奥赛习题(原理部分)
化学平衡
一、将纯H2S通入放有固态FeCl2并已抽真空的密闭烧瓶内,加热烧瓶到329.9℃,并恒温,四天后假定已达到平衡。此时烧瓶中含有两种固体FeCl2和FeS1+x,气相仅有H2S、HCl 和H2,其分压分别为30.3、81.1和5.69kPa。①求化学式FeS1+x中的x值;②写出烧瓶中所发生的化学反应方程式(相当于1mol FeCl2而言);③求出其K0。
二、对于反应:2NO2(g)≒N2O4(g),若开始时,NO2的压力为p,密度为ρ0。维持压力p和温度不变,使其达到平衡,测得混合气体的密度ρ。求该反应在此温度下的K p?
三、在1升密闭容器内523K时装入1.204molPCl5,有0.204mol分解为PCl3和Cl2,求等温下1. 压力减小一半,2. 体积增大一倍,在新平衡体系中各物质浓度。
四、将3体积H2和1体积N2混合,在673K和总压为5000kPa下,达到平衡,其生成NH3反应的K0为1.64×10-4,求平衡时NH3的产率。
五、草酸是二元弱酸H2C2O4、HC2O4-和C2O42-的相对量关系式为:
a0=[H2C2O]/c,a1=[HC2O4-]/c,a2=[C2O42-]/c
式中c是总浓度。已知当a0=a1时,pH=1.23;当a1=a2时,pH=4.19。试求①H2C2O4的Ka,1和Ka,2;②pH=1.23和pH=4.19时的a0、a1和a2;③pH=5.00时,0.100mol·dm-3H2C2O4溶液中[C2O42-]。
六、10cm30.20mo l·L-1NH4+的乙醇溶液与10cm30.20mo l·L-1乙醇钠的乙醇溶液混合,求NH4+的浓度。(乙醇自电离常数K=8.0×10-20 NH4+在乙醇中的常数Ka=1.0×10-10)
七、求CaF2在pH=3.000缓冲溶液中的溶解度。(Ksp=2.50×10-11 Ka=6.60×10-4)
八、求下列溶液的pH值
1. 0.1mo l·L-1NH4CN (Kb NH3=1.76×10-5 Ka HCN=6.2×10-10)
2. 0.1mol·L-1Na2S (Ka2H2S=1.2×10-15)
3. 0.1mo l·L-1(NH4)2S (Ka1H2S=5.7×10-8)
4. 0.008mo l·L-1Ca(OH)2中通CO2至沉淀恰好全溶(Ksp=8.7×10-9 Ka2H2CO3=
5.6×10-11 )
九、某一元弱HA( 未知量)溶于60.00ml水中,用0.5000mo l·L-1NaOH中和,中和50%时pH=5.0000至计量点时pH=9.0000,求HA的量。
十、求反应:2Ag2S(s)+8CN-(aq)+O2(g)+2H2O(l)=4[Ag(CN)2]-(aq)+2S(s)+4OH-(aq)的平衡常数.(Ksp,Ag2S=6.0×10-50,K稳,Ag(CN)2-=1.3×1021,φ0S/S2-=-0.48V,φ0O2/OH-=0.40V)
氧化还原反应
一、铬(Cr)位于周期表中ⅥB族元素,化合价可以是O→+6的整数价态。
1.在特定条件下,K2CrO4与H2O2发生氧化还原反应,生成化合物A,A是一种钾盐(不带结晶水),含有43.05%的O。写出A的化学式和结构简式,并写出反应的离子方程式。
2.在特定条件下,K2Cr2O7与H2O2发生非氧化还原反应,并用乙醚萃取,得到化合物B,B是一种分子晶体,含有46.6%的O。写出B的化学式和结构简式,并写出反应的离子方程式。
二、镀铬通常是以电解铬酸溶液的方法进行。阴极是欲镀铬的物体,阳极是惰性电极,电解液为铬酐水溶液,若电解时使用1500A的电流,通电10.0小时,阴极的质量增加了
0.679kg,阴极和阳极放出的气体体积比V阴/V阳=1.603。
1.求主反应(铬沉积)的电流效率。
2.若副反应仅为水的电解,求阴极和阳极放出气体体积之比。
3.求实际副反应(水的电解)的电流效率。
三、已知ΦB0H2O/H2=-0.8288V, 试设计一个原电池(用电池符号表示),写出电极反应,并以此计算水的离子积常数。
四、已知K稳[Ag(CN)2-]=1.00×1021 KspAgCN=1.20×10-16,Ka HCN=4.93×10-10,求AgCN在含0.100mol·L-1HCN的pH=4.000的缓冲溶液(由Hac和NaAc组成)中的溶解度(以mol·L-1表示)
五、已知ΦA0HBr/Br2=1.60V,ΦB0BrO-/Br2=0.335V 求KaHBrO
六、设计一个甲烷-空气碱性燃料电极,写出电极反应和总反应,提高电池液碱度对Φ和E有何影响?
七、金属X的含氧酸钾盐是一种深褐色固体A,其中含钾元素19.84%;A在浓硫酸作用下得到红色晶体B,B是X的氧化物,含氧48.0%;将1.000g A溶于,加入足量酸性KI 溶液,然后再用1.000mol/L的Na2S2O3溶液进行滴定,消耗体积22.83mL。
1.通过计算确定X的元素符号和B的化学式,并写出X的核外电子排布式;
2.通过计算确定A的化学式,并写出A与KI反应的离子方程式
3.写出A与浓硫酸作用得到B的化学方程式;
4.B也具有强氧化性:①乙醇能在B的固体中燃烧;②乙醇能被B的酸性溶液氧化为乙醛。写出①②的化学方程式;反应②在实际生活中有什么用途。
5.被KI还原的A溶液中可析出一种重要的矾,含有7.829%的K+和10.41%的X离子。请写出该矾的化学式。
八、(05.05.t9)在金电极之间,以一定电流通过AuCl4-溶液。经过10min,阴极重量增加了1.314g。
1.写出阴极反应方程式;
2.试问在此过程中,有多少电荷经过?电流是多少?
3.在1.000×105Pa,25.0℃下,阳极可释放出多少体积的气体。
4.在电解AuCl4-溶液的过程中,溶液需要快速搅拌,请明确解释为什么搅拌在这个过程中如此重要?
特别声明:考试时需带计 算器作辅助计算 1.2015x *=是经四舍五入得到的近似值,则其相对误差* r e ≤-31 104 ?. 2. 01(),(), ,()n l x l x l x 是以01,, ,n x x x 为节点的拉格朗日插值基函数,则 3.设(0)1(1)3(2)4(3)2f =,f =,f =,f =,[0123]f =,,,1 3 - . 4. 利用Simpson 公式求?2 1 2dx x = 7.3 5. 设求积公式1 0()d (),(1)n k k k f x x A f x n ≈≥∑?=是Gauss 型求积公式,则3 n k k k A x == ∑1 .4 6. 数值微分公式(2)(2) ()i i i f x h f x h f x h +≈ --'的截断误差为 2().O h 7. 设1101A ?? = ??? ,则A 的谱半径()A ρ= 1 ,A 的条件数1cond ()A = 4. 8. 用牛顿下山法求解方程3 03 x x -=根的迭代公式是 2 13 3(1),3n n n n x x x x x λ+-=-- 下山条件是 1()().n n f x f x +< 9.对任意初始向量(0)x 及任意向量f ,线性方程组的迭代公式(1)()(0,1,2,)k k k +=+=x Bx f ,迭代序列()k x 收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是()1.ρ7-7-5 容斥原理之最值问题.教师版
1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容; 2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用. 一、两量重叠问题 在一些计数问题中,经常遇到有关集合元素个数的计算.求两个集合并集的元素的个数,不能简单地把两个集合的元素个数相加,而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数,即减去交集的元素个数,用式子可表示成:A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”,相当于中文“和”或者“或”的意思;符号“”读作“交”,相当于中文“且”的意思.)则称这一公式为包含与排除原理,简称容斥原理.图示如下:A 表示小圆部分,B 表示大圆部分,C 表示大圆与小圆的公共部分,记为:A B ,即阴影面积.图示如下:A 表示小圆部分,B 表示大圆部分, C 表示大圆与小圆的公共部分,记为:A B ,即阴影面积. 包含与排除原理告诉我们,要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数,可分以下两步进行: 第一步:分别计算集合A B 、的元素个数,然后加起来,即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进 来,加在一起); 第二步:从上面的和中减去交集的元素个数,即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数). 二、三量重叠问题 A 类、 B 类与 C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数.用符号表示为:A B C A B C A B B C A C A B C =++---+.图示如下: 教学目标 知识要点 7-7-5.容斥原理之最值问题 1.先包含——A B + 重叠部分A B 计算了2次,多加了1次; 图中小圆表示A 的元素的个数,中圆表示B 的元素的个数, 1.先包含:A B C ++ 重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次, 多加了1次. 2.再排除:A B C A B B C A C ++---
第一章典型例题 例3 ln2=0.…,精确到10-3的近似值是多少 解 精确到10-3=,即绝对误差限是=, 故至少要保留小数点后三位才可以。ln2 第二章典型例题 例1 用顺序消去法解线性方程组 ??? ??1 -=4+2+4=+2+31 -=4++2321 321321x x x x x x x x x 解 顺序消元 ?? ?? ??????---???→???????????---????→???????????--=-?+-?+-?+1717005.555.00141 25.025.105.555.001412142141231412]b A [)3()2/1()2/3(231312r r r r r r M 于是有同解方程组 ?? ? ??-==--=++17175.555.0142332321x x x x x x 回代得解 x 3=-1, x 2=1,x 1=1,原线性方程组的解为X =(1,1,-1)T 例2 取初始向量X (0)=(0,0,0)T ,用雅可比迭代法求解线性方程组 ??? ??5 =+2+23=++1=2-2+321 321321x x x x x x x x x 解 建立迭代格式 ???????+--=+--=++-=+++5223122) (2)(1)1(3 ) (3)(1)1(2 ) (3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x (k =1,2,3,…)
第1次迭代,k =0 X (0)=0,得到X (1)=(1,3,5)T 第2次迭代,k =1 ???????-=+?-?-=-=+--==+?+?-=3 532123 351515232)2(3) 2(2)2(1x x x X (2)=(5,-3,-3)T 第3次迭代,k =2 ???????=+-?-?-==+---==+-?+-?-=1 5)3(2521 3)3(511)3(2)3(2)2(3) 3(2)3(1x x x X (3)=(1,1,1)T 第4次迭代,k =3 ???????=+?-?-==+--==+?+?-=1 512121 311111212)2(3) 2(2)2(1x x x X (4)=(1,1,1)T 例4 证明例2的线性方程组,雅可比迭代法收敛,而高斯-赛德尔迭代法发散。 证明 例2中线性方程组的系数矩阵为 A =?? ?? ? ?????-122111221 于是 D =?? ?? ??????100010001 D -1=D ??????????=022001000L ~ ????? ?????-=000100220U ~ 雅可比迭代矩阵为
大学物理上册期末考试 重点例题 Document number:PBGCG-0857-BTDO-0089-PTT1998
第一章 质点运动学习题 1-4一质点在xOy 平面上运动,运动方程为 x =3t +5, y = 2 1t 2 +3t -4.(SI ) (式中t 以 s 计,x ,y 以m 计.) (1)以时间t 为变量,写出质点位置矢量的表示式; (2)求出t =1 s 时刻和t =2s 时刻的位置矢量,并计算这1秒内质点的位移; (3)计算t =0 s 时刻到t =4s 时刻内的平均速度; (4)求出质点速度矢量表示式,并计算t =4 s 时质点的速度; (5)计算t =0s 到t =4s 内质点的平均加速度; (6)求出质点加速度矢量的表示式,并计算t =4s 时质点的加速度。 (请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式). 解:(1)质点位置矢量 21 (35)(34)2r xi yj t i t t j =+=+++-m (2)将1=t ,2=t 代入上式即有 211 [(315)(1314)](80.5)2t s r i j m i j m ==?++?+?-=- 221 [(325)(2324)](114)2 t s r i j m i j ==?++?+?-=+m 21(114)(80.5)(3 4.5)t s t s r r r i j m i j m i j m ==?=-=+--=+ (3) ∵ 20241 [(305)(0304)](54)2 1 [(345)(4344)](1716)2 t s t s r i j m i j m r i j m i j m ===?++?+?-=-=?++?+?-=+ ∴ 1140(1716)(54)(35)m s 404 t s t s r r r i j i j v m s i j t --==-?+--= ==?=+??-
练习题六:极限法 A1、物体A 在倾斜角为θ的斜面上运动,如图所示。若初速度为0v ,它与斜面间的摩擦系数为μ,在相同的情况下,A 上滑与下滑的加速度大小之比为: A. θθμθμθsin cos cos sin -- B. θμθθμθcos sin cos s -+in C. θ μtan + D. θ μθθμcos sin cos - A2、如图所示,一根轻质弹簧上端固定,下端挂一质量为m 0的平盘,盘中有一物体,质量为m 。当盘静止时,弹簧的长度比其自然长度伸长了L 。今向下拉盘使弹簧再伸长△L 后停止,然后松手放开。设弹簧总处在弹性限度内,则刚松开手时盘对物体的支持力等于( A )。 A. mg L L )1(?+ B.g m m L L ))(1(0++? C. Lmg ? D. g m m L L )(0+? A3、如图所示,两点电荷所带电量均为+Q ,A 处有一电子沿两电荷连线的中垂线运动,方向指向O 点。设电子原来静止,A 点离O 点足够远,电子只受电场力作用,那么电子的运动状态是( )。 A A.先匀加速,后匀减速; B.加速度越来越小,速度越来越大; C.加速度越来越大,速度越来越小; D.加速度先变大后变小,最后变为零。 用极限法考虑问题时,在选定的区域内所研究的物理量必须是连续单调变化的。在本题中,A 到O 变化区域内,加速度a 并不是单调变化的,为什么也可以应用极限法呢?实际上我们选用了两个特殊点A 和O 点,只研究了这两个点附近区域a 的变化。在A 点和O 点附近区域内a 仍是单调变化的。在A 和O 之间还存一个a 为极大值的位置B 。从A 到B ,a 是单调增大的,从B 到O ,a 是单调减小的。将A 到O 分成两个单调区域,极限法可以使用了。 A4、设地球的质量为M ,人造卫星的质量为m ,地球的半径为R 0,人造卫星环绕地球做圆 A θ m 0 m O +Q +Q
数值分析典型习题
特别声明:考试时需带计 算器作辅助计算 1.2015x *=是经四舍五入得到的近似值,则其相对误差* r e ≤ -31 104 ?. 2. 01(),(),,()n l x l x l x L 是以01,,,n x x x L 为节点的拉格朗日插值基函数,则 3.设(0)1(1)3(2)4(3)2f =,f =,f =,f =,[0123]f =,,,1 3 - . 4. 利用Simpson 公式求?2 1 2dx x = 7.3 5. 设求积公式1 0()d (),(1)n k k k f x x A f x n ≈≥∑?=是Gauss 型求积公式,则3 n k k k A x == ∑1 .4 6. 数值微分公式(2)(2) ()i i i f x h f x h f x h +≈ --'的截断误差为 2().O h 7. 设1101A ?? = ??? ,则A 的谱半径()A ρ= 1 ,A 的条件数1cond ()A = 4. 8. 用牛顿下山法求解方程3 03 x x -=根的迭代公式是 2 13 3(1),3n n n n x x x x x λ+-=-- 下山条件是 1()().n n f x f x +< 9.对任意初始向量(0)x 及任意向量f ,线性方程组的迭代公式(1)()(0,1,2,)k k k +=+=L x Bx f ,迭代序列()k x 收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是()1.ρ大学物理期末考试经典题型(带详细答案的)
例1:1 mol 氦气经如图所示的循环,其中p 2= 2 p 1,V 4= 2 V 1,求在1~2、2~3、3~4、4~1等过程中气体与环境的热量交换以及循环效率(可将氦气视为理想气体)。O p V V 1 V 4 p 1p 2解:p 2= 2 p 1 V 2= V 11234T 2= 2 T 1p 3= 2 p 1V 3= 2 V 1T 3= 4 T 1p 4= p 1V 4= 2 V 1 T 4= 2 T 1 (1)O p V V 1 V 4 p 1p 21234)(1212T T C M m Q V -=1→2 为等体过程, 2→3 为等压过程, )(2323T T C M m Q p -=1 1123)2(23RT T T R =-=1 115)24(2 5RT T T R =-=3→4 为等体过程, )(3434T T C M m Q V -=1 113)42(2 3 RT T T R -=-=4→1 为等压过程, )(4141T T C M m Q p -=1 112 5)2(25RT T T R -=-= O p V V 1 V 4 p 1p 21234(2)经历一个循环,系统吸收的总热量 23121Q Q Q +=1 112 13 523RT RT RT =+=系统放出的总热量1 41342211 RT Q Q Q =+=% 1.1513 2 112≈=-=Q Q η三、卡诺循环 A → B :等温膨胀B → C :绝热膨胀C → D :等温压缩D →A :绝热压缩 ab 为等温膨胀过程:0ln 1>=a b ab V V RT M m Q bc 为绝热膨胀过程:0=bc Q cd 为等温压缩过程:0ln 1<= c d cd V V RT M m Q da 为绝热压缩过程:0 =da Q p V O a b c d V a V d V b V c T 1T 2 a b ab V V RT M m Q Q ln 11= =d c c d V V RT M m Q Q ln 12= =, 卡诺热机的循环效率: p V O a b c d V a V d V b V c ) )(1 212a b d c V V V V T T Q Q (ln ln 11-=- =ηT 1T 2 bc 、ab 过程均为绝热过程,由绝热方程: 11--=γγc c b b V T V T 1 1--=γγd d a a V T V T (T b = T 1, T c = T 2)(T a = T 1, T d = T 2) d c a b V V V V =1 212T T Q Q -=- =11η p V O a b c d V a V d V b V c T 1T 2 卡诺制冷机的制冷系数: 1 2 1212))(T T V V V V T T Q Q a b d c ==(ln ln 2 122122T T T Q Q Q A Q -= -== 卡ω
容斥原理问题——基础学习 一、解答题
2、两个集合容斥原理例1:四年级一班有54人,定阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有13人,订阅《小学生优秀作文》的有45人每人至少订阅一种读物,订阅《数学大世界》的有多少人?() A.13 B.22 C.33 D.41 【答案】B 【解题关键点】设A={定阅《小学生优秀作文》的人},B={订阅《数学大世界》的人},那么A∩B={同时订阅两本读物的人},A∪B={至少订阅一样的人},由容斥原则,B= A∪B+A∩B-A=54+13-45=22人。 【结束】 3、两个集合容斥原理例2:五年级有122名同学参加语文、数学考试,每个至少有一门功课取得优秀成绩,其中语文成绩优秀的有65人,数学成绩优秀的有87人。语文、数学都优秀的有多少人?() A. 30 B.35 C.57 D.65 【答案】A
【解题关键点】此题是典型的两个集合的容斥问题,因此,可以直接有两个集合的容斥原理得到,语文和数学都优秀的学生有65+87-122=30人。 【结束】 4、两个集合容斥原理例3:学校文艺组每人至少会演奏一种乐器,已知会拉手提琴的有24人,会弹电子琴的有17人,其中两样都会的有8人。这个文艺组共有多少人?()A.25 B.32 C.33 D.41 【答案】C 【解题关键点】设A={会拉手提琴的},B={会弹电子琴的},因此A∪B ={文艺组的人},A∩B={两样都会的},由两个集合的容斥原理可得:A∪B=A+B- A∩B=24+17-8=33。 【结束】 5、两个集合容斥原理例4:某班有36个同学在一项测试中,答对第一题的有25人,答对第二题的人有23人,两题都答对的有15人,问多少个同学两道题都没有答对?()A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【解题关键点】有两个集合的容斥原理得到,至少答对一道题的同学有25+23-15=33人,因此两道题都没有答对的同学有36-33=3人。 【结束】
第一章典型例题 例3…,精确到10-3的近似值是多少? 解 精确到10-3=,即绝对误差限是?=, 故至少要保留小数点后三位才 可以。ln2? 第二章典型例题 例1 用顺序消去法解线性方程组 解 顺序消元 于是有同解方程组 回代得解 x 3=-1, x 2=1,x 1=1,原线性方程组的解为X =(1,1,-1)T 例2 取初始向量X (0)=(0,0,0)T ,用雅可比迭代法求解线性方程组 解 建立迭代格式 ??? ????+--=+--=++-=+++5223122)(2)(1)1(3) (3)(1)1(2 )(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x (k =1,2,3,…) 第1次迭代,k =0 X (0)=0,得到X (1)=(1,3,5)T 第2次迭代,k =1 X (2)=(5,-3,-3)T 第3次迭代,k =2 X (3)=(1,1,1)T 第4次迭代,k =3
X (4)=(1,1,1)T 例4 证明例2的线性方程组,雅可比迭代法收敛,而高斯-赛德尔迭 代法发散。 证明 例2中线性方程组的系数矩阵为 A =?? ?? ? ?????-122111221 于是 D =?? ?? ??????100010001 D -1 =D ?? ?? ? ?????=022001000L ~ ?? ?? ? ?????-=000100220U ~ 雅可比迭代矩阵为 B 0=?? ?? ? ?????--=??????????-??????????-=+--022101220022101220100010001)U ~L ~(D 1 得到矩阵B 0的特征根03,2,1=λ,根据迭代基本定理4,雅可比迭代法收敛。 高斯-赛德尔迭代矩阵为 G =-U ~ )L ~D (1-+ =-?? ?? ??????----=??????????-??????????---=??????????-??????????-2003202200001002201200110010001002201220110011 解得特征根为?1=0,?2,3=2。由迭代基本定理4知,高斯-赛德尔迭代发散。 例5 填空选择题: 1. 用高斯列主元消去法解线性方程组 作第1次消元后的第2,3个方程分别为 。
大学物理典型例题分析 第13章光的干涉 例13-1如图将一厚度为l ,折射率为n 的薄玻璃片放在一狭缝和屏幕之间,设入射光波长为λ,测量中点C处的光强与片厚l 的函数关系。如果l =0时,该点的强度为 0I ,试问: (1)点C的光强与片厚l的函数关系是什么; (2)l 取什么值时,点C 的光强最小。 解 (1)在C 点来自两狭缝光线的光程差为nl l δ=- 相应的相位差为 22(1)n l π π ?δλ λ ?= = - 点C 的光强为: 2 14cos 2I I ??= 其中:I1 为通过单个狭缝在点C 的光强。 014I I = (2)当 1(1)()2 n l k δλ =-=-时 点C 的光强最小。所以 1() 1,2,3, 21l k k n λ=-=- 例13-2如图所示是一种利用干涉方法测量气体折射率的干涉示意图。其中T 1 ,T 2 为一对完全相同的玻璃管,长为l ,实验开始时,两管中为空气,在 P 0 处出现零级明纹。然后在T 2 管中注入待测气体而将空气排除,在这过程中,干涉条纹就会移动,通过测定干涉条纹的移 动数可以推知气体的折射率。 设l =20cm ,光波波长589.3nm λ=,空气的折射率1.000276,充一某种气体后,条纹 移动200条,求这种气体的折射率。 解当两管同为空气时,零级明纹出现在P 0处,则从S 1和S 2射出的光在此处相遇时,光程差为零。T 2管充以某种气体后,从S2射出的光到达屏处的光程就要增加,零级明纹将要向下移动,出现在o P ' 处。如干涉条纹移动N条明纹,这样P 0 处将成为第N 级明纹,因此,充气后两 光线在P 0 处的光程差为 S 1 L 1 L 2 T 2 T 1 S 2 S E P 0 P 0 ' 例13-2图 例13-1图
中考数学最值问题总结 考查知识点:1、“两点之间线段最短”,“垂线段最短”,“点关于线对称”,“线段的平移”。 (2、代数计算最值问题3、二次函数中最值问题) 问题原型:饮马问题造桥选址问题(完全平方公式配方求多项式取值二次函数顶点)出题背景变式:角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。 解题总思路:找点关于线的对称点实现“折”转“直” 几何基本模型: 条件:如下左图,A、B是直线l同旁的两个定点. 问题:在直线l上确定一点P,使PA PB +的值最小. 方法:作点A关于直线l的对称点A',连结A B'交l于 点P,则PA PB A B' +=的值最小 例1、如图,四边形ABCD是正方形,△ABE是等边三 角形,M为对角线BD(不含B点)上任意一点,将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接EN、AM、CM. (1)求证:△AMB≌△ENB; (2)①当M点在何处时,AM+CM的值最小; ②当M点在何处时,AM+BM+CM的值最小,并说明理由; (3)当AM+BM+CM的最小值为 时,求正方形的边长。 A B A' ′ P l
例2、如图13,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点为(1,4),交x轴于A、B,交y轴于D,其中B点的坐标为(3,0) (1)求抛物线的解析式 (2)如图14,过点A的直线与抛物线交于点E,交y轴于点F,其中E点的横坐标为2,若直线PQ为抛物线的对称轴,点G为PQ上一动点,则x轴上是否存在一点H,使D、G、F、H四点围成的四边形周长最小.若存在,求出这个最小值及G、H的坐标;若不存在,请说明理由. (3)如图15,抛物线上是否存在一点T,过点T作x的垂线,垂足为M,过点M作直线M N∥BD,交线段AD于点N,连接MD,使△DNM∽△BMD,若存在,求出点T的坐标;若不存在,说明理由.
容斥原理练习题 【练习 1】47 名学生参加数学和语文考试,其中语文得分 95 分以上的 14 人, 数学得分 95 分以上的 21 人,两门都不在 95 分以上的有 22 人.问:两门都在 95 分以上的有多少人? 【解析】如图,用长方形表示这47 名学生, A 圆表示语文得 分95 分以上的人数,B 圆表示数学得95 分以上的人数,A 与 B 重合的部分表示两门都在95 分以上的人数,长方形内两圆外的部分表示两门都不在95 分以上的人数. 由图中可以看出,全体人数是至少一门在95 分以上的人数与两门都不在95 分以 上的人数之和,则至少一门在95 分以上的人数为: 47 - 22 = 25 (人).根据包含排除法,两门都在95 分以上的人数为:14 + 21 - 25 = 10 (人). 【练习 2】某班有 42 人,其中 26 人爱打篮球,17 人爱打排球,19 人爱踢足球, 9 人既爱打篮球又爱踢足球,4 人既爱打排球又爱踢足球,没有一个人三种球都爱好,也没有一个人三种球都不爱好.问:既爱打篮球又爱打排球的有几人? 【解析】由于全班42 人没有一个人三种球都不爱好,所以全班至少爱好一种球的有42 人.根据包含排除法, 42 =(26 + 17 + 19)-(9 + 4 + 既爱打篮球又爱打排球的人数)+ 0 ,得到既爱打篮球又爱打排球的人数为: 49 - 42 = 7 (人). 95分以上的 数学95分以上的 B 不在 两门95分以上的 语文95分以上的 A 两门都
【练习 3】四(二)班有48 名学生,在一节自习课上,写完语文作业的有30 人,写完数学作业的有20 人,语文数学都没写完的有6 人. (1)问语文数学都写完的有多少人? (2)只写完语文作业的有多少人? 【解析】(1)由题意,有48 - 6 = 42 (人)至少完成了一科作业,根据包含排除原理,两科作业都完成的学生有:30 + 20 - 42 = 8 (人). (2)只写完语文作业的人数=写完语文作业的人数-语文数学都写完的人数,即30 - 8 = 22 (人) 【练习 4】某班学生手中分别拿红、黄、蓝三种颜色的小旗,已知手中有红旗的共有34 人,手中有黄旗的共有26 人,手中有蓝旗的共有18 人.其中手中有红、黄、蓝三种小旗的有6 人.而手中只有红、黄两种小旗的有9 人,手中只有黄、蓝两种小旗的有4 人,手中只有红、蓝两种小旗的有3 人,那么这个班共有多少人? 【解析】如图,用A 圆表示手中有红旗的,B 圆表示手中有黄旗的,C 圆表示手中有蓝旗的.如果用手中有红旗的、有黄旗的与有蓝旗的相加,发现手中只有红、黄两种小旗的各重复计算了一次,应减去,手中有三种颜色小旗的重复计算了二次,也应减去,那么,全班人数为:(34+ 26 +18)-(9+ 4 + 3)- 6 ? 2 = 50 (人). A B C
数值分析典型例题 例1 对下列各数写出具有5位有效数字的近似值。236.478, 0.00234711, 9.000024, 9.0000343 10?. 解:按照定义,以上各数具有5位有效数字的近似值分别为:236.478, 0.0023471, 9.0000, 9.0000310?。 注意: *x =9.000024的5位有效数字是9.0000而不是9,因为9 是1位有效数字。 例2 指出下列各数具有几位有效数字。2.0004, -0.00200, -9000, 9310?, 23 10-?。 解:按照定义,以上各数的有效数字位数分别为5, 3, 4,1,1 例3 已测得某物体行程* s 的近似值s=800m ,所需时间* s 的近似值为t=35s ,若已知m s s s t t 5.0||,05.0||**≤-≤-,试求平均速度v 的绝对误差和相对误差限。 解:因为t s v /=,所以)()(1)()()(2t e t s s e t t e t v s e s v v e -=??+??≈ 从 而 05.00469.035 800 5.0351|)(||||)(|1|)(|22≤≈+?≤+≤t e t s s e t v e 同样v v e v e r )()(≈)()()()(t e s e t e v t t v s e v s s v r r r -=??+??= 所以00205.035 05 .08005.0|)(||)(||)(|≈+≤+≤t e s e v e r r r 因此绝对误差限和相对误差限分别为0.05和0.00205。 例4试建立积分20,,1,05 =+=n dx x x I n n 的递推关系,并研究它的误差 传递。 解:151 --= n n I n I ……………………………………………..…...(1) 5ln 6ln 0-=I ,计算出0I 后可通过(1)依次递推计算出1I ,…,20I 。 但是计算0I 时有误差0e ,由此计算出的1I ,…,20I 也有误差,由(1)可 知近似值之间的递推关系为 151 --= n n I n I ……………………………………………….…..(2) (1)-(2)可得 01)5(5e e e n n n -=-=-,由0I 计算n I 时误差被放大了n 5倍。所以(1)不稳 定。 (1) 可以改写为 n I I n n 51 511+ -=- ……………………………………… (3) 如果能先求出20I ,则依次可以求出19I ,…,0I ,计算20I 时有误差,这样根据(3)计算19I ,…,0I 就有误差,误差传播为 n n n e e ?? ? ??-=-511 ,误差依次减少。 例5 用二分法求解方程012)(23=+--=x x x x f 在区间[0,1]内的1个实根,要求有3为有效数字。 解:因为0)1()0( 大学物理典型例题分析 第13章光的干涉 例13-1如图将一厚度为I,折射率为n的薄玻璃片放在一狭缝和屏幕之间, I (k 1k 1,2,3,川 2 n 1 种利用干涉方法测量气体折射率的干涉示意图。其中 对完全相同的玻璃管,长为I,实验开始时,两管中为空气,在P0处出现零级明纹。然后 在T2管中注入待测气体而将空气排除,在这过程中,干涉条纹就会移动,通过测定干涉条纹的移动数可以推知气体的折射率。 设l=20cm,光波波长589.3nm,空气的折射率1.000276,充一某种气体后,条纹移动 200条,求这种气体的折射率。 解当两管同为空气时,零级明纹出现在P。处,则从S和S2射出的光在此处相遇时, 光程差为零。T2管充以某种气体后,从s射出的光到达屏处的光程就要增加,零级明纹将要向下移动,出现在 FO 处。如干涉条纹移动N条明纹,这样P。处将成为第N级明纹,因此, 充气后两光线在P0处的光程差为 n2l n1l ,测量中点C处的光强与片厚I的函数关系。如果1=0时,该点的强度为 (1) 点C的光强与片厚I的函数关系是什么; (2) I取什么值时,点C的光强最小。 解(1)在C点来自两狭缝光线的光程差为 相应的相位差为 长为 nl Io ,试问: I M1 C 点C的光强为: 2 I 2 其中:h为通过单个狭缝在点 I 411 cos 例13-1图 ⑵当 —(n 1)I C的光 强。 I i (n 1)l 1 (k 2)时 设入射光波 点C的光强最小。所以 例13-2如图所示是 所以 n 2l nj N 即 代入数据得 n 2 N l n 1 n 2 200 589.3 103 1.0002 7 6 1.000865 0.2 例13-3.在双缝干涉实验中,波长 =5500?的单色平行光垂直入射到缝间距 a=2 10 -4 m 的双缝上,屏到双缝的距离 D = 2m .求: (1 )中央明纹两侧的两条第 10级明纹中心的间距; (2)用一厚度为e=6.6 10-6 m 、折射率为n=1.58的玻璃片覆盖一缝后,零级明纹将移到 原来的 第几级明纹处 ? D 解:(1)因为相邻明(暗)条纹的间距为 T ,共20个间距 x 20— 0.11m 所以 a (2)覆盖玻璃后,零级明纹应满足: r 2 (r 1 e) ne 0 设不盖玻璃片时,此点为第k 级明纹,则应有 r 2 r 1 k 所以 (n 1)e k (n 1)e k 6.96 7 零级明纹移到原第 7级明纹处. 例13-4薄钢片上有两条紧靠的平行细缝,用波长 =5461?的平面光波正入射到钢片 上。屏幕距双缝的距离为 D =2.00m ,测得中央明条纹两侧的第五级明条纹间的距离为 x =12.0mm., (1) 求两缝间的距离。 (2) 从任一明条纹(记作0)向一边数到第20条明条纹,共经过多大距离? (3) 如果使光波斜入射到钢片上,条纹间距将如何改变? 2kD x --------- 解(1) d 2kd d x 此处 k 5 10D d 0.910mm x (2)共经过20个条纹间距,即经过的距离 例1 路灯离地面高度为H,一个身高为h 的人,在灯下水平路面上以匀速度步行。如图3-4所示。求当人与灯的水平距离为时,他的头顶在地面上的影子移动的速度的大小。 解:建立如右下图所示的坐标,时刻头顶影子的坐标为 ,设头顶影子的坐标为,则 由图中看出有 则有 所以有 ; 例2如右图所示,跨过滑轮C的绳子,一端挂有重物B,另一端A被人拉着沿水平方向匀速运动,其速率。A离地高度保持为h,h =1.5m。运动开始时,重物放在地面B0处,此时绳C在铅直位置绷紧,滑轮离地高度H = 10m,滑轮半径忽略不计,求: (1) 重物B上升的运动方程; (2) 重物B在时刻的速率和加速度; (3) 重物B到达C处所需的时间。 解:(1)物体在B0处时,滑轮左边绳长为l0 = H-h,当重物的位移为y时,右边绳长为 因绳长为 由上式可得重物的运动方程为 (SI) (2)重物B的速度和加速度为 (3)由知 当时,。 此题解题思路是先求运动方程,即位移与时间的函数关系,再通过微分求质点运动的速度和加速度。 例3一质点在xy平面上运动,运动函数为x = 2t, y = 4t2-8(SI)。 (1) 求质点运动的轨道方程并画出轨道曲线; (2) 求t1=1s和t2=2s时,质点的位置、速度和加速度。 解:(1) 在运动方程中消去t,可得轨道方程为 , 轨道曲线为一抛物线如右图所示。 (2) 由 可得: 在t1=1s 时, 在t2=2s 时, 例4质点由静止开始作直线运动,初始加速度为a0,以后加速度均匀增加,每经过τ秒增加a0,求经过t秒后质点的速度和位移。 解:本题可以通过积分法由质点运动加速度和初始条件,求解质点的速度和位移。 由题意可知,加速度和时间的关系为: 根据直线运动加速度的定义 行测答题技巧:容斥原理之三者容斥问题 中公教育考试研究院宋丽娜:容斥原理是行测数学运算中常考知识点。容斥原理是指在计数时,必须注意无一重复,且无遗漏。这种方法的基本思想是:先不考虑重叠的情况,把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来,然后再把计数时重复计算的数目排斥出去,使得计算的结果既无遗漏又无重复,这种计数的方法称为容斥原理。 例1:一个班级的学生数学和语文每人至少喜欢其中一种,其中喜欢数学课的有49人,喜欢语文课的有52人,二者都喜欢的有21人,则这个班级有多少人? 中公点拨:本题就是一个容斥问题,解决此问题的方法就是先算:49+52=101(把含于某内容中的所有对象的数目先计算出来),然后再把计数时重复计算的数目排斥出去即: 101-21=80人,则整个班级的人数就有80人。 三者容斥问题是行测数学运算中常考也相对较复杂的容斥问题。所谓三者容斥是指在题干中有三种集合(集合就是具有共同属性所以元素的的整体,例如上题中喜欢数学的人构成一个集合)。 三者容斥问题有一个基本公式:A,B,C代表三个集合,则有 A∪BUC=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+ A∩B∩C 这个公式表达的含义是,A+B+C再减去两两相交之后,中间E(即A∩B∩C)这部分被减没 了。而容斥原理的基本思想是计数时不重复不漏掉,故要再加回来,所以又加了一个A∩B∩C。例2. 实验小学的小记者对本校100名同学进行调查,调查他们对三种大球(篮球、足球、排球)的与否。结果显示:他们都至少喜欢三种大球中的一种,其中有58人喜欢篮球,有68人喜欢足球,有62人喜欢排球,而且,篮球和足球都喜欢的有45人,足球和排球都喜欢的有33人,三种球都喜欢的有12人。篮球和排球都喜欢的多少人? 中公教育解析:由题意可画图如下: 则有上述公式可知: 58+68+62-45-33-篮球和排球都喜欢+12=100人 故喜欢篮球和排球的人有22人。 例3. 实验小学的小记者对本校100名同学进行调查,调查他们对三种大球(篮球、足球、排球)的与否。结果显示:其中有58人喜欢篮球,有68人喜欢足球,有62人喜欢排球,而且,篮球和足球都喜欢的有45人,足球和排球都喜欢的有33人,三种球都喜欢的有12人,还有5人三种球都不喜欢,则篮球和排球都喜欢的多少人? 第八章 恒定磁场 8-1 均匀磁场的磁感强度B 垂直于半径为r 的圆面.今以该圆周为边线,作一半球面S ,则通过S 面的磁通量的大小为[ ]。 (A) B r 22π (B) B r 2π (C) 0 (D) 无法确定 分析与解 根据高斯定理,磁感线是闭合曲线,穿过圆平面的磁通量与穿过半球面的磁通量相等。正确答案为(B )。 8-2 下列说法正确的是[ ]。 (A) 闭合回路上各点磁感强度都为零时,回路内一定没有电流穿过 (B) 闭合回路上各点磁感强度都为零时,回路内穿过电流的代数和必定为零 (C) 磁感强度沿闭合回路的积分为零时,回路上各点的磁感强度必定为零 (D) 磁感强度沿闭合回路的积分不为零时,回路上任意点的磁感强度必定为零 分析与解 由磁场中的安培环路定理,磁感强度沿闭合回路的积分为零时,回路上各点的磁感强度不一定为零;闭合回路上各点磁感强度为零时,穿过回路的电流代数和一定为零。正确答案为(B )。 8-3 磁场中的安培环路定理∑?=μ=?n L I 1i i 0d l B 说明稳恒电流的磁场是[ ]。 (A) 无源场 (B) 有旋场 (C) 无旋场 (D) 有源场 分析与解 磁场的高斯定理与安培环路定理是磁场性质的重要表述,在恒定磁场中B 的环流一般不为零,所以磁场是涡旋场;而在恒定磁场中,通过任意闭合曲面的磁通量必为零,所以磁场是无源场;静电场中E 的环流等于零,故静电场为保守场;而静电场中,通过任意闭合面的电通量可以不为零,故静电场为有源场。正确答案为(B )。 8-4 一半圆形闭合平面线圈,半径为R ,通有电流I ,放在磁感强度为B 的均匀磁场中,磁场方向与线圈平面平行,则线圈所受磁力矩大小为[ ]。 (A) B R I 2π (B) B R I 221π (C) B R I 24 1π (D) 0 分析与解 对一匝通电平面线圈,在磁场中所受的磁力矩可表示为B e M ?=n IS ,而且对任意形状的平面线圈都是适用的。正确答案为(B )。 8-5 一长直螺线管是由直径d =0.2mm 的漆包线密绕而成。当它通以I =0.5A 的电流时,其内部的磁感强度B =_____________。(忽略绝缘层厚度,μ0=4π×10-7N/A 2) 分析与解 根据磁场中的安培环路定理可求得长直螺线管内部的磁感强度大小为nI B 0μ=,方向由右螺旋关系确定。正确答安为(T 1014.33-?)。 8-6 如图所示,载流导线在平面内分布,电流为I ,则在圆心O 点处的磁感强度大小为_____________,方向为 _____________ 。 分析与解 根据圆形电流和长直电 流的磁感强度公式,并作矢量叠加,可得圆心O 点的总 数值分析教案 土建学院 工程力学系 2014年2月 一、课程基本信息 1、课程英文名称:Numerical Analysis 2、课程类别:专业基础课程 3、课程学时:总学时32 4、学分:2 5、先修课程:《高等数学》、《线性代数》、《C 语言》 6、适用专业:工程力学 二、课程的目的与任务: 数值分析是工程力学专业的重要理论基础课程,是现代数学的一个重要分支。其主要任务是介绍进行科学计算的理论方法,即在计算机上对来自科学研究和工程实际中的数学问题进行数值计算和分析的理论和方法。通过本课程的学习,不仅使学生初步掌握数值分析的基本理论知识,而且使学生具备一定的科学计算的能力、分析问题和解决问题的能力,为学习后继课程以及将来从事科学计算、计算机应用和科学研究等工作奠定必要的数学基础。 三、课程的基本要求: 1.掌握数值分析的常用的基本的数值计算方法 2.掌握数值分析的基本理论、分析方法和原理 3.能利用计算机解决科学和工程中的某些数值计算应用问题,增强学生综合运用知识的能力 4.了解科学计算的发展方向和应用前景 四、教学内容、要求及学时分配: (一) 理论教学: 引论(2学时) 第一讲(1-2节) 1.教学内容: 数值分析(计算方法)这门课程的形成背景及主要研究内容、研究方法、主要特点;算法的有关概念及要求;误差的来源、意义、及其有关概念。数值计算中应注意的一些问题。 2.重点难点: 算法设计及其表达法;误差的基本概念。数值计算中应注意的一些问题。3.教学目标: 了解数值分析的基本概念;掌握误差的基本概念:误差、相对误差、误差限、相对误差限、有效数字;理解有效数字与误差的关系。学会选用相对较好的数值计算方法。 理工科大学物理知识点总结及典型例题解析 ————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期: ? v 第一章 质点运动学 本章提要 1、 参照系:描述物体运动时作参考的其他物体。 2、 运动函数:表示质点位置随时间变化的函数。 位置矢量:k t z j t y i t x t r r )()()()(++== 位置矢量:)()(t r t t r r -?+=? 一般情况下:r r ?≠? 3、速度和加速度: dt r d v = ; 22dt r d dt v d a == 4、匀加速运动: =a 常矢量 ; t a v v +=0 2 210t a t v r += 5、一维匀加速运动:at v v +=0 ; 2210at t v x += ax v v 2202=- 6、抛体运动: 0=x a ; g a y -= θcos 0v v x = ; gt v v y -=θsin 0 t v x θcos 0= ; 2 210sin gt t v y -=θ 7、圆周运动:t n a a a += 法向加速度:22 ωR R v a n == 切向加速度:dt dv a t = 8、伽利略速度变换式:u v v +'= 【典型例题分析与解答】 1.如图所示,湖中有一小船。岸上有人用绳跨过定滑轮拉船靠岸。设滑轮距水面高度为h,滑轮到原船位置的绳长为l 。当人以匀速v 拉绳,船运动的速度v '为多少? 解:取如图所示的坐标轴, 由题知任一时刻由船到滑轮的绳长为l=l 0-vt 则船到岸的距离为: 2 2022)(-h -vt l -h l x == 因此船的运动速率为: o x v l v h大学物理典型例题分析
最新大学物理例题
行测答题技巧:容斥原理之三者容斥问题
大学物理习题分析与解答
数值分析教案
理工科大学物理知识点总结及典型例题解析