平面的截距式方程

设一平面与,,x y z 轴的交点依次为(,0,0)P a 、(0,,0)Q b 、(0,0,)R c 三点（如下图所示）， 求这平面的方程（其中0,0,0a b c ≠≠≠）.

解 设所求平面的方程为

0Ax By Cz D +++=.

因(,0,0)P a 、(0,,0)Q b 、(0,0,)R c 三点都在这平面上，所以点,,P Q R 的坐标都

满足方程(3-4)，

即有 0,0,0,aA D bB D cC D +=??+=??+=?

解得

,,D D D A B C a b c

=-=-=-. 以此代人(3-4)并

除以(0)D D ≠，便得所求的平面方程为 1. (3-7)x y z a b c

++= 方程(3-7)叫

做平面的截距式方程，而,,a b c 依次叫做平面在,,x y z 轴上的截距.

直线的两点式和截距式方程

直线的两点式和截距式方程（导学案） 知识目标：1.能根据点斜式方程推导两点式方程、根据两点式方程推导截距式方程 2.掌握直线的两点式方程和截距式方程，会应用两点式方程和截距式方程解决相关问题（重点） 3.能已知条件的特点，恰当选取方程的形式来求方程 探究1写出下列经过A、B两点的直线的方程： （1）A（8，－1），B（－2，4） 解： （2）A（6，－4），B（－1，2） 解： （3）A (x 1，y 1 )，B ( x 2 ，y 2 ) ，其中x 1 ≠x 2 ，y1≠y2 解： 思考1：上面问题的求解过程可以简化吗？ 已知两点P 1(x 1 ，y 1 ) , P 2 ( x 2 ，y 2 )，其中x 1 ≠x2，y1≠y2，则经过这两点的直线 方程为 思考2：若P 1, P 2 中有x 1 ＝x 2 或y 1 ＝y 2 ，此时过这两点的直线方程是什么？ 综上所述，在运用两点式公式时应注意什么？ 探究2已知直线l与x轴的交点为A（a，0），与y轴的交点为B（0，b），其中a≠0，b≠0，求直线l的方程。 思考3：应用截距式公式时应注意什么问题？

下列说法中不正确的命题是 。 ①点斜式y －y 0＝k （x －x 0）适用于不垂直于x 轴的任意直线； ②斜截式y ＝kx ＋b 适用于不垂直x 轴的任意直线； ③两点式 1 21 121x x x x y y y y --=-- 适用于不垂直于x 轴的任意直线； ④截距式 1=-b y a x 适用于不垂直x 轴的任意直线. 4 已知三角形的三个顶点A (－5， 0)，B （3，－3），C (0，2)， 求BC 边所在直线的方程，以及该边上的中线所在直线的方程。 1，2，3 灵活选取方程的形式来求方程 例2 根据下列条件，写出直线的方程 （1）倾斜角为30°，经过A （8，－2）； （2）经过点B （－2，0），且与x 轴垂直； （3）斜率为－4，在y 轴上的截距为7； （4）经过点A （－1，8），B （4，－2）； （5）在y 轴上的截距是2，且与x 轴平行； （6）在x 轴，y 轴上的截距分别是4，－3； 5 经过点A （1，2）并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有 几条？请求出这些直线方程。

(精心整理)直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式

直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式 一、教学目标 (一)知识教学点 在直角坐标平面内，已知直线上一点和直线的斜率或已知直线上两点，会求直线的方程；给出直线的点斜式方程，能观察直线的斜率和直线经过的定点；能化直线方程成截距式，并利用直线的截距式作直线． (二)能力训练点 通过直线的点斜式方程向斜截式方程的过渡、两点式方程向截距式方程的过渡，训练学生由一般到特殊的处理问题方法；通过直线的方程特征观察直线的位置特征，培养学生的数形结合能力． (三)学科渗透点 通过直线方程的几种形式培养学生的美学意识． 二、教材分析 1．重点：由于斜截式方程是点斜式方程的特殊情况，截距式方程是两点式方程的特殊情况，教学重点应放在推导直线的斜截式方程和两点式方程上．2．难点：在推导出直线的点斜式方程后，说明得到的就是直线的方程，即直线上每个点的坐标都是方程的解；反过来，以这个方程的解为坐标的点在直线上． 的坐标不满足这个方程，但化为y-y1=k(x-x1)后，点P1的坐标满足方程． 三、活动设计 分析、启发、诱导、讲练结合． 四、教学过程 (一)点斜式 已知直线l的斜率是k，并且经过点P1(x1，y1)，直线是确定的，也就是可求的，怎样求直线l的方程(图1-24)？ 设点P(x，y)是直线l上不同于P1的任意一点，根据经过两点的斜率公式得

注意方程(1)与方程(2)的差异：点P1的坐标不满足方程(1)而满足方程(2)，因此，点P1不在方程(1)表示的图形上而在方程(2)表示的图形上，方程(1)不能称作直线l 的方程． 重复上面的过程，可以证明直线上每个点的坐标都是这个方程的解；对上面的过程逆推，可以证明以这个方程的解为坐标的点都在直线l上，所以这个方程就是过点P1、斜率为k 的直线l的方程． 这个方程是由直线上一点和直线的斜率确定的，叫做直线方程的点斜式． 当直线的斜率为0°时(图1-25)，k=0，直线的方程是y=y1． 当直线的斜率为90°时(图1-26)，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1． (二)斜截式 已知直线l在y轴上的截距为b，斜率为b，求直线的方程． 这个问题，相当于给出了直线上一点(0，b)及直线的斜率k，求直线的方程，是点斜式方程的特殊情况，代入点斜式方程可得： y-b=k(x-0) 也就是

直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式

【课 题：】直线的点斜式方程 【教学目的：】 知识目标：在直角坐标平面，已知直线上一点和直线的斜率或已知 直线上两点，会求直线的方程；给出直线的点斜式方程， 能观察直线的斜率和直线经过的定点 能力目标：通过直线的点斜式方程向斜截式方程的过渡，训练学生由 一般到特殊的处理问题方法；通过直线的方程特征观察直 线的位置特征，培养学生的数形结合能力． 德育目标：通过直线方程的几种形式培养学生的美学意识． 【教学重点：】由于斜截式方程是点斜式方程的特殊情况，教学重点应放在 推导直线的斜截式方程上．实质上它也是整个直线方程理论 的基础。 【教学难点：】在推导出直线的点斜式方程后，说明得到的就是直线的方程， 即直线上每个点的坐标都是方程的解；反过来，以这个方程 的解为坐标的点在直线上． 【授课类型：】新授课 【课时安排：】1课时 【教 具：】 【教学过程：】 1、复习引入： 2、讲解新课： (1)点斜式 已知直线l 的斜率是k ，并且经过点P 1(x 1，y 1)，直线是确定的，也就是可求的，怎样求直线l 的方程(图1-24)？ 设点P(x ，y)是直线l 上不同于P 1(x 1，y 1)的任意一点，根据经过两点的斜率公式得 1 1x x y y k --= (1) 即y-y 1=k(x-x 1) (2) 注意方程(1)与方程(2)的差异：点P 1的坐标不满足方程(1)而满足方程(2)，因此，点P 1不在方程(1)表示的图形上而在方程(2)表示的图形上，方程(1)不能称作直线l 的方程． 重复上面的过程，可以证明直线上每个点的坐标都是这个方程的解；对上面的过程逆推，可以证明以这个方程的解为坐标的点都在直线l 上，所以这个方程就是过点P 1、斜率为k 的直线l 的方程．(实质上是证明了直线的方程与方程的直线的关系) 这个方程是由直线上一点和直线的斜率确定的，叫做直线方程的点斜式． 注：当直线的斜率为0°时(图1-25)，k=0，直线的方程是y=y 1． 当直线的斜率为90°时(图1-26)，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点

直线的点斜式截距式方程

2.1.2 直线的方程 ——点斜式、斜截式 南京航空航天大学附属高级中学 洪俊 学习目标： 1．探索并掌握直线的点斜式方程和斜截式方程，能熟练求出直线方程； 2．体会化归的思想，逐步培养自己分析问题，解决问题的能力； 3．进一步理解直线和直线方程之间的关系，体现数形结合的数学思想． 学习重点： 掌握直线的点斜式、斜截式方程及运用． 学习过程： 一、问题情境 1．问题情境． （1）已知直线l 经过点A （2,3），B （1,4），计算直线l 的斜率； （2）已知直线l 经过点A （m ,3），B （1,4）且斜率为-3，计算m 的值； （3）直线l 经过点A （1，3）斜率为2，点P （－1，－1）在直线l 上吗？ 2．探究活动． （1）已知直线l 经过点(1,3)A -且斜率为－2，你能求出l 经过的另一点B （2， y ）的纵坐标吗？你能画出直线l 吗？ （2）已知直线l 经过点(1,3)A -，斜率为－2，点(,)P x y 在直线l 上运动，那 么点P 的坐标(,)x y 会满足什么样的关系？你能画出直线吗？ （3）直线l 经过点),(000y x P ，且斜率为k ，设点),(y x P 是直线l 上的任意 一点，写出y x ,与00,,y x k 之间有一个关系式． 二、建构数学 1．点斜式：

如图，直线l 经过点),(000y x P ，且斜率为k ，设点),(y x P 是直线l 上不同于点0P 的任意一点，因为直线l 的斜率为k ，由斜率公式得： 即 （*） 注： 1° 直线l 上每一个点的坐标都是（*）式的解； 2° 以（*）式的解为坐标的点都在直线l 上； （*）由直线上一定点及其斜率确定，我们把（*）叫做直线的点斜式方程，简称点斜式．求直线上任意一点P （x ，y ）的坐标x 和y 之间的关系，其实质就是求直线的方程； 3° 问题：直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢？ 2．特殊的直线方程． （1）直线l 经过点111(,)P x y ， 且直线的倾斜角为0，直线l 的方程是 ． （2）直线l 经过点111(,)P x y ， 且直线的倾斜角为90，直线l 的方程是 ． （3）直线l 的斜率为k ，与y 轴的交点是(0,)P b ，则直线l 的方程为 ． 说明： （1） 若直线l 与x 轴交点是(,0)a ，与y 轴交点是(0,)b ，则称a 为直线l 在x 轴上的截距，称b 为直线l 在y 轴上的截距． （截距的本质是点的某一个坐标，所以截距可以大于0，也可以等于或小于 0，截距与距离是二个不同的概念）． （2）方程y ＝kx ＋b 由直线l 的斜率k 和它在y 轴上的截距b 确定，叫做直线 方程的斜截式方程． （3）初中学习的一次函数y kx b =+中，常数k 是直线的斜率，常数b 为直 线在y 轴上的截距． 三、数学运用 例1 一条直线经过点1(2,3)P -，斜率为2，求这条直线方程． 00()y y k x x -=-00 y y k x x -= -

直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式

直线方程得点斜式、斜截式、两点式与截距式 一、教学目标 (一)知识教学点 在直角坐标平面内,已知直线上一点与直线得斜率或已知直线上两点,会求直线得方程;给出直线得点斜式方程,能观察直线得斜率与直线经过得定点;能化直线方程成截距式,并利用直线得截距式作直线. (二)能力训练点 通过直线得点斜式方程向斜截式方程得过渡、两点式方程向截距式方程得过渡,训练学生由一般到特殊得处理问题方法;通过直线得方程特征观察直线得位置特征,培养学生得数形结合能力. (三)学科渗透点 通过直线方程得几种形式培养学生得美学意识. 二、教材分析 1.重点:由于斜截式方程就是点斜式方程得特殊情况,截距式方程就是两点式方程得特殊情况,教学重点应放在推导直线得斜截式方程与两点式方程上. 2.难点:在推导出直线得点斜式方程后,说明得到得就就是直线得方程,即直线上每个点得坐标都就是方程得解;反过来,以这个方程得解为坐标得点在直线上. 得坐标不满足这个方程,但化为y-y1=k(x-x1)后,点P1得坐标满足方程. 三、活动设计 分析、启发、诱导、讲练结合. 四、教学过程 (一)点斜式 已知直线l得斜率就是k,并且经过点P1(x1,y1),直线就是确定得,也就就是可求得,怎样求直线l得方程(图1-24)？ 设点P(x,y)就是直线l上不同于P1得任意一点,根据经过两点得斜率公式得 注意方程(1)与方程(2)得差异:点P1得坐标不满足方程(1)而满足方程(2),因此,点P1不在方程(1)表示得图形上而在方程(2)表示得图形上,方程(1)不能称作直线l 得方程.

重复上面得过程,可以证明直线上每个点得坐标都就是这个方程得解;对上面得过程逆推,可以证明以这个方程得解为坐标得点都在直线l上,所以这个方程就就是过点P1、斜率为k 得直线l得方程. 这个方程就是由直线上一点与直线得斜率确定得,叫做直线方程得点斜式. 当直线得斜率为0°时(图1-25),k=0,直线得方程就是y=y1. 当直线得斜率为90°时(图1-26),直线得斜率不存在,它得方程不能用点斜式表示.但因l上每一点得横坐标都等于x1,所以它得方程就是x=x1. (二)斜截式 已知直线l在y轴上得截距为b,斜率为b,求直线得方程. 这个问题,相当于给出了直线上一点(0,b)及直线得斜率k,求直线得方程,就是点斜式方程得特殊情况,代入点斜式方程可得: y-b=k(x-0) 也就就是 上面得方程叫做直线得斜截式方程.为什么叫斜截式方程？因为它就是由直线得斜率与它在y轴上得截距确定得. 当k≠0时,斜截式方程就就是直线得表示形式,这样一次函数中k与b得几何意义就就是分别表示直线得斜率与在y轴上得截距. (三)两点式 已知直线l上得两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2),(x1≠x2),直线得位置就是确定得,也就就是直线得方程就是可求得,请同学们求直线l得方程. 当y1≠y2时,为了便于记忆,我们把方程改写成 请同学们给这个方程命名:这个方程就是由直线上两点确定得,叫做直线得两点式. 对两点式方程要注意下面两点:(1)方程只适用于与坐标轴不平行得直线,当直线与坐标轴平行(x1=x2或y1=y2)时,可直接写出方程;(2)要记住两点式方程,只要记住左边就行了,右边可由左边见y就用x代换得到,足码得规律完全一样. (四)截距式

直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式

【课题：】直线的点斜式方程 【教学目的：】 知识目标：在直角坐标平面，已知直线上一点和直线的斜率或已知 直线上两点，会求直线的方程；给出直线的点斜式方程， 能观察直线的斜率和直线经过的定点 能力目标：通过直线的点斜式方程向斜截式方程的过渡，训练学生由 一般到特殊的处理问题方法；通过直线的方程特征观察直线的位置特征，培养学生的数形结合能力. 德育目标：通过直线方程的几种形式培养学生的美学意识. 【教学重点：】由于斜截式方程是点斜式方程的特殊情况，教学重点应放在推导直线的斜截式方程上?实质上它也是整个直线方程理论的基础。 【教学难点：】在推导出直线的点斜式方程后，说明得到的就是直线的方程，即直线上每个点的坐标都是方程的解；反过来，以这个方程的解为坐标的点在直线上. 【授课类型：】新授课 【课时安排：】1课时 【教具：】 【教学过程：】 1、复习引入： 2、讲解新课： （1）点斜式 已知直线I的斜率是k,并且经过点P i（x i, y i），直线是确定的，也就是可求的，怎样求直线I的方程（图1-24）? 设点P（x , y）是直线I上不同于R（X1, yj的任意一点，根据经过两点的斜率公式得 , y y1 k - （1） x X-| 即y-y 1=k（x-x 1）（2） 注意方程（1）与方程⑵ 的差异：点R的坐标不满足方程（1）而满足方程⑵，因此，点P1不在方程（1）表示的图形上而在方程（2）表示的图形上，方程（1）不能称作直线I的方程. 重复上面的过程，可以证明直线上每个点的坐标都是这个方程的解；对上面的过程逆推，可以证明以 这个方程的解为坐标的点都在直线I上，所以这个方程就是过点R、斜率为k的直线I的方程.（实质上 是证明了直线的方程与方程的直线的关系） 这个方程是由直线上一点和直线的斜率确定的，叫做直线方程的点斜式. 注：当直线的斜率为0°时（图1-25）, k=0,直线的方程是y=y「 当直线的斜率为90。时（图1-26）,直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示. 但因I上每一点 的横坐标都等于X i,所以它的方程是X=X i .

《直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式》教案(公开课)

《直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式》教案 一、教学目标 (一)知识教学点 在直角坐标平面内，已知直线上一点和直线的斜率或已知直线上两点，会求直线的方程；给出直线的点斜式方程，能观察直线的斜率和直线经过的定点；能化直线方程成截距式，并利用直线的截距式作直线． (二)能力训练点 通过直线的点斜式方程向斜截式方程的过渡、两点式方程向截距式方程的过渡，训练学生由一般到特殊的处理问题方法；通过直线的方程特征观察直线的位置特征，培养学生的数形结合能力． (三)学科渗透点 通过直线方程的几种形式培养学生的美学意识． 二、教材分析 1．重点：由于斜截式方程是点斜式方程的特殊情况，截距式方程是两点式方程的特殊情况，教学重点应放在推导直线的斜截式方程和两点式方程上．2．难点：在推导出直线的点斜式方程后，说明得到的就是直线的方程，即直线上每个点的坐标都是方程的解；反过来，以这个方程的解为坐标的点在直线上． 的坐标 不满足这个方程，但化为y-y1=k(x-x1)后，点P1的坐标满足方程． 三、活动设计 分析、启发、诱导、讲练结合． 四、教学过程 (一)点斜式 已知直线l的斜率是k，并且经过点P1(x1，y1)，直线是确定的，也就是可求的，怎样求直线l的方程(图1-24)？

设点P(x，y)是直线l上不同于P1的任意一点，根据经过两点的斜率公式得 注意方程(1)与方程(2)的差异：点P1的坐标不满足方程(1)而满足方程(2)，因此，点P1不在方程(1)表示的图形上而在方程(2)表示的图形上，方程(1)不能称作直线l的方程． 重复上面的过程，可以证明直线上每个点的坐标都是这个方程的解；对上面的过程逆推，可以证明以这个方程的解为坐标的点都在直线l上，所以这个方程就是过点P1、斜率为k的直线l的方程． 这个方程是由直线上一点和直线的斜率确定的，叫做直线方程的点斜式．当直线的斜率为0°时(图1-25)，k=0，直线的方程是y=y1． 当直线的斜率为90°时(图1-26)，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1．

直线方程的两点式和截距式

直线教案直线方程的两点式和截距式教案 教学目标 1．让学生掌握直线方程两点式和截距式的发现和推导过程，并能运用这两种形式求出直线的方程． 2．通过这节课的学习，让学生学会较灵活的求直线方程的方法，能够一题多法，一题妙法． 3．培养学生的数形结合的数学思想，为今后的学习打下良好的基础． 教学重点与难点 关于两点式的推导以及斜率k不存在或斜率k=0时对两点式方程的讨论及变形，是本节课的重点和难点． 教学过程 (先回顾点斜式方程的推导过程，因为点斜式是推导两点式的基础．) 师：上节课我们学习了直线方程的点斜式，请问点斜式方程是什么？点斜式方程是怎样推导的？ 生：点斜式是y-y 1=k(x-x 1 )，x 1 ，y 1 是直线l的某一定点P1的坐标，k是这 条直线的斜率．点斜式的推导过程主要依据是直线上任意一点P(x，y)与这条直 线上一个定点P 1(x 1 ，y 1 )所确定的斜率相等，并且就是此直线 y-y 1=k(x-x 1 )． (此回答可以找两个左右的同学回答，不够的，老师再概括，一定要说清楚．) 老师再使用投影仪，要学生求直线的方程，题目如下： 1．A(8，-1)，B(-2，4)； 2．A(6，-4)，B(-1， 2)； 3．A(x 1，y 1 )，B(x 2 ，y 2 )(x 1 ≠x 2 )．

(分别找3个同学说上述题的求解过程和答案，并着重要求说求k及求解过程．) 师：请你说出上述练习的求解过程及答案． (学生Ⅰ、Ⅱ略) 生Ⅲ：首先利用直线的斜率公式求出斜率k，然后利用点斜式写出 师：这个答案对我们有何启示？求解过程可不可以简化？ 生：可以直接用上述答案作为求直线方程的公式． (老师应适时表扬该学生) 就比较对称和美观，体现了数学美．由于这个方程是由直线上两点确定的，我们可以把这种直线方程取一个什么名字？ 生：可以叫做直线方程的两点式． (教师引导学生对下述问题进行分析) 生：不同，因为后者y 1≠y 2 ，所以后者不能表示倾斜角是90°的直线． 师：这个问题提得好，但后者形式对称，整齐，便于记忆及应用，所以采用后者作为公式。 师(启发)：两点式公式里面的x 1≠x 2 ，y 1 ≠y 2 ，哪些直线不能用公式表示？

2016年专项练习题集-直线的截距式方程

2016年专项练习题集-直线的截距式方程 选择题 1．对于直线:360l x y ++=的截距，下列说法正确的是 （ ） A ．在y 轴上的截距是6 B ．在x 轴上的截距是2 C ．在x 轴上的截距是2± D ．在y 轴上的截距是6- 【分值】5 【答案】D 【易错点】容易将截距看成距离。 【考查方向】本题主要考查了直线的截距的求法。 【解题思路】令0x =，得y 轴上的截距；令0y =，得x 轴上的截距。 【解析】令0x =，得y 轴上的截距6y =-；令0y =得x 轴上的截距2x =-，故选D 。 2．直线3x －2y －6＝0的截距式方程是 （ ） A ．2x －3 y ＝1 B ．31x ＋2 1-y ＝6 C ．2x ＋3 -y ＝1 D ．31x －2 1 y ＝6 【分值】5 【答案】C

【易错点】容易搞错截距式方程的形式。 【考查方向】本题主要考查了直线的一般式方程与截距式方程的转化。 【解题思路】分别求出直线在x 轴、y 轴上的截距，然后写出截距式方程。 【解析】令0x =，得y 轴上的截距3y =-；令0y =得x 轴上的截距2x =，故截距式方程为 2x ＋3-y ＝1，选C 。 3．已知直线:20l ax y +-=在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是（ ） A ．1 B ．-1 C ．-2 D ．2 【分值】5 【答案】A 【易错点】容易搞错截距式方程的形式。 【考查方向】本题主要考查了直线的截距式方程的应用。 【解题思路】分别求出直线在x 轴、y 轴上的截距，根据截距相等建立方程，求出a 。 【解析】由题意得，直线的截距式方程为122x y a +=，所以221a a =?=，故选A ． 4．直线l 过点(3,4)A -，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍，则直线l 的方程是（ ） A ．220x y ++= B ．220x y ++=或430x y += C ．2110x y -+=

直线的两点式、截距式方程

课题：直线的两点式、截距式方程 一、学习目标： 1.掌握两点式方程并会应用其求直线方程. 2.掌握直线的截距式方程、中点坐标公式. 二、重点：两点式方程、截距式方程及其应用. 难点：截距式方程的应用. 三、学习过程： （1）复习回顾： 1.什么是直线的点斜式方程和斜截式方程？其适用范围是什么？ 2.已知直线上两点),(),,(222111y x p y x p （2121,y y x x ≠≠）如何求出这条直线方程？ （2）导读：阅读课本9795P P -,完成下列问题： 1.给定两个点),(),,(222111y x p y x p .当21x x ≠时,过这两点的直线的斜率 k = .把21p p 或作为定点，由点斜式方程可得过这两点的直线 方程为 .当21y y ≠时可得两点式方程为 . 2. 两点式方程的适用范围是什么？当时，或2121y y x x ==过这两点的 直线方程是什么？ （3）导思： 1.直线l 在x 轴上的截距的定义？直线l 在y 轴上的截距的定义？ 2.已知直线l 与x 轴的交点为A （a,0）,与y 轴的交点为B （0，b ）其 中a .0,0≠≠b 求直线l 的方程. 3.写出直线的截距式方程,其适用范围是什么？ 4.已知点的坐标为 的中点，则为p p p p y x p y x p 21222111),,(),,( 即中点坐标公式. （4）导练： 1.已知三角形的三个顶点A(-5,0),B(3,-3),C(0,2).求BC 边所在直线的方程,以及该边上中线所在直线的方程. 2.求过点p (2,3),并且在两轴上的截距相等的直线方程. 四、达标训练 1.课本97p 1,2,3. 2.课本100p A 组 1.(4)(5)(6),4,7,8. 五、反思小结：

湖南省师范大学附属中学高三数学总复习 直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式教案

湖南师范大学附属中学高三数学总复习教案：直线的倾斜角和斜率 一、教学目标 (一)知识教学点 在直角坐标平面内，已知直线上一点和直线的斜率或已知直线上两点，会求直线的方程；给出直线的点斜式方程，能观察直线的斜率和直线经过的定点；能化直线方程成截距式，并利用直线的截距式作直线． (二)能力训练点 通过直线的点斜式方程向斜截式方程的过渡、两点式方程向截距式方程的过渡，训练学生由一般到特殊的处理问题方法；通过直线的方程特征观察直线的位置特征，培养学生的数形结合能力． (三)学科渗透点 通过直线方程的几种形式培养学生的美学意识． 二、教材分析 1．重点：由于斜截式方程是点斜式方程的特殊情况，截距式方程是两点式方程的特殊情况，教学重点应放在推导直线的斜截式方程和两点式方程上． 2．难点：在推导出直线的点斜式方程后，说明得到的就是直线的方程，即直线上每个点的坐标都是方程的解；反过来，以这个方程的解为坐标的点在直线上． 的坐标不满足这个方程，但化为y-y1=k(x-x1)后，点P1的坐标满足方程． 三、活动设计 分析、启发、诱导、讲练结合． 四、教学过程 (一)点斜式 已知直线l的斜率是k，并且经过点P1(x1，y1)，直线是确定的，也就是可求的，怎样求直线l的方程(图1-24)？

设点P(x，y)是直线l上不同于P1的任意一点，根据经过两点的斜率公式得 注意方程(1)与方程(2)的差异：点P1的坐标不满足方程(1)而满足方程(2)，因此，点P1不在方程(1)表示的图形上而在方程(2)表示的图形上，方程(1)不能称作直线l的方程． 重复上面的过程，可以证明直线上每个点的坐标都是这个方程的解；对上面的过程逆推，可以证明以这个方程的解为坐标的点都在直线l上，所以这个方程就是过点P1、斜率为k的直线l的方程． 这个方程是由直线上一点和直线的斜率确定的，叫做直线方程的点斜式． 当直线的斜率为0°时(图1-25)，k=0，直线的方程是y=y1． 当直线的斜率为90°时(图1-26)，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1．

直线的两点式与截距式方程(教学设计)

3.2.2 直线的两点式与截距式方程（复习设计） 教学目标 1、知识与技能 （1）掌握直线方程的两点的形式特点及适用范围； （2）了解直线方程截距式的形式特点及适用范围. 2、过程与方法 让学生掌握直线的两点式方程的推导过程，学会分析、比较，有特殊情况特殊处理的意识. 3、情态与价值观 感受两点确定一条直线这一几何意义的代数转化，体验解析几何的代数美感. 教学重点、难点： 1、 重点：直线方程两点式。 2、难点：两点式推导过程的理解及截据式方程. 教学过程 （一）复习回顾，新课导入 复习：已经学过的点斜式方程和斜截式方程及其特点 思考：已知直线经过两点P 1(x 1,y 1)，P 2(x 2,y 2)，(x 1≠x 2 ,y 1≠y 2),如何求出这两个点的直线方程呢？ 生：经过一点，且已知斜率的直线，可以写出它的点斜式方程. 可以先求出斜率，再选择一点，得到点斜式方程. （二）师生互动，讲解新课 例1：利用点斜式解答如下问题： （1）已知直线l 经过两点)5,3(),2,1(21P P ,求直线l 的方程. （2）已知两点),(),,(222211y x P x x P 其中),(2121y y x x ≠≠，求通过这两点的直线方程. 教师引导学生：根据已有的知识，要求直线方程，应知道什么条件？能不能把问题转化为已经解决的问题呢？在此基础上，学生根据已知两点的坐标，先判断是否存在斜率，然后求出直线的斜率，从而可求出直线方程： （1）)1(232-=-x y （2）)(11 2121x x x x y y y y ---=- 教师指出：当21 y y ≠时，方程可以写成 ),(21211 21121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=-- 由于这个直线方程由两点确定，所以我们把它叫直线的两点式方程，简称两点式（two-point form ）. 若点),(),,(222211y x P x x P 中有21x x =，或21y y =，此时这两点的直线方程是什么？ 教师引导学生通过画图、观察和分析，发现当21 x x =时，直线与x 轴垂直，所以直线方程为：1x x =；当21y y =时，直线与y 轴垂直，直线方程为：1y y =. 变式训练1：（课本P97练习 NO ：1） 例2： 已知直线l 与x 轴的交点为A )0,(a ，与y 轴的交点为B ),0(b ，其中0,0≠≠b a ，求直线l 的方程.

直线方程的两点式、截距式和一般式

全方位教学辅导教案 学科：数学任课教师：夏应葵授课时间：2013年4 月 1 8 日星期四学号 姓名林康性别男年级高一总课次: 第3 8 次课 教学 内容 直线方程的两点式、截距式和一般式 重点 难点 直线方程的两点式、截距式和一般式 教学目标 使学生掌握直线方程的两点式，掌握直线方程的截距式，掌握直线方程的一般式，并能灵活运用知识解决相关问题。 教学过程课前 检查 与交 流 作业完成情况： 交流与沟通： 针 对 性 授 课 一、课前练习 1.若经过点P（1－a，1＋a）和Q（3，2a）的直线的倾斜角为钝角，求实数a的取值范围。 2.已知经过点A（－2，0）和点B（1，3a）的直线 1 与经过点P（0，－1）和点 Q（a，－2a）的直线 2 互相垂直，求实数a的值。

3. 直线l 1的倾斜角为30°，直线l 2⊥,l 1，则直线l 2的斜率为 ( ) A.3 B.－3 C.3 3 D.－ 33 4. 经过两点A （2，1），B （1，m 2 ）的直线L 的倾斜角为锐角，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＜1 B.m ＞ -1 C.-1＜m ＜1 D.m ＞1或m ＜-1 5．过点A (2, b )和点B (3, －2)的直线的倾斜角为45°,则b 的值是 ( ) A.－1 B.1 C.－3 D.3 6.直线x y 31=-的斜率是 ，倾斜角是 。 7.设直线经过)1,2(),2,1(N M -，求此直线的方程。

8.已知直线l：2 + =kx y经过点)1,1( P，求直线l的倾斜角和斜率。 9.已知两直线n tx y l m x y l+ = + =: , 2 : 2 1，且 1 l⊥ 2 l，)1 ,2( 2 1 - = ?P l l，求这两条直线 的方程。 10.直线)2 (2 2+ - = -x y的斜率是，在y轴上的截距是；已知直线经过点)8 ,2 (- - P，若它垂直于y轴，则它的方程是，若它平行于y轴，则它的方程是，若它的倾斜角是1350，则它的方程是，若它在y轴上的截距是3，则它的方程是。

平面及其方程习题解析

6.3 一、单选题 1、平面330x y z +--=的截距式方程为（ ）. A 3(1)0x y z +--= B 133 x z y +-= C 33x y z +-= D 13y x z +-= 答案： B 解析： 根据截距式方程的标准形式， 可将平面的一般式方程330x y z +--=，化为 133x z y +-=. 2、过三点1(0,1,0)M -, 2(1,0,1)M , 3(1,1,1)M -的平面的一般式方程为（ ）. A 32(1)0x y z -+-= B 3220x y z --+= C 3220x y z ---= D 1232 x z y --= 答案： C 解析： 方法一 直接求平面的一般方程 . 设平面的一般方程为0Ax By Cz D +++= ①，将已知的三个点123,,M M M 坐标 分别代入方程①中, 即有方程组0 00B D A C D A B C D -+=??++=??+-+=? , 运用中学学过的消元法解方程组, 用D

来表示,,A B C , 可得3212 B D A D C D ??=??=-???=?? , 因此, 所求平面的一般方程为 310,22D x D y D z D -?+?+?+=方程两边同时除以2 D -化简得3220x y z ---=. 方法二 先求平面的点法式方程, 再化为一般方程 . 将三个点任意连成两个向量, 不妨作1213,,M M M M 则有1213(1,1,1),(1,2,1),M M M M ==-从1213,M M M M 的坐标可以看出这两个向量并不平行, 可以通过这两个向量 求出平面方程的法向量1213111121i j k n M M M M =?=- 11111132.211112 i j k i j k =+=-++--- 再从123,,M M M 中任取一点, 不妨就取1(0,1,0)M -, 根据点法式, 可得所求的平面方程(3)(0)2(1)1(0)0,x y z -?-+?++?-=化为平面的一般方程即3220x y z ---=. （大家还可以想想其他方法.） （做选择题也可以用代入法，将平面上点的坐标逐个代入四个选项检验。） 3、过点1(1,1,2)M -, 2(2,0,4)M 且平行于x 轴的平面的一般式方程为（ ）. A 240y z -+= B 124y z -= C 024 y z -= D 240y z --= 答案： A 解析： 首先，由于所求平面平行于x 轴，因此可设平面方程为0By Cz D ++= . 方法一 直接求平面的一般方程 . 将已知的两个个点12,M M 坐标分别代入平面方程0By Cz D ++=中,

直线的斜截式方程和截距式方程教案

教学题目：直线的斜截式方程和直线的截距式方程 教学目标： 1、掌握直线的斜截式方程和直线的截距式方程直线的截距式方程（直线方程截距式）的形式特点及适用范围； 2、会灵活运用直线的斜截式方程和直线的截距式方程（直线方程截距式）解答相关问题. 教学内容： 1、直线的斜截式方程和直线的截距式方程（直线方程的截距式）的形式特点及适用范围； 2、运用直线的斜截式方程和直线的截距式方程（直线方程截距式）解答相关问题. 教学重点：运用直线的斜截式方程和直线的截距式方程（直线方程截距式）解答相关问题. 教学难点：运用直线的斜截式方程和直线的截距式方程（直线方程截距式）解答相关问题. 教学方法：讲授法、练习法. 教学过程： 一、创设情境，兴趣导入 问题1：学生练习：已知直线经过点()13,2P 、()21,1P --，利用直线的两点式方程公式，求该直线的方程. 解：直线经过点()13,2P 、()21,1P --，求直线的方程. 由直线的两点式方程()1112122121 ,y y x x x x y y y y x x --=≠≠--得 231213 y x --=----， 化简得： 3410x y --=. 问题2、已知直线l 与x 轴的交点为(),0A a ，与y 轴的交点为()0,B b ，其中0a ≠，0b ≠，根据直线的两点式方程求直线l 的方程. 问题3、已知直线l 与x 轴的交点为(),0A a ，与y 轴的交点为()0,B b ，其中0a ≠，0b ≠，求直线l 的斜截式方程. 设计意图： 教师引导学生：根据已有的知识，要求直线方程，应知道什么条件？能不能把问题转化为已经解决的问题呢？在此基础上，学生根据已知两点的坐标，先判断是否存在斜率，然后求出直线的斜率，可求出直线方程，从而引出直线的截距式方程. 二、师生协作，探究新知 问题2、已知直线l 与x 轴的交点为(),0A a ，与y 轴的交点为()0,B b ，其中0a ≠，0b ≠，求直线l 的斜截式方程. 解：根据直线的点斜式方程()00y y k x x -=-得，直线l 的方程为：

高中数学例题：截距式直线方程

高中数学例题：截距式直线方程 例4．求过点P （2，－1），在x 轴、y 轴上的截距分别为a 、b ，且满足a=3b 的直线方程。 【答案】x+3y+1=0或12 y x =- 【解析】 若a=3b ≠0，设所求直线的方程为1x y a b +=，即13x y b b +=。 又∵直线过点P （2，－1）， ∴ 2113b b -+=，解得1 3 b =-。 故所求直线方程为11 13 x y +=--，即x+3y+1=0。 若a=3b=0，则所求直线过原点，可设方程为y=kx 。 ∵该直线过点P （2，－1）， ∴－1=2k ，12 k =-。 故所求直线方程为12 y x =-。 综上所述，所求直线的方程为x+3y+1=0或1 2 y x =-。 【点评】应用截距式求直线方程时，一定要注意讨论截距是否为零。 举一反三： 【变式1】直线l 过点（―3，4），且在两坐标轴上的截距之和为12，求直线l 的方程． 【答案】x+3y －9=0或4x －y+16=0 【解析】 由于直线在两坐标轴上的截距之和为12，因此直线l 在两坐标轴上的截距都存在且不为零，故可设为截距式直线方程．

设直线l 的方程为1x y a b +=，则a+b=12． ① 又直线l 过点（－3，4），∴34 1a b -+=． ② 由①②解得93a b =?? =?或4 16a b =-??=? 。 故所求的直线方程为19 3 x y +=或1416 x y +=-， 即x+3y －9=0或4x －y+16=0． 【变式2】求过点（4，―3）且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l 的方程。 【答案】x+y=1 x ―y=7 3x+4y=0 【解析】 解法一：设直线在x 轴、y 轴上的截距分别为a 、b 。 （1）当a ≠0，b ≠0时，设l 的方程为1x y a b +=。 ∵点（4，－3）在直线上， ∴43 1a b -+ =。 若a=b ，则a=b=1，直线方程为x+y=1。 若a=―b ，则a=7，b=―7，此时直线方程为x ―y=7。 （2）当a=b=0时，直线过原点，且过点（4，―3）， ∴直线的方程为3x+4y=0。 综上知，所求直线方程为x+y ―1=0或x ―y ―7=0或3x+4y=0。 解法二：设直线l 的方程为y+3=k(x ―4)， 令x=0，得y=―4k ―3； 令y=0，得43 k x k += 。 又∵直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等。