．前n 项和公式：2 )(1n a a S n n += ； 2)1(1d n n na S n -+= 221(),()22 n n d d S n a n S f n An Bn = +-==+特征：即 2,(,)n S An Bn A B =+为常数?数列{}n a 成等差数列． 5．等差数列{}n a 的基本性质),,,(* ∈N q p n m 其中 ⑴q p n m a a a a q p n m +=++=+，则若，反之不成立； ⑵d m n a a m n )(-=-； ⑶m n m n n a a a +-+=2； ⑷n n n n n S S S S S 232,,--仍成等差数列． 6．判断或证明一个数列是等差数列的方法： ①定义法：( )() 1n n a a d n N * +-=∈常数 ?{}n a 是等差数列 20XX 年高考数学数列知识点及题型大总结 等差数列 知识要点 1．递推关系与通项公式 m n a a d n a a d d n a a d m n a a d n a a d a a m n n n m n n n n --= --= --=-+=-+==-+1; )1()()1(1111变式：推广：通项公式：递推关系： 为常数） 即：特征：m k m kn n f a d a dn a n n ,(,)(), (1+==-+= ),为常数，（m k m kn a n +=是数列{}n a 成等差数列的充要条件。 2．等差中项： 若c b a ,,成等差数列，则b 称c a 与的等差中项，且2 c a b +=；c b a ,,成等差数列是c a b +=2的充要条件。 3．前n 项和公式 2 )(1n a a S n n += ； 2)1(1d n n na S n -+= ) ,()(,)2(22212为常数即特征：B A Bn An S Bn An n f S n d a n d S n n n +=+==-+= 是数列 {}n a 成等差数列的充要条件。 4．等差数列 {}n a 的基本性质),,,(*∈N q p n m 其中 ⑴q p n m a a a a q p n m +=++=+，则若反之，不成立。 ⑵d m n a a m n )(-=- ⑶m n m n n a a a +-+=2 ⑷n n n n n S S S S S 232,,--仍成等差数列。 5．判断或证明一个数列是等差数列的方法： ①定义法： ）常数）（*+∈=-N n d a a n n (1?{}n a 是等差数列 ②中项法： )22 1*++∈+=N n a a a n n n （?{}n a 是等差数列 ③通项公式法： ),(为常数b k b kn a n +=?{}n a 是等差数列 ④前n 项和公式法： ),(2为常数B A Bn An S n +=?{}n a 是等差数列 练习：1．等差数列 {}n a 中， ) (3 1 ,1201191210864C a a a a a a a 的值为则-=++++ A ．14 B ．15 C ．16 D ．17 165 1203232)(32) 2(3 1 318999119=?==-=+-=-a d a d a a a a 2．等差数列 {}n a 中，12910S S a =>，，则前10或11项的和最大。 解：0912129 =-=S S S S ， 003011111121110>=∴=∴=++∴a a a a a a ，又，， ∴ {}n a 为递减等差数列∴1110S S =为最大。 3．已知等差数列{}n a 的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为－110 解：∵ ，，，，，1001102030102010S S S S S S S --- 成等差数列，公差为D 其首项为 10010=S ，前10项的和为10100=S 解 一、 过关练习： 1、在等差数列{}n a 中，2,365-==a a ，则1054a a a Λ++= 2、已知数列{}n a 中，() *+∈+==N n a a a n n 3 111,111，则50a = 3、在等差数列{}n a 中，,0,019181=+>a a a 则{}n a 的前n 项和n S 中最大的是 4、设数列{}n a 的通项为()*∈-=N n n a n 72，则1521a a a +++Λ= 二、 典例赏析： 例1、在等差数列{}n a 中，前n 项和记为n S ，已知50,302010==a a （1）求通项n a ；（2）若242=n S ，求n 例2、在等差数列 {}n a 中， （1）941,0S S a =>，求n S 取最大值时，n 的值； （2）1241,15S S a ==，求n S 的最大值。 例3、已知数列{}n a 满足()22,21 2 1≥-==-n a a a a a a n n ，其中a 是不为零的常数，令a a b n n -=1 （1） 求证：数列{}n b 是等差数列 （2）求数列{}n a 的通项公式 三、强化训练： 1、等差数列{}n a 中，40,19552==+S a a ，则1a = 2、等差数列{}n a 的前m 项和为30，前2m 项和为100，则前3m 项和为 3、等差数列{}n a 中，,4,84111073=-=-+a a a a a 记n n a a a S +++=Λ21，则13S 等于 4、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10,10010010==S S ，则110S = 。 5、在ABC ?中，已知A 、B 、C 成等差数列，求2tan 2tan 32tan 2tan C A C A ++的值 作业 A 组： 1、 在a 和b 两个数之间插入n 个数，使它们与a 、b 组成等差数列，则该数列的公差为 2、 已知方程 ()()02222=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的等差数列，则n m -等于 B 组： 3、 已知一元二次方程()()()02=-+-+-b a c x a c b x c b a 有两个相等的实根， 求证： c b a 1,1,1成等差数列 4、 已知数列 {}n a 的通项公式是254-=n a n ，求数列{}n a 的前n 项和 江苏省洪泽中等专业学校数学单元试卷（数列） 时间：90分钟满分：100分 一、选择题（每题3分，共30分） 1.数列-1,1 , -1,1 ,…的一个通项公式是（） 则这个数列的一个通项公式是（) (A) a n ( 1)n(B) a n ( 1)n 1(C) a n (1)n(D) a n .n sin 2 2.已知数列a n的首项为1,以后各项由公式给出, A) B) C) D) 3?已知等差数列1,-1 , -3 , -5，…，则-89是它的第( )项; A)92 B)47 C)46 D)45 4．数列a n 的通项公式a n2n 5 ，则这个数列 (A)是公差为2的等差数列B) 是公差为的等差数列 (C)是首项为5的等差数列D) 是首项为的等差数列 5．在等比数列a n 中，a1 =5 ，则S6=)． A) 5 (B) 0 (C)不存在D) 30 6．已知在等差数列a n 中，=3， A) 0 B) - 2 =35，则公差d=( C) 2 (D) 4 7．一个等比数列的第3项是45，第4项是-135，它的公比是( 8. 已知三个数-80 , G, -45成等比数列，贝U G=() 9. 等比数列的首项是-5 , 公比是-2，则它的第6项是 、填空题(每空2分，共30 分) 11.数列2,-4,6，-8,10，…,的通项公式a n 13.观察下面数列的特点，填空： -1, 1 16. 一个数列的通项公式是a n n(n 1),则尙 ____________ ，56是这个数列的第 ______ 项. 17. _______________________________________________ 已知三个数 3 1, A, .. 3 1成等差数列，则A= ____________________________________ 18. 等差数列 a n 中，a 1 100,d 2,则 S 50 . 三、解答题(每题10分，共40分) 19. 等差数列a n 中，a 4 6，S 4 48，求a 1 . 20. 一个等差数列的第2项是5,第6项是21,求它的第51项. 21. 等比数列3, 9, 27,……中，求a 7 . 22. 已知等比数列的前5项和是242,公比是3,求它的首项. (A ) 3 (B ) 5 (C ) -3 (D ) -5 (A ) 60 (B ) -60 (C ) 3600 (D ) 60 (A ) -160 (B ) 160 (C ) 90 (D ) 10 10.已知等比数列舒8,…，则其前 10项的和S ,。 5 1 (A) 4(1 詞 (B ) 5(1 (C ) 5(1 (D ) 1 5(1 尹) 12.等差数列3,8,13，…的公差d= ，通项公式a n a 8 = a n 14.已知等差数列a n 5n-2,则a * ，a 3 a 10 ，a 4 a 9 15.数列a n 是等比数列, 印 1,q 3,则 a s 2017年高考试卷数列题摘录 1．(全国卷Ⅰ理科第4题，5分)记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，S 6=48，则{}n a 的公差为 A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 2.(全国卷Ⅰ理科第12题，5分) 几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们退出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16 ，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是02，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 A.440 B.330 C.220 D.110 3.(全国卷Ⅰ文科第17题，12分) 记S n 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知S 2=2，S 3=-6. （1）求{}n a 的通项公式； （2）求S n ，并判断S n +1，S n ，S n +2是否成等差数列。 4．(全国卷Ⅱ理科第3题，5分) 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ） A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏 5.(全国卷Ⅱ理科第15题，5分) 等差数列{}n a 的前项和为n S ，33a =，410S =，则 11n k k S ==∑ ． 6.(全国卷Ⅱ文科第17题，12分) 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的前n 项和为T n ，a 1=-1，b 1=1， 一、知识纲要 (1)数列的概念，通项公式，数列的分类，从函数的观点看数列． (2)等差、等比数列的定义． (3)等差、等比数列的通项公式． (4)等差中项、等比中项． (5)等差、等比数列的前n 项和公式及其推导方法． 二、方法总结 1．数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想、数形结合的思想． 2．等差、等比数列中，1a 、n a 、n 、)(q d 、n S “知三求二”，体现了方程(组)的思想、整体思想，有时用到换元法． 3．求等比数列的前n 项和时要考虑公比是否等于1，公比是字母时要进行讨论，体现了分类讨论的思想． 4．数列求和的基本方法有：公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化等． 三、知识内容： 1.数列 数列的通项公式：?? ?≥-===-)2() 1(111n S S n S a a n n n 数列的前n 项和：n n a a a a S ++++= 321 1、数列：按照一定顺序排列着的一列数． 2、数列的项：数列中的每一个数． 3、有穷数列：项数有限的数列． 4、无穷数列：项数无限的数列． 5、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列． 6、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列． 7、常数列：各项相等的数列． 8、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列． 9、数列的通项公式：表示数列 {}n a 的第n 项与序号n 之间的关系的公式． 10、数列的递推公式：表示任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系的公式． 例1.已知数列{}n a 的前n 项和为n n S n -=2 2,求数列{}n a 的通项公式. 当1=n 时，111==S a ,当2n ≥时，34)1()1(222 2-=-+---=n n n n n a n ,经检验 1=n 时 11=a 也适 合34-=n a n ,∴34-=n a n ()n N +∈ 2.等差数列 等差数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。 等差数列的判定方法: （1）定义法：对于数列 {}n a ，若d a a n n =-+1(常数)，则数列{}n a 是等差数列。 （2）等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等差数列。 等差数列的通项公式： 如果等差数列 {}n a 的首项是1a ，公差是d ，则等差数列的通项为d n a a n )1(1-+=。 说明：该公式整理后是关于n 的一次函数。 等差数列的前n 项和：①2)(1n n a a n S += ②d n n na S n 2 ) 1(1-+ = 说明：对于公式②整理后是关于n 的没有常数项的二次函数。 等差中项： 如果a ， A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。即：2 b a A += 或b a A +=2 说明：在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。 等差数列的性质： （1）等差数列任意两项间的关系：如果n a 是等差数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公差为d ，则有 d m n a a m n )(-+= 专题08 数列大题部分 【训练目标】 1、 理解并会运用数列的函数特性； 2、 掌握等差数列，等比数列的通项公式，求和公式及性质； 3、 掌握根据递推公式求通项公式的方法； 4、 掌握常用的求和方法； 5、 掌握数列中简单的放缩法证明不等式。 【温馨小提示】 高考中一般有一道小题，一道大题，小题侧重于考等差数列与等比数列的性质，熟练的灵活的使用数列的性质会大大减少计算量；大题则侧重于考查根据递推公式求通项公式，求和的方法。总之，此类题目难度中等，属于必拿分题。 【名校试题荟萃】 1、（宁夏长庆高级中学2019届高三上学期第四次月考数学（理）试卷）设数列{}n a 的前n 项和， 且123,1,a a a +成等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记数列1 { }n a 的前n 项和n T ，求使得成立的n 的最小值. 【答案】（1）2n n a = （2）10 （2）由（1）可得 112n n a ?? = ??? ，所以， 由 ，即21000n >，因为 ，所以10n ≥，于是使得 成立的n 的最小值为10. 2、（宁夏长庆高级中学2019届高三上学期第四次月考数学（理）试卷）设等差数列{}n a 的公差为d ，点(,)n n a b 在函数()2x f x =的图象上（*n N ∈） 。 （1）若12a =-，点87(,4)a b 在函数()f x 的图象上，求数列{}n a 的前n 项和n S ； （2）若11a =，函数()f x 的图象在点22(,)a b 处的切线在x 轴上的截距为1 2ln 2-，求数列{}n n a b 的前n 项和n T . 【答案】（1） （2） （2）由 函数()f x 的图象在点22(,)a b 处的切线方程为 所以切线在x 轴上的截距为21 ln 2 a -，从而，故22a = 从而n a n =，2n n b =， 2n n n a n b = 高中数学等差数列教案3篇 教案是教师为顺利而有效地开展教学活动，根据课程标准，教学大纲和教科书要求及学生的实际情况，以课时或课题为单位，对教学内容、教学步骤、教学方法等进行的具体设计和安排的一种实用性教学文书。下面是为大家收集等差数列教案，希望你们能喜欢。 等差数列教案一 【教学目标】 1. 知识与技能 (1)理解等差数列的定义，会应用定义判断一个数列是否是等差数列： (2)账务等差数列的通项公式及其推导过程： (3)会应用等差数列通项公式解决简单问题。 2.过程与方法 在定义的理解和通项公式的推导、应用过程中，培养学生的观察、分析、归纳能力和严密的逻辑思维的能力，体验从特殊 到一般，一般到特殊的认知规律，提高熟悉猜想和归纳的能力，渗透函数与方程的思想。 3.情感、态度与价值观 通过教师指导下学生的自主学习、相互交流和探索活动，培养学生主动探索、用于发现的求知精神，激发学生的学习兴趣，让学生感受到成功的喜悦。在解决问题的过程中，使学生养成细心观察、认真分析、善于总结的良好习惯。 【教学重点】 ①等差数列的概念;②等差数列的通项公式 【教学难点】 ①理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义;②等差数列的通项公式的推导过程. 【学情分析】 我所教学的学生是我校高一(7)班的学生(平行班学生)，经过一年的高中数学学习，大部分学生知识经验已较为丰富，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力，但也有一部分学生的基础较弱，学习数学的兴趣还不是很浓，所以我在授课时注重从具体的生活实例出发，注重 引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展. 【设计思路】 1.教法 ①启发引导法：这种方法有利于学生对知识进行主动建构;有利于突出重点，突破难点;有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性. ②分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生的积极性. ③讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点. 2.学法 引导学生首先从三个现实问题(数数问题、水库水位问题、储蓄问题)概括出数组特点并抽象出等差数列的概念;接着就等差数列概念的特点，推导出等差数列的通项公式;可以对各种能力的同学引导认识多元的推导思维方法. 【教学过程】 一：创设情境，引入新课 数列 1. 等差数列 通项公式：1(1),n a a n d n *=+-∈N 等差中项：如果2 a b A += ，那么A 是a 与b 的等差中项 前n 项和：11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+ 若n a 是等差数列，且k l m n +=+，则k l m n a a a a +=+ ? 等差数列的通项求法应该围绕条件结合1,a d ，或是利用特殊项。 ? 等差数列的最值问题求使0(0)n n a a ≥≤成立的最大n 值即可得n S 的最值。 例1.{}n a 是等差数列，538,6a S ==，则9a =_________ 解析：513113248,33362 a a d S a d a d ?=+==+ =+=，解得10,2a d ==，916a = 例2.{}n a 是等差数列，13110,a S S >=，则当n 为多少时，n S 最大？ 解析：由311S S =得1213 d a =- ，从而 21111(1)249()(7)2131313n a n n S na a n a -=+?-=--+，又10a >所以1013 a -< 故7n = 2. 等比数列 通项公式：11(0)n n a a q q -=≠ 等比中项：2G ab = 前n 项和：111(1)(1)(1)11n n n na q S a a q a q q q q =??=--?=≠?--? 若{}n a 是等比数列，且m n p q +=+，则m n p q a a a a ?=? 例.{}n a 是由正数组成的等比数列，2431,7a a S ==，则5S =__________ 专题14 与数列相关的综合问题 考纲解读明方向 分析解读 1.会用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列的和.2.能综合利用等差、等比数列的基本知识解决相关综合问题.3.数列递推关系、非等差、等比数列的求和是高考热点,特别是错位相减法和裂项相消法求和.分值约为12分,难度中等. 2018年高考全景展示 1．【2018年浙江卷】已知成等比数列，且 ．若 ， 则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析:先证不等式，再确定公比的取值范围，进而作出判断. 详解：令则 ，令 得，所以当时， ，当 时， ，因此 ， 若公比 ，则 ，不合题意；若公比 ，则 但，即 ，不合题意；因此， ，选B. 点睛：构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法.如 2．【2018年浙江卷】已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为________． 【答案】27 【解析】分析：先根据等差数列以及等比数列的求和公式确定满足条件的项数的取值范围，再列不等式求满足条件的项数的最小值. 点睛：本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和.分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如），符号型（如），周期型（如）. 3．【2018年理数天津卷】设是等比数列，公比大于0，其前n项和为，是等差数列.已知，，，. （I）求和的通项公式； （II）设数列的前n项和为， （i）求； （ii）证明. 【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)（i）.（ii）证明见解析. 【解析】分析：（I）由题意得到关于q的方程，解方程可得，则.结合等差数列通项公式可得（II）（i）由（I），有，则. （ii）因为，裂项求和可得. 详解：（I）设等比数列的公比为q.由可得.因为，可得，故.设等差数列的公差为d，由，可得由，可得 从而故所以数列的通项公式为，数列的通项公式为 （II）（i）由（I），有，故 . （ii）因为， 所以. 点睛：本题主要考查数列通项公式的求解，数列求和的方法，数列中的指数裂项方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 等差数列 教学目的： 1．明确等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式； 2．会解决知道n d a a n ,,,1中的三个，求另外一个的问题 教学重点：等差数列的概念，等差数列的通项公式 教学难点：等差数列的性质 教学过程： 引入：① 5，15，25，35，… 和 ② 3000，2995，2990，2985，… 请同学们仔细观察一下，看看以上两个数列有什么共同特征？？ 共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）；（误：每相邻两项的差相等-----应指明作差的顺序是后项减前项），我们给具有这种特征的数列一个名字——等差数列 二、讲解新课： 1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的 差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表示） ⑴．公差d 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求； ⑵．对于数列{n a },若n a －1-n a =d (与n 无关的数或字母)，n ≥2，n ∈N + ，则此数列是等差数列，d 为公差 2．等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+=【或=n a d m n a m )(-+】 等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得若一等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则据其定义可 得：d a a =-12即：d a a +=12 d a a =-23即：d a d a a 2123+=+= d a a =-34即：d a d a a 3134+=+= …… 由此归纳等差数列的通项公式可得：d n a a n )1(1-+= ∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项1a 和公差d ，便可求得其通项a 如数列①1，2，3，4，5，6； n n a n =?-+=1)1(1（1≤n ≤6） 数列②10，8，6，4，2，…； n n a n 212)2()1(10-=-?-+=（n ≥1） 数列③ ;,1,54 ;53,52;51Λ 5 51)1(51n n a n =?-+=（n ≥1） 由上述关系还可得：d m a a m )1(1-+= 即：d m a a m )1(1--= 则：=n a d n a )1(1-+=d m n a d n d m a m m )()1()1(-+=-+-- 即的第二通项公式 =n a d m n a m )(-+ ∴ d=n m a a n m -- 如：d a d a d a d a a 43212345+=+=+=+= 三、例题讲解 例1 ⑴求等差数列8，5，2…的第20项 ⑵ -401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？ 复习模块：数列 知识点 数列：按一定顺序排列的一列数，记作,,,,321 n a a a a 简记 n a 。 1 1(1)(2) n n n S n a S S n 按照位置依次叫做第1项（或首项），第2项，第3项，…，第n 项，…，其中1，2，3，…，n ，分别叫做对应的项的项数。 如果一个数列从第2项开始，每一项与它前一项的差都等于同一个常数，那么，这个数列叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，一般用字母d 表示． 递推公式：1n n a a d 通项公式： 11.n a a n d 推广公式：d m n a a m n )( ； q p n m a a a a q p n m ，则若。 等差中项：若c b a ,,成等差数列，则b 称c a 与的等差中项，且2 c a b ；c b a ,,成等差数列是c a b 2的充要条件。 等差数列求和公式： 12 n n n a a S ； 112 n n n S na d 如果一个数列从第2项开始，每一项与它前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做这个等比数列的公比，一般用字母q 来表示． 递推公式：则1a 与q 均不为零，有 1 n n a q a ，即1n n a a q 通项公式：.1 1 n n q a a 推广公式：m n m n q a a ； q p n m a a a a q p n m ，则若 等比中项：若三个数c b a ,,成等比数列，则称b 为c a 与的等比中项，且为 ac b ac b 2，注：是成等比数列的必要而不充分条件。 等比数列和公式：1111 n n a q S q q ()()． 111 n n a a q S q q ()． )1(1 q na s n （江苏专用）高考数学二轮复习微专题十七数列的通项与求和练 习（无答案）苏教版 微专题十七 数列的通项与求和 一、填空题 1. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若2a 6＝6＋a 7，则S 9的值是________． 2. 已知数列{a n }满足a 1为正整数，a n ＋1＝????? a n 2 ， a n 为偶数，3a n ＋1，a n 为奇数. 若a 1＝5，则a 1＋a 2＋a 3＝________. 3. 已知数列{a n }满足a n ＝ 1n ＋n ＋1，则其前99项和S 99＝________. 4. 若数列{a n }满足12a 1＋122a 2＋123a 3＋…＋12n a n ＝2n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________. 5. 已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝ 2a n a n ＋2 (n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________. 6. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝12，S n ＝kn 2－1(n ∈N *)，则数列??????1S n 的前n 项和为________． 7. 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n ·(2n －1)cos n π 2＋1(n ∈N * )，其前n 项和为S n ，则S 60＝________. 8. 如图，在平面直角坐标系中，分别在x 轴与直线y ＝33 (x ＋1)上从左向右依次取点A k ，B k ，k ＝1,2，…其中A 1是坐标原点，使△A k B k A k ＋1都是等边三角形，则△A 10B 10A 11的边长是________． 9. 定义：在数列{a n }中，若满足a n ＋2a n ＋1－a n ＋1a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)，称{a n }为“等差比数列”．已知在“等差比数列”{a n }中，a 1＝a 2＝1，a 3＝3，则 a 2 019a 2 017＝________. 高一数学必修五数列知识点 1.数列的函数理解： ①数列是一种特殊的函数。其特殊性主要表现在其定义域和值域上。数列可以看作一个定义域为正整数集N*或其有限子集{1，2，3，…，n}的函数，其中的{1，2，3，…，n}不能省略。②用函数的 观点认识数列是重要的思想方法，一般情况下函数有三种表示方法，数列也不例外，通常也有三种表示方法：a.列表法;b。图像法;c.解 析法。其中解析法包括以通项公式给出数列和以递推公式给出数列。 ③函数不一定有解析式，同样数列也并非都有通项公式。 2.通项公式：数列的第N项an与项的序数n之间的关系可以用 一个公式an=f(n)来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式(注：通项公式不唯一)。 数列通项公式的特点： (1)有些数列的通项公式可以有不同形式，即不唯一。 (2)有些数列没有通项公式(如：素数由小到大排成一列2，3，5，7，11，...)。 3.递推公式：如果数列{an}的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式。 数列递推公式特点： (1)有些数列的递推公式可以有不同形式，即不唯一。 (2)有些数列没有递推公式。 有递推公式不一定有通项公式。 注：数列中的项必须是数，它可以是实数，也可以是复数。 1、ABC的三边a，b，c既成等比数列又成等差数列，则三角 形的形状是() A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 2、在等比数列{an}中，a6a5a7a548，则S10等于() A.1023 B.1024 C.511 D.512 3、三个数成等比数列，其积为1728，其和为38，则此三数为() A.3，12，48 B.4，16，27 C.8，12，18 D.4，12，36 4、一个三角形的三内角既成等差数列，又成等比数列，则三内角的公差等于() A.0 B.15 C.30 D.60 5、等差数列{an}中，a1，a2，a4恰好成等比数列，则a1的值是()a4 A.1 B.2 C.3 D.4 6、某种电讯产品自投放市场以来，经过三年降价，单价由原来的174元降到58元，这种电讯产品平均每次降价的百分率大约是() A.29% B.30% C.31% D.32% 7、若log4(x+2y)+log4(x-2y)=1，则∣x∣-∣y∣的最小值是。 (1)记数学笔记，特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师在课堂中拓展的课外知识。记录下来本章你觉得最有价值的思想方法或例题，以及你还存在的未解决的问题，以便今后将其补上。 (2)建立数学纠错本。把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再犯。争取做到：找错、析错、改错、防错。达到：能从反面入手深入理解正确东西;能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药;解答问题完整、推理严密。 (3)熟记一些数学规律和数学小结论，使自己平时的运算技能达到了自动化或半自动化的熟练程度。q a （D ）7.08.0,01-<<-
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