1第一讲 圆的性质
第一讲圆的性质
【知识要点】
基本概念：
1. 圆的定义：（1）在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点
A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点叫圆心，线段OA叫做半径；（2）圆是到定点的距离等于定长的点的集合。
2.点和圆的位置关系：如果圆的半径是r，点到圆心的距离为d，那么：
（1）点在圆外d r
?<。
?>；（2）点在圆上d r
?=；（3）点在圆内d r
3.与圆有关的概念：
（1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。
（2）直径：经过圆心的弦叫做直径。
（3）弧：圆上任意两点间的部分叫弧。
优弧：大于半圆的弧叫做优弧。
劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。
半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧．都叫做半圆。
（4）同心圆：圆心相同，半径不相等
．．．．．的两个圆叫做同心圆。
（5）弓形：由弦及其所对的弧
．．．．．．组成的图形叫做弓形。（一弦对两弧）
（6）等圆：能够重合的两个圆叫做等圆。（圆心不同）
（7）等弧
．．：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。（在大小不等的两个圆中，不存在等弧）
1、圆心角和圆周角的的关系
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，两边分别与圆还有另外两个交点的角
（2）圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
（3）推论：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等
（4）推论：半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径
2、确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆
3、一、确定一个圆有两要素，一是，二是，圆心确定、半径确定；圆既是对称图形，又是对称图形；它的对称中心是，对称轴是，有条对称轴。
二、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平弦所对的弧。D
推论：圆的两条平行弦所夹的弧相等． 即：如图，若AB ⊥CD ，
则有AP PB ，AC ︵ CB ︵
，AD=
三、在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦三组量之间，如果有一组量相等，那么，它们所对应的其它量也相等。
典型题：
如图，AB 、CD 是⊙O 的两条弦
①若AB=CD ， 则有 = ， = ②若AB=CD ， 则有 = ， = ③若∠AOB=∠COD ， 则有 = ， =
四、在在同圆或等圆中，同弧或等弧所对圆周角 ，相等的圆周角所对的弧 ，同弧或等弧所对圆周角是其所对的圆心角的 。
1、如图，AB 、AC 、BC 都是⊙O 的弦，∠CAB ＝∠CBA ，∠COB 与∠COA 相等吗？为什么？
2、如图，∠A 是⊙O 的圆周角，∠A ＝30°，则∠BOC= °，∠OBC= °
五、半圆或直径所对的圆周角都是 °，90°的圆周角所对的弦是圆是 。： 1、如图，AB 是⊙O 的直径，∠DCB=30°， 则∠ACD= °，∠ABD= °
2.如图，⊙O 的直径AB=10，弦BC=5，∠B= °
【典型例题】
【例1】下列命题正确的是( )
A ．相等的圆周角对的弧相等
B ．等弧所对的弦相等
C ．三点确定一个圆
D ．平分弦的直径垂直于弦． 【例2】填空：
⑴ 一条弦把圆分成3:1两部分，则劣弧所对的圆心角的度 ⑵ 等边△ABC 内接于⊙O ，∠AOB= 度。
【例3】 ⊙O 的半径为4 cm ，若线段OA 的长为10 cm ，则OA 的中点B 在⊙O 的______，
O
D
C
B
A
O
D
C B
A
O
C
B
A
若线段OA 的长为6 cm ，则OA 的中点B 在⊙O 的______。
【例4】一个点到圆的最大距离为1l cm ，最小距离为5 cm ，则圆的半径为______。 【例5】P(x ，y)是以坐标原点为圆心，5为半径的圆周上的点，若x 、y 都是整数，则这样的点共有 （ ）
A 4个
B 8个
C 12个
D 16个 例7、在下列各图中∠а1= ，∠а2= ，∠а3= ，∠а4= .
|á
1
|á
2
|á
3
|á4￡¨1￡?
￡¨2￡?
O
O
O
￡¨3￡?
O
75??
120??30??
110??
￡¨4￡?
例8、如图,A 、B 、C 为⊙O 上三点，已知∠OAB=46°,求∠ACB
的度数.
例9.如图,AB 为半圆O 的直径,弦AD 、BC 相交于点P ,若 CD=3,AB=4,求tan ∠BPD 的值.
例10.点A 、B 、C 在半径为2cm 的⊙O 上,若BC=23cm, 求∠A 的度数
C
B
A
O D C
B
P
A
O
A
B
C
D
O
【经典练习】
1、如图1－3－7，A 、B 、C 是⊙O 上的三点，∠BAC=30° 则∠BOC 的大小是（ ） A ．60○
B ．45○
C ．30
○
D ．15○
2、如图，AB 为⊙O 的直径，C 、D 是⊙O 上的两点，∠BAC＝20°， A D ＝ C
D ， 则∠DAC 的度数是( )
(A)30° (B) 35° (C) 45° (D) 70°
3、如图1－3－16，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，PO 交 ⊙O 于 点B ，PA=4，OA=3，则cos ∠APO 的值为（ ）
3344.
.
.
.
4553
A B C D
4、PA 切⊙O 于A ，PA = 3，∠APO = 300，则PO 的为（ ） A 32 B 2 C 1 D 34
5、如图，若四边形ABCD 是半径为1cm 的⊙O 的内接正方形， 则图中四个弓形（即四个阴影部分）的面积和为（ ）．
（A ）()2cm 22-π （B ）()2cm 12-π （C ）()2
cm 2-π （D ）()2
cm 1-π
6. 如图，OA 和OB 是⊙O 的半径，并且OA ⊥OB ，P 是OA 上任一点，BP 的延长线交⊙O 于点Q ，过点Q 的⊙O 的切线交OA 延长线于点R . （1）求证：RP ＝RQ ；
（2）若OP ＝PA ＝1，试求PQ 的长.
.
A
B C
D
R B
O
P A Q
7．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，过A 作AE ∥DB 交CB 的延长线于E ．求证：
CD BE AD AB ?=?
8. 已知：如图，Rt ABC ?中，?=∠90ACB ，点O 在AC 上，以O 为圆心、OC 为半径的圆与AB 相切于点D ，交AC 于点E ． （1）求证：DE ∥OB ；
（2）若⊙O 的半径为2，4=BC ，求AD 的长．
9.如图1，AB 是⊙O 的一条弦，点C 为 AB 的中点，CD 是⊙O 的直径，过C 点的直线l 交弦AB 于点E ，交⊙O 于点F ．
（1）判定图中CEB ∠与FDC ∠的数量关系，并写出结论；给予证明．
E
B
A
D
C
O
A
D
E
B C
l
B
A C
E F
D
·O
·O
·O
21．如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，CD切⊙O于点C，交AB?的延长线于点D，∠ACD=120°，BD=10．
（1）求证：CA=CD；（2）求⊙O的半径．