10道经典球的接切问题及详解[1]

球的接切问题

1.若三棱锥S-ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，AB=2，SA=SB=SC=2，则该三棱锥的外接球的球心到平面ABC的距离为

C.1

D.

答案：D.图解如下——

解决球问题时，未必将球画出来，增强我们的空间想象能力. OA

OS

=，即

2

22

12

23

x x x

??

+=?-?=

?

??

.

2011-12-6 wht 2. 已知正三棱椎P ABC

-的体积为

2

外接球球心为O，且满足0

OA OB OC

++=则正三棱锥P ABC

-的外接球的半径为

A.

1

B. C. D. 2

答案：B，由0

OA OB OC

++=

得出球心O为△ABC的中心，于是锥高为球半径，故2

11

3sin120

32

r r

??

???

?=

?

??

，推出r=.

3.已知一个三棱锥的三视图如图2所示，

其中俯视图是等腰直角三角形，则该

三棱锥的外接球体积为

．

答案：.

（源自2011年沈阳市二模文科16题）

俯视图

4.已知一个三棱锥的三视图如图2所示， 其中俯视图是顶角为120的等腰三角形， 则该三棱锥的外接球体积为 ．

（源自2011年沈阳市二模理科16题）

答案：

3

.寻求球心是关键，模仿圆心确定的方

式，来确定球心——

先确定底面的圆心（球的小圆圆心）1O ，球心必然在过1O 且垂直于平面ABC 的垂线上，如图，1

1

12

OO PA =

=，圆1O 的半径可以通过正弦定理得到1O A =2

故球体积为

3

.

1

B

2011-12-7 wht 解析

5.已知球的直径SC=4，A,B 是该球球面上的两点，AB=3，?=∠=∠30BSC ASC ，则棱锥S-ABC 的体积为（2011辽宁高科理科12）

（A ）33 （B ）32 （C ）3 （D ）

1 答案：C.

提示：对体进行分割，由A 作AN ⊥SC 于N ，连接BN ，以截面为底求体积.如图——

2011-12-3 wht 解析

6.将4个半径为1的球装入正四面体型容器内，则此容器的最小高度为 .（2011届

马瑞瑶问题）

答案：4+

提示：分层处理——

（1）最上层的小球相当于正四面体内切球，143

r

a =?，而r=1，从而a =，

所以此小球球心到四面体顶点距离为

3343

??=； （2）中间层是上层小球球心到下面三球球心距离为以2r 为棱长的正四面体的高

233

r ?=

； （3）最下层是下层球心到底面距离为r=1.

故整个大正四面体容器的最小高度为. 说明：立体几何的接切问题最终转化为规则几何体（正方体、长方体、正四面体、正

三棱锥）的问题处理，这是不变的规则.

2011-12-6 wht 再解析

7.在四面体ABC S -中，BC AB ⊥，2==BC AB ，2==SC SA ，二面角B

AC S --的余弦值是3

3

-

，则该四面体外接球的表面积是（源自2012届育才高中部五模理科11题） A.π68 B.π6 C.π24 D.π6

答案：D.

方法一：还原到几何体中——

B

依据已知条件研究各个棱长得出联想到正方体的棱间关系，容易将图形还原．．到原几何体．．．．．

——正方体中.如图——

B

问题迎刃而解.

方法二：若是不能还原到正方体，我们也可以这样考虑：计算得出SO

1在面ABC 内的射影到O 1的距离为1，即

DO 1=1，刚好为小圆的半径，∴SD 为球的一条弦，计算其长度为

2

.

.

点评：利用圆的截面性质找圆心是必须掌握的能力。

8．如图，平面四边形ABCD 中，1===CD AD AB ，CD BD BD ⊥=,2，将其沿对角线

BD 折成四面体BCD A -'，使平面⊥BD A '平面BCD ，

若四面体BCD A -'顶点在同一个球面上，则该球的体积为（源自2012届育才双语高三理科最后一卷） A ．

π23 B ．π3 C ．π3

2

D ．π2 D

C

B

A '

D C

B

A

答案：A . 球心如何确定？主要依据是球的界面性质：过截面圆心与截面垂直的直线必过球心.球心在过BC 中点的平面BCD 的垂线上，且在过BD 中点M 的平面ABD 的垂线上，两面垂直，所以两垂线交点为N ，于是半径可定，体积易算，如图

另外：如果注意到CD ⊥AD ，AD ⊥AB ，联想到长方体中的棱的特征，不难有补体的想法，如图——

D A'

（2012-12-17再次输入）

2012-5-28 wht

变式训练：

如图所示，三棱锥P-ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，PA=AC=2，则三棱锥P-ABC 的外接球的体积为（源自2013年高一期末检测题T12）

C

A.

34π B. 38π C. 3

2π

D.π2 答案：A.提示：补成长方体得解.

2013-1-21 wht

9.一个正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为3，五个顶点都在同一个球面上，则此球的表面积为 . 答案：9π.

C

B

A

设外接球半径为R ，在△OO 1A 中有()2

2

21+R R -=解得32

R

=

. ∴=9S π球.

说明：在本题的解决上学生不易判定出球心在体外这一事实.

2012-9-11 wht

10．高为

4

的四棱锥S-ABCD 的底面是边长为1的正方形，点S 、A 、B 、C 、D 均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD

的中心与顶点S 之间的距离为（源自2011年重庆9题）

A ．

4

B ．

2

C ．1

D 答案：C.

提示：由正方形边长为1及球半径为1

得出球心到正方形的距离为

2

，而锥高为

1

=

422

S在球心O与正方形所在截面圆圆心O连线的中垂面上【不可能在

其他位置的原因是+

42

】，如图，这样问题变得非常简单——答案与半径等长.

2012-12-17wht再次输入11.已知有半径分别为2、3的球各两个，且这四个球彼此相外切，现有一个球与此四个球都相外切，则此球的半径为 .（源自鞍山一中模拟）

答案：

6

11

.提示：如图：

C

设四个球的球心分别为A、B、C、D，则AD=AC=BD=BC=5，AB=6，CD=4.设AB中点为E、

CD 中点为F ，连结EF.在△ABF 中求得EBF 中求得EF=由于对称性可得第五个球的球心O 在EF 上，连结OA 、OD.设第五个球的半径为r ，则OA=r+3，

OD=r+2，于是OE+OF=EF

211+6036=0r r -解得6=

11r 或6-（舍掉），故答案为6

11

. 2013-2-5 wht 解析

典型例题1——球的截面

例 1 球面上有三点A 、B 、C 组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点，其中

18=AB ，24=BC 、30=AC ，球心到这个截面的距离为球半径的一半，求球的表面积．

分析：求球的表面积的关键是求球的半径，本题的条件涉及球的截面，ABC ?是截面的内接三角形，由此可利用三角形求截面圆的半径，球心到截面的距离为球半径的一半，从而可由关系式2

2

2

d R r -=求出球半径R ．

解：∵18=AB ，24=BC ，30=AC ，

∴2

2

2

AC BC AB =+，ABC ?是以AC 为斜边的直角三角形． ∴ABC ?的外接圆的半径为15，即截面圆的半径15=r ， 又球心到截面的距离为R d 21=

，∴22215)2

1

(=-R R ，得310=R ． ∴球的表面积为πππ1200)310(4422===R S ． 说明：涉及到球的截面的问题，总是使用关系式22d R r -=

解题，我们可以通过两

个量求第三个量，也可能是抓三个量之间的其它关系，求三个量．

【练习】过球O 表面上一点A 引三条长度相等的弦AB 、AC 、AD ，且两两夹角都为?60，若球半径为R ，求弦AB 的长度．

由条件可抓住BCD A -是正四面体，A 、B 、C 、D 为球上四点，则球心在正四面体中心，设a AB =，则截面BCD 与球心的距离R a d -=

3

6

，过点B 、C 、D 的截面圆半径a r 33=

，所以222)36()33(R a R a --=得R a 3

62=． 典型例题2——球面距离

例2 过球面上两点作球的大圆，可能的个数是（ ）．

A ．有且只有一个

B ．一个或无穷多个

C ．无数个

D ．以上均不正确 分析：对球面上两点及球心这三点的位置关系进行讨论．当三点不共线时，可以作一个大圆；当三点共线时，可作无数个大圆，故选B ．

例3 球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的6

1

，经过3个点的小圆的周长为π4，求这个球的半径．

分析：利用球的概念性质和球面距离的知识求解．

设球的半径为R ，小圆的半径为r ，则ππ42=r ，∴2=r ． 如图所示，设三点A 、B 、C ，O 为球心，

3

62π

π==

∠=∠=∠COA BOC AOB ．又∵OB OA =，∴A

O B ?是等边三角形，同样，BOC ?、COA ?都是等边三角形，得ABC ?为等边三角形，边长等于球半径R ．r 为ABC ?的外接圆半径，R AB r 33

33==

，323

3==

r R ． 说明：本题是近年来球这部分所出的最为综合全面的一道题，除了考查常规的与多面体

综合外，还考查了球面距离，几乎涵盖了球这部分所有的主要知识点，是一道不可多得的好题．

例4 A 、B 是半径为R 的球O 的球面上两点，它们的球面距离为R 2

π

，求过A 、B

的平面中，与球心的最大距离是多少？

分析：A 、B 是球面上两点，球面距离为

R 2

π

，转化为球心角2

π

=

∠AOB ，从而

R AB 2=，由关系式222d R r -=，r 越小，d 越大，r 是过A 、B 的球的截面圆的半

径，所以AB 为圆的直径，r 最小．

解：∵球面上A 、B 两点的球面的距离为

R 2

π

． ∴2

π

=

∠AOB ，∴R AB 2=．

当AB 成为圆的直径时，r 取最小值，此时R AB r 2

221==

，d 取最大值， R r R d 2222=

-=， 即球心与过A 、B 的截面圆距离最大值为R 2

2

． 说明：利用关系式2

2

2

d R r -=不仅可以知二求一，而且可以借此分析截面的半径r 与球心到截面的距离d 之间的变化规律．此外本题还涉及到球面距离的使用，球面距离直接与

两点的球心角AOB ∠有关，而球心角AOB ∠又直接与AB 长度发生联系，这是使用或者求球面距离的一条基本线索．

典型例题3——其它问题

例5．自半径为R 的球面上一点M ，引球的三条两两垂直的弦MC MB MA ,,，求

222MC MB MA ++的值．

分析：此题欲计算所求值，应首先把它们放在一个封闭的图形内进行计算，所以应引导学生构造熟悉的几何体并与球有密切的关系，便于将球的条件与之相联．

解：以MC MB MA ,,为从一个顶点出发的三条棱，将三棱锥ABC M -补成一个长方体，则另外四个顶点必在球面上，故长方体是球的内接长方体，则长方体的对角线长是球的直径．

∴222MC MB MA ++=224)2(R R =．

说明：此题突出构造法的使用，以及渗透利用分割补形的方法解决立体几何中体积计算．

例6．试比较等体积的球与正方体的表面积的大小．

分析：首先抓好球与正方体的基本量半径和棱长，找出等量关系，再转化为其面积的大小关系．

解：设球的半径为r ，正方体的棱长为a ，它们的体积均为V ，

则由

ππ43,3433V r V r ==，343π

V r =，由,3V a =得3V a =． 3

223

24)43(44V V r S ππ

ππ===球． 3232232216

6)(66V V V a S ====正方体． ∴<2164π <324V π32216V ，即正方体球S S <．

典型例题4——球与几何体的切、接问题

例7 一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内注入水，并放入一个半径为r 的铁球，这时水面恰好和球面相切．问将球从圆锥内取出后，圆锥内水平面的高是多少？

分析：先作出轴截面，弄清楚圆锥和球相切时的位置特征，利用铁球取出后，锥内下降部分(圆台)的体积等于球的体积，列式求解．

解：如图作轴截面，设球未取出时水面高h PC =，球取出后，水面高x PH =

∵r AC 3=，r PC 3=，

则以AB 为底面直径的圆锥容积为PC AC V ??=231π圆锥3233)3(3

1

r r r ππ=?=， 球取出后水面下降到EF ，水体积为

3229

1

)30tan (3131x PH PH PH EH V πππ=?=??=水．

又球圆锥水V V V -=，则33

33

4391r r x πππ-=， 解得r x 315=．

例8．设正四面体中，第一个球是它的内切球，第二个球是它的外接球，求这两个球的表面积之比及体积之比．

分析：此题求解的第一个关键是搞清两个球的半径与正四面体的关系，第二个关键是两个球的半径之间的关系，依靠体积分割的方法来解决的．

解：如图，正四面体ABCD 的中心为O ，BCD ?的中心为1O ，则第一个球半径为正四面体的中心到各面的距离，第二个球的半径为正四面体中心到顶点的距离．

设R OA r OO ==,1，正四面体的一个面的面积为S ．

依题意得)(31r R S V BCD A +=

-， 又S r V V BCD O BCD A ??==--3

1

44 r r R 4=+∴即r R 3=．

所以91442

2==R r ππ外接球的表面积内切球的表面积．2713

43433==R r

ππ外接球的体积

内切球的体积． 说明：正四面体与球的接切问题，可通过线面关系证出，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即定有内切球的半径h r 4

1

=

(h 为正四面体的高)，且外接球的半径r R 3=．

例9．把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，求第四个球的最高点与桌面的距离．

分析：关键在于能根据要求构造出相应的几何体，由于四个球半径相等，故四个球一定组成正四面体的四个顶点且正四面体的棱长为两球半径之和2．

解：四球心组成棱长为2的正四面体的四个顶点，则正四面体的高

3

6

2)332(222=

?

-=h ． 而第四个球的最高点到第四个球的球心距离为求的半径1，且三个球心到桌面的距离都为1，故第四个球的最高点与桌面的距离为3

6

22+

． 例10．如图1所示，在棱长为1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切．（1）求两球半径之和；（2）球的半径为多少时，两球体积之和最小．

分析：此题的关键在于作截面，一个球在正方体内，学生一般知道作对角面，而两个球的球心连线也应在正方体的体对角线上，故仍需作正方体的对角面 ，得如图2的截面图，在图2中，观察R 与r 和棱长间的关系即可．

解：如图2，球心1O 和2O 在AC 上，过1O ，2O 分别作BC AD ,的垂线交于F E ,． 则由3,1==AC AB 得R CO r AO 3,321==．

3)(3=+++∴R r R r ， 2

3

31

33-=

+=

+∴r R ． （1）设两球体积之和为V ， 则))((3

4

)(342233r Rr R R r r R V +-+=+=

ππ =

[]

=-+rR r R 3)(23

3342π??

????--)233(3)233(233342R R π

=??

?

???-+--22)233(2)33(332333

4

R R π

当4

3

3-=

R 时，V 有最小值．∴当433-==r R 时，体积之和有最小值．

作业

1. 正三棱锥的高为1，底面边长为62，正三棱锥内有一个球与其四个面相切．求球的表面积与体积．

解：如图，球O 是正三棱锥ABC P -的内切球，O 到正三棱锥四个面的距离都是球的半径R ．

PH 是正三棱锥的高，即1=PH ．E 是BC 边中点，H 在AE 上，

ABC ?的边长为62，∴2626

3

=?=

HE ． ∴3=PE 可以得到2321=?=

==???PE BC S S S PBC PAC PAB ． 36)62(4

32==?ABC S 由等体积法，ABC O PBC O PAC O PAB O ABC P V V V V V -----+++= ∴R R ??+???=

??3631323311363

1

得：263

3232-=+=R ， ∴πππ)625(8)26(4422-=-==R S 球． ∴33)26(3

4

34-==

ππR V 球． 说明：球心是决定球的位置关键点，本题利用球心到正三棱锥四个面的距离相等且为球

半径R 来求出R ，以球心的位置特点来抓球的基本量，这是解决球有关问题常用的方法．

2. 求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比．

分析：首先画出球及它的外切圆柱、等边圆锥，它们公共的轴截面，然后寻找几何体与几何体之间元素的关系．

解：如图，等边SAB ?为圆锥的轴截面，此截面截圆柱得正方形11CDD C ，截球面得球的大圆圆1O ．

设球的半径R OO =1，则它的外切圆柱的高为R 2，底面半径为R ；

R O O OB 330cot 1=??=， R R OB SO 33360tan =?=??=，

∴334R V π=

球，3222R R R V ππ=?=柱， 3233)3(3

1

R R R V ππ=??=锥， ∴964∶∶∶∶锥柱球=V V V ．

3 在球心同侧有相距cm 9的两个平行截面，它们的面积分别为2

49cm

π和2

400

cm π．求球的表面积． 分析：可画出球的轴截面，利用球的截面性质，求球的半径．

解：如图为球的轴截面，由球的截面性质知，21//BO AO ，且若1O 、2O 分别为两截面圆的圆心，则11AO OO ⊥，22BO OO ⊥．设球的半径为R ．

∵ππ492

2=?B O ，∴)(72cm B O = 同理ππ4002

1=?A O ，∴)(201cm A O = 设xcm OO =1，则cm x OO )9(2+=．

在A OO Rt 1?中，2

2

2

20+=x R ；在B OO Rt 2?中，2

227)9(++=x R ，

∴2

22)9(720++=+x x ，解得15=x ，

∴2

2222520=+=x R ，∴25=R

∴)(250042

2cm R S ππ==球． ∴球的表面积为2

2500cm π．

巧解外接球问题

摘要：外接球有关计算问题在近年高考试题中屡见不鲜，本文就长方体、正方体及棱锥的外接球有关问题，给出了特殊解法。

关键词：巧解外接球问题

《普通高中数学课程标准》中对立体几何初步的学习提出了基本要求：“在立体几何初步部分，学生将先从对空间几何体的整体观察入手，认识空间图形；再以长方体为载体，直观认识和理解空间点、线、面的位置关系；……。”由此可见，长方体模型是学习立体几何的基础，掌握长方体模型，对于学生理解立体几何的有关问题起着非常重要的作用。有关外接球的立体几何问题是近年各省高考试题的难点之一，这与学生的空间想象能力以及化归能力有关，本文通过近年来部分高考试题中外接球的问题谈几种解法。

一、直接法

1、求正方体的外接球的有关问题

例1 （2006年广东高考题）若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为.

解析：要求球的表面积，只要知道球的半径即可.因为正方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径，因此，求球的半径可转化为先求正方体的体对角线长，再计算半径.故表面积为27π.

例 2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为.

解析：要求球的体积，还是先得求出球的半径，而球的直径正好是正方体的

体对角线，因此，由正方体表面积可求出棱长，从而求出正方体的体对角线是

故该球的体积为.

2、求长方体的外接球的有关问题

例3 （2007年天津高考题）一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为.

解析：关键是求出球的半径，因为长方体内接于球，所以它的体对角线正好

14π.

例4、（2006年全国卷I）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（）.

A. 16π

B. 20π

C. 24π

D. 32π

解析：正四棱柱也是长方体。由长方体的体积16及高4可以求出长方体的底面边长为2，因此，长方体的长、宽、高分别为2，2，4，于是等同于例3，故选C.

二、构造法

1、构造正方体

例5 （2008年福建高考题）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为

，则其外接球的表面积是.

解析：此题用一般解法，需要作出棱锥的高，然后再设出球心，利用直角三角形计算球的半径.而作为填空题，我们更想使用较为便捷的方法，所以三条侧

棱两两垂直，使我们很快联想到长方体的一个角，马上构造长方体，且侧棱长均相等，所以可构造正方体模型，如图1

，则AC=BC=CD =，那么三棱锥的外接球的直径即为正方体的体对角线，故所求表面积是9π.(如图1)

例 6 （2003

球面上，则此球的表面积为（ ）

A. 3π

B. 4π

C. D. 6π

解析：一般解法，需设出球心，作出高线，构造直角三角形，再计算球的半径.在此，由于所有棱长都相等，我们联想只有正方体中有这么多相等的线段，所以构造一个正方体，再寻找棱长相等的四面体，如图2，四面体A BDE -满足

条件，即AB=AD=AE=BD=DE BE ==1，体对

所以此球的表面积便可求得，故选A. (如图2)

例7（2006年山东高考题）在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2，0DAB=60∠，

E 为AB 的中点，将ADE ?与BEC ?分布沿ED 、EC 向上折起，使A B 、重合于

点P ，则三棱锥P-DCE 的外接球的体积为（ ）.

A.

B.

C.

D.

图1

图2

解析：（如图3）因为AE=EB=DC=1，0

DAB=CBE=DEA=60

∠∠∠，所以AE=EB=BC=DC=DE=CE=1

AD=，即三棱锥P-DCE为正四面体，至此，这与例6就完全相同了，故选C.

例8 （2008年浙江高考题）已知球O的面上四点A、B、C、D，

DA ABC

⊥平面，AB BC

⊥

，O的体积等于.

解析：本题同样用一般方法时，需要找出球心，求出球的半径.而利用长方体模型很快便可找到球的直径，由于DA ABC

⊥平面，AB BC

⊥，联想长方体中

的相应线段关系，构造如图4

所示的长方体，又因为

方体为正方体，所以CD长即为外接球的直径，利用直角三角形解出CD=3.故球

O的体积等于9

2

π.（如图4）

C

D C

E

图3

图4

2、构造长方体

例9（2008年安徽高考题）已知点A 、B 、C 、D 在同一个球面上，

B BCD A ⊥平面，B

C DC ⊥

，若AB =，则B 、C 两点间的球

面距离是 .

解析：首先可联想到例8，构造下面的长方体，于是AD 为球的直径，O 为球心，OB=OC=4为半径，要求B 、C 两点间的球面距离，只要求出BOC ∠即可，

在Rt ABC ?中，求出=4BC ，所以0C=60BO ∠，故B 、C 两点间的球面距离是4

3

π.

（如图5）

参考文献：

1 叶尧城.高中数学课程标准教师读本[M].武汉：华中师范大学出版社，2003

2 严士健 王尚志.普通高中课程标准实验教科书数学2（必修）[M].北京：北京师范大学出版社，2009

C

图5

球与各种几何体切、接问题专题(一))

球与各种几何体切、接问题 近几年全国高考命题来看,这部分内容以选择题、填空题为主，大题很少见。 首先明确定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。 定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球. 一、球与柱体的切接 规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题. 1、 球与正方体 （1）正方体的内切球，如图1. 位置关系：正方体的六个面都与一个球都相切，正方体中心与球心重合； 数据关系：设正方体的棱长为a ，球的半径为r ，这时有2r a =. （2）正方体的棱切球，如图2. 位置关系：正方体的十二条棱与球面相切，正方体中心与球心重合； 数据关系：设正方体的棱长为a ，球的半径为r ，这时有22r a =. 2

（3）正方体的外接球，如图3. 位置关系：正方体的八个顶点在同一个球面上；正方体中心与球心重合； 数据关系：设正方体的棱长为a ，球的半径为r ，这时有23r a =. 图3 例 1 棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点都在球O 的表面上，E F ，分别是棱1AA ，1DD 的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为（ ） A ．22 B ．1 C ．212+ D ．2 思路分析：由题意推出，球为正方体的外接球.平面11AA DD 截面所得圆面的半径 12,22 AD R ==得知直线EF 被球O 截得的线段就是球的截面圆的直径. 2、 球与长方体 例2 自半径为R 的球面上一点M ，引球的三条两两垂直的弦MC MB MA ,,，求 222MC MB MA ++的值．

高考数学中的内切球和外接球问题---专题复习

高考数学内切球和外接球问题 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.考查学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用. 一、直接法(公式法) 1、求正方体的外接球的有关问题 例1、若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______________ . 解析：要求球的表面积，只要知道球的半径即可.因为正方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径，因此，求球的半径可转化为先求正方体的体对角线长，再计算半径.故表面积为π 27. 例2、一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为______________. 解析：要求球的体积，还是先得求出球的半径，而球的直径正好是正方体的体对角线，因此，由正方体表面积可求出棱长，从而求出正方体的体对角线是3 2所以球的半径为3.故该球的体积为π3 4. 2、求长方体的外接球的有关问题 例1、一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为 . 解析：关键是求出球的半径，因为长方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径。长方体体对角线长为14，故球的表面积为14π. 例2、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（）. A. 16π B. 20π C. 24π D. 32π 解析：正四棱柱也是长方体。由长方体的体积16及高4可以求出长方体的底面边长为2，因此，长方体的长、宽、高分别为2，2，4，于是等同于例3，故选C. 3.求多面体的外接球的有关问题 例1、一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于 底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱 柱的体积为9 8，底面周长为３，则这个球的体积为 . 解设正六棱柱的底面边长为x，高为h，则有

(完整版)空间几何体与球的切接问题

空间几何体与球的切、接问题 1.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） π12.A B.3 32π C.8π D.π4 类型一：三条棱两两垂直可转化为长方体（正方体） 2.在三棱锥 ABC P - 中，31,,===⊥⊥PA BC AC BC AC ABC PA ，平面 则三棱锥外接球的体积为 3.已知球O 上四点A 、B 、C 、D ，ABC DA 平面⊥,a BC AB DA BC AB ===⊥,,则球O 的体积等于 圆柱的外接球 4.直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上”，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为 类型二：有一条侧棱垂直于底面可转化为直棱柱 5.已知三棱锥P -ABC 中，三角形ABC 为等边三角形，且PA=8，PB=PC=13,AB=3，则其外接球的体积为 6.在三棱锥ABC P -中,ο120621,=∠===⊥ACB PA BC AC ABC PA ，，，平面， 求三棱锥的外接球的表面积。 圆锥的外接球

7.正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为４，底面边长为２，则该球的表面积为（ ） A.481π B.16π C.9π D.427π 8.在三棱锥A -BCD 中ACD ?与?BCD 都是边长为2的正三角形，且平面ACD ⊥平面BCD,求三棱锥外接球的体积 练习1、在四面体中，平面，AB=AC=1，BC=2，PC=3.则该四面体外接球的表面积为 . 练习2、正三角形ABC 的边长为2，将它沿高AD 翻折，使点B 与点C 间的距离为 2，此时四面体ABCD 外接球表面积为____________ 练习3．已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径。若平面SCA ⊥平面SCB ，SA=AC ，SB=BC ，三棱锥S -ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________。 P ABC -⊥PC ABC

高考文科数学中的内切球和外接球问题专题练习

高考文科数学中的内切球 和外接球问题专题练习Newly compiled on November 23, 2020

内切球和外接球问题 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.考查学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用. 一、直接法(公式法) 1、求正方体的外接球的有关问题 例1 （2006年广东高考题）若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______________ . 解析：要求球的表面积，只要知道球的半径即可.因为正方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径，因此，求球的半径可转化为先求正方体的体对角线长，再计算半径.故表面积为27π. 例2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为______________. 解析：要求球的体积，还是先得求出球的半径，而球的直径正好是正方体的体对角 线，因此，由正方体表面积可求出棱长，从而求出正方体的体对角线是 故该球的体积为. 2、求长方体的外接球的有关问题 例3 （2007年天津高考题）一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为 .

解析：关键是求出球的半径，因为长方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的1414π. 例4、（2006年全国卷I ）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（ ）. A. 16π B. 20π C. 24π D. 32π 解析：正四棱柱也是长方体。由长方体的体积16及高4可以求出长方体的底面边长为2，因此，长方体的长、宽、高分别为2，2，4，于是等同于例3，故选C. 3.求多面体的外接球的有关问题 例5. 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在 同一个球面上，且该六棱柱的体积为9 8，底面周长为３，则这个球的体积为 . 解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有263,1,2936,38x x x h h =?? =?? ∴?? =??=??． ∴正六棱柱的底面圆的半径 1 2r = ，球心到底面的距离 3d = .∴外接球的半径221R r d =+=.43V π ∴= 球. 小结 本题是运用公式222 R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式. 二、构造法(补形法) 1、构造正方体 例5 （2008年福建高考题）若三棱锥的三条侧棱两 3_______________. 解析：此题用一般解法，需要作出棱锥的高，然后 再

与球有关的切、接问题(有答案).

4 与球有关的切、接问题 1．球的表面积公式： S ＝ 4πR 2；球的体积公式 V ＝43πR 3 2．与球有关的切、接问题中常见的组合： (1) 正四面体与球：如图，设正四面体的棱长为 a ，内切球的半径为 r ， 外接球的半径为 R ，取 AB 的中点为 D ，连接 CD ，SE 为正四面体的高，在 截面三角形 SDC 内作一个与边 SD 和 DC 相切，圆心在高 SE 上的圆．因为 (2) 正方体与球： ①正方体的内切球：截面图为正方形 EFHG 的内切圆，如图所 a 示．设正方体的棱长为 a ，则 |OJ|＝ r ＝ 2(r 为内切球半径 )． ②与正方体各棱相切的球：截面图为正方形 EFHG 的外接圆， 则 |GO|＝ R ＝ 22a. (3) 三条侧棱互相垂直的三棱锥的外接球： ①如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且相等，则可以补形为一个正 方 体，正方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心． 即三棱锥 A 1-AB 1D 1 的外接球的球心和正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1 的外接球的球心重合．如图，设 正四面体本身的对称性，内切球和外接球的球心同为 O.此时， CO ＝OS ＝ R ， OE ＝r ，SE R 2 －r 2 ＝|CE|2 ＝a 3，解得 R ＝ 46 a r ＝ 126 a. ③正方体的外接球：截面图为正方形 ACC 1A 1的外接圆，则 |A 1O|＝ R ′ 3 ＝2a

3 AA 1＝ a ，则 R ＝ 23 a. ②如果三棱锥的三条侧棱互相垂直但不相等，则可以补形为一个长方体，长方体的外 角度一：正四面体的内切球 1．(2015 长·春模拟 )若一个正四面体的表面积为 S 1，其内切 球的表面积为 S 2，则 S S1＝ 接球的球心就是三棱锥的外接球的球心． a 2＋ b 2＋ c 2 2 ＝l 42(l 为长方体的体对角线长 )．

2018年高考秘籍-与球有关的切、接问题探析：3.墙角模型

1 墙角模型 【典例7】已知三棱锥S ABC -，满足,,SA SB SC 两两垂直，且2SA SB SC ===，Q 是三棱锥S ABC -外 接球上一动点，则点Q 到平面ABC 的距离的最大值 为 . 【解析】如图，三棱锥S ABC -满足,,SA SB SC 两两垂直，由2SA SB SC ===， 则AB BC AC ===体中，则正方体的棱长为2，正方体对角线即为正方 体的外接球亦即三棱锥外接球的直径，而2R = 所以球的半径为R = 因为Q 是三棱锥S ABC -外接球上一动点，所以点Q 到平面ABC 的距离的最大值为3 . 【试题点评】本题具有三条棱两两垂直或三个平面两两垂直的特征，应用数学建模素养，构建“两两垂直垂直”模型，亦即“墙角”模型，如图所示，将三棱锥放入伴随长方体中，将棱锥的外接球转化为长方体的外接球，不用找出球心的具体位置，这是处理此类问题的简捷的途径 . B S C A

2 【典例8】四面体A BCD - 中，10,AB CD AC BD AD BC ======则四面体A BCD -外接球的表面积为 （ ） A ．50π B ．100π C ．200π D ．300π 【解析】如图，将四面体A BCD -放入长方体中，则四面体的外接球亦即长方体的外接球， 设长方体的长、宽、高为,,x y z ，则( (2 2222222210x y y z x z ?+=??+=??+=??，解得1086x y z =??=??=?， 因为长方体对角线即为长方体的外接球亦即四面体 外接球的直径，而2R =， 所以球的半径为R =四面体A BCD -的外接球的表面积为24200S R ==ππ. 【试题点评】本题四面体A BCD -的对棱两两相等，也可灵活地应用“墙角”模型，将它放入伴随长方体中，所有的棱都是伴随长方体表面的对角线，易得四面体A BCD -外接球亦即伴随长方体的外接球.如果将正四面体纳入正方体中得到其伴随正方体，正四面体的外接球和其伴随正方体的外接球是同一个球，利用这种伴随关系可以简化求正四面体的有关问题. 【典例9】（2018届成都一诊）在三棱锥P ABC -，PA ⊥平面ABC ，120BAC ∠=o ，2PA AB AC ===，若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为 A ． B ．18π C ．20π D ． 【解析】法一 该三棱锥为图中正六棱柱内的三棱锥P ABC -，120BAC ∠=o ， 2PA AB AC ===，所以该三棱锥的外接球即为该六C A D B A C B P

高考数学球的切接问题

八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球 当讲到付雨楼老师于2018年1月14日总第539期微文章，我如获至宝.为有了教学的实施，我以付老师的文章主基石、框架，增加了我个人的理解及例题，形成此文，仍用文原名，与各位同行分享.不当之处，敬请大家批评指正. 一、有关定义 1．球的定义：空间中到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫球面，简称球. 2．外接球的定义：若一个多面体的各个顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球. 3．内切球的定义：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球. 二、外接球的有关知识与方法 1．性质： 性质1：过球心的平面截球面所得圆是大圆，大圆的半径与球的半径相等； 性质2：经过小圆的直径与小圆面垂直的平面必过球心，该平面截球所得圆是大圆； 性质3：过球心与小圆圆心的直线垂直于小圆所在的平面（类比：圆的垂径定理）； 性质4：球心在大圆面和小圆面上的射影是相应圆的圆心； 性质5：在同一球中，过两相交圆的圆心垂直于相应的圆面的直线相交，交点是球心（类比：在同圆中，两相交弦的中垂线交点是圆心）. 初图1 初图2 2．结论： 结论1：长方体的外接球的球心在体对角线的交点处，即长方体的体对角线的中点是球心； 结论2：若由长方体切得的多面体的所有顶点是原长方体的顶点，则所得多面体与原长方体的外接球相同；结论3：长方体的外接球直径就是面对角线及与此面垂直的棱构成的直角三角形的外接圆圆心，换言之，就是：底面的一条对角线与一条高（棱）构成的直角三角形的外接圆是大圆； 结论4：圆柱体的外接球球心在上下两底面圆的圆心连一段中点处； 结论5：圆柱体轴截面矩形的外接圆是大圆，该矩形的对角线（外接圆直径）是球的直径； 结论6：直棱柱的外接球与该棱柱外接圆柱体有相同的外接球； 结论7：圆锥体的外接球球心在圆锥的高所在的直线上； 结论8：圆锥体轴截面等腰三角形的外接圆是大圆，该三角形的外接圆直径是球的直径； 结论9：侧棱相等的棱锥的外接球与该棱锥外接圆锥有相同的外接球. 3．终极利器：勾股定理、正定理及余弦定理（解三角形求线段长度）； 三、内切球的有关知识与方法 1．若球与平面相切，则切点与球心连线与切面垂直.（与直线切圆的结论有一致性）. 2．内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等.（类比：与多边形的内切圆）. 3．正多面体的内切球和外接球的球心重合. 4．正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合. 5．基本方法：

高三年级数学复习___球的切、接、截面问题(有答案)

. . . . B B C 5．三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在同一球面上，其中△ABC是正三角形，PA⊥平面ABC，PA=2AB=6，则该球的体积 π64 6．四个顶点都在球O上的四面体ABCD所有棱长都为12，点E、F分别为棱AB、AC的中点，则球O截直线EF所得 6 B C D 8．将长宽分别为3和4的长方形ABCD沿对角线AC折起直二面角，得到四面体A﹣BCD，则四面体A﹣BCD的外接球 9．已知半径为5的球O被互相垂直的两个平面所截，得到的两个圆的公共弦为4，若其中的一圆的半径为4，则另 B C D 10．在三棱锥A﹣BCD中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，△ABC、△ACD、△ADB 的面积分别为、、，则该三 π 11．一个四面体A﹣BCD中，AC=BD=3，AD=BC=4，AB=CD=5，那么这个四面体的外接球的表面积为（） 12．已知Rt△ABC的顶点都在半径为4的球O面上，且AB=3，BC=2，∠ABC=，则棱锥O﹣ABC的体积为（） B C D 13．在正四棱锥S﹣ABCD中，侧面与底面所成角为，则它的外接球的半径R与内径球半径r的比值为（） C 14．已知球O的表面积为20π，SC是球O的直径，A、B两点在球面上，且AB=BC=2，，则三棱锥S﹣AOB 的高为（）

B C D 15．如图，平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，，将其沿对角线BD折成四面体A′﹣BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面体A′﹣BCD顶点在同一个球面上，则该球的体积为（） B D 16．已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正六棱柱的体积最大（柱体体积=底面积×高）时， B C D 17．直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于_________ ． 18．正四面体ABCD的棱长为4，E为棱BC的中点，过E作其外接球的截面，则截面面积的最小值为_________ ． 19．设A、B、C、D是半径为2的球面上的四点，且满足AB⊥AC，AD⊥AC，AB⊥AD，则S△ABC+S△ABD+S△ACD的最大值是_________ ． 20．已知四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为a的正方形，所有侧棱长相等且等于a，若其外接球的半径为R，则等于_________ ． 21．已知正三棱锥P﹣ABC，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC两两垂直，则球心到截面ABC 的距离为_________ ． 22．在半径为13的球面上有A，B，C 三点，AB=6，BC=8，CA=10，则 （1）球心到平面ABC的距离为_________ ； （2）过A，B两点的大圆面与平面ABC所成二面角为（锐角）的正切值为_________ ． 23．正三棱锥P﹣ABC的四个顶点同在一个半径为2的球面上，若正三棱锥的侧棱长为2，则正三棱锥的底面边长是 _________ ． 24．与四面体的一个面及另外三个面的延长面都相切的球称为该四面体的旁切球，则棱长为1的正四面体的旁切球的半径r= _________ ． 截面问题 一．填空题（共8小题） 1．过正三棱锥一侧棱及其半径为R的外接球的球心O所作截面如图，则它的侧面三角形的面积是__ ．

与球有关的切、接问题(有答案)

与球有关的切、接问题 1．球的表面积公式：S ＝4πR 2；球的体积公式V ＝43 πR 3 2．与球有关的切、接问题中常见的组合： (1)正四面体与球：如图，设正四面体的棱长为a ，内切球的半径为r ， 外接球的半径为R ，取AB 的中点为D ，连接CD ，SE 为正四面体的高，在 截面三角形SDC 内作一个与边SD 和DC 相切，圆心在高SE 上的圆．因为 正四面体本身的对称性，内切球和外接球的球心同为O .此时，CO ＝OS ＝R ，OE ＝r ，SE ＝ 23a ，CE ＝33 a ，则有R ＋r ＝ 23a ，R 2－r 2＝|CE |2＝a 23，解得R ＝64a ，r ＝612a . (2)正方体与球： ①正方体的内切球：截面图为正方形EFHG 的内切圆，如图所 示．设正方体的棱长为a ，则|OJ |＝r ＝a 2 (r 为内切球半径)． ②与正方体各棱相切的球：截面图为正方形EFHG 的外接圆， 则|GO |＝R ＝22 a . ③正方体的外接球：截面图为正方形ACC 1A 1的外接圆，则|A 1O |＝R ′＝ 32a . (3)三条侧棱互相垂直的三棱锥的外接球： ①如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且相等，则可以补形为一个正方 体，正方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心．即三棱锥A 1-AB 1D 1 的外接球的球心和正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的外接球的球心重合．如图，设 AA 1＝a ，则R ＝32 a . ②如果三棱锥的三条侧棱互相垂直但不相等，则可以补形为一个长方体，长方体的外 接球的球心就是三棱锥的外接球的球心．R 2 ＝a 2＋b 2＋c 24＝l 2 4(l 为长方体的体对角线长)． 角度一：正四面体的内切球 1．(2015·长春模拟)若一个正四面体的表面积为S 1，其内切球的表面积为S 2，则S 1S 2＝________.

几何体与球的切接问题专项练习

4. 一个多面体的三视图如图所示，其中正视图是正方形，侧视图是等腰三角形.则该几 何体的表面积为（） 练习：【2017课标II，文15】长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O的球空间几何体的三视图与球专项练习(A) 60 (B) 30 (C) 20 (D) 10 A.- B. C. D. 面上，则球O的表面积为 ___________ 8 （2）三棱柱、圆柱与外接 球 ①正（直）三棱柱、圆柱外接球球心为两底外接圆圆心连线的中点 3.【2017北京，文6】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（） A OA2 OE2 AE2 ,其中OA=R 2 2 . 3 3 5 AE - AD AB AB 3 3 2 3 求三角形ABC外接圆半径R:正弦定理 a sin A b sin B c si nC 2R 专题一.空间几何体的三视图 1. 某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，贝U该几何 体的体积是___________ 表面积是____________ A. 88 .158 专题二.几何体及它的外接球 1.柱体外接球 （1）长方体与外接球 2. 一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩 2 2.2 2 (2R) a b c 余部分体积的比值为（）

2.【2017课标3,理8】已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为 2的同一个 球的球面上，则该圆柱的体积为（ ） A.n B. 3n C. - D.- 4 2 4 ②底面有一角为直角的直三棱柱外接球求法 方法一：由①可知球心在AB 的中点，半径算法同 ① 方法二：如图所以，将三棱柱补成长方体，半径 算法与长 方体半径算法相同 练习：1.求棱长为a 的正四面体外接球的半径.（正四面体外接球半径是高的 2.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 4,底面边长为2,求该球的表面 积. 练习：已知S,代B,C 是球0表面上的点， SA 平面ABC , AB BC , SA AB 1 , BC '.2,则球O 的表面积等于（ ） 求三角形ABC 内切圆半径r :面积法S ABC (a b c) r = absinC 2 2 2.锥体外接球 练习：1.设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 a ,顶点都在一个球面上，则该 （1）正棱锥与圆锥外接球 球的表面积为（） OB 2 R 2 (PH R)2 AH 2 (A ) 4 (B ) 3 (C ) 2 (D ) 3 3)

多面体与球切、接的问题(讲)

纵观近几年高考对于组合体的考查，与球相关的外接与内切问题是高考命题的热点之一?高考命题小题综合化倾向尤为明显，要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力，才能顺 利解答?从实际教学来看，这部分知识学生掌握较为薄弱、认识较为模糊，看到就头疼的题目?分析原因，除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以 至于遇到类似的题目便产生畏惧心理?下面结合近几年高考题对球与几何体的切接问题作深 入的探究，以便更好地把握高考命题的趋势和高考的命题思路，力争在这部分内容不失分?从 近几年全国高考命题来看，这部分内容以选择题、填空题为主，大题很少见 首先明确定义1:若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内 接多面体，这个球是这个多面体的外接球。 定义2:若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面 体，这个球是这个多面体的内切球? 1球与柱体的切接 规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形 态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关 问题? 1.1 球与正方体 如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1，设正方体的棱长为a，E,F,H,G为棱的中点，0为 球的球心.常见组合方式有三类：一是球为正方体的内切球，截面图为正方形EFGH和其内 a 切圆，则0J = r ；二是与正方体各棱相切的球，截面图为正方形EFGH和其外接圆， 2 则Go| =R =乎a ；三是球为正方体的外接球，截面图为长方形ACAG和其外接圆，则 73 AO =R -a?通过这三种类型可以发现，解决正方体与球的组合问题，常用工具是截面 2 图，即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面，通过两个截面图的位置关系，确定好正方 体的棱与球的半径的关系，进而将空间问题转化为平面问题

多面体与球切、接的问题(一)

多面体与球切、接的问题（一） 纵观近几年高考对于组合体的考查，与球相关的外接与内切问题是高考命题的热点之一. 高考命题小题综合化倾向尤为明显，要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力，才能顺利解答.从实际教学来看，这部分知识学生掌握较为薄弱、认识较为模糊，看到就头疼的题目.分析原因，除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理. 下面结合近几年高考题对球与几何体的切接问题作深入的探究,以便更好地把握高考命题的趋势和高考的命题思路,力争在这部分内容不失分.从近几年全国高考命题来看,这部分内容以选择题、填空题为主，大题很少见. 首先明确定义 1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。 定义 2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球. 1 球与柱体的切接 规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形 态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关 问题. 1.1 球与正方体 如图所示，正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 ，设正方体的棱长为 a ， E , F , H , G 为棱的中点， O 为球的球心.常见组合方式有三类：一是球为正方体的内切球，截面图为正方形 EFGH 和 a 其内切圆，则 OJ = r = ；二是与正方体各棱相切的球，截面图为正方形 EFGH 和其外 2 接圆，则 GO = R = 2 a ；三是球为正方体的外接球，截面图为长方形 ACAC 和其外接 2 1 1 圆，则 A 1O = R ' = 3 a .通过这三种类型可以发现，解决正方体与球的组合问题，常用工 2 具是截面图，即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面，通过两个截面图的位置关系，确 定好正方体的棱与球的半径的关系，进而将空间问题转化为平面问题.

(完整版)球的切接问题专题

专题：球的切接问题 一．知识点 1． 正方体的内切球：球与正方体的每个面都相切，切点为每个面的中心，显然球心为正 方体的中心。设正方体的棱长为a ，球半径为R 。 如图1，截面图为正方形EFGH 的内切圆，得2 a R =； 2与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点， 如图2作截面图，圆O 为正方形EFGH 的外接圆，易得a R 2 2 =。 3正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上， 如图3，以对角面1AA 作截面图得，圆O 为矩形C C AA 11的外接圆，易得a O A R 2 31= =。 4.正四面体的外接球和内切球 如图4所示，设点O 是内切球的球心，正四面体棱长为a ．由图形的对称性知，点O 也是外接球的球心．设内切球半径为r ，外接球半径为R ． 正四面体的表面积22 34 34a a S =? =表． 正四面体的体积222212 34331BE AB a AE a V BCD A -=??= - 322212233123a a a a =??? ? ??-= 图1 图2 图3 图4

BCD A V r S -=?表31 Θ，a a a S V r BCD A 1263122332 3 =? ==∴-表 在BEO Rt ?中，2 22EO BE BO +=，即22 233r a R +??? ? ??=，得a R 46=，得r R 3= 小结:正四面体内切球半径是高的14，外接球半径是高的3 4 5.长方体的外接球：即正方体的各顶点都在球面上。 设长方体的棱长分别为a ，b ，c 。怎么作平面截图来反映半径和边长的关系？ 结论：由图形（4）我们可以发现外接球的半径2 2 22c b a R ++= 二、题型与方法归类 例1、（1）若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________． 本题主要考查简单的组合体和球的表面积．画出球的轴截面可得，球的直径是正方体的对角线，所以有球的半径R ＝ 33 2 ，则该球的表面积为S ＝4πR 2＝27π.故填27π (2) 求棱长为1的正四面体外接球的体积． 设SO 1是正四面体S －ABC 的高，外接球的球心O 在SO 1上，设外接球半径为R ，AO 1＝r ， 则在△ABC 中，用解直角三角形知识得r ＝3 3 ， 从而SO 1＝ SA 2－AO 21＝ 1－1 3 ＝ 23 ， 在Rt △AOO 1中，由勾股定理得R 2＝(23－R )2＋(33)2，解得R ＝64， ∴V 球＝43πR 3＝43π(64)3＝6 8π. 变式练习: 1已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积( C ) A ．16π B ．20π C ．24π D ．32π

高考文科数学中的内切球和外接球问题专题练习

内切球和外接球问题 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.考查学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用. 一、直接法(公式法) 1、求正方体的外接球的有关问题 例1 （2006年广东高考题）若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______________ . 解析：要求球的表面积，只要知道球的半径即可.因为正方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径，因此，求球的半径可转化为先求正方体的体对角线长，再计算半径.故表面积为27π. 例2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为______________. 解析：要求球的体积，还是先得求出球的半径，而球的直径正好是正方体的体对角线， 因此，由正方体表面积可求出棱长，从而求出正方体的体对角线是. 故该球的体积为. 2、求长方体的外接球的有关问题 例3 （2007年天津高考题）一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为 . 解析：关键是求出球的半径，因为长方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直 14π.

例4、（2006年全国卷I ）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（ ）. A. 16π B. 20π C. 24π D. 32π 解析：正四棱柱也是长方体。由长方体的体积16及高4可以求出长方体的底面边长为2，因此，长方体的长、宽、高分别为2，2，4，于是等同于例3，故选C. 3.求多面体的外接球的有关问题 例5. 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同 一个球面上，且该六棱柱的体积为9 8，底面周长为３，则这个球的体积为 . 解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有263,1, 2936,384x x x h h =??=??∴?? =???=??． ∴正六棱柱的底面圆的半径 1 2r = ，球心到底面的距离 32d = .∴外接球的半径221R r d =+=. 43V π ∴= 球. 小结 本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式. 二、构造法(补形法) 1、构造正方体 例5 （20083外接球的表面积是_______________. 解析：此题用一般解法，需要作出棱锥的高，然后再设出球心，利用直角三角形计算球的半径.而作为填空题，我们更想使用较为便捷的方法，所以三条侧棱两两垂直，使我们很快联想到长方体的一个角，马上构造长方体，且侧棱长均相等， 所以可构 造正方体模型，如图1，则AC=BC=CD 3=

与球有关的切、接问题(有答案)

For personal use only in study and research; not for commercial use 与球有关的切、接问题 1．球的表面积公式：S ＝4πR 2；球的体积公式V ＝43 πR 3 2．与球有关的切、接问题中常见的组合： (1)正四面体与球：如图，设正四面体的棱长为a ，切球的半径为r ，外 接球的半径为R ，取AB 的中点为D ，连接CD ，SE 为正四面体的高，在截 面三角形SDC 作一个与边SD 和DC 相切，圆心在高SE 上的圆．因为正四 面体本身的对称性，切球和外接球的球心同为O .此时，CO ＝OS ＝R ，OE ＝r ，SE ＝ 23a ，CE ＝33 a ，则有R ＋r ＝ 23a ，R 2－r 2＝|CE |2＝a 23，解得R ＝64a ，r ＝612a . (2)体与球： ①体的切球：截面图为形EFHG 的切圆，如图所示．设体的棱 长为a ，则|OJ |＝r ＝a 2 (r 为切球半径)． ②与体各棱相切的球：截面图为形EFHG 的外接圆，则|GO | ＝R ＝22 a . ③体的外接球：截面图为形ACC 1A 1的外接圆，则|A 1O |＝R ′＝ 32a . (3)三条侧棱互相垂直的三棱锥的外接球： ①如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且相等，则可以补形为一个体， 体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心．即三棱锥A 1-AB 1D 1的外接 球的球心和体ABCD -A 1B 1C 1D 1的外接球的球心重合．如图，设AA 1＝a ，

则R ＝32 a . ②如果三棱锥的三条侧棱互相垂直但不相等，则可以补形为一个长方体，长方体的外 接球的球心就是三棱锥的外接球的球心．R 2＝a 2＋b 2＋c 24＝l 24 (l 为长方体的体对角线长)． 角度一：正四面体的切球 1．(2015·模拟)若一个正四面体的表面积为S 1，其切球的表面积为S 2，则S 1S 2 ＝ ________. 解析：设正四面体棱长为a ，则正四面体表面积为S 1＝4·34·a 2＝3a 2，其切球半径为正四面体高的14，即r ＝14·63a ＝612a ，因此切球表面积为S 2＝4πr 2＝πa 26，则S 1S 2 ＝3a 2π6 a 2＝63π. 角度二：直三棱柱的外接球 2．(2015·统考)如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的六个顶点都在半径 为1的半球面上，AB ＝AC ，侧面BCC 1B 1是半球底面圆的接形，则侧面 ABB 1A 1的面积为( ) A ．2 B ．1 C. 2 D.22 解析：选C 由题意知，球心在侧面BCC 1B 1的中心O 上，BC 为截 面圆的直径，∴∠BAC ＝90°，△ABC 的外接圆圆心N 是BC 的中点， 同理△A 1B 1C 1的外心M 是B 1C 1的中心．设形BCC 1B 1的边长为x ，Rt △ OMC 1中，OM ＝x 2，MC 1＝x 2，OC 1＝R ＝1(R 为球的半径)，∴? ????x 22＋? ????x 22＝1，即x ＝2，则AB ＝AC ＝1，∴S 矩形ABB 1A 1＝2×1＝ 2. 角度三：体的外接球

高三数学复习---球的切、接、截面问题(有答案)

1 1．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（） A．B．16πC．9πD． 4．三棱锥S﹣ABC的顶点都在同一球面上，且，则该球的体积为（）A．B．C．16πD．64π 5．三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在同一球面上，其中△ABC是正三角形，PA⊥平面ABC，PA=2AB=6，则该球的体积为（） A．16πB．32πC．48πD．64π 6．四个顶点都在球O上的四面体ABCD所有棱长都为12，点E、F分别为棱AB、AC的中点，则球O截直线EF所得弦长为（） A．6B．12 C．6D．6 7．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，则球O的半径为（）A．B．C．D． 8．将长宽分别为3和4的长方形ABCD沿对角线AC折起直二面角，得到四面体A﹣BCD，则四面体A﹣BCD的外接球的表面积为（） A．25πB．50πC．5πD．10π 9．已知半径为5的球O被互相垂直的两个平面所截，得到的两个圆的公共弦为4，若其中的一圆的半径为4，则另一圆的半径为（） A．B．C．D． 10．在三棱锥A﹣BCD中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，△ABC、△ACD、△ADB 的面积分别为、、，则该三 棱锥外接球的表面积为（） A．2πB．4πC．6πD．24π 11．一个四面体A﹣BCD中，AC=BD=3，AD=BC=4，AB=CD=5，那么这个四面体的外接球的表面积为（） 12．已知Rt△ABC的顶点都在半径为4的球O面上，且AB=3，BC=2，∠ABC=，则棱锥O﹣ABC的体积为（）A．B．C．D． 13．在正四棱锥S﹣ABCD中，侧面与底面所成角为，则它的外接球的半径R与径球半径r的比值为（）A．5 B．C．10 D． 14．已知球O的表面积为20π，SC是球O的直径，A、B两点在球面上，且AB=BC=2，，则三棱锥S﹣AOB 的高为（）

专题01 多面体与球的切接问题 (第四篇)(解析版)

高考数学压轴题命题区间探究与突破专题 第四篇 立 体 几 何 专题01 多面体与球的切接问题 一．方法综述 多面体与球接、切问题的求解方法: (1)涉及球与棱柱、棱锥的相切、接问题时,一般先过球心及多面体中的特殊点(如接、切点或线)作截面,把空间问题转化为平面问题,再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系,或画内切、外接的几何体的直观图,确定球心的位置,弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系,列方程组求解. (2)若球面上四点,,,P A B C 构成的三条线段,,PA PB PC 两两互相垂直,且,,,PA a PB b PC c ===一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体,根据2 2 2 2 4R a b c =++求解. 下面通过例题说明应对这类问题的方法与技巧. 二．解题策略 类型一 球与柱体的切接问题 【例1】【2020·河南濮阳期末】已知长方体1111ABCD A B C D -的表面积为208，118AB BC AA ++=，则该长方体的外接球的表面积为（ ） A ．116π B ．106π C ．56π D ．53π 【答案】A 【解析】依题意，118AB BC AA ++=，11104AB BC BC AA AB AA ?+?+?=，所以 ()()2 22211112AB BC AA AB BC AA AB BC BC AA AB AA ++=++-?+?+?=116，故外接球半径 r = =，因此所求长方体的外接球表面积2 4116S r ππ==，故选A. 【例2】【2020·全国高三专题练习】已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的每个顶点都在球O 的球面上，若球O 的表面积为12π，则该四棱柱的侧面积的最大值为________. 【答案】 【解析】设球O 的半径为R ，则2412R ππ=，解得R =，设正四棱柱的底面边长a ，高为h ，则正四

【人教A版(2019)】与球有关的内切、外接问题

与球有关的内切、外接问题 与球有关的内切、外接问题是立体几何的一个重点(切、接问题的解题思路类似，此处以多面体的外接球为例).研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系. 一、直接法(公式法) 例1 (1)一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为________. 答案 14π 解析 因为长方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径，长方体体对角线长为14，故球的表面积为14π. (2)一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱 柱的体积为98 ，底面周长为3，则这个球的体积为________. 答案 4π3 解析 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ， 则有????? 6x ＝3，98＝6×34x 2h ，∴????? x ＝12，h ＝ 3. ∴正六棱柱的底面外接圆的半径r ＝12， 球心到底面的距离d ＝ 32. ∴外接球的半径R ＝r 2＋d 2＝1.∴V 球＝4π3 . 反思感悟 本题运用公式R 2＝r 2＋d 2求球的半径，该公式是求球的半径的常用公式. 二、构造法(补形法) 1.构造正方体 例2－1 (1)一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为( ) A.3π B.4π C.33π D.6π 答案 A 解析 联想只有正方体中有这么多相等的线段，所以构造一个正方体，则正方体的面对角线即为四面体的棱长，求得正方体的棱长为1，体对角线为3，从而外接球的直径也为3，所以此球的表面积为3π.