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1中考数学填空题12用代数式表示变化规律

1中考数学填空题12用代数式表示变化规律
1中考数学填空题12用代数式表示变化规律

探究一:用代数式表示变化规律 (中考数学填空题18)

用代数式把一列变化着的式或图形的规律表示出来,是探究性题目中很重要的一类,现在我们来研究解决这类题目所用到的主要数学思想和思考方法:Ⅰ、以归纳概括为指导的思考方法;Ⅱ、以函数思想为指导的方法;Ⅲ、以直接计算为指导的方法.

一、借助以归纳为指导的思想方法,得到表示变化规律的代数式

这种思想方法的核心是通过分析与研究提供的“变化片断”—— 一些连续的特殊情况,归纳概括出整个变化过程所体现的规律,并用代数式将其表示出来,在实际运用中,又根据题目的实际情况,可分为三种形式:“一般归纳型”;“分类归纳型”;“递推归纳型 ” . 1、 一般归纳型

思考特点是:第一,系统考察所提供的一系列特殊,从每个特殊与其位次的对应关系上找共同的规律,第二,特别注意研究相邻两项之间的相关性。

例1、如图,下列几何体是由棱长为1的小立方体按一定规律在地面上摆成的,若将露出的表面都涂上颜色(底面不涂色),则第n 个几何体中只有两个面涂色的小立方体共有 .【解:应选48-n 】

② ③

【观察与思考】我们把上面各图中满足“只有两个面涂色的立方体”用涂色法表示出来: …… ① ② ③

0014?+? 1424?+? 2434?+? ……第n 个: )1(44-+n n

例2、如图,是用火柴棒摆出的一系列三角形图案,按这种方式摆下去,当每边上摆10根火柴棒时,共需要 摆 根火柴棒. 【解:应填165 】

……

【观察与思考】本题可以归结为在相应图形中求有多少个涂色的小三角形(所用火柴棒数就等于这样的三角形数再乘

以3).为了找到规律,可以将每边4根火柴棒的情况也画出: …

下面一层

上面一层

...

下面两层

上面一层

上面一层

下面三层

下面

n

上面一层

10根 10根

10根

(1)

(2) (3) (4) (10)

涂色三角形

1 321=+ 6321=++ 104321=+++…归纳概括: 5510...321=+++

的个数:165355=?

【说明】例1和例2,都是统一系列变化的“图形”,首先是要分离出符合要求的部分,使问题简化与明晰化,然后依次观察、对比,找出共同的规律来。

例3 、世界上著名的莱布尼茨三角形如图所示:则排在第10行从左边数第3个位臵上的数是( )【解:应选B 】 A 、

132

1 B 、

360

1 C 、

495

1 D 、

660

1

【观察与思考】仔细分析与研究后可以发现:

(1)每一行左数从第一个数为该行的倒数;

(2)每行中间及偏左的数,都等于它左上角的数减去它左边的数,如第3行中,

3

12161-=,如第7行中,,......

42

130

1105

1

-

=

依(1)和(2)可知:第9行左数第2个数为72

17

18

1

=

-

;第10行左数第2 个数为90

110

19

1=

-

,第10行左数第3个数

应为

360

190

172

1=

-

例4、探索n n ?的正方形钉子板上(n 是钉子板每边上的钉子数),连接任意两个钉子所得到的不同长度值的线段种数:

2=n 3=n 4=n 5=n 当2=n 时,钉子板上所连不同线段的长度值只有1与2,所以不同长度值的线段只有2种,若用S 表示不同长度值的线段种数。则;2=S

当3=n 时,钉子板上所连不同线段的长度值只有22,5,2,2,1五种,比2=n 时增加了3种,即532=+=S 。 (1)观察图形,填写下表:

钉子数)(n n ? S 值 22? 2

33? 2+3 44? 2+3+( ) 55? ( )

(2)写出)1()1(-?-n n 和)(n n ?的两个钉子板上,不同长度值的线段种数之间的关系;(用式子或语言表述均可)。 (3)对)(n n ?的钉子板,写出用n 表示S 的代数式。

11

212

1

316

1

31 41

1211214151201 30120

1516130160160130

1

617142110511401105

142171

【观察与思考】当4=n 时,钉子板上所连不同线段的长度值只有22,5,2,2,1。(这些是3=n 时已有的),

23,13,10,3(新增加的)——即左下角的钉子分别和最上一行四个钉子的所连线段的长——(第一层归纳); 3=n 时比2=n 时多出3个种数;4=n 时比3=n 时多出4个种数;……)(n n ?时比)1()1(-?-n n 时多出n 个种

数;-----(第二层归纳).有了以上两个层次的归纳概括,三个问题的解都已是水到渠成. 解: (1)两个括号内应分别埴: 4; 2+3+4+5;

(2) )(n n ?的钉子板比)1()1(-?-n n 的钉子板中不同长度值的线段种数增加了n 种; (3)n S ++++=......432.

【说明】归纳的实质是从若干个特殊中发现共性,因此应从研究特殊和特殊之间的关联入手,这一点,本题体现得比较充分.

2、 分类归纳型

思考特点是:第一,先根据背景与问题的特点,选定标准并按其分类;第二,将问题按所属类别做出解答。 例5、观察下列等式:,221

=422=,823=,1624=,3225=,6426=,, (12827)

=通过观察,用你所发现的规律确定2008

2

的个位数字是 。

【观察与思考】将题目提供的一列数字按“个位数”的情况重新分类:

个位数字 2的乘方

2 512,2…归纳概括为142+n (n 为自然数,下同)

4 622,2…归纳概括为2

42+n

6 ...2,27

3

归纳概括为3

42+n 8

...2,284

归纳概括为4

42

+n

而2008

2502

42?=,个位数字应为6.解:2008

2个位数应为6.

例6、如图,已知),0,1(1A ),1,1(2A )1,1(3-A ,),1,1(4--A )1,2(5-A ,…,则点2007A 和点2008A 的坐标分别为 ; 。

【观察与思考】要求点的坐标,一般分两步考虑:第一步先确定该点在哪一个象限;第二步确定该点到两坐标轴的距

离,对本题我们也可以从这两步来研究。

第一步,可以看出除了点1A 外,其他各点均在象限内。

按象限分类:

所在象限 点n A

一 ...,,1062A A A 归纳概括为24+n A (n 为自然数) 二

...,,1173A A A 归纳概括为34+n A 三

...,,1284A A A 归纳概括为n A 4 四

,......,95A A 归纳概括为14+n A 由,350142007+?=50242008?=,可知2007A 在第二象限,2008A 在第三象限。 第二步,从题目提供的坐标系里的图示看出:

(1)第一、二、三、象限内各点横、纵坐标的绝对值是相等的; (2)就坐标的绝对值来说,又是这样对应的:

41~A A 85~A A 129~A A … 归纳概括为 )1(414~++n n A A

坐标的绝对值 1 2 3

… … 1+n

4 x y -3 -2 O -4 2 1A 2A 3A 4A 5A 6A 7A 8A 9A 10A

由,350142007+?=知其坐标的绝对值应为5021501=+; 由50242008?=,知其坐标的绝对值应为502;

将第一步和第二步结合,可得2007A 和2008A 的坐标.解:2007A 的坐标为)502,502(-,2008A 的 坐标为)502,502(--.

【说明】由以上两题的思考过程可以看出:归纳概括是一个积极的活动过程,要观察、要重新分类(分类也是找共性),以便从中获得概括化的规律。为了充分展开相应的思考过程,我们特别用列表法表示分类,而在实际解题中,具体的做法就可以简缩.

3、 递推归纳型

思考特点:找到由前一项(或前几项)表示该项的规律。这样,只要知道第一项(或前几项),就可以逐个地将随后的项推出.

例7、下面是某种细胞分裂示意图, 这种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个,根据此项规律可得: (1)这样的一个细胞经过第四个30分钟后分裂成 个细胞; (2)这样的一个细胞经过3个小时后可分裂成 个细胞;

(3))这样的一个细胞经过n (n 为正整数)小时后要分裂成 个细胞;

【观察与思考】如果假设,由1个细胞开始,经过m 次分裂后细胞数记为m P ,且记10=P ,依题意有

10=P ,,2201=?=P P 2

1222=?=P P ,3

2322=?=P P ,……m 次分裂后细胞数为m

2,所以本题的结果为:

解:(1);1624= (2)6426=; (3)n

22

例8 、如图(1),在ABC Rt ?中,2,1,90==?=∠AC BC C ,把边长分别为321,,x x x ,……,n x 的n 个正方形

依次放入ABC ?中,请回答下列问题: (1)按要求填表: (1)

(2)第n 个正方形的边长=n x ;

解:(1)依次应填94,32;278; (2)n

??

?

??32

例9、数字解密:第一个数是123+=,第二个数是235+=,第三个 是459+=,第四个数是8917+=,……按此规律观察并猜想第六个数是 。

【观察与思考】本题解法获得的关键是从提供的数据中,借助于归纳得到递推规律:后一个数=前一个数+(前一个数1-),如第二个数=第一个数+(第一个数1-),而第一个数是3,所以第二个数是523=+,……如此等等。找到这个递推关系,很容易有第五个数331617=+=,第六个数653233=+=.解:应填65.

例10、 将正六边形纸片按下列要求分割(每次分割,纸片均不得有剩余):第一次分割:将正六边形纸片分割成三个全等的菱形,然后选取其中一个菱形再分割成一个正六边形和两个全等的正三角形;第二次分割:将第一次分割后所得的正六边形纸片分割成三个全等的菱形;然后选取其中一个菱形再分割成一个正六边形和两个全等的正三角形。按上述分割方法进行下去……

(1)请你在图(1)中画出第一次分割的示意图;

n 1 2

3

n x

……

…… …… ……

A

B

C

1x

2x 3x

(2)若原正六边形的面积为a ,请你通过操作和观察,将第1次,第2次,第3次分割后所得的正六边形的面积填入下表: (1)

分割次数)(n 1 2 3 … 正六边形的面积S …

(3)观察所填表格,并结合操作,请你猜想:分割后所得的正六边形的面积S 与分割次数n 有何关系?( S 用含a 和n 的代数式表示,不需要写出推理过程).

【观察与思考】显然,这是一个探究递推关系的题目,首先应当完成第一次分割操作:如图(1`);其次,由操作和观察容易知道,设原正六边形的面积0S a =,则图(1`)中小正六边形(阴影所示)的面积1S 等于所在菱形面积的4

38

6=

,从而

等于整个大正六边形面积的4

1,即有关系a S S 4

14

101=

?=

.完全相同的道理,a S S ?==

2

12)41(41

……由此,问题(2)、(3)得解。

解:(1)见图(1`)(2)依次应填

a 41,

a 16

1,

a 64

1;(3)S (实际上是n S )a n

4

1=

.

二、借助于函数思想,得到表示变化规律的代数式

很多情况下所要探究的变化规律,实质上就是建立函数关系,只不过这时的自变量是1,2,3…,n …这些表示顺序的正整数,既然是这样,当这些变化规律是正整数n 的一次函数时,用“待定系数法”来确定关系,既规范,又准确,不失为一种聪明的选择.

首先应当明确这样的事实,对于任意的一个一次函数,有性质:“当自变量x 增大的数量相等时,对应的函数值y 增大(或减小)的数量也是相等的”.我们来看例子:

如一次函数32-=x y ,满足的对应值有),1,1(-)1,2((3,3)(4,5),(5,7),(6,9),…可以看出:自变量每增大1,对应的函数值就增大2;自变量每增大2,对应的函数值就增大4;……

再如13+-=x y ,满足的对应值有)2,1(-,)5,2(-,)8,3(--,()11,4-,)14,5(-,)17,6(-,…可以看出:自变量每增大1,对应的函数值就减小3;自变量每增大2,对应的函数值就减小6;……

好了,现在逆过来考虑,就有这样的结论:如果一个y 关于x 的函数满足:当x 增大的数值相等时,y 增大(或减小)的数值也相等,那么,y 就是x 的一次函数。而一次函数的关系式可以借助待定系数法求出来。我们可以把这样的方法应用到某些探究变化规律的问题中来.

例1、观察图,(1)至(4)中小圆圈的摆放规律,并按这样的规律继续摆放,记第n 个图中小圆圈的个数为m ,则=m (用含n 的代数式表示).

1=n 时

2=n 时 3=n 时 4=n 时

5=m 8=m 11=m 14=m (1) (2) (3) (4)

【观察与思考】题目提供的图形的序数与小圆圈的个数满足(1,5),(2,8),(3,11),(4,14),……序数n (自变量)每增大1,对应的函数值m 就增大3.因此,它们就应当成一次函数关系。这样,我们就可以用待定系数法求其表达式.

设b kn m +=,由(1,5),(2,8)满足关系,可知有:528

k b k b +=??

+=?解得32

k b =??

=?23+=∴n m 解:应填23+n

【说明】就本题来说,用“一般归纳”的方法也容易求得结果,而应用“待定系数法”不仅多了一种选择方法,更在于它过程规范,结果肯定,把合情“猜想”转变为程序性的执行。提高了确定感.

1S

例2、一根绳子弯曲成如图(1)所示的形状,当用剪刀像图(2)那样沿虚线a 把绳子剪断时,绳子被剪为5段;当用剪刀像图(3)那样沿虚线)//(a b b 把绳子再剪一次时,绳子就被剪成9段.若用剪刀在虚线b a ,之间把绳子再剪)2(-n 次(剪刀的方向与a 平行),这样一共剪n 次时绳子的段数是( ) A 、14+n B 、24+n C 、34+n D 、54+n

(1) (2) (3)

【观察与思考】先找出图1,2,3,4中序号和绳子段数的对应情况,有(1,1),(2,5),(3,9),(4,13). 序号每增大1,段数值就增大4,应呈一次函数关系。设为b kn y +=,由(1,1),(2,5)得125

k b k b +=??

+=?解得43

k b =??

=-?

即34-=n y .本题要求的是“剪n 次”,实际上是序号1+n 所对应的图,其中绳子的段数应为143)1(4+=-+=n n y .【解:应选A 】

【说明】对于本题应特别注意的是,图形序号和剪的次数是不一致的,我们建立的是图形序号与绳子线段的函数,而剪n 刀则是第1+n 个图,二者不应弄混.当然,本题也可一开始就考虑“剪的次数n ”与绳子段数y 之间的关系,那就有(0,1),(1,5),(2,9),(3,13)…仍借助于待定系数法求出函数关系式14+=n y ,最后的结果是一样的.

例3、将图(1)所示的正六边形进行分割得到图(2),再将图(2)中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割得到图(3),再将(3) 中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割,…,则第n 个图形中,其有 个六边形. …… (1) (2) (3)

【观察与思考】图形序号n 与图形中正六边形的个数m 满足(1,1),(2,4),(3,7),n 每增大1,m 就增大3,可知m 是n 的一次函数,用待定系数法(略)求得23-=n m 解:)23(-n .

教师:由函数思想和待定系数法,将那些可用一次函数表示的变化规律问题用统一而程序化的方式解决,对我们不是一种很好的帮助吗?

三、借助于直接计算,得到表示变化规律的代数式

有些情况,其变化规律并不是主要体现在变化过程相邻情况的联系之中,而是明显确切地体现在每个情况之中,这时,思考解法的重点不应再是归纳,而应直接从第n 个情况中通过计算得出表示规律的代数式。

例1 如图,是用火棍摆成边长分别是1,2,3根火柴棍时的正方形,当边长为n 根火柴棍时,若摆出的正方形所用的火柴棍的根数为S ,则S = 。(用含n 的代数式表示,n 为正整数).

【观察与思考】这只要直接计算第n 个图形(如上图所示)有多少火柴棒即可,竖着摆放的火柴棍有1+n 列,有n 行,共有)1(+n n 根,而横着摆放的和竖着摆放的一样多.因此)1(2+=n n S

例2、如图,已知ABC ?的面积1=?ABC S .(1)在图(1)中,若

,2

11

11=

=

=CA

CC BC

BB AB

AA 则4

1111=

?C B A S ;

a a b

(2)在图(2)中,若

3

12

22=

=

=

CA CC BC BB AB AA ,则3

12

22=

?C B A

S ;(3)在图(3)中,若

,4

13

33=

=

=

CA

CC BC

BB AB

AA 则16

73

33=

?C B A

S ;

按此规律,若9

18

88=

=

=CA

CC BC

BB AB

AA ,则=?8

88C B A

S 。

(1)

(2) (3)

【 观察与思考】其实不用管图(1)(2)(3),可直接计算888C B A ?的面积即可,实际上'('2

188

8h h AA S C AA ?=

?

表示88C AA 边8AA 上的高)ABC h h AB ???=为)(9

8(

)9

1(2

1边AB 上的高)ABC S h AB ?=

??

=

81

881

8

21

同理,8

8

A BB

S ?,8

8B CC

S ?均等于

ABC

S

81

8

,得27

1927

81381

818

88=

-

=?-

=?C B A

S .

【说明】通过以上两例说明,在有些情况,变化规律的表达式,可从第n 种情况透露的信息中直接获得,一味拘泥归纳,反而会使解决方法曲折起来.

练习题

1、意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一组:1,1,2,3,5,8,13,……,其中从第三个数起,每一个数都等于它前面两个数的和。现以这组数中的各个数作为正方形边的长度构造如下正方形:

……

A

B

C

2

C 2A

2B

A

B

C

3C

3A

3B

B

C A 1A

1B A

再分别依次从左到右取2个、3个、4个、5个正方形拼成如下矩形并记为(1),(2),(3),(4).相应矩形的周长如下表所示:

(1)

(2)(3)

(4)

序号(1)(2)(3)(4)

周长 6 10 16 26

若按此规律继续作矩形,则序号为(10)的矩形周长是 .

2

、观察下列球的排列规律(其中是实心球,

是空心球);

……从第一个球起,到第2008

年球止,共有实心球

.

3、用火柴棒按下图中的方式搭图形,按照这种方式搭下去,搭第n个图形需

根火柴棒

.

(第一个图形)

(第二个图形)

(第三个图形)

4

、用火柴棒按如图所示的方式摆图形,按照这样的规律继续摆下去,第4

个图形需要

根火柴棒,第

n个图形需要

根火柴棒(用含

n的代数式表示)

.

5

、计算:1

1

21=

-,3

1

22=

-,7

1

23=

-,15

1

24=

-,31

1

25=

-,……归纳各计算结果中的个位数字规律,猜测1

22008-的个位数字是()

A、1

B、3

C、7

D、5

6、探索规律:根据右图中箭头指向的规律,从2006到2007再到2008,箭头方向是()

1

1 1

1

2

1 1

2

3

1

1

2

3

5

1 2

0 3 4

5 6

7 8

9 10

A 、

B 、

C 、

D 、

7、如图,平面内有公共端点的六条射线OF OE OD OC OB OA ,,,,,,从射线OA 开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1,2,3,4,5,6,7,…… (1)“17”在射线 上.

(2)请任意写出三条射线上数字的排列规律. (3)“2008”在哪条射线上?

8、如图,将边长为1的正方形OAPB 沿x 轴正方向连续翻转1001次,点P 依次落在点,...,,,4321P P P P 1001,1000P P 的位臵,则1000P 和1001P 的横坐标1000x ,1001x 分别为 和 。

9、已知等边三角形OAB 的边长为a ,以AB 边上的高1OA 为边,按逆时针方向作等边1111,B A B OA ?与OB 相交于点2A .(1)求线段2OA 的长;

(2)若再以2OA 为边按逆时针方向作等边三角形22B OA ,22B A 与1OB 相交于点3A ,按此作法进行下去,得到33B OA ?,14B OA ?,…,n n B OA ?(如图),求66B OA ?的周长.

10、观察图(1)至图(5)中小黑点的摆放规律,并按照这样的规律继续摆放。记第

n 个图形中小黑点的个数为y .

A

B

C

D

E

F

O 1

7 2

8 3 9 4 10 5

11

6

12

x y O

A P

B 1P

2P (3P )

4P O A B 1A 1B

2A 2B 3A

3B

4A

4B

5A

5B

6A 6B 7A

7B

解答下列问题: (1)填表: n

1 2 3 4 5 … y

1

3

7

13

(2)当8=n 时,=y .

11、如图(1),ABC ?为等边三角形,面积为S 。,,11E D 1F 分别是ABC ?三边上的点,且AB CF BE AD 2

1111===,

连结111111,,D F F E E D ,可得111F E D ?是等边三角形,此时11F AD 的面积,4

11S S =111F E D ?的面积S S

4

11

'=

(2)

(1)

(1)当222,,F E D 分别是等边ABC ?三边上的点,且AB CF

BE

AD

3

12

2

2

===时,(如图(2),若用S 表示2

2F AD ?的面积2S ,则=2S ;若用S 表示222F E D ?的面积2

'S

,则2

'

S

= .

(2)按照上述思路探索下去,并填空:当n n n F E D ,,分别是等边ABC ?三边上的点,且AB n CF BE

AD

n n

n 1

1+=

==时,

(n 为正整数),若用S 表示n n F AD ?的面积n S ,则n S = ;若用S 表示n n n F E D ?的面积n

S

',则

n

S

'= .

12、如图,如果以正方形ABCD 的对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ,再以对角线AE 为边作第三个正方形

,AEGH 如此下去,…已知正方形ABCD 的面积1S 为1,按上述方法所作的正方形的面积依次为n S S S ,...,,32(n 为正整数),那么第8个正方形面积8S = .

C

A

B

1

D 1E

1F

A

B

2

E 2F

C

2D

A B

C

D

E

F H

G

J

I

七年级上册代数式

§3.1代数式 教学过程 (一)、引言 数学是一门应用非常广泛的学科,是学习和研究现代科学技术必不可少的基础知识和基 本工具 中学的数学课,是从学习代数开始的 学习代数与学习其它学科一样,首先要有明确的学习目的和正确的学习态度 在开始学习代数的时候,大家要注意代数与小学数学的联系和区别,自觉地与算术对比: 哪些和小学数学相同或类似,哪些有严格的区别,逐步明确代数的特点 代数的一个重要特点是用字母表示数,下面我们就从用字母表示数开始初中代数的学习 (一)、从学生原有的认知结构提出问题 1、在小学我们曾学过几种运算律?都是什么?如可用字母表示它们? (通过启发、归纳最后师生共同得出用字母表示数的五种运算律) (1)加法交换律 a+b=b+a ; (2)乘法交换律 a ·b=b ·a ; (3)加法结合律 (a+b)+c=a+(b+c); (4)乘法结合律 (ab)c=a(bc); (5)乘法分配律 a(b+c)=ab+ac 指出:(1)“×”也可以写成“·”号或者省略不写,但数与数之间相乘,一般仍用“×”; (2)上面各种运算律中,所用到的字母a ,b ,c 都是表示数的字母,它代表我们过去学过 的一切数 2、(投影)从甲地到乙地的路程是15千米,步行要3小时,骑车要1小时,乘汽车要025小时,试问步行、骑车、乘汽车的速度分别是多少? 3、若用s 表示路程,t 表示时间,ν表示速度,你能用s 与t 表示ν吗? 4、(投影)一个正方形的边长是a 厘米,则这个正方形的周长是多少?面积是多少? (用I 厘米表示周长,则I=4a 厘米;用S 平方厘米表示面积,则S=a 2平方厘米 ) 此时,教师应指出:(1)用字母表示数可以把数或数的关系,简明的表示出来;(2)在公式与中,用字母表示数也会给运算带来方便;(3)像上面出现的a ,5,15÷3,4a ,a+b ,t s 以及a 2等等都叫代数式 那么究竟什么叫代数式呢?代数式的意义又是什么呢?这正是本节课我们将要学习的内容

初二数学用待定系数法确定函数关系式解决用代数式表示规律

用待定系数法确定函数关系式解决用代数式表示规律 例1 观察图,(1)至(4)中小圆圈的摆放规律,并按这样的规律继续摆放,记第n 个图中小圆圈的个数为m ,则=m (用含n 的代数式表示)。 1=n 时 2=n 时3 =n 时 4=n 时 5=m 8=m 11=m 14=m (1) (2) (3) (4) 【观察与思考】题目提供的图形的序数与小圆圈的个数满足(1,5),(2,8),(3,11),(4,14),……序数n (自变量)每增大1,对应的函数值m 就增大3。因此,它们就应当成一次函数关系。这样,我们就可以用待定系数法求其表达式。 设b kn m +=,由(1,5),(2,8)满足关系,可知有: 从中解得 23+=∴n m 解:应填23+n 例2 一根绳子弯曲成如图(1)所示的形状,当用剪刀像图(2)那样沿虚线a 把绳子剪断时,绳子被剪为5段;当用剪刀像图(3)那样沿虚线)//(a b b 把绳子再剪一次时,绳子就被剪成9段。若用剪刀在虚线b a ,之间把绳子再剪)2(-n 次(剪刀的方向与a 平行),这样一共剪n 次时绳子的段数是( ) A 、14+n B 、24+n C 、34+n D 、54+n b k +=5 b k +=28 3=k 2=b a a b

(1) (2) (3) 【观察与思考】我们先找出图1,2,3,4中序号和绳子段数的对应情况,有(1,1),(2, 5),(3,9),(4,13)。 序号每增大1,段数值就增大4,应呈一次函数关系。设为b kn y +=,由(1,1),(2, 5)得: 解得 即34-=n y 。 本题要求的是“剪n 次”,实际上是序号1+n 所对应的图,其中绳子的段数应为143)1(4+=-+=n n y 。 解:应选A 。 【说明】对于本题应特别注意的是,图形序号和剪的次数是不一致的,我们建立的是图形序号与绳子线段的函数,而剪n 刀则是第1+n 个图,二者不应弄混。 当然,本题也可一开始就考虑“剪的次数n ”与绳子段数y 之间的关系,那就有(0,1),(1,5),(2,9), (3,13)…仍借助于待定系数法求出函数关系式14+=n y ,最后的结果是一样的. 例3 将图(1)所示的正六边形进行分割得到图(2),再将图(2)中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割得到图(3),再将(3) 中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割,…,则第n 个图形中,其有 个六边形。 …… b k +=1 b k +=25 4=k 3-=b

【学案】用代数式表示实际中的数量关系

3.2 代数式 第2课时用代数式表示实际问题中的数量关系 学习目标: 1.能用代数式表示实际问题中的数量关系的方法;(重点、难点) 2.进一步培养学生观察、分析、抽象、概括等思维能力和应用意识.(难点) 学习重点:用代数式表示实际问题中的数量关系. 学习难点:培养学生观察、分析、抽象、概括等思维能力和应用意识. 自主学习 一、知识链接 1.代数式的概念 2.代数式的书写规则 3.列代数式表示下列数量关系: (1)a的平方与b的2倍的差; (2)m与n的和的平方与m与n的积的和; (3)x的2倍的三分之一与y的一半的差; (4)比a除以b的商的2倍小4的数. 二、新知预习 做一做 1.火车平均每小时运行v km,用代数式表示: (1)经过2h,火车运行了________km; (2)如果火车行驶400 km,那么需要__________h. 2.汽车厂去年生产汽车a台,今年比去年增产p%,那么今年生产了汽车 __________台. 3.一台洗衣机的原价是x元,先按原价的9.5折出售.这台洗衣机现在售价是________; 4.底面半径为r,高为h的圆锥的体积是___________________. 【自主归纳】用代数式表示实际问题中的数量关系,需掌握实际问题中一些基本的数量

关系:(1)路程=__________×____________; (2)增长后的量=___________×___________; (3)售价=_________×___________,利润=______×___________; (4)利息=________×______×_______, 本息和=______+___________=______×___________; (5)工作量=______×___________; (6)总价=_______×_______,总产量=_______×_______; (7)各种特殊图形的周长、面积、体积公式. 三、自学自测 1.A、B两地相距s千米,某人计划a小时到达,每小时需多走____________千米. 2.一个长方形的周长是45cm,一边长a cm,这个长方形的面积为______________2 cm. 3.班会活动中,买苹果m kg,单价x元,买桔子n kg,单价y元,则共需____________元. 4.某钢铁厂每天生产钢铁a吨,现在每天比原来增加10%,现在每天钢铁的产量是______吨. 5.一项工程,甲队单独完成要天,那么三天后,甲完成的工作量为____________. 6.小明将a元存入银行,年利率为p%,那么两年后小明一共能拿到_____________元. 四、我的疑惑 ___________________________________________________________________________ __ ___________________________________________________________________________ __ ___________________________________________________________________________ __ ___________________________________________________________________________ __ ___________________________________________________________________________ __

2020年中考数学挑战压轴题(含答案)

2020 挑战压轴题中考数学 精讲解读篇 因动点产生的相似三角形问题 1.如图,在平面直角坐标系xOy中,将抛物线y=x2的对称轴绕着点P(0,2)顺时针旋转45°后与该抛物线交于A、B两点,点Q是该抛物线上一点. (1)求直线AB的函数表达式; (2)如图①,若点Q在直线AB的下方,求点Q到直线AB的距离的最大值;(3)如图②,若点Q在y轴左侧,且点T(0,t)(t<2)是射线PO上一点,当以P、B、Q为顶点的三角形与△PAT相似时,求所有满足条件的t的值. 2.如图,已知BC是半圆O的直径,BC=8,过线段BO上一动点D,作AD⊥BC 交半圆O于点A,联结AO,过点B作BH⊥AO,垂足为点H,BH的延长线交半圆O于点F. (1)求证:AH=BD; (2)设BD=x,BE?BF=y,求y关于x的函数关系式; (3)如图2,若联结FA并延长交CB的延长线于点G,当△FAE与△FBG相似时,求BD的长度.

3.如图,在平面直角坐标系xOy中,直线AB过点A(3,0)、B(0,m)(m>0),tan∠BAO=2. (1)求直线AB的表达式; (2)反比例函数y=的图象与直线AB交于第一象限内的C、D两点(BD<BC),当AD=2DB时,求k1的值; (3)设线段AB的中点为E,过点E作x轴的垂线,垂足为点M,交反比例函数y=的图象于点F,分别联结OE、OF,当△OEF∽△OBE时,请直接写出满足条件的所有k2的值. 4.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=1,BC=7,点D是边CA延长线的一点,AE⊥BD,垂足为点E,AE的延长线交CA的平行线BF于点F,连结CE交AB于点G. (1)当点E是BD的中点时,求tan∠AFB的值; (2)CE?AF的值是否随线段AD长度的改变而变化?如果不变,求出CE?AF的值;如果变化,请说明理由; (3)当△BGE和△BAF相似时,求线段AF的长.

中考数学填空题专题.docx

中考数学填空题专题训练 1.(平方根,立方根) ① 9 的平方根是;16 的算术平方根是; 27 的立方根是。 ② 25=;38 =。 2.(因式分解) ① x216② x26x 9③ x2xy 3.(科学记数法) ①随着中国综合国力的提升,近年来全球学习汉语的人数不断增加.据报道,2005年海外学习汉语的学生人数已达 38 200 000 人,用科学记数法表示为人. ②已知空气的密度为克/ 厘米3,用科学记数法表示是克/厘米 4.(自变量的取值范围) ①函数: y1中,自变量 x 的取值范围是______ . x1 ②函数 y =2x 中,自变量 x 的取值范围是. 5.(方程,不等式的解) ①方程 2x 80 的解是②方程组x y10的解为 x y2 ③分式方程11的解是.④方程x2250 的解是__________ x1 ⑤不等式 3x 6 0的解集是.⑥ 不等式组2x 40 的解集3 x0 为.6.(分式的运算)

①计算:a 1 1 =.②化简 : a 1 a2 1 =.a a a a 7.(多边形的内角和,外角和) ①八边形的内角和等于度.② 正n边形的内角和等于540,则n. ③六边形的外角和等于度.④正n 边形的每个外角均等于45°,则n. 8.( 平均数,众数,中位数,极差,方差) ① 5 名同学目测同一本教科书的宽度时,产生的误差如下(单位:cm): 2 , 2 ,1, 1, 0 ,则这组数据的极差为cm. ②小华的五次数学成绩分别是98、 62、 94、 98、95,则中位数是 __________. ③初三年一班有7 名同学参加参加学校举行的体育测试(成绩单位:分),成绩分别是 87, 90, 87, 89, 91, 88, 87。则它们成绩的众数是。 ④甲、乙两人进行射击比赛,在相同条件下各射击10 次,他们的平均成绩均为 8 环, 10 次射击成绩的方差分别是:S甲2 2 , S乙21.2 ,那么,射击成绩较为稳定的是. ⑤若样本 1、 4、 2、 5、x的平均数是3,则此样本的中位数为________. 9.(一次函数,二次函数,反比例函数) ①已知正比例函数y kx ( k0) 的图象经过原点、第二象限与第四象限,请写出 符合上述条件的k 的一个值:. ... ②请任写一个图象在第一、三象限的反比例函数:. .. ③反比例函数y k 的图像经过点(2,3),则k.x ④直线 y x 1不经过第象限. ⑤将直 y线1 x向下平移3个单位所得直线的解析式为 3 ___________________.

2020年版挑战中考数学压轴题详解(115页)

目录 第一部分函数图象中点的存在性问题 1.1 因动点产生的相似三角形问题 例1 上海市中考第24题 例2 苏州市中考第29题 例3 黄冈市中考第25题 例4 义乌市中考第24题 例5 临沂市中考第26题 例6 苏州市中考第29题 1.2 因动点产生的等腰三角形问题 例1 上海市虹口区中考模拟第25题 例2 扬州市中考第27题 例3 临沂市中考第26题 例4 湖州市中考第24题 例5 盐城市中考第28题 例6 南通市中考第27题 例7 江西省中考第25题 1.3 因动点产生的直角三角形问题 例1 山西省中考第26题 例2 广州市中考第24题 例3 杭州市中考第22题 例4 浙江省中考第23题 例5 北京市中考第24题 例6 嘉兴市中考第24题 例7 河南省中考第23题 1.4 因动点产生的平行四边形问题 例1 上海市松江区中考模拟第24题 例2 福州市中考第21题 例3 烟台市中考第26题 例4 上海市中考第24题 例5 江西省中考第24题 例6 山西省中考第26题 例7 江西省中考第24题 1.5 因动点产生的梯形问题 例1 上海市松江中考模拟第24题 例2 衢州市中考第24题 例4 义乌市中考第24题

例5 杭州市中考第24题 例7 广州市中考第25题 1.6 因动点产生的面积问题 例1 苏州市中考第29题 例2 菏泽市中考第21题 例3 河南省中考第23题 例4 南通市中考第28题 例5 广州市中考第25题 例6 扬州市中考第28题 例7 兰州市中考第29题 1.7 因动点产生的相切问题 例1 上海市杨浦区中考模拟第25题 例2 河北省中考第25题 例3 无锡市中考第28题 1.8 因动点产生的线段和差问题 例1 天津市中考第25题 例2 滨州市中考第24题 例3 山西省中考第26题 第二部分图形运动中的函数关系问题 2.1 由比例线段产生的函数关系问题 例1 宁波市中考第26题 例2 上海市徐汇区中考模拟第25题 例3 连云港市中考第26题 例4 上海市中考第25题 2.2 由面积公式产生的函数关系问题 例1 菏泽市中考第21题 例2 广东省中考第22题 例3 河北省中考第26题 例4 淮安市中考第28题 例5 山西省中考第26题 例6 重庆市中考第26题 第三部分图形运动中的计算说理问题 3.1 代数计算及通过代数计算进行说理问题 例1 南京市中考第26题 例2 南昌市中考第25题 3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题 例1 上海市黄浦区中考模拟第24题 例2 江西省中考第24题

中考数学填空题、选择题专题训练

O E D C B A 一、填空题(每题3分,共18分) 1、分解因式:229___(3)(3)___________ax ay a x y x y -=-+. 2、如图,在四边形ABCD 中,AB∥CD,要使得四边形ABCD 是平行四边形, 应添加的条件是 AB=CD (答案不唯一) (只填写一个条件) 3、一个多边形的内角和是外角和的5倍,这个多边形的边数是 12 。 4、化简(1+ )÷ 的结果为 x-1 . 5、数据1,2,5,0,5,3,5的中位数是 3 ;方差是 26 7 ; 6、如图,顺次连接边长为1的正方形ABCD 四边的中点,得到四边形A 1B 1C 1D 1, 然后顺次连接四边形A 1B 1C 1D 1的中点,得到四边形A 2B 2C 2D 2, 再顺次连接四边形A 2B 2C 2D 2四边的中点,得到四边形A 3B 3C 3D 3,…, 按此方法得到的四边形A 8B 8C 8D 8的周长为 . 二、选择题(每题4分,共32分) 7、下列运算,正确的是( C ) A .4a ﹣2a = 2 B .a 6÷a 3 = a 2 C .(﹣a 3b )2 = a 6b 2 D .(a ﹣b )2 = a 2﹣b 2 8、要使二次根式 2 x +在实数范围内有意义,则实数x 的取值范围是( C ) A .x >2 B. x ≥2 C. x >2- D. x ≥2- 9、如图,圆锥的母线长为2,底面圆的周长为3,则该圆锥的侧面积为( B ) 10、已知x a y 和-3x 2y a+b 是同类项,则a b 等于( D ) A .-2 B .0 C .-1 D . 1 2 11、已知点C 是线段AB 的黄金分割点,AB = 10cm ,则AC 的长大约是( D ) A . 6.18 B .6或4 C .3.82 D . 6.18或3.82 12、若(m -1)2+ 2n + =0,则m +n 的值是( A ) A .-1 B .0 C .1 D .2 13、如图.O e 的直径AB 垂直于弦CD ,垂足是E ,22.5A ∠=?,4OC =, A . 3π B . 3 C . 6π D . 6

[初二数学]用待定系数法确定函数关系式解决用代数式表示规律

[初二数学]用待定系数法确定函数关系式解决用代数式表示规律

用待定系数法确定函数关系式解决用代数式表示规 律 例 1 观察图,(1)至(4)中小圆圈的摆放规律,并按这样的规律继续摆放,记第n个图中小圆圈的个数为m,则=m(用含n的代数式表示)。 n时2=n时3=n时 = 1 = n时 4 = m m11 = = 5 m8 = m 14 (1)(2)(3)(4) 【观察与思考】题目提供的图形的序数与小圆圈的个数满足(1,5),(2,8),(3,11),(4,14),……序数n(自变量)每增大1,对

应的函数值m 就增大3。因此,它们就应当成一次函数关系。这样,我们就可以用待定系数法求其表达式。 设b kn m +=,由(1,5),(2,8)满足关系,可知有: 从中解得 23+=∴n m 解:应填23+n 例2 一根绳子弯曲成如图(1)所示的形状,当用剪刀像图(2)那样沿虚线a 把绳子剪断时,绳子被剪为5段;当用剪刀像图(3)那样沿虚线)//(a b b 把绳子再剪一次时,绳子就被剪成9段。若用剪刀在虚线b a ,之间把绳子再剪)2(-n 次(剪刀的方向与a 平行),这样一共剪n 次时绳子的段数是( ) A 、14+n B 、24+n C 、34+n D 、54+n b k +=5 b k +=28 3=k 2=b

(1) (2) (3) 【观察与思考】我们先找出图1,2,3,4中序号和绳子段数的对应情况,有(1,1),(2,5),(3,9),(4,13)。 序号每增大1,段数值就增大4,应呈一次函数关系。设为b kn y +=,由(1,1),(2,5)得: 解得 a a b b k +=1 b k +=25 4=k 3-=b

第一讲 字母表示代数式

第一讲 字母表示数和代数式 【典型例题1】 设某数为x ,用x 表示下列各数: (1)比某数的一半还多2的数; (2)某数减去3的差与2 1 3 的积; (3)某数与3的和除以某数所得的商; (4)某数的60%除以m 的商。 解析: (1) 1 2.2x + (2)()53.3x - (3) 3.x x + (4) 60%x m 点评:此题考查的知识点是用字母表示未知量,根据题意将文字语言转换为符号语言,要按文字语言叙述的顺序书写符号语言。 【知识点】 用字母表示数。 注意书写规则 1、数字与字母及字母与字母间的乘号要省略,如2.a ab 、 2、除法运算要用分数线来表示,如 .2c r 3、数字(包括整数、分数、小数、百分数、π等) 应写在字母的前面,如2 20.250%3 b a a r π、、、;当字母前面的数字是1时应省略不写,当数字因数是带分数时,一定要把带分数化为假分数,再写到字母的前面,如1 12a 应写成 3.2 a 4、若结果中有多个字母,习惯上按26个字母的先后顺序书写,如一般写xy ,不写成.yx 【基本习题限时训练】 1、用式子表示“a 与b 的和除以b 与a 的差”是( ) A a b a b +- B a b b a +- C a b a b -+ D b a a b -+ 【解】按照文字语言的叙述的顺序书写符号语言,故选B. 2、字母表达式2 2 3x y -的意义为( ) A x 与3y 的平方差 B x 的平方减3的差乘以y 的平方 C x 与3y 的差的平方 D x 的平方与y 的平方的3倍的差 【解】按照运算顺序2 x 与2 3y 先进行文字表述,最后进行差的运算,故选D. 3、用字母表示分数的基本性质(分数的分子、分母都乘以同一个不为0的数,分数的值不变)应为( )

2017年中考数学填空压轴题汇编4(学)

2017全国各地中考数学压轴题汇编之填空题4 1.计算1+4+9+16+25+……的前29项的和是______________. 2.观察下列运算过程: 计算:1+2+22+…+210.. 解:设S =1+2+22+…+210,① ①× 2得2S =2+22+23+…+211,② ②-①,得S =211-1. 所以,1+2+22+…+210=211-1. 运用上面的计算方法计算:1+3+32+…+32017=______________. 3.在平面直角坐标系中,点P (x ,y )经过某种变换后得到点P '(-y +1,x +2),我们把点P '(-y +1,x +2)叫做点P (x ,y )的终结点.已知点P 1的终结点为P 2,点P 2的终结点为P 3,点P 3的终结点为P 4,这样依次得到P 1、P 2、P 3、P 4、…P n 、…,若点P 1的坐标为(2,0),则点P 2017的坐标为______________. 4.阅读理解:用“十字相乘法”分解因式的方法. (1)二次项系数212=?; (2)常数项3131(3)-=-?=?-,验算:“交叉相乘之和”; (3)发现第③个“交叉相乘之和”的结果1(3)211?-+?=,等于一次项系数-1,即: 22(x 1)(2x 3)232323 x x x x x +-=-+-=--,则2 23(x 1)(2x 3) x x --=+-,像这样,通过十字交叉线 帮助,把二次三项式分解因式的方法,叫做十字相乘法,仿照以上方法,分解因式:2 3512 x x +-= ______. 5.观察下列各式: 11111222 =-=? 111112 112232233 +=-+-=??

代数式的表示方法

3.1字母表示数学案一 教学目标 1、使学生认识字母表示数的意义,并能说出一个代数式所表示的数量关系; 2、培养学生观察、分析及抽象思维的能力。 重点:用字母表示数的意义 难点:正确的说出代数式所表示的数量关系 一、学前准备: 你能用字母表示以前学过的运算律和公式吗? 1、 运算律: 加法交换律可以表示成_______________加法结合律可以表示成____________ 乘法交换律可以表示成_______________乘法分配律可以表示成_____________ 乘法结合律可以表示成_____________ 2、公式 二、自学成才 1.代数式定义:像_________________________________,……这样的式子,我们称它们为代数式,严格地说,用基本的________把数和表示数的字母连接起来得到的式子叫代数式;单独的一个___或者单独的一个_____也是代数式。 2. a 0 1 12 -2 14- 0.15 24125 - -a 综上,当a 表示有理数时,a 可以表示_______有理数、____、 _____有理数、—a 可以表示____有理数数、___、_______有理数。 3.我们可以用字母来表示数,并且把问题中涉及的_________关系用________来表示,这就是列代数式。 4. 列代数式时,要把复杂的数量关系分成基本的数量关系,弄清运算顺序和括号的使用。 一般按“____________”原则列代数式。 三、合作交流:求出下列火柴的根数(用四种方法) 1个正方形的火柴根数: a a a b a h a h a h b

中考数学填空题压轴题精选

A C B H E F P G 2017年中考压轴填空题精编 2301.如图,在△ABC 中,∠ACB =90°,AC =BC =1,E 、F 为线段AB 上两动点,且∠ECF =45°,过点E 、F 分别作AC 、BC 的垂线相交于点P ,垂足分别为G 、H ,则PG ·PH 的值为___________. 2302.已知抛物线C 1:y =ax 2 +bx +c 的顶点为P ,与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 左侧),点P 关于 x 轴的对称点为Q ,抛物线C 2的顶点为A ,且过点Q ,对称轴与y 轴平行,若抛物线C 2的解析式为y =x 2 +2x +1,直线y =2x +m 经过A 、Q 两点,则抛物线C 1的解析式为______________. 2303.有四张正面分别标有数字-3,0,1,5的不透明卡片,它们除数字不同外其余全部相同,现将它们 背面朝上,洗匀后从中任取一张,将该卡片上的数字记为a ,则使关于x 的分式方程 1-ax x -2 +2= 1 2-x 有正整数解的概率为____________. 2304.如图,点A 在抛物线y =x 2 -3x 的对称轴上,点B 在抛物线上,若AB 的最小值为2,则点A 的坐 标为____________. 2305.如图,在四边形ABCD 中,∠ABC =120°,∠ADC =90°,AB =2,BC =4,BD 平分∠ABC ,则AD =____________. D A C

A B C P D 2306.已知直线y = 1 2 x -1与双曲线y = 2 x 的一个交点坐标为(a ,b )(a <0),则 1 a + 1 2b 的值为____________. 2307.已知直线y =kx +4与y 轴交于点A ,与双曲线y = 5 x 相交于B 、C 两点,若AB =5AC ,则k 的值为_____________. 2308.已知二次函数y =-( x -m )2+m 2 +1,当-2≤x ≤1时有最大值4,则m 的值为___________. 2309.如图,在△ABC 中,AB =AC =5,BC =6,点P 是BC 边上一动点,且∠APD =∠B ,射线PD 交AC 于D .若以A 为圆心,以AD 为半径的圆与BC 相切,则BP 的长是___________. 2310.将一副三角板按如图所示放置,∠BAC =∠BDC =90°,∠ABC =60°,∠DBC =45°,AB =2,连接AD ,则AD =____________. 2311.已知当0<x < 7 2 时,二次函数y =x 2 -4x +3-t 的图象与x 轴有公共点,则t 的取值范围是______________. A D B C

代数式之找规律

海豚教育个性化简案 学生姓名:年级:科目: 授课日期:月日上课时间:时分------ 时分合计:小时 教学目标1. 通过观察、分析、总结等一系列过程,经历探索数量关系,运用符号表示规律,通过运算验证规律的过程; 2. 会用代数式表示简单问题中的数量关系; 3. 通过动手操作、观察、思考,体验数学活动是充满着探索性和创造性的过程。 重难点导航1. 学会探索数量关系,运用符号表示规律; 2. 学会从不同角度探索数量关系表示规律. 教学简案: 一、个性化教案 二、个性化作业 三、错题汇编 授课教师评价:□ 准时上课:无迟到和早退现象 (今日学生课堂表□ 今天所学知识点全部掌握:教师任意抽查一知识点,学生能完全掌握现符合共项)□ 上课态度认真:上课期间认真听讲,无任何不配合老师的情况 (大写)□ 海豚作业完成达标:全部按时按量完成所布置的作业,无少做漏做现象审核人签字:学生签字:教师签字: 备注:请交至行政前台处登记、存档保留,隔日无效(可另附教案内页)大写:壹贰叁肆签章:

海豚教育个性化教案(真题演练) 1.(2014?沂水县二模)有一列数a1,a2,a3,…,a n,从第二个数开始,每一个数都等于1与它前面那个数的倒数的差,若a1=2,则a2011为() 1 A. 2011 B. 2 C. -1 D. 2 2.(2014?凤阳县模拟)观察下列图形: 它们是按一定规律排列的,依照此规律,第20个图形共有★个() A. 63 B. 57 C. 68 D. 60

海豚教育个性化教案 代数式——找规律 1、观察下面的一列单项式:x ,22x -,34x ,48x -,…根据你发现的规律,第7个单项式为 ;第n 个单项式为 2、填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律,根据此规律,m 的值是( ) 3、小明写作业时不慎将墨水滴在数轴上,根据图中的数值,判定墨迹盖住部分的整数的和是 . 4、将一张长方形的纸对折,如图所示可得到一条折痕(图中虚线). 继续对折,对折时每次折痕与上次的折痕保持平行,连续对折三次后,可以得到7条折痕,那么对折四次可以得到_ 条折痕 .如果对折n 次,可以得到 条折痕 . 5、现有黑色三角形“▲”和“△”共200个,按照一定规律排列如下: ▲ ▲△△▲△▲▲△△▲△▲▲…… 则黑色三角形有 个,白色三角形有 个。 6、 仔细观察下列图形.当梯形的个数是n 时,图形的周长是 . 1 1 1 7、用火柴棒按如下方式搭三角形: (1)填写下表: 1 2 3 100 (2)照这样的规律搭下去,搭n 个这样的三角形需要______根火柴棒 8、把编号为1,2,3,4,…的若干盆花按右图所示摆放,花盆中的花按红、黄、蓝、紫的颜色依次循环排列,则第8行从左边数第6盆花的颜色为___________色. 9、已知一列数:1,―2,3,―4,5,―6,7,… 将这列数排成下列形式:

2018挑战中考数学压轴题((全套)含答案与解析)

第一部分函数图象中点的存在性问题 §1.1因动点产生的相似三角形问题 例1 2014 年衡阳市中考第 28 题 例2 2014 年益阳市中考第 21 题 例3 2015 年湘西州中考第 26 题 例4 2015 年张家界市中考第 25 题 例5 2016 年常德市中考第 26 题 例6 2016 年岳阳市中考第 24 题 例 72016年上海市崇明县中考模拟第25 题 例 82016年上海市黄浦区中考模拟第26 题 §1.2因动点产生的等腰三角形问题 例9 2014 年长沙市中考第 26 题 例10 2014 年张家界市第 25 题 例11 2014 年邵阳市中考第 26 题 例12 2014 年娄底市中考第 27 题 例13 2015 年怀化市中考第 22 题 例14 2015 年长沙市中考第 26 题 例15 2016 年娄底市中考第 26 题 例 162016年上海市长宁区金山区中考模拟第25 题例 172016年河南省中考第 23 题

§1.3因动点产生的直角三角形问题 例19 2015 年益阳市中考第 21 题 例20 2015 年湘潭市中考第 26 题 例21 2016 年郴州市中考第 26 题 例22 2016 年上海市松江区中考模拟第 25 题 例23 2016 年义乌市绍兴市中考第 24 题 §1.4因动点产生的平行四边形问题 例24 2014 年岳阳市中考第 24 题 例25 2014 年益阳市中考第 20 题 例26 2014 年邵阳市中考第 25 题 例27 2015 年郴州市中考第 25 题 例28 2015 年黄冈市中考第 24 题 例29 2016 年衡阳市中考第 26 题 例 302016年上海市嘉定区宝山区中考模拟中考第24 题例 312016年上海市徐汇区中考模拟第 24 题 §1.5因动点产生的面积问题 例32 2014 年常德市中考第 25 题 例33 2014 年永州市中考第 25 题

中考数学B卷填空题专项练习

中考数学B 卷填空专项练习 1.在Rt△ABC 中,∠C =90°,AC =6,cot B = 4 3 ,P 、Q 分别是边AB 、BC 上的动点, 且AP =BQ .若PQ 的垂直平分线过点C ,则AP 的长为_____________. 2.如图,在△ABC 中,AB =AC =5,BC =6,D 是AC 边的中点,E 是BC 边上一动点(不与端点重合),EF ∥BD 交AC 于F ,交AB 延长线于G ,H 是BC 延长线上一点,且CH =BE ,连接FH . (1)连接AE ,当以GE 为半径的⊙G 和以FH 为半径的⊙F 相切时,tan ∠BAE 的值为____________; (2)当△BEG 与△FCH 相似时,BE 的长为_________________. 3.在直角梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠C =90°,AD =1,AB =5,CD =4,P 是腰AB 上一动点,PE ⊥CD 于E ,PF ⊥AB 交CD 于F ,连接PD ,当AP =________________________时,△PDF 是等腰三角形. 4.如图,∠AOB =30°,n 个半圆依次相外切,它们的圆心都在射线OA 上,并与射线OB 相切.设半圆C 1、半圆C 2、半圆C 3、…、半圆C n 的半径分别是r 1、r 2、r 3、…、r n ,则 r 2012 r 2011 =___________. A B C P Q A B C D E F H A B C P D E F

5.如图,n 个半圆依次外切,它们的圆心都在x 轴的正半轴上,并与直线y = 3 3 x 相切.设半圆C 1、半圆C 2、半圆C 3、…、半圆 r 1=1时, r 3=___________,r 2012= ___________. 6.如图,在△ABC 中,AB =AC =10cm ,BC =16cm ,长为4cm 的动线段DE (端点D 从点B 开始)沿BC 边以1cm/s 的速度向点C 运动,当端点E 到达点C 时运动停止.过点E 作EF ∥AC 交AB 于点F ,连接DF ,设运动的时间为t 秒. (1)当t =_______________秒时,△DEF 为等腰三角形; (2)设M 、N 分别是DF 、EF 的中点,则在整个运动过程中,MN 所扫过的面积为___________cm 2. 7.如图,在平面直角坐标系中,直线l 1:y = 3 4 x 与直线l 2:y =- 4 3 x + 20 3 相交于点A ,直 线l 2与两坐标轴分别相交于点B 和点C ,点P 从点O 出发,以每秒1个单位的速度沿线段 OB 向点B 运动;同时点Q 从点B 出发,以每秒4个单位的速度沿折线B →O →C →B 的方向向点B 运动,过点P 作直线PM ⊥OB ,分别交l 1、l 2于点M 、N ,连接MQ ,设点P 、Q 运动的时间为t 秒(t >0). (1)点Q 在OC 上运动时,当t =_______________秒时,四边形CQMN 是平行四边形; (2)当t =_______________秒时,MQ ∥OB .

中考高分的十八个关节关节用代数式表示变化规律WOR

第三篇知识与思考策略结合运用的专题解析 ※掌握每类问题中知识和思考策略应用的规律,将有效地提高数学的解题能力。 关节九 探究一:用代数式表示变化规律 用代数式把一列变化着的式或图形的规律表示出来,是探究性题目中很重要的一类,现在我们来研究解决这类题目所用到的主要数学思想和思考方法: 它们是: Ⅰ、以归纳概括为指导的思考方法; Ⅱ、以函数思想为指导的方法; Ⅲ、以直接计算为指导的方法。 一、借助以归纳为指导的思想方法,得到表示变化规律的代数式 这种思想方法的核心是通过分析与研究提供的“变化片断”——一些连续的特殊情况,归纳概括出整个变化过程所体现的规律,并用代数式将其表示出来,在实际运用中,又根据题目的实际情况,可分为三种形式:“一般归纳型”;“分类归纳型”;“递推归纳型”。 1、一般归纳型 思考特点是:第一,系统考察所提供的一系列特殊,从每个特殊与其位次的对应关系上找共同的规律,第二,特别注意研究相邻两项之间的相关性。 例1 如图,下列几何体是由棱长为1的小立方体按一定规律在地面上摆成的,若将露出的表面都涂上颜色(底面不涂色),则第n个几何体中只有两个面涂色的小立方体共有。 ① ②③

【观察与思考】我们把上面各图中满足“只有两个面涂色的立方体”用涂色法表示出来: …… ① ② ③ 0014?+? 1424?+? 2434?+? ……第n 个: )1(44-+n n 解:应选48-n . 例2 如图,是用火柴棒摆出的一系列三角形图案,按这种方式摆下去,当每边上摆10根火柴棒时, 共需要摆 根火柴棒. …… 【观察与思考】本题可以归结为在相应图形中求有多少个涂色的小三角形(所用火柴棒数就等于这样的三角形数再乘以3).为了找到规律,可以将每边4根火柴棒的情况也画出: (1) (2 (3) (4) (10) 涂色三角形 1 321=+ 6321=++ 104321=+++…归纳概括: 5510...321=+++ 的个数: 165355=? 解:应填165 . 【说明】例1和例2,都是统一系列变化的“图形”,首先是要分离出符合要求的部分,使问题简化与明晰化,然后依次观察、对比,找出共同的规律来。 例3 世界上著名的莱布尼茨三角形如图所示:则排在第10行从左边数第3个位置上的数是( ) … 下面一层 … 上面一层 ... 下面两层 … 上面一层 … 上面一层 … 下面三层 … 下面 n 层 … 上面一层 10根

1字母表示、代数式

---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 1 / 9 1字母表示、代数式 字母表示及代数式字母表示及代数式 一、知识点梳理一、知识 点梳理 1、 可以表示任意的数,也可以表示特定意义 的 ,还可以表示符合条件 ,甚至可以表示 探究得出的 的数。 例: 用字母表示公式 (1)三角形底边长为a ,高为h ,面积 (2)圆半径是r ,面积为S ,那么、用字 母表示数,在省略乘号时,要把 写在 的前 面,如写成2a ,当数字是带分数时,常写成 3、用 把 联结而成的式子叫做代数式。 这里的运算符号指的是 ,和乘方及今后学到的开方。 如 ,3a ,b ,2x y , ,,15 ,st 等都是代数式。 4、单独一个 或者 也是代数式,请 举一个例子 5、把问题中与数量有关的词语,用含 有数、字母和运算符号的式子表示出来叫做 二、问 题点拨二、问题点拨 1、用字母表示数的时候书写应该怎样规范?、 用字母表示数的时候书写应该怎样规范? (1)数字与字母及字母与 字母间的乘号要省略,如2a 、ab (2)除法运算要用分数线来表示, 如2(3)数字(包括整数、分数、小数、百分数、 等)应写在字

母的前面;当字母前面的数字是 1 时应省略不写;当cr 数字因数是带分数时,一定要把带分数化成假分数后,再写到字母的前面。 2、列代数式的基本要领、列代数式的基本要领(1)抓住关键性词语,如大、小、多、少、和、差、积、商、倍、分等。 (2)理清运算顺序。 对于一些数量关系的运算顺序,一般是先说的运算在前,后说的运算在后。 (3)正确使用括号。 一般地,列代数式时,若先说低级运算,再说高级运算,则必须使用括号;若相反则不需使用括号。 (4)正确利用的、与划分句子层次。 的字一般表示从属关系,与字一般表示并列关系三、典型例题分析三、典型例题分析【例【例 1】】用字母表示分数的基本性质(分数的分子、分母都乘同一个不为 0 的数,分数的值不变)应为() 【例【例 2】】设某数为x,用x表示下列各数:(1)某数与12的差;(2)某数的12与13的和;(3)某数与 1 的差的平方;(4)某数与 2 的和的倒数;(5)某数的 30%除以a的商(分析: 注意文字间的关系,并注意乘、除号的正确书写)【例【例 3】】如图所示,请说明第n个图形中笑脸的个数

中考数学压轴题解题技巧及训练完整版

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中考数学压轴题解题技巧 (完整版) 数学综压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的,集中体现知识的综合性和方法的综合性,多数为函数型综合题和几何型综合题。 函数型综合题:是给定直角坐标系和几何图形,先求函数的解析式,再进行图形的研究,求点的坐标或研究图形的某些性质。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法,关键是求点的坐标,而求点的坐标基本方法是几何法(图形法)和代数法(解析法)。 几何型综合题:是先给定几何图形,根据已知条件进行计算,然后有动点(或动线段)运动,对应产生线段、面积等的变化,求对应的(未知)函数的解析式,求函数的自变量的取值范围,最后根据所求的函数关系进行探索研究。一般有:在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形,四边形是平行四边形、菱形、梯形等,或探索两个三角形满足什么条件相似等,或探究线段之间的数量、位置关系等,或探索面积之间满足一定关系时求x的值等,或直线(圆)与圆的相切时求自变量的值等。求未知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量之间的等量关系(即列出含有x、y的方程),变形写成y=f(x)的形式。找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求函数的自变量的取值范围主要是寻找图形的特殊位置(极端位置)和根据解析式求解。而最后的探索问题千变万化,但少不了对图形的分析和研究,用几何和代数的方法求出x 的值。 解中考压轴题技能:中考压轴题大多是以坐标系为桥梁,运用数形结合思想,通过建立点与数即坐标之间的对应关系,一方面可用代数方法研究几何图形的性质,另一方面又可借助几何直观,得到某些代数问题的解答。关键是掌握几种常用的数学思想方法。 一是运用函数与方程思想。以直线或抛物线知识为载体,列(解)方程或方程组求其解析式、研究其性质。 二是运用分类讨论的思想。对问题的条件或结论的多变性进行考察和探究。 三是运用转化的数学的思想。由已知向未知,由复杂向简单的转换。中考压轴题它是对考生综合能力的一个全面考察,所涉及的知识面广,所使用的数学思想方法也较全面。因此,可把压轴题分离为相对独立而又单一的知识或方法组块去思考和探究。 解中考压轴题技能技巧: 一是对自身数学学习状况做一个完整的全面的认识。根据自己的情况考试的时候重心定位准确,防止“捡芝麻丢西瓜”。所以,在心中一定要给压轴题或几个“难点”一个时间上的限制,如果超过你设置的上限,必须要停

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