实验三 线性系统的根轨迹
实验三 线性系统的根轨迹
一、实验目的
1. 熟悉MATLAB 用于控制系统中的一些基本编程语句和格式。
2. 利用MATLAB 语句绘制系统的根轨迹。
3. 掌握用根轨迹分析系统性能的图解方法。
4. 掌握系统参数变化对特征根位置的影响。
二、基础知识及MATLAB 函数
根轨迹是指系统的某一参数从零变到无穷大时，特征方程的根在s 平面上的变化轨迹。这个参数一般选为开环系统的增益K 。课本中介绍的手工绘制根轨迹的方法，只能绘制根轨迹草图。而用MATLAB 可以方便地绘制精确的根轨迹图，并可观测参数变化对特征根位置的影响。 假设系统的对象模型可以表示为
11210111()()m m m m n n n n
b s b s b s b G s KG s K s a s b s a -+--++++==++++ 系统的闭环特征方程可以写成
01()0KG s +=
对每一个K 的取值，我们可以得到一组系统的闭环极点。如果我们改变K 的数值，则可以得到一系列这样的极点集合。若将这些K 的取值下得出的极点位置按照各个分支连接起来，则可以得到一些描述系统闭环位置的曲线，这些曲线又称为系统的根轨迹。
绘制系统的根轨迹rlocus （）
MATLAB 中绘制根轨迹的函数调用格式为:
rlocus(num,den) 开环增益k 的范围自动设定。
rlocus(num,den,k) 开环增益k 的范围人工设定。
rlocus(p,z) 依据开环零极点绘制根轨迹。
r=rlocus(num,den) 不作图，返回闭环根矩阵。
[r,k]=rlocus(num,den) 不作图，返回闭环根矩阵r 和对应的开环增益向量k 。
其中，num,den 分别为系统开环传递函数的分子、分母多项式系数，按s 的降幂排列。K 为根轨迹增益，可设定增益范围。
例3-1:已知系统的开环传递函数3
2(1)()429s G s K s s s *+=+++，绘制系统的根轨迹的matlab 的调用语句如下:
num=[1 1]; %定义分子多项式
den=[1 4 2 9]; %定义分母多项式
rlocus (num,den) %绘制系统的根轨迹
grid %画网格标度线
xlabel(‘Real Axis ’)；
ylabel(‘Imaginary Axis ’)； %给坐标轴加上说明
title(‘Root Locus ’) %给图形加上标题名 则该系统的根轨迹如图3-1（a ）所示。
若上例要绘制K 在（1，10）的根轨迹图，则此时的matlab 的调用格式如下，对应的根轨迹如图3-1（b ）所示。
num=[1 1]; den=[1 4 2 9];
k=1:0.5:10;
rlocus (num,den,k)
1）确定闭环根位置对应增益值K 的函数rlocfind （）
在MA TLAB 中，提供了rlocfind 函数获取与特定的复根对应的增益K 的值。在求出的根轨迹图上，可确定选定点的增益值K 和闭环根r （向量）的值。该函数的调用格式为:
[k,r]=rlocfind(num,den)
执行前，先执行绘制根轨迹命令rlocus （num,den ），作出根轨迹图。执行rlocfind 命令时，出现提示语句“Select a point in the graphics window ”，即要求在根轨迹图上选定闭环极点。将鼠标移至根轨迹图选定的位置，单击左键确定，根轨迹图上出现“+”标记，即得到了该点的增益K 和闭环根r 的返回变量值。
例3-2:系统的开环传递函数为23256()8325s s G s K s s s *
++=+++，试求:（1）系统的根轨迹；（2）系统稳定的K 的范围；（3）K=1时闭环系统阶跃响应曲线。则此时的matlab 的调用格式为:
G=tf([1,5,6],[1,8,3,25]);
rlocus (G); %绘制系统的根轨迹
[k,r]=rlocfind(G) %确定临界稳定时的增益值k 和对应的极点r
G_c=feedback(G ,1); %形成单位负反馈闭环系统
step(G_c) %绘制闭环系统的阶跃响应曲线
则系统的根轨迹图和闭环系统阶跃响应曲线如图3-2所示。
其中，调用rlocfind （）函数，求出系统与虚轴交点的K 值，可得与虚轴交点的K 值为0.0264，故系统稳定的K 的范围为(0.0264,)K ∈∞。
2）绘制阻尼比ζ和无阻尼自然频率n ω的栅格线sgrid( )
当对系统的阻尼比ζ和无阻尼自然频率n ω有要求时，就希望在根轨迹图上作等ζ或等n ω线。matlab 中实现这一要求的函数为sgrid( )，该函数的调用格式为:
sgrid(ζ,n ω) 已知ζ和n ω的数值，作出等于已知参数的等值线。
sgrid(‘new ’) 作出等间隔分布的等ζ和n ω网格线。
例3-3:系统的开环传递函数为1()(1)(2)
G s s s s =++，由rlocfind 函数找出能产生主导极点阻尼ζ=0.707的合适增益，如图3-3(a)所示。
G=tf(1,[conv([1,1],[1,2]),0]);
（a ） 完整根轨迹图形 （b ）特定增益范围内的根轨迹图形
图3-1 系统的根轨迹图形
zet=[0.1:0.2:1];wn=[1:10];
sgrid(zet,wn);hold on;rlocus(G)
[k,r]=rlocfind(G)
Select a point in the graphics window
selected_point =
-0.3791 + 0.3602i
k =
0.6233
r =
-2.2279
-0.3861 + 0.3616i
-0.3861 - 0.3616i
同时我们还可以绘制出该增益下闭环系统的阶跃响应，如图3-3(b)所示。事实上，等ζ或等n ω线在设计系补偿器中是相当实用的，这样设计出的增益K=0.6233将使得整个系统的阻
尼比接近0.707。由下面的MATLAB 语句可以求出主导极点，即r(2.3)点的阻尼比和自然频率为
G_c=feedback(G,1);
step(G_c)
（a ）根轨迹图形 （b ）K=1时的阶跃响应曲线 图3-2 系统的根轨迹和阶跃响应曲线
（a ）根轨迹上点的选择 （b ）闭环系统阶跃响应 图3-3 由根轨迹技术设计闭环系统
dd0=poly(r(2:3,:));
wn=sqrt(dd0(3));zet=dd0(2)/(2*wn);[zet,wn]
ans =
0.7299 0.5290
我们可以由图3-3(a)中看出，主导极点的结果与实际系统的闭环响应非常接近，设计的效果是令人满意的。
3）基于根轨迹的系统设计及校正工具rltool
matlab 中提供了一个系统根轨迹分析的图形界面，在此界面可以可视地在整个前向通路中添加零极点（亦即设计控制器），从而使得系统的性能得到改善。实现这一要求的工具为rltool ，其调用格式为:
rltool 或 rltool(G)
例3-4:单位负反馈系统的开环传递函数
20.125()(5)(20)(50)
s G s s s s s +=+++ 输入系统的数学模型，并对此对象进行设计。
den=[conv([1,5],conv([1,20],[1,50])),0,0];
num=[1,0.125];
G=tf(num,den);
rltool(G)
该命令将打开rltool 工具的界面，显示原开环模型的根轨迹图，如图3-4（a ）所示。单击该图形菜单命令Analysis 中的Response to Step Command 复选框，则将打开一个新的窗口，绘制系统的闭环阶跃响应曲线，如图3-4（b ）所示。可见这样直接得出的系统有很强的振荡，就需要给这个对象模型设计一个控制器来改善系统的闭环性能。
单击界面上的零点和极点添加的按钮，可以给系统添加一对共轭复极点，两个稳定零点，调整它们的位置，并调整增益的值，通过观察系统的闭环阶跃响应效果，则可以试凑地设计出一个控制器:
(38.31)(10.26)()181307.29(61.30.84)(61.30.84)C s s G s s j s j ++=+++- 在此控制器下分别观察系统的根轨迹和闭环系统阶跃响应曲线。可见，rltool
可以作为系 a ）原对象模型的根轨迹 （b ）闭环系统阶跃响应 图3-4 根轨迹设计工具界面及阶跃响应分析
统综合的实用工具，在系统设计中发挥作用。
三、实验内容
1．请绘制下面系统的根轨迹曲线
22()(22)(613)
K G s s s s s s =++++ 程序:
>> G=tf([1],[1 8 27 38 26 0]);
>> rlocus (G)
>> grid
>> [k,r]=rlocfind(G)
Select a point in the graphics window
selected_point =
0.0071 - 0.9627i
k = 28.7425
r =
-2.8199 + 2.1667i
-2.8199 - 2.1667i
-2.3313
-0.0145 + 0.9873i
-0.0145 - 0.9873i
稳定时:K ∈(0,28.7425)
2(12)()(1)(12100)(10)
K s G s s s s s +=++++
程序:
>>G=tf([1 12],[1 23 242 230 1000]);
>>rlocus (G)
>>grid
>>[k,r]=rlocfind(G)
Select a point in the graphics window
selected_point =
0.0118 + 5.8696i
k = 522.9427
r =
-11.5988 + 8.8196i
-11.5988 - 8.8196i
0.0988 + 5.8529i
0.0988 - 5.8529i
稳定时:K ∈(522.9427)
2(0.051)()(0.07141)(0.0120.11)
K G s s s s s +=+++ 程序:
>>G=tf([0.05 1],[0.0008568 0.01914 0.1714 1 0]); >> rlocus (G)
>> grid
>> [k,r]=rlocfind(G)
Select a point in the graphics window
selected_point =
0.0237 + 8.0745i
k = 7.2730
r =
-0.2055 + 8.3831i
-0.2055 - 8.3831i
-10.9640 + 0.7119i
-10.9640 - 0.7119i
稳定时K ∈(0,7.2730)
同时得出在单位阶跃负反馈下使得闭环系统稳定的K 值的范围。
2. 在系统设计工具rltool 界面中，通过添加零点和极点方法，试凑出上述系统，并观察增加极、零点对系统的影响。
四、实验报告
1．根据内容要求，写出调试好的MATLAB 语言程序，及对应的结果。
2. 记录显示的根轨迹图形，根据实验结果分析根轨迹的绘制规则。
3. 根据实验结果分析闭环系统的性能，观察根轨迹上一些特殊点对应的K 值，确定闭环系统稳定的范围。
4．根据实验分析增加极点或零点对系统动态性能的影响。
5．写出实验的心得与体会。
五、预习要求
1. 预习实验中的基础知识，运行编制好的MATLAB 语句，熟悉根轨迹的绘制函数rlocus()及分析函数rlocfind(),sgrid()。
2. 预习实验中根轨迹的系统设计工具rltool ，思考该工具的用途。
3. 掌握用根轨迹分析系统性能的图解方法，思考当系统参数K 变化时，对系统稳定性的影响。
4．思考加入极点或零点对系统动态性能的影响。
自控实验报告实验三 线性系统的根轨迹
实验三 线性系统的根轨迹 一、实验目的 1. 熟悉MATLAB 用于控制系统中的一些基本编程语句和格式。 2. 利用MATLAB 语句绘制系统的根轨迹。 3. 掌握用根轨迹分析系统性能的图解方法。 4. 掌握系统参数变化对特征根位置的影响。 二、实验报告 1．根据内容要求，写出调试好的MATLAB 语言程序，及对应的结果。 2. 记录显示的根轨迹图形，根据实验结果分析根轨迹的绘制规则。 3. 根据实验结果分析闭环系统的性能，观察根轨迹上一些特殊点对应的K 值，确定闭环系统稳定的范围。 4．写出实验的心得与体会。 三、实验内容 请绘制下面系统的根轨迹曲线同时得出在单位阶跃负反馈下使得闭环系统稳定的K 值的范围。 一、 ) 136)(22()(2 2 ++++=s s s s s K s G 1、程序代码： G=tf([1],[1,8,27,38,26]); rlocus (G); [k,r]=rlocfind(G) G_c=feedback(G,1); step(G_c) 2、实验结果：
-8-6 -4 -2 24 6 8 Root Locus Real Axis I m a g i n a r y A x i s selected_point = -8.8815 + 9.4658i k = 1.8560e+04 r = -10.2089 + 8.3108i -10.2089 - 8.3108i 6.2089 + 8.2888i 6.2089 - 8.2888i Time (seconds) A m p l i t u d e selected_point = -9.5640 - 7.6273i k = 1.3262e+04 r = -9.5400 + 7.6518i -9.5400 - 7.6518i 5.5400 + 7.6258i 5.5400 - 7.6258i Time (seconds) A m p l i t u d e
自动控制原理 题库 第四章 线性系统根轨迹 习题
4-1将下述特征方程化为适合于用根轨迹法进行分析的形式，写出等价的系统开环传递函数。 （1）210s cs c +++=，以c 为可变参数。 （2）3(1)(1)0s A Ts +++=，分别以A 和T 为可变参数。 （3）1()01I D P k k s k G s s s τ?? ++ + =? ?+? ? ，分别以P k 、I K 、T 和τ为可变参数。 4-2设单位反馈控制系统的开环传递函数为 (31)()(21) K s G s s s += + 试用解析法绘出开环增益K 从0→+∞变化时的闭环根轨迹图。 4-2已知开环零极点分布如下图所示，试概略绘出相应的闭环根轨迹图。 4-3设单位反馈控制系统的开环传递函数如下，试概略绘出相应的闭环根轨迹图（要求确定分离点坐标）。 （1）()(0.21)(0.51)K G s s s s = ++ （2）(1)()(21) K s G s s s +=+ （3）(5)()(2)(3) K s G s s s s += ++ 4-4已知单位反馈控制系统的开环传递函数如下，试概略绘出相应的闭环根轨迹图（要求算出起始角）。 （1）(2) ()(12)(12) K s G s s s j s j += +++- （2）(20) ()(1010)(1010) K s G s s s j s j +=+++-
4-5设单位反馈控制系统开环传递函数如为 * 2 ()()(10)(20) K s z G s s s s += ++ 试确定闭环产生纯虚根1j ±的z 值和*K 值。 4-6已知系统的开环传递函数为 * 2 2 (2)()()(49) K s G s H s s s += ++ 试概略绘出闭环根轨迹图。 4-7设反馈控制系统中 * 2 ()(2)(5) K G s s s s = ++ （1）设()1H s =，概略绘出系统根轨迹图，判断闭环系统的稳定性 （2）设()12H s s =+，试判断()H s 改变后的系统稳定性，研究由于()H s 改变所产生的影响。 4-8试绘出下列多项式的根轨迹 （1）322320s s s Ks K ++++= （2）323(2)100s s K s K ++++= 4-9两控制系统如下图所示，试问： （1）两系统的根轨迹是否相同？如不同，指出不同之处。 （2）两系统的闭环传递函数是否相同？如不同，指出不同之处。 （3）两系统的阶跃响应是否相同？如不同，指出不同之处。 4-10设系统的开环传递函数为 12 (1)(1) ()K s T s G s s ++= （1）绘出10T =，K 从0→+∞变化时系统的根轨迹图。 （2）在（1）的根轨迹图上，求出满足闭环极点阻尼比0.707ξ=的K 的值。 （3）固定K 等于（2）中得到的数值，绘制1T 从0→+∞变化时的根轨迹图。 （4）从（3）的根轨迹中，求出临界阻尼的闭环极点及相应的1T 的值。 4-11系统如下图所示，试 （1）绘制0β=的根轨迹图。 （2）绘制15K =，22K =时，β从0→+∞变化时的根轨迹图。 （3）应用根轨迹的幅值条件，求（2）中闭环极点为临界阻尼时的β的值。
自动控制理论系列课程
《自动控制理论》系列课程 课程介绍 （适用于05版教学计划） 电气与自动化工程学院《自动控制理论》课程组 2006．4
自动控制理论 A Automatic Control Theory: Part A 课程编号：04200220 总学时：72 课堂教学：72 实验/上机：0 学分：4.5 课程性质：技术基础课 选课对象：自动化专业、电气工程及其自动化专业必修，生物医学工程专业选修 先修课程：《电路理论》、《模拟电子技术》、《复变函数与积分变换》、《电机学A》、《电力拖动基础》等。 内容概要：介绍自动控制理论的基本原理和基本方法，是自动控制理论的经典部分。主要内容包括：线性定常连续系统数学模型的建立，控制系统的时域分析法、根轨迹法、 频域分析法，控制系统的校正方法；介绍采样控制系统的建模、分析与校正方法。建议选用教材：《自动控制原理》第四版，胡寿松主编，科学出版社，2001 主要参考书：《自动控制理论》第2版，夏德黔翁贻方编著，机械工业出版社，2004 《自动控制原理》，吴麒主编，清华大学出版社，1990 《现代控制工程》，绪方胜彦著，卢伯英等译，科学出版社，1984 《自动控制原理》，孙虎章主编，中央广播电视大学，1984 自动控制理论 B Automatic Control Theory:Part B 课程编号：04201631 总学时：56 课堂教学：56 实验/上机：0 学分：3.5 课程性质：专业课 选课对象：自动化专业选修 先修课程：《线性代数》、《自动控制理论A》 内容概要：介绍现代控制理论中的基础部分，包括系统的状态空间描述，线性控制系统的运动分析，控制系统的能控性、能观测性，控制系统的稳定性以及线性定常系统的 综合等内容。介绍经典控制理论中非线性系统的分析与计算，包括描述函数分析 法和相平面分析法。 建议选用教材：《现代控制理论基础》，王孝武主编，机械工业出版社，2003 《自动控制原理》第四版，胡寿松主编，科学出版社，2001 主要参考书：《自动控制理论》，夏德黔，翁贻方编著，机械工业出版社，2004 《现代控制理论基础》，王照林编，国防工业出版社，1981 《线性系统理论》，何关钰编，辽宁人民出版社，1982
第四章 线性系统的根轨迹法(下)
116 4-23 在带钢热轧过程中，用于保持恒定张力的控制系统称为“环轮”，其典型结构图如图4-47所示。环轮有一个0.6m ~0.9m 长的臂，其末端有一卷轴，通过电机可将环轮升起，以便挤压带钢。带钢通过环轮的典型速度为10.16m 。假设环轮位移变化与带钢张力的变化成正比，且设滤波器时间常数T 可略去不计。要求： (1) 概略绘出0a K <<∞时系统的根轨迹图； (2) 确定增益a K 的取值，使系统闭环极点的阻尼比0.707ζ≥。 (b) 图4-47 轧钢机控制系统 解 本题主要研究根轨迹的绘制及系统参数选择。 (1) 绘系统根轨迹图 电机与轧辊内回路的传递函数 ()()()12 0.250.25 10.250.5G s s s s = = +++ 令0T =，系统开环传递函数为 ()()()() ()() 2 2 2 0.50.50.510.51a K s K G s s s s s s s * += = ++++ 式中，0.5a K K *=。概略绘制根轨迹图的特征数据为： 渐近线：交点与交角 2.5 0.6254 a σ-= =- 45,135a ?=±± 分离点：由 11200.51 d d d ++=++ 解出 0.212d =-。 根轨迹与虚轴交点：闭环特征方程 ()()2 0.51s s s K *+++ 4322.520.50s s s s K *=++++= 列劳思表
117 4s 1 2 K * 3s 2.5 0.5 2s 1.8 K * 1s 0.9 2.51.8 K * - 0s K * 令0.9 2.50K *-=，得0.36K *=。令 21.80s K *+= 代入s j ω=及0.36K *=，解出0.447ω=。交点处 20.72a K K *== 系统概略根轨迹图如图(a)所示。 图(a) 概略根轨迹图 (2) 确定使系统0.707ζ≥的a K 在根轨迹图上，作0.707ζ=阻尼比线，得系统主导极点 1,20.1550.155s j =-± 利用模值条件，得1s 处的0.0612K * =；分离点d 处的0.0387K *=。由于2a K K *=，故取0.07740.1224a K <≤，可使0.7071ζ≤<；取0.0774a K ≤，可使1ζ≥。 ()()20.51010.5a K s s s +=++
线性系统的根轨迹法
第四章线性系统的根轨迹法 一、教学目的与要求： 本章讲述用闭环系统的特征根随系统参数变化的轨迹，来分析控制系统的特性，因此要求学生要掌握根轨迹作图方法的规则，并熟练运用这些规则绘制控制系统的根轨迹图。要让学生会利用根轨迹图分析系统的稳定性、动态特性、稳态特性。掌握怎样改善系统性能的方法。着重讨论根轨迹图的绘制，明确闭环传递函数极点与瞬态响应的关系，了解改变开环增益，增加开环传递函数零、极点对系统质量的影响。 二、授课主要内容： 1．根轨迹法的基本概念 1）闭环零、极点与开环零、极点之间的关系 2）根轨迹方程 2．根轨迹绘制的基本法则 3．广义根轨迹 1）参数根轨迹 2）零度根轨迹 4．系统性能的分析 （详细内容见讲稿） 三、重点、难点及对学生的要求（掌握、熟悉、了解、自学）（1）重点掌握的内容 1）熟练运用常规根轨迹的绘制法则。 2）熟练运用零度根轨迹的绘制法则。 3）正确理解单输入-单输出系统闭环零、极点和开环零极点与常规根轨迹的关系。 （2）一般掌握的内容 1）根轨迹上估计控制系统的性能。 2）广义根轨迹的概念。 3）偶极子、可略零极点的概念，主导极点的概念。
（3）一般了解的内容：根轨迹法则的证明推导过程。 四、主要外语词汇 根轨迹 root-locus 特征方程 characteristic equation 分离点 breakaway point 闭环极点 closed-loop poles 幅角条件 angle condition 模值条件 magnitude condition 实轴 real axis 虚轴 imaginary axis 五、辅助教学情况（见课件） 六、复习思考题 1.什么是根轨迹? 它有什么主要性质？如何把握根轨迹作图？ 2.利用图解法绘制根轨迹的8个规则是什么? 3.在根轨迹作图中，确定渐近线和分离点附近的根轨迹很关键，如何理解 有关它们的计算公式？ 4.如何绘制零度根轨迹？ 5.如何绘制参数根轨迹？ 6.控制系统的质量指标在根平面上该怎样表示? 7.什么是闭环主导极点？为什么可以用主导极点来估算闭环系统的质量？ 8.闭环极点为实根时响应曲线的形状如何？有共轭复根时响应曲线的形状 如何？ 9.开环零、极点的变化对控制系统的质量有什么影响？ 10.增加系统的开环零点（开环极点）对系统的性能有何影响？ 七、参考教材（资料） 1．《现代控制工程》绪方胜彦著（卢伯英佟明安罗维铭译）科学出版社参考该书第四章有关内容。 2．《自动控制原理》天津大学李光泉主编机械工业出版社
线性系统理论Matlab实践仿真报告
线性系统理论Matlab实验报告 1、本题目是在已知状态空间描述的情况下要求设计一个状态反馈控制器，从而使得系统具 有实数特征根，并要求要有一个根的模值要大于5，而特征根是正数是系统不稳定，这样的设计是无意义的，故而不妨设采用状态反馈后的两个期望特征根为-7，-9，这样满足题目中所需的要求。 （1）要对系统进行状态反馈的设计首先要判断其是否能控，即求出该系统的能控性判别矩阵，然后判断其秩，从而得出其是否可控； 判断能控程序设计如下： >> A=[-0.8 0.02;-0.02 0]; B=[0.05 1;0.001 0]; Qc=ctrb(A,B) Qc = 0.0500 1.0000 -0.0400 -0.8000 0.0010 0 -0.0010 -0.0200 Rc=rank(Qc) Rc =2 Qc = 0.0500 1.0000 -0.0400 -0.8000 0.0010 0 -0.0010 -0.0200 得出结果能控型判别矩阵的秩为2，故而该系统是完全可控的，故可以对其进行状态反馈设计。 （2）求取状态反馈器中的K，设的期望特征根为-7，-9； 其设计程序如下： >> A=[-0.8 0.02;-0.02 0]; B=[0.05 1;0.001 0]; P=[-7 -9]; k=place(A,B,P) k = 1.0e+003 * -0.0200 9.0000 0.0072 -0.4500 程序中所求出的k即为所求状态反馈控制器的状态反馈矩阵，即由该状态反馈矩阵所构成的状态反馈控制器能够满足题目要求。 2、（a）要求求该系统的能控型矩阵，并验证该系统是不能控的。
实验三 线性系统的根轨迹
实验三 线性系统的根轨迹 一、实验目的 1. 熟悉MATLAB 用于控制系统中的一些基本编程语句和格式。 2. 利用MATLAB 语句绘制系统的根轨迹。 3. 掌握用根轨迹分析系统性能的图解方法。 4. 掌握系统参数变化对特征根位置的影响。 二、基础知识及MATLAB 函数 根轨迹是指系统的某一参数从零变到无穷大时，特征方程的根在s 平面上的变化轨迹。这个参数一般选为开环系统的增益K 。课本中介绍的手工绘制根轨迹的方法，只能绘制根轨迹草图。而用MATLAB 可以方便地绘制精确的根轨迹图，并可观测参数变化对特征根位置的影响。 假设系统的对象模型可以表示为 11210111()()m m m m n n n n b s b s b s b G s KG s K s a s b s a -+--++++==++++ 系统的闭环特征方程可以写成 01()0KG s += 对每一个K 的取值，我们可以得到一组系统的闭环极点。如果我们改变K 的数值，则可以得到一系列这样的极点集合。若将这些K 的取值下得出的极点位置按照各个分支连接起来，则可以得到一些描述系统闭环位置的曲线，这些曲线又称为系统的根轨迹。 绘制系统的根轨迹rlocus （） MATLAB 中绘制根轨迹的函数调用格式为: rlocus(num,den) 开环增益k 的范围自动设定。 rlocus(num,den,k) 开环增益k 的范围人工设定。 rlocus(p,z) 依据开环零极点绘制根轨迹。 r=rlocus(num,den) 不作图，返回闭环根矩阵。 [r,k]=rlocus(num,den) 不作图，返回闭环根矩阵r 和对应的开环增益向量k 。 其中，num,den 分别为系统开环传递函数的分子、分母多项式系数，按s 的降幂排列。K 为根轨迹增益，可设定增益范围。 例3-1:已知系统的开环传递函数3 2(1)()429s G s K s s s *+=+++，绘制系统的根轨迹的matlab 的调用语句如下: num=[1 1]; %定义分子多项式 den=[1 4 2 9]; %定义分母多项式 rlocus (num,den) %绘制系统的根轨迹 grid %画网格标度线 xlabel(‘Real Axis ’)； ylabel(‘Imaginary Axis ’)； %给坐标轴加上说明 title(‘Root Locus ’) %给图形加上标题名 则该系统的根轨迹如图3-1（a ）所示。 若上例要绘制K 在（1，10）的根轨迹图，则此时的matlab 的调用格式如下，对应的根轨迹如图3-1（b ）所示。 num=[1 1]; den=[1 4 2 9];
自动控制原理-线性系统的根轨迹实验报告
线性系统的根轨迹 一、 实验目的 1． 熟悉MATLAB 用于控制系统中的一些基本编程语句和格式。 2． 利用MATLAB 语句绘制系统的根轨迹。 3． 掌握用根轨迹分析系统性能的图解方法。 4． 掌握系统参数变化对特征根位置的影响。 二、 实验容 1． 请绘制下面系统的根轨迹曲线。 ) 136)(22()(22++++=s s s s s K s G ) 10)(10012)(1()12()(2+++++=s s s s s K s G )11.0012.0)(10714.0()105.0()(2++++= s s s s K s G 同时得出在单位阶跃负反馈下使得闭环系统稳定的K 值的围。 2． 在系统设计工具rltool 界面中，通过添加零点和极点方法，试凑出上述系统，并 观察增加极、零点对系统的影响。 三、 实验结果及分析 1.（1） ) 136)(22()(22++++=s s s s s K s G 的根轨迹的绘制： MATLAB 语言程序： num=[1];
den=[1 8 27 38 26 0]; rlocus(num,den) [r,k]=rlocfind(num,den) grid xlabel('Real Axis'),ylabel('Imaginary Axis') title('Root Locus') 运行结果： 选定图中根轨迹与虚轴的交点，单击鼠标左键得： selected_point = 0.0021 + 0.9627i k = 28.7425 r = -2.8199 + 2.1667i -2.8199 - 2.1667i -2.3313 -0.0145 + 0.9873i
线性系统的根轨迹分析
实验二 线性系统的根轨迹分析 一、实验目的 1、掌握使用MATLAB 绘制控制系统根轨迹图的方法； 2、掌握根据根轨迹法对控制系统进行性能分析方法。 二、实验仪器设备 Pc 机一台，MATLAB 软件。 三、实验内容 1、已知一负反馈系统的开环传递函数为： ()()(0.11)(0.51) K G s H s s s s = ++求： （1）绘制根轨迹。 （2）选取根轨迹与徐州的交点，并确定系统稳定的根轨迹增益K 的范围。 （3）确定分离点的超调量p M 及开环增益K 。 （4）用时域响应曲线验证系统稳定的根轨迹增益K 的范围。 （5）分析根轨迹的一般规律。 2、已知系统的开环传递函数为： 22(431) ()(351) K s s G s s s s ++= ++ 求： （1）绘制系统的根轨迹。 （2）选择系统当阻尼比ξ=0.7时系统闭环极点的坐标值及增益K 值。 （3）分析系统性能。 四、实验结果 负反馈系统的开环传递函数为： ()()(0.11)(0.51)K G s H s s s s = ++ 1、根轨迹
2、理论计算： 根轨迹的基本性质和绘制规则如下： 规则一 系统根轨迹的各条分支是连续的，而且对称于实轴。 规则二 当K=0时，根轨迹的各条分支从开环极点出发；当K→∞，有m 条分支趋向于开环零点，另外有n-m 条分支趋向无穷远处。 可知，K=0时，3条根轨迹分别从开环极点（0, j0）、（-10,j0）和（-2,j0）出发，由于无开环零点，3条根轨迹趋向于无穷远处。 规则三 在s 平面实轴的线段上存在根轨迹的条件是，在这些线段右边的开环零点和开环极点的数目之和为奇数。 可知，根轨迹在实轴上存在的部分为[-∞,-10]和[-2,0]。 规则四 根轨迹中趋向于无穷远处的n-m 条分支的渐近线的相角为： (21)180a q n m φ+?=± - 0,1,2,,q n m =-- 可知，两条根轨迹无穷远时趋向的渐近线斜率相角为±60°。 规则五 伸向无穷远处的根轨迹的渐近线与实轴交于一点，交点的坐标为： 11 ( ,0)n m i j i j p z j n m ==--∑∑。 可知，渐近线与实轴交点为1020 ( ,0)(6,0)2 j j ---=-
第五课 线性系统的根轨迹法
第五课 线性系统的根轨迹法 教学目的： 1．熟练掌握使用MATLAB 绘制根轨迹图形的方法。 2．进一步加深对根轨迹图的了解。 3．掌握利用所绘制根轨迹图形分析系统性能的方法。 教学内容： 1．用实验的方法求解根轨迹。 在Matlab 控制系统工具箱中提供了rlocus()函数，来绘制根轨迹，rlocus()的调用格式为： r=rlocus(g,k); 式中的g 为线性系统的数学模型；k 为用户自己选择的增益向量；返回的变量r 为根轨迹上对应向量k 的各个增益点的闭环系统的根。 如果用户不给出k 向量，则该函数会自动选择增益向量，在这种情况下，该函数的调用格式为： [r,k]=rlocus(g); 式中向量k 为自动生成的增益向量，r 仍为对应各个k 值的闭环系统的特征根。 例1 系统1的开环传递函数为：) 15.0)(12.0()(++=s s s K s G K 要求：（1）绘制并记录根轨迹； （2）确定根轨迹的分离点与相应的根轨迹增益； （3）确定临界稳定时的根轨迹增益。 （1）参考程序： K=1; z=[];
p=[0,-5,-2]; [num,den]=zp2tf(z,p,K); rlocus(num,den) Matlab运行时出现的根轨迹图形窗口中，可以用鼠标单击所关心的根轨迹上的点，就出现有关这一点的信息，包括相应增益、极点位置、阻尼参数、超调量、自然频率。
例2系统开环传递函数)2()(2 n n s s K s G ?ωω+=中引入一个附加的极点s=-a ，即系统的 开环传递函数变为) )(2()(2 a s s s Ka s G n n ++=?ωω 给出5.0,/2==?ωs rad n ，a 分别为1，3，5时系统的根轨迹变化曲线。 参考程序： clear clc wn=2; xita=0.5; a=[1,3,5]; for i=1:length(a) G=tf(a(i)*wn^2,conv([1,2*xita*wn,0],[1,a(i)])); rlocus(G); axis([-8,5,-5,5]) hold on disp('press any key to continue.') pause%系统暂停，按任意键继续 end
系统的能控性、能观测性、稳定性分析
实 验 报 告 课程 线性系统理论基础 实验日期 年 月 日 专业班级 学号 同组人 实验名称 系统的能控性、能观测性、稳定性分析及实现 评分 批阅教师签字 一、实验目的 加深理解能观测性、能控性、稳定性、最小实现等观念。掌 握如何使用MATLAB 进行以下分析和实现。 1、系统的能观测性、能控性分析； 2、系统的稳定性分析； 3、系统的最小实现。 二、实验内容 （1）能控性、能观测性及系统实现 （a ）了解以下命令的功能；自选对象模型，进行运算，并写出结 果。 gram, ctrb, obsv, lyap, ctrbf, obsvf, minreal ； （b ）已知连续系统的传递函数模型，18 2710)(23++++=s s s a s s G ，当a 分别取-1，0，1时，判别系统的能控性与能观测性；
（c ）已知系统矩阵为???? ??????--=2101013333.06667.10666.6A ，??????????=110B ，[]201=C ，判别系统的能控性与能观测性； （d ）求系统18 27101)(23++++= s s s s s G 的最小实现。 （2）稳定性 （a ）代数法稳定性判据 已知单位反馈系统的开环传递函数为：) 20)(1()2(100)(+++=s s s s s G ，试对系统闭环判别其稳定性 （b ）根轨迹法判断系统稳定性 已知一个单位负反馈系统开环传递函数为 ) 22)(6)(5()3()(2+++++=s s s s s s k s G ，试在系统的闭环根轨迹图上选择一点，求出该点的增益及其系统的闭环极点位置，并判断在该点系统闭环的稳定性。 （c ）Bode 图法判断系统稳定性 已知两个单位负反馈系统的开环传递函数分别为 s s s s G s s s s G 457.2)(,457.2)(232231-+=++= 用Bode 图法判断系统闭环的稳定性。 （d ）判断下列系统是否状态渐近稳定、是否BIBO 稳定。 []x y u x x 0525,100050250100010-=????? ?????+??????????-=
实验六-线性系统的根轨迹分析
《自动控制理论》 实验报告 专业：电气工程及其自动化班号：1406111 学号：1140610319 姓名：赵元胜 电气工程及其自动化实验中心 二〇一六年十二月
实验六线性系统的根轨迹分析 一、实验目的 1、掌握使用MATLAB 绘制控制系统根轨迹图的方法； 2、掌握根据根轨迹法对控制系统进行性能分析方法； 二、实验设备 Pc 机一台，MA TLAB 软件。 三、实验举例 已知系统开环传递函数为 ) 2)(1()()(++=s s s K s H s G 求：绘制控制系统的根轨迹图，并分析根轨迹的一般规律。 解：1、绘制控制系统的根轨迹图 MATLAB 提供rlocus()函数来绘制系统的根轨迹图，其调用格式为 rlocus(num ，den)或[k ，p]=rlocusfind(num ，den) 在MATLAB 命令窗口>>提示符号下键入：（符号?表示回车） >>k=[1]? >>z=[]? >>p=[0 -1 -2]? >>[num,den]=zp2tf(z ，p ，k)? 零极点模型转化为多项式模型 >>rlocus(num ，den)? 绘制控制系统的根轨迹图 >>grid ? 绘制坐标 屏幕显示系统的根轨迹图形 2.分析根轨迹的一般规律 1）根轨迹3条，分别从起点（0，0）、（-1，0）和（-2，0）出发，随着k 值从0→∞变化，趋向无穷远处。 2）位于负实轴上的根轨迹（-∞，-2）和（-1，0）区段，其对应的阻尼ζ>1，超调量为0，系统处于过阻尼状态而且在远离虚轴的方向，增益k 增大，振荡频率ωn 随之提高，系统动态衰减速率相应增大。 3）在根轨迹分离点（-0.432，0）处，对应的阻尼ζ=1，超调量为0，开环增益K=0.385，系统处于临界阻尼状态。 4）根轨迹经过分离点后离开实轴，朝s 右半平面运动。当根轨迹在分离点与虚轴这个区间时，闭环极点由实数点变为共轭复数点，对应阻尼0<ζ<1，超调量越靠近虚轴越大，系统处于欠阻尼状态，其动态响应将出现衰减震荡，而越靠近实轴，增益K 越大，阻尼越小，振荡频率ωn 越高，振荡衰减越大。
线性系统理论MATLAB大作业.(DOC)
兰州理工大学2015级线性系统理论大作业 线性系统理论Matlab 实验报告 1、在造纸流程中，投料箱应该把纸浆流变成2cm 的射流，并均匀喷洒在网状传送带上。为此，要精确控制喷射速度和传送速度之间的比例关系。投料箱内的压力是需要控制的主要变量，它决定了纸浆的喷射速度。投料箱内的总压力是纸浆液压和另外灌注的气压之和。由压力控制的投料箱是个耦合系统，因此，我们很难用手工方法保证纸张的质量。 在特定的工作点上，将投料箱线性化，可以得到下面的状态空间模型： u x x ?? ????+??????-+-=0001.0105.0002.002.08.0. []21,x x y = 其中，系统的状态变量x1=液面高度，x2=压力，系统的控制变量u1=纸浆流量u2=气压阀门的开启量。在上述条件下，试设计合适的状态变量反馈控制器，使系统具有实特征根，且有一个根大于5 解：本题目是在已知状态空间描述的情况下要求设计一个状态反馈控制器，从而使得系统具有实数特征根，并要求要有一个根的模值要大于5，而特征根是正数时系统不稳定，这样的设计是无意义的，故而不妨采用状态反馈后的两个期望特征根为-7，-6，这样满足题目中所需的要求。要对系统进行状态反馈的设计首先要判断其是否能控，即求出该系统的能控性判别矩阵，然后判断其秩，从而得出其是否可控。 Matlab 判断该系统可控性和求取状态反馈矩阵K 的程序,如图1所示，同时求得加入状态反馈后的特征根并与原系统的特征根进行了对比。
图1系统能控性、状态反馈矩阵和特征根的分析程序上述程序的运行结果如图2所示： 图2系统能控性、反馈矩阵和特征根的运行结果
线性系统的根轨迹分析
自动控制原理课程实验报告 实验题目：线性系统的根轨迹分析 1.实验目的 1．根据对象的开环传函，做出根轨迹图。 2．掌握用根轨迹法分析系统的稳定性。 3．通过实际实验，来验证根轨迹方法。 2.实验设备 PC 机一台，TD-ACC+( 或TD-ACS)教学实验系统一套。3.1 实验原理及内容 1 ．实验对象的结构框图：如图 2.1-1 所示。 2 ．模拟电路构成：如图 2.1-2 所示
3 ．绘制根轨迹 (1) 由开环传递函数分母多项式 S(S+1)(0.5S+1) 中最高阶次 n ＝ 3 ，故根轨迹分支数为 3 。开环有 个极点： p1＝0 ,p2＝－1 ,p3＝－2 (2) 实轴上的根轨迹： ① 起始于 0 、 － 1 、 － 2 ，其中 － 2 终止于无穷远处。 ②起始于 0 和 － 1 的两条根轨迹在实轴上相遇后分离，分离点为 显然 S2 不在根轨迹上，所以 S1 为系统的分离点，将 S1＝－ 0.422 代入特征方程 S(S+1)(0.5S+1)＋K 中，得 K ＝0.193 (3) 根轨迹与虚轴的交点 将 S = j W 代入特征方程可得： 4 ．根据根轨迹图分析系统的稳定性 根据图 2.1-3 所示根轨迹图，当开环增益 K 由零变化到无穷大时，可以获得系统的下 述性能： R ＝ 500/K
(1)当K＝3 ；即R＝166 KΩ时，闭环极点有一对在虚轴上的根，系统等幅振荡， 临界稳定。 (2)当K > 3 ；即R < 166 KΩ时，两条根轨迹进入S 右半平面，系统不稳定。 (3)当0 < K < 3 ；即R >166 KΩ时，两条根轨迹进入S 左半平面，系统稳定。 上述分析表明，根轨迹与系统性能之间有密切的联系。利用根轨迹不仅能够分析闭环系统的动态性能以及参数变化对系统动态性能的影响，而且还可以根据对系统暂态特性的要求确定可变参数和调整开环零、极点位臵以及改变它们的个数。这就是说，根轨迹法可用来解决线性系统的分析和综合问题。由于它是一种图解求根的方法，比较直观，避免了求解高阶系统特征根的麻烦，所以，根轨迹在工程实践中获得了广泛的应用。 3.2实验步骤1．绘制根轨迹图：实验前根据对象传函画出对象的根轨迹图，对其稳定性及暂态性能做出理论上的判断。并确定各种状态下系统开环增益K 的取值及相应的电阻值R。2．将信号源单元的“ ST”端插针与“ S”端插针用“短路块”短接。由于每个运放单元均设臵了锁零场效应管，所以运放具有锁零功能。将开关设在“方波”档，分别调节调幅和调频电位器，使得“ OUT”端输出的方波幅值为1V ，周期为10s 左右。注意：实验过程中，由于“ ST ”端和“ S ”端短接，运放具有锁零功能。而该对象的响应时间较长，看不全整个响应过程，此时只需在响应过程中将信号源中的“ST ” 端和“S ”端之间的短路块拔掉即可。 3．按模拟电路图2.1-2 接线，并且要求对系统每个环节进行整定，详见附录一；将2 中的方波信号加至输入端。 4．改变对象的开环增益，即改变电阻R 的值，用示波器的“ CH1”和“CH2”表笔分别 测量输入端和输出端，观察对象的时域响应曲线，应该和理论分析吻合。注意：此次实验中对象须严格整定，否则可能会导致和理论值相差较大。
现代控制理论课程报告
现代控制理论课程总结 学习心得 从经典控制论发展到现代控制论,是人类对控制技术认识上的一次飞跃。现代控制论是用状态空间方法表示,概念抽象,不易掌握。对于《现代控制理论》这门课程，在刚拿到课本的时候，没上张老师的课之前，咋一看，会认为开课的内容会是上学期学的控制理论基础的累赘或者简单的重复，更甚至我还以为是线性代数的复现呢！根本没有和现代控制论联系到一起。但后面随着老师讲课的风格的深入浅出，循循善诱，发现和自己想象的恰恰相反，张老师以她特有的讲课风格，精心准备的ppt 课件，向我们展示了现代控制理论发展过程，以及该掌握内容的方方面面，个人觉得，我们不仅掌握了现代控制理论的理论知识，更重要的是学会了掌握这门知识的严谨的逻辑思维和科学的学习方法，对以后学习其他知识及在工作上的需要大有裨益，总之学习了这门课让我受益匪浅。 由于我们学习这门课的课时不是很多，并结合我们学生学习的需求及所要掌握的课程深入程度，张老师根据我们教学安排需要，我们这学期学习的内容主要有：1.绪论；2.控制系统的状态表达式；3.控制系统状态表达式的解；4.线性系统的能空性和能观性；5.线性定常系统的综合。而状态变量和状态空间表达式、状态转移矩阵、系统的能控性与能观性以及线性定常系统的综合是本门课程的主要学习内容。当然学习的内容还包括老师根据多年教学经验及对该学科的研究的一些深入见解。 在现代科学技术飞速发展中,伴随着学科的高度分化和高度综合,各学科之间相互交叉、相互渗透,出现了横向科学。作为跨接于自然科学和社会科学的具有横向科学特点的现代控制理论已成为我国理工科大学高年级的必修课。 经典控制理论的特点 经典控制理论以拉氏变换为数学工具，以单输入－单输出的线性定常系统为主要的研究对象。将描述系统的微分方程或差分方程变换到复数域中，得到系统的传递函数，并以此作为基础在频率域中对系统进行分析和设计，确定控制器的结构和参数。通常是采用反馈控制，构成所谓闭环控制系统。经典控制理论具有明显的局限性，突出的是难以有效地应用于时变系统、多变量系统，也难以揭示系统更为深刻的特性。当把这种理论推广到更为复杂的系统时，经典控制理论就显得无能为力了，这是因为它的以下几个特点所决定。 1．经典控制理论只限于研究线性定常系统，即使对最简单的非线性系统也是无法处理的；这就从本质上忽略了系统结构的内在特性，也不能处理输入和输出皆大于1的系统。实际上，大多数工程对象都是多输入－多输出系统，尽管人们做了很多尝试，但是，用经典控制理论设计这类系统都没有得到满意的结果；2．经典控制理论采用试探法设计系统。即根据经验选用合适的、简单的、工程上易于实现的控制器，然后对系统进行分析，直至找到满意的结果为止。虽然这种设计方法具有实用等很多完整，从而促使现代控制理论的发展：对经典理论的精确化、数学化及理论化。优点，但是，在推理上却是不能令人满意的，效果也
自动控制根轨迹实验(二)
2 线性系统的根轨迹研究 2.1 实验目的 （1） 考察闭环系统根轨迹的一般形成规律。 （2） 观察和理解引进零极点对闭环根轨迹的影响。 （3） 观察、理解根轨迹与系统时域响应之间的联系。 （4） 初步掌握利用产生根轨迹的基本指令和方法。 2.2 实验内容 根轨迹绘制的指令法、交互界面法；复平面极点分布和系统响应的关系。 已知单位负反馈系统的开环传递函数为2 )^54()2()(2+++=s s s K s G K(s+2)/(s^4+8s^3+26s^2+40s+25)，实验要求： （1） 试用MATLAB 的rlocus 指令，绘制闭环系统根轨迹。（要求写出指令，并绘出图形。） G=tf （2） 利用MATLAB 的rlocfind 指令，确定根轨迹的分离点、根轨迹与虚轴的交点。（要求写出指令，并给出结果。） （3） 利用MATLAB 的rlocfind 指令,求出系统临界稳定增益,并用指令验证系统的稳定性。 （4） 利用SISOTOOL 交互界面，获取和记录根轨迹分离点、根轨迹与虚轴的交点处的关键参数，并与前面所得的结果进行校对验证。（要求写出记录值，并给出说明。） （5） 在SISOTOOL 界面上，打开闭环的阶跃响应界面，然后用鼠标使闭环极点（小红方块）从开环极点开始沿根轨迹不断移动，在观察三个闭环极点运动趋向的同时，注意观察系统阶跃响应的变化。根据观察，（A ）写出响应中出现衰减振荡分量时的K 的取值范围，（B ）写出该响应曲线呈现“欠阻尼”振荡型时的K 的取值范围。 （6） 添加零点或极点对系统性能的影响，以二阶系统为例开环传递函数 ) 6.0(1)(2s s s G += 添加零点，增加系统阻尼数，超调量减小，在sisotool 界面上做仿真，写出未添加零点时系统的超调量，峰值，调节时间，添加零点后系统的超调量，峰值，调节时间，并写出系统添加零点的数值，并进行理论分析。(选做)
1_用MATLAB处理线性系统数学模型
实验二 用MATLAB 处理线性系统数学模型 [说明] 一个控制系统主要由被控对象、测量装置、控制器和执行器四大部分构成。MATLAB 软件的应用对提高控制系统的分析、设计和应用水平起着十分重要的作用。采用MATLAB 软件仿真的关键问题之一是在MATLAB 软件平台上怎样正确表示被控对象的数学模型。 [实验目的] 1．了解MATLAB 软件的基本特点和功能； 2．掌握线性系统被控对象传递函数数学模型在MATLAB 环境下的表示方法及转换； 3．掌握多环节串联、并联、反馈连接时整体传递函数的求取方法； 4． 掌握在SIMULINK 环境下系统结构图的形成方法及整体传递函数的求取方法； 5．了解在MATLAB 环境下求取系统的输出时域表达式的方法。 [实验指导] 一、被控对象模型的建立 在线性系统理论中，一般常用的描述系统的数学模型形式有： （1）传递函数模型——有理多项式分式表达式 （2）传递函数模型——零极点增益表达式 （3）状态空间模型（系统的内部模型） 这些模型之间都有着内在的联系，可以相互进行转换。 1、传递函数模型——有理多项式分式表达式 设系统的传递函数模型为 111011 1......)()()(a s a s a s a b s b s b s b s R s C s G n n n n m m m m ++++++++= =---- 对线性定常系统，式中s 的系数均为常数，且a n 不等于零。 这时系统在MATLAB 中可以方便地由分子和分母各项系数构成的两个向量唯一地确定，这两个向量常用num 和den 表示。 num=[b m ,b m-1,…,b 1,b 0] den=[a n ,a n-1,…,a 1,a 0]
MATLAB线性系统的根轨迹实验
M A T L A B线性系统的根 轨迹实验 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
实验报告 实验名称 线性系统的根轨迹 一、实验目的 1.熟悉MATLAB 用于控制系统中的一些基本编程语句和格式。 2.利用MATLAB 语句绘制系统的根轨迹。 3.掌握用根轨迹分析系统性能的图解方法。 4.掌握系统参数变化对特征根位置的影响。 二、实验内容 1．请绘制下面系统的根轨迹曲线 ) 136)(22()(22++++=s s s s s K s G ) 10)(10012)(1()12()(2+++++=s s s s s K s G 2(0.051)()(0.07141)(0.0120.11) K s G s s s s s +=+++ 同时得出在单位阶跃负反馈下使得闭环系统稳定的K 值的范围。 2. 在系统设计工具rltool 界面中，通过添加零点和极点方法，试凑出上述系统，并观察增加极、零点对系统的影响。 三、实验结果及分析 1．请绘制下面系统的根轨迹曲线 ) 136)(22()(22++++=s s s s s K s G ) 10)(10012)(1()12()(2+++++=s s s s s K s G 2(0.051)()(0.07141)(0.0120.11) K s G s s s s s +=+++ 同时得出在单位阶跃负反馈下使得闭环系统稳定的K 值的范围。
（1）>> num=[0 0 1]; >> den=[conv([1,2,2],[1,6,13]),0]; >> rlocus (num,den) >> [k,r]=rlocfind(num,den) Select a point in the graphics window selected_point = + k = r = + - + - 使得闭环系统稳定K的范围为)4. K 31 ,0(
实验四 线性系统的根轨迹
姓名: 学号: 得分: 实验四 线性系统的根轨迹 一、实验目的 1. 熟悉MATLAB 用于控制系统中的一些基本编程语句和格式。 2. 利用MATLAB 语句绘制系统的根轨迹。 3. 掌握用根轨迹分析系统性能的图解方法。 4. 掌握系统参数变化对特征根位置的影响。 二、基础知识及MATLAB 函数 根轨迹是指系统的某一参数从零变到无穷大时，特征方程的根在s 平面上的变化轨迹。这个参数一般选为开环系统的增益K 。课本中介绍的手工绘制根轨迹的方法，只能绘制根轨迹草图。而用MATLAB 可以方便地绘制精确的根轨迹图，并可观测参数变化对特征根位置的影响。 假设系统的对象模型可以表示为 1121 0111()()m m m m n n n n b s b s b s b G s KG s K s a s b s a -+--++++==++++ 系统的闭环特征方程可以写成 01()0KG s += 对每一个K 的取值，我们可以得到一组系统的闭环极点。如果我们改变K 的数值，则可以得到一系列这样的极点集合。若将这些K 的取值下得出的极点位置按照各个分支连接起来，则可以得到一些描述系统闭环位置的曲线，这些曲线又称为系统的根轨迹。 绘制系统的根轨迹rlocus （） MATLAB 中绘制根轨迹的函数调用格式为: rlocus(num,den) 开环增益k 的范围自动设定。 rlocus(num,den,k) 开环增益k 的范围人工设定。 rlocus(p,z) 依据开环零极点绘制根轨迹。 r=rlocus(num,den) 不作图，返回闭环根矩阵。 [r,k]=rlocus(num,den) 不作图，返回闭环根矩阵r 和对应的开环增益向 量k 。 其中，num,den 分别为系统开环传递函数的分子、分母多项式系数，按s 的降幂排列。K 为根轨迹增益，可设定增益范围。 例3-1:已知系统的开环传递函数32(1) ()429 s G s K s s s * +=+++，绘制系统的根轨迹的matlab 的调用语句如下: num=[1 1]; %定义分子多项式 den=[1 4 2 9]; %定义分母多项式 rlocus (num;den) %绘制系统的根轨迹 grid %画网格标度线 xlabel(‘Real Axis ’),ylabel(‘Imaginary Axis ’) %给坐标轴加上说明 title(‘Root Locus ’) %给图形加上标题名 则该系统的根轨迹如图3-1（a ）所示。 若上例要绘制K 在（1，10）的根轨迹图，则此时的matlab 的调用格式如下，对应的根轨迹如图3-1（b ）所示。