三角函数定义及公式

第一章直角三角形的边角关系

§1.1.1 从梯子的倾斜程度谈起

介休三中焦春霖

教学目标

1、经历探索直角三角形中边角关系的过程

2、理解锐角三角函数（正切、正弦、余弦）的意义，并能够举例说明

3、能够运用三角函数表示直角三角形中两边的比

4、能够根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算

教学重点和难点

重点：理解正切函数的定义

难点：理解正切函数的定义

教学过程设计

一、从学生原有的认知结构提出问题

直角三角形是特殊的三角形，无论是边，还是角，它都有其它三角形所没有的性质。这一章，我们继续学习直角三角形的边角关系。

二、师生共同研究形成概念

1、梯子的倾斜程度

在很多建筑物里，为了达到美观等目的，往往都有部分设计成倾斜的。这就涉及到倾斜角的问题。用倾斜角刻画倾斜程度是非常自然的。但在很多实现问题中，人们无法测得倾斜角，这时通常采用一个比值来刻画倾斜程度，这个比值就是我们这节课所要学习的--倾斜角的正切。

1）（重点讲解）如果梯子的长度不变，那么墙高与地面的比值越大，则梯子越陡；

2）如果墙的高度不变，那么底边与梯子的长度的比值越小，则梯子越陡；

3）如果底边的长度相同，那么墙的高与梯子的高的比值越大，则梯子越陡；

通过对以上问题的讨论，引导学生总结刻画梯子倾斜程度的几种方法，以便为后面引入正切、正弦、余弦的概念奠定基础。

2、想一想（比值不变）

☆想一想书本P 3 想一想

通过对前面的问题的讨论，学生已经知道可以用倾斜角的对边与邻边之比来刻画梯子的倾斜程度。当倾斜角确定时，其对边与邻边的比值随之确定。这一比值只与倾斜角的大小有关，而与直角三角形的大小无关。

3、正切函数

（1）明确各边的名称

（2）

（3）明确要求：1）必须是直角三角形；2）是∠A的对边与∠A的邻边的比值。

☆巩固练习

a、如图，在△ACB中，∠C = 90°，

1）tanA = ；tanB = ；

2）若AC = 4，BC = 3，则tanA = ；tanB = ；

3）若AC = 8，AB = 10，则tanA = ；tanB = ；

b、如图，在△ACB中，tanA = 。（不是直角三角形）

（4）tanA的值越大，梯子越陡

4、讲解例题

例1 图中表示甲、乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？

分析：通过计算正切值判断梯子的倾斜程度。这是上述结论的直接应用。

例2 如图，在△ACB中，∠C = 90°，AC = 6，，求BC、AB的长。

分析：通过正切函数求直角三角形其它边的长。

5、正切函数的应用

书本P 5

教师可以介绍概念

坡度与坡角

结合图6-34讲述坡度概念，并板书：坡面的铅直高度h和水

平宽度的比叫做坡度（或叫做坡比），一般用i表示。即ｉ＝，

把坡面与水平面的夹角α叫做坡角．

引导学生结合图形思考，坡度i与坡角α之间具有什么关系？

答：i＝＝tan

这一关系在实际问题中经常用到。

设置练习，加以巩固．

练习(1)一段坡面的坡角为60°，则坡度i=______；，坡角______度．

为了加深对坡度与坡角的理解，培养学生空间想象力。

还可以提问：

(1)坡面铅直高度一定，其坡角、坡度和坡面水平宽度有什么关系？举例说明．

(2)坡面水平宽度一定，铅直高度与坡度有何关系，举例说明．

答：(1)

如图，铅直高度AB一定，水平宽度BC增加，α将变小，坡度减小，

因为tan＝，AB不变，tan随BC增大而减小

与(1)相反，水平宽度BC不变，α将随铅直高度增大而增大，tanα也随之增大，因为tan=不变时，tan随AB的增大而增大

三、随堂练习

1、书本P 6 随堂练习

2、《练习册》P 1

四、小结

正切函数的定义。

五、作业

书本P 6 习题1.1 1、2。

六、教学后记