上海2020高三数学一模分类汇编-函数(详答版)
2020年一模汇编——函数
一、填空题
【杨浦1】函数12
()f x x -
=的定义域为
【答案】(0,)x ∈+∞
【解析】12
()f x x
-==
(0,)x ∈+∞ 【长宁，嘉定，金山2】方程27x =的解为 【答案】2log 7x =
【解析】本题考察了对数的概念 【杨浦3】已知函数()f x 的反函数1
2()log f
x x -=，则(1)f -=
【答案】
12
【解析】因为2
1log 12=-，所以1(1)2
f -= 【宝山3】函数)1(3
1
<=-x y x 的反函数是 .
【答案】1log 3+=x
y ，]1,0(∈x 【解析】y x ,互换，1
3
-=y x ?1log 3
+=x
y
]1,0(∈x 【普陀5】设函数()log (4)(01)a f x x a a =+≠＞且，若其反函数的零点为2，则a =__________. 【答案】2
【解析】反函数-1
(2)0f =，有2
(0)log (04)=log 2=2a a f =+，易知2a =
【崇明5】函数
()f x =的反函数是 ．
【答案】1
2()1(0)f
x x x -=-≥
【解析】令1+=
x y ,2211y x x y ∴=+?=-
【徐汇5】 已知()y f x =是定义在R 上的偶函数，且它在[0,)+∞上单调递增，那么使得(2)()f f a -≤成立的实数a 的取值范围是
【答案】
(][),22,-∞-+∞U
【解析】由题，()y f x =是定义在R 上的偶函数，且它在[0,)+∞上单调递增，则
()f x 在
(],0-∞上单调递减，(2)()f f a -≤，则2a -≤，解得a 的取值范围是(][),22,-∞-+∞U
【闵行6】设函数22log (1)1
()log 1
x f x x --=
，则方程()1f x =的解为
【答案】2x = 【解析】22222log (1)1
()=log (1)log log (1)1log 1
x f x x x x x x --=
-+=-=Q
()()12
100x x x x -=??
∴-???
＞＞2x ∴= 【奉贤8】已知点()3,9在函数()1x f x a =+的图像上，则()f x 的反函数为()1
f x -=
__________. 【答案】()2log 1x -
【解析】将点()3,9代入函数()1x f x a =+中得2a =，所以()12x
f x =+，用y 表示x 得
()2log 1x y =-，所以()1f x -=()2log 1x -
【虹口8】设1()f x -为函数2()log (41)x f x =-的反函数，则当1()2()f x f x -=时，x 的值为_________. 【答案】1
【解析】由于函数2()log (41)x f x =-的反函数为)12(log 4+=x
y ，当1()2()f x f x -=， 即)12(log 2)14(log 42+=-x
x
，计算出1=x 【松江8】已知函数()y f x =存在反函数()-1y f x =，若函数()+2y f x =的图像经过
点
()16
，，则函数()-12+log y f x x =的图像必过点__________. 【答案】
()43，
.
【解析】()y f x =的图像过点()14，，()-1y f x =过点()41，，()-12+log y f x x =的图
像过点
()43，
. 【普陀10】已知函数2
2
()(815)()f x x x ax bx c =++++是偶函数，若方程21ax bx c ++=在区间[]
1,2上有解，则实数a 的取值范围是_____________.
【答案】11,83
??????
【解析】函数整理为()()()()4
3
2
()815815815f x ax a b x a b c x b c x c =+++++++++，
因为函数是偶函数，需80a b +=，1580b c +=，即8b a =-，15
c 158
b a =-
=，所以21ax bx c ++=可整理：281510ax ax a -+-=.令()28151g x ax ax a =-+-，对称轴
4x =在区间[]1,2的右侧，可保证区间内函数()g x 单调，根据零点存在性定理：
()()120g g ?≤，即()()81514161510a a a a a a -+-?-+-≤，易得11,83a ??
∈????
【崇明10】已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数．当01x <≤时，3(1)f x x ax =-+，则实数a 的值等于 ．
【答案】2
【解析】函数为奇函数，)()(x f x f -=-，当1-≤x <0时，1)(3
--=ax x x f ， 函数周期为2，所以)1()1(f f =-，代入得2=a
【黄浦10】已知函数()y f x =与()y g x =的图像关于直线y x =对称，
若
2()log (22)x
f x x =++，则满足2()lo
g 3()f x g x >>的x 的取值范围是 【答案】2(0,log 15)
【解析】
2222
3
()log (22)log 3log (22)log 02x x x f x x x =++>?+>?>
由题意得
2()log (22)x
f x x =++单调递增，故反函数单调递增，22(lo
g 3)log 15f =， 112222log 3()log 3(log 15)()log 15g x f f x x -->?=>?<
【青浦10】已知对于任意给定的正实数k ，函数()22x x
f x k -=+?的图像都关于直线x m
=
成轴对称图形，则m = 【答案】21log 2
k
【解析】对任意的R x ∈，)()(x m f m x f -=+成立，故m x x m m x m x k k ----+?+=?+2222，整理得0)22)(22(=?----m m x x k ，所以022=?--m m k ，即k m 2log 2
1=. 【松江10】函数=
ax b
y cx d
++的图像如图，若图像经过()()0-1-4,3，，两点，且-1x =和2
y =是其两条渐近线，则:::a b c d = __________. 【答案】2:-1:1:1.
【解析】()==
ad
b a ad
c cx
d b ax b a c c c y d
cx d cx d c x c
-
++-+=++++，由于-1x =和2y =是其两条渐近线，则12d a
c c ==，，又函数图像经过()0-1，
，所以-1b d
=，所以:::2:-1:1:1a b c d =.
【杨浦10】已知六个函数（1）21
y x
=；（2）cos y x =；（3）12y x =；（4）arcsin y x =；
（5）1lg(
)1x
y x
+=-；（6）1y x =+，从中任选三个函数，则其中弃既有奇函数又有偶函数的选法有 种。 【答案】12
【解析】奇函数有(4)(5)，偶函数有(1)(2)，所以一共有两奇一偶2种，一奇两偶2种，一奇一偶8种，合计12种 【杨浦11】已知函数1()1(0)f x x x
=-
>，若关于x 的方程[]2
()()230f x mf x m +++=有三个不相等的实数解，则实数m 的取值范围为 【答案】34(,]23
m ∈-
- 【解析】设()f x t =，则当(0,1)x ∈时，t 有两个解，当{}1[1,)x ∈?+∞时，t 有一个解，因为2
230t mt m +++=有三个解，而一个一元二次方程最多两个解，因此这两个解一定
一个在(0,1)，另一个在{}1[1,)?+∞，当另一个为1x =时，两根之积为0，此时32
m =-
，而两根之和不可能为
3
2，矛盾，因此另一个在[1,)+∞，因此(0)0(1)0
f f >??≤?，即230340m m +>??+≤?，所以34(,]23
m ∈-
- 【闵行11】若()|||3|f x x a x a =-?-，且[0,1]x ∈上的值域为[0,(1)]f ，则实数a 的取值范围是 【答案】10,4
??????
【解析】当0a =时，符合，当0a >时必有1
4104
a a ≤?<≤
当0a <时，()f x 单调递增，值域为()()()20,13,1f f a f ??=??????，不符合
【奉贤11】
给出下列一组函数：()()
212log +23f x x x =+、()()
2
2ln 2+58f x x x =+、()()23lg 3+813f x x x =+、()()240.3log +7.46551713.931034f x x x =+，......，请你通过研究
以上所给的四个函数解析式具有的特征，写出一个类似的函数解析式
()2log a y Ax Bx C =++()0,1a a >≠：______________.
【答案】()
23log 4710y x x =++（答案不唯一） 【解析】(
)222,log 2610
A C
B y x x +==++
【黄浦11】设函数()y f x =的定义域为D ，若对任意的1x D ∈，总存在2x D ∈，使得
12()()1f x f x ?=，则称函数()f x 具有性质M ，下列结论：① 函数3y x x =-具有性质M ；
② 函数35x x y =+具有性质M ；③若函数8log (2)y x =+，[0,]x t ∈具有性质M ，则
510t =；④若3sin 4
x a
y +=
具有性质M ，则5a =；其中正确结论的序号是 【答案】②③
【解析】①函数3y x x =-，由于(0)0f =，故不成立 ②函数35x x y =+值域(0,)+∞，所以具有性质M ③函数8log (2)y x =+，[0,]x t ∈单调递增，1
(0)3
f =，故()3510f t t =?= ④若3sin 4
x a
y +=
具有性质M ，则5a =±，故不成立 【松江11】若实数,0a b >，满足abc a b c =++，221a b +=，则实数c 的最小值为________.
【答案】-
【解析】法1（三角换元），令cos ,sin ,0,2a b πθθθ??
==∈ ???
代入得cos sin sin cos 1
c θθ
θθ+=-，再设sin cos t θθ=+
，可知(
t ∈
所以22
22
3131
2
t t c t t t t =
==---
-，
在(t ∈上单调递减，
故t =时c 最小，
最小为
-
法2.
根据对称式的形式，大胆猜测当2
a b ==
时c
最小，代入得c =-
【静安12】设0,,0,0a a M N >≠1>>，我们可以证明对数的运算性质如下：
log log log log a a a a M N M N a a a MN +==Q ，① log log log a a a MN M N ∴=+.我们将①式称
为证明的“关键步骤”.则证明log log r
a a M r M =（其中0,M r R >∈）的“关键步骤”为
________.
【答案】log log r
a a M r M =
【解析】log log ()a a M r M r
r a
a M ==Q ,log log r a a M r M ∴=.
【普陀12】若M N 、两点分别在函数()y f x =与()y g x =的图像上，且关于直线1x =对称，则称M N 、是()y f x =与()y g x =的一对“伴点”（M N 、与N M 、视为相同的一
对）。已知
2(2 ()
4(4)(2
x x
f x
x x
?--
?
=?
--
??
＜）
≥）
，()=1
g x x a
++若()
y f x
=与()
y g x
=存在两对“伴点”，则实数a的取值范围为____________.
【答案】(322,122)
-+
【解析】数形结合，画出()
y f x
=的图像，并作出()
y f x
=关于1
x=对称的图像()22
()=24
f x x y
'++=，又由题意，即()
f x
'与()
g x有两个交点，∴a取值范围的界值在()
g x与半圆2
4(2)
y x
=-+相切时取到，即点(2,0)
-到直线1
y x a
=++和直线1
y x a
=--+的距离均为2，2
2
=，2
2
=，∴122
a=+，322
a=-，∴a∈(322,122)
-+
【虹口12】已知函数()
f x的定义域为R，当(0,2]
x∈时，()(2)
f x x x
=-，且对任意的x∈R，均有(2)2()
f x f x
+=，若不等式
15
()
2
f x≤在(,]
x a
∈-∞上恒成立，则实数a的最大值为
【答案】
4
27
【解析】
]2,0(
∈
x
Θ时，]1,0[
)
(
)
2(
)
(∈
?
-
=x
f
x
x
x
f
又)
(
2
)2
(x
f
x
f=
+
Θ可知
]2,0[
)
(
]4,2(∈
?
∈x
f
x
]8,0[
)
(
]8,6(
]4,0[
)
(
]6,4(∈
?
∈
∈
?
∈x
f
x
x
f
x，此时包含
2
15
)6
(
8
)4
(
4
)2
(
2
)
(
],
8,6(-
=
-
=
-
=
∈x
f
x
f
x
f
x
f
x
可知当)8)(6()62)(6()6(]2,0(6]8,6(x x x x x f x x --=+--=-∈-∈，
4
27,429215
)8)(6(8)6(8)(21==
?=--=-=x x x x x f x f
所以a 的最大值
4
27 【徐汇12】已知函数2
41
1()6101
x x f x x x x -+>-?=?++≤-?关于x 的不等式()220f x mx m ---<的解集是123(,)(,)x x x +∞U ，
若1230x x x >，则123x x x ++的取值范围是 【答案】)
2712,?-+∞?
【解析】此题转化为数形结合，即()()22f x m x <++，画出大致图像，如下图：
因为直线()22y m x =++恒过定点()2,2-，显然
22x =-。
则联立()2
22610
y m x y x x ?=++??
=++??，得()2
6820x m x m +-+-=，
有126x x m +=-，则14x m =-。同理： 联立()22
41
y m x y x =++???
=-+??，得3124m x m --=+。
又因1230x x x >，故只需过()0,1D 为m 的临界值，带入求得12
m =-。 要符合题意，故14,2
m ??∈-- ??
?
则111127
64271244
m x x x m m m m +++=--
=++≥-++， 故1112712x x x ++≥-，当且仅当74m =
-时，等号成立
【长宁，嘉定，金山12】已知函数()1
,f x x a x
=+
+若对任意实数a ,关于x 的不等式
()f x m ≥在区间1,32??
????
上总有解，则实数m 的取值范围为
【答案】2,3
??-∞ ??
?
【解析】1110,3,2,,23x t x ????∈∈????????时，令t=x+即：()10t 2,3f t t a m ??
=+≥∈????在上总有
解，即()max 10;t 2,
3m f t ??
≤∈????
，当()()min 1023a t t a f t a m ≥-=+?=+≥时，f 在2a ≥-上恒成立，即：104233m ≤-=，当()[)
10,,10323,2,t a t a a t t a t a ???
+∈-???-<<-=?
???--∈-?
时，f 时，()f t 的最大值
10
+-2-3
a a 或中取到 ， 即()()max 1042222,3333f t a a f t m ≥--++=?≥≤综上 2,3m ?
?∈-∞ ??
?
二、选择题
【普陀13】{}1,2m ∈“”是ln 1m “＜”
成立的（ ） 【A 】充分非必要条件 【B 】必要非充分条件【C 】充要条件 【D 】既非充分既非必要条件 【答案】A
【解析】()ln 10,m m e ?∈＜
，又{}()1,20,m m e ∈?∈，所以{}1,2m ∈是()0,m e ∈的充分不必要条件
【宝山13】若函数1
()ln f x x a x
=-
+在区间(1,)e 上存在零点，则常数a 的取值范围（ ） 【A 】01a << 【B 】1
1a e
<< 【C 】 【D 】
【答案】C
【解析】由零点存在性定理得：1(1)(1)0a a e -+-
+<解得：1
11a e -<<
【长宁，嘉定，金山14】下列函数中，值域为),0(+∞的是( )
1e -1 【A 】x y 2= 【B 】2 1x y = 【C 】x y ln = 【D 】x y cos = 【答案】A 【解析】A 的值域） ，（∞+0，B 的值域[)∞+，0，C 的值域R ，D 的值域[]11+-，. 【浦东14】已知函数1 ()f x -为函数()f x 的反函数，且函数(1)f x -的图像经过点11（，），则 函数1 ()f x -的图像一定经过点（ ） 【A 】01（，） 【B 】 10（，） 【C 】12（，） 【D 】21（，） 【答案】B 【解析】函数(1)f x -的图像经过点11（，），()f x 的图像经过01（，），那么1 ()f x -的图像经过 10（，），故答案选B 。 【宝山14】 下列函数是偶函数，且在[0,)+∞上单调递增的是（ ） 【A 】2()log (41)x f x x =+- 【B 】()2cos f x x x =- 【C 】221 (0)0(0) )(x x x f x x +≠=??=??? 【D 】l g ()10x f x = 【答案】A 【解析】222 411()log (41)log log (2)22x x x x x f x x +=+-==+,()()f x f x ∴-=∴是偶函数，由复合函数单调性知()f x 在[0,)+∞上单调递增，∴ 选A 【虹口15】已知函数()|2|f x x =+，()||g x x t =+，定义函数() ()() ()() ()() f x f x g x F x g x f x g x ≤?=? >?， 若对任意的x ∈R ，都有()(2)F x F x =-成立，则t 的取值为（ ） 【A 】4- 【B 】2- 【C 】 0 【D 】2 【答案】A 【解析】由题目可知，函数是关于1x =对称的，因此画图可以推出t 为4- 【杨浦16】对于全集R 的子集A ，定义函数1() ()0() A R x A f x x C A ∈?=?∈?为A 的特征函数，设,A B 为全集R 的子集，下列结论中错误的是（ ） 【A 】若A B ?，则()()A B f x f x ≤ 【B 】()1()R C A A f x f x =- 【C 】()()()A B A B f x f x f x =?I 【D 】()()()A B A B f x f x f x =+U 【答案】D 【解析】针对每个选项举例说明即可。D 明显是错的，因为当x A B ∈I 时，()1A B f x =U ， ()()112A B f x f x +=+=，不相等。 三、解答题 【杨浦18】已知函数()2,2 x x a f x =+ 其中a 为实常数 （1）若(0)7f =，解关于x 的方程()5f x = （2）判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由 【答案】（1）26, 1log 3a x ==或 （2）1a =-时，为奇函数；1a =时，为偶函数1a ≠±时，为非奇非偶函数 【解析】 226 (1)(0)7 6 ()2 2 6 ()2 5 (2)5260 2232 1log 3 x x x x x x x f a f x f x x =∴=∴=+∴=+ =∴-?+=∴=∴=Q 或或 （2）0 x x R ≠∴∈Q 2 若()f x 为偶函数，则()-(-)=0f x f x 对于任意x R ∈恒成立 --1112-2-=0 2-2-=2(1-)-(1-)=(1-)(2-)=0222222 x x x x x x x x x x x x a a a a a a a ∴+ ∴+???? 恒成立=1a ∴ 若()f x 为奇函数，则()+(-)=0f x f x 对于任意x R ∈恒成立 --1112+2+=0 2+2+=2(1+)+(1+)=(1+)(2+)=0222222 x x x x x x x x x x x x a a a a a a a ∴+ ∴+???? 恒成立=-1a ∴ 综上，当=1a 时，()f x 为偶函数，当=-1a ∴时，()f x 为奇函数 当1 ()a f x ≠±，为非奇非偶函数 【徐汇18】设函数 2()||f x x x a =+-（x ∈R ，a 为实数）. （1）若()f x 为偶函数，求实数a 的值； （2）设1 2 a > ，求函数()f x 的最小值（用a 表示）. 【答案】（1）0a =；（2）1 4 a - 【解析】（1）由题知，()()f x f x -=，即x a x a -=+，解得0a = （2）()2 2,,x x a x a f x x x a x a ?+-≥?=?-+ 当x a ≥时，()f x 的最小值为()2 f a a =， 当x a <时，()f x 的最小值为1124f a ?? =- ??? ， 由于2 211042a a a ? ???--=-> ? ?? ???，所以函数()f x 的最小值为14a -。 【闵行18】已知函数()22x x a f x =+ . （1）若()f x 为奇函数，求a 的值； （2）若()3f x <在[1,3]x ∈上恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）1a =-（2）()40-∞-， 【解析】（1）()f x Q 定义域为R ，且为奇函数 ()010,1f a a ∴=+=∴=- （2）()[]231,32x x a f x x =+ <∈Q 在上恒成立 () 2 232x x a ∴<-+?，令[]2,2,8x t t =∈， 则2 min (3)40a t t <-+=- a ∴的取值范围为()40-∞-，。 【普陀18】 设函数-22()x x f x a = 1 . （1）当4a =-时，解不等式()5f x ＜； （2）若函数()f x 在区间[ )2+∞，上是增函数，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）()0,2 （2）[ )16-+∞， 【解析】（1）当4a =-时，()--2224250x x x x f x a =-=+?-＜，故-24250x x +?-＜， 有()() 21240x x --＜，解得()0,2x ∈ （2）()f x 在区间[ )2+∞，上是增函数，()()2f x f ≥恒成立，-1 2244 x x a a -- ≥整理得2 2 x a +-≥，因为[)2x ∈+∞，，所以[ )16a ∈-+∞， 【奉贤18】某纪念章从某年某月某日起开始上市，通过市场调查，得到该纪念章每1枚的市场价y （单位：元）与上市时间x （单位：天）的数据如下： （1）根据上表数据，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价与上市时间的变化关系并说明理由：○1y ax b =+；○22y ax bx c =++；○3log b y a x =?；○4x y k a =?； （2）利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格。 【答案】（1）○2；（2）()2 120264 y x = -+，上市20天，最低价26元 【解析】（1）∵随着时间x 的增加，y 的值先减后增 -----------1分 三个函数中y ax b =+、log b y a x =、x a k y ?=显然都是单调函数， 不满足题意 ------------4分 ∴选择2 y ax bx c =++． -----------1分 （2）把点(4,90)，(10,51)，(36,90)代入2 y ax bx c =++中， 得16490100105112963690 a b c a b c a b c ++=?? ++=??++=? ，解得126,10,41=-==c b a ． ∴()2 21110126202644 y x x x = -+=-+， --------4分 ∴当20x =时，y 有最小值 min 26y =． -----------3分 答：当纪念章上市20天时，该纪念章的市场价最低，最低市场价为26元． -------1分 【浦东19】某贫困村共有农户100户，均从事水果种植，平均每户年收入为8.1万元．在当地政府大力扶持和引导下，村委会决定，2020年初抽出x 5户（9,≤∈* x N x ）从事水果销售工作．经测算，剩下从事水果种植的农户平均每户年收入比上一年提高了%4x ，而从事水果销售的农户平均每户年收入为?? ? ?? - x 513万元． （1）为了使从事水果种植的农户三年后平均每户年收入不低于2.4万元，那么2020年初至 少应抽出多少农户从事水果销售工作？ （2）若一年后，该村平均每户的年收入为()f x （万元），问()f x 的最大值是否可以达到 2.1 万元？ 【答案】（1）15（2）可以达到 【解答】（1）经过三年，种植户的平均收入为3 1.8(14%)x + 因而由题意31.8(1) 2.425 x + ≥ ，得1 2.516125x x +≥≥ 由3x Z x ∈?≥,即至少抽出15户贫困农户从事水果销售工作. （2）2*5(3) 1.8(1005)(1) 13466525()(180)(,9)100100255 x x x x f x x x x N x -+?-+= =-++∈≤ 对称轴*165 34 x N = ?， 因而当()95<=x 时，max () 2.12 2.1f x => 可以达到2.1万元． 【宝山19】一家污水处理厂有A 、B 两个相同的装满污水的处理池，通过去掉污物处理污水，A 池 用传统工艺成本低，每小时去掉池中剩余污物的10%，B 池用创新工艺成本高，每小时去掉 池中剩余污物的19%. （1）A 池要用多长时间才能把污物的量减少一半；（精确到1小时） （2）如果污物减少为原来的10%便符合环保规定，处理后的污水可以排入河流，若A 、B 两池同时工作，问经过多少小时后把两池水混合便符合环保规定.（精确到1小时） 【答案】（1）7；（2）17 【解析】设A 、B 池中各有的初始污物量都为1，n a 表示A 池中n 小时后的污物量，n b 表示B 池中n 小时后的污物量（* n N ∈）； （1）由题意得0.9n n a =， ()0.90.90.5log 0.5 6.587n n a n n =≤?≥≈?≥ 故A 池要用7小时才能把污物的量减少一半 （2）由题意得0.81n n b =， 0.90.8120.10.2n n n n a b +=+≤?=； 根据指数函数单调性，可得0.90.81n n n n a b +=+为递减数列，又由计算可得 16160.2a b +>，17170.2a b +<；则116n ≤≤时，0.2n n a b +≥；17n ≥时，0.2n n a b +≤； 综上，经过17小时后把两池水混合便符合环保规定 【崇明19】某辆汽车以 x 公里/小时速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全要求 60120x ≤≤）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为145001005x x ??-+ ??? 升． （1）欲使每小时的油耗不超过9升，求 x 的取值范围； （2）求该汽车行驶100 公里的油耗y 关于汽车行驶速度 x 的函数，并求y 的最小值． 【答案】（1）x 的取值范围是[] 60,100；（2）最小值 809 升 【解析】 (1) 由1450010095x x ??-+≤ ??? 得2 14545000x x +?-，所以45100x ＃ 又因为60120x ＃，所以x 的取值范围是[]60,100 (2) 设该汽车行驶100公里的油耗为y 升， 则10014500(100)5y x x x = ?+，（60120x ＃）21180 90000()909 x =-+ 因为60120x ＃，所以111 [ ,]12060 x ? 所以当90x =时，该汽车行驶100 公里的油耗取得最小值809升 【松江19】汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离(并结合车速转化为所需时间)，当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车，某种算法(如下图所示)将报警时间划分为4段，分别为准备时间0t 、人的反应时间1t 、系统反应时间2t 、制动时间3t ,相应的距离分别为0d 、1d 、 2d 、3d .当车速为v (米/秒)， 且[]0,33.3v ∈时， 通过大数据统计分析得到下表(其中系 数k 随地面湿滑程度等路面情况而变化，[]0.5,0.9k ∈ ). (1)请写出报警距离d (米) 与车速v (米/秒) 之间的函数关系式()d v ；并求0.9k =时， 若汽车达到报警距离时人和系统均不采取任何制动措施，仍以此速度行驶，则汽车撞上固定障碍物的最短时间，(精确到0.1秒) (2)若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于80米，则汽车的行驶速度应限制在多少米/秒以下?合多少千米/小时(精确到1千米/小时) ? 【答案】（1）3.1秒； （2）72千米/小时. 【解析】由题意得()0123 d v d d d d =+++ ……………………… 1分 ∴()2 12020d v v v k =++ …………………… 3分 当0.9k =时，()2 2018 v d v v =++， ……………4分 ()20201011212=3.118183 v v t v v v = ++≥+?=+（秒）.……………7分 （1） 根据题意，要求对于任意[]0.5,0.9k ∈，()80d v <恒成立， …………9分 即对于任意[]0.5,0.9k ∈，21208020v v k ++<，即21601 20k v v <-恒成立 由[]0.5,0.9k ∈得 111,201810k ?? ∈???? ∴ 21601 10v v <- 即2106000v v +-< ……………………12分 解得3020v -<<；∴020v ≤<(米/秒)， ………………………13分 3600 20721000 ? =（千米/小时） ∴汽车的行驶速度应限制在20米/秒以下，合72千米/小时. …………14分 【黄浦19】某研究所开发了一种新药，测得成人注射该药后血药浓度y （微克/毫升）与给药时间x （小时）之间的若干组数据，并由此得出y 与x 之间的一个拟合函数 240(0.60.6)x x y =-（[0,12]x ∈），其简图如图所示，试根据此拟合函数解决下列问题： （1）求药峰浓度与药峰时间（精确到0.01小时），并指出血药浓度随时间的变化趋势； （2）求血药浓度的半衰期（血药浓度从药峰浓度降到其一半所需要的时间）（精确到0.01小时） 【答案】（1）见解析 （2）2.40小时 【 解 析 】 （ 1 ） 令 0.6x t =，则 2240(0.60.6)40()x x y t t =-=--，……………………2分 240(0.5)1010y t =--+≤，当且仅当0.5t =，即0.6log 0.5[0,12]x =∈时， 10y =， 故y 的最大值为10，此时0.6log 0.5 1.36x =≈， 所以药峰浓度为10(微克/毫升)，药峰时间为1.36小时． …………………6分 由函数简图知，当0.6[0,log 0.5]x ∈时，血药浓度随时间增大而增大； 当0.6[log 0.5,12]x ∈时，血药浓度随时间增大而减小． ……………………8分 （2）令240()5y t t =--=，可得21 08 t t -+=， …………………………………10分 解得t = 或t =t =可得0.6log x =12分 故血药浓度的半衰期为0.6 0.6log log 0.5 2.40-≈（小时） ．…………………14分 【静安21】现定义：设a 是非零实常数，若对于任意的D x ∈，都有()()x a f x a f +=-，则称函数()x f y =为“关于的a 偶型函数” （1）请以三角函数为例，写出一个“关于2的偶型函数”的解析式，并给予证明 （2）设定义域为的“关于的a 偶型函数”在区间()a ,-∞上单调递增，求证在区间()+∞,a 上单调递减 （3）设定义域为R 的“关于 2 1 的偶型函数”()x f y =是奇函数，若*N n ∈，请猜测()n f 的值，并用数学归纳法证明你的结论 【答案】（1）()2cos -=x y 答案不唯一 （2）证明见解析 （3）()0=n f 【解析】解：（1）sin 4y x π =． ………………………………………………… （2分） 证明：对于任意的x R ∈， (2)(2)sin sin sin sin sin 42424244x x x x x πππππππππ-??+?????? =-=--=+= ? ? ?????? ?????Q ， ∴sin 4 y x π =为“关于2的偶型函数”． ………………………………（3分） 注：以2=x 为对称轴的三角函数均可． （2）证明：()()f a x f a x -=+Q ， 令a x t +=，则()[()](2)f t f a t a f a t =--=-， 所以()(2)f x f a x =-． ………………………………………………………（2分） 设12a x x <<，则21x x a -<-<-，2122a x a x a -<-<， 2121()()(2)(2)f x f x f a x f a x -=---． …………………………………（2分） Q ()f x 在),(a -∞上单调递增， 21(2)(2)f a x f a x ∴-<-即21()()f x f x <．…………………………（1分） ∴)(x f y =在区间),(+∞a 上是单调递减函数．……………………… （1分） 备注：学生有用单调性证明的意识，如任取变量后作差，可以给2分 （3）猜测：0)(=n f ，其中* ∈N n ． ………………………………………（2分） 证明：当1=n 时，0)0()11()1(==-=f f f ． ………………………… （1分） 假设当k n =时有0)(=k f ． ……………………………………………（1分） 当1+=k n 时，0)()]1(1[)1(==+-=+k f k f k f ． ………………（2分） 所以，对于* ∈N n ，都有0)(=n f ． ……………………………………（1分） 备注：不用数学归纳法证明，结论正确得2分，证明过程正确加再1分（相当于证明n=1）． 【青浦21】已知函数()f x 的定义域为[0,2]，且()f x 的图像连续不间断，若函数()f x 满足：对于 给定的实数m 且02m <<，存在0[0,2]x m ∈-，使得00()()f x f x m =+，则称()f x 具有 性质()P m . （1）已知函数()f x =()f x 是否具有性质1()2 P ，并说明理由； （2）求证：任取(0,2)m ∈，函数2 ()(1)f x x =-，[0,2]x ∈具有性质()P m ； （3）已知函数()sin f x x π=，[0,2]x ∈，若()f x 具有性质()P m ，求m 的取值范围. 【答案】（1）()f x 具有性质1 ()2 P ；（2）证明略；（3）(0,1]m ∈. 【解析】（1）()f x 具有性质1 2P （），设030,2x ??∈???? ，令001 ()()2 f x f x =+，则 22001 (1)()2 x x -=-. 解得034x = ，又330,42??∈????，所以()f x 具有性质12 P （） ； （2）证明：任取[]00,2x m ∈-，令00()()f x f x m =+，则22 00(1)(+1)x x m -=-， 因为0m ≠，解得012m x =- +.又02m <<，所以0112 m <-+<， 当02m <<，012m x =-+时，0(2)(2)(1)1022 m m m x m --=---+=-> 即0122 m m <- +<-，即任取实数()0,2m ∈，()f x 都具有性质()P m ； （3）(]0,1m ∈.首先，若(]0,1m ∈，取012m x -=，则102 m -≥且 132022 m m m ----=>，故0[0,2]x m ∈-. 又0()sin 22m m f x π ??=- ???，00(+)sin sin ()222 2m m f x m f x ππ ππ ???? =+ =- = ? ????? ， 所以()f x 都具有性质()P m . 假设存在1,2m ∈（）使得()f x 都具有性质()P m ，即存在0[0,2]x m ∈-.使得 00()()f x f x m =+. 若0=0x ，则()0001,2()0,()0x m f x f x m +∈=+<（），，00()()f x f x m ≠+； 若00,2]x m ∈-（，则(]0,2x m m +∈（），进而()00,1x ∈，(]01,2x m +∈（），0()0f x >，0()0f x m +≤，00()()f x f x m ≠+.所以假设不成立.所以(]0,1m ∈. 【长宁，嘉定，金山21】（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知函数()f x x x a =-，其中a 为常数. (1)当1a =时，解不等式()2f x <； (2)已知()g x 是以为2为周期的偶函数，且当01x ≤≤时，有()()g x f x =.若0a <，且 35 ()24 g =，求函数()([1,2])y g x x =∈的反函数； (3)若在[0,2]上存在n 个不同的点* (1,2,,,4,)i x i n n n N =≥∈L ，12n x x x << 12231()()()()()()8n n f x f x f x f x f x f x --+-++-=L ，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)(,2)-∞- (2) 3[0,3])y x =-∈ (3)(,2][6,)-∞-+∞U 【解析】(1)依题意得：12x x -< 当1x ≥时，220x x --<，即12x ≤< 2018 年高三一模语文汇编—文言文阅读（一） 【长宁嘉定】 ①程昱字仲德，东郡东阿人也。初平中，兖州刺史刘岱辟昱，昱不应。又表昱为骑都尉，昱辞以疾。刘岱为黄巾所杀。太祖临兖州，辟昱。昱将行，其乡人谓曰：“何前后之相背也！”昱笑而不应。 ②太祖征徐州，使昱与荀彧留守鄄城。张邈等叛迎吕布，郡县响应，唯鄄城、范、东阿不动。布军降者，言陈宫欲自将兵取东阿，又使汜嶷取范，吏民皆恐。昱乃过范，说其令靳允。时汜嶷已在县允乃见嶷伏兵刺杀之归勒兵守。昱又遣别骑绝仓亭津，陈宫至，不得渡。昱至东阿，东阿令枣祗已率厉吏民，据城坚守。又兖州从事薛悌与昱协谋，卒完三城，以待太祖。太祖还，执昱手曰：“微子之力，吾无所归矣。”乃表昱为东平相，屯范。 ③刘备失徐州，来归太祖。昱说太祖杀备，太祖不听。后又遣备至徐州要击袁术，昱与郭嘉说太祖曰:“公前日 不图备，昱等诚不及也。今借之以兵，必有异心。”太祖悔，追之不及。会术病死，备至徐州，遂杀车胄，举兵背太祖。顷之，昱迁振威将军。 ④袁绍在黎阳，将南渡。时昱有七百兵守鄄城，太祖闻之，使人告昱，欲益二千兵。昱不肯，曰:“袁绍拥十万 众，自以所向无前。今见昱兵少，必轻易不来攻。若益昱兵，过则不可不攻，攻之必克，徒两损其势。愿公无疑！” 太祖从之。绍闻昱兵少，果不往。太祖谓贾诩曰: “程昱之胆，过于贲、育。” （选自《三国志?卷十四》，有删改） 15. 写出下列加点词在句中的意思。（2 分） 太祖临．兖州（2）举．兵背太祖 16. 为下列句中加点词选择释义正确的一项。（2 分） （1）言陈宫欲自将．兵取东阿（） A. 将要 B. 将军 C. 带领 D. 派遣 （2）卒完．三城（） A. 终结 B. 完好 C. 修缮D 保全 17. 第②段画横线部分断句正确的一项是（）（2 分） A.时汜嶷已在/ 县允乃见/嶷伏兵刺杀之/ 归勒兵守 B. 时汜嶷已在/县允乃见嶷伏兵/刺杀之归/勒兵守 C. 时汜嶷已在县/允乃见嶷/伏兵刺杀之/ 归勒兵守 D. 时汜嶷已在县/允乃见/嶷伏兵刺杀之归/勒兵守 18. 把第④段画线句译成现代汉语。（6 分） 袁绍拥十万众，自以所向无前。今见昱兵少，必轻易不来攻。若益昱兵，过则不可不攻，攻之必克，徒两损其势。 19. 第②段画波浪线句子反映了太祖怎样的心情？下列选项中最不恰当的一项是（）（2 分） A. 感激 B. 自豪 C. 庆幸 D. 欣慰 20. 第①段“两拒刘岱”和第③段“两劝杀备”都反映了程昱和的特点。（4 分） 【答案】： 15. （2 分）（1）到（2）发动 16. （2 分）（1）C （2）D 17. （2 分）C 2020年一模汇编——函数 一、填空题 【杨浦1】函数12 ()f x x - =的定义域为 【答案】(0,)x ∈+∞ 【解析】12 ()f x x -== (0,)x ∈+∞ 【长宁，嘉定，金山2】方程27x =的解为 【答案】2log 7x = 【解析】本题考察了对数的概念 【杨浦3】已知函数()f x 的反函数1 2()log f x x -=，则(1)f -= 【答案】 12 【解析】因为2 1log 12=-，所以1(1)2 f -= 【宝山3】函数)1(3 1 <=-x y x 的反函数是 . 【答案】1log 3+=x y ，]1,0(∈x 【解析】y x ,互换，1 3 -=y x ?1log 3 +=x y ]1,0(∈x 【普陀5】设函数()log (4)(01)a f x x a a =+≠＞且，若其反函数的零点为2，则a =__________. 【答案】2 【解析】反函数-1 (2)0f =，有2 (0)log (04)=log 2=2a a f =+，易知2a = 【崇明5】函数 ()f x =的反函数是 ． 【答案】1 2()1(0)f x x x -=-≥ 【解析】令1+= x y ,2211y x x y ∴=+?=- 【徐汇5】 已知()y f x =是定义在R 上的偶函数，且它在[0,)+∞上单调递增，那么使得(2)()f f a -≤成立的实数a 的取值范围是 【答案】 (][),22,-∞-+∞U 【解析】由题，()y f x =是定义在R 上的偶函数，且它在[0,)+∞上单调递增，则 ()f x 在 (],0-∞上单调递减，(2)()f f a -≤，则2a -≤，解得a 的取值范围是(][),22,-∞-+∞U 【闵行6】设函数22log (1)1 ()log 1 x f x x --= ，则方程()1f x =的解为 【答案】2x = 【解析】22222log (1)1 ()=log (1)log log (1)1log 1 x f x x x x x x --= -+=-=Q ()()12 100x x x x -=?? ∴-??? ＞＞2x ∴= 【奉贤8】已知点()3,9在函数()1x f x a =+的图像上，则()f x 的反函数为()1 f x -= __________. 【答案】()2log 1x - 【解析】将点()3,9代入函数()1x f x a =+中得2a =，所以()12x f x =+，用y 表示x 得 ()2log 1x y =-，所以()1f x -=()2log 1x - 【虹口8】设1()f x -为函数2()log (41)x f x =-的反函数，则当1()2()f x f x -=时，x 的值为_________. 【答案】1 【解析】由于函数2()log (41)x f x =-的反函数为)12(log 4+=x y ，当1()2()f x f x -=， 即)12(log 2)14(log 42+=-x x ，计算出1=x 【松江8】已知函数()y f x =存在反函数()-1y f x =，若函数()+2y f x =的图像经过 点 ()16 ，，则函数()-12+log y f x x =的图像必过点__________. 【答案】 ()43， . 导数 1.【2017课标II ，理11】若2x =-是函数21()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（ ） A.1- B.32e -- C.35e - D.1 【答案】A 【解析】()()2121e x f x x a x a -'??=+++-??? ， 则()()324221e 01f a a a -'-=-++-?=?=-????， 则()()211e x f x x x -=--?，()()212e x f x x x -'=+-?， 令()0f x '=，得2x =-或1x =， 当2x <-或1x >时，()0f x '>， 当21x -<<时，()0f x '<， 则()f x 极小值为()11f =-． 【考点】 函数的极值；函数的单调性 【名师点睛】(1)可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同。 (2)若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值。 2.【2017课标3，理11】已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a = A ．12- B ．13 C ．12 D ．1 【答案】C 【解析】由条件，211()2(e e )x x f x x x a --+=-++，得： 221(2)1211211(2)(2)2(2)(e e ) 4442(e e )2(e e ) x x x x x x f x x x a x x x a x x a ----+----+-=---++=-+-+++=-++ ∴(2)()f x f x -=，即1x =为()f x 的对称轴， 由题意，()f x 有唯一零点， ∴()f x 的零点只能为1x =， 即21111(1)121(e e )0f a --+=-?++=， 解得12 a =． 【考点】 函数的零点；导函数研究函数的单调性，分类讨论的数学思想 【名师点睛】函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的 2013年高考理科数学试题分类汇编：三角函数（附答案）一、选择题 1 ．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））已知 2 10 cos 2sin ,= +∈αααR ,则=α2tan A. 34 B. 43 C.43- D.3 4- 2 ．（2013年高考陕西卷（理））设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为 (A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定 3 ．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））在△ABC 中 , ,3,4 AB BC ABC π ∠== =则sin BAC ∠ = 4 ．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））将函数 sin(2)y x ?=+的图象沿x 轴向左平移 8 π 个单位后,得到一个偶函数的图象,则?的一个可 能取值为 (A) 34π (B) 4π (C)0 (D) 4π - 5 ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））在ABC ?,内角 ,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1 sin cos sin cos ,2 a B C c B A b +=且a b >,则B ∠= A.6π B.3π C.23π D.56 π 6 ．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知函数()=cos sin 2f x x x ,下列结论中错误的是 (A)()y f x =的图像关于(),0π中心对称 (B)()y f x =的图像关于直线2 x π =对称 (C)()f x ()f x 既奇函数,又是周期函数 7 ．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））函数 精品文档 2018 年高考数学真题分类汇编 学大教育宝鸡清姜校区高数组2018 年7 月 1.（2018 全国卷 1 理科）设Z = 1- i + 2i 则 Z 1+ i 复数 = （ ） A.0 B. 1 C.1 D. 2 2（2018 全国卷 2 理科） 1 + 2i = ( ) 1 - 2i A. - 4 - 3 i B. - 4 + 3 i C. - 3 - 4 i D. - 3 + 4 i 5 5 5 5 5 5 5 5 3（2018 全国卷 3 理科） (1 + i )(2 - i ) = （ ） A. -3 - i B. -3 + i C. 3 - i D. 3 + i 4（2018 北京卷理科）在复平面内，复数 1 1 - i 的共轭复数对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5（2018 天津卷理科） i 是虚数单位，复数 6 + 7i = . 1+ 2i 6（2018 江苏卷）若复数 z 满足i ? z = 1 + 2i ，其中 i 是虚数单位，则 z 的实部为 ． 7（2018 上海卷）已知复数 z 满足（1+ i )z = 1- 7i （i 是虚数单位），则∣z ∣= ． 2 集合 1.（2018 全国卷1 理科）已知集合A ={x | x2 -x - 2 > 0 }则C R A =（） A. {x | -1 2018上海各区高三“一模”数学试题分类（函数） 一、填空题： 1．若全集U R =，集合{}02A x x x =≤≥或，则U C A = 2．设集合{2,3,4,12}A =，{}0,1,2,3B =，则A B = 3．已知集合{}1,2,5A =，{}2,B a =，若{}1,2,3,5A B =，则a = 4．已知全集U N =，集合{}1,2,3,4A =，集合{}3,4,5B =，则() U C A B = 5．设全集U Z =，集合{}1,2M =，{}2,1,0,1,2P =--，则()U P C M = 6．已知函数{}2,3A =，{}1,2,B a =，若A B ?，则实数a = 7．已知集合{}03A x x =<<，{}24B x x =≥，则A B = 8．已知集合{}1,2,A m =，{}3,4B =，若{}3A B =，则实数m = 9．函数()lg(2)f x x =-的定义域是 10．函数()f x =的定义域为 11．若行列式124 012x -=，则x = 12．不等式 10x x -<的解为 13．不等式11x <的解集是 14．不等式211 x x +>+的解集是 15．不等式2433(1)12()2x x x --->的解集是 16．不等式111 x ≥-的解集为 17．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，则(1)(0)(1)f f f -++= 18．已知函数()21f x x =-的反函数为1()f x -，则1(5)f -= 19．若函数()f x x α=的反函数的图像经过点11 (,)24 ，则a = 20．方程222log (2)log (3)log 12x x -+-=的解x = 2021 一模真题汇编 上海 (高三·英语) 1 一、2020-2021 学年高三英语一模卷汇编 4. 阅读A篇 Directions: Read the following three passages. Each passage is followed by several questions or unfinished statements. For each of them there are four choices marked A, B, C and D. Choose the one that fits best according to the information given in the passage you have just read. One【宝山】 (A) “Runners, to your mark, Get set…” Bang! And I was off, along with a bunch of other teenage cross-country runners from high schools across the county. The day was like any other fair-weather autumn day in Maryland. But the race that day felt unique from the get-go. For one thing, I liked the course. It was my team’s home course, one I was used to running durin g practices. It took runners along an area of land that included open fields, hills and even winding dirt paths through a small forest. It was a beautiful 5-kilometer course. This particular race was our team’s invite, and I was proud to be sharing the cou rse with competitors from other schools. It also meant a lot―more than normal that my parents were there to cheer me on. With so much to expect that day, I was ready to run! And I didn’t want to be stuck with the pack of other runners, as is typical at the beginning of most cross-country races. So when the gun sounded, I took off running, leaving everyone else in the dust. The first part of our course followed the outside edge of a large open field before disappearing into the forest. Within seconds of the start, I was far ahead of everyone, and all of the fans could see it. It felt magnificent. But that feeling didn’t last long. Little did I know my coach was laughing to himself, thinking, “Gabe is done for!” And I was. My body was telling me to slow down. My pride, however, said “No! Not until you’re out of sight of the spectators!” I was in agony, but I kept up my pace until I reached the forest. Once in among the trees. I slowed way down. I enjoyed most races, even while pushing myself, but this one was not enjoyable in the least. I finished the race, but in nowhere near the time I could have if I’d paced myself well from the beginning. Every time I reflect on that cross-country season, I’m reminded of something: Pride is no substitute for pace. 56.What is special to the author about the race? A. The weather condition was good for runners. B. He was familiar with the home course. 江苏高考数学_函数_十年汇编（2005-2017） 一．基础题组 1. 【2005江苏，理2】函数123()x y x R -=+∈的反函数的解+析表达式为（ ） （A ）22log 3y x =- （B ）23 log 2x y -= （C ）23log 2x y -= （D ）22 log 3y x =- 2. 【2005 江苏，理 15】函数y =的定义域 为 . 3. 【2005江苏，理16】若3a =0.618,a ∈[),1k k +,k ∈Z ，则k = . 4. 【2005 江苏，理 17】已知 a , b 为常数，若 22()43,()1024,f x x x f ax b x x =+++=++则5a b -= . 5. 【2007江苏，理6】设函数f （x ）定义在实数集上，它的图像关于直线x =1 对称，且当x ≥1时，f （x ）＝3x -1，则有（ ） A.f （31）＜f （23）＜f （32） B.f （32）＜f （23）＜f （31） C.f （32）＜f （31）＜f （23） D.f （23）＜f （32）＜f （3 1） 6. 【2007江苏，理8】设f （x ）=l g （a x +-12 ）是奇函数，则使f （x ）＜0 的x 的取值范围是（ ） A.（-1，0） B.（0，1） C.（-∞，0） D.（-∞，0）∪（1，+∞） 7. 【2007江苏，理16】某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5 cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间t =0时，点A 与钟面上标12的点B 重合.将A 、B 两点间的距离d （cm ）表示成t （s ）的函数，则d = __________，其中t ∈0，60]. 8. 【2009江苏，理10】.已知1 2 a = ，函数()x f x a =，若实数m 、n 满足()()f m f n >，则m 、n 的大小关系为 ▲ .9. 【2010江苏，理5】设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x )(x ∈R )是偶函数，则实数a 的值为__________． 10. 【2011江苏，理2】函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是 . 11. 【2011江苏，理8】在平面直角坐标系xoy 中，过坐标原点的一条直线与函数()x x f 2 = 的图象交于Q P ,两点，则线段PQ 长的最小值为 . 2013年全国高考理科数学试题分类汇编2：函数 一、选择题 1 ．（2013年高考江西卷（理））函数 的定义域为 A.(0,1) B.[0,1) C.(0,1] D.[0,1] 【答案】D 2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））若 a b c <<,则函数 ()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--的两个零点分别位于区间( ) A.(),a b 和(),b c 内 B.(),a -∞和(),a b 内 C.(),b c 和(),c +∞内 D.(),a -∞和(),c +∞内 【答案】A 3 ．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）函数 1 2 ()f x x - =的大致图像是( ) 【答案】A 4 ．（2013年高考四川卷（理）） 设函数 ()f x =(a R ∈,e 为自然对数的底数).若曲线sin y x =上存在00(,)x y 使得00(())f f y y =,则a 的取值范围是( ) (A)[1,]e (B)1 [,-11]e -， (C)[1,1]e + (D)1 [-1,1]e e -+ 【答案】A 5 ．（2013年高考新课标1（理））已知函数()f x =22,0ln(1),0x x x x x ?-+≤?+>? ,若|()f x |≥ax ,则a 的取值范围是 A.(,0]-∞ B.(,1]-∞ C.[2,1]- D.[2,0]- 【答案】D 6 ．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））函数 ()()21=log 10f x x x ?? +> ??? 的反函数()1=f x - 2018年一模汇编——三角函数专题 一、知识梳理 【知识点1】求值 【例1】已知α是第二象限的角，且a =αcos ，利用a 表示tan α=. 【答案】a a 2 1-. 【解析】由α是第二象限的角，a =αcos 知21sin a -=α，2 sin 1tan cos a a ααα-==. 【点评】熟练掌握由tan α的值求ααcos ,sin 的值的操作程序；给（一个角的三角函数）值求（另一个三角函数）值的问题，一般要用“给值”的角表示“求值”的角，再用两角和（差）的三角公式求得. 【例2】已知),,0(πα∈且51cos sin - =+αα，则tan α=. 【答案】4 3-. 【解析】由51cos sin -=+αα平方得025 24cos sin 2<-=αα，又由),0(πα∈知),2(ππα∈. 则有0cos ,0sin <>αα.2549cos sin 21)cos (sin 2= -=-αααα，得57cos sin =-αα. 有54cos ,53sin -==αα，所以3tan 4 α=-. 【点评】此类问题经常出现在各类考试中，而且错误率都比较高.原因是不能根据角所在的象限，对函数值进行正确的取舍. 【知识点2】两角和与差公式、诱导公式、倍角公式 【例1】设12cos(),sin(),2923βααβ- =--=且,0,22ππαπβ<<<<求cos().αβ+ 【答案】－ 729239. 【解析】,0,22π π απβ<<<< ,.42422π β π α π απβ∴<-<-<-< 故由1cos(),29βα- =-得45sin().29βα-= 由2sin(),23αβ-=得5cos().23 αβ-= 75cos()cos ()().22227αββααβ+??∴=---=???? 2239cos()2cos ( )1.2729αβ αβ+∴+=-=- 【点评】两角和与差公式、诱导公式、倍角公式等在应用时，都比较注重寻求角与角的联系，尤其是建立已知角与所求角的联系. 【例2】已知sin(2)2sin 0.αββ++= 求证tan 3tan().ααβ=+ 【解析】由题设：[][]sin ()+=2sin ().αβαααβ+-+ 即sin()cos cos()sin =2sin cos()2cos sin(). αβααβαααβααβ++++-+ ∴3sin()cos =sin cos()αβαααβ++ ∴tan 3tan().ααβ=+ 【点评】注意题设中的角和结论中角的关系. 【知识点3】万能公式 【例1】已知),2(,0cos 2cos sin sin 622ππ ααααα∈=-+，求)32sin(π α+的值. 【答案】26 1235-. 【解析】由0cos 2cos sin sin 622=-+αααα得：26tan tan 20αα+-=，则1tan 2α=或2tan 3α=-.又),2(ππ α∈，所以2tan 3α=-.由万能公式得22tan 12sin 21tan 13ααα==-+，221tan 5cos 21tan 13ααα-==+.知26 1235)32sin(-=+π α. 【点评】先通过正余弦的齐次式处理方法求出正切值，再根据万能公式得出答案. 2018年一模汇编——函数专题 一、知识梳理 【知识点1】函数的概念与函数三要素 【例1】设函数2log ,0 ()4,0x x x f x x >?=?≤? ，则((1))f f -= . 【例2】函数1 1,02 ()1,0x x f x x x ?-≥??=??，则实数a 的取值范围是 . 【知识点2】函数的奇偶性 【例1】已知()f x 、g()x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()g()2x f x x x -=+，则 (1)g(1)f += . 【例2】已知函数()1 21 x f x a =-+为奇函数，求实数a 的值. 【知识点3】函数的单调性 【例1】已知定义在(2,2)-上的函数()f x 满足()()f x f x -=-，且在(2,2)-上单调递增， 若(2)(12)0f a f a ++->，求a 的取值范围. 【例2】如果定义在R 上的函数()f x 满足：对于任意12x x ≠，都有 ()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +>+，则称()f x 为“H 函数”。给出下列函数：①1y x =+；②21y x =+；③1x y e =+；④0 00ln x x y x ?≠=?=? ，其中“H 函数”的序号是 . 【知识点4】函数的最值与恒成立有解问题 【例1】函数)(4)2(2)2()(2 R a x a x a x f ∈--+-=且0)( 20XX 年高考理科数学试题分类汇编：三角函数（附答案） 一、选择题 1 ．（20XX 年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））已知 2 10 cos 2sin ,= +∈αααR ,则=α2tan A. 34 B. 43 C.43- D.3 4- 2 ．（20XX 年高考陕西卷（理））设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为 (A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定 3 ．（20XX 年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））在△ABC 中 , ,3,4 AB BC ABC π ∠== =则sin BAC ∠ = 4 ．（20XX 年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））将函数 sin(2)y x ?=+的图象沿x 轴向左平移 8 π 个单位后,得到一个偶函数的图象,则?的一个可 能取值为 (A) 34π (B) 4π (C)0 (D) 4π - 5 ．（20XX 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））在ABC ?,内角 ,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1 sin cos sin cos ,2 a B C c B A b +=且a b >,则B ∠= A.6π B.3π C.23π D.56 π 6 ．（20XX 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知函数()=cos sin 2f x x x ,下列结论中错误的是 (A)()y f x =的图像关于(),0π中心对称 (B)()y f x =的图像关于直线2 x π =对称 (C)()f x ()f x 既奇函数,又是周期函数 7 ．（20XX 年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））函数 cos sin y x x x =+的图象大致为 上海市各区2018届高三数学（理科）一模试题分类汇编 三角函数 2018.01.23 （普陀区2018届高三1月一模，理）3. 在△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、 c ，若2=a ，32=c ，3 π = C ，则=b . 3. 4； （长宁区2018届高三1月一模，理）7、设ω＞0，若函数f (x )=2sin ωx 在［－4, 3π π］上单 调递增，则ω的取值范围是_________. 7、]2 3 ,0( （徐汇区2018届高三1月一模，理）4. 已知sin 5x =，,2x ππ?? ∈ ??? ，则x = .（结果用反三角函数表示） （嘉定区2018届高三1月一模，理）6．已知θ为第二象限角，5 4 sin = θ，则=??? ?? +4t a n πθ____________． 6．7 1- （杨浦区2018届高三1月一模，理）9. 已知函数()1cos sin )(2 -+=x x x f ωω的最小正 周期为π，则=ω _________． 9. 理1±； （浦东新区2018届高三1月一模，理）4.已知tan tan αβ、是方程2670x x ++=的两根，则tan()αβ+=_______. 4. 1 （长宁区2018届高三1月一模，理）9、在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ， c.若bc b a 32 2=-，B C sin 32sin = ，则角A ＝._________ 9、 6 π （浦东新区2018届高三1月一模，理）9.在锐角ABC V 中,4,3AC BC ==，三角形的面 积等于AB 的长为___________. 9. （徐汇区2018届高三1月一模，理）2. 函数x x y 2cos 2sin =的最小正周期是 . （普陀区2018届高三1月一模，理）17.将函数)(x f y =的图像向右平移 4 π 个单位，再向上平移1个单位后得到的函数对应的表达式为x y 2 sin 2=，则函数)(x f 的表达式可以 是………………………………………（ ） )(A x sin 2. )(B x cos 2. )(C x 2sin . )(D x 2cos . （徐汇区2018届高三1月一模，理）16. 为了得到函数2sin ,36x y x R π?? =+∈ ??? 的图像，只需把函数2sin ,y x x R =∈的图像上所有的点 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------（ ） (A) 向右平移6π 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） (B) 向左平移6π 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） (C) 向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1 3倍（纵坐标不变） (D) 向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1 3 倍（纵坐标不变） （16. B 2019年全国各地高考文科数学试题分类汇编2：函数 一、选择题 1 ．（2019年高考重庆卷（文））函数21 log (2) y x = -的定义域为 （ ） A ．(,2)-∞ B ．(2,)+∞ C ．(2,3) (3,)+∞ D ．(2,4)(4,)+∞ 【答案】C 2 ．（2019年高考重庆卷（文））已知函数3 ()sin 4(,)f x ax b x a b R =++∈,2(lg(log 10))5f =,则 (lg(lg 2))f = （ ） A ．5- B ．1- C ．3 D ．4 【答案】C 3 ．（2019年高考大纲卷（文））函数()()()-1 21log 10=f x x f x x ? ?=+ > ??? 的反函数 （ ） A ． ()1021x x >- B ．()1 021 x x ≠- C ．()21x x R -∈ D ．()210x x -> 【答案】A 4 ．（2019年高考辽宁卷（文））已知函数()) ()21ln 1931,.lg 2lg 2f x x x f f ?? =+++= ??? 则 （ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2 【答案】D 5 ．（2019年高考天津卷（文））设函数22,()ln )3(x x g x x x x f e +-=+-=. 若实数a , b 满足()0,()0f a g b ==, 则 （ ） A ．()0()g a f b << B ．()0()f b g a << C ．0()()g a f b << D ．()()0f b g a << 【答案】A 6 ．（2019年高考陕西卷（文））设全集为R , 函数()1f x x =-M , 则C M R 为 （ ） A ．(-∞,1) B ．(1, + ∞) C ．(,1]-∞ D ．[1,)+∞ 【答案】B 7 ．（2019年上海高考数学试题（文科））函数 ()()211f x x x =-≥的反函数为()1f x -,则()12f -的值是 1（2018杨浦二模）. 函数lg 1y x =-的零点是 2（2018金山二模）. 函数lg y x =的反函数是 2（2018普陀二模）. 若函数1()21 f x x m =-+是奇函数，则实数m = 3（2018静安二模）. 函数y =的定义域为 3（2018普陀二模）. 若函数()f x =的反函数为()g x ，则函数()g x 的零点为 3（2018徐汇二模）. 函数()lg(32)x x f x =-的定义域为 3（2018黄浦二模）. 若函数()f x 是偶函数，则该函数的定义域是 4（2018浦东二模）. 已知1()f x -是函数2()log (1)f x x =+的反函数，则1(2)f -= 4（2018松江二模）. 定义在R 上的函数()21x f x =-的反函数为1()y f x -=，则1(3)f -= 4（2018金山二模）. 函数9y x x =+ ，(0,)x ∈+∞的最小值是 4（2018崇明二模）. 若2log 1042 x -=-，则x = 5（2018虹口二模）. 已知函数20()210 x x x f x x -?-≥=?-且1a ≠）没有最小值，则a 的取值范围是 10（2018宝山二模）. 奇函数()f x 定义域为R ，当0x >时，2 ()1m f x x x =+-（这里m 为正常数），若()2f x m ≤-对一切0x ≤成立，则m 的取值范围是 10（2018青浦二模）. 已知()f x 是定义在[2,2]-上的奇函数，当(0,2]x ∈时，()21x f x =-， 函数2()2g x x x m =-+，如果对于任意的1[2,2]x ∈-，总存在2[2,2]x ∈-，使得 十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学 专题03函数 1.(2019?天津?理T8)已知a ∈R,设函数f(x)={x 2-2ax +2a ,x ≤1, x -alnx ,x >1.若关于x 的不等式f(x)≥0在R 上恒成立, 则a 的取值范围为( ) A.[0,1] B.[0,2] C.[0,e] D.[1,e] 【答案】C 【解析】(1)当a ≤1时,二次函数的对称轴为x=a.需a 2 -2a 2 +2a ≥0.a 2 -2a ≤0.∴0≤a ≤2. 而f(x)=x-aln x,f'(x)=1-a x = x -a x >0 此时要使f(x)=x-aln x 在(1,+∞)上单调递增,需1-aln 1>0.显然成立. 可知0≤a ≤1. (2)当a>1时,x=a>1,1-2a+2a ≥0,显然成立. 此时f'(x)= x -a x ,当x ∈(1,a),f'(x)<0,单调递减,当x ∈(a,+∞),f'(x)>0,单调递增. 需f(a)=a-aln a ≥0,ln a ≤1,a ≤e,可知11. 若关于x 的方程f(x)=-1 4x+a(a ∈R)恰有两个互异的实 数解,则a 的取值范围为( ) A.54,9 4 B. 54,94 C. 54,9 4 ∪{1} D.54, 94 ∪{1} 【答案】D 【解析】当直线过点A(1,1)时,有1=-14+a,得a=5 4. 当直线过点B(1,2)时,有2=-14+a,a=9 4. 故当54≤a≤9 4时,有两个相异点. 当x>1时,f'(x 0)=-1x 0 2=-1 4,x 0=2. 此时切点为2,1 2,此时a=1.故选D. 2．函数及其性质（含解析） 一、选择题 【2017，5】函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是（ ） A ．[2,2]- B ． [1,1]- C ． [0,4] D ． [1,3] 【2017，11】设,,x y z 为正数，且235x y z ==，则（ ） A ．2x <3y <5z B ．5z <2x <3y C ．3y <5z <2x D ．3y <2x <5z 【2016，7】函数x e x y -=22在]2,2[-的图像大致为（ ） A ． B ． C ． D ． 【2016，8】若1>>b a ，10<2018上海高三一模语文汇编--文言文阅读(一)
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