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数学形态学的基本运算

第二章数学形态学的基本运算

2.1二值腐蚀和膨胀

二值图象是指那些灰度只取两个可能值的图象，这两个灰度值通常取为0和1。习惯上认为取值1的点对应于景物中的点，取值为0的点构成背景。这类图象的集合表示是直接的。考虑所有1值点的集合(即物体)X，则X与图象是一一对应的。我们感兴趣的也恰恰是X集合的性质。

如何对集合X进行分析呢?数学形态学认为，所谓分析，即是对集合进行变换以突出所需要的信息。其采用的是主观“探针”与客观物体相互作用的方法。“探针”也是一个集合，它由我们根据分析的目的来确定。术语上，这个“探针”称为结构元素。选取的结构元素大小及形状不同都会影响图象处理的结果。剩下的问题就是如何选取适当的结构元素以及如何利用结构元素对物体集合进行变换。为此，数学形态学定义了两个最基本的运算，称为腐蚀和膨胀即1。

2.1 .1二值腐蚀运算

腐蚀是表示用某种“探针”(即某种形状的基元或结构元素)对一个图象进行探测，以便找出图象内部可以放下该基元的区域。它是一种消除边界点，使边界向内部收缩的过程。可以用来消除小且无意义的物体。腐蚀的实现同样是基于填充结构元素的概念。利用结构元素填充的过程，取决于一个基本的欧氏空间概念—平移。我们用记号A二表示一个集合A沿矢量x平移了一段距离。即:

集合A被B腐蚀，表示为AΘB，其定义为:

其中A称为输入图象，B称为结构元素。AΘB由将B平移x仍包含在A内的所有点x组成。如果将B看作模板，那么，AΘB则由在将模板平移的过程中，所有可以填入A内部的模板的原点组成。根据原点与结构元素的位置关系，腐蚀后的图象大概可以分为两类:

(1)如果原点在结构元素的内部，则腐蚀后的图象为输入图象的子集，如图2.1所示。

(2)如果原点在结构元素的外部，那么，腐蚀后的图象则可能不在输入图象的内部，如图2.2所示。

图2.1腐蚀类似于收缩

腐蚀除了用填充形式表示外，还有一个更重要的表达形式:

这里，腐蚀可以通过将输入图象平移-b(b属于结构元素)，并计算所有平移的交集而得到。

2 1.2二值膨胀运算

膨胀是腐蚀运算的对偶运算，可以通过对补集的腐蚀来定义。我们以A c表示集合A的

补集，∨

B表示B关于坐标原点的反射。那么，集合A被B膨胀，表示为A⊕B，其定义为:

为了利用结构元素B膨胀集合A，可将B相对原点旋转180°得到∨

B，再利用

∨

B对A c

进行腐蚀。腐蚀结果的补集，便是所求的结果，如图2.3所示。

图2.3利用正方形膨胀

膨胀还可以通过相对结构元素的所有点平移输入图象，然后计算并集得到，可用如下表达式描述:

此方程定义的膨胀，历史上称为Minkowski和。

本文对要测试的原始图象(如图 2.4)分别进行了腐蚀运算和膨胀运算，得到的结果如图2.5，2.6所示。

图24原始图象图2.5腐蚀图象图2.6膨胀图象

2.1 .3腐蚀和膨胀的代数性质

膨胀满足两个最基本的运算关系，一个是交换律，另一个是结合律。即:

由式(2.2)可见，腐蚀运算是不可交换的，但腐蚀运算具有结合律。

AΘ(B⊕C)=(AΘB) ΘC=(AΘC) ΘB (2.8) 式(2.7)表明，当图象A用一个大的结构元素B⊕C去腐蚀时，其结果与用B和C连续腐蚀时相同，而腐蚀结果与用结构元素B、C的腐蚀顺序无关。根据这一性质，我们可以只存储一些简单而基本的结构元素B，C等等，一旦需要时便可由他们对图象做连续腐蚀，以取代各种复杂的结构元素。

腐蚀和膨胀运算具有以下的性质。

(l)腐蚀、膨胀和图象之并:

即⊕对U是可分配的，Θ对U是不可分配的。

(2)腐蚀、膨胀和图象之交:

(3)关于腐蚀和膨胀

(4)若B1，B2，……，B n是一系列结构元素，则有

2.1 .4腐蚀和膨胀的滤波性质

数学形态学中的腐蚀和膨胀运算与基本的集合运算之间存在着一种代数运算对应关系，这是数学形态学一个很吸引人的性质。下面讨论与形态学滤波有关的一些性质。

(l)平移不变性

腐蚀和膨胀都具有平移不变性。对于膨胀，这意味着，首先平移图象，然后利用一个给定的结构元素对其做膨胀处理，和先用一个给定的结构元素对图象做膨胀处理，然后做平移处理所得结果是一样的，即

(A+x)⊕B=(A⊕B)+x (2 .22)

对于腐蚀，平移不变性具有下面的形式:

(A+x) ΘB=(AΘB)+x (223)

在考虑平移不变性的时候，必须注意的是，平移不变性是针对平移图象，而不是针对结构元素而言的。

(2)递增性

腐蚀和膨胀都具有递增性，如果A1为A2的子集，则A1⊕B为A2⊕B的子集，A1ΘB 为A2ΘB的子集。另外，腐蚀的递增性是相对结构元素及输入图象的次序，即包含关系而言的。如果A是一个固定的图象，B1是B2的一个子集，那么，B1比B2更容易填入A的内部，因而，AΘB1包含AΘB2。

(3)对偶性

前面指出，膨胀是腐蚀的对偶运算。因为膨胀可以通过对图象的补集作腐蚀运算求得，腐蚀也可以通过对图象的补集作膨胀运算求得，即

2.2二值开运算和闭运算

在形态学图象处理中，除了腐蚀和膨胀两种基本运算外，还有两种由腐蚀和膨胀定义的运算，即开运算和闭运算[3,4]。这两种运算是数学形态学中最主要的运算或变换。从结构元素填充的角度看，它们具有更为直观的几何形式，同时提供了一种手段，使得我们可以在复杂的图象中选择有意义的子图象。

2.2.1二值开运算

假定A仍为输入图象，B为结构元素，利用B对A作开运算，用符号AoB表示，其定义为:

所以，开运算实际上是A先被B腐蚀，然后再被B膨胀的结果。开运算还可以用其它符号表示，如O(A，B)，OPEN(A，B)和A B，在本文中，我们采用O(A，B)来表示。开运算能从一个图象A中选取一个与结构元素B相匹配的子集合，该子集合的性质是:

上式表示图象A对结构元素B的开运算。精确地选择集合A中的点x，当x被结构元素B或其平移B，覆盖的同时，结构元素必须整个包含在集合A内部，由此可以得出开运算是一个反延伸性质的运算。

式(2 .10)也可改写为:

这种写法形象地描述了开运算的特性:当结构元素B扫过整个图象A集合内部，那些使结构元素B的任何象素不超出图象A边界的图象A的象素点的集合，就是O(A，B)。开运算的这种基本的几何形状匹配性质在图象处理中是非常有用的。它可以用来分解图象，抽取图象中有意义且独立的图象元。

通常的例子是用圆盘对矩形作开运算，通过2.1节对腐蚀和膨胀运算的描述，我们不难得到开运算的结果，如图2.7所示。

图2.7利用圆盘开运算

从图2.7我们看到，开运算具有两个显著的作用:①利用圆盘可以磨光矩形内边缘;②用A-O(A，B)可以得到图象的尖角，因此圆盘的圆化作用可以起到低通滤波的作用。本文对要测试的原始图象(图2.4)进行了开运算，选取3 x 3、5 x 5、7x7三种大小不同的菱形结构元素，所得结果如图2.8(a)、2.8(b)、2.8(c)所示。另外，采用5 x 5的菱形、线形、正方形、圆形结构元素，所得结果如图2.9(a)、2.9(b)、2.9(c)、2.9(d)所示。由图可以看出，目标周围的噪声块得到了一些有效处理，而且处理的效果与结构元素形状与大小的选取有密切关系。

(a) 3x3结构元素(b)5x5结构元素(c)7x7结构元素

图2.8

(a)菱形(b)线形

(c)方形(d)圆形

图2 .9

2.2.2二值闭运算

闭运算是开运算的对偶运算，定义为先作膨胀然后再作腐蚀。利用B对A作闭运算表示为A·B，其定义为:

闭运算还可以表示为C(A，B)，cL0sE(A，B)和A B，在本文中，我们采用C(A，B)来表示。另外，因为开闭运算互为对偶运算，还满足下面的性质:

我们还可以采用以下方法来描述闭运算:

该集合中包含所有这样的点x，x被一个平移的的镜象结构元素∨

B t覆盖的同时，

∨

B t与

A图象必有一些公共点，由此看出，初始图象A包含在C(A，B)中，即闭运算是具有延伸性的运算。图2.10描述了闭运算的过程及结果。

图2.10利用圆盘闭运算

显然，用闭运算对图形的外部做滤波，仅仅磨光了凸向图象内部的边角。本文对要测试的原始图象(如图2.4)进行了闭运算，选取3 x3、5x5、7x7三种大小不同的菱形结构元素，所得结果如图2.11(a)、2.11(b)、2.11(c)所示。另外，采用5x5的菱形、线形、正方形、圆形

结构元素，所得结果如图2.12(a)、2.12(b)、2.12(c)、2.12(d)所示。发现目标内部的噪声块得到了一些有效处理，处理的效果与结构元素形状和大小的选取有密切关系。利用结构元素对图象做闭运算，可以填充目标内部狭窄的裂缝和长细的窄沟，消去小的孔洞。

(a)3x3结构元素(b)5x5结构元素(c)7x7结构元素

图2 .11

(a)菱形(b)线形

(c)方形(d)圆形

图2 .12

2.2.3开、闭运算的滤波性质

经过上面的讨论，我们可以得出开闭运算的滤波性质:

(l)平移不变性

O((A+x)，B)=O(A，B)+x (2.33)

C((A+x)，B)=C(A，B)+x (2.34)

(2)递增性

若A1?A2，则

O(A l，B)?O(A2，B) (2.35)

C(A l，B)?C(A2，B) (2 .36)

(3)延伸性

开运算是是非延伸的:O(A，B)是A的子集;而闭运算是延伸的，A是C(A，B)的子集。由此可得:

O(A，B)?A?C(A，B) (2.37)

(4)幂等性

在对一个图象A用结构元素进行开运算后，若再用同一结构元素进行又一次开运算，则所得结果不变，这种性质叫做幂等性。同样，闭运算也具有幂等性。

O((A，B)，B)=O(A，B) (2 .38)

C((A，B)，B)=C(A，B) (2.39)

(5)对偶性

开闭运算互为对偶运算。

O(A，B)=C(A C，B)C(2.40)

C(A，B)=O(A C，B)C (2.41)

2.3小结

本章首先介绍了数学形态学最基本的运算:腐蚀运算和膨胀运算。然后又介绍了由腐蚀和膨胀所定义的开运算和闭运算，并对这四种运算的滤波性质以及腐蚀和膨胀运算的代数性质进行了分析。而且通过实验证明结构元素的大小及形状对数学形态学运算的结果会产生不同的影响。我们看到，依靠数学形态学基本运算的支持，产生了一些新颖、有效的思想和方法，它们在实际中的应用开拓了相当吸引人的领域。这也证实了数学形态学这一方法的生命力。计算机模拟实验表明，基于数学形态学进行图象处理所得到的效果更适合视觉信息的处理和分析。

数学形态学的基本运算

第二章数学形态学的基本运算 2.1二值腐蚀和膨胀二值图象是指那些灰度只取两个可能值的图象，这两个灰度值通常取为0和1。习惯上认为取值1的点对应于景物中的点，取值为0的点构成背景。这类图象的集合表示是直接的。考虑所有1值点的集合(即物体)X，则X与图象是一一对应的。我们感兴趣的也恰恰是X集合的性质。如何对集合X进行分析呢?数学形态学认为，所谓分析，即是对集合进行变换以突出所需要的信息。其采用的是主观“探针”与客观物体相互作用的方法。“探针”也是一个集合，它由我们根据分析的目的来确定。术语上，这个“探针”称为结构元素。选取的结构元素大小及形状不同都会影响图象处理的结果。剩下的问题就是如何选取适当的结构元素以及如何利用结构元素对物体集合进行变换。为此，数学形态学定义了两个最基本的运算，称为腐蚀和膨胀即1。 2.1 .1二值腐蚀运算腐蚀是表示用某种“探针”(即某种形状的基元或结构元素)对一个图象进行探测，以便找出图象内部可以放下该基元的区域。它是一种消除边界点，使边界向内部收缩的过程。可以用来消除小且无意义的物体。腐蚀的实现同样是基于填充结构元素的概念。利用结构元素填充的过程，取决于一个基本的欧氏空间概念—平移。我们用记号A二表示一个集合A沿矢量x平移了一段距离。即: 集合A被B腐蚀，表示为AΘB，其定义为: 其中A称为输入图象，B称为结构元素。AΘB由将B平移x仍包含在A内的所有点x组成。如果将B看作模板，那么，AΘB则由在将模板平移的过程中，所有可以填入A内部的模板的原点组成。根据原点与结构元素的位置关系，腐蚀后的图象大概可以分为两类: (1)如果原点在结构元素的内部，则腐蚀后的图象为输入图象的子集，如图2.1所示。 (2)如果原点在结构元素的外部，那么，腐蚀后的图象则可能不在输入图象的内部，如图2.2所示。图2.1腐蚀类似于收缩

(word完整版)初中数学基础计算专题训练

初中数学基础计算专题训练专题一：有理数的计算 1. 2(3)2--? 2. 12411()()()23523 +-++-+- 3. 11 ( 1.5)4 2.75(5)4 2 -+++- 4. 8(5)63-?-- 5. 3145()2-?- 6. 25()()( 4.9)0.656 -+---- 722(10)5()5 -÷?- 8. 323(5)()5 -?- 9. 25(6)(4)(8)?---÷- 10. 1612()(2)4 7 2 ?-÷- 11.2(16503)(2)5 --+÷- 12. 32(6)8(2)(4)5-?----?

13. 21122()(2)2233-+?-- 14. 199711(10.5)3 ---? 15. 2232[3()2]23-?-?-- 16. 232()(1)043 -+-+? 17. 4211(10.5)[2(3)]3---??-- 18. 4(81)( 2.25)()169 -÷+?-÷ 19. 215[4(10.2)(2)]5---+-?÷- 20. 666(5)(3)(7)(3)12(3)777 -?-+-?-+?- 21. 235()(4)0.25(5)(4)8 -?--?-?- 22. 23122(3)(1)62 9 3 --?-÷-

专题二：整式的加减 1、化简（40分） (1) 12(x －0.5) （2）3x+(5y-2x ) （3）8y-(-2x+3y) （4）-5a+(3a-2)-(3a-7) （5）7-3x-4x 2+4x -8x 2-15 (6) 2(2a 2 -9b)-3(－4a 2 +b) （7）－2（8a+2b ）+4(5a ＋b) （8） 3（5a-3c ）－2(a-c) (9)8x 2 -[-3x-(2x 2 -7x-5)+3]+4x （10）(5a-3b)–3(a 2 -2b)+7(3b+2a) 2、先化简，后求值；（1）(5x-3y-2xy)-(6x+5y-2xy)，其中5-=x ，1-=y （2）)3 1 23()31(221y x y x x +-+--，其中2,1=-=y x （3）若()0322 =++-b a ，求3a 2 b －[2ab 2 －2（ab －1.5a 2 b ）+ab]+3ab 2 的值；

小学一年数学：数的认识与运算

小学一年数学：数的认识与运算导语：小学一年级学习资料和学习重点###已经整理出来了，想要了解更详细的小学生一年的学习资料，请注重###最新资料。数的理解 (1)强调数物体个数的方法：按照一定的顺序和方向数数、做记号、根据物体摆放的规律按群数数等。 (2)增强区分几个和第几个，在表示第几个时要注意说明方向、顺序。如：从左往右数，第2个是 (3)按顺序填数，按规律填数 (4)加深对0的理解：在不同情境中，0的含义是不同的。一般情况下0表示没有，还表示“起点”和温度计上的“基准”0度。要依据具体情况，判断0的含义。 (5)重视比较方法的梳理：一一对应比较(P17、(1)(2))、三者之间的比较(先两两比较，再选出、多、小、少的) 利用参照物实行比较(P17(4)和P19、5、6) 注意题目规定的符号别标错了数的运算 (1)利用学具摆一摆、捆一捆，加深对数位和数的组成的理解。 (2)用丰富的游戏活动使本版块的复习变得不枯燥。游戏是一年级儿童最喜欢的活动。游戏让学生在玩中复习，在复习中玩，在玩与复习相结合中发展。如复习20以内数的理解，让学生玩猜数(小棒有多少根)等游戏，加深数感。又如加减法计算的复习，避免出现单纯的题海练习，让学生厌倦。能够设计爬梯子、找朋友、对口令、开火车、

抢答等游戏活动，学生边玩边熟练加减法的准确计算。在本期结束时，学生要达到每分钟能准确计算8道题左右。 (3)重视逆向思维题型的训练，如：+6=15，尤其是-7=7，学生容易填成0。在○里填上“+”或“-”9○6=1516○5=11 (4)对于解决简单实际问题的复习： ①从类型上分包括求和、求差、求部分数。并注意体现三种类型之间的联系，注重系统练习。如：8个苹果，5个梨，苹果和梨一共多少个? 苹果比梨多多少个? 梨比苹果少多少个? 一共13个水果，苹果有8个，剩下的是梨梨有多少个? 一共13个水果，梨有5个，剩下的是苹果苹果有多少个? 再如：看图列四道算式 ②从表现方式上看可分为形象图、情境图、部分抽象的文字表示。注意强调计算为问题服务的意识，看清题上要求的是什么。允许部分学生用表示要求的数。如：P38，4图1 ③应用连加、连减、加减混合解决问题，学生容易理解的是如： P45，1题，动态的表现形式，包括去掉一部分又来了一部分。较难理解的是P47，4题，这种静态表现的。 ④增强培养学生提问的意识和水平。

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基于数学形态学的图像噪声处理摘要本文首先介绍了数学形态学的发展简史及其现状，紧接着详细的阐述了数学形态学在图像处理和分析中的理论基础。并从二值数学形态学出发着重研究了数学形态学的膨胀、腐蚀、开运算、闭运算等各种运算和性质，然后根据已有的运算，接着引入了形态滤波器设计、形态学图像处理的实用算法。由于在图像的获取中存在各种可能的噪声，比如高斯噪声、瑞利噪声、伽马噪声、指数噪声、均匀噪声以及椒盐等噪声，由于这些噪声的普遍存在，因此，利用数学形态学的腐蚀、膨胀、开启、闭合设计出了一种比较理想的（闭和开）形态学滤波器，并且用MATLAB语言编写程序，反复的使用这种开闭、闭开来处理图像中存在的噪声，其效果比较满意。关键词:数学形态学图像处理腐蚀膨胀滤波Studies on Mathematical Morphology for Image Processing ABSTRACT In this paper ,we first introduced the brief history and development of mathematical morphology some general theory of mathematical morphology analysis and many experiment results are https://www.wendangku.net/doc/0b691134.html,ter ,from the aspect of morphology of dual value, special emphasis on various operations and properties including dilation, erosion,open operation and close operation etc.In addition, morphology analysis method of the dual value image is also discussed and the practical and improved operations of the morphological image processing such as electric filter design, marginal pattern testing are introduced. As the image of the acquisition in the range of possible noise, such as Gaussian noise, Rayleigh noise, Gamma noise, Uniform noise Salt and Pepper noise and so on. As the prevalence of such noise, so using mathematical morphology of erosion,dilation, opening, closing designed a more ideal (open and closed morphological filter, And repeated to use opening and closing, closing and opening handle image processing in the noise. It is satisfied with its results.And the simulation results is more satisfactory after the use of MATLAB language programming. Keyword：mathematical morphology image processing erosion dilation

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初中数学有理数的运算难题汇编含答案解析一、选择题 1．2018年我市用于资助贫困学生的助学金总额是445800000元，将445800000用科学记数法表示为（） A ．744.5810? B ．84.45810? C ．94.45810? D ．100.445810? 【答案】B 【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．由此即可解答. 【详解】 445800000用科学记数法表示为: 445800000=84.45810?. 故选B. 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值． 2．由四舍五入得到的近似数36.810?，下列说法正确的是（） A ．精确到十分位 B ．精确到百位 C ．精确到个位 D ．精确到千位【答案】B 【解析】试题解析：个位代表千，那么十分位就代表百，故选B ． 3．为促进义务教育办学条件均衡，2019年某地区计划投入4200000元资金为该地区农村学校添置实验仪器，4200000这个数用科学记数法表示为（） A ．44210? B ．64.210? C ．84210? D ．60.4210? 【答案】B 【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【详解】 4200000=4.2×106，

小学数学数的运算练习题

小学数学数的运算练习题集团标准化办公室：[VV986T-J682P28-JP266L8-68PNN]

（2）数的运算一、口算： 36＋48＝ 920－460＝ 570÷10＝÷＝ 4－＝×8＝×25％＝1 2 × 1 3 ＝＋＝÷＝2 5 ÷3＝ 1 2 ÷ 1 8 ＝ 298＋405≈ 802－396 ≈ 38×51≈ 432÷48≈二、估一估下面各题的结果，并把错误的改过来。 3500－700＝3200 791＋118＝809 110×41＝410 204÷2＝12 29×49＝1501 986÷22＝53 三、在横线上填上适当的数，并在括号里写出所用的运算定律。（1）、＋＋=＋＋ ( ) （2）、＋＋=＋( ＋ ) ( ) （3）、××4=×( × ) ( ) （4）、×( 1 6 ＋ 7 8 )= ×＋× ( ) 四、在下面括号内填上合适的数，使各题能用简便的方法计算 10－4 7 －（）（ 5 8 ＋ 2 3 ）×（） 5（）× 7 13 ×（） 7 9 ÷（）＋ 5 11 × 2 9 五、算一算。 ①、三个连续偶数的和是12，它们的积是多少 ②小明把3（X－6）错写成3X－6，结果比原来少多少 ③已知一个质数P与一个奇数Q之和等于12，求P、Q的值。 ④一个小数的小数点向右移动一位，比原数大，原来这个的小数是多少 ⑤一个分数的分母比分子大13，分子增加3以后，得到一个新的分数，把这个分数化成最简分数是1 3 ，原来的分数是多少六、计算（能简算的要用简便的方法计算）。（54 ＋ 9 13 ）÷9 276× 2 7 ÷×＋%

＋＋＋÷÷××25×8－－××32 （－×）÷ （7 20＋ 11 50 ＋ 6 25 ）÷ 2 5 ÷×2－ 11 16＋ 8 13 －（ 11 16 － 5 13 ）（ 3 4 ＋ 2 5 ）×20＋ 5 12 2500÷5 6 ＋2500× 4 5 375＋(5706－5706)÷48 3 5÷( 4 5 ＋ 5 8 × 2 15 ) （ 2 3 ＋ 7 9 × 9 28 ）÷ 11 12 105×13－1890÷18 18×25%＋1 4 ×60＋42× ×[ ÷（－）] 9 36 ÷[ 3 4 －（ 7 16 － 1 4 ）] 七、应用题 1、根据算式补充条件，编成不同的简单应用题。某农场二月份生产牛奶吨，，三月份生产牛奶多少吨

小学数学数的运算练习题

小学数学数的运算练习题一、口算： 36＋48＝ 920－460＝ 570÷10＝ 12.5÷0.5＝ 4－2.4＝ 0.125×8＝ 3.6×25％＝ 12 ×13 ＝ 3.5＋4.7＝ 0.23÷0.1＝ 25 ÷3＝ 12 ÷18 ＝ 298＋405≈ 802－396 ≈ 38×51≈ 432÷48≈ 二、估一估下面各题的结果,并把错误的改过来。 3500－700＝3200 791＋118＝809 110×41＝410 204÷2＝12 29×49＝1501 986÷22＝53 三、在横线上填上适当的数,并在括号里写出所用的运算定律。（1）、4.65＋6.39＋5.35=4.65＋＋6.39 ( ) （2）、32.58＋3.4＋6.6=32.56＋( ＋ ) ( ) （3）、0.25×7.65×4=7.65×( × ) ( ) （4）、4.8×( 16 ＋78 )= × ＋ × ( ) 四、在下面括号内填上合适的数,使各题能用简便的方法计算 10－47 －（）（58 ＋23 ）×（） 5（） ×713 ×（） 79 ÷（）＋511 ×29 五、算一算。 ①、三个连续偶数的和是12,它们的积是多少？ ②小明把3（X －6）错写成3X －6,结果比原来少多少？ ③已知一个质数P 与一个奇数Q 之和等于12,求P 、Q 的值。 ④一个小数的小数点向右移动一位,比原数大5.4,原来这个的小数是多少？ ⑤一个分数的分母比分子大13,分子增加3以后,得到一个新的分数,把这个分数化成最简分数是13 ,原来的分数是多少？六、计算（能简算的要用简便的方法计算）。（54 ＋ 913 ）÷9 276×27 ÷27.6 9.25×9.9＋92.5% 5.48＋8.73＋4.52＋1.27 9.7÷1.25÷0.8 0.4×1.25×25×8 17.5－4.25－5.75 0.125×0.25×32 （6.3－6.3×0.9）÷6.3

形态学图像处理小结

一．形态学基础知识理解形态学图像处理基本的运算包括：二值腐蚀和膨胀、二值开闭运算、骨架抽取、极限腐蚀、击中击不中变换、形态学梯度、Top-hat变换、颗粒分析、流域变换、灰值腐蚀和膨胀、灰值开闭运算、灰值形态学梯度等。 1.膨胀与腐蚀最基本的形态学操作有二种：膨胀与腐蚀(Dilation与Erosion)。膨胀是在二值图像中“加长”和“变粗”的操作。这种方式和变粗的程度由一个结构元素组成的集合来控制。腐蚀是“收缩”或“细化”二值图像中的对象。同样，收缩的方式和程度由一个结构元素控制。腐蚀和膨胀是对白色部分（高亮部分）而言的，不是黑色部分。膨胀就是图像中的高亮部分进行膨胀，“领域扩”，效果图拥有比原图更大的高亮区域。腐蚀就是原图中的高亮部分被腐蚀，“领域被蚕食”，效果图拥有比原图更小的高亮区域。常用的三种膨胀与腐蚀的组合：开运算、闭运算、击中或击不中变换。（1）开运算和闭运算: A被B的形态学开运算是A被B腐蚀后再用B来膨胀腐蚀结果。其几何解释为：B在A完全匹配的平移的并集。形态学开运算完全删除了不能包含结构元素的对象区域，平滑了对象的轮廓，断开了狭窄的连接，去掉了细小的突出部分；（2）闭运算: A被B的形态学闭运算是先膨胀再腐蚀的结果，其几何解释为：所有不与A重叠的B的平移的并集。形态学闭运算会平滑对象的轮廓，与开运算不同的是，闭运算一般会将狭窄的缺口连接起来形成细长的弯口，并填充比结构元素小的洞。（3）击中击不中变换: 击中与击不中变换先对目标图像进行目标结构元素的腐蚀操作；后对目标图像的对偶进行背景结构元素的腐蚀操作；最后取两次结果的交集。 2.重构重构是一种涉及到两幅图像和一个结构元素的形态学变换。一幅图像，即标记（marker），是变换的开始点。另一幅图像是掩模（mask），用来约束变换过程。结构元素用于定义连接性。 3.灰度图像形态学对于灰度图像来说，膨胀和腐蚀是以像素邻域的最大值和最小值来定义的。膨胀和腐蚀可以组合使用，以获得各种效果。例如，从膨胀后的图像中减去腐蚀过的图像可以产生一个“形态学梯度”，可以用来度量图像局部灰度变化。开运算和闭运算用于形态学平滑。由于开运算可以去除比结构元素更小的明亮细节，闭运算可以去除比结构元素更小的暗色细节，所以它们经常组合在一起用来平滑图像并去除噪声。

初中数学四种运算法则的归纳及例说

四种运算法则的归纳及例说石少玉同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法是幂的四种运算法则，是学习整式乘除法的基础，要想学好这些法则，应该明确它们的推导过程、推导依据、数学表达式、文字语言叙述、推广形式、表达式中字母的广泛含义，此外，还要做一定量的题目，以求熟练。下面顺次说明。一. 同底数幂的乘法 1. 推导依据及推导过程同底数幂的乘法法则推导的依据是乘方的意义，它的推导过程是 a a aa a aa a aa a m n m a n a m n a ?=?=+()()()() 个个个=+a m n 2. 数学表达式及文字语言叙述 a a a m n m n ?=+（m 、n 都是正整数）；同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。 3. 法则的推广对于三个或三个以上的同底数幂相乘，也具有“底数不变，指数相加”的性质。即 a a a a m n p m n p ??=++（m 、n 、p 都是正整数）； a a a a m n x m n x ???=+++ （m 、n 、…、x 都是正整数）。 4. 表达式中字母的广泛含义同底数幂的乘法法则中的“同底数”，不仅可以是数，也可以是其它形式的代数式（单项式、多项式等） 5. 法则的逆用，即a a a m n m n +=?（m 、n 都是正整数） 6. 典型例题例1. 化简a a 33?等于（） A. 23a B. a 6 C. a 9 D. a 0 解：a a a a 33336?==+ 故选B 例2. 计算x x 2?-()的结果是（） A. x 2 B. x 3 C. -x 2 D. -x 3 解：x x x x x x 22213?-=-?=-=-+() 故选D 说明：x 2与()-x 不是同底数幂的乘法，应先化成同底数后再按照性质计算。要特别注意符号！例3. 化简()()-??-222a a a 的结果是（） A. 0 B. 22a C. -84a D. -82 a

浅谈如何提高初一学生的基本运算能力

浅谈如何提高初一学生的基本运算能力初中数学是一个整体。相对而言，初一数学知识点比较简单。但如果不引起重视，特别是运算能力，就会积累很多小问题，这些问题在进入初二，遇到困难（如学科的增加、难度的加深）后，就凸现出来，影响整个中学阶段数学的学习。另一方面初中阶段要培养学生的运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力以及让学生根据一些现实模型，把它转化成数学问题，从而培养学生的数学意识，增强学生对数学的理解和解决实际问题的能力。其中，运算能力的培养也主要是在初一阶段完成。因此，加强初一学生的运算能力，对整个中学阶段乃至将来都是大有好处的。那么初一学生的运算能力应达到怎样的标准呢？这主要取决于各知识点在整个数学学习中的地位与作用。比如有理数运算是整个初中代数的一个基础,它直接关系到有理数运算、实数运算、代数式运算、解方程、、研究函数等内容的学习。又如整式是初中代数研究范围内的一块重要内容，整式的运算又是整式中一大主干，其中的乘法公式的推导是初中代数中运用推理方法进行代数式恒等变形的开端，除此，乘法公式还是后续学习的必备基础，不仅对学生提高运算速度、准确率有较大作用，更是以后学习因式分解、分式运算的重要基础，等等。那么，我们应该怎样提高初一学生的基本运算能力呢？一、了解影响初一学生的基本运算能力的原因 1.固定思维的影响，当学生掌握了某种知识（方法）后，往往习惯于用类似的旧知识（方法）去思考问题，这样必然会出现思维的惰性，影响运算的速度，使运算过程繁冗不堪。 2.未养成总结归纳的习惯，不能习惯性的归纳所学的知识点。这就容易使学生对数学语言和符号的具体性理解较差，对一些类似的东西容易产生混淆，造成学生数学学习和记忆困难，影响学习效果。 3.有一定的心理障碍，导致解题效率低，在规定的时间内不能完成一定量的题目或解题质量不高。二、注重课堂教学，帮助学生提高运算能力 1. 设计有效的课堂教学形式学生解答数学题时的心理活动包括以下三个阶段：1.收集解题所需的信息；2.对信息进行加工，获得一个答案；3.把有关这个答案的信息保持下来。为提高学生的工作记忆能力，教师可设计单个或少量知识点的简单题目要求学生限时完成，通过教师抢答等竞赛方式营造紧张气氛，把学生带入极限状态，训练学生的注意力集中，提高他们的注意力分配能力。但运算的认识和掌握要遵以下规律：①计算的准确性；②计算的合理、简捷、迅速；③计算的技巧性、灵活性。

小学数学加减乘除计算运算法则

运算法则 1. 整数加法计算法则：相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数相加满十，就向前一位进一。 2. 整数减法计算法则：相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数不够减，就从它的前一位退一作十，和本位上的数合并在一起，再减。 3. 整数乘法计算法则：先用一个因数每一位上的数分别去乘另一个因数各个数位上的数，用因数哪一位上的数去乘，乘得的数的末尾就对齐哪一位，然后把各次乘得的数加起来。 4. 整数除法计算法则：先从被除数的高位除起，除数是几位数，就看被除数的前几位；如果不够除，就多看一位，除到被除数的哪一位，商就写在哪一位的上面。如果哪一位上不够商1，要补“0”占位。每次除得的余数要小于除数。 5. 小数乘法法则：先按照整数乘法的计算法则算出积，再看因数中共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点；如果位数不够，就用“0”补足。 6. 除数是整数的小数除法计算法则：先按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐；如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添“0”，再继续除。 7. 除数是小数的除法计算法则：先移动除数的小数点，使它变成整数，除数的小数点也向右移动几位（位数不够的补“0”），然后按照除数是整数的除法法则进行计算。 8. 同分母分数加减法计算方法: 同分母分数相加减，只把分子相加减，分母不变。 9. 异分母分数加减法计算方法: 先通分，然后按照同分母分数加减法的的法则进行计算。 10. 带分数加减法的计算方法: 整数部分和分数部分分别相加减，再把所得的数合并起来。 11. 分数乘法的计算法则: 分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变；分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。 12. 分数除法的计算法则: 甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数。

数学形态学去噪

目录一绪论 (1) 1.1 数学形态学简介 (1) 1.2 数学形态学与数字图像处理 (1) 1.3 本次课程设计的目的与要求 (2) 二数学形态学的基本运算 (3) 2.1 基本概念 (3) 2.1.1结构元素 (3) 2.1.2膨胀与腐蚀 (3) 2.2 二值形态学图像处理 (4) 2.2.1 膨胀 (4) 2.2.2 腐蚀 (6) 2.2.3 开运算 (7) 2.2.4 闭运算 (8) 2.3 灰度形态学图像处理 (9) 2.3.1 膨胀 (9) 2.3.2 腐蚀 (10) 2.3.3 开运算与闭运算 (11) 2.4 综述 (13) 三数学形态学滤波器去噪 (15) 3.1 概述 (15)

3.2噪声模型 (16) 3.2.1 高斯噪声 (16) 3.2.2 椒盐噪声 (16) 3.3形态学滤波器 (17) 3.4形态学图像去噪原理 (20) 3.5形态学图像去噪的应用 (20) 小结与体会 (21) 参考文献 (22) 附录 (23) 一绪论 1.1数学形态学简介数学形态学作为一门新兴的图像处理与分析学科，1964年由法国的G.Mathern和J.Serra在积分几何的基础上首次创立。70年代初，采用数学形态学的学者们开拓了图像分析的一个新的领域。经过十多年的理论与实践探索，G.Mathern和J.Serra等人在研究中认识到，对图像先作开运算接着再作闭运算，可以产生一种幂等运算;采用递增尺寸的交变开闭序列作用于图像，可有效地消除图像的噪声，1982年他们正式提出了形态学滤波器的概念。90年代数学形态学有两个显著的发展趋势，第一个是致力于运动分析，包括编码与运动景物描述;第二个是算法与硬件结构的协调发展，用于处理数值函数的形态学算子的开发与设计。

北师大初中数学中考总复习数与式综合复习知识讲解基础

中考总复习：数与式综合复习—知识讲解（基础）【考纲要求】 (1) 借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的倒数、相反数与绝对值．理解有理数的运算律，并能运用运算律简化运算；（2）了解平方根、算术平方根、立方根的概念，了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应；会用根号表示数的平方根、立方根．了解二次根式的概念及其加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算；（3）了解整式、分式的概念，会进行简单的整式加、减运算；会进行简单的整式乘法运算．会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行简单的分式加、减、乘、除运算．【知识网络】【考点梳理】考点一、实数的有关概念、性质 1．实数及其分类

实数可以按照下面的方法分类： 1 实数还可以按照下面的方法分类：要点诠释：有理数和无理数统称实数．整数和分数统称有理数．无限不循环小数叫做无理数．

．数轴2规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．实数和数轴上的点是一一对应的关系．要点诠释：实数和数轴上的点的这种一一对应的关系是数学中把数和形结合起来的重要基础．．相反数3叫做互为相反数．零的相反数是零．和-a 实数a 一般地，数轴上表示互为相反数的两个点，分别在原点的两旁，并且离原点的距离相等．要点诠释：；反＝0和b互为相反数，那么a+b两个互为相反数的数的运算特征是它们的和等于零，即如果a b互为相反数．0，那么a和过来，如果a+b＝ 4．绝对值一个实数的绝对值就是数轴上表示这个数的点与原点的距离．一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零，即；|a|＝a如果 a＞0，那么；＝-a|a|如果a＜0，那么．＝0a＝0，那么|a| 如果要点诠释：从绝对值的定义可以知道，一个实数的绝对值是一个非负数． 5．实数大小的比较在数轴上表示两个数的点，右边的点所表示的数较大． 6．有理数的运算．略运算法则() (1) 运算律： (2) ；＝b+a加法交换律 a+b a+(b+c)；(a+b)+c 加法结合律＝；＝乘法交换律 abba a(bc)＝；乘法结合律 (ab)c ．＝律配分 a(b+c)ab+ac2 (3)运算顺序：在加、减、乘、除、乘方、开方这六种运算中，加、减是第一级运算，乘、除是第二级运算，乘方、开方是第三级运算．在没有括号的算式中，首先进行第三级运算，然后进行第二级运算，最后进行第一级运算，也就是先算乘方、开方，再算乘、除，最后算加、减．算式里如果有括号，先进行括号内的运算．如果只有同一级运算，从左到右依次运算． 7．平方根 x＝a，那么x就叫做a的平方根(也叫做二次方根)． 2如果要点诠释：正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根． 8．算术平方根正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根．零的算术平方根是零．要点诠释：从算术平方根的概念可以知道，算术平方根是非负数． 9．近似数及有效数字近似地表示某一个量准确值的数，叫做这个量准确值的近似数．一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位．这时，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字都叫这个数的有效数字． 10．科学记数法 n10称为用科学记)，而小于10的数(的形式其中n是整数，a是大于或等于把一个数记成±a×1 数法表示这个数．考点二、二次根式、分式的相关概念及性质 1．二次根式的概念a 0) 的式子叫做二次根式．(a ≥形如 2．最简二次根式和同类二次根式的概念最简二次根式是指满足下列条件的二次根式：被开方数不含分母； (1) 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． (2) 这几个二次根式就叫做同类二次根式．几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，要点诠释：两个含有二次根式的代数式相乘，若它们.把分母中的根号化去，分式的值不变，叫做分母

人教版小学数学六年级下册《数的运算》教学设计

人教版小学数学六年级下册《数的运算》教学设计【学习内容】人教版小学数学六年级下册第80-81页。【学习目标】： 1、归纳整理整数、小数、分数四则运算的意义，计算方法和运算定律。 2、能运用法则熟练计算。 3、对知识归类整理、比较异同、形成知识结构。 4、运用所学知识解决简单的实际问题的能力。【学习重点】：归类整理、熟练计算。【学习难点】：归类整理、比较异同、形成知识结构。观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观察，保证每个幼儿看得到，看得清。看得清才能说得正确。在观察过程中指导。我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察，观察与说话相结合，在观察中积累词汇，理解词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观察雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么样子的，有的孩子说：

乌云像大海的波浪。有的孩子说“乌云跑得飞快。”我加以肯定说“这是乌云滚滚。”当幼儿看到闪电时，我告诉他“这叫电光闪闪。”接着幼儿听到雷声惊叫起来，我抓住时机说：“这就是雷声隆隆。”一会儿下起了大雨，我问：“雨下得怎样?”幼儿说大极了，我就舀一盆水往下一倒，作比较观察，让幼儿掌握“倾盆大雨”这个词。雨后，我又带幼儿观察晴朗的天空，朗诵自编的一首儿歌：“蓝天高，白云飘，鸟儿飞，树儿摇，太阳公公咪咪笑。”这样抓住特征见景生情，幼儿不仅印象深刻，对雷雨前后气象变化的词语学得快，记得牢，而且会应用。我还在观察的基础上，引导幼儿联想，让他们与以往学的词语、生活经验联系起来，在发展想象力中发展语言。如啄木鸟的嘴是长长的，尖尖的，硬硬的，像医生用的手术刀―样，给大树开刀治病。通过联想，幼儿能够生动形象地描述观察对象。【设计特色】：唐宋或更早之前，针对“经学”“律学”“算学”和“书学”各科目，其相应传授者称为“博士”，这与当今“博士”含义已经相去甚远。而对那些特别讲授“武事”或讲解“经籍”者，又称“讲师”。“教授”和“助教”均原为学官称谓。前者始于宋，乃“宗学”“律学”“医学”“武学”等科目的讲授者；而后者则于西晋武帝时代即已设立了，主要协助国子、博士培养生徒。“助教”在古代不仅要作入流的学问，其教书育人的职责也十分明晰。唐代

基于数学形态学的图像分割方法研究

基于数学形态学的图像分割方法研究专业：电子信息科学与技术班级：2005级1班姓名：杨晓琦

引言 3 1 图像分割基本理论7 1.1 图像分割的概念7 1.2 传统的图像分割方法9 1.3 特殊理论工具的图像分割方法 12 1.4 图像分割的评价 13 2 数学形态学基本理论16 2.1 形态学的概念 16 2.2 结构元素的选取 16 2.3 二值形态学理论 18 2.4 灰值形态学理论 20 2.5 形态学重建 21 2.6 形态学边缘检测 22 3 Matlab在图像分割处理中的应用 24 3.1 Matlab简介.24 3.2 Matlab在图像处理方面的应用.24 3.3 基于Matlab的图像分割.26 4 车牌图像分割的相关理论研究28 4.1 车牌定位算法简介 28 4.2 车牌的字符图像分割 37 5 基于数学形态学车牌图像分割42 5.1 形态学车牌定位 42 5.2 形态学字符图像分割 53 5.3 本章小结 61 结论62 致谢63 参考文献64附录1 源程序清单 68

本文运用形态学方法对车牌定位算法和车牌字符分割算法进行了系统的研究。这两种算法的研究为车牌识别做了先期准备，是智能交通中非常重要的组成部分。在车牌定位算法部分，提出了一种基于二值面积形态学的车牌定位算法。首先将车牌的灰度图像二值化，然后逐步缩小车牌候选区的面积，计算车牌图像中连通区域的面积，并根据车牌图像的实际情况确定面积阈值，并用形态学的方法对车牌图像进行处理运算，以实现车牌的精确定位。仿真实验结果表明此算法定位精度高，而且能适应复杂天气环境，能达到满意的定位效果。在字符分割算法部分，对投影分割算法进行了改进，将其与数学形态学分割算法进行了结合。首先将车牌图像二值化，然后用数学形态学分割方法结合水平与垂直投影分割方法，确定车牌字符宽和高并校正车牌实际位置，通过两次投影，校正车牌角度，去除车牌边框，确定车牌上下边界及中心点，最后分割提取车牌字符。实验结果表明该算法能有效的保持车牌字符边缘，获得较好的分割效果。关键词：图像分割；数学形态学；车牌定位；字符分割； Matlab

Matlab一种二值化图像的形态学操作程序

Matlab中将一幅图像阈值分割二值化非常简单，若需要通过阈值th2二值化保留一些大面积的、且有灰度值含有大于th1的点的前景区域，而不需要小面积的区域（th1大于th2），这时会遇到这样的问题：当阈值选为th2时会把一些小面积区域也保留下来；若把阈值增大到th1，小面积的区域没了，但是原来大面积的区域又会减小；若要直接去掉阈值th2二值化图像中面积小于某一值的的区域，需要计算每个区域的面积，计算量大，而且有的区域中并没有含有大于th1的点。下面利用数学形态学的方法来解决上述问题。这里主要是采用数学形态学中的腐蚀与膨胀操作，采用均值滤波、灰度图像高阈值二值化、种子点选择、灰度图像低阈值二值化和选择滤波相结合的方法，具体来说：腐蚀过程采用均值滤波和高阈值对第一细分图像二值化，滤掉面积较小的区域，得到较大的区域，然后选择每个区域的种子点；膨胀过程采用低阈值对第一细分图像二值化，保留含有种子点的区域，其它的均过滤掉。经过腐蚀和膨胀操作后，得到所希望的结果，见下图。程序如下： wmf10=imread('mwf1.bmp'); %读取图像 wmf1=wmf10(:,:,1);%由于是灰度图像，三个页面相同，故只对第一页面数据操作

figure(1); subplot(121);imagesc(wmf1);colormap(gray); %显示原图象 h=fspecial('average',3); wmf1_filted=uint8(round(filter2(h,wmf1))); %均值滤波 th1=0.94*max(max(wmf1)); %确定阈值th1 wmf1th1=(wmf1_filted>th1); %按阈值th1二值化 [wmf1th1_label numth1_label]=bwlabel(wmf1th1,8); rc=zeros(2,numth1_label); %选择种子点坐标 for i=1:numth1_label [r c]=find(wmf1th1_label==i); rc(1,i)=r(2);rc(2,i)=c(2); end r=rc(1,:); c=rc(2,:); coe=1.4; th2=mean2(wmf1)+coe*std2(wmf1); %确定阈值th2 wmf1th2=(wmf1>th2); %按阈值th2二值化 wmf1th2_select=bwselect(wmf1th2,c,r,8); %保留含有种子点的前景区域subplot(122);imagesc(wmf1th2_select);colormap(gray); 上述程序主要是采用了bwlabel和beselect函数，虽然没有直接使用Matlab的形态学操作的膨胀、腐蚀函数，但其实质过程和达到的效果是遵循形

初中常见数学计算方法

1、C列分数化小数的记法：分子乘5，小数点向左移动两位。 2、D、E两列分数化小数的记法：分子乘4，小数点向左移动两位常见分数、小数互化表

常见的分数、小数及百分数的互化常见立方数

错位相加/减 A×9型速算技巧：A×9= A×10-A；例：743×9=743×10-743=7430-743=6687 A×型速算技巧：A×= A×10+A÷10；例：743×=743×10-743÷10== A×11型速算技巧：A×11= A×10+A；例：743×11=743×10+743=7430+743=8173 A×101型速算技巧：A×101= A×100+A；例：743×101=743×100+743=75043 乘/除以5、25、125的速算技巧： A×5型速算技巧：A×5=10A÷2；例：×5=×10÷2=÷2= A÷5型速算技巧：A÷5=×2；例：÷5=××2=×2= A×25型速算技巧：A×25=100A÷4；例：7234×25=7234×100÷4=723400÷4=180850 A÷25型速算技巧：A÷25=×4；例：3714÷25=3714××4=×4= A×125型速算技巧：A×5=1000A÷8；例：8736×125=8736×1000÷8=8736000÷8=1092000

A÷125型速算技巧：A÷1255=×8；例：4115÷125=4115××8=×8= 减半相加： A×型速算技巧：A×=A+A÷2；例：3406×=3406+3406÷2=3406+1703=5109 “首数相同尾数互补”型两数乘积速算技巧：积的头=头×（头+1）；积的尾=尾×尾例：23×27=首数均为2，尾数3与7的和是10，互补所以乘积的首数为2×（2+1）=6，尾数为3×7=21，即23×27=621 本方法适合 11~99 所有平方的计算。 11X11=121 21X21=4141 31X31=961 41X41=1681 12X12=148 22X22=484 32X32=1024 42X42=1764 52X52=2704 从上面的计算我们可以得出公式：个位=个位×个位所得数的个位，如果满几十就向前进几，十位=个位×（十位上的数字×2）+进位所得数的末位，如果满几十就向前进几，百位=两个十位上的数字相乘+进位。例：26×26= 个位=6×6=36，满 30 向前进 3；十位=6×（2×2）+3=27，满 20 向前=进 2；百位=2×2+2=6 由此可见 26×26=676 23×23 个位=3×3=9 十位=3×（2×2）=12，写 2 进 1 百位=2×2+进 1=5 所以 23×23=529 46×46 个位=6×6= 36，写6进3 十位=6×（4×2）+进 3= 5 1，写 1 进 5 百位=4×4+进 5= 21，写 1 进 2

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