文档库

最新最全的文档下载
当前位置:文档库 > 2014浙江省专升本高等数学试卷回忆版

2014浙江省专升本高等数学试卷回忆版

2014浙江省专升本高等数学试卷回忆版

一、选择题4’*5=20’

1.当0x x →时,函数)(x f 极限存在,)(x g 极限不存在,则( D )

A .当0x x →时,)()(x g x f 必定有极限存在

B .当0x x →时,)()(x g x f 必定极限不存在 (反例:0)(0→*x A )

C .当0x x →时,若)()(x g x f 极限存在,极限必定为零 (反例:∞*0型)

D .当0x x →时,)()(x g x f 极限可能存在,也可能不存在 2. 曲线x x y 33-=上切线方程平行于x 轴的点是( C ) A . )0,0( B .)2,1( C .)2,1(- D .)3,1( 3.函数x x x x x f ---=32)2()(不可导点个数是( D )

A .3

B .1

C .0

D .2 (讨论1,0,1-=x 处可导性,1-=x 处可导) 4. )1)(sin(sin u x -t )sin()(0

0---==-=

??-x du u dx d dt x t dx d x f x

x 令( A ) A .x sin - B .x sin C .x cos 1+- D .0 5.微分方程)

1(1

'2

+=+

x x x y y 的通解为( B ) A .

C x +1arctan B . )(arctan 1C x x + C .C x x +arctan 1

D .C x x

++arctan 1

二、填空题4’*10=40’

6.设函数???≥<+=001)(x x x x x f ,则=)]([x f f ??

?

??≥<≤--<++001112x x x x x x

7.设)(x f 在),(+∞-∞上连续,3)2(=f ,则=→)2sin (3sin lim

0x

x

f x x x 9 。

8.曲线)0)(1ln(>+

=x x e x y 的渐近线为e

x y 1

+=。

9. 曲线)0(112

>+=

x x y 的拐点为)4

3

,33(。 10. x

x

y +-=11ln

,则==0

'x y 1-。

11.点)1,0(A 到曲线x x y -=2的最短距离为

2

2

。(A 在法线上,求得切点)23,21(-P )

12. 已知1)(=??c b a

,则c c b b a ?+?+)]()[(= 1 。

13. 微分方程0)1()1(=-++xdx y ydy x 的通解为c y x y y ++-=-+1ln 1ln 。 14.已知0'"=++by ay y 的通解为x x e c e c 221+,则1'"=++by ay y 满足1)0(',2)0(-==y y 的解为2

12542+-

x x

e e 。 15.将函数x x

f 2sin )(=展开成x 的幂级数为

)!

2(2

)

1()!2()1(212122cos 1)(21

120n x n x x x f n

n n n n n +==∑

∑-=--=-=。 三、计算题4*7’+4*8’=60’

16.2

2222022220222022sin cos sin 2sin lim 2221sin cos sin 2lim 2)ln()ln(sin lim x x x x x e x e x e

x e x e x e x x x e x x e x x x x x

x x x

x x x x --?

++=-++-++=-+-+→→→10

10

21211sin cos 2lim sin lim 21)1(2)sin cos 2(sin lim

000=--??=--?=--=→→→x x x x x x x x x x x x x

17. 求1

11)(--=

x x

e

x f 的间断点,并判别类型

解:当 0=x 时,)(x f 分母为0无定义,)(x f 间断,且

∞=-=-→→1

11lim

)(lim x x x x e

x f ,0=x 为)(x f 的第二类无穷间断点;

当 1=x 时,

1

-x x

分母为0无定义,)(x f 间断,且

011lim

)(lim ,1

lim 1

111

=-=+∞=--→→→+++

x x

x x x e

x f x x

111lim )(lim ,,0lim ,1lim 1

11111=-==-∞=--→→-→→----x x

x x x x

x x e

x f e x x

1=x 为)(x f 的第一类跳跃间断点;

18.设)(x y y =满足参数方程?

??+=+-=t t y t t x 2)1ln(,求2

2dx y

d . t t t

t dt dx dt dy dx dy 1

3211112/++=+-+==

3

2222

)12)(1(11112)

()(t

t t t

t dt dx dx dy

dt d dx dy dx d dx y d -+=+-

-=== 19.已知x x x f 22tan 2cos )(sin '+=,求)(x f

解:令u x =2

sin ,则u

u u u u u f -+-=-+

-=11

2121)(' c u u du u

u u f +---=-+

-=?1ln )11

2()(2 c x x x f +---=∴1ln )(2

20. 求不定积分

dx x x ?

2

sin

1. c x x d x x d x

dx x

x +-===??

?

cot 2csc

2sin 1

2sin

12

2

2

21.根据α的取值,讨论

=--+0

2

2n n n n α

解:令)

22(4

22-++=--+=

n n n n n n u n α

α 当21≤α时,

121≤+α且2

1

22

2

+

≥+?≥ααn

n n u n ,而由P 级数的收敛性得知:级数

=+

2

1

1n n

α

发散,所以由比较审敛法可知,原级数发散; 当21>

α时,121>+α且2

1

42

4+

≤+?≤ααn

n n u n ,而由P 级数的收敛性得知:级数

=+0

2

11n n

α收敛,所以由比较审敛法可知,原级数收敛;

22.求过点)1,1,1(A 且与直线??

?-=-=2

31

2z y z x 垂直的平面方程.

解:由题意可取法向量)1,3,2(3

10201

)3,1,0()2,0,1(=--=-?-=k

j

i

n

故平面点法式方程为:,0)1(1)1(3)1(2=-+-+-z y x 即0632=-++z y x 23.求曲线x y =与2x y =所围成的平面图形面积. 解:作图,面积为6

1)3121()(10321

2

=-=-=?x x dx x x S 四、综合题3*10’=30’

1.设函数1

lim )(2212+++=-∞→n n n x bx

ax x x f 是连续函数,试求b a ,的值. 解:当 1

→n

n x

,则bx ax x f +=2)(

当 1>x 时,0lim 2=-∞

→n

n x

,则x x bx ax x x f n n n n 1

1lim )(221221=+++=----∞→ 当 1-=x 时, 21)(b a x f -+-=

,当 1=x 时, 2

1)(b

a x f ++= 所以?

???

?

????=-=><++-+-+=1

11

1

21211)(2x x x x b a b

a x bx

ax x f ,要使)(x f 连续,应有:

2

1)1(11lim )(lim )(lim )(lim 1

1

21

1

b a f x x f b a bx ax x f x x x x -+-=-=-===-=+=-

-++-→-→-→-→

2

1)1(11lim )(lim )(lim )(lim 1

1

2

1

1

b

a f x x f

b a bx ax x f x x x x ++=

====+=+=+

+-

--→-→→→ 所以b a ,满足??

?=+-=-1

1

b a b a ,解得1,0==b a

2.设1)

(lim

=→x

x f x ,且0)(">x f ,证明x x f ≥)(. 证明:令x x f x F -=)()(,由于)("x f 存在,显然)(x F 和)('x F 都是连续函数,且

0)(")(",1)(')('>=-=x f x F x f x F

所以)('x F 单调递增,又由1)('lim )

(lim

00

==→→x f x

x f x x 知,0)0(',1)0(',0)0(===F f f 所以:当0x 时,0)0(')('=>F x F ,

)(x F 单调递增。所以x x f x F -=)()(在0=x 处取得最小值,即有00)0()0()()(=-=≥-=f F x x f x F ,所以x x f ≥)(。

3.已知

6

1

2

ln 2π

=

-?

x

t

e dt ,求x

解:

???

--+=++==--3

1

2

3

1

2

ln 2)

(12)1(u)ln(1t ,11

x

x

e e t

x

t

u u d u

u du u e e dt 即令

6

)1arctan

3

(

2arctan

23

1

π

π

=

--==-x e e u

x

得到:2ln 2114

1arctan

=?=?=-?=

-x e e e x x x π