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关于行列式计算方法的进一步探讨

引言

行列式的概念最初是伴随着方程组的求解而发展起来的,它不论是在线性代数，多项式理论还是微积分中都有广泛应用，所以掌握行列式的计算是十分必要的. 为此，我在查阅部分参考资料的基础上,结合自己的学习实践,对行列式的计算总结了二十一种方法.常规做法都是用行列式的性质和相关定理来求解.以下是对一些典型类型的行列式的计算，以拓宽行列式的解题思路，下面依次说明其求解方法和过程.

1.定义法

n 阶行列式的定义展开式式中包含!n 项,当n 较大时，利用定义进行计算就会很麻烦，只有当行列式中0比较多时考虑利用定义算行列式，这样可以大大减少行列式展开的项数.

例1计算0

00100002000

010

n n -.

解根据行列式的定义，行列式展开式的每一项都是n 个元素的乘积，这些元素来自行列式不同的行和不同的列，由于行列式中只有一个非零项!)1(21n n n =?-? ，这一项的逆序数为1-n ，有计算可得!)1(1n D n n --=.

2.化三角形法

化三角形法主要是利用行列式的性质把原来的行列式化为上(下)三角行列式.虽然每个行列式都可利用行列式的性质化为三角形行列式.但当行列式阶数较高时,计算往往较为复杂.因此,在许多情况下,总是先利用行列式的性质将其作某种变形,再将其化为三角形行列式.上(下)三角行列式的值就是对角线各项的积.

例2 计算行列式 1

231

2332125113311231

------=

n n n n n n n n n n A .

解首先将行列式的第一行乘以()1-加到第n ,,3,2 行,再将其第1,2,,1, -n n 列通过相邻两列互换依次调为第n ,,2,1 列,则得

()

()()!11

020013210

000

002000200010001231)

1(1

1-=-=---=

----n n n n n n n A n n n n

）（.

3.降阶法

可利用按一行(列)展开定理降低n 阶行列式的阶数并且使得行列式的计算较为简便的方法称为降阶法.降阶比较适合于行列式中某行或列中零元素比较多时.

例3 计算行列式 n

A 22223222

2222

221=.

解首先应考虑A 能不能化为上(下)三角形式,若将第一行乘以()2-加到第n ,,3,2 行,数字反而复杂了,要使行列式尽可能多的出现“0”项,将该行列式的第一行乘以()1-加到第n ,,3,2 行,得

0010

10100012221-=n A

上式仍不是上（下）三角形行列式，我们可以用降阶法，注意第二行除了第一项是1，后面的项都是0，我们按第二行展开，得

()!222

1222--=-=

n n A

. 4.加边法

加边法就是将原来的行列式添加一行一列,且其值不变,所得的新行列式更容易求出其

值.该方法适用于除主对角线上元素外,各行（或列）对应的元素分别相同的类型.

例4 计算行列式n

n n n

a a a a a a a a a a a a a a a a D 3

3213213

111+++=

. 解利用加边法将行列式添加一行一列，使其值保持不变.则有

n n n a a a a a a a a a a a a a a a a D +++=10

10101

132

00101000111321

---n a a a a =

001000001013211

n n

i i

a a a a a ∑=+

=∑=+n

i i a 1

1=n a a a a +++++ 3211.

加边法最大的特点是要找出每行或每列相同的因子，那么升阶之后，就可利用行列式的性质把绝大部分元素化为零，然后再化为三角形行列式，这样就可以大大减少计算量.

5.分解行列法(拆项法)

如果行列式某行(列)是两行(列)之和,将行列式分解为两行列式的和,然后再利用性质进行计算.即分解行列法.

例5 计算 n

n n n

n n n x n x x x n x x x n x x D ααααααααα+++++++++=

212

222

121

1212121.

解将行列式n D 分解为若干行列式的和,则当2>n 时,每个行列式至少有两列成比例,故

0=n D ；

当1=n 时，

1111x D α+=.

当2=n 时，

()()21212

1221

222211211222

2112121αααααααααα--=+

=++++=

x x x x x x x x x x D .

则

????

???>=--=+=.2,

0,2),2)((,1,1212111n n x x n x D n ααα

6.分解法

利用矩阵乘积的性质可把行列式分解成若干个行列式乘积的方法称为分解法.如果矩阵A 分解为m A A A A A 321=，其中i A 都是n 阶方阵),,2,1(m i =,则.321m A A A A A =

例6 计算行列式n

n n

n n n n n

n n n n

n n

n n n

n n

n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b

a b a b a b a b a b a b a b a D ------------------=1111111111111111112

1222

222121

2112

1211

111

. 解首先用以前学过的公式化简行列式，然后再进行计算.由于 )1)(1()(11122111111--++++-=-n n n b a b a b a b a b a ，则有

∑∑∑∑∑∑∑∑∑-=-=-=-=-=-=-=-=-==

1010

011

0211

1n k k

k n n k k k n n k k k n n k k n

k n k k k n k k k n k k n k n k k k n k k k n b a b a

b a

b a b a b a

=112112222

1211212

2112

111.111

------n n

n n n n n n n n n n b b b b b b b b b a a a a a a a

∏≤≤≤--n

j i i j i j

b b a a

1))((.

7.拆元法

把某一行或列的元素写成两个数的和的形式，再利用行列式的性质将其写成两个行列式的和，以简化计算.

例7 计算行列式

m m m m x

m m m

x m m

m m

D n ------=.

解x

m m m m x

m m m x

m m

m m x D n ------=x

m m m m x

m m m x m m

m m

------=x

m m m

m x

m m x m m

m m m

x -------+

11)()(---++=n n D m x m x m (1)

由于n n

D D =' ，即将n D 中的m 换成m -，行列式的值不变，故 11)()(--++--=n n n D m x m x m D (2)

（1））（m x +?122)()()(--++=+n n n D m x m x m D m x

（2）)(m x -?122)()()(--+--=-n n n D m x m x m D m x

则

])()[(2

)()()()(n n n n n m x m x m x m x m x m m x m D --+=--+-++=.

8.析因子法

所谓析因子法就是当行列式为零时,求得方程的根,从而将行列式转化为其因子的积,这样会大大减少计算量,该方法适用于主对角线上含多项式的类型.对于一个n 次多项式,当最多找到r 个因子使其行列式值为零时,就要把它画成一个r 次多项式与一个r n -次多项式的乘积.但一般找到的使其行列式为零的个数与行列式的次数相差太多时，不适用本方法.

例8 计算 1

13113

+++=x n x n x n D n

解令(),n D x f =当1,,2,1-=n i 时，()0=i f ，即()()()1,,2,1+---n x x x 是()x f 的因子且它们互质.故()∏-=-1

1n i i x 是()x f 的因子，比较1

-n x

的系数知()=x f ()n n i D i x =-∏-=1

9.分块矩阵法

我们学习了矩阵的分块，知道一个矩阵????

??B A 00通过分块若能化为对角矩阵或下

（上）三角矩阵???

??B C A 0,那么行列式

A 00

A 0B A ?=，其中

阶可逆矩

分别是r s B A ,,s r C ?是阶矩阵，r s ?是0阶矩阵.可以看出，这样可以把r s +阶行列式的计算问题，通过矩阵分块转换为较低阶的s 阶和r 阶行列式计算问题，下面先根据上面的途径给出计算公式.设矩阵

???????

??=rr r rs

r r s sr s ss s r s b b c c b b c c d d a a d d a a G

11111111

111111???

??=B C D A ，其中，B A ,分别是s 阶和r 阶的可逆矩阵，s r C ?是阶矩阵, r s D ?是阶矩阵,则有下面公式成立.

C DB A B B C

D A G 1--?==

或C D B A B

C D

A G 1A --?==. 下面推导公式，事实上当0≠A 时，有

???

?????? ??-???? ??=???? ?????? ??----B C D A E DB E D BCA D A B C D A E A E

000111

???

?-=-B C C

DB A 01. 上面两式两边同时取行列式即可得出上面的公式.

例9计算 871065014310

2101

D . 解法1 04

044004

310210187

65014310

2101==

原式. 若用前面介绍的公式则可以直接得出结果.

解法2 令????

??=1001A ，???? ??=8765B ,???? ??=1001C ,???? ??=4321D ，则有????

??=1001'A ,由公式知

原行列式???

?????? ?????? ??-???? ???=-?==

-432110011001876510011

D CA B A B C

D A 0444

4432187651==???

? ??-???? ???=，

这道题目还有一个特点，那就是C A =,如果我们把公式变形，即

D ACA AB D CA B A D CA B A B

C D

A 111)(----=-=-?=. 当C A =时

CD AB D CAA AB D ACA AB -=-=---11.

所以当C A =时

CD AB B

C D

A -=, 这类题就可以直接写出答案了.

解法3 令?

???

??=1001A ，???? ??=8765B ,???? ??=1001C ,???? ??=4321D . 因为C A =，所以

原行列式0432187654321100187651001=???

??-???? ??=???? ?????? ??-???? ?????? ??=-=CD AB .

10.递推法

应用行列式的性质,把一个n 阶行列式表示为具有相同结构的较低阶行列式的线性关系式,这种关系式称为递推关系.根据递推关系式及某个低阶初始行列式的值,便可递推求得所给行列式的值,这种计算行列式的方法称为递推法.

注意用此方法一定要看行列式是否具有较低阶的相同结构，如果没有的话，即很难找出递推关系式，从而不能使用此方法. （1） 1-=n n kD D 类

例10 计算行列式 2n D =

d c

d c b a b

解将2n D 按第1行展开可得

()

010

22c

d d

c b a b

b d

c d c b a b a a

D n n

+-+=

()()阶

阶

2222---=n n d

c b a b

a bc

c d c b a b a ad

22--=n D bc ad ）（.

所以 422222)()(---=-=n n n D bc ad D bc ad D n n bc ad D bc ad )()(22-=-==- . （2） 2211--+=n n n D k D k D 类

例11 计算带形行列式11

1n D αβ

αβ

αβαβ

αβ

αβαβ

+++=

解将n D 按第一行展开可得

，211)(11

)(----+=+++-+=n n n n D D D D αββαβ

ααββααβ

ααβαβ

βα

所以

12()n n n D D D αβαβ--=+-，

112n n n n D D D D αβαβ----=-， 112()n n n n D D D D αβα----=-，

223()n n D D βα--=- …………

332()n D D βα-=-.

223331

αββαβαβ

ααββ

α+++=+++=

D αββαβ

ααβ

α++=++=2221D 323βα=-D D

333132()n n n n n D D D D αβαβββ----=-==，

同理可得 1n n n D D βα--=，

联立解得 1n n

n D αβαβ

--=-，

因此 11

n n n D αβαβ

++-=-.

11.构造代数方程组法

当所求行列式是由几个元素组成的,若用曾经求解过的行列式作系数行列式,构造一个n 元线性方程组,所求行列式中可作为线性方程组解的组成部分.

例12 计算 n n

n n

n n n n n

n a a a a a a a a a a a a D

1222212222

111---=

. 解如果使用常规的方法,解这道题是非常复杂的,而且困难的是因为n D 不是范德蒙行列式,若我们用刚刚介绍的代数方程组法求解这道题就变得十分容易了,因为n D 类似于范德蒙行列式,我们构造一个n 阶的范德蒙行列式

()∏≤<≤----==n

j i i j

n n

n n n n a a

a a a a a a a a a D 11

121

222

121

111

于是当j i a a ≠时，比值

D n

是线形方程组

????

?=+++=+++=+++---.

,,1212

12221111211n

n n n n n n n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x 的解中的n x 值，又这个方程组x t x t x t n n n =

-----121 可以看作是()是未知数t 有n 个

根：n a a a ,,,21 .于是由高次方程与系数的关系有n n a a a x +++= 21，因此，()

()∏≤<≤-+++==n

j i i j

n n n a a

a a a D x D 121 .

12.数学归纳法

数学归纳法多用于证明题.用数学归纳法计算n 阶行列式，需要对同结构的低阶行列式进行计算,从中发现规律并得出一般性结论,然后用归纳法证明其正确性.

例13 证明

αα

ααα

n cos cos 210

0cos 210001cos 2100

1cos = .

证明第二数学归纳法.2=n 时,

αcos 211

cos 2=

D =αα2cos 1cos 22=-.

结论成立.假设对级数小于n 的行列式,结论成立,则

21cos 2---=n n n D D D α,

由假设

αααααααsin )1sin(cos )1cos(])1cos[()2cos(2-+-=--=-=-n n n n D n ,

代入前一式得

]sin )1sin(cos )1[cos()1cos(cos 2αααααα-+---=n n n D n

=αααααn n n cos sin )1sin(cos )1cos(=---. 故对一切自然数n 结论成立.

13.辅助行列式法

辅助行列式法应用条件：行列式各行（列）和相等，且除对角线外其余元素都相同.

解题程序

1）在行列式D 的各元素中加上一个相同的元素x ，使新行列式*D 除主对角线外，其余元素均为0；

2）计算*D 的主对角线各元素的代数余子式);,,2,1(n i A ii = 3)∑-*

-=n

ij ij A x D D 1 .

例14 求下列n 阶行列式的值.

1121

211

2111 n n n D n ---=

解在n D 的各元素上加上(1)-后，则有

n n n n n n

n n

)1()1(0

0010

100

1000)(D 2)

1(-?-=---=

-* ，

又(1)12

12,11(1)

(1)n n n n n n A A A n ---====-?- ，其余的为零.

故 ∑=*+=n

j i ij n n A D D 1

,)(

=∑=+--+-?-n

i i n i n

n n A n 1

1,2

)

1()1()

=12

)1(2

)1()1()

1()1()1(----??-+-?-n n n n

n n n n n

=1)1(2

)

1()

1(--?--n n n n . 若知道辅助行列式法的解题程序，用此法就可轻松地解出此题.但根据该行列式的特点，我们也可以用加边法，把大部分元素化为零，再化为三角形行列式也可轻易解出该行列式.

14.利用拉普拉斯展开法

拉普拉斯定理的四种特殊情形

1）

0nn nn mm mn

A A

C B =?

2）

0nn nm nn mm mm A C A B B =?

3）

0(1)

nn mn

nn mm mm

A A

B B

C =-? 4）(1)0

nm nn mn nn mm mm

C A A B B =-?

例15 计算n 阶行列式n D ,其中

a b a

b a

a a a D n

ββββ

βββββ

解如果从第三行开始每一行都减去第二行,再从第三列开始每一列都加上第二列，使行列式种更多的元素为零.

先按上述分析对行列式进行变换

ββββ

ββ

βλ

------=

a a

a a a a a

b a

a a a D n

0000

βββ

----+-=a a a n a b a

00000000)2()1(

)

2()2(2

0000)2(1-?-?---?

-+-=

n n a a a n a b

a n β

βββ

）（

2)()]1()2([--?---+=n a n ab n a ββλλ.

15.利用范德蒙行列式

例16 计算行列式1+n D ,其中

)()1()()1(1

111

---+----=

n n n n

n n a a a n a a a D .

解该行列式与范德蒙行列式类似,我们可以先利用行列式的性质把它变成范德蒙行列式在进行计算.通过相邻两行的交换,先把最后一行交换至第一行（交换n 次）,再将新的最后一行交换至第二行（交换1-n 次）继续下去,经过2/)1(-n n 次交换以后,原行列式变成范德蒙行列式.

由范德蒙行列式的性质得

n n n n n n a a a n

a a a D )()1(1111)

1(2

)

1(1-----=++

=∏∏≤<≤≤<≤--=----n

i j n

i j n n j i j a i a 002

)1()()]()[()1(.

推论（超范德蒙行列式法）

超范德蒙行列式法就是考察1+n 阶范德蒙行列式)(x f ,利用行列式n D 与)(x f 中某一元素余子式的关系来计算行列式的方法.这种方法适用于n D 具有范德蒙行列式形式的题型.

例17 计算行列式n n

n n

n n n n n

n x x x x x x x x x x x x D

1222212222

111---=

. 解 1+n 阶范德蒙行列式为

)(x f =

∏≤<≤-------=n

i j j i n n n

n n

n n n n n

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 1212

12112222

)()())((111

由分析知n D 就是行列式)(x f 中元素1-n x 的余子式1,+n n M ，即

1,1,++-==n n n n n A M D （1,+n n A 为代数余子式）

，又由)(x f 的表达式及根与系数关系知)(x f 中1-n x 的系数为()()∏≤<≤-+++-n

i j j i

n x x

x x x 121 .

即

1,+n n A =()

()∏≤<≤-+++-n

i j j i

n x x

x x x 121 .

所以 =n D ()

()∏≤<≤-+++n

i j j i

n x x

x x x 121 .

16.利用矩阵行列式公式

引理设A 为n m ?型矩阵，B 为m n ?型矩阵，n E ，m E 分别表示n 阶，m 阶单位矩阵，则有)det()det(AB E BA E m n ±=±.

例18 计算下行列式的值.

a a a a a

b a a a a a b a a a a a b a n n n n n ++++=

321321

321D .

解令矩阵 A ???????

??++++=b a a a a a b a a a a a b a a a a a b a n n n n

321

则可得

A ),,,(1112132

321

321n n n n n n n a a a bE a a a a a a a a a a a a a a a a bE

???????

??+=?????

??+=

n n n C B bE ??+=11.

其中 ()n n T n a a a C B ,,,,)1,,1,1(2111 ==??，那么根据上面所提到的引理可得

111D ??-+=+=n n n n n B C b b BC bE .

又

()∑=??=??????

??=n

i i n n n a a a a B C 12

11111

，

故

)(1

b a b

D n

i i n n +=∑=-.

17.利用方阵特征值与行列式的关系

例19 计算下行列式的值 b

a a a a a

b a a a a a b a a a a a b

a D n n n n n ++++=

3213213

解令矩阵

???????????

?????++++=b a a a a a b

a a a a a

b a a a a a b

a A n n n n

321

321321321???

?????????+=n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a bE

321

n n A bE +=，

显然 ,n bE 的n 个特征值为b b b ,,, .而n A 的n 个特征值为0,,0,0,1

∑=n

i i a .故

A 的特征值为

,,,,-=∑+n n

i i b b b a b .

由矩阵特征值与对应行列式的关系知)(1

∑=-+==n

i i n n b a b

A D .

18.乘以已知行列式

例 20 计算行列式a

c d

b a d

c c

d a b

d c b a

D ------=

4. 解直接计算这种行列式比较困难.所给行列式易于利用行列式乘法公式求得

4D D D '=，再确定4D 的符号即可求出4D .根据行列式的乘法公式有 4

D D D '==a

c d

b a d

c c

d a b d c b a

------a

b c d b a d c c

d a b d c b a ------

2222

2220

000

d c b a d c b a d c b a d c b a ++++++++++++

=42222)(d c b a +++,

所以

4D = 22222)(d c b a +++±.

根据行列式的定义可知,4D 的展开式中有一项为

444332211)1234()1(a a a a a =-τ，

故

4D = 22222)(d c b a +++.

19.递推方程组方法

例21 求行列式的值

z z

y x z z

y x z

y y x

D n = . (3) 解从）（1的行列式的第一列减第二列，第二列减第三列，…，第1-n 列减第n 列，得

0000000000x

z y y x y y x x z y y x x z y y x D n -------=

(4)

上面的行列式按第一行展开，有两项，一项是)(y x -乘一个1-n 阶行列式，这个1-n 阶行列式和（4）中的n 阶行列式的构造相同，即上述展开的第一项可表示为1)(--n D y x ；展开的另一项是

111)

1(1)()()1(0

0000

00)1(--+-+-=--=-------n n n n n z x y x z y x z x z y x x z y x x

z y

故递推式

,)()(11---+-=n n n z x y D y x D （5）

若y z =，则上式化为

,)()(11---+-=n n n y x y D y x D （6）

类似地有

;

)()(;

)()(223221y x y D y x D y x y D y x D n n n -+-=-+-=---

又

))((2y x y x x

y y

x x x

y y y

x D +-==--=

. 故可对（4）式递推计算如下：

11)()(---+-=n n n y x y D y x D

=(y x -)[]

122)()()(----+-+-n n n y x y y x y D y x =1332)(2])()[()(----+-+--n n n y x y y x y D y x y x =133)(3)(---+-n n y x y D y x

]

)1([)()()2())(()()()2()(1121

22y n x y x y x y n y x y x y x y x y n D y x n n n n n -+-=--++--=--+-==-----

上面得到原行列式当y z =时的值.下面讨论y z ≠的情形.

把（5）的行列式的z y 与对调，这相当于原行列式的行与列互换，这样的做法，行列式的值不变.于是z y 与对调后，1,-n n D D 的值不变，这时（5）式变为

11)()(---+-=n n n y x z D z x D （7）

从（5）与（7）（递推方程组）消去1-n D ，即（3）式乘以z x -，（5）乘以)(y x -，相减得

n n n y x z z x y D y x z x )()()]()[(---=---

)()()(y z z

y y x z z x y D n

n n ≠----=当

注: 当y z =时，行列式n D 也可以用极限计算

y y x z z x y n

n y z ----→)()(lim

(固定y ) 1

)()(lim 1----?-=-→n

n y z y x z x n y (用罗必达法则)

]

)1([)()()(1y n x y x y x y x ny n

n n -+-=-+-=-

又行列式n D 当y z =时可以用余式定理来做.

推广其实上述行列式我们仅仅能看见主对角线相等的情况，那么对于主对角线不等的我们更进一步考虑用函数来解决.

()()()()()x x x x x f b

a a bf

b af x b

a x

b b

a x

b a

a a x D n n

--=--=

1321

其中，b a ≠. 证明作()x

x x

b x

b x a x x x b x

b x a x a x x x

b x a x

a x a x

x x D n ++++++++++++++++=

321. 可见

()()())(,b f b D a f a D =-=-，

又据行列式的性质，可知()x D 是x 的一次多项式，所以可令()d cx x D +=，又因

D D d ==)0(，所以)()(),()(b f D cb b D a f D ca a D =+-=-=+-=-.

故

()()b

a a bf

b af D --=

20.导数在计算行列式中的应用

1.行列式的求导法则

定理1 设)(x f ij （n j i ,,2,1, =）为可导函数，则有行列式求导法则

)

()()()(1

1111x f V

f M M

f V x f M M x f V x f dx

nn n in i n =∑

i nn n in i n x f V

f M M f dx d

V x f dx d

M M

x f V

x f 1

11111)

()()()(. 即行列式的导数是数个项之和，其项数等于行列式的阶数，第一项是把原行列式的第一行（或第一列）的各元变成相应的导数，其余各行（或列）不变。第二项是把原行列式的第二行（或第二列）的各元变为相应的导数，其余行（或列）不变.

对其中含有不同字母的行列式求导，可设其中的一个字母为变量，其余字母为常量，然后在该行列式中对此变量求导.

2.导数在计算行列式种的应用举例.

关于行列式的计算方法8页word文档

行列式的计算方法综述目录 1.定义法（线性代数释疑解难参考） 2.化三角形法（线性代数释疑解难参考） 3.逐行（列）相减法（线性代数释疑解难参考） 4.升降法（加边法）（线性代数释疑解难参考） 5.利用范德蒙德行列式（线性代数释疑解难参考） 6.递推法（线性代数释疑解难参考） 7.数学归纳法（线性代数释疑解难参考） 8.拆项法（课外辅导书上参考） 9.换元方法（课外辅导书上参考） 10.拆因法（课外辅导书上参考）线性代数主要内容就是求解多元线性方程组，行列式的计算其中起重要作用。下面由我介绍几种常见的计算行列式的方法： 1.定义法由定义看出，n级行列式有!n个项。n较大时，!n是一个很大的数字。直接用定义来计算行列式是几乎不可能的事。但在n级行列式中的等于零的项的个数较多时，它展开式中的不等于零的项就会少一些，这时利用行列式的定义来计算行列式较方便。例1.算上三角行列式解：展开式的一般项为同样，可以计算下三角行列式的值。 2.化三角形法画三角形法是先利用行列式的性质将原行列式作某种保值变形，化为上

第１页（下）三角形行列式，再利用上（下）三角形行列式的特点（主对角线上元素的乘积）求出值。例2.计算解：各行加到第一行中把第二列到第n 列都分别加上第一列的()1-倍，有 3.逐行（列）相减法有这样一类行列式，每相邻两行（列）之间有许多元素相同，且这些相同元素都集中在某个角上。因此可以逐行（列）相减的方法化出许多零元素来。例3.计算n 级行列式解：从第二行起，每一行的()1-倍都加上上一行，有上式还不是特殊三角形，但每相邻两行之间有许多相同元素()10或，且最后一行有()1n -元素都是x 。因此可再用两列逐列相减的方法：第()1n -列起，每一列的()1-倍加到后一列上 4.升降法（加边法）升降法是在原行列式中再添加一列一行，是原来的n 阶成为()1n +阶，且往往让()1n +阶行列式的值与原n 阶行列式的值相等。一般说，阶数高的比阶数低的计算更复杂些。但是如果合理的选择所添加的行，列元素，是新的行列式更便于“消零”的话，则升降后有利于计算行列式的值。例4.计算n 级行列式

行列式的计算方法

摘要行列式是高等代数中重要的内容之一，在数学中有着广泛的应用.通过对行列式基本理论的介绍，针对不同类型的行列式，结合具体例题，介绍行列式的计算方法，其中包括降阶法，升阶法，数学归纳法等. 关键词：行列式；范德蒙行列式；计算

Abstract The determinant is an important content of higher algebra, which having wide application in mathematics. Through the introduction of the basic theory of the determinant, combined with concrete examples, the calculation for different types of determinant are introduced, which including the reduction method, order method, mathematical induction, and so on. Key words: determinant；vandermonde determinant；calculation

目录摘要 ................................................................................................................................I Abstract ....................................................................................................................... II 第1章行列式的形成和性质 .. (1) 第1节行列式的发展史 (1) 第2节行列式的性质 (2) 第2章行列式的计算方法 (4) 第1节化三角形法 (4) 第2节降阶法 (8) 第3节递推法 (9) 第4节加边法 (11) 第5节拆行（列）法 (12) 第6节数学归纳法 (14) 结论 (16) 参考文献 (17) 致谢 (18)

n阶行列式的计算方法

n 阶行列式的计算方法徐亮（西北师大学数信学院数学系， 730070 ）摘要：本文归纳总结了n 阶行列式的几种常用的行之有效的计算方法，并举列说明了它们的应运．关键词：行列式，三角行列式，递推法，升降阶法，得蒙行列式 The Calculating Method of the N-order Determinant Xu Liang (College o f M athematics and Information Scien ce ，North west Normal Uni versit y ， Lanzhou 730070，Gansu ，Chin a ) Abstract:This paper introduces some common and effective calculating methods of the n-order determinant by means of examples. Key words: determinant; triangulaire determinant; up and down order; vandermonde determinant 行列式是讨论线形方程组理论的一个有力工具，在数学的许多分支中都有这极为广泛的应用，是一种不可缺少的运算工具，它是研究线性方程组，矩阵，特征多项式等问题的基础，熟练掌握行列式的计算是非常必要的．行列式的计算问题多种多样，灵活多变，需要有较强的技巧．现介绍总结的计算n 阶行列式的几种常用方法． 1．定义法应用n 阶行列式的定义计算其值的方法，称为定义法．根据定义，我们知道n 阶行列式 12121211 12121222() 1212(1)n n n n n j j j j j nj j j j n n nn a a a a a a a a a a a a π= -∑ L L L L L M M L M L ．

#行列式的计算方法 (1)

计算n 阶行列式的若干方法举例 1．利用行列式的性质计算例：一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足,,1,2,,,ij ji a a i j n =-= 则称D n 为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由ij ji a a =-知ii ii a a =-，即0,1,2, ,ii a i n == 故行列式D n 可表示为1213112 23213 233123000 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -=-----，由行列式的性质A A '=，1213112 23213 23312300 00 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -----=-12131122321323312300( 1)0 n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -=------(1)n n D =- 当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0. 2．化为三角形行列式例2 计算n 阶行列式123123 1 23 1 2 3 1111n n n n a a a a a a a a D a a a a a a a a ++=++．解这个行列式每一列的元素，除了主对角线上的外，都是相同的，且各列的结构相似，因此n 列之和全同．将第2，3，…，n 列都加到第一列上，就可以提出公因子且使第一列的元素全是1． [][]()()()()()()122323122 3231223231122 3 2 3 211 12, ,2,,11 111 1 1111 1111 11 1n n n n n n n n n i n i n n n n i i i i i n i n a a a a a a a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ==+-==+++ +++++++??+++++=++ ??? +++ +++?? + ??? ∑∑3110100 111 . 00100 1 n n n i i i i a a a ==?? =+=+ ??? ∑∑

(完整word)行列式的计算技巧与方法总结,推荐文档

计算技巧及方法总结一、一般来说，对于二阶、三阶行列式，可以根据定义来做 1、二阶行列式 2112221122 2112 11a a a a a a a a -= 2、三阶行列式 33 32 31 23222113 1211a a a a a a a a a =.332112322311312213322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++ 例1计算三阶行列式6 01504 321 - 解 =-6 015043 21601??)1(52-?+043??+)1(03-??-051??-624??- 4810--=.58-= 但是对于四阶或者以上的行列式，不建议采用定义，最常采用的是行列式的性质以及降价法来做。但在此之前需要记忆一些常见行列式形式。以便计算。计算上三角形行列式 nn nn n n a a a a a a a a a ΛΛ ΛΛΛΛΛΛ2211222112110 0= 下三角形行列式 nn n n a a a a a a Λ ΛΛΛΛΛΛ2122 21 110 00.2211nn a a a Λ= 对角行列式 nn nn n n a a a a a a a a a ΛΛ ΛΛΛΛΛΛ221121 222111000= 二、用行列式的性质计算 1、记住性质，这是计算行列式的前提将行列式D 的行与列互换后得到的行列式,称为D 的转置行列式,记为T D 或'D ,即若

,21 2222111211nn n n n n a a a a a a a a a D Λ Λ ΛΛΛΛΛ= 则 nn n n n n T a a a a a a a a a D Λ ΛΛΛΛΛΛ 212 22 12 12111=. 性质1 行列式与它的转置行列式相等, 即.T D D = 注由性质1知道，行列式中的行与列具有相同的地位，行列式的行具有的性质,它的列也同样具有. 性质2 交换行列式的两行(列),行列式变号. 推论若行列式中有两行(列)的对应元素相同,则此行列式为零. 性质3 用数k 乘行列式的某一行(列), 等于用数k 乘此行列式, 即 .21 21 112112 1 21 112111kD a a a a a a a a a k a a a ka ka ka a a a D nn n n in i i n nn n n in i i n ===Λ ΛΛ Λ ΛΛΛΛΛΛΛΛ ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ 第i 行(列)乘以k ,记为k i ?γ(或k C i ?). 推论1 行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面. 推论2 行列式中若有两行(列)元素成比例,则此行列式为零. 性质4 若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和, 例如, nn n n in in i i i i n a a a c b c b c b a a a D Λ ΛΛΛΛΛ ΛΛΛΛΛ2 1 221111211+++=. 则 2121 21 11211212111211D D a a a c c c a a a a a a b b b a a a D nn n n in i i n nn n n in i i n +=+=Λ ΛΛ Λ ΛΛΛ ΛΛΛΛΛ ΛΛΛΛΛ ΛΛ Λ Λ Λ. 性质5 将行列式的某一行(列)的所有元素都乘以数k 后加到另一行(列)对应位置的元素上, 行列式不变. 注: 以数k 乘第j 行加到第i 行上,记作j i kr r +; 以数k 乘第j 列加到第i 列上，记作j i kc c +. 2、利用“三角化”计算行列式计算行列式时，常用行列式的性质，把它化为三角形行列式来计算. 例如化为上三角形行列式的步骤是:

(完整版)行列式的计算方法(课堂讲解版)

计算n 阶行列式的若干方法举例 n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较少时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。下面介绍几种常用的方法，并举例说明。 1．利用行列式定义直接计算例计算行列式 0 0100200 1000000n D n n =-L L M M M M L L 解 D n 中不为零的项用一般形式表示为 112211!n n n nn a a a a n ---=L . 该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于(1)(2) 2 n n --，故(1)(2) 2 (1) !.n n n D n --=- 2．利用行列式的性质计算例：一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足,,1,2,,,ij ji a a i j n =-=L 则称D n 为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由ij ji a a =-知ii ii a a =-，即0,1,2,,ii a i n ==L 故行列式D n 可表示为1213112 23213 2331230000 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -=-----L L L L L L L L L ，由行列式的性质A A '=，1213112 23213 2331230000 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -----=-L L L L L L L L L 12131122321323312300(1)00 n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -=------L L L L L L L L L (1)n n D =- 当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0.

行列式的计算技巧与方法总结

行列式的几种常见计算技巧和方法 2.1 定义法适用于任何类型行列式的计算，但当阶数较多、数字较大时，计算量大，有一定的局限性．例1 计算行列式 00400300200 1000. 解析：这是一个四级行列式，在展开式中应该有244=！项，但由于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少．具体的说，展开式中的项的一般形式是43214321j j j j a a a a ．显然，如果41≠j ，那么011=j a ，从而这个项就等于零．因此只须考虑41=j 的项，同理只须考虑 1,2,3432===j j j 的这些项，这就是说，行列式中不为零的项只有 41322314a a a a ，而()64321 =τ，所以此项取正号．故 0 04003002001000 =()()241413223144321=-a a a a τ. 2.2 利用行列式的性质即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形.该方法适用于低阶行列式． 2.2.1 化三角形法上、下三角形行列式的形式及其值分别如下：

nn n n n a a a a a a a a a a a a a 2211nn 333223221131211000000=，nn nn n n n a a a a a a a a a a a a a 221132 1 33323122211100 00 00=. 例2 计算行列式n n n n b a a a a a b a a a a ++= + 21 211211n 1 11 D . 解析：观察行列式的特点，主对角线下方的元素与第一行元素对应相同，故用第一行的()1-倍加到下面各行便可使主对角线下方的元素全部变为零．即：化为上三角形．解：将该行列式第一行的()1-倍分别加到第2,3…（1n +）行上去，可得 1 21n 11210000D 0 n n n a a a b b b b b += = . 2.2.2 连加法这类行列式的特征是行列式某行（或列）加上其余各行（或列）后，使该行（或列）元素均相等或出现较多零，从而简化行列式的计算．这类计算行列式的方法称为连加法．

【对应线代】行列式计算7种技巧7种手段

行列式计算7种技巧7种手段【说明】行列式是线性代数的一个重要研究对象,是线性代数中的一个最基本,最常用的工具,记为det(A).本质上,行列式描述的是在n 维空间中,一个线性变换所形成的平行多面体的体积,它被广泛应用于解线性方程组,矩阵运算,计算微积分等.鉴于行列式在数学各领域的重要性,其计算的重要性也不言而喻,因此,本人结合自己的学习心得,将几种常见的行列式计算技巧和手段归纳于此,供已具有行列式学习基础的读者阅读一7种技巧: 【技巧】所谓行列式计算的技巧,即在计算行列式时,对已给出的原始行列式进行化简,使之转化成能够直接计算的行列式,由此可知,运用技巧只能化简行列式,而不能直接计算出行列式技巧1:行列式与它的转置行列式的值相等,即D=D T 111211121121222122221 2 12n n n n n n nn n n nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a = 技巧2:互换行列式的任意两行(列),行列式的值将改变正负号 111212122221222111211 2 1 2 n n n n n n nn n n nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a =- 技巧3:行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面 1111121111121221 222 22212221 1 2 1 2 n n n n n n i n n n n n nn n n nn b a b a b a a a a b a b a b a a a a b b a b a b a a a a ==∏ 技巧4:行列式具有分行(列)相加性 11121111211112111 22 1 2121 2 1 2 1 2 n n n t t t t tn tn t t tn t t tn n n nn n n nn n n nn a a a a a a a a a b c b c b c b b b c c c a a a a a a a a a +++=+ 技巧5:将行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数k 后加到另一行(列)对应的元素上,行列式的值不变

行列式的计算方法课堂讲解版

计算n 阶行列式的若干方法举例 n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较少时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。下面介绍几种常用的方法，并举例说明。 1．利用行列式定义直接计算例计算行列式 00100 200 1 0000 00n D n n = - 解 D n 中不为零的项用一般形式表示为 112211!n n n nn a a a a n ---=. 该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于(1)(2) 2 n n --，故(1)(2) 2 (1) !.n n n D n --=- 2．利用行列式的性质计算例：一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足,,1,2, ,,ij ji a a i j n =-= 则称D n 为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由ij ji a a =-知ii ii a a =-，即0,1,2, ,ii a i n == 故行列式D n 可表示为1213112 23213 233123000 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -=-----，由行列式的性质A A '=，1213112 23213 233123000 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -----=-12131122321323312300(1)0 n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -=------(1)n n D =- 当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0. 3．化为三角形行列式

【原创】行列式计算7种技巧7种手段

行列式计算7种技巧7种手段编者:Castelu 【编写说明】行列式是线性代数的一个重要研究对象,是线性代数中的一个最基本,最常用的工具,记为det(A).本质上,行列式描述的是在n 维空间中,一个线性变换所形成的平行多面体的体积,它被广泛应用于解线性方程组,矩阵运算,计算微积分等.鉴于行列式在数学各领域的重要性,其计算的重要性也不言而喻,因此,本人结合自己的学习心得,将几种常见的行列式计算技巧和手段归纳于此,供已具有行列式学习基础的读者阅读一.7种技巧: 【技巧】所谓行列式计算的技巧,即在计算行列式时,对已给出的原始行列式进行化简,使之转化成能够直接计算的行列式,由此可知,运用技巧只能化简行列式,而不能直接计算出行列式技巧1:行列式与它的转置行列式的值相等,即D=D T 111211121121222122221 212n n n n n n nn n n nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a = 技巧2:互换行列式的任意两行(列),行列式的值将改变正负号 111212122221222111211 21 2n n n n n n nn n n nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a =- 技巧3:行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面 111112111112122122222212221 121 2n n n n n n i n n n n n nn n n nn b a b a b a a a a b a b a b a a a a b b a b a b a a a a == ∏ 技巧4:行列式具有分行(列)相加性 11121111211112111221 21 21 2 1 21 2n n n t t t t tn tn t t tn t t tn n n nn n n nn n n nn a a a a a a a a a b c b c b c b b b c c c a a a a a a a a a +++=+ 技巧5:将行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数k 后加到另一行(列)对应的元素上,行列式的值不变

(完整版)行列式的计算方法总结

行列式的计算方法总结: 1. 利用行列式性质把行列式化为上、下三角形行列式. 2. 行列式按一行(一列)展开,或按多行(多列)展开(Laplace 定理). 几个特别的行列式: B A B C A B C A == 0021 , B A B A D D B A mn )1(0 021 -== ,其中B A ,分别是n m ,阶的方阵. 例子: n n a b a b a b b a b a b a D 22O N N O = , 利用Laplace 定理,按第1,+n n 行展开,除2级子式 a b b a 外其余由第1,+n n 行所得的2级子式均为零. 故222222112)()1(--+++++-=-= n n n n n n n D b a D a b b a D ,此为递推公式,应用可得 n n n n b a D b a D b a D )()()(224222222222-==-=-=--Λ. 3. 箭头形行列式或者可以化为箭头形的行列式. 例:n n n n n n n a x x a a x x a a x x a a a a x x a a a a x a a a a x a a a a x ------=Λ ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ ΛΛΛΛΛΛΛΛ00 000 01 133112 2113213 21321 321321 -----(倍加到其余各行第一行的1-) 100 101010 011)(3 332 221 111 Λ ΛΛΛΛΛΛΛΛ-------? -=∏=n n n n i i i a x a a x a a x a a x x a x --------(每一列提出相应的公因子i i a x -) 1 001000 010)(3 332 222111 1 Λ ΛΛΛΛΛΛΛΛn n n n i i i i n i i i a x a a x a a x a a x a a x x a x ----+-? -=∑∏== --------(将第n ,,3,2Λ列加到第一列)

浅谈行列式的计算方法x

浅一、特殊行列式法 1．定义法当行列式中含零元较多时，定义法可行．例1 计算n 级行列式 α β βαβαβα000000 0000 00 =D . 解：按定义，易见121,2,,,n j j j n === 或 1212,3,,,1n n j j j n j -==== . 得 11(1)n n n D αβ-+=+- 2．三角形行列式法利用行列式性质，把行列式化成三角形行列式． nn a a a a a a 000n 222n 11211＝nn n n a a a a a a 212212110 0112233nn a a a a = 例2 计算n 级行列式1231 131 211 2 3 1 n n x n D x n x +=++ 解：将n D 的第(2,3,,)i i n = 行减去第一行化为三角形行列式，则 1230 1000 0200 1 (1)(2)(1) n n x D x x n x x x n -=--+=---+

3．爪形行列式法例3 计算行列式 0121 1 220 0000n n n a b b b c a D c a c a = ()0,1,2,,i a i n ≠= 解: 将D 的第i +1列乘以（i i a c - ）都加到第1列()n i ,2,1=，得 10 12 120000000 00n i i n i i n bc a b b b a a D a a - =∑= ＝011()n n i i i i i i b c a a a ==-∑∏ 4．范德蒙行列式法 1 2 3 2 2221 2 3 11111 2 3 1111n n n n n n n a a a a D a a a a a a a a ----= 1()i j j i n a a ≤<≤= -∏ 例4 计算n 级行列式 2 2221233 333 1 2 3 12 3 11 1 1 n n n n n n n x x x x D x x x x x x x x = 解：利用D 构造一个1n +阶范德蒙行列式 12222 212121111()n n n n n n n x x x x g x x x x x x x x x = 多项式()g x 中x 的系数为3(1)n D +-，而()g x 又是一个范德蒙行列式，即 1 ()() n i i g x x x ==-∏∏≤<≤-n i j j i x x 1)(

行列式的计算技巧与方法总结

行列式的若干计算技巧与方法内容摘要 1. 行列式的性质 2.行列式计算的几种常见技巧和方法定义法利用行列式的性质降阶法升阶法（加边法）数学归纳法递推法 3. 行列式计算的几种特殊技巧和方法拆行（列）法构造法特征值法 4. 几类特殊行列式的计算技巧和方法三角形行列式 “爪”字型行列式 “么”字型行列式 “两线”型行列式 “三对角”型行列式范德蒙德行列式 5. 行列式的计算方法的综合运用降阶法和递推法逐行相加减和套用范德蒙德行列式构造法和套用范德蒙德行列式

行列式的性质性质1 行列互换，行列式不变．即 nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a n 2n 1n2 2212n12111nn n2n12n 2221 1n 1211 . 性质2 一个数乘行列式的一行（或列），等于用这个数乘此行列式．即 nn n2 n1in i2i1n 11211 k k k a a a a a a a a a k nn a a a a a a a a a n2n1in i2i1n 11211. 性质3 如果行列式的某一行（或列）是两组数的和，那么该行列式就等于两个行列式的和，且这两个行列式除去该行（或列）以外的各行（或列）全与原来行列式的对应的行（或列）一样．即 111211112111121112212121 2 1212.n n n n n n n n n nn n n nn n n nn a a a a a a a a a b c b c b c b b b c c c a a a a a a a a a K K K M M M M M M M M M M M M K K K M M M M M M M M M M M M K K K 性质4 如果行列式中有两行（或列）对应元素相同或成比例，那么行列式为零．即 k a a a ka ka ka a a a a a a nn n n in i i in i i n 21 2121112 11nn n n in i i in i i n a a a a a a a a a a a a 212121112 11 =0. 性质5 把一行的倍数加到另一行，行列式不变．即

行列式的计算方法

专题讲座五行列式的计算方法 1.递推法例1求行列式的值：（1）的构造是：主对角线元全为；主对角线上方第一条次对角线的元全为，下方第一条次对角线的元全为1，其余元全为0；即为三对角线型。又右下角的（n）表示行列式为n阶。解把类似于，但为k阶的三对角线型行列式记为。把（1）的行列式按第一列展开，有两项，一项是另一项是上面的行列式再按第一行展开，得乘一个n– 2 阶行列式，这个n– 2 阶行列式和原行列式的构造相同，于是有递推关系：（2）移项，提取公因子β：类似地：（递推计算）直接计算

若；否则，除以后移项：再一次用递推计算： ∴，当β≠α（3）当β = α，从从而。由（3）式，若。 ∴ 注递推式（2）通常称为常系数齐次二阶线性差分方程. 注1仿照例1的讨论，三对角线型的n阶行列式

（3）和三对角线型行列式（4）有相同的递推关系式（5）（6）注意两个序列和的起始值相同，递推关系式（5）和（6）的构造也相同，故必有由（4）式，的每一行都能提出一个因子a，故等于乘一个n阶行列式，这一个行列式就是例1的。前面算出，故例2 计算n阶范德蒙行列式行列式解:

即n阶范德蒙行列式等于这n个数的所有可能的差的乘积 2．拆元法例3：计算行列式解

①×（x + a） ②×（x – a）

3．加边法例4计算行列式分析：这个行列式的特点是除对角线外,各列元素分别相同.根据这一特点,可采用加边法. 解 4．数学归结法例5计算行列式解：猜测：证明（1）n = 1, 2, 3 时，命题成立。假设n≤k– 1 时命题成立,考察n=k的情形：

特殊行列式与行列式计算方法总结

特殊行列式及行列式计算方法总结一、几类特殊行列式 1. 上（下）三角行列式、对角行列式（教材P7例5、例6） 2. 以副对角线为标准的行列式 11112112,1 221222,11,21,1 1,11 2 ,1 (1)2 12,11 000000 0000 0000 (1) n n n n n n n n n n n nn n n n n n nn n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---------===-L L L L L L M M M M M M M M M N L L L L 3. 分块行列式（教材P14例10）一般化结果： 00n n m n n m n m m n m m n m A C A A B B C B ????= =? 0(1)0n m n n m n mn n m m m n m m n A C A A B B C B ????= =-? 4. 范德蒙行列式（教材P18例12）注：4种特殊行列式的结果需牢记！以下几种行列式的特殊解法必须熟练掌握！！！二、低阶行列式计算二阶、三阶行列式——对角线法则（教材P2、P3）三、高阶行列式的计算【五种解题方法】 1) 利用行列式定义直接计算特殊行列式； 2) 利用行列式的性质将高阶行列式化成已知结果的特殊行列式； 3) 利用行列式的行（列）扩展定理以及行列式的性质，将行列式降阶进行计算 ——适用于行列式的某一行或某一列中有很多零元素，并且非零元素的代数余子式很容易计算； 4) 递推法或数学归纳法； 5) 升阶法（又称加边法）

行列式计算的若干种方法讲解

中南民族大学毕业论文(设计) 学院: 数学与统计学学院专业: 统计学年级:2008 题目: 行列式计算的若干方法学生姓名: 曹金金学号:08067005

指导教师姓名: 汪宝彬职称:讲师 2012年4月30日

中南民族大学本科毕业论文（设计）原创性声明本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果.除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品.本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担. 作者签名：年月日

目录摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Key words (1) 1 引言 (2) 2.1排列 (2) 2.2行列式的定义 (2) 2.2.1 二阶、三阶行列式 (2) 2.2.2 n阶行列式的定义 (3) 2.2.3 几种特殊的行列式的定义 (3) 2.3 行列式的基本性质 (5) 3几种常见的行列式的计算方法 (6) 3.1利用行列式定义直接计算 (6) 3.2 利用行列式的性质计算 (6) 3.3 三角化法 (7) 3.4 降阶法 (8) 3.5利用范德蒙德行列式求解 (10) 3.6 数学归纳法 (11) 3.7 拆项法 (12) 3.8析因子法 (13) 3.9 加边法(升阶法) (13) 3.10递推公式法 (14) 3.11超范德蒙行列式法 (15) 3.12利用分块计算行列式 (16) 4 结论 (16) 致谢 (17) 参考文献 (17)

行列式计算的若干方法摘要：在线性代数中,行列式的求解是非常重要的. 本文首先介绍行列式的定义与性质；然后通过实例给出了计算行列式的几种方法.从文中可以看出，选择合适的计算方法可有效的计算行列式. 关键词：行列式；性质；计算方法 Some Methods of Determinant Calculation Abstract: Determinant plays an important role in the linear algebra. In this paper we first introduce the definition and properties of determinant. Then several methods of the calculation are given by some examples. It can be seen from the paper that choose the appropriate calculation method can efficiently compute the determinant. Key words: determinant; property; the calculation methods

关于行列式的一般定义与计算方法

关于行列式的一般定义和计算方法 n 阶行列式的定义 n 阶行列式 nn n n n n a a a a a a a a a 2 122221112 11= n n n j j j nj j j j j j a a a 21212121) ()1( 2 N 阶行列式是 N ! 项的代数和; 3、N 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列N 个元素的乘积; 特点:(1)(项数)它是3!项的代数和; (2)(项的构成)展开式中的每一项都是取自行列式不同行不同列的三个元素之积. 其一般项为: (3)(符号规律)三个正项的列标构成的排列为123,231,312. 它们都是偶排列; 三个负项的列标构成的排列为321,213,132, 它们都是奇排列. § 行列式的性质性质1：行列式和它的转置行列式的值相同。 32 2311332112312213a a a a a a a a a 32 21133123123322113332 31 232221 13 1211 a a a a a a a a a a a a a a a a a a D （1

即 nn n n n n a a a a a a a a a 2 122221112 11= nn n n n n a a a a a a a a a 212221212111；行列式对行满足的性质对列也同样满足。性质2 互换行列式的两行（列），行列式的值变号. 如: D=d c b a =ad-bc , b a d c =bc-ad= -D 以r i 表第i 行，C j 表第j 列。交换 i ,j 两行记为r j i r ,交换i,j 两列记作C i C j 。性质3：如果一个行列式的两行（或两列）完全相同，那么这个行列式的值等于零。性质4：把一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素同乘以某一个常数k 的结果等于用这个常数k 乘这个行列式。（第i 行乘以k ，记作r i k ）推论1：一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素的公因式可以提到行列式符号的前面。推论2：如果一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素都为零，那么行列式值等于零。推论3：如果一个行列式的某二行（或某二列）的对应元素成比例，那么行列式值等于零。性质5：如果行列式D 的某一行（或某一列）的所有元素都可以表成两项的和，那么行列式 D 等于两个行列式 D 1 和 D 2 的和。

行列式的计算方法

行列式的计算方法摘要：线性代数主要内容就是求解多元线性方程组，行列式产生于解线性方程组,行列式的计算是一个重要的问题。本文依据行列式的繁杂程度，以及行列式中字母和数字的特征，给出了计算行列式的几种常用方法：利用行列式的定义直接计算、化为三角形法、降阶法、镶边法、递推法，并总结了几种较为简便的特殊方法：矩阵法、分离线性因子法、借用“第三者”法、利用范德蒙德行列式法、利用拉普拉斯定理法，而且对这些方法进行了详细的分析，并辅以例题。关键词：行列式矩阵降阶 The Methods of Determinant Calculation Abstract：Solving multiple linear equations is the main content of the linear algebra, determinants produced in solving linear equations, determinant calculation is an important issue.This article is based on the complexity degree of the determinant, and the characteristics of letters and numbers of the determinant ,and then gives several commonly used methods to calculate the determinant: direct calculation using the definition of determinant, into the triangle, reduction method, edging method , recursion, and summarizes several relatively simple and specific methods: matrix, linear separation factor method, to borrow "the third party" method, using Vandermonde determinant method, using Laplace theorem,also analyze these methods in detail,and supported by examples. Keywords:determinant matrix reduction. 1．引言线性代数主要内容就是求解多元线性方程组，行列式产生于解线性方程组,

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