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1第一讲 圆的性质

1第一讲 圆的性质

1第一讲 圆的性质

第一讲圆的性质

【知识要点】

基本概念:

1. 圆的定义:(1)在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点

A随之旋转所形成的图形叫做圆,固定的端点叫圆心,线段OA叫做半径;(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合。

2.点和圆的位置关系:如果圆的半径是r,点到圆心的距离为d,那么:

(1)点在圆外d r

?<。

?>;(2)点在圆上d r

?=;(3)点在圆内d r

3.与圆有关的概念:

(1)弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦。

(2)直径:经过圆心的弦叫做直径。

(3)弧:圆上任意两点间的部分叫弧。

优弧:大于半圆的弧叫做优弧。

劣弧:小于半圆的弧叫做劣弧。

半圆:圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧.都叫做半圆。

(4)同心圆:圆心相同,半径不相等

.....的两个圆叫做同心圆。

(5)弓形:由弦及其所对的弧

......组成的图形叫做弓形。(一弦对两弧)

(6)等圆:能够重合的两个圆叫做等圆。(圆心不同)

(7)等弧

..:在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧。(在大小不等的两个圆中,不存在等弧)

1、圆心角和圆周角的的关系

(1)圆周角的定义:顶点在圆上,两边分别与圆还有另外两个交点的角

(2)圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

(3)推论:同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等

(4)推论:半圆或直径所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径

2、确定圆的条件:不在同一直线上的三个点确定一个圆

3、一、确定一个圆有两要素,一是,二是,圆心确定、半径确定;圆既是对称图形,又是对称图形;它的对称中心是,对称轴是,有条对称轴。

二、垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平弦所对的弧。D

1第一讲 圆的性质

1第一讲 圆的性质

推论:圆的两条平行弦所夹的弧相等. 即:如图,若AB ⊥CD ,

则有AP PB ,AC ︵ CB ︵

,AD=

三、在同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦三组量之间,如果有一组量相等,那么,它们所对应的其它量也相等。

典型题:

如图,AB 、CD 是⊙O 的两条弦

①若AB=CD , 则有 = , = ②若AB=CD , 则有 = , = ③若∠AOB=∠COD , 则有 = , =

四、在在同圆或等圆中,同弧或等弧所对圆周角 ,相等的圆周角所对的弧 ,同弧或等弧所对圆周角是其所对的圆心角的 。

1、如图,AB 、AC 、BC 都是⊙O 的弦,∠CAB =∠CBA ,∠COB 与∠COA 相等吗?为什么?

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2、如图,∠A 是⊙O 的圆周角,∠A =30°,则∠BOC= °,∠OBC= °

五、半圆或直径所对的圆周角都是 °,90°的圆周角所对的弦是圆是 。: 1、如图,AB 是⊙O 的直径,∠DCB=30°, 则∠ACD= °,∠ABD= °

2.如图,⊙O 的直径AB=10,弦BC=5,∠B= °

【典型例题】

【例1】下列命题正确的是( )

A .相等的圆周角对的弧相等

B .等弧所对的弦相等

C .三点确定一个圆

D .平分弦的直径垂直于弦. 【例2】填空:

⑴ 一条弦把圆分成3:1两部分,则劣弧所对的圆心角的度 ⑵ 等边△ABC 内接于⊙O ,∠AOB= 度。

【例3】 ⊙O 的半径为4 cm ,若线段OA 的长为10 cm ,则OA 的中点B 在⊙O 的______,

O

D

C

B

A

O

D

C B

A

O

C

B

A

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若线段OA 的长为6 cm ,则OA 的中点B 在⊙O 的______。

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【例4】一个点到圆的最大距离为1l cm ,最小距离为5 cm ,则圆的半径为______。 【例5】P(x ,y)是以坐标原点为圆心,5为半径的圆周上的点,若x 、y 都是整数,则这样的点共有 ( )

A 4个

B 8个

C 12个

D 16个 例7、在下列各图中∠а1= ,∠а2= ,∠а3= ,∠а4= .

1

2

3

|á4£¨1£?

£¨2£?

O

O

O

£¨3£?

O

75??

120??30??

110??

£¨4£?

例8、如图,A 、B 、C 为⊙O 上三点,已知∠OAB=46°,求∠ACB

的度数.

例9.如图,AB 为半圆O 的直径,弦AD 、BC 相交于点P ,若 CD=3,AB=4,求tan ∠BPD 的值.

例10.点A 、B 、C 在半径为2cm 的⊙O 上,若BC=23cm, 求∠A 的度数

C

B

A

O D C

B

P

A

O

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A

B

C

D

O

【经典练习】

1、如图1-3-7,A 、B 、C 是⊙O 上的三点,∠BAC=30° 则∠BOC 的大小是( ) A .60○

B .45○

C .30

D .15○

2、如图,AB 为⊙O 的直径,C 、D 是⊙O 上的两点,∠BAC=20°, A D = C

D , 则∠DAC 的度数是( )

(A)30° (B) 35° (C) 45° (D) 70°

3、如图1-3-16,PA 为⊙O 的切线,A 为切点,PO 交 ⊙O 于 点B ,PA=4,OA=3,则cos ∠APO 的值为( )

3344.

.

.

.

4553

A B C D

4、PA 切⊙O 于A ,PA = 3,∠APO = 300,则PO 的为( ) A 32 B 2 C 1 D 34

5、如图,若四边形ABCD 是半径为1cm 的⊙O 的内接正方形, 则图中四个弓形(即四个阴影部分)的面积和为( ).

(A )()2cm 22-π (B )()2cm 12-π (C )()2

cm 2-π (D )()2

cm 1-π

6. 如图,OA 和OB 是⊙O 的半径,并且OA ⊥OB ,P 是OA 上任一点,BP 的延长线交⊙O 于点Q ,过点Q 的⊙O 的切线交OA 延长线于点R . (1)求证:RP =RQ ;

(2)若OP =PA =1,试求PQ 的长.

.

A

B C

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D

R B

O

P A Q

1第一讲 圆的性质

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7.如图,四边形ABCD 内接于⊙O ,过A 作AE ∥DB 交CB 的延长线于E .求证:

CD BE AD AB ?=?

8. 已知:如图,Rt ABC ?中,?=∠90ACB ,点O 在AC 上,以O 为圆心、OC 为半径的圆与AB 相切于点D ,交AC 于点E . (1)求证:DE ∥OB ;

(2)若⊙O 的半径为2,4=BC ,求AD 的长.

9.如图1,AB 是⊙O 的一条弦,点C 为 AB 的中点,CD 是⊙O 的直径,过C 点的直线l 交弦AB 于点E ,交⊙O 于点F .

(1)判定图中CEB ∠与FDC ∠的数量关系,并写出结论;给予证明.

E

B

A

D

C

O

A

D

E

B C

l

B

A C

E F

D

·O

·O

·O

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21.如图,已知AB是⊙O的直径,AC是弦,CD切⊙O于点C,交AB?的延长线于点D,∠ACD=120°,BD=10.

(1)求证:CA=CD;(2)求⊙O的半径.