专题1：函数问题的题型与方法

专题一函数问题的题型与方法

【考点审视】

本单元在高考中试题类型与特点有：

1．集合、映射、简易逻辑、四种命题一般都是基本题，综合性题目少，且综合性的深度较小．解答题少．今年理科试题中没有出现本单元的解答题型．2．函数及其性质考查更是高考函数试题的主干，是中学与大学数学相衔接的重要内容，是承上启下的必备知识，也是历年高考的热点．本考点每年必考。近年高考

对函数知识的考查，除了保持函数各知识点比较高的覆盖面外，还强化了对函数

本质和函数应用的考查，体现了函数知识考查的深度和广度，函数的概念的考察

多数是与其它知识以综合题的形式出现，有关函数的综合题较难。

具体考查：

（1）常见初等函数的图像及其性质，其中二次函数及其对数函数更为重要，属中档题；

（2）考查函数与方程、不等式、三角、数列、曲线方程、导数（尤其要重视与导数的结合）等知识的交叉渗透及其应用，属中、高档题；

（3）考查以函数为模型的实际应用题，让考生从数学角度观察事物、阐释现象，分析解决问题，属中档题；

（4）变函数的具体形式为抽象形式，用以考查抽象思维水平，以及将抽象与具体进行相互转化的思维能力，可结合在函数的各种题型中进行考查。

【疑难点拔】

一．本章重点、难点及知识体系

1．集合与简易逻辑在中学数学教材中并不是新增内容，在过去的教材中散见于各章知识。而在新教材中将其整合到一起，单独列为一章，置于高中数学教材之首，足见其在数学中的基础地位，是进一步学习近现代数学的必要基础知识。其内容为集合的概念及其运算、逻辑联结词、四种命题及其相互关系、充要条件。本单元内容还初步体现了中学数学中的数形结合、分类讨论、函数与方程、化归的数学思想。由于其在数学中的基础地位，在复习中不宜深入展开，只要灵活掌握知识点的小型综合即可。

2．函数是中学数学的重要内容，像一条红线贯穿在整个中学数学之中，函数这一单元的知识有五个特点：

（1）内容的丰富性：“函数”这一单元包括函数的概念和记号，函数的定义域、值域和对应规律，函数的图像，函数的单词性、奇偶性和周期性，反函数、指数函数

和对数函数，此外，一次函数、二次函数、反比例函数虽然是在初中所学，但在

高中阶段的“函数”一章中完成它的深化过程。

（2）强烈的渗透性：函数网络具有强大的渗透和辐射功能，函数与中学数学中的绝大部分内容都有联系，与数列、不等式、解析几何、复数、立体几何等均有着千丝

万缕的联系．

（3）高度的思想性：“函数”这一章蕴含着中学数学中重要的数学思想，如函数的思想、分类讨论的思想、数形结合的思想、化归思想等。

（4）与高等数学衔接的紧密性：函数与极限、微分、积分、概率、统计等数学内容联系非常紧密。

（5）知识的应用性：函数知识在日常生活、生产、科学技术及其他学科中有着广泛的

函数问题的题型与方法

应用。

对函数及其性质这部分内容的考查，可分横向和纵向两个方面，横向涉及的函数有：一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等基本初等函数；还有由基本初等函数迭加和复合成的一次分式、二次分式函数以及复合函数等．纵向即函数的性质：定义(解析式、定义域、值域)、单调性、奇偶性、最值、周期性、对称性等．函数问题几乎涉及中学数学所有数学思想和方法，如数形结合思想、函数与方程的思想、分类讨论思想和等价转化的思想等．解函数问题用到很多典型的数学方法，如配方法、待定系数法、数学归纳法、消元法、反证法、比较法、代人法等．因此，学好中学数学，提高高考复习效率，函数这部分内容是基础，也是重点．

二．本章重点解决以下四个问题：

1．准确地理解函数有关的概念；

2．充分揭示函数与其它知识的联系；

3．熟练运用函数思想，分类讨论思想和数形结合思想解题；

4．深刻认识函数的实质，强化应用意识。

上述四个问题同时也是本章的难点。

三．根据最近几年命题立意的发展变化，宜运用以下应试对策：

1．在复习中首先把握基础性知识，深刻理解本单元的基本知识点、基本数学思想和基本数学方法．重点掌握集合、充分条件与必要条件的概念和运算方法．要真正掌握数形结合思想——用文氏图解题．

2．涉及本单元知识点的高考题，综合性大题不多．所以在复习中不宜做过多过高的要求，只要灵活掌握小型综合题型(如集合与映射，集合与自然数集，集合与不等式，集合与方程等，充分条件与必要条件与三角、立几、解几中的知识点的结合等) 映射的概念以选择题型出现，难度不大。就可以了

3．活用“定义法”解题。定义是一切法则与性质的基础，是解题的基本出发点。利用定义，可直接判断所给的对应是否满足映射或函数的条件，证明或判断函数的单调性与奇偶性并写出函数的单调区间等。

4．重视“数形结合”渗透。“数缺形时少直观，形缺数时难入微”。当你所研究的问题较为抽象时，当你的思维陷入困境时，当你对杂乱无章的条件感到头绪混乱时，一个很好的建议便是：画个图!利用图形的直观性，可迅速地破解问题，乃至最终解决问题。 5．实施“定义域优先”原则。函数的定义域是函数最基本的组成部分，任何对函数性质的研究都离不开函数的定义域。例如，求函数的单调区间，必须在定义域范围内；通过求出反函数的定义域，可得到原函数的值域；定义域关于原点对称，是函数为奇函数或偶函数的必要条件。为此，应熟练掌握求函数定义域的原则与方法，并贯彻到解题中去。 6．强化“分类思想”应用。指数函数与对数函数的性质均与其底数是否大于1有关；对于根式的意义及其性质的讨论要分清n是奇数还是偶数等。

【教学过程】

一．函数的概念型问题

函数概念的复习当然应该从函数的定义开始．函数有二种定义，一是变量观点下的定义，一是映射观点下的定义．复习中不能仅满足对这两种定义的背诵，而应在判断是否构成函数关系，两个函数关系是否相同等问题中得到深化，更应在有关反函数问题中正确运用．具体要求是：

1．深化对函数概念的理解，明确函数三要素的作用，并能以此为指导正确理解函数与其反函数的关系．

函数问题的题型与方法

函数问题的题型与方法

2．系统归纳求函数定义域、值域、解析式、反函数的基本方法．在熟练有关技能的同时，注意对换元、待定系数法等数学思想方法的运用．

3．通过对分段定义函数，复合函数，抽象函数等的认识，进一步体会函数关系的本质，进一步树立运动变化，相互联系、制约的函数思想，为函数思想的广泛运用打好基础．

本部分内容的重点是不仅从认识上，而且从处理函数问题的指导上达到从三要素总体上把握函数概念的要求，对确定函数三要素的常用方法有个系统的认识，对于给出解析式的函数，会求其反函数．

本部分的难点首先在于克服“函数就是解析式”的片面认识，真正明确不仅函数的对应法则，而且其定义域都包含着对函数关系的制约作用，并真正以此作为处理问题的指导．其次在于确定函数三要素、求反函数等课题的综合性，不仅要用到解方程，解不等式等知识，还要用到换元思想、方程思想等与函数有关概念的结合．

函数的概念是复习函数全部内容和建立函数思想的基础，不能仅满足会背诵定义，会做一些有关题目，要从联系、应用的角度求得理解上的深度，还要对确定函数三要素的类型、方法作好系统梳理，这样才能进一步为综合运用打好基础．复习的重点是求得对这些问题的系统认识，而不是急于做过难的综合题．

㈠深化对函数概念的认识

例1．下列函数中，不存在反函数的是 （ ）

分析：处理本题有多种思路．分别求所给各函数的反函数，看是否存在是不好的，因为过程太繁琐．

从概念看，这里应判断对于给出函数值域内的任意值，依据相应的对应法则，是否在其定义域内都只有惟一确定的值与之对应，因此可作出给定函数的图象，用数形结合法作判断，这是常用方法，请读者自己一试．

此题作为选择题还可采用估算的方法．对于D ，y=3是其值域内一个值，但若y=3，则可能x=2(2＞1)，也可能x=-1(-1≤-1)．依据概念，则易得出D 中函数不存在反函数．于是决定本题选D ．

说明：不论采取什么思路，理解和运用函数与其反函数的关系是这里解决问题的关键． 由于函数三要素在函数概念中的重要地位，那么掌握确定函数三要素的基本方法当然成了函数概念复习中的重要课题．

㈡确定函数三要素的基本类型与常用方法

1．求函数定义域的基本类型和常用方法

由给定函数解析式求其定义域这类问题的代表，实际上是求使给定式有意义的x 的取值范围．它依赖于对各种式的认识与解不等式技能的熟练．这里的最高层次要求是给出的解析式还含有其他字

例2．已知函数()f x 定义域为(0，2)，求下列函数的定义域：

分析：x的函数f(x2)是由u=x2与f(u)这两个函数复合而成的复合函数，其中x是

自变量，u是中间变量．由于f(x)，f(u)是同一个函数，故(1)为已知0＜u＜2，即0＜x2＜2．求x的取值范围．

解：(1)由0＜x2＜2，得

说明：本例(1)是求函数定义域的第二种类型，即不给出f(x)的解析式，由f(x)的定义域求函数f[g(x)]的定义域．关键在于理解复合函数的意义，用好换元法．(2)是二种类型的综合．

求函数定义域的第三种类型是一些数学问题或实际问题中产生的函数关系，求其定义域，后面还会涉及到．

2．求函数值域的基本类型和常用方法

函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的．其类型依解析式的特点分可分三类：(1)求常见函数值域；(2)求由常见函数复合而成的函数的值域；(3)求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域．

3．求函数解析式举例

例3．已知xy＜0，并且4x2-9y2=36．由此能否确定一个函数关系y=f(x)？如果能，求出其解析式、定义域和值域；如果不能，请说明理由．

分析： 4x2-9y2=36在解析几何中表示双曲线的方程，仅此当然不能确定一个函数关系y=f(x)，但加上条件xy＜0呢？

函数问题的题型与方法

所以

因此能确定一个函数关系y=f(x)．其定义域为(-∞，-3)∪(3，+∞)．且不难得到其值域为(-∞，0)∪(0，＋∞)．

说明：本例从某种程度上揭示了函数与解析几何中方程的内在联系．任何一个函数的解析式都可看作一个方程，在一定条件下，方程也可转化为表示函数的解析式．求函数解析式还有两类问题：

(1)求常见函数的解析式．由于常见函数(一次函数，二次函数，幂函数，指数函数，对数函数，三角函数及反三角函数)的解析式的结构形式是确定的，故可用待定系数法确定其解析式．这里不再举例．

(2)从生产、生活中产生的函数关系的确定．这要把有关学科知识，生活经验与函数概念结合起来，举例也宜放在函数复习的以后部分．

二．函数与方程的思想方法

函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。

方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。函数和多元方程没有什么本质的区别，如函数y＝f(x)，就可以看作关于x、y的二元方程f(x)－y＝0。可以说，函数的研究离不开方程。列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。

函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：f(x)、f 1(x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。另外，方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。

(一)函数的性质

函数的性质是研究初等函数的基石，也是高考考查的重点内容．在复习中要肯于在对定义的深入理解上下功夫．

复习函数的性质，可以从“数”和“形”两个方面，从理解函数的单调性和奇偶性的定义入手，在判断和证明函数的性质的问题中得以巩固，在求复合函数的单调区间、函数的最值及应用问题的过程中得以深化．具体要求是：

1．正确理解函数单调性和奇偶性的定义，能准确判断函数的奇偶性，以及函数在某一区间的单调性，能熟练运用定义证明函数的单调性和奇偶性．

2．从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，深化对函数性质几何特征的理解和运用，归纳总结求函数最大值和最小值的常用方法．

函数问题的题型与方法

3．培养学生用运动变化的观点分析问题，提高学生用换元、转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力．

这部分内容的重点是对函数单调性和奇偶性定义的深入理解．

函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论．函数y=f(x)在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，但不一定是函数在定义域上的整体性质．函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制．对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)这两个等式上，要明确对定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称．这是函数具备奇偶性的必要条件．稍加推广，可得函数f(x)的图象关于直线x=a对称的充要条件是对定义域内的任意x，都有f(x+a)=f(a-x)成立．函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的反映．

这部分的难点是函数的单调性和奇偶性的综合运用．根据已知条件，调动相关知识，选择恰当的方法解决问题，是对学生能力的较高要求．

1．对函数单调性和奇偶性定义的理解

例4．下面四个结论：①偶函数的图象一定与y轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的图象关于y轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0(x∈R)，其中正确命题的个数是（）

A．1 B．2 C．3 D．4

分析：偶函数的图象关于y轴对称，但不一定相交，因此③正确，①错误．

奇函数的图象关于原点对称，但不一定经过原点，因此②不正确．

若y=f(x)既是奇函数，又是偶函数，由定义可得f(x)=0，但不一定x∈R，如例1中的(3)，故④错误，选A．

说明：既奇又偶函数的充要条件是定义域关于原点对称且函数值恒为零．

2．复合函数的性质

复合函数y=f[g(x)]是由函数u=g(x)和y=f(u)构成的，因变量y通过中间变量u与自变量x建立起函数关系，函数u=g(x)的值域是y=f(u)定义域的子集．复合函数的性质由构成它的函数性质所决定，具备如下规律：

(1)单调性规律

如果函数u=g(x)在区间［m，n］上是单调函数，且函数y=f(u)在区间[g(m)，g(n)] (或[g(n)，g(m)])上也是单调函数，那么

若u=g(x)，y=f(u)增减性相同，则复合函数y=f[g(x)]为增函数；若u=g(x)，y= f(u)增减性不同，则y=f[g(x)]为减函数．

(2)奇偶性规律

若函数g(x)，f(x)，f[g(x)]的定义域都是关于原点对称的，则u=g(x)，y=f(u)都是奇函数时，y=f[g(x)]是奇函数；u=g(x)，y=f(u)都是偶函数，或者一奇一偶时，y= f[g(x)]是偶函数．

(2-ax)在［0，1］上是x的减函数，则a的取值范围是（）例5．若y=log

a

A．(0，1) B．(1，2) C．(0，2) D．[2，+∞)

分析：本题存在多种解法，但不管哪种方法，都必须保证：①使log

(2-ax)有意义，

a

(2-ax)在[0，1]上是x的减函数．由于所给函数可即a＞0且a≠1，2-ax＞0．②使log

a

分解为y=log

u，u=2-ax，其中u=2-ax在a＞0时为减函数，所以必须a＞1；③[0，1]

a

函数问题的题型与方法

函数问题的题型与方法

必须是y=log a (2-ax)定义域的子集．

解法一：因为f(x)在［0，1］上是x 的减函数，所以f(0)＞f(1)，

即log a 2＞log a (2-a)．

解法二：由对数概念显然有a ＞0且a ≠1，因此u=2-ax 在［0，1］上是减函数，y= log a u 应为增函数，得a ＞1，排除A ，C ，再令

故排除D ，选B ．

说明：本题为1995年全国高考试题，综合了多个知识点，无论是用直接法，还是用排除法都需要概念清楚，推理正确．

3．函数单调性与奇偶性的综合运用

例6．甲、乙两地相距Skm ，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c km ／h ，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(km ／h)的平方成正比，比例系数为b ；固定部分为a 元．

(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(km ／h)的函数，并指出这个函数的定义域；

(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶．

分析：(1)难度不大，抓住关系式：全程运输成本=单位时间运输成本×全程运输时间，而全程运输时间=(全程距离)÷(平均速度)就可以解决．

故所求函数及其定义域为

但由于题设条件限制汽车行驶速度不超过ckm ／h ，所以(2)的解决需要

论函数的增减性来解决．

函数问题的题型与方法

由于v 1v 2＞0，v 2-v 1＞0，并且

又S ＞0，所以即

则当v=c 时，y 取最小值．

说明：此题是1997年全国高考试题．由于限制汽车行驶速度不得超过c ，因而求最值的方法也就不完全是常用的方法，再加上字母的抽象性，使难度有所增大．

（二）函数的图象

1．掌握描绘函数图象的两种基本方法——描点法和图象变换法．

2．会利用函数图象，进一步研究函数的性质，解决方程、不等式中的问题．

3．用数形结合的思想、分类讨论的思想和转化变换的思想分析解决数学问题．

4．掌握知识之间的联系，进一步培养观察、分析、归纳、概括和综合分析能力． 以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法，掌握这两种方法是本节的重点．

运用描点法作图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成线．要把表列在关键处，要把线连在恰当处．这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究．而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段，是一个难

点．用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换，以及确定怎样的变换．这也是个难点．

1．作函数图象的一个基本方法

例7．作出下列函数的图象(1)y=|x-2|(x＋1)；(2)y=10|lgx|．

分析：显然直接用已知函数的解析式列表描点有些困难，除去对其函数性质分析外，我们还应想到对已知解析式进行等价变形．

解：(1)当x≥2时，即x-2≥0时，

当x＜2时，即x-2＜0时，

这是分段函数，每段函数图象可根据二次函数图象作出(见图6)

(2)当x≥1时，lgx≥0，y=10|lgx|=10lgx=x；

当0＜x＜1时，lgx＜0，

所以

7)

这是分段函数，每段函数可根据正比例函数或反比例函数作出．(见图

说明：作不熟悉的函数图象，可以变形成基本函数再作图，但要注意变形过程是否等价，要特别注意x，y的变化范围．因此必须熟记基本函数的图象．例如：一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数，及三角函数、反三角函数的图象．在变换函数解析式中运用了转化变换和分类讨论的思想．

2．作函数图象的另一个基本方法——图象变换法．

函数问题的题型与方法

一个函数图象经过适当的变换(如平移、伸缩、对称、旋转等)，得到另一个与之相关的图象，这就是函数的图象变换．

在高中，主要学习了三种图象变换：平移变换、伸缩变换、对称变换．

(1)平移变换

函数y=f(x+a)(a≠0)的图象可以通过把函数y=f(x)的图象向左(a＞0)或向右(a＜0)平移|a|个单位而得到；

函数y=f(x)+b(b≠0)的图象可以通过把函数y=f(x)的图象向上(b＞0)或向下(b＜0)平移|b|个单位而得到．

(2)伸缩变换

函数y=Af(x)(A＞0，A≠1)的图象可以通过把函数y=f(x)的图象上各点的纵坐标伸长(A＞1)或缩短(0＜A＜1)成原来的A倍，横坐标不变而得到．

函数y=f(ωx)(ω＞0，ω≠1)的图象可以通过把函数y=f(x)的图象上

而得到．

(3)对称变换

函数y=-f(x)的图象可以通过作函数y=f(x)的图象关于x轴对称的图形而得到．

函数y=f(-x)的图象可以通过作函数y=f(x)的图象关于y轴对称的图形而得到．

函数y=-f(-x)的图象可以通过作函数y=f(x)的图象关于原点对称的图形而得到．函数y=f-1(x)的图象可以通过作函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称的图形而得到。

函数y=f(|x|)的图象可以通过作函数y=f(x)在y轴右方的图象及其与y轴对称的图形而得到．

函数y=|f(x)|的图象可以通过作函数y=f(x)的图象，然后把在x轴下方的图象以x 轴为对称轴翻折到x轴上方，其余部分保持不变而得到．

例8．已知f(x+199)=4x2＋4x+3(x∈R)，那么函数f(x)的最小值为____．

分析：由f(x＋199)的解析式求f(x)的解析式运算量较大，但这里我们注意到，y=f(x ＋100)与y=f(x)，其图象仅是左右平移关系，它们取得

求得f(x)的最小值即f(x＋199)的最小值是2．

说明：函数图象与函数性质本身在学习中也是密切联系的，是“互相利用”关系，函数图象在判断函数奇偶性、单调性、周期性及求最值等方面都有重要用途．三．函数综合应用

函数的综合复习是在系统复习函数有关知识的基础上进行函数的综合应用:

1．在应用中深化基础知识．在复习中基础知识经历一个由分散到系统，由单一到综合的发展过程．这个过程不是一次完成的，而是螺旋式上升的．因此要在应用深化基础知识的同时，使基础知识向深度和广度发展．

2．以数学知识为载体突出数学思想方法．数学思想方法是观念性的东西，是解决数学问题的灵魂，同时它又离不开具体的数学知识．函数内容最重要的数学思想是函数思想和数形结合的思想．此外还应注意在解题中运用的分类讨论、换元等思想方法．解较综合的数学问题要进行一系列等价转化或非等价转化．因此本课题也十分重视转化的数学思

函数问题的题型与方法

想．

3．重视综合运用知识分析问题解决问题的能力和推理论证能力的培养．函数是数学复习的开始，还不可能在大范围内综合运用知识．但从复习开始就让学生树立综合运用知识解决问题的意识是十分重要的．推理论证能力是学生的薄弱环节，近几年高考命题中加强对这方面的考查，尤其是对代数推理论证能力的考查是十分必要的．本课题在例题安排上作了这方面的考虑．

具体要求是：

1．在全面复习函数有关知识的基础上，进一步深刻理解函数的有关概念，全面把握各类函数的特征，提高运用基础知识解决问题的能力．

2．掌握初等数学研究函数的方法，提高研究函数的能力，重视数形结合数学思想方法的运用和推理论证能力的培养．

3．初步沟通函数与方程、不等式及解析几何有关知识的横向联系，提高综合运用知识解决问题的能力．

4．树立函数思想，使学生善于用运动变化的观点分析问题．

本部分内容的重点是：通过对问题的讲解与分析，使学生能较好的调动函数的基础知识解决问题，并在解决问题中深化对基础知识的理解，深化对函数思想、数形结合思想的理解与运用．

难点是：函数思想的理解与运用，推理论证能力、综合运用知识解决问题能力的培养与提高．

函数的综合运用主要是指运用函数的知识、思想和方法综合解决问题．函数描述了自然界中量的依存关系，是对问题本身的数量本质特征和制约关系的一种刻画，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立函数关系．因此，运动变化、相互联系、相互制约是函数思想的精髓，掌握有关函数知识是运用函数思想的前提，提高用初等数学思想方法研究函数的能力，树立运用函数思想解决有关数学问题的意识是运用函数思想的关键．

1．准确理解、熟练运用，不断深化有关函数的基础

在中学知识阶段函数只限于定义在实数集合上的一元单值函数，其内容可分为两部分．第一部分是函数的概念和性质，这部分的重点是能从变量的观点和集合映射的观点理解函数及其有关概念，掌握描述函数性质的单调性、奇偶性、周期性等概念；第二部分是七类常见函数(一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数)的图象和性质．第一部分是理论基础，第二部分是第一部分的运用与发展．

例9．已知函数f(x)，x∈F，那么集合{(x，y)|y=f(x)，x∈F}∩{(x，y)|x=1｝中所含元素的个数是．（）

A．0 B．1 C．0或1 D．1或2

分析：这里首先要识别集合语言，并能正确把集合语言转化成熟悉的语言．从函数观点看，问题是求函数y=f(x)，x∈F的图象与直线x=1的交点个数(这是一次数到形的转化)，不少学生常误认为交点是1个，并说这是根据函数定义中“惟一确定”的规定得到的，这是不正确的，因为函数是由定义域、值域、对应法则三要素组成的．这里给出了函数y=f(x)的定义域是F，但未明确给出1与F的关系，当1∈F时有1个交点，当1 F时没有交点，所以选C．

函数问题的题型与方法

函数问题的题型与方法

2．掌握研究函数的方法，提高研究函数问题的能力

高中数学对函数的研究理论性加强了，对一些典型问题的研究十分重视，如求函数的定义域，确定函数的解析式，判断函数的奇偶性，判断或证明函数在指定区间的单调性等，并形成了研究这些问题的初等方法，这些方法对分析问题能力，推理论证能力和综合运用数学知识能力的培养和发展是十分重要的．

函数、方程、不等式是相互联系的．对于函数f(x)与g(x)，令

f(x)=g(x)，f(x)＞g(x)或f(x)＜g(x)则分别构成方程和不等式，因此

对于某些方程、不等式的问题用函数观点认识是十分有益的；方程、不

等式从另一个侧面为研究函数提供了工具．

例10．方程lgx+x=3的解所在区间为 （ ）

A ．(0，1)

B ．(1，2)

C ．(2，3)

D ．(3，+∞)

分析：在同一平面直角坐标系中，画出函数y=lgx 与y=-x+3的图

象(如图2)．它们的交点横坐标0x ，显然在区间(1，3)内，由此可排除

A ，D ．至于选

B 还是选

C ，由于画图精确性的限制，单凭直观就比较困难了．实际上这是要比较0x 与2的大小．当x=2时，lgx=lg2，3-x=1．由于lg2＜1，因此0x ＞2，从而判定0x ∈(2，3)，故本题应选C ．

说明：本题是通过构造函数用数形结合法求方程lgx+x=3解所在的区间．数形结合，要在结合方面下功夫．不仅要通过图象直观估计，而且还要计算0x 的邻近两个函数值，通过比较其大小进行判断．

例11．(1)一次函数f(x)=kx+h(k ≠0)，若m ＜n 有f(m)＞0，f(n)＞0，则对于任意x ∈(m ，n)都有f(x)＞0，试证明之；

(2)试用上面结论证明下面的命题：

若a ，b ，c ∈R 且|a|＜1，|b|＜1，|c|＜1，则ab+bc+ca ＞-1．

分析：问题(1)实质上是要证明，一次函数f(x)=kx+h(k ≠0)， x ∈(m ， n)．若区间两个端点的函数值均为正，则对于任意x ∈(m ，n)都有f(x)＞0．之所以具有上述性质是由于一次函数是单调的．因此本问题的证明要从函数单调性入手．

(1)证明：

当k ＞0时，函数f(x)=kx+h 在x ∈R 上是增函数，m ＜x ＜n ，f(x)＞f(m)＞0；

当k ＜0时，函数f(x)=kx+h 在x ∈R 上是减函数，m ＜x ＜n ，f(x)＞f(n)＞0．

所以对于任意x ∈(m ，n)都有f(x)＞0成立．

(2)将ab+bc+ca+1写成(b+c)a+bc+1，构造函数f(x)=(b+c)x+bc+1．则

f(a)=(b+c)a+bc+1．

当b+c=0时，即b=-c ， f(a)=bc+1=-2

c +1．

因为|c|＜1，所以f(a)=-2c +1＞0．

当b+c ≠0时，f(x)=(b+c)x+bc+1为x 的一次函数．

因为|b|＜1，|c|＜1，

f(1)=b+c+bc+1=(1+b)(1+c)＞0， f(-1)=-b-c+bc+1=(1-b)(1-c)＞0．

由问题(1)对于|a|＜1的一切值f(a)＞0，即(b+c)a+bc+1=ab+ac+bc+1＞0．

说明：问题(2)的关键在于“转化”“构造”．把证明ab+bc+ca＞-1转化为证明

ab+bc+ca+1＞0，由于式子ab+bc+ca+1中， a，b，c是对称的，构造函数f(x)=(b+c)x+bc+1，则f(a)=(b+c)a+bc+1，问题转化为在|a|＜1，|b|＜1，|c|＜1的条件下证明f(a)＞0．(也可构造 f(x)=(a+c)x+ac+1，证明f(b)＞0)。

3且对任意x，y∈R都有例12．定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log

2

f(x+y)=f(x)+f(y)．

(1)求证f(x)为奇函数；

(2)若f(k·3x)+f(3x-9x-2)＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．

分析：欲证f(x)为奇函数即要证对任意x都有f(-x)=-f(x)成立．在式子f(x+y)=f(x)+f(y)中，令y=-x可得f(0)=f(x)+f(-x)于是又提出新的问题，求f(0)的值．令x=y=0可得f(0)=f(0)+f(0)即f(0)=0，f(x)是奇函数得到证明．

(1)证明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x，y∈R)，①

令x=y=0，代入①式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即f(0)=0．

令y=-x，代入①式，得f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0，则有

0=f(x)+f(-x)．即f(-x)=-f(x)对任意x∈R成立，所以f(x)是奇函数．

(2)解：f(3)=log

3＞0，即f(3)＞f(0)，又f(x)在R上是单调函数，所以f(x)在R

2

上是增函数，又由(1)f(x)是奇函数．

f(k·3x)＜-f(3x-9x-2)=f(-3x+9x+2)，k·3x＜-3x+9x+2，

32x-(1+k)·3x+2＞0对任意x∈R成立．

令t=3x＞0，问题等价于t2-(1+k)t+2＞0对任意t＞0恒成立．

R恒成立．

说明：问题(2)的上述解法是根据函数的性质．f(x)是奇函数且在x∈R上是增函数，把问题转化成二次函数f(t)=t2-(1+k)t+2对于任意t＞0恒成立．对二次函数f(t)进行研究求解．本题还有更简捷的解法：

分离系数由k·3x＜-3x+9x+2得

函数问题的题型与方法

函数问题的题型与方法

上述解法是将k 分离出来，然后用平均值定理求解，简捷、新颖．

【热身冲刺】

( A )

一、选择题：

1．已知集合}|{}2|{2R x x y y B R x y y A x ∈==∈==则（ D ）

（A ）}4,2{=?B A （B ）}16,4{=?B A （C ）A=B （D ）B A ≠

? 2．“p 或q 是假命题”是“非p 为真命题”的 （ A ）

（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件

（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件

3．已知函数x

x x f +-=11lg

)(，若b a f =)(，则=-)(a f （ B ） （A ） b （B ）b - （C ） b 1 （D ） b

1 4．已知函数))((b x a x f y ≤≤=，集合A={))((|),(b x a x f y y x ≤≤=},B={}0|),(=x y x ，

则B A ?的元素个数为 （ C ） （A ）0 （B ）1 （C ）0或1 （D ）1或2

5．在x 克a %的盐水中，加入y 克b %的盐水，浓度变成c %(a ,b >0,a ≠b )，则x 与y 的函数关系式是 （ B ）

（A ）y =b c a c --x （B ）y =c b a c --x （C ）y =c b c a --x （D ）y =a

c c b --x 6．已知(2，1)在函数f (x )=b ax +的图象上，又知f －1)5(=1，则f (x )等于 （ A ） （A ）94+-x （B ）73+-x （C ）53-x （D ）74-x

7．函数))(1()1(R x x f y x f y ∈--=-=和的图象 （ C ）

（A ）关于原点对称 （B ）关于直线x =0对称

（C ）关于点（1，0）对称 （D ）关于直线x =1对称

8． 设函数11)(-+=x x x f 的反函数为)(1x f -，若)()(1x f x g -=-，则)(x g 是 （ B ）

（A ）),(+∞-∞上增函数 （B ）)1,(--∞上增函数

（C ）),1(+∞上减函数 （D ）)1,(--∞上减函数

9．若函数)0(||)(2

≠++=a c x b ax x f 的定义域R 分成了四个单调区间，则实数c b a ,,满足 ( C ) （A ）0,042>>-a ac b （B ）042

>-ac b （C ）02>-a b （D ）02<-a

b 10．已知命题p ：若n S 是无穷等差数列}{n a 的前n 项和，则点列),{n S n 在一条抛物线上，

函数问题的题型与方法

命题q ：若实数,1>m 则01)22(2>--+x m mx 的解集是R 。又知s 是p 的逆否命题，

r 是q 的逆命题，那么下列判断正确的是 （ C ）

（A ）s 是假命题，r 是真命题 （B ）s 是真命题，r 是真命题

（C ）s 是假命题，r 是假命题 （D ）s 是真命题，r 是假命题

二、填空题：

11．下列命题（1）}1,1{}1|),){(3(},,1|{)2(},0{22-==∈+?∈x y x R x x x φφ，

},14|{},12|){4(Z k k x x Z k k x x ∈±==∈+=},12|{},4|){5(Z k k x x Z k k x x ∈=?∈=≠

中正确的是 （1）（3）（5） （把所有错误的序号全填上）

12．方程19214=-+x x 的解集为 {2}

13．设A=}2,3,0,3,{πππ

π--，B=}1,2

1,0,1{-，定义x x f cos :→是A 到B 的函数，x x g π→: 是B 到A 的映射，若2)]([π

=x f g ，则x

14．设函数的取值范围是则若0021

,1)(,.

0,,0,12)(x x f x x x x f x >?????>≤-=-),1()1,(+∞?--∞ 三、解答题：

15．已知函数2)(,2)(2+?=+=x x x h x

x x g ，)()()(x h x g x f 与是的积， 求：)(x f 解析式，并画出其图象；

解：)02(2)(),2()()()(2≠-≥+=∴+=?=x x x x x f x x x h x g x f 且

图略

16．.函数12)(--=x x x f 的定义域为集合A ，关于x 的不等式)(222R a x a ax ∈<+的解集为B ，求使B A A =的实数a 的取值范围.

解：}21|{≤<=x x A ，})12(|{a x a x B <-=

则当21>

a 时，}12|{-<=a a x x B ；当21=a 时，B=R ；当21

2|{->=a a x x B 又B A A B A ??=? ，则

?????∈?>->)32,21(22121a a a a ，A B A a =?=∴,21成立?????≤-<11221a a a ，

函数问题的题型与方法

??

???-∞∈?<≥<)21,(21,121a a a a 综上所述：)3

2,(-∞∈a

17．对于函数),()(2R b a b ax x x f ∈++=，当]1,1[-∈x 时，|)(|x f 的最大值为m ， 试用反证法证明：21≥

m 证明：假设21

1)1(,21)1(<-

??????<+-?<++?<=)3(211)2(211)1(21)0(b a b a b f ，由（2）（3）得?????-<<-?-<-<--<<-?-<+<-212321231232123b a b b b a 2

1<∴b 与（1）矛盾,所以原命题成立。 18．已知函数1

8)(22+++=x b x ax x g 的值域是[1，9]，试求函数b x ax x f ++=8)(2的定义域和值域。

解：)(x g 的定义域为R ，令)(x g y =，则有.08)(2=-+--b y x x a y

若a y ≠，由,0≥?得,0))((464≥---b y a y 即016)(2≤-++-ab y b a y 。

,91b a +=+∴且1691-=?ab ，5==∴b a 。

若a y =，取5=a ，则]9,1[∈y 成立。

585)(2++=∴x x x f ，而585,0100642/++∴<-=?x x 恒成立， 又5

959)251658(558522≥+++=++x x x x ∴函数)(x f 的定义域为R ，值域是),55

3[+∞ 19．是否存在常数R k ∈，使)2()2()(24k x k x x f -+-==，在]1,(--∞上是减函数，

且在

)0,1[-上是增函数？

提示：由题意知,1-=x 是函数)(x f 的一个极值点，由,)2(24)(3x k x x f -+='

令,0|)(1='-=x x f 得,4=k )1)(1(444)(3-+=-='∴x x x x x x f ，故

函数问题的题型与方法

当]1,(--∞∈x 时，)(,0)(x f x f ≤'为减函数；

当)0,1[-∈x 时，)(,0)(x f x f ≥'为增函数，,4=∴k 适合题意

20． 已知集合A={x |x 2＋3x ＋2 ≥0}，B={x |mx 2－4x ＋m －1＞0 ，m ∈R}， 若A ∩B=φ，

且A ∪B=A ，试求实数m 的取值范围．

[思路分析]由已知A={x |x 2＋3x ＋20≥}，得=?-≥-≤=B A x x x A 由或},12|{φ得：

(1)∵A 非空 ，∴B=φ；

(2)∵A={12|-≥-≤x x x 或}，∴}.12|{-<<-=x x B 另一方面，A B A B A ?∴=?,，

于是上面(2)不成立，否则R B A =?，与题设A B A =?矛盾．由上面分析知，B=φ． 由已知B={}

R m m x mx x ∈>-+-,014|2，结合B=φ，

得对一切x 014,2≤-+-∈m x mx R 恒成立，于是， 有m m m m m ∴-≤???≤--<21710)1(4160解得的取值范围是}2

171|{-≤m m

( B )

1．对函数b ax x x f ++=23)(作代换x =g(t)，则总不改变f (x )值域的代换是 ( )

A ．t t g 2

1log )(=

B ．t t g )21()(=

C ．g(t)=(t －1)2

D ．g(t)=cost

2．方程f (x ,y)=0的曲线如图所示，那么方程f (2－x ,y)=0的曲线是 ( )

3．已知命题p ：函数)2(log 25.0a x x y ++=的值域为R ，命题q ：函数x a y )25(--= 是减函数。若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，则实数a 的取值范围是

A ．a ≤1

B ．a <2

C ．1

D ．a ≤1或a ≥2

4.方程lgx ＋x ＝3的解所在的区间为 （ ）

A. (0,1)

B. (1,2)

C. (2,3)

D. (3,+∞)

5.如果函数f(x)＝x 2

＋bx ＋c 对于任意实数t ，都有f(2＋t)＝f(2－t)，那么（ ）

A. f(2)

B. f(1)

C. f(2)

D. f(4)

函数问题的题型与方法

6.已知函数y ＝f(x)有反函数，则方程f(x)＝a (a 是常数) （ ）

A.有且仅有一个实根

B.至多一个实根

C.至少一个实根

D.不同于以上结论

7.已知sin θ＋cos θ＝15，θ∈(π2

，π)，则tan θ的值是 （ ） A. －43 B. －34 C. 43 D. 34 8.已知等差数列的前n 项和为S n ，且S p

＝S q (p ≠q ，p 、q ∈N)，则S p q +＝_________。 9.关于x 的方程sin 2x ＋cosx ＋a ＝0有实根，则实数a 的取值范围是__________。

10.正六棱锥的体积为48,侧面与底面所成的角为45°，则此棱锥的侧面积为___________。

11. 建造一个容积为8m 3

，深为2m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，则水池的最低造价为___________。

12．已知函数()f x 满足：()()()f a b f a f b +=?，(1)2f =，则 2222(1)(2)(2)(4)(3)(6)(4)(8)(1)(3)(5)(7)

f f f f f f f f f f f f +++++++= 。 13．已知,,a b c 为正整数，方程2

0ax bx c ++=的两实根为1212,()x x x x ≠，且12||1,||1x x <<，则a b c ++的最小值为________________________。

14．设函数f(x)=lg(ax 2

+2x+1)．

(1)若f(x)的定义域是R ，求实数a 的取值范围；

(2)若f(x)的值域是R ，求实数a 的取值范围．

15．设不等式2x －1>m(x 2－1)对满足|m|≤2的一切实数m 的取值都成立。求x 的取值范围。

16. 设等差数列{a n }的前n 项的和为S n ，已知a 3＝12，S 12>0，S 13<0 。

①.求公差d 的取值范围；

②.指出S 1、S 2、…、S 12中哪一个值最大，并说明理由。(1992年全国高考)

17. 如图，AB 是圆O 的直径，PA 垂直于圆O 所在平面，C 是圆周上任一点，设∠BAC ＝θ，PA ＝AB=2r ，求异面直线PB 和AC 的距离。 18. 已知△ABC 三内角A 、B 、C 的大小成等差数列，且tanA ·tanC ＝2＋3，又知顶点C 的对边c 上的高等于43,求△ABC 的三边a 、b

c 及三内角。 19. 设f(x)＝lg 1243

++x x a ，如果当x ∈(-∞,1]时f(x)有意义，求 实数a 的取值范围。

20．已知偶函数f (x )=cos θsin x －sin(x －θ)+(tan θ－2)sin x －sin θ的最小值是0，求f (x )的最大值 及此时x 的集合．

21．已知x R ∈，奇函数32

()f x x ax bx c =--+在[1,)+∞上单调．

（Ⅰ）求字母,,a b c 应满足的条件；

（Ⅱ）设001,()1x f x ≥≥，且满足00[()]f f x x =，求证：00()f x x =．

函数问题的题型与方法

参考答案

1．不改变f (x )值域，即不能缩小原函数定义域。选项B ，C ，D 均缩小了()f x 的定义域，故选A 。

2．先作出f (x ,y)=0关于y 轴对称的函数的图象，即为函数f (-x ,y)=0的图象，又 f (2－x ,y)=0即为((2),)0f x y --=，即由f (-x ,y)=0向右平移2个单位。故选C 。

3．命题p 为真时，即真数部分能够取到大于零的所有实数，故二次函数2

2x x a ++的判别式440a ?=-≥，从而1a ≤；命题q 为真时，5212a a ->?<。

若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，故p 和q 中只有一个是真命题，一个是假命题。 若p 为真，q 为假时，无解；若p 为假，q 为真时，结果为1

4．图像法解方程，也可代入各区间的一个数（特值法或代入法），选C ；

5．函数f(x)的对称轴为2，结合其单调性，选A ；

6．从反面考虑，注意应用特例，选B ； 7．设tan θ2＝x (x>0），则212x x +＋1122

-+x x ＝15，解出x ＝2，再用万能公式，选A ； 8．利用S n n 是关于n 的一次函数，设S p ＝S q ＝m ，S p q

p q ++＝x ，则（m p ,p ）、(m q ,q)、 (x ，p+q)在同一直线上，由两点斜率相等解得x ＝0，则答案：0；

9．设cosx ＝t ，t ∈[-1,1]，则a ＝t 2－t －1∈[－54,1]，所以答案：[－54

,1]； 10．设高h ，由体积解出h ＝23，答案：246；

11．设长x ，则宽

4x ，造价y ＝4×120＋4x ×80＋16x

×80≥1760，答案：1760。 12．运用条件知：(1)(1)()f n f f n +==2，且 2222(1)(2)(2)(4)(3)(6)(4)(8)(1)(3)(5)(7)

f f f f f f f f f f f f +++++++ =2(2)2(4)2(6)2(8)(1)(3)(5)(7)

f f f f f f f f +++=16 13．依题意可知212124000b ac b x x a c x x a ???=->??+=-??

，从而可知12,(1,0)x x ∈-，所以有 21240(1)01b ac f a b c c x x a ??->?-=-+>???=

24b ac b a c c a ?>??<+??

函数问题的题型与方法

1a b a b +>?≥，所以22444a b ac a a ≥>=?>，从而5a ≥，所以2420b ac >≥，

又516b <+=，所以5b =，因此a b c ++有最小值为11。

下面可证2c ≥时，3a ≥，从而2424b ac >≥，所以5b ≥, 又5a c b +>≥,所以

6a c +≥,所以11a b c ++≥,综上可得:a b c ++的最小值为11。

14．分析:这是有关函数定义域、值域的问题，题目是逆向给出的，解好本题要运用复合函数，把f(x)分解为u=ax 2

+2x+1和y=lgu 并结合其图象性质求解．

解:(1)2()lg(21)f x ax x =++的定义域是R 2210u ax x ?=++>对一切实数x 恒成立. a=0或a ＜0不合题意， 所以201240

a a a >??>??=-

(2) 2()lg(21)f x ax x =++的值域域是R 2

21u ax x ?=++能取遍一切正实数. a ＜0时不合题意； a=0时，u=2x+1，u 能取遍一切正实数；

a ＞0时，其判别式Δ=22-4×a ×1≥0，解得0＜a ≤1．

所以当0≤a ≤1时f(x)的值域是R ．

15．分析：此问题由于常见的思维定势，易把它看成关于x 的不等式讨论。然而，若变换一个角度以m 为变量，即关于m 的一次不等式(x 2

－1)m －(2x －1)<0在[-2,2]上恒成立的问题。对此的研究，设f(m)＝(x 2－1)m －(2x －1)，则问题转化为求一次函数（或常数函数）f(m)的值在[-2,2]内恒为负值时参数x 应该满足的条件f f ()()2020<-

。 解：问题可变成关于m 的一次不等式：(x 2

－1)m －(2x －1)<0在[-2,2] 恒成立，设f(m)

＝(x 2－1)m －(2x －1), 则 f x x f x x ()()()()()()221210221210

22=---<-=----m(x 2

－1)的解集是[-2,2]时求m 的值、关于x 的不等式2x －1>m(x 2－1)在[-2,2]上恒成立时求m 的范围。

一般地，在一个含有多个变量的数学问题中，确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化。或者含有参数的函数中，将函数自变量作为参数，而参数作为函数，更具有灵活性，从而巧妙地解决有关问题。

16．分析： ①问利用公式a n 与S n 建立不等式，容易求解d 的范围；②问利用S n 是n 的二次函数，将S n 中哪一个值最大，变成求二次函数中n 为何值时S n 取最大值的函数最值问题。

解：① 由a 3＝a 1＋2d ＝12,得到a 1＝12－2d ，所以

S 12＝12a 1＋66d ＝12(12－2d)＋66d ＝144＋42d>0，

二次函数压轴题题型归纳

一、二次函数常考点汇总 1、两点间的距离公式：()()22B A B A x x y y AB -+-= 2、中点坐标：线段AB 的中点C 的坐标为：??? ??++22 B A B A y y x x ， 直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02≠k ）的位置关系： （1）两直线平行?21k k =且21b b ≠ （2）两直线相交?21k k ≠ （3）两直线重合?21k k =且21b b = （4）两直线垂直?121-=k k 3、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下： ① 用?和参数的其他要求确定参数的取值范围； ② 解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式） ③ 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。 例：关于x 的一元二次方程()0122 2 ＝－m x m x ++有两个整数根，5＜m 且m 为整数，求m 的值。 4、二次函数与x 轴的交点为整数点问题。（方法同上） 例：若抛物线()3132 +++=x m mx y 与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，试确定 此抛物线的解析式。 5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下： 已知关于x 的方程2 3(1)230mx m x m --+-=（m 为实数），求证：无论m 为何值，方程总有一个固定的根。 解：当0=m 时，1=x ； 当0≠m 时，()032 ≥-=?m ，()m m x 213?±-= ，m x 3 21-=、12=x ； 综上所述：无论m 为何值，方程总有一个固定的根是1。 6、函数过固定点问题，举例如下： 已知抛物线22 -+-=m mx x y （m 是常数），求证：不论m 为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。 解：把原解析式变形为关于m 的方程()x m x y -=+-122 ； ∴ ???=-=+-0 1 02 2x x y ，解得：???=-=1 1 x y ；∴ 抛物线总经过一个固定的点（1，－1）。 （题目要求等价于：关于m 的方程()x m x y -=+-122 不论m 为何值，方程恒成立） 小结．． ：关于x 的方程b ax =有无数解????==0 b a

专题一 函数图象与性质的综合应用

专题一 函数图象与性质的综合应用 (时间：45分钟 满分：100分) 一、选择题(每小题7分，共35分) 1．下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是 ( ) A ．y ＝x 3＋x B ．y ＝－log 2x C ．y ＝3x D ．y ＝－1 x 2．设函数f (x )是定义在R 上周期为3的奇函数，若f (1)<1，f (2)＝2a －1 a ＋1 ，则 ( ) A ．a <1 2且a ≠－1 B ．－10 D ．－10f (x ＋1)＋1，x ≤0，则f ????43＋f ???? －43的值为________． 7．已知函数f (x )＝? ??? ? x 2＋x (x ≥0)，－x 2－x (x <0)， 则不等式f (x )＋2>0的解集是________． 8．设a >0，a ≠1，函数f (x )＝log a (x 2－2x ＋3)有最小值，则不等式log a (x －1)>0的解集为 ___________．

(完整版)初三数学二次函数较难题型

一、二次函数解析式及定义型问题 （ 顶点式中考要点 ） . 把二次函数的图象向左平移 2 个单位， 再向上平移 1 个单位， 所得到的图象对应的二次函数关系式是 y （x 则 b 、 c 的值为 10. 抛物线 y x 2 ax 4的顶点在 X 轴上，则 a 值为 11. 已知二次函数 y 2（x 3）2 ，当 X 取 x 1和 x 2时函数 值相等，当 X 取 x 1+x 2时函数值为 12. 若二次函数 y ax 2 k ，当 X 取 X1 和 X2（ x 1 x 2）时函数值相 等 , 则当 X 取 X1+X2时，函数值为 13. 若函数 y a （x 3）2 过（２ . ９）点，则当 X ＝４时函数值 Y ＝ 14. 若函数 y （x h ）2 k 的顶点在第二象限则， h 0, k 0 15. 已知二次函数当 x=2 时 Y 有最大值是１ . 且过（３ . ０）点求解析式？ 17. 已知抛物线在 X 轴上截得的线段长为６ 二、一般式交点式中考要点 18. 如果抛物线 y=x 2-6x+c-2 的顶点到 x 轴的距离是 3, 那么 c 的值等于（ ） （A ） 8 （B ） 14 （C ） 8 或 14（ D ）-8 或 -14 19. 二次函数 y=x 2-（12-k ）x+12, 当 x>1 时， y 随着 x 的增大而增大， 当 x<1 时， y 随着 x 的增大而减小， 则 k 的值应取 （ （A ） 12 （ B ）11 （ C ）10（D ） 9 20. 若 b 0 ，则二次函数 y x 2 bx 1的图象的顶点在 （ A ） （ A ）第一象限（ B ）第二象限 （ C ）第三象限（ D ）第四象限 21. 不论 x 为何值 , 函数 y=ax 2+bx+c （a ≠ 0） 的值恒大于 0 的条件是 （ ） A.a>0, △ >0 B.a>0, △ <0 1)2 则原 . 如果函数 y （k 3）x k2 . （ 08 绍兴）已知点3k 2 y 1 ) ， 2， 1 ），形状开品与抛物线 y= - 2x 2相同，这个函数解析式为 kx 1 是二次函数 , 则 k 的值是 _ .( 兰州 A ．若 y 1 B ．若 C ．若 x 1 0 y 2，则 x 1 x 2，则 x 2 y 2 D ．若 x 1 10） 抛物线 x 1 x 2 x 2 ，则 y 1 y 2 y 1 b y 2 c 图像向右平移 2 个单位再向下平移 3 个单位， 所得图像的解析式为 y 2x 3， A . b=2 C . b= -2 . 抛物线 c=2 ， c=-1 (m 1)x 2 ax B. b=2 D. b= -3 c=0 ， (m 2 3m 4）x 5以 Y 轴为对称轴则。 M ＝ 8. 函数 y (a 5)x a 2 a 4a 5 的图象顶点在 Y 轴负半轴上。且函数值有最小值，则 m 的取值范围 5 2x 9. 抛物线 y （3x 1）2 当 x 时， 1 , 当 a ____ 时 , 它是一次函数 ; 当 a 时 , 它是二次函数 . 16. 将 y 2x 2 12x 12 变为 y a(x 2 m ） n 的形式，则 m . 且顶点坐标为（２，３）求解析式？（讲解对称性书写）

二次函数知识点总结及中考题型总结

二次函数知识点总结及中考题型,易错题总结 （一）二次函数知识点总结 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数， 叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。

3. ()2y a x h =-的性质： 左加右减。 4. ()2y a x h k =-+的性质：

三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 ()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标 ()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位， c bx ax y ++=2变成

m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位， c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数()2y a x h k =-+与 2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2y a x h k =-+与 2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即 22424b ac b y a x a a -??=++ ???，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2 ()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 六、二次函数2y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为 2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???，． 当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当 2b x a =-时，y 有最小值2 44ac b a -． 2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =-时， y 有最大值2 44ac b a -．

二次函数与几何综合压轴题题型归纳88728

学生： 科目： 数 学 教师： 刘美玲 一、二次函数和特殊多边形形状 二、二次函数和特殊多边形面积 三、函数动点引起的最值问题 四、常考点汇总 1、两点间的距离公式：()()22B A B A x x y y AB -+-= 2、中点坐标：线段AB 的中点C 的坐标为：?? ? ??++22B A B A y y x x ， 直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02≠k ）的位置关系： （1）两直线平行?21k k =且21b b ≠ （2）两直线相交?21k k ≠ （3）两直线重合?21k k =且21b b = （4）两直线垂直?121-=k k 3、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下： ① 用?和参数的其他要求确定参数的取值范围； ② 解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式） ③ 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。 例：关于x 的一元二次方程()0122 2 ＝－m x m x ++有两个整数根，5＜m 且m 为整数，求m 的值。 4、二次函数与x 轴的交点为整数点问题。（方法同上） 例：若抛物线()3132 +++=x m mx y 与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，试确定此 抛物线的解析式。 5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下：

已知关于x 的方程2 3(1)230mx m x m --+-=（m 为实数），求证：无论m 为何值，方程总有一个固定的根。 解：当0=m 时，1=x ； 当0≠m 时，()032 ≥-=?m ，()m m x 213?±-= ，m x 3 21-=、12=x ； 综上所述：无论m 为何值，方程总有一个固定的根是1。 6、函数过固定点问题，举例如下： 已知抛物线22 -+-=m mx x y （m 是常数），求证：不论m 为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。 解：把原解析式变形为关于m 的方程()x m x y -=+-122 ； ∴ ???=-=+-0 1 02 2x x y ，解得：???=-=1 1 x y ； ∴ 抛物线总经过一个固定的点（1，－1）。 （题目要求等价于：关于m 的方程()x m x y -=+-122 不论m 为何值，方程恒成立） 小结．． ：关于x 的方程b ax =有无数解? ?? ?==0 b a 7、路径最值问题（待定的点所在的直线就是对称轴） （1）如图，直线1l 、2l ，点A 在2l 上，分别在1l 、2l 上确定两点M 、N ，使得MN AM +之和最小。 （2）如图，直线1l 、2l 相交，两个固定点A 、B ，分别在1l 、2l 上确定两点M 、N ，使得 AN MN BM ++之和最小。 （3）如图，B A 、是直线l 同旁的两个定点，线段a ，在直线l 上确定两点E 、F （E 在F 的左侧 ），使得四边形AEFB 的周长最小。 8、在平面直角坐标系中求面积的方法：直接用公式、割补法 三角形的面积求解常用方法：如右图，S △PAB =1/2 ·PM ·△x=1/2 ·AN ·△y 9、函数的交点问题：二次函数（c bx ax y ＋＋＝2 ）与一次函数（h kx y ＋＝） （1）解方程组???h kx y c bx ax y ＋＝＋＋＝ 2可求出两个图象交点的坐标。 （2）解方程组???h kx y c bx ax y ＋＝＋＋＝ 2，即()02 ＝－＋－＋h c x k b ax ，通过?可判断两个图象的交点 的个数 有两个交点 ? 0＞?

二次函数实际问题易考题型总结(学生版)

二次函数实际问题易考题型总结（学生版）一、利润最值问题 （一）一般利润最值问题 1.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？最大利润为多少？ （二）与一次函数相关的利润最值问题 2.某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售，对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查．调查发现这种水产品的每千克售价y(元)与销售月份x (月)满足关系式 13 36 8 y x =-+，而其每千克成本2y(元)与销售月份x(月)满足的函数关系如图所示． (1)试确定b，c的值； (2)求出这种水产品每千克的利润y(元)与销售月份x(月)之间的函数关系式； (3)“五一”之前，几月份出售这种水产品每千克的利润最大?最大利润是多少?

3.市大润发超市购进一批20元/千克的绿色食品，如果以30元/千克销售，那么每天可售出400千克．由销售经验知，每天销售量y(千克)与销售单价x(元)(30 x）存在如下图所示的一 次函数关系式． ⑴试求出y与x的函数关系式； ⑵设大润发超市销售该绿色食品每天获得利润P元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？ ⑶根据市场调查，该绿色食品每天可获利润不超过4480元，现该超市经理要求每天利润不得低于4180元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价x的围(直接写出答案)． 二、面积最值问题 4.老师的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，老师准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个1米宽的门（木质）．花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大？ x

二次函数考点和题型归纳

二次函数考点和题型归纳 一、基础知识 1．二次函数解析式的三种形式 一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)； 顶点式：f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0)； 两根式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． 2．二次函数的图象与性质 二次函数系数的特征 (1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中，系数a 的正负决定图象的开口方向及开口大小； (2)－ b 2a 的值决定图象对称轴的位置； (3)c 的取值决定图象与y 轴的交点； (4)b 2－4ac 的正负决定图象与x 轴的交点个数． 解析式 f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0) f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0) 图象 定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域 ??? ?4ac －b 24a ，＋∞ ? ???－∞，4ac －b 24a 单调性 在??? ?－b 2a ，＋∞上单调递增；在????－∞，－b 2a 上单调递减 在? ???－∞，－b 2a 上单调递增；在??? ?－b 2a ，＋∞上单调递减 奇偶性 当b ＝0时为偶函数，当b ≠0时为非奇非偶函数 顶点 ????－b 2a ，4ac －b 24a 对称性 图象关于直线x ＝－b 2a 成轴对称图形

二、常用结论 1．一元二次不等式恒成立的条件 (1)“ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立”的充要条件是“a >0，且Δ<0”． (2)“ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立”的充要条件是“a <0，且Δ<0”． 2．二次函数在闭区间上的最值 设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)，闭区间为[m ，n ]． (1)当－b 2a ≤m 时，最小值为f (m )，最大值为f (n )； (2)当m <－b 2a ≤m ＋n 2时，最小值为f ????－b 2a ，最大值为f (n )； (3)当 m ＋n 2<－b 2a ≤n 时，最小值为f ????－b 2a ，最大值为f (m )； (4)当－b 2a >n 时，最小值为f (n )，最大值为f (m )． 考点一 求二次函数的解析式 求二次函数的解析式常利用待定系数法，但由于条件不同，则所选用的解析式不同，其方法也不同. [典例] 已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式． [解] 法一：利用二次函数的一般式 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 由题意得?? ? 4a ＋2b ＋c ＝－1， a － b ＋ c ＝－1， 4ac －b 2 4a ＝8， 解得????? a ＝－4， b ＝4， c ＝7. 故所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 法二：利用二次函数的顶点式 设f (x )＝a (x －m )2＋n .

中考复习：二次函数题型分类总结

【二次函数的定义】 （考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式） 1、下列函数中，是二次函数的是 . ①y=x2－4x+1；②y=2x2；③y=2x2+4x；④y=－3x； ⑤y=－2x－1；⑥y=mx2+nx+p；⑦y =(4,x) ；⑧y=－5x。 2、在一定条件下，若物体运动的路程s（米）与时间t（秒）的关系式为s=5t2+2t，则t＝4 秒时，该物体所经过的路程为。 3、若函数y=(m2+2m－7)x2+4x+5是关于x的二次函数，则m的取值范围为。 4、若函数y=(m－2)x m －2+5x+1是关于x的二次函数，则m的值为。 6、已知函数y=(m－1)x m2 +1+5x－3是二次函数，求m的值。 【二次函数的对称轴、顶点、最值】 （技法：如果解析式为顶点式y=a(x－h)2+k，则最值为k； 如果解析式为一般式y=ax2+bx+c，则最值为4ac-b2 4a 1．抛物线y=2x2+4x+m2－m经过坐标原点，则m的值为。 2．抛物y=x2+bx+c线的顶点坐标为（1，3），则b＝，c＝ . 3．抛物线y＝x2＋3x的顶点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4．若抛物线y＝ax2－6x经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为( ) B. 5．若直线y＝ax＋b不经过二、四象限，则抛物线y＝ax2＋bx＋c( ) A.开口向上，对称轴是y轴 B.开口向下，对称轴是y轴 C.开口向下，对称轴平行于y轴 D.开口向上，对称轴平行于y轴 6．已知抛物线y＝x2＋(m－1)x－1 4 的顶点的横坐标是2，则m的值是_ . 7．抛物线y=x2+2x－3的对称轴是。 8．若二次函数y=3x2+mx－3的对称轴是直线x＝1，则m＝。 9．当n＝______，m＝______时，函数y＝(m＋n)x n＋(m－n)x的图象是抛物线，且其顶点在原点，此抛物线的开口________.

高考复习专题：函数的基本性质专题复习

高考复习专题：函数的基本性质专题复习 求函数定义域的常用方法：无论什么函数，优先考虑定义域 1偶次根式的被开方式非负；分母不为0；零指数幂底数不为零；对 数真数大于0且底数大于0不等于1；tanx 定义域? ?? ? ??∈+≠ Z k k x x ,2ππ 2复合函数的定义域：定义域是x 的范围，f 的作用范围不变 1.y=x x x -+||)1(0 2.y= 2 3 2 53 1 x x -+- 3.y= x x x x -+-||2 32 4.y x x = --1 5 1 1 5.(21) log x y -= 6.)3lg(-=x y 7.x x y 2 = 8.2lg 2 1x y = 9. 02 )45() 34lg()(-++=x x x x f 训练： 1、函数y=)34(log 25.0x x -的定义域为__________. 2、f(x)的定义域是[-1，1]，则f(x+1)的定义域是 3、若函数f(x)的定义域是[－1，1]，则函数) (log 2 1 x f 的定 义域是（ ） A ．]2,21[ B ．]2,0( C ．),2[+∞ D ．]2 1 ,0( 4、已知2()f x 的定义域为[1,1]-，则)(x f 的定义域为 ，(2)x f 的定义域为 5、已知函数y f x =+()1定义域是[]-23，，则y f x =-()21的定义域是 （ ）

A.[]052 ， B.[]-14， C.[]-55， D.[]-37， 6、函数1 2 1)(-+ += x x x f 的定义域是 .（用区间表示）． 7、已知函数 1 )(2+=x x f 的定义域是} 2,1,0,1{-，则值域 为 ． 8、函数 ) (x f y =的定义域是[1，2]，则 ) 1(+=x f y 的定义域 是 ． 9、下列函数定义域和值域不同的是（ ） （A ）15)(+=x x f （B ）1)(2+=x x f （C ）x x f 1)(= （D ）x x f = )( 10、已知函数) (x f y = 的图象如图1所示，则函数的 定义域是（ ） (A) [－2,0] (B) ]5,1[]0,2[ - (C) [1,5] (D) ] 5,1[]0,2[ - 11、若函数y=lg(4－a ·2x)的定义域为R ，则实数a 的取值范围是 ( ) A ．(0，+∞) B ．(0，2) C ．(-∞，2) D ．(-∞，0) 12、为何值时，函数 347 2+++= kx kx kx y 的定义域为 R ． 一次函数法 1. 已知函数()23{|15}f x x x x N x =-∈∈≤≤，则函数的值域为 二次函数法（配方法） 2. 求下列函数值域： ]5,1[,42∈+-=x x x y y =

最新二次函数应用题题型归纳

围墙 A 09 D 二次函数应用题 题型一面积问题 1星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园. 其中一边靠墙，另外三边用长为30 米的篱笆围成.已知墙长为 18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为 x 米. （1） 若平行于墙的一边的长为 y 米，直接写出y 与x 之间的函数关系式及其自变量 x 的取 值范围； （2） 垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大值； （3） 当这个苗圃园的面积不小于 88平方米时，试结合函数图像，直接写出 x 的取值范围. 2某学校要在围墙旁建一个长方形的中药材种植实习苗圃，苗圃的一边靠围墙 （墙的长度不 限），另三边用木栏围成，建成的苗圃为如图所示的长方形 ABCD ?已知木栏总长为120米， 设AB 边的长为x 米，长方形 ABCD 的面积为S 平方米. （1）求S 与x 之间的函数关系式（不要求写出自变量 x 的取值范围）.当x 为何值时，S 取 得最值 （请指出是最大值还是最小值 ）?并求出这个最值； ⑵学校计划将苗圃内药材种植区域设计为如图所示的两个相外切的等圆， 其圆心分别为 01和02，且01到AB 、BC 、AD 的距离与02到CD 、BC 、AD 的距离都相等，并要求在苗 圃内药材种植区域外四周至少要留够 0.5米宽的平直路面，以方便同学们参观学习?当 （I ）中 S 取得最大值时，请问这个设计是否可行 ？若可行，求出圆的半径；若不可行，请说明理由. B -----------------------C 围墙 _i I _i

题型二利润问题 1利民商店经销甲、乙两种商品?现有如下信息：请根据以上信息，解答下列问题： (1 )甲、乙两种商品的进货单价各多少元？ (2)该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品300件.经调查发现，甲、乙两种商 品零售单价分别每降0.1元，这两种商品每天可各多销售100件.为了使每天获取更大的利 润，商店决定把甲、乙两种商品的零售单价都下降m元.在不考虑其他因素的条件下，当m 定为多少时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大？每天的最大利润是多少？ 信息1:甲、乙两种商品的进货单价之和是5元; 信息2:甲商品零售单价比进货单价多1元， 乙商品零售单价比进货单价的2倍少 1元. 2 ,2015年长江中下游地区发生了特大旱情，为抗旱保丰收，某地政府制定民农户投资购买抗旱设备的补贴办法，其中购买I型、n型抗旱设备所投资的金额与政府补贴的额度存在下表所示的函数对应关系. (1 )分别求出y1和y2的函数解析式； (2 )有一农户同时对I型、n型两种设备共投资10万元购买，请你设计一个能获得最 大补贴金额的方案，并求出按此方案能获得的最大补贴金额 型号 金额 I型设备n型设备 投资金额x(万元) x5x24 补贴金额y (万元) y1=kx(k 工 0)2y2=ax +bx(a 丰 0) 2.4 3.2 3?利达经销店为某工厂代销一种建筑材料(这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售

二次函数知识点总结题型分类总结

二次函数知识点总结——题型分类总结 一、二次函数的定义 （考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式） 1、下列函数中，是二次函数的是 . ①142 +-=x x y ； ②2 2x y =； ③x x y 422 +=； ④x y 3-=； ⑤12--=x y ； ⑥p nx mx y ++=2 ； ⑦()x y ,4=； ⑧x y 5-=。 2、在一定条件下，若物体运动的路程s （米）与时间t （秒）的关系式为t t s 252 +=，则t ＝4秒时，该物体所经过的路程为 _________ 。 3、若函数( ) 54722 2 ++-+=x x m m y 是关于x 的二次函数，则m 的取值范围为 。 4、若函数()1522 ++-=-x x m y m 是关于x 的二次函数，则m 的值为 。 6、已知函数()35112 -+-=+x x m y m 是二次函数，求m 的值。 二、二次函数的对称轴、顶点、最值 记忆：如果解析式为顶点式：()k h x a y +-=2 ，则对称轴为： _ , 最值 为： ； 如果解析式为一般式：c bx ax y ++=2 ，则对称轴为： __ ，最值为： ； 如果解析式为交点式：()()21x x x x a y --=, 则对称轴为： ，最值为： 。 1．抛物线m m x x y -++=2 2 42经过坐标原点，则m 的值为 。 2．抛物线c bx x y ++=2的顶点坐标为（1，3），则b ＝ ，c ＝ . 3．抛物线x x y 32+=的顶点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4．若抛物线x ax y 62-=经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为( ) 5．若直线b ax y +=不经过二、四象限，则抛物线c bx ax y ++=2 ( ) A.开口向上，对称轴是y 轴 B.开口向下，对称轴是y 轴 C.开口向下，对称轴平行于y 轴 D.开口向上，对称轴平行于y 轴 6．已知抛物线()4 1 12- -+=x m x y 的顶点的横坐标是2，则m 的值是 . 7．抛物线322 -+=x x y 的对称轴是 。 8．若二次函数332 -+=mx x y 的对称轴是直线x ＝1，则m ＝ 。 9．当n ＝______，m ＝______时，函数()()x n m x n m y n -++=的图象是抛物线，

高考数学函数专题习题及详细答案

函数专题练习 1.函数1()x y e x R +=∈的反函数是( ) A ．1ln (0)y x x =+> B ．1ln (0)y x x =-> C ．1ln (0)y x x =--> D ．1ln (0)y x x =-+> 2.已知(31)4,1 ()log ,1a a x a x f x x x -+? 是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是 (A )(0,1) (B )1(0,)3 (C )11 [,)73 (D )1 [,1)7 3.在下列四个函数中，满足性质：“对于区间(1,2)上的任意1212,()x x x x ≠ ， 1221|()()|||f x f x x x -<-恒成立”的只有 (A )1()f x x = (B )()||f x x = (C )()2x f x = (D )2()f x x = 4.已知()f x 是周期为2 的奇函数，当01x <<时，()l g f x x = 设 63(),(),52a f b f ==5 (),2 c f =则 (A )a b c << (B )b a c << (C )c b a << (D )c a b << 5. 函数2 ()lg(31)f x x = ++的定义域是 A .1 (,)3 -+∞ B . 1 (,1)3 - C . 11 (,)33 - D . 1 (,)3 -∞- 6、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 A .3 ,y x x R =-∈ B . sin ,y x x R =∈ C . ,y x x R =∈ 7、函数()y f x =的反函数1 ()y f x -=的图像与y 轴交于点 (0,2)P (如右图所示)，则方程()0f x =在[1,4]上的根是x = A .4 B .3 C . 2 D .1 8、设()f x 是R 上的任意函数，则下列叙述正确的是 (A )()()f x f x -是奇函数 (B )()()f x f x -是奇函数 (C ) ()()f x f x --是偶函数 (D ) ()()f x f x +-是偶函数 9、已知函数x y e =的图象与函数()y f x =的图象关于直线y x =对称，则 A ．()22()x f x e x R =∈ B ．()2ln 2ln (0)f x x x => )

实际问题与二次函数典型l例题

1. 某商品的售价为每件60 元，进价为每件40元，每星期可卖出300件，该商场一星期卖这种商品的利润为元。 2、我班某同学的父母开了一个小服装店,出售一种进价为40元的服装,现每件60元,每星期可卖出300件. 该同学对父母的服装店很感兴趣,因此,他对市场作了如下的调查: 如调整价格,每降价1元,每星期可多卖出20件. 请问同学们,该如何定价,才能使一星期获得的利润最大? 3、某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售(按部门规定，单价不超过每件70元)，可以卖出(100- x)件，应如何定价才能使利润最大？ 4、某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱。 (1)求平均每天销售量y(箱)与销售价x(元/箱)之间的函数关系式； (2)求该批发商平均每天的销售利润ω(元)与销售价x(元/箱)之间的函数关系式； (3)当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ 5、某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利5元，每天可售出200千克，经市场调查，在进价不变的情况下，若每千克涨价1元，销量将减少10千克 （1）该商场要保证每天盈利1500元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？（2）若该商场单纯从经济利益角度考虑，这种水果每千克涨价多少元，能使商场获利最多？ 6、某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到赢利的过程，下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s与t之间的关系）. （1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润s（万元）与销售时Array间t（月）之间的函数关系式； （2）求截止到几月累积利润可达到30万元； （3）求第8个月公司所获利润是多少万元？

二次函数知识点总结与典型例题讲解

二次函数知识点总结及典型例题讲解 一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念 一般地，如果)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，那么y 叫做x 的二次函数。 )0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。 2、二次函数的图像 二次函数的图像是一条关于a b x 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 抛物线的主要特征： ①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。 3、二次函数图像的画法 五点法： （1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴 （2）求抛物线c bx ax y ++=2与坐标轴的交点： 当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D 。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。 当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D 。由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A 、B ，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。 二、二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式： （1）一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数， （2）顶点式：)0,,()(2≠+-=a k h a k h x a y 是常数， （3）当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时，即对应二次好方程02=++c bx ax 有实根1 x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。如果没有交点，则不能这样表示。 三、二次函数的性质

中考数学二次函数压轴题题型归纳

中考二次函数综合压轴题型归类 一、常考点汇总 1、两点间的距离公式：()()22B A B A x x y y AB -+-= 2、中点坐标：线段AB 的中点C 的坐标为：?? ? ??++22B A B A y y x x ， 直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02≠k ）的位置关系： （1）两直线平行?21k k =且21b b ≠ （2）两直线相交?21k k ≠ （3）两直线重合?21k k =且21b b = （4）两直线垂直?121-=k k 3、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下： ① 用?和参数的其他要求确定参数的取值范围； ② 解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式） ③ 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。 例：关于x 的一元二次方程()0122 2 ＝－m x m x ++有两个整数根，5＜m 且m 为整数，求m 的值。 4、二次函数与x 轴的交点为整数点问题。（方法同上） 例：若抛物线()3132 +++=x m mx y 与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，试确定 此抛物线的解析式。 5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下： 已知关于x 的方程2 3(1)230mx m x m --+-=（m 为实数），求证：无论m 为何值，方程总有一个固定的根。 解：当0=m 时，1=x ； 当0≠m 时，()032 ≥-=?m ，()m m x 213?±-= ，m x 3 21-=、12=x ； 综上所述：无论m 为何值，方程总有一个固定的根是1。 6、函数过固定点问题，举例如下： 已知抛物线22 -+-=m mx x y （m 是常数），求证：不论m 为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。 解：把原解析式变形为关于m 的方程()x m x y -=+-122 ；

函数专题一

函数专题一 1．若二次函数()f x 满足(2)(2)f x f x +=-，且()(0)(1)f a f f ≤<，则实数a 的取值范围是 ． 2. 已知二次函数f(x)=x 2+2(p –2)x+p ，若f(x)在区间[0，1]内至少存在一个实数c ，使f( c)>0， 则实数p 的取值范围是（ ） A ．（1，4） B ．（1，+∞） C ．（0，+∞） D ．（0，1） 3. 设,,a b k 是实数, 二次函数2()f x x ax b =++满足: (1)f k -与()f k 异号, (1)f k +与()f k 同号．在以下关于()f x 的零点的命题中, 假命题的序号为 ① 该二次函数的两个零点之差一定大于2; ② 该二次函数的零点都小于k ; ③ 该二次函数的零点都大于1k -． A ．①②． B ．②③． C ．①③． D ．①②③． 4. 定义在R 上的函数)(x f y =，在（-∞，a ）上是增函数，且函数)(a x f y += 是偶函数，当a x a x ><21,，且a x a x -<-21时，有 （ ） A.)2()2(21x a f x a f ->- B. )2()2(21x a f x a f -=- C. )2()2(21x a f x a f -<- D. )2()2(21a x f x a f -<-- 5. 函数2 8ln y x x =-的单调减区间是 ，极小值是 ． 6. 已知函数)(x f 的导函数为)('x f ，且对于任意R x ∈，总有0 >+)()('x f x xf 成立，那么)(121 f 与)(2f 的大小关系为（ ） （A ）)()(2121f f > （B ）)()(2121f f = （C ）)()(2121 f f < （D ）不确定 7. f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足()()0xf x f x '-<，对任意正数a ，b ，若a --x x x f x f 恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 11. 已知函数2()log f x x =，正实数m ，n 满足m n <，且()()f m f n =，若()f x 在区 间2[,]m n 上的最大值为2，则n m += 12. 对于函数()f x ，若存在区间[,],()M a b a b =<，使得{|(),}y y f x x M M =∈=，

二次函数应用题题型归纳

二次函数应用题 题型一 面积问题 1星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园．其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x 米． （1）若平行于墙的一边的长为y 米，直接写出y 与x 之间的函数关系式及其自变量x 的取值围； （2）垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大值； （3）当这个苗圃园的面积不小于88平方米时，试结合函数图像，直接写出x 的取值围． 2某学校要在围墙旁建一个长方形的中药材种植实习苗圃，苗圃的一边靠围墙(墙的长度不限)，另三边用木栏围成，建成的苗圃为如图所示的长方形ABCD ．已知木栏总长为120米，设A B 边的长为x 米，长方形ABCD 的面积为S 平方米． (1)求S 与x 之间的函数关系式(不要求写出自变量x 的取值围)．当x 为何值时，S 取得最值(请指出是最大值还是最小值)?并求出这个最值； (2)学校计划将苗圃药材种植区域设计为如图所示的两个相外切的等圆，其圆心分别为 1O 和2O ，且1O 到AB 、BC 、AD 的距离与2O 到CD 、BC 、AD 的距离都相等，并要求在苗 圃药材种植区域外四周至少要留够0.5米宽的平直路面，以方便同学们参观学习．当(l)中S 取得最大值时，请问这个设计是否可行?若可行，求出圆的半径；若不可行，请说明理由． O 2 O 1 围墙 D A B C O 2 O 1 围墙D A B C E F H I J

题型二 利润问题 1利民商店经销甲、乙两种商品. 现有如下信息: 请根据以上信息，解答下列问题： （1）甲、乙两种商品的进货单价各多少元? （2）该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品300件．经调查发现，甲、乙两种商品零售单价分别每降0.1元，这两种商品每天可各多销售100件．为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲、乙两种商品的零售单价都下降m 元. 在不考虑其他因素的条件下，当 m 定为多少时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大？每天的最大利润是 多少？ 2 ,2015年长江中下游地区发生了特大旱情，为抗旱保丰收，某地政府制定民农户投资购买抗旱设备的补贴办法，其中购买Ⅰ型、Ⅱ型抗旱设备所投资的金额与政府补贴的额度存在下表所示的函数对应关系. （1）分别求出1y 和2y 的函数解析式； （2）有一农户同时对Ⅰ型、Ⅱ型两种设备共投资10万元购买，请你设计一个能获得最大补贴金额的方案，并求出按此方案能获得的最大补贴金额.