2017年高考真题 文科数学(全国II卷)解析版
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2017年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
【试卷点评】
【命题特点】
2017年高考全国新课标II数学卷，试卷结构在保持稳定的前提下，进行了微调，一是把解答题分为必考题与选考题两部分，二是根据中学教学实际把选考题中的三选一调整为二选一.试卷坚持对基础知识、基本方法与基本技能的考查,注重数学在生活中的应用.同时在保持稳定的基础上，进行适度的改革和创新，与2016年相比难度稳中略有下降.具体来说还有以下几个特点：
1．知识点分布保持稳定
小知识点如：集合、复数、程序框图、线性规划、向量问题、三视图保持一道小题，大知识点如：三角与数列三小一大，概率与统计一大一小，立体几何两小一大，圆锥曲线两小一大，函数与导数三小一大(或两小一大).
2．注重对数学文化与数学应用的考查
教育部2017年新修订的《考试大纲（数学）》中增加了对数学文化的考查要求.2017年高考数学全国卷II文科第18题以养殖水产为题材，贴近生活.
3．注重基础，体现核心素养
2017年高考数学试卷整体上保持一定比例的基础题，试卷注重通性通法在解题中的运用，另外抽象、推理和建模是数学的基本思想，也是数学研究的重要方法，试卷对此都有所涉及.
【命题趋势】
1．函数与导数知识：函数性质的综合应用、以导数知识为背景的函数问题是高考命题热点，函数性质的重点是奇偶性、单调性及图象的应用，导数重点考查其在研究函数中的应用，注重分类讨论及化归思想的应用.
2．立体几何知识：立体几何一般有两道小题一道大题，小题中三视图是必考问题，常与几何体的表面积与体积结合在一起考查，解答题一般分两问进行考查.
3．解析几何知识：解析几何试题一般有3道，圆、椭圆、双曲线、抛物线一般都会涉及，双曲线一般作为客观题进行考查，多为容易题，解答题一般以椭圆与抛物线为载体进行考查，
运算量较大，不过近几年高考适当控制了运算量，难度有所降低.
4．三角函数与数列知识：三角函数与数列解答题一般轮流出现，若解答题为数列题，一般比较容易，重点考查利用基本量求通项及几种求和方法，若解答题为三角函数，一般是解三角形问题，此时客观题中一般会有一道与三角函数性质有关的题目，同时客观题中会有两道数列题，一易一难，数列客观题一般具有小、巧、活的特点.
【试卷解析】
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1．设集合{1,2,3},{2,3,4}A B ==，则A B =U
A ．{}123,4，，
B ．{}1
23，，
C ．{}234，，
D ．{}13
4，，
2．(1i)(2i)++= A ．1i - B ．13i +
C ．3i +
D ．33i +
【答案】B
【解析】由题意2
(1i)(2i)23i i 13i ++=++=+，故选B. 【考点】复数运算
【名师点睛】首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如
(+i)(+i)()+a b c d =ac bd -
(+)i(,,,)ad bc a b c d ∈R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数+i(,)a b a b ∈R 的实部
为a 、虚部为b 、模为22a b +、对应点为(,)a b 、共轭复数为i a b -. 3．函数π
()sin(2)3
f x x =+
的最小正周期为
A ．4π
B ．2π
C ．π
D ．
π2
4．设非零向量a ，b 满足+=-a b a b ，则 A ．a ⊥b B ．=a b
C ．a ∥b
D ．>a b
【答案】A
【解析】由+=-a b a b 平方得222222+?+=-?+a a b b a a b b ，即0?=a b ，则⊥a b ，故选A.
【考点】向量数量积
【名师点睛】已知1122(,),(,)x y x y ==a b . (1)向量平行：1221x y x y ?=∥a b ，
,,λλ≠??∈=0R ∥a b b a b ,11BA AC OA OB λλ
=?=++u u u r u u u r u u u r u u u r
1OC λλ
+u u u r . (2)向量垂直：121200x x y y ⊥??=?+=a b a b .
(3)向量运算：2
2
1212(,),||,||||cos ,x x y y ±=±±=?=?a b a a a b a b a b .
5．若1a >，则双曲线2
221x y a
-=的离心率的取值范围是
A ．(2,)+∞
B ．(2,2)
C ．(1,2)
D ．(1,2)
【答案】C
6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为
A．90πB．63πC．42πD．36π
【答案】B
【解析】由题意，该几何体是由高为6的圆柱截取一半后的图形加上高为4的圆柱，故其体积为22
1
π36π3463π
2
V=???+??=，故选B.
【考点】三视图
【名师点睛】（1）解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．
（2）三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．
7．设,x y满足约束条件
2+330,
2330,
30,
x y
x y
y
-≤
?
?
-+≥
?
?+≥
?
则2
z x y
=+的最小值是
A．15
-B．9-C．1D．9【答案】A
【解析】绘制不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得函数在点()
6,3
B--
处取得最小值，最小值为min 12315z =--=-．故选A.
【考点】线性规划
【名师点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.
8．函数2()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是 A ．(,2)-∞-
B ．(,1)-∞
C ．(1,)+∞
D ．(4,)+∞
【答案】D
9．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则 A ．乙可以知道四人的成绩
B ．丁可以知道四人的成绩
C ．乙、丁可以知道对方的成绩
D ．乙、丁可以知道自己的成绩
【答案】D
10．执行下面的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的S =
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【答案】B
【解析】阅读流程图，初始化数值1,1,0a k S =-==. 循环结果执行如下：
第一次：011,1,2S a k =-=-==； 第二次：121,1,3S a k =-+==-=； 第三次：132,1,4S a k =-=-==；
第四次：242,1,5S a k =-+==-=； 第五次：253,1,6S a k =-=-==； 第六次：363,1,7S a k =-+==-=； 结束循环，输出3S =.故选B. 【考点】循环结构流程图
【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.求解时，先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，如：是求和还是求项.
11．从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的
第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为 A ．
1
10
B ．
15
C ．
310
D ．
25
【答案】D
12．过抛物线2
:4C y x =的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M （M 在x 的轴上方），
l 为C 的准线，点N 在l 上且MN l ⊥,则M 到直线NF 的距离为
A ．5
B ．22
C ．23
D ．33
【答案】C
二、填空题，本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．函数()2cos sin f x x x =+的最大值为 .
【答案】5
【解析】2()215f x ≤+=. 【考点】三角函数有界性
【名师点睛】通过配角公式把三角函数化为sin()y A x B ω?=++的形式，再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．一般可利用
22|sin cos |a x b x a b +≤+求最值.
14．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当(,0)x ∈-∞时，32()2f x x x =+,则
(2)f = .
【答案】12
【解析】(2)(2)[2(8)4]12f f =--=-?-+=. 【考点】函数奇偶性
【名师点睛】(1)已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住奇偶性讨论函数在各个区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于()f x 的方程，从而可得()f x 的值或解析式.
(2)已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据()()0f x f x ±-=得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值. 15．长方体的长，宽，高分别为3,2,1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为 .
【答案】14π
16．ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若2cos cos cos b B a C c A =+,则
B = .
【答案】
π3
【解析】由正弦定理可得
1π2sin cos sin cos sin cos sin()sin cos 23
B B A
C C A A C B B B =+=+=?=
?=.
【考点】正弦定理
【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是： 第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.
第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。
17．（12分）
已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，
11221,1,2a b a b =-=+=.
（1）若335a b +=，求{}n b 的通项公式； （2）若321T =，求3S . 【答案】（1）
；（2）当
时，
.当
时，
.
【考点】等差、等比数列通项与求和
【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两种处理思路：一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需
要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.
18．（12分）
如图，四棱锥P ABCD
-中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面
ABCD,
1
,
2
AB BC AD BAD ==∠
90.
ABC
=∠=?
（1）证明：直线BC∥平面PAD;
（2）若△PCD的面积为27，求四棱锥P ABCD
-的体积.
【答案】（1）见解析；（2）.
19．（12分）
海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）, 其频率分布直方图如下：
（1）记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，估计A的概率；
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
箱产量＜50 kg 箱产量≥50 kg
旧养殖法
新养殖法
（3）根据箱产量的频率分布直方图，对这两种养殖方法的优劣进行比较.
附：
P（）0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++.
【答案】（1）0.62；（2）列联表见解析，有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；（3）新养殖法优于旧养殖法.
20．（12分）
设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C
上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点
P 满足2NP NM =
u u u r
u u u u r
.
（1）求点P 的轨迹方程；
（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ?=u u u r u u u r
.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F . 【答案】（1）
；（2）见解析.
【考点】求轨迹方程，直线与椭圆位置关系
【名师点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒成立的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解
时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现. 21．（12分）
设函数2()(1)e x f x x =-. （1）讨论()f x 的单调性；
（2）当0x ≥时，()1f x ax ≤+，求a 的取值范围.
【答案】（1）在(,12)-∞--和(12,)-++∞单调递减，在(12,12)---+单调递增；（2）[1,)+∞.
（2）()(1+)(1)e x f x x x =-.
当a ≥1时，设函数h (x )=（1?x ）e x ，h′(x )= ?x e x ＜0（x ＞0），因此h (x )在[0，+∞)单调递减，而h (0)=1，
故h (x )≤1，所以f (x )=（x +1）h (x )≤x +1≤ax +1.
当0＜a ＜1时，设函数g （x ）=e x ?x ?1，g ′（x ）=e x ?1＞0（x ＞0），所以g （x ）在[0，+∞)单调递增，而g (0)=0，故e x ≥x +1.
当0＜x ＜1时，2
()(1)(1)f x x x >-+，2
2
(1)(1)1(1)x x ax x a x x -+--=---，取
0x =
，
则2
000000(0,1),(1)(1)10,()1x x x ax f x ax ∈-+--=>+故.
当0a ≤时，取0x =
则0(0,1),x ∈2
0000()(1)(1)11f x x x ax >-+=>+. 综上，a 的取值范围是[1，+∞）.
【考点】利用导数求函数单调区间，利用导数研究不等式恒成立
【名师点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4?4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=.
（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ?=,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；
（2）设点A 的极坐标为π
(2,)3
，点B 在曲线2C 上，求OAB △面积的最大值.
【答案】（1）()()2
2
240x y x -+=≠；（2） 2.
23．[选修4?5：不等式选讲]（10分）
已知3
3
0,0,2a b a b >>+=.证明： （1）5
5()()4a b a b ++≥；
（2）2a b +≤.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】
试题分析：（1）第一问展开所给的式子，然后结合题意进行配方即可证得结论； （2）第二问利用均值不等式的结论结合题意证得()3
8a b +≤即可得出结论. 试题解析：（1）
()()()()
()
556556
2
3333442
22244.
a b a b a ab a b b a b a b ab a b ab a b ++=+++=+-++=+-≥
（2）因为