大学统计学第七章练习题及标准答案

第7章 参数估计

练习题

7.1 从一个标准差为5的总体中抽出一个样本量为40的样本，样本均值为25。

（1） 样本均值的抽样标准差x σ等于多少? （2） 在95%的置信水平下，边际误差是多少？ 解：⑴已知25,40,5===x n σ

样本均值的抽样标准差79.04

10

40

5≈=

=

=

n

x σ

σ ⑵已知5=σ,40=n ,25=x ，4

10

=

x σ，%951=-α 96.1025.02

==∴Z Z α

边际误差

55.14

10

*

96.12

≈==n

Z E σ

α 7.2 某快餐店想要估计每位顾客午餐的平均花费金额，在为期3周的时间里选取49名顾客

组成了一个简单随机样本。

（1） 假定总体标准差为15元，求样本均值的抽样标准误差； （2） 在95%的置信水平下，求边际误差；

（3） 如果样本均值为120元，求总体均值μ的95%的置信区间。 解.已知.根据查表得2/αz =1.96 （1）标准误差：14.249

15==

=n

X σ

σ

（2）．已知2/αz =1.96

所以边际误差=2/αz *

=n

s 1.96*49

15=4.2

（3）置信区间：)(2.124,8.11596.149

151202

=*±

=±n

s Z x α

7.3 从一个总体中随机抽取100=n 的随机样本，得到104560=x ，假定总体标准差

85414

=σ，构建总体均值μ的95%的置信区间。 96.12

=?Z

144.16741100

85414*

96.12

==?

?n

Z σ

856.87818144.16741104560.

2

=-=-?n

Z x σ

144.121301144.16741104560.

2

=+=+?n

Z x σ

置信区间：（87818.856，121301.144）

7.4 从总体中抽取一个100=n 的简单随机样本，得到81=x ，12=s 。

（1） 构建μ的90%的置信区间。 （2） 构建μ的95%的置信区间。 （3） 构建μ的99%的置信区间。 解；由题意知100=n , 81=x ,12=s .

（1）置信水平为%901=-α，则645.12

=αZ .

由公式n

s z x ?

±2

α974.181100

12645.181±=?

±=

即(),974.82,026.79974.181=± 则的的%90μ置信区间为79.026~82.974 （2）置信水平为%951=-α， 96.12

=αz

由公式得n

s z x ?

±2

α=81352.281100

12

96.1±=?

± 即81352.2±=（78.648，83.352）， 则μ的95%的置信区间为78.648~83.352 （3）置信水平为%991=-α，则576.22

=αZ .

由公式±x n

s z ?

2

α=096.381100

12576.281±=?

±=

即81 3.1±

则的的%99μ置信区间为

7.5 利用下面的信息，构建总体均值的置信区间。

（1）25=x ，5.3=σ，60=n ，置信水平为95%。

（2）6.119=x ，89.23=s ，75=n ，置信水平为98%。 （3）419.3=x ，974.0=s ，32=n ，置信水平为90%。 ⑴,60,5.3,25===n X σ置信水平为95% 解：,96.12

=αZ

89.060

5.39

6.12

=?

=n

Z σ

α

置信下限：-X 11.2489.0252

=-=n

Z σ

α

置信上限：+X 89.2589.0252

=+=n

Z σ

α

），置信区间为（89.2511.24∴

⑵。，置信水平为，%9875n 89.23s ,6.119===X 解：33.22

=αZ

43.67589.2333.22

=?

=n

s Z α

置信下限：-X 17.11343.66.1192

=-=n s Z α

置信上限：+X 03.12643.66.1192

=+=n

s Z α

），置信区间为（03.12617.113∴

⑶x

=3.419,s=0.974,n=32,置信水平为90%

根据t=0.1，查t 分布表可得645.1)31(05.0=Z .283.0)(

2/=?n

s Z

所以该总体的置信区间为

x ±2/?Z （

)n

s =3.419±0.283

即3.419±0.283=（3.136 ，3.702） 所以该总体的置信区间为3.136~3.702.

7.6 利用下面的信息，构建总体均值μ的置信区间。

（1） 总体服从正态分布，且已知500=σ，15=n ，8900=x ，置信水平为95%。 （2） 总体不服从正态分布，且已知500=σ，35=n ，8900=x ，置信水平为95%。 （3） 总体不服从正态分布，σ未知，35=n ，8900=x ，500=s ，置信水平为

90%。

（4） 总体不服从正态分布，σ未知，35=n ，8900=x ，500=s ，置信水平为

99%。

（1）解：已知500=σ，15=n ，8900=x ，1-95=α%，96.12

=αz

)9153,8647(15

50096.189002

=?

±=±n

z x σ

α

所以总体均值μ的置信区间为（8647，9153）

（2）解：已知500=σ，35=n ，8900=x ，1-95=α%，96.12

=αz

)9066,8734(35

50096.189002

=?

±=±n

z x σ

α

所以总体均值μ的置信区间为（8734，9066）

（3）解：已知35=n ，8900=x ，s=500,由于总体方差未知，但为大样本，

可用样本方差来代替总体方差

∵置信水平1—α=90% ∴645.12

=αz

∴置信区间为)9039,8761(35

500645.1812

=?

±=±n

s z x α

所以总体均值μ的置信区间为（8761，9039）

（4）解：已知35=n ，8900=x ，500=s ，由于总体方差未知，但为大样

本，可用样本方差来代替总体方差

置信水平1—α=99% ∴58.22

=αz

∴置信区间为)9118,8682(35

50058.289002

=?

±=±n

s z x α

所以总体均值μ的置信区间为（8682，9118）

7.7 某大学为了解学生每天上网的时间，在全校7500名学生中采取不重复抽样方法随机抽

取36人，调查他们每天上网的时间，得到的数据见Book7.7（单位：h ）。求该校大学生平均上网时间的置信区间，置信水平分别为90%、95%和99%。 解：已知：3167.3=x 6093.1=s n=36 1.当置信水平为90%时，645.12

=?z ，

4532.03167.336

6093.1645

.13167.32

±=±=±?

n

s z x

所以置信区间为（2.88，3.76） 2.当置信水平为95%时，96.12

=?z ，

所以置信区间为（2.80，3.84） 3.当置信水平为99%时，58.22

=?z ，

7305.03167.336

6093.158

.23167.32

±=±=±?

n

s z x

所以置信区间为（2.63，4.01）

7.8 从一个正态总体中随机抽取样本量为8的样本，各样本值见Book7.8。求总体均值95%

的置信区间。 已知：总体服从正态分布，但σ未知，n=8为小样本，05.0=α，365.2)18(2

05.0=-t

根据样本数据计算得：46.3,10==s x 总体均值μ的95%的置信区间为： 89.2108

46.3365.2102

±=?

±=±n

s t x α

，即（7.11，

12.89）。

7.9 某居民小区为研究职工上班从家里到单位的距离，抽取了由16个人组成的一个随机样

本，他们到单位的距离（单位：km ）数据见Book7.9。求职工上班从家里到单位平均距离95%的置信区间。 已知：总体服从正态分布，但σ未知，n=16为小样本，α=0.05，131.2)116(2/05.0=-t 根据样本数据计算可得：375.9=x ，s=4.113 从家里到单位平均距离得95%的置信区间为：

191.2375.914

113.4131.2375.92

/±=?

±=±n

s t x α，

5445

.03167.336

6093.196

.13167.32

±=±=±?

n

s z x

即（7.18，11.57）。 7.10 从一批零件中随机抽取36个，测得其平均长度为149.5cm ，标准差为1.93cm 。

（1） 试确定该种零件平均长度95%的置信区间。

（2） 在上面的估计中，你使用了统计中的哪一个重要定理？请简要解释这一定理。 解：已知,103=σn=36, x =149.5,置信水平为1-α=95%，查标准正态分布表得

2/αZ =1.96.

根据公式得： x ±2

/αZ n

σ=149.5±1.9636103

?

即149.5±1.9636

103?

=（148.9，150.1）

答：该零件平均长度95%的置信区间为148.9~150.1

（3） 在上面的估计中，你使用了统计中的哪一个重要定理？请简要解释这一定理。

答：中心极限定理论证。如果总体变量存在有限的平均数和方差，那么，不论这

个总体的分布如何，随着样本容量的增加，样本均值的分布便趋近正态分布。在现实生活中，一个随机变量服从正态分布未必很多，但是多个随即变量和的分布趋于正态分布则是普遍存在的。样本均值也是一种随机变量和的分布，因此在样本容量充分大的条件下，样本均值也趋近正态分布，这位抽样误差的概率估计理论提供了理论基础。 7.11 某企业生产的袋装食品采用自动打包机包装，每袋标准重量为100g 。现从某天生产的

一批产品中按重复抽样随机抽取50包进行检查，测得每包重量（单位：g ）见Book7.11。 已知食品重量服从正态分布，要求：

（1） 确定该种食品平均重量的95%的置信区间。

（2） 如果规定食品重量低于100g 属于不合格，确定该批食品合格率的95%的置信区

间。 (1)已知:总体服从正态分布，但σ未知。n=50为大样本。α=0.05，2/05.0Z =1.96 根据样本计算可知 X =101.32 s=1.63 该种食品平均重量的95%的置信区间为

45.032.10150/63.1*96.132.101/2/±=±=Z ±X n s α

即（100.87，101.77）

（2）由样本数据可知，样本合格率：9.050/45==p 。该批食品合格率的95%的置信区间为： 2

/αZ ±p n p p )1(-=0.950

)

9.01(9.096.1-±=0.9±0.08，即（0.82，0.98） 答：该批食品合格率的95%的置信区间为：（0.82，0.98）

7.12 假设总体服从正态分布，利用Book7.12的数据构建总体均值μ的99%的置信区间。

根据样本数据计算的样本均值和标准差如下；

x =16.13 σ=0.8706 E= Z 2

α

n

σ=2.58*58706.0=0.45

置信区间为x ±E 所以置信区间为（15.68，16.58）

7.13 一家研究机构想估计在网络公司工作的员工每周加班的平均时间，为此随机抽取了18

名员工，得到他们每周加班的时间数据见Book7.13（单位：h ）。假定员工每周加班的时间服从正态分布，估计网络公司员工平均每周加班时间的90%的置信区间。

解：已知x =13.56 =σ7.80 1.0=α n=18

E=2

αZ *n σ

置信区间=[x -2

αZ n σ

, x +2

αZ n σ

]

所以置信区间=[13.56-1.645*(7.80/18), 13.56+1.645*(7.80/18)] =[10.36, 16.76] 7.14 利用下面的样本数据构建总体比例π的置信区间。

（1）44=n ，51.0=p ，置信水平为99%。 （2）300=n ，82.0=p ，置信水平为95%。 （3）1150=n ，48.0=p ，置信水平为90%。 （1）44=n ，51.0=p ，置信水平为99%。 解：由题意,已知n=44, 置信水平a=99%, Z 2/a =2.58 又检验统计量为： P ±Z

n

p p )

1(-，故代入数值计算得， P ±Z

n

p p )

1(-=（0.316，0.704）， 总体比例π的置信区间为（0.316，0.704） （2）300=n ，82.0=p ，置信水平为95%。 解：由题意,已知n=300, 置信水平a=95%, Z 2/a =1.96 又检验统计量为： P ±Z

n

p p )

1(-，故代入数值计算得， P ±Z

n

p p )

1(-=（0.777，0.863）， 总体比例π的置信区间为（0.777，0.863）

（3）1150=n ，48.0=p ，置信水平为90%。 解：由题意,已知n=1150, 置信水平a=90%, Z 2/a =1.645 又检验统计量为： P ±Z

n

p p )

1(-，故代入数值计算得， P ±Z

n

p p )

1(-=（0.456，0.504）， 总体比例π的置信区间为（0.456，0.504） 7.15 在一项家电市场调查中，随机抽取了200个居民户，调查他们是否拥有某一品牌的电

视机。其中拥有该品牌电视机的家庭占23%。求总体比例的置信区间，置信水平分别为90%和95%。

解：由题意可知n=200，p=0.23

（1）当置信水平为1-α=90%时，Z 2/α=1.645

所以=-±n p p z p )1(2

/α200

)

23.01(23.0645.123.0-?±=0.23±0.04895 即0.23±0.04895=（0.1811，0.2789）， （2）当置信水平为1-α=95%时，Z 2/α=1.96 所以=-±n p p z p )1(2

/α200

)

23.01(23.096.123.0-?±=0.23±0.05832 即0.23±0.05832=（0.1717，0.28835）；

答：在居民户中拥有该品牌电视机的家庭在置信水平为90%的置信区间为（18.11%，27.89%），在置信水平为95%的置信区间为（17.17%，28.835%）

7.16 一位银行的管理人员想估计每位顾客在该银行的月平均存款额。他假设所有顾客月存

款额的标准差为1000元，要求估计误差在200元以内，应选取多大的样本？ 解：已知

1000=σ,E=1000,%991=-α,58.22/=αz

由公式2

2

2/2*E

z n σα=可知n=(2.58*2.58*1000*1000)/(200*200)=167 答：置信水平为99%，应取167个样本。 7.17 要估计总体比例π，计算下列个体所需的样本容量。

（1）02.0=E ，40.0=π，置信水平为96%。 （2）04.0=E ，π未知，置信水平为95%。 （3）05.0=E ，55.0=π，置信水平为90%。

（1）解：已知02.0=E ， ,40.0=π， 2/αZ =2.05 由

22

2//)1(E -Z =ππαn 得

2

202.0)4.01(40.005.2÷-?=n =2522 答：个体所需的样本容量为2522。 （2）解：已知04.0=E ， 2/αZ =1.96 由

22

2//)1(E -Z =ππαn 得

=÷?=22204.05.096.1n 601

答：个体所需的样本容量为601。 （3）解：已知05.0=E ，

55.0=π， 2/αZ =1.645

由

22

2//)1(E -Z =ππαn 得

2205.045.055.0645.1÷??=n =268

答：个体所需的样本容量为268。 7.18 某居民小区共有居民500户，小区管理者准备采取一向新的供水设施，想了解居民是

否赞成。采取重复抽样方法随机抽取了50户，其中有32户赞成，18户反对。 （1） 求总体中赞成该项改革的户数比例的置信区间，置信水平为95%。 （2） 如果小区管理者预计赞成的比例能达到80%，应抽取多少户进行调查？ （1）已知：n=50 96.12

=αZ

根据抽样结果计算的样本比例为P=32/50=60% 根据（7.8）式得： 50

%)

641%(64)1(96

.1%64--±=±

n

P P P

即 %)63.76%,37.51(%63.12%64=± 答：置信区间为（51.37%，76.63%）

（2）已知%80=π %10=E 96.12

=αZ

则有：621

.0)

8.01(8.0*96.1)1(*2

2222≈-=E -=ππαZ n 答：应抽取62户进行调查

7.19 根据下面的样本结果，计算总体标准差σ的90%的置信区间。

（1）21=x ，2=s ，50=n 。 （2）3.1=x ，02.0=s ，15=n 。 （3）167=x ，31=s ，22=n 。 解：已知%901=-α，95.02

1,05.02

%,10=-

==α

α

α

1) 查表知67)1(2

2=-n αχ，34)1(2

2

1=--

n α

χ

由公式

22

12

2

2

2

2

)1()1(α

α

χ

σχ-

-≤

≤-s n s n

得34

2*)150(672*)150(2

2-≤

≤-σ，解得（1.72，2.40） 2) 查表知6848.23)1(2

2=-n αχ，57063.6)1(22

1=--

n α

χ

由公式

22

12

2

2

2

2

)1()1(α

α

χ

σχ-

-≤

≤-s n s n

得57063

.602.0*)115(6848.2302.0*)115(2

2-≤

≤-σ，解得（0.015，0.029） 3) 查表知6705.32)1(2

2=-n αχ，5913.11)1(22

1=--

n α

χ

由公式

22

12

2

2

2

2

)1()1(α

αχσχ--≤

≤-s n s n

得5913

.1131*)122(6705.3231*)122(2

2-≤

≤-σ，解得（24.85，41.73） 7.20 顾客到银行办理业务时往往需要等待一些时间，而等待时间的长短与许多因素有关，比如，银行的业务员办理业务的速度，顾客等待排队的方式等等。为此，某银行准备采取两种排队方式进行试验，第一种排队方式是所有顾客都进入一个等待队列；第二种排队方式是：顾客在三个业务窗口处列队三排等待。为比较哪种排队方式使顾客等待的时间更短，银行各随机抽取了10名顾客，他们在办理业务时所等待的时间（单位：min ）见Book7.20。

（1） 构建第一种排队方式等待时间标准差的95%的置信区间。 （2） 构建第二种排队方式等待时间标准差的95%的置信区间。 （3） 根据（1）和（2）的结果，你认为哪种排队方式更好？ 7.21 从两个正态总体中分别抽取两个独立的随机样本，它们的均值和标准差如下表：

来自总体1的样本

来自总体2的样本

141=n 72=n 2.531=x 4.432=x

8.9621=s

0.1022

2=s

（1） 求21μμ-的90%的置信区间。

（2） 求21μμ-的95%的置信区间。 （3） 求21μμ-的99%的置信区间。

7.22 从两个正态总体中分别抽取两个独立的随机样本，它们的均值和标准差如下表：

来自总体1的样本

来自总体2的样本

251=x 232=x

1621=s

202

2=s

（1） 设10021==n n ，求21μμ-95%的置信区间。

（2） 设1021==n n ，2

22

1σσ=，求21μμ-的95%的置信区间。 （3） 设1021==n n ，2

22

1σσ≠，求21μμ-的95%的置信区间。 （4） 设20,1021==n n ，2

22

1σσ=，求21μμ-的95%的置信区间。 （5） 设20,1021==n n ，2

22

1σσ≠，求21μμ-的95%的置信区间。 7.23 Book7.23是由4对观察值组成的随机样本。

（1） 计算A 与B 各对观察值之差，再利用得出的差值计算d 和d s 。

（2） 设1μ和2μ分别为总体A 和总体B 的均值，构造21μμμ-=d 的95%的置信区间。

7.24 一家人才测评机构对随机抽取的10名小企业的经理人用两种方法进行自信心测试，得

到的自信心测试分数见Book7.24。构建两种方法平均自信心得分之差21μμμ-=d 的95%的置信区间。

7.25 从两个总体中各抽取一个25021==n n 的独立随机样本，来自总体1的样本比例为

%401=p ，来自总体2的样本比例为%302=p 。

（1） 构造21ππ-的90%的置信区间。 （2） 构造21ππ-的95%的置信区间。

7.26 生产工序的方差是工序质量的一个重要度量。当方差较大时，需要对工序进行改进以

减小方差。两部机器生产的袋茶重量（单位：g ）的数据见Book7.26。构造两个总体

方差比2

22

1σσ的95%的置信区间。

7.27 根据以往的生产数据，某种产品的废品率为2%。如果要求95%的置信区间，若要求

边际误差不超过4%，应抽取多大的样本？

解：已知P=2% E=4% 当置信区间1-α为95%时

2

αZ =

n

p p )1(-?P n=

2

22

)

1(p

p p ?

-?Z α

1-α=0.95 2

αZ =025.0Z =1.96

N=

222

)

1(p

p p ?-?Z α=2

204.098

.002.096.1??=47.06

答：所以应取样本数48。 7.28 某超市想要估计每个顾客平均每次购物花费的金额。根据过去的经验，标准差大约为

120元，现要求以95%的置信水平估计每个购物金额的置信区间，并要求边际误差不超过20元，应抽取多少个顾客作为样本？

解：已知120=σ，20=E ，当05.0=a 时，96.12/05.0=z 。

应抽取的样本量为：13920

120*96.1)(2

2

22222/≈==E z n σα 7.29 假定两个总体的标准差分别为121=σ，152=σ，若要求误差范围不超过5，相应的

置信水平为95%，假定21n n =，估计两个总体均值之差21μμ-时所需的样本量为多大。

7.30 假定21n n =，边际误差05.0=E ，相应的置信水平为95%，估计两个总体比例之差

为21ππ-时所需的样本量为多大。