高等数学(同济第六版)上册-期末复习题(含答案)

※高等数学上册期末复习

一.填空题

1.=-→x x e x x 2sin 2cos lim

30 2

3

2.曲线x

xe y -=的拐点是 )2,2(2

-e

3．设)(x f 在0=x 处可导且,0)0(=f 则=→x

x f x )

(lim 0

)0(f ' 4.曲线x x y +-=

22cos 1在)2

1,2(π

π+处的切线方程为 1y x =+ 5．曲线1

22

-=x x y 有垂直渐近线 1±=x 和水平渐近线 1=y

6.设)(u f 可导，)]([sin 2x e f y =,则=dy dx e e f e f x

x x ?'?)()]([2sin

#7.=?dx e x 4

)1(22

+e

8．若3)(0-='x f ,则=--+→h

h x f h x f h )

3()(lim 000

12-

9.若

dx x p ?

+∞

1

收敛,则p 的范围是 1-

#1０.=+++∞

→1

)1

232(

lim x x x x e 11.设

?+=c x F dx x f )()(,则?=dx x f )2(

c x F +)2(2

1

＃１２.设)(x f 的一个原函数是x x ln ,则?=dx x xf )( c x x x ++ln 2

42

2

13.设???≤>=0

,0,)(2x x x x x f ，则?-=11)(dx x f 61

-

#14．过点)3,1(且切线斜率为x 2的曲线方程为

12

+=x y

15.已知函数?????=≠=0

,0

,sin )(x a x x x x f ，则当→x ∞时,函数)(x f 是无穷小；当

=a 1时,函数)(x f 在0=x 处连续，否则0=x 为函数的第 (一）类间断

点。 １6.已知

?+=c x F dx x f )()(，则?

=-dx x f x

)(arcsin 112

c x F +)(arcsin

17．当0→x 时，1)1(3

12-+ax 与x cos 1-是等价无穷小,则=a

2

3 #１8.?

?

???=≠=?0,0,sin )(3

03x a x x dt

t t x f x 是连续函数，则=a 1 1９.)(x f 在]1,0[上连续，且1)]([,0)1(1

2

==?

dx x f f ，则

='?1

)()(dx x f x xf 2

1

- 提示：=

'?1

0)()(dx x f x xf ??

-=1

1021

))(()()()()(x xf d x f x xf x df x xf

???'--='+-=1

1

210

)()()()]()()[(dx x f x xf dx x f dx x f x x f x f ，移项便得。

＃20.dx xe x x

x ?=Φ02

)(,则=Φ)1(

)1(2

1

-e ,=Φ')1( e 2１．x dx x df 1)(2=，则=')(x f x

21

提示:222

21

)(12)(x

x f x x x f ='?=

?' 22．曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处的切线平行于直线13+=x y ，则=')2(f 3

＃23.设x x f arctan )(=，则,00>x =-+→x x f x x f x )()(lim

000

)

1(21

00x x + ２4.33

ln

2-+=x

x y 的水平渐近线是 3-=y ２5.函数x

x y =的导数为 )1(ln +x x x

26．

=?

+∞

-dx xe x 0

2

2

1 #２7.=++?-dx x

x

x x )1sin (2

21

1 1 2８．广义积分

=?

+∞

dx x 1

31 2

1

29.x )x (f =的积分曲线中过)2

1

,1(-的那条曲线的方程 ＿_＿___12x 2- #3０．设s 为曲线x x y ln =与e x x ==,1及x 轴所围成的面积，则=s

)1(4

12

+e 31.

?

='dx x f )2(

c x f +)2(2

1

32.曲线)1ln(x e y -=的全部渐近线为 e

x x y 1,0,1=

== #３3.曲线2x y =与x y =2所围图形绕y 轴旋转一周所成的旋转体体积

π10

3 3４.点)1,1,0(到平面0222=+-+z y x 的距离为

3

5 35.设向量k j i b k j i a λ+-=+-=24,2,则当=λ 10-时，b a

⊥；当=λ

b a //,2。

本题不作要求３６．空间曲线???+==++)(31

2

22222y x z z y x 在xoy 平面上的投影曲线方程为 ?????==

+0

4122z y x 37.设3),(,2,5π===b a b a ,则=-b a

32 192

38.设向量}5,4,3{},2,1,2{-=-=b a ,则a 在b

上的投影为 22

39.已知向量k j i m a

-+=5和向量k n j i b ++=3共线，则=m =n ,15

5

1- 40.设平行四边形二边为向量}3,1,2{},1,3,1{-=-=b a

,则其面积为 103 4１.设点142),5,0,4(=B A A ,向量B A

的方向余弦为14

1cos ,143cos ==

βα， 14

2

cos -

=γ，则B 点坐标为 )1,2,10( 本题不作要求42．曲线?

??==+012

2322z y x 绕y 轴旋转一周所得的旋转曲面方程为

12233222=++y z x

4３.设,3,2==b a

且b a //，则=?b a =?±b a ,6 0

44.设?-+??

?

??>=<+=022dx )1x (f ,0

x ,x 0x ,00

x ,1x )x (f ＝ 56

#４５.'-=?)x (,dt )t x (sin )x (x

0φφ

sin x

二．选择题

１.设2005)1(lim

=-+∞→β

βα

n n n n ,则βα,的值为( ) C 20051,

2004.-A 20052004,20051.-B 20051,20052004.-C 2005

1,20052004.-D #2．设?????≤<-<<=0

1,1

0,1cos )(2x x x x

x x f ,在0=x 处( ) A .A 连续，不可导 .B 连续,可导 .C 可导，导数不连续 .D 为间断点 3．曲线x y sin 2

+=

π

在0=x 处的切线与x 轴正方向的夹角为（ ) B

2

.

πA 4

.

πB 0.C 1.D

４.设)(x f 在]1,0[上连续，)1,0(内可导，0)1(,1)0(==f f ，则至少存在一点)1,0(∈ξ,有 A ()(),F x xf x Rolle =设利用定理

ξ

ξξ)

()(.f f A -

=' .B ξ

ξξ)

()(f f =

' .C ξ

ξξ)

()(f f '-

= .D ξ

ξξ)

()(f f '=

#５.若032<-b a ，则0)(23=+++=c bx ax x x f ( ） B

.A 无实根 .B 有唯一实根 .C 三个单实根 .D 重根

＃6.函数)(x f 在0x x =处取得极大值,则(

） D

0)(.0='x f A 0)(.0<''x f B .C 0)(0='x f 0)(,0<''x f .D 0)(0='x f 或不

存在

７.设)(x f 的导函数为x sin ,则)(x f 的一个原函数为（ ) D

x A sin 1.+ x x B sin .+ x C cos 1.+ x x D sin .-

#8.设t t f cos )(ln =,则='?

dt t f t f t )

()

(( ) A c t t t A +-sin cos . c t t t B +-cos sin . c t t t C ++)sin (cos . c t t D +sin .

9．设)(x f 连续，?

=

2

2)()(x dt t f x F ,则=')(x F （ ) C

)(.4x f A )(.42x f x B )(2.4x xf C )(2.2x xf D

10.下列广义积分收敛的是( ) C

dx x x A e

?

+∞

ln . dx x x B e ?+∞ln 1

. dx x x C e ?+∞2)(ln 1. dx x

x D e ?+∞ln 1. #11

=+?

+∞

-0

x

x e

e dx

（ ) C 2

.

πA π.B 4

.

πC .D 发散

12．下列函数中在区间]3,0[上不满足拉格朗日定理条件的是( ) C

12.2

++x x A )1cos(.x B + )

1(.

22

x x C - )1ln(.x C + 13．求由曲线x y ln =,直线)0(ln ,ln ,0>>===a b b y a y x 所围图形的面积为( )C

b a A -. 22.a b B - a b C -. a b D +.

#14.若c e dx e x f x

x

+=-

-

?11)(，则=)(x f (

) B

x A 1.- 21.x B x C 1. 21.x

D -

１5.点)1,2,3(-M 关于坐标原点的对称点是( ） A

)1,2,3.(--A )1,2,3.(---B )1,2,3.(--C )1,2,3.(-D 1６.向量b a ?与向量a

的位置关系是( ) C

.A 共面 .B 平行 .C 垂直 .D 斜交

17.设平面方程为0=++D Cz Ax ,其中D C A ,,均不为零，则平面( ) B

.A 平行于x 轴 .B 平行于y 轴 .C 经过x 轴 .D 经过y 轴

１８．设直线方程为?

??=+=+++00

221111D y B D z C y B x A 且0,,,,,221111≠D B D C B A ，则直线

( )C

.A 过原点 .B 平行于x 轴 .C 垂直于y 轴 .D 平行于z 轴

１9．直线

3

7423z

y x =-+=-+和平面3224=--z y x 的位置关系为( ) C .A 斜交 .B 垂直 .C 平行 .D 直线在平面上

20.已知1)

()

()(lim

2

-=--→a x a f x f a

x ,则在a x =处 （B ）

A ．)(x f 导数存在且0)(≠'a f

B ．)(x f 取极大值

C .)(x f 取极小值

D ．)(x f 导数不存在

三.计算题

#1．)1sin cos ln (lim 220x x x x x +→ 2

1

- ＃ 2.4

1

cos 0ln lim

x tdt t x

x ?→ 8

1-

3.)11(lim 2

2

--

+∞

→x x x 0 ４． x

x x 1

)(cos lim +→ 2

1-

e

＃5． 2

tan

)1(lim 1

x

x x π-→

π

2

６. 求x

x x x x ln 1

lim 0-+→=1

解:一)原式1lim lim 1ln )

ln 1(lim 0ln 000====++=+++

→→→e e x x x x x x x x x x x ， 二)原式0,ln ~1,0ln lim ,ln 1

lim ln 0ln 0→-∴=-=++

→→x x x e x x x

x e x x x x x x 1=。

7.设)(x f 为连续函数，计算?

-→x a a x dt t f a x x )(lim 2

)(2

a f a 8.?

dx x )sin(ln c x x x

+-)]cos(ln )[sin(ln 2

9.

dx x ?

+π

2cos 1 22 1０.

dx x a x a

220

2-?

4

16

a π 11．设x

x y cos )

(sin =，求y ' ()]sin cos sin ln sin [)

(sin 2cos x

x

x x x x

+-

#１２.设0cos 2

0ln 0=+??x y

t

tdt dt e ,求dy

dx x x 2

cos 2-

13.设)(x f '在]1,0[上连续，求积分

dx x x f x x f ]sin )(cos cos )(cos [22

2

?-'-π

π

提示:原式??-

-+=

22

22

)(cos sin cos )(cos π

ππ

πx xdf xdx x f

??-

-

-

-+=22

22

22

cos )(cos )(cos sin cos )(cos π

ππ

ππ

πxdx x f x xf xdx x f )0(2f =

1４.

dx x x x ?+--84132 c x x x +-++-2

2arctan 2584ln 232

1５.设?

??-=-=)1()(3t

e f y t f x π，其中f 可导，且0)0(≠'f ，求0=t dx dy

3 #16.dx x x ?

-2

3

2)

1(arcsin c x x x x +-+-?22

1ln 1arcsin

１７.

dx x x ?

-π0

42sin sin

提示：原式1cos sin cos sin 0

22===??

dx x x dx x x π

π

18.

dx x ?

-2

2

)1(1

发散 １9.

dx e x ?

-2

ln 0

1

)4

1(2π

-

20.?-12x x dx

c x +1arccos ２1．xdx x 4

22

3cos )4(+?-π

π π23 22．

dx x x ?3ln 21ln (3)2x c + 23．dx e x x 2

2ln 03-?? 11ln 242

-+ #24.?

+)

1(2x x e e dx arctan x x

e e c ---+ 25.dx 2x 12x 1?-+ ２6.设x 1)e (

f x

+='，求)x (f ln x x c =+ 27.

dx cosx x 35?

3331

sin cos 3

x x x c =++

28．

dx x 1x

arcsinx

2

2

?

-arcsin ln x c =-+

29．

?

--+1x 1x dx

33

221[(1)(1)]3

x x c =++-+

#3０.?

+)x 1(x dx

10

101ln ln 110

x x c =-++ ＃31.已知)(x f 的一个原函数为lnx )sinx 1(+，求?'dx )x (f x

cos ln 1sin (1sin )ln x x x x x x =++-+

3２.dx x 1x

1xln

?

+-211ln (1)21x x x c x

-=+-++ #３3．dx x

)

1x (ln ?

+1)4arctan x c =+- #34.dx e e e x x x ?

+20

cos sin sin π 2π= 35.dx x a x a ?-+02

21

4

π= 本题不作要求36.已知)x (?为连续函数,令

?

?

???=≠+-=??0x ,00x ,)x 1(ln dt

]du )u ()1t [()x (f 2

x 0

t 02

?试讨论)(x f 在0=x 处的连续性与可微性。 连续，可微

#37.设)(x f 在]1,0[上可导,且满足?=21

dx )x (xf 2)1(f ，证必存在一点)1,0(∈ξ，使

ξ

ξξ)

(f )(f -

='。提示：利用积分中值定理和R o l l e 定理

#38.设)(x f 在]1,0[上连续,单调减且取正值,证:对于满足10<<<βα的任何βα,有

??>β

α

ααβdx )x (f dx )x (f 0

。

00

()()()()()()()()f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx

f x dx f x dx αββαβ

αβα

βα

β

βαββαββα-=+-=+-?

???????提示：

39.设)(x f 在),0[+∞上连续，单调不减且0)0(f ≥，试证：

?????=>=?0x 0,0

x dt,)t (f t x 1)x (F x 0

n 在),0[+∞上连续且单调不减。(0>n ） 40．dx )e 1(x ln 11x

?-+ 13

=

1

111

221

1

1

1

(ln(1)[ln(1)]ln(1)x t

t x x t e dt x e x dx x e dx x dx =------=

-+=-++=-++?

???原

#41．设dt e )x (f 2

2

x 1t ?-=,求?1

0dx )x (x f 。11

(1)4

e -=-

４２．dt x t t ?-10 11

32

112

3x t x x t x ?->????-≤?? 43.)

(,b a dx x b a

20

2

b a x a b x ?->???-?

44.设)(x f 在),(+∞-∞上连续，且对)()()(,,y f x f y x f y x +=+?,求

dx x f x ?

-+1

1

2)()1(

()f x 提示：为奇函数

＃45.dx e x

I x ?--+=44

21sin π

π

2222222

2244

sin sin sin (11)sin (),()1111sin 1sin sin ()()sin 121sin 2x x x x x

x x x x e x e x

f x f x e e e e x x x f x f x x e xdx π

π-------+-=-===++++=-=-=+==

?提示：原

46.3

1sin lim

60

2

=

??

→x

x t x e x tdt te ４７.设向量}2,1,2{},3,2,1{},1,3,2{=-=-=c b a

,向量r 满足b r a r

⊥⊥,,且

14Pr =r j c

求向量r

。 {14,10,2}

48．1)求过z 轴和点)2,1,3(--的平面方程, 03=+y x 2）求过三点)0,6,0(),4,3,2(),0,3,2(R Q P --的平面方程。 012623=-++z y x 49.求过点)3,2,1(),1,1,2(Q P --且垂直于平面06532=+-+z y x 的平面方程。

01639=-+-z y x

50.求过点)2,1,3(-A 且通过直线1

2354:

z

y x L =+=-的平面方程。0592298=---z y x ５1.求与平面0522=+++z y x 平行且与三坐标所构成的四面体体积为1的平面方程。

032223=-++z y x

５２．求过点)0,4,2(M 且与直线?

?

?=--=-+0230

12:z y z x L 平行的直线方程。

1

3422z

y x =-=-- 53.求点)0,2,1(-A 在平面012=+-+z y x 上的投影。 )3

2

,32,35(-

54.求过直线??

?=+-=++0

405:z x z y x L 且与平面01284=+--z y x 成4π

角的平面方程。

012720=-++z y x

本题不作要求５5.若动点到坐标原点的距离等于它到平面4=z 的距离，该动点轨迹表示何种曲面? 1682

2

=++z y x 旋转曲面

四.列表讨论函数x e x y -?=的单调区间、极值及曲线的凹凸区间、拐点、渐近线。

#五．设??

???><≤≤=ππ

orx x x x x f 0,00,sin 21)(，求?=Φx dt t f x 0

)()(在),(+∞-∞内的表达式。

??

???>≤≤--<==Φ?ππx x x x dt t f x x ,10),1(cos 2

1

0,0)()(0

六.设)(x f 在),(+∞-∞内连续,证明)()()()(0

a f x f dt t f t x dx d x

-='-?。

七..设20,,0,2:;0,2,,2:2

22

1<<=======a a x y x y D y x a x x y D 1．试求1D 绕x 轴旋转得旋转体体积1V ；2D 绕y 轴旋转得旋转体体积2V ； 2.问当a 为何值时+1V 2V 得最大值？并求该最值。

)32(5451a V -=π,42a V π=，1=a ,+1(V π5

129)max 2=V

八.已知x x x f 2

2tan 2cos )(sin +=',求)(x f 。

提示：u

u

u u f x x x x f -+-='?-+-='121)(sin 1sin sin 21)(sin 222

2

,

c x x x f +--=1ln )(2

九.设c y =与2

2x x y -=相交于第一象限（如图)。 １.求使得两个阴影区域面积相等的常数c ；

２．在1的情况下，求区域I 绕x 轴旋转的旋转体体积。

提示:III II III I II I s s s s ++=?=,