正态分布的性质及实际应用举例

华北水利水电学院

正态分布的性质及实际应用举例

课程名称：概率论与数理统计

专业班级：电气工程及其自动化091班

成员组成：姓名：邓旗学号： 2

姓名：王宇翔学号：1

姓名：陈涵学号：2

联系方式：

2012年5月24日

1 引言：正态分布（normal distribution）又名高斯分布（Gaussian distribution），是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在

统计学的许多方面有着重大的影响力。本文就从正态分布的实际性质应用举例等各个方面进行简单阐述并进行探讨，使同学们能够对所掌握的知识有更清楚地认识。

2 研究问题及成果：

正态分布性质；

3原则及标准正态分布；

实际应用举例说明

摘要：正态分布是最重要的一种概率分布。正态分布概念是由德国数学家与天文学家Moivre于1733年首次提出的，但由于德国数学家Gauss率先将其应用于天文学研究，故此正态分布又称高斯分布。在许多实际问题中遇到的随机变量都服从或近似服从正态分布：在生产中，产品的质量指标，如电子管的使用寿命，电容器的电容量，零件的尺寸。铁水含磷量，纺织品的纤度和强度等一般都服从正态分布。在测量中，如大地测量，天平称量物体，化学分析某物之中某元素的含量等，测量结果一般服从正态分布。在生物学中，同一群体的某种特性指标，如某地同龄儿童的身高，体重，肺活量，在一定条件下生长的农作物的产量等一般服从正态分布。在气象学中，某地每年7月份的平均气温，平均温度以及降水量等一般也服从正态分布。总之。正态分布广泛存在于自然现象，社会现象以及生产，科学技术的各个领域中。本文就从正态分布的实际性质应用举例等各个方面进行简单阐述并进行探讨，使同学们能够对所掌握的知识有更清楚地认识。

关键词：正态分布

The nature of the normal distribution and the example of practical application

Abstract：the normal distribution is the probability distribution of one of the most important. Normal distribution concepts is Germany first proposed by mathematician and astronomer Moivre in 1733, but since Germany mathematician Gauss first applied in astronomy, so also called the Gaussian distribution of the normal distribution. In many practical problems encountered in the approximate normal distribution random variables are subject to, or: in production, product quality indicators, such as the life of the tube, the capacitance of capacitors, dimensions of the part. Phosphorus content in hot metal, textile fibers and strength are generally subject to the normal distribution. In surveying, geodesy, weighing scales objects, such as chemical analysis of some of the content of an element, General normal distribution measurement results. In biology, a certain characteristic index of the same group, such as a certain age children's height, body weight, vital capacity, under certain conditions the yield of crops on the growth of General normal distribution. In meteorology, a place every July average temperature, average temperature and precipitation generally normal distribution. All in all. Normal distribution is widely present in natural phenomena, social phenomena, as well as the production, in the various fields of science and technology. This article from the actual properties of the normal distribution apply to explore various aspects, such as for example a simple elaboration and, enable students to acquire knowledge have a better understanding.

Key words：Normal distribution Practical application

正态分布的性质及实际应用举例

概率论在一定的社会条件下,通过人类的社会实践和生产活动发展起来,被广泛应用于各个领域,在国民经济的生产和生活中起着重要的作用。而正态分布是概率论中的基础，很多问题都依赖于正态分布，因此，可以从正态分布的性质来研究其应用，更广的应用到实际中。下面先来看看正态分布的性质。

若连续型随机变量x 的概率密度为：

则称x 服从参数为 的正态分布或高斯分布，记为X N （

） 正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称，曲线与横轴间的面积总等于1。 具体性质：

① 集中性：正态曲线的高峰位于正中央，即均数所在的位置。

②对称性：正态曲线以均数为中心，左右对称，曲线两端永远不与横轴相交。 ③均匀变动性：正态曲线由均数所在处开始，分别向左右两侧逐渐均匀下降。

注意：服从正态分布的变量的频数分布由μ、σ完全决定 u 变换：为了便于描述和应用，常将正态变量作数据转换。μ是正态分布的位置参数，描述正态分布的集中趋势位置。正态分布以X=μ为对称轴，左右完全对称。当σ恒定后，μ越大，则曲线沿横轴向右移动；反之，μ越小，则曲线沿横轴向左移动。

f X e X X (),()=-∞<<+∞

--12122σπμσ

μ变换

σ变换：正态分布有两个参数，即均数μ和标准差σ，可记作N （μ，σ）：均数μ决定正态曲线的中心位置；标准差σ决定正态曲线的陡峭或扁平程度。σ越小，曲线越陡峭；σ越大，曲线越扁平。

1=σ5

.1=σ

σ变换

标准正态分布: 当 时称随机变量X 服从标准正态分布，其概率密度为f(x)=。 只要变量X N （，就可经下式转换为标准正态分布，记为N （0,1），此变换也称为标准变换，=

,标准正态分布对处理问题有很重要的帮助。

3原则: 正态总体几乎总取值于区间（33）之内，而在此区间以外取值的概率只有%，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生，在实际应用中，通常认为服从正态分布N （）的随机变量只取（33）之间的值，并称为3原则。

正态分布的应用举例

估计频数分布

制定医学参考值范围

正态分布是许多统计方法的理论基础

例 出生体重低于2500克为低体重儿。若由某项研究得某地婴儿出生体重均数为3200克，标准差为350克，估计该地当年低体重儿所占的比例。

当年该地新生儿出生体重，则服从正态分布N (3200,350) 。先求

再查标准正态表得：（-2）= 即标准正态曲线下从－∞到u ＝－2范围内的面积为%，从而在正态分布N (3200,350)曲线下，从－∞到 X =2500的比例为%，

即 : X <2500的比例为%。

故估计该地当年低体重儿所占的比例为%

例2：某年某地150名12岁健康男童体重的均数为 kg ，标准差为 kg,试估计：

（1）该地12岁健康男童体重在50kg 以上者占该地12岁健康男童总数的百分比；

（2）体重在30~40kg 者占该地12岁健康男童总数的比例；

（3）该地80%的12岁健康男童体重的分布范围。

答：① 将x=50代入公式，u=（）/=

根据正态分布的对称性可知，u=右侧的尾部面积与u=左侧的尾部面积相等，查表Φ（）=，即理论上该地12岁健康男童体重在50kg 以上者占该地12岁健康男童总数的%。 ② 分别计算x1=30和x2=40所对应的u 值，得到u1=和u2=,查附表1得：

Φ（）=和Φ（）=，因此Φ（）- Φ（）=（1- Φ（））- Φ（）=（）=，即理论上体重在30kg~40kg 者占该地12岁健康男童总数的%。

2350

32002500-=-=u

③查附表1，标准正态分布曲线下左侧面积为所对应的u值为，所以，该地80%的12岁健康男童体重值集中在区间x内，即~。

正态分布可以比较乘车时间长短,从而选择出行路线,看下例:

从南郊某地乘车前往北区火车站搭火车,有两条路可走,第一条路线穿过市区,路程较短,但交通拥挤,所需时间(单位为分)服从正态分布N(50, 100),第二条路线沿环城公路走,路线较长,但意外阻塞较多,所时间服从正态分布N(60,16)。(1)假如有70分钟可用,问应走哪条路线 (2)若只有65分钟可用,又应走哪条路线分析:从概率角度先考虑(1)的情况,有70分钟可用时,根据正态分布的性质,分别求两种情况下的概率,又由于所有的正态分布都可以通过标准化化成标准正态分布,利用标准正态的性质或查找正态分布表,可以比较两条路线按时到达的概率大小,哪条大就走哪条路线。情况(2)与情况(1)同。具体解法如下:

(1)有70分钟可用,走路线一到达的概率:P(ζF70) =Ф(70-604) =Ф(2) =(2)走路线二到达的概率:P(ζF70) =Φ(70-604) =Φ =。所以应走路线二。(2)有65分钟可用,走路线一到达的概率:P(ζF65) =Φ(65-5010) =Φ =,走路线二到达的概率:P(ζF65) =Φ(65-504) =Φ =,所以应该走路线一[3]。

其次,正态分布可以帮助应聘者分析形式,对应聘状况做正确估计:具体案例如下:某企业准备通招聘考试招收300名职工,其中正式工280人,临时工20人;报考的人数是1657人,考试满分是400分,考试后得知,报名者的成绩X近似服从正态分布N(166,σ2),360分以上的高分考生31人,某考生B得256分,问:他能否被录取能否被聘用为正式工？

这类问题求解大致分为这样三个步骤:首先根据问题中所给信息:高于360分的有31人,利用分数服从正态分布,遇到正态分布一般多联想到标准正态分布,求出σ2;然后根据招收300名职工这个信息,再次利用分数服从正态分布求出最低分数线,将B的成绩与最低分数线比较,从而确定是否被录取;最后,如果根据比较结果确定B被录取,再求出第280人的分数与B的成绩比较,或者根据B的成绩求出高于B成绩的人数,再与280比较,进而确定B是否被录取为正事员工。

医学参考值范围也称医学正常值范围，它是指所谓“正常人”的解剖、生理、生化等指

标的波动范围。

所谓“正常人”不是指“健康人”，而是指排除了影响研究指标的疾病和有关因素的同质人群。

制定医学参考值范围的步骤：

1、随机抽取足够数量的“正常人”样本；

2、控制测量误差，对选定的“正常人”进行准确而统一的测定；

3、判定是否应该分组，分别制定各组正常值范围；

4、根据专业知识确定采用双测正常值范围还是单侧正常值范围

5、选定适当的百分范围，以95％最常用

6、正常人与病人的数据重叠较多时，应确定可疑范围。

计算医学参考值范围常用的方法：

正态分布法 ：适用于正态或近似正态分布资料。

双侧界 ：us X ± 单侧上界：

单侧下界： us X - 例 某地调查正常成年男子144人的红细胞数（近似正态分布），得

均数 标准差 ，估计该地成年男子红细胞数的95%参考值范围。

因红细胞数过多或过少都为异常，故此参考值范围应是双侧范围。又因为此指标近似正态，故可用正态分布法求95%参考值范围的上下限

某地调查110名健康成年男性的第一秒肺通气量得均数 ，标准差 。请据此估计该地成年男子第一秒肺通气量的95%参考值范围。

因为第一秒肺通气量仅过低属异常，故此参考值范围属仅有下限的单侧参考值范围。又因此指标近似正态分布，故可用正态分布法求其95%参考值范围如下：

us X +L X /1038.5512?=L S

/1044.012?=)24.56,52.54()44.0(96.138.5596.1=±=±S X L X 2.4=L S 7.0=L

S X 052.37.064.12.464.1=?-=-

即不低于。

正态分布是许多统计方法的基础。后面将讲到的t检验、方差分析、相关回归分析等多种统计方法均要求分析的指标服从正态分布。

同时，对于非正态分布资料，实施统计处理的一个重要途径是先作变量的转换，使转换后的资料近似正态分布，然后按正态分布的方法作统计处理。

结束语：正态分布在实际生活中有着广泛的应用如估计正态分布资料的频数分布，制定医学参考值范围等等。同时正态分布是概率论中最重要的分布也是许多统计方法的理论基础。所以学好这一部分的知识对概率论及数理统计的学习起着至关重要的作用。

参考文献

【M】高等数学同济大学数学系主编—6版. —北京：高等教育出版社.（2010重印）【M】概率论与数理统计浙江大学盛聚谢式千潘承毅编—第4版.

—北京：高等教育出版社.（2010重印）

分工情况

第一部分：邓旗

第二部分：邓旗

第三部分：王宇翔

排版：王宇翔

资料搜集：陈涵

审查：陈涵

正态分布的性质及实际应用举例

华北水利水电学院 正态分布的性质及实际应用举例 课程名称：概率论与数理统计 专业班级：电气工程及其自动化091班 成员组成：姓名：邓旗学号： 2 姓名：王宇翔学号：1 姓名：陈涵学号：2 联系方式： 2012年5月24日

1 引言：正态分布（normal distribution）又名高斯分布（Gaussian distribution），是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在 统计学的许多方面有着重大的影响力。本文就从正态分布的实际性质应用举例等各个方面进行简单阐述并进行探讨，使同学们能够对所掌握的知识有更清楚地认识。 2 研究问题及成果： 正态分布性质； 3原则及标准正态分布； 实际应用举例说明 摘要：正态分布是最重要的一种概率分布。正态分布概念是由德国数学家与天文学家Moivre于1733年首次提出的，但由于德国数学家Gauss率先将其应用于天文学研究，故此正态分布又称高斯分布。在许多实际问题中遇到的随机变量都服从或近似服从正态分布：在生产中，产品的质量指标，如电子管的使用寿命，电容器的电容量，零件的尺寸。铁水含磷量，纺织品的纤度和强度等一般都服从正态分布。在测量中，如大地测量，天平称量物体，化学分析某物之中某元素的含量等，测量结果一般服从正态分布。在生物学中，同一群体的某种特性指标，如某地同龄儿童的身高，体重，肺活量，在一定条件下生长的农作物的产量等一般服从正态分布。在气象学中，某地每年7月份的平均气温，平均温度以及降水量等一般也服从正态分布。总之。正态分布广泛存在于自然现象，社会现象以及生产，科学技术的各个领域中。本文就从正态分布的实际性质应用举例等各个方面进行简单阐述并进行探讨，使同学们能够对所掌握的知识有更清楚地认识。 关键词：正态分布 The nature of the normal distribution and the example of practical application

函数应用举例教案

【课题】 函数的实际应用举例 【教学目标】 知识目标： （1）理解分段函数的概念； （2）理解分段函数的图像； （3）了解实际问题中的分段函数问题． 能力目标： （1）会求分段函数的定义域和分段函数在点0x 处的函数值0()f x ； （2）掌握分段函数的作图方法； （3）能建立简单实际问题的分段函数的关系式． 【教学重点】 （1）分段函数的概念； （2）分段函数的图像． 【教学难点】 （1）建立实际问题的分段函数关系； （2）分段函数的图像． 【教学设计】 （1）结合学生生活实际，利用生活的实例为载体，创设情境，激发兴趣； （2）提供给学生素材后，给予学生充分的时间和空间，让学生在发现、探究、讨论、交流等活动中形成知识； （3）提供数学交流的环境，培养合作意识． 【教学备品】 教学课件． 【课时安排】 2课时．(90分钟) 【教学过程】 3 m

过 程 行为 行为 意图 间 （1）求函数的定义域； （2）求()()()2,0,1f f f -的值． 巡视 指导 动手 求解 交流 掌握 的情 况 30 *动脑思考 探索新知 分段函数的作图 因为分段函数在自变量的不同取值范围内，有着不同的对应法则，所以作分段函数的图像时，需要在同一个直角坐标系中，要依次作出自变量的各个不同的取值范围内相应的图像，从而得到函数的图像． 说明 讲解 思考 理解 记忆 建立 分段 函数 的数 形结 合 35 *巩固知识 典型例题 例2 作出函数()1, 0, 1, x x y f x x x -

常用连续型分布性质汇总及其关系

常用连续型分布性质汇总及其关系 1. 常用分布 1．1 正态分布 （1）若X 的密度函数和分布函数分别为 ()( )()22 222(), . ,. x t x p x x F x e dt x μσμσ-- -- -∞ = -∞<<+∞= -∞<<+∞ 则称X 服从正态分布，记作()2~,,X N μσ，其中参数,0.μσ-∞<<+∞> （2）背景：一个变量若是由大量微小的、独立的随机因素的叠加结果，则此变量一定是正态变量。测量误差就是由量具零点偏差、测量环境的影响、测量技术的影响、测量人员的心理影响等等随机因素叠加而成的，所以测量误差常认为服从正态分布。 （3）关于参数,μσ： μ是正态分布的的数学期望，即()E X μ=，称μ为正态分布的位置参 数。μ为正态分布的对称中心，在μ的左侧和()p x 下的面积为0.5；在 μ的右侧和()p x 下的面积也是0.5，所以μ也是正态分布的中位数。 2σ是正态分布的方差，即2().Var X σ=σ是正态分布的标准差，σ愈小，正态分布愈集中，σ愈大，正态分布愈分散。σ又称为是正态分布的的尺度参数。 （4）称0,1μσ==时的正态分布(0,1)N 为标准正态分布。记U 为标准正 态分布变量，()u ?和()u Φ为标准正态分布的密度函数和分布函数。 ()u ?和()u φ满足：

()()()(); 1. u u u u ??-=Φ-=-Φ （5）标准化变换： 若()2~,,X N μσ则()~0,1.X U N μ σ -= （6）若()2~,,X N μσ则对任意实数a 与b ，有 ()( ),()1( ),()( )( ),b P X b a P a X b a P a X b μ σ μ σμ μ σ σ -≤=Φ-<=-Φ--<≤=Φ-Φ 0.6826,1,()()()0.9545,2,.0.9973, 3.k P X k k k k k μσ=?? -<=Φ-Φ-==??=? （7）特征函数 22 ()exp{}.2 t t i t σ?μ=-（标准正态分布2()exp{}2t t ?=-） 1.2.均匀分布 （1）若X 的密度函数和分布函数分别为 1 ().0 a x b P x b a else ?<

3.5.2函数的实际应用举例第二课时

．2函数的实际应用举例第二课时 2018、12、5-6（第57-58课时） 【教学内容】实际问题中的分段函数 【教学目标】 知识目标： （1）理解分段函数的概念； （2）理解分段函数的图像； （3）了解实际问题中的分段函数问题． / 能力目标： （1）会求分段函数的定义域和分段函数在点0x 处的函数值0()f x ； （2）掌握分段函数的作图方法； （3）能建立简单实际问题的分段函数的关系式． 【教学重点】 实际问题中的分段函数 【教学难点】 （1）建立实际问题的分段函数关系； , （2）分段函数的图像． 【教学方法】 观察发现；交流讲解 【教学设计】 （1）结合学生生活实际，利用生活的实例为载体，创设情境，激发兴趣； （2）提供给学生素材后，给予学生充分的时间和空间，让学生在发现、探究、讨论、交流等活动中形成知识；

（3）提供数学交流的环境，培养合作意识．【教学备品】教学课件． 【课时安排】1课时 & 【教学过程】 ),0 -∞和[0, 围内作出对应的图像，从而得到函数的图像． 的部分；作出y

说明 （1）因为分段函数是一个函数，应将不同取值范围的图像作在同一个平面直角坐标系中． （2）因为1y x =-是定义在0x <的范围，所以1y x =-的图像不包含()0,1点． 说明 " 强调 理解 : 分类 * 图像 特殊 点的 处理 *运用知识 强化练习 教材练习 1．设函数()2 21,20, 1, 0 3. x x f x x x +-

正态分布在实际生活中的应用

《概率论与数理统计》 论文 正态分布在实际生活中的应用

正态分布在实际生活中的应用 摘要： 正态分布是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。其密度函数为：)2/()(2221)(σμπ σ--=x e x f ，由μ、σ决定其性质。生产与科学实验中很多随机变量的概率分布都可以近似地用正态分布来描述。例如，在生产条件不变的情况下，产品的强力、抗压强度、口径、长度等指标；还有智力测试、填报志愿等问题。 关键词：正态分布 实际应用 预测 正文： 正态分布（normal distribution ）又名高斯分布（Gaussian distribution ），是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。则其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。 正态分布的密度函数 ：)2/()(2221)(σμπσ--= x e x f ? f(x)为与x 对应的正态曲线的纵坐标高度； ? μ为总体均数即数学期望决定了其图像位置 ? σ为总体标准差决定了分布的幅度； ? π为圆周率，即； ? e 为自然对数的底，即。 我们通常所说的标准正态分布是μ = 0,σ = 1的正态分布。 服从正态分布的变量的频数分布由μ、σ完全决定，他还具有如下特征： 1、集中性：正态曲线的高峰位于正中央，即均数所在的位置。 2、对称性：正态曲线以均数为中心，左右对称，曲线两端永远不与横轴相交。

3、均匀变动性：正态曲线由均数所在处开始，分别向左右两侧逐渐均匀下降。 4、正态分布有两个参数，即均数μ和标准差σ，可记作N（μ，σ）：均数μ决定正态曲线的中心位置；标准差σ决定正态曲线的陡峭或扁平程度。σ越小，曲线越陡峭；σ越大，曲线越扁平。 5、u变换：为了便于描述和应用，常将正态变量作数据转换。μ是正态分布的位置参数，描述正态分布的集中趋势位置。正态分布以X=μ为对称轴，左右完全对称。正态分布的均数、中位数、众数相同，均等于μ。 6、σ描述正态分布资料数据分布的离散程度，σ越大，数据分布越分散，σ越小，数据分布越集中。也称为是正态分布的形状参数，σ越大，曲线越扁平，反之，σ越小，曲线越瘦高。 7、3σ原则：P（μ-σ

几个抽样分布的性质及其应用

几个抽样分布的性质及其应用 重庆师范大学涉外商贸学院数学与应用数学（师范）2008级阮国勇 指导老师陈勇 摘要在概率论中，我们是在随机变量的分布是假设已知的前提下去研究的；而数理统计中，随机变量的分布是未知或不完全知道。我们通过对随机变量进行重复独立观察得到许多观察值，并对观察值的数据进行分析，从而对所研究的随机变量的分布做出推断。本文介绍三种重要的抽样分布及其性质，并给出了抽样分布在参数估计、假设检验、分布拟合检验的简单应用。 关键词抽样分布；2χ分布；t分布；F分布 Abstract In the theory of probability, we are in the distribution of random variable is assumed known base on the research, however，in the mathematical statistics, random variable distribution is unknown or incompletely known. we base on the random variables are independent observations are repeated many observed value, and the observation data analysis, to study the distribution of random variable to make inference. This paper introduces three kinds of important sampling distribution and its properties, and gives the sampling distribution in parameter estimation, hypothesis testing, fitting of distribution of the simple application. Key words sampling distribution, 2χdistribution, t distribution, F distribution 第 1 页共 13 页

标准正态分布

标准正态分布 标准正态分布（英语：standard normal distribution，德语Standardnormalverteilung），是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。期望值μ=0，即曲线图象对称轴为Y轴，标准差σ=1条件下的正态分布，记为N(0，1)。 定义： 标准正态分布又称为u分布，是以0为均数、以1为标准差的正态分布，记为N（0，1）。标准正态分布曲线下面积分布规律是：在-1.96～+1.96范围内曲线下的面积等于0.9500，在-2.58～+2.58范围内曲线下面积为0.9900。统计学家还制定了一张统计用表（自由度为∞时），借助该表就可以估计出某些特殊u1和u2值范围内的曲线下面积。 正态分布的概率密度函数曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。我们通常所说的标准正态分布是位置参数均数为0, 尺度参数：标准差为1的正态分布 特点： 密度函数关于平均值对称 平均值与它的众数（statistical mode）以及中位数（median）同一数值。 函数曲线下68.268949%的面积在平均数左右的一个标准差范围内。 95.449974%的面积在平均数左右两个标准差的范围内。 99.730020%的面积在平均数左右三个标准差的范围内。 99.993666%的面积在平均数左右四个标准差的范围内。 函数曲线的反曲点（inflection point）为离平均数一个标准差距离的位置。 标准偏差：

深蓝色区域是距平均值小于一个标准差之内的数值范围。在正态分布中，此范围所占比率为全部数值之68%，根据正态分布，两个标准差之内的比率合起来为95%；三个标准差之内的比率合起来为99%。 在实际应用上，常考虑一组数据具有近似于正态分布的概率分布。若其假设正确，则约68.3%数值分布在距离平均值有1个标准差之内的范围，约95.4%数值分布在距离平均值有2个标准差之内的范围，以及约99.7%数值分布在距离平均值有3个标准差之内的范围。称为“68-95-99.7法则”或“经验法则”

中职数学基础模块上册函数的实际应用举例word教案1.doc

百度文库- 让每个人平等地提升自我 【课题】函数的实际应用举例 【教学目标】 知识目标： （1）理解分段函数的概念； （2）理解分段函数的图像； （3）了解实际问题中的分段函数问 题．能力目标： （1）会求分段函数的定义域和分段函数在点x0处的函数值 f ( x0 ) ； （2）掌握分段函数的作图方法； （3）能建立简单实际问题的分段函数的关系式． 【教学重点】 （1）分段函数的概念； （2）分段函数的图像． 【教学难点】 （1）建立实际问题的分段函数关系； （2）分段函数的图像． 【教学设计】 （1）结合学生生活实际，利用生活的实例为载体，创设情境，激发兴趣； （2）提供给学生素材后，给予学生充分的时间和空间，让学生在发现、探究、讨 论、交流等活动中形成知识； （3）提供数学交流的环境，培养合作意识． 【教学备品】 教学课件． 【课时安排】 2课时． (90 分钟) 【教学过程】 （第一课时） 创设情景兴趣导入 问题 我国是一个缺水的国家，很多城市的生活用水远远低于世界的平均水平．为了加强公民的节水意识，某城市制定每户月用水收费（含用水费和污水处理费）标准：

用水量 不超过 10 m3 超过 10 m3 部分部分 收费（元／m3） 污水处理费（元／m3 ） 那么，每户每月用水量x （m3）与应交水费y （元）之间的关系是否可以用函数解析 式表示出来？ 分析 由表中看出，在用水量不超过10（m3）的部分和用水量超过10（m3）的部分的计费标准是不相同的．因此，需要分别在两个范围内来进行研究． 动脑思考探索新知 任务一：阅读课本找到以下概念 在自变量的不同取值范围内，有不同的对应法则，需要用不同的解析式来表示的函数叫做分段表示的函数，简称分段函数． 任务二：小组讨论分段函数的定义域 分段函数的定义域是自变量的各个不同取值范围的并集． 如前面水费问题中函数的定义域为0,1010,0,． 任务三：分段函数的函数值 求分段函数的函数值 f x0时，应该首先判断x0所属的取值范围，然后再把x0代入到相应的解析式中进行计算． 如前面水费问题中求某户月用水8（m3）应交的水费 f 8 时，因为0810 ，所以 f 8 1.6 812.8 （元）． 学生总结，教师点评 分段函数在整个定义域上仍然是一个函数，而不是几个函数，只不过这个函数在定义域的不同 范围内有不同的对应法则，需要用相应的解析式来表示． 巩固知识典型例题 （学生自主练习，学生代表讲解） 例 1 设函数 y 2 x 1, x 0, f x 2 , x 0. x （１）求函数的定义域； （２）求 f 2 , f 0 , f 1 的值．

正态分布的概念

1. 正态分布的概念 随机变量X 的概率密度2()2(),()x f x x μσ--=-∞<<+∞， 称X 服从正态分布， 记作),(~2σμN X 。 标准正态分布(0,1)N ，其概率密度22 (),()x x x ?- =-∞<<+∞，分布函数 为 2 2 ()t x x e dt φ- -∞ = 。 2. 设 ) ,(~2σμN X ， 则 {}x P X x μφσ-?? ≤= ? ?? ， {}b a P a X b μμφφσσ--???? <≤=- ? ????? ，()x φ的数值有表可查，特别有 (0)0.5,()1,()1()x x φφφφ=+∞=-=-。 3. 设),(~2σμN X ，则2(),()E X D X μσ==。 4. 设),(~2σμN X ，则),(~22σμb b a N bX a Y ++=)0(≠b 。 若),(~211σμN X ，),(~2 22σμN Y ，X 与Y 相互独立，则 ),(~2 22121σσμμ+++N Y X 。 若12,,,n X X X 相互独立，),,2,1)(,(~2n i N X i i i =σμ，则 ∑∑∑===n i n i n i i i i n i i i c c c c c N X c 1 1 21221 )(,(~为常数） ，，， σμ 5. 二维随机变量(,)X Y 服从二维正态分布，记作 ），，，，（），（γσσμμ222121~N Y X ，其中12(),() E X E Y μμ==， 2212(),()D X D Y σσ==，(,)r R X Y =。 设(,)X Y 服从二维正态分布，则X 与Y 相互独立的充分必要条件是0r =。 6. 当n 充分大时，独立同分布的随机变量12,,,n X X X 的和1n i i X =∑近似服从正态 分布2(,)N n n μσ。 特别是当n 充分大时，若相互独立的随机变量12,,,n X X X 都服从“0-1”分

函数的实际应用举例

【课题】 3.3函数的实际应用举例 【教学目标】 知识目标： （1）理解分段函数的概念； （2）理解分段函数的图像； （3）了解实际问题中的分段函数问题． 能力目标： （1）会求分段函数的定义域和分段函数在点0x 处的函数值0()f x ； （2）掌握分段函数的作图方法； （3）能建立简单实际问题的分段函数的关系式． 【教学重点】 （1）分段函数的概念； （2）分段函数的图像． 【教学难点】 （1）建立实际问题的分段函数关系； （2）分段函数的图像． 【教学设计】 （1）结合学生生活实际，利用生活的实例为载体，创设情境，激发兴趣； （2）提供给学生素材后，给予学生充分的时间和空间，让学生在发现、探究、讨论、交流等活动中形成知识； （3）提供数学交流的环境，培养合作意识． 【教学备品】 教学课件． 【课时安排】 2课时．(90分钟) 【教学过程】

) + 0.3x 这个函数与前面所见到的函数不同，在自变量的不同取值

时，应该首先判断 代入到相应的解析式中进行计算． )2 == 224

),0 -∞和[0,作出对应的图像，从而得到函数的图像． 的部分；作出y

过 程 行为 行为 意图 间 说明 （1）因为分段函数是一个函数，应将不同取值围的图像作在同一个平面直角坐标系中． （2）因为1y x =-是定义在0x <的围，所以1y x =-的图像不包含()0,1点． 说明 强调 领会 理解 分类 图像 特殊 点的 处理 45 *运用知识 强化练习 教材练习3.3 1．设函数()2 21,20, 1, 0 3. x x f x x x +- 说明 分析 讲解 强调 了解 领会 主动 求解 注意 分析 实际 问题 中数 据的 含义 不断 提示 学生

论正态分布的重要地位和应用

论正态分布的重要地位 和应用 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

本科毕业论文（设Array计） 题目：论正态分布的重要地位和应用 学部：工学部 学生姓名：王梅影 年级：2011级 专业班级：信息与计算科学 指导教师：赵姣珍职称：讲师 完成时间：2015/5/15 中国·贵州·贵阳

成果声明 本人的毕业论文是在贵州民族大学人文科技学院赵姣珍老师的指导下独立撰写并完成的。毕业论文没有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规范和侵权行为，除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品或成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 论文作者签名： 日期年月日

目录

摘要：正态分布是一种最常见的连续型随机变量的分布,是概率论中最重要的一中分布.在理论上和实际生活中正态分布具有重要地位，数理统计中的正态分布是很多重要问题的解决的基础，在理论研究中占有举足轻重的地位.本文首先针对正态分布这一理论研究与实际应用都占有重要地位的概率分布展开分析研究，从其基本概念出发，然后分析其特性以及各种应用价值，最后通过一系列研究给出正态分布具有重大作用的理论依据. 关键词：正态分布标准正态分布方差标准差

Abstract: The normal distributionis the most common distribution of acontinuous random variablewhether in theoretical research orpractical application. It occupiespride of placein that ithas awideapplication in the field . It cansolve many important problemsin the mathematical statisticswhich based on the normal distribution forthe normal distribution,soin theory to studythe normal paper analysis the normal probability distributionaccording to thetheoretical research and practical application which occupy an important position in many science fields from the basicconcept,analysis andapplication value of itscharacteristics.The theoretical basisis giventhrough a series ofstudies onthe normal distributionhas a significant role. Key words: The normal distribution Standard distribution Thecurve Standard deviation

浅谈正态分布的重要性质1

浅谈正态分布的重要性质 摘 要：正态分布是概率论中最常见、最重要的一个分布，原因有三：一、许多实际问题中的变量都服从或者近似服从正态分布；二、正态分布的密度函数和分布函数具有各种优良性质；三、一些重要分布的极限分布为正态分布。四、一般正态变量都可以变换为标准正态变量，而人们制定了标准正态变量的分布函数值以供查询，这给有关正态分布的计算问题带来了极大的方便。本文就正态分布的这些特点做简要归纳。 关键词：正态分布；正态变量；性质 以下首先介绍正态分布的定义，接着介绍正态变量的数字特征、曲线性质、 取值范围，然后说明一般正态变量与标准正态变量的关系以及多个正态变量的和分布。最后介绍正态分布与其他分布的关系。 1正态分布的定义 如果一个连续型随机变量ξ的密度函数为 2 22)(21)(σμσ π--= x e x f ， 其中,(0)μσσ>为常数，那么就称ξ服从正态分布，记作),(~2σμξN .正态分布也叫高斯（Gauss ）分布。 2实际问题中的正态变量 在实际问题中，气象学中的温度、湿度、降雨量，有机体的长度、重量，实验中的测量误差、热力学中理想气体分子的速度、经济学中的众多度量等都服从或者近似服从正态分布. 3 正态变量的重要性质 3.1数学期望和方差 若正态变量),(~2σμξN ，则2,σξμξ==D E .即正态变量的两个参数正是它的期望和方差。 证明 有

dx e x E x ?∞ +∞ --- ? =2 22)(21σμσ πξ 令 σμ -= x z ，则 dz e z E z 2 2)(21 - ∞ +∞ -?+= μσπ ξ = dz e dz ze z z ? ? ∞ +∞ --∞ +∞ --+ 2 2 2222π μπ σ =μ ξD =2)(ξξE E -= dx e x x 2 22)(2 21)(σμσ πμ-- ∞ +∞ -? - 令 σ μ -=x y ，则有 ξD = ?∞ +∞ -- dy e y y 2 22 2 2π σ ?∞ +∞ -- -= )(22 2 2 y e yd π σ = ??? ?????+∞-∞+-?∞+∞---dy e ye y y 222 222π σ = ?∞+∞ -- dy e y 2 2 2 2π σ =2σ 3.2图形性质 正态分布的密度曲线图形呈钟形，关于μ=x 对称，在μ=x 时取最大值 σ π21.当μ不变时，σ越大，图形越平、越宽，在μ点附近取值的概率越小；σ 越小，图形越尖、越窄，在μ点附近取值的概率越大。当σ不变时，μ变大，图形往右移，μ变小，图形往左移.直观地说，正态变量在μ点附近取值概率最大，在远离μ点处取值概率很小。 3.3 ”“σ3法则 若),(~2σμξN ，则有

3.3 函数的实际应用举例

【课题】3.3 函数的实际应用举例 【学习目标】理解分段函数的概念，了解实际问题中的分段函数的问题。 【学习重点】对分段函数的认识和理解，根据实际问题列出函数关系式。 【学习难点】把实际问题转化为数学问题，建立实际问题的分段函数关系。【学习过程】 一、前置练习，自主学习 1、请每位学生和家长了解下自家每月用水情况，有能力的学生可以进一步了解下，费用是怎么计算的？ 2、我国是一个缺水的国家，很多城市的生活用水远远低于世界的平均水平．为了加强公民的节水意识，某城市制定每户月用水收费（含用水费和污水处理费）标准： 那么，每户每月用水量x（m）与应交水费y（元）之间的关系是否可以用函数解析式表示出来？ 解：分别研究在两个范围内的对应法则，列出下表： 二、新课知识： 1、分段函数：在自变量的不同取值范围内，有不同的对应法则，需要用不同的解析式来表示的函数叫做分段表示的函数，简称分段函数． 2、定义域：分段函数的定义域是自变量的各个不同取值范围的并集． 3、函数值：求分段函数的函数值()0 f x时，应该首先判断0x所属的取值范围，然后再把 x代入到相应的解析式中进行计算． 注意：分段函数在整个定义域上仍然是一个函数，而不是几个函数，只不过这个函数在定义域的不同范围内有不同的对应法则，需要用相应的解析式来表示．

三、讲解例题： 例1：设函数()221, 0,,0.x x y f x x x -??==?>??… （１）求函数的定义域； （２）求()()()2,0,1f f f -的值． 例2：作出函数()1,0,1,0x x y f x x x -

正态分布讲解(含标准表)

2．4正态分布 复习引入： 总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线． 总体密度曲线 b 单位 O 频率/组距 a 它反映了总体在各个范围内取值的概率．根据这条曲线，可求出总体在区间(a，b)内取值的概率等于总体密度曲线，直线x=a，x=b及x轴所围图形的面积． 观察总体密度曲线的形状，它具有“两头低，中间高，左右对称”的特征，具有这种特征的总体密度曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示： 2 2 () 2 , 1 (),(,) 2 x x e x μ σ μσ ? πσ - - =∈-∞+∞ 式中的实数μ、)0 (> σ σ是参数，分别表示总体的平均数与标准差，, ()x μσ ? 的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线． 讲解新课：

一般地，如果对于任何实数a b <，随机变量X 满足 ,()()b a P a X B x dx μσ?<≤=?, 则称 X 的分布为正态分布（normal distribution ) ．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作),(2 σ μN ．如果随机变量 X 服从正态分布，则记为X ～),(2σμN . 经验表明，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．例如，高尔顿板试验中，小球在下落过程中要与众多小木块发生碰撞，每次碰撞的结果使得小球随机地向左或向右下落，因此小球第1次与高尔顿板底部接触时的坐标 X 是众多随机碰撞的结果，所以它近似服从正态分布．在现实生活中，很多随机变量都服从或近似地服从正态分布．例如长度测量误差；某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等；一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量等；正常生产条件下各种产品的质量指标（如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容量、电子管的使用寿命等）；某地每年七月份的平均气温、平均湿度、降雨量等；一般都服从正态分布．因此，正态分布广泛存在于自然现象、生产和生活实际之中．正态分布在概率和统计中占有重要的地位． 说明:1参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值去佑计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计． 2.早在 1733 年，法国数学家棣莫弗就用n ！的近似公式得到了正态分布．之后，德国数学家高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它，并研究了它的性质，因此，人们也称正态分布为高斯分布． 2．正态分布),(2 σ μN ）是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布 通过固定其中一个值，讨论均值与标准差对于正态曲线的影响

常用统计分布

第八章常用统计分布 第一节超几何分布 超几何分布的数学形式?超几何分布的数学期望和方差?超几何分布的近似第二节泊松分布 泊松分布的数学形式?泊松分布的性质、数学期望和方差?泊松分布的近似 2 第三节卡方分布（分布） 2分布的数学形式，彳分布的性质、数学期望和方差?样本方差的抽样分 布 第四节F分布 F分布的数学形式?F分布的性质、数学期望和方差? F分布的近似 一、填空 1 ?对于超几何分布，随着群体的规模逐渐增大，一般当—＜（）时，可采用二 N 项分布来近似。 2?泊松分布只有一个参数（）,只要知道了这个参数的值，泊松分布就确定了。 3 ?卡方分布是一种（）型随机变量的概率分布，它是由（）分布派生出来的。 4?如果第一自由度k i或第二自由度k2的F分布没有列在表中，但邻近的第一自由度 或第二自由度的F分布已列在表中，对于F a（ & , k2）的值可以用（）插值法得到。 5. ( ）分布具有一定程度的反对称性。 6. ( ）分布主要用于列联表的检验。 7. ( 分布用于解决连续体中的孤立事 件。 & 2分布的图形随着自由度的增加而渐趋（）。 9?当群体规模逐渐增大，以致不回置抽样可以作为回置抽样来处理，这时（可采用二项分布来近似。 10. （）事件是满足泊松分布的。

二、单项选择 1 ?已知离散性随机变量X服从参数为2=2的泊松分布，则概率P （3;入）=（

A 4/3e 2 B 3/3e 2 C 4/3e 3 D 3/3e 3 2．当群体的规模逐渐增大，以至于不回置抽样可以作为回置抽样来处理时， （ ） 分布可以用 二项分布来近似。 2 A t 分布 B F 分布 C 2 分布 D 超几何分布 3．研究连续体中的孤立事件发生次数的分布，如某时间段内电话机被呼叫的次数的概 率分布，应选择（ ）。 A 二项分布 B 超几何分布 C 泊松分布 D F 分布 4．对于一个样本容量 n 较大及成功事件概 率 p 较小的二项分布，都可以用（ ）来 近似。 A 二 项分布 B 超几何分布 C 泊松分布 D F 分布。 5．与 F a （ k 1, k 2）的值等价的是（ ）。 A F 1-a( k 1 ， k 2) B F 1- a ( k 2 ， k 1) C 1/F a ( k 1， k 2) D 1/F 1- a ( k 2 ， k 1 ) 6、只与 一 个自由度有关的是（ ) A 2 2 分布 B 超几何分布 C 泊松分布 D F 分布 三、多项选择 1．属于离散性变量概率分布的是（ ）。 A 二项分布 B 超几何分布 C 泊松分布 D F 分布 2．属于连续性变量的概率分布的是（ ）。 2 A 分布 B 超几何分布 C 泊松分布 D F 分布 3．下列近似计算概率的正确方法是（ ）。 A 用二项分布的概率近似计算超几何分布的概率 B 用二项分布的概率近似计算泊松分布的概率 C 用泊松分布的概率近似计算超二项分布的概率 D 用正态分布的概率近似计算超二项分布的概率 E 用正态分布的概率近似计算 F 分布的概率 6．一般地，用泊松分布近似二项式分布有较好的效果是（ 2 4． 2 分布具有的性质是（ A 恒为正值 C 反对称性 E 可加性 5．F 分布具有的性质是（ A 恒为正值 C 反对称性 E 可加性 ）。 B 非对称性 D 随机变量非负性 ）。 B 非对称性 D 随机变量非负性 ）。

正态分布在实际生活中的应用

正态分布在实际生活中 的应用 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT

《概率论与数理统计》 论文 正态分布在实际生活中的应用

正态分布在实际生活中的应用 摘要： 正态分布是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的分布，在的许多方面有着重大的影响力。其密度函数为：)2/()(2221)(σμπ σ--=x e x f ，由μ、σ决定其性质。生产与实验中很多的概率分布都可以近似地用正态分布来描述。例如，在生产条件不变的情况下，产品的强力、抗度、口径、长度等指标；还有智力测试、填报志愿等问题。 关键词：正态分布 实际应用 预测 正文： 正态分布（normal distribution ）又名（Gaussian distribution ），是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的分布，在的许多方面有着重大的影响力。则其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。因其呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。 正态分布的密度函数 ：)2/()(2221)(σμπ σ--=x e x f ? f(x)为与x 对应的正态曲线的纵坐标高度； ? μ为总体均数即数学期望决定了其图像位置 ? σ为总体标准差决定了分布的幅度； ? π为圆周率，即； ? e 为自然对数的底，即。 我们通常所说的是μ = 0,σ = 1的正态分布。 服从正态分布的变量的频数分布由μ、σ完全决定，他还具有如下特征： 1、集中性：正态曲线的高峰位于正中央，即均数所在的位置。

2、对称性：正态曲线以均数为中心，左右对称，曲线两端永远不与横轴相交。 3、均匀变动性：正态曲线由均数所在处开始，分别向左右两侧逐渐均匀下降。 4、正态分布有两个参数，即均数μ和标准差σ，可记作N（μ，σ）：均数μ决定正态曲线的中心位置；标准差σ决定正态曲线的陡峭或扁平程度。σ越小，曲线越陡峭；σ越大，曲线越扁平。 5、u变换：为了便于描述和应用，常将正态变量作数据转换。μ是正态分布的位置参数，描述正态分布的集中趋势位置。正态分布以X=μ为，左右完全对称。正态分布的均数、、相同，均等于μ。 6、σ描述正态分布资料数据分布的离散程度，σ越大，数据分布越分散，σ越小，数据分布越集中。也称为是正态分布的形状参数，σ越大，曲线越扁平，反之，σ越小，曲线越瘦高。 7、3σ原则：P（μ-σ

正态分布的实际应用问题

正态分布的实际应用问题 例5 (2019·黄冈模拟)某市高中某学科竞赛中，某区4000名考生的竞赛成绩的 频率分布直方图如图所示． (1)求这4 000名考生的平均成绩x (同一组中数据用该组区间中点值作代表)； (2)认为考生竞赛成绩z 服从正态分布N (μ，σ2)，其中μ，σ2分别取考生的平均成绩x 和考生成绩的方差s 2，那么该区4000名考生成绩超过84.81分(含84.81分)的人数大约为多少？ (3)如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市参赛考生成绩的情况，现从全市参赛考生中随机抽取4名考生，记成绩不超过．．．84.81分的考生人数为ξ，求P (ξ≤3)．(精确到0.001) 附：①s 2＝204.75，204.75＝14.31； ②z ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ