浅析有限无限

浅析有限无限

【摘要】有限、无限既有质的区别又有密切的联系。有限中存在无限；无限是由有限构成的，要通过有限来表现；有限和一定存在，无限和不一定存在；有限个无穷小量之和仍是无穷小量，无限个无穷小量之和可以是确定的数、可以是无穷小、或者不存在。无限在数学中占有十分重要的地位。

【关键词】有限；无限；联系；区别

有限叫人感觉具体，无限使人充满想象，让人对数学多一份理性的思考。0.=1对不对？很多人认为是近似等式，但它确实成立，却有很多人不服，这是一个涉及无限的问题。初等数学更多地在“有限”的领域、更多地以“有限”为手段和工具进行讨论。高等数学则更多地在“无限”的领域、更多地以“无限”为手段和工具展开讨论。极限、导数、定积分、级数等都属于“无限”的范畴，所以学习高等数学就特别需要了解无限和有限的区别和联系。

2.芝诺悖论：阿基里斯追不上乌龟

芝诺是希腊爱利亚学派的一个代表人物，可以说是第一个提出悖论的人。芝诺从哲学的角度提出了四个悖论，以下从数学的角度看看其中的一个悖论。

阿基里斯是希腊传说中跑得最快的神。一天他正在散步，忽然发现在他前面100米远的地方有一只大乌龟正在慢慢地向前爬行。乌龟说：“阿基里斯！谁说你跑得最快？你连我都追不上！”阿基里斯回答说：“胡说！我的速度比你快何止百倍！就算刚好是你的10倍，我也马上就可以超过你！”乌龟说：“就照你说的，我们来试一试吧！当你跑到我现在这个地方，我已经向前爬了10米。当你再向前跑过10米时，我又爬到前面去了。每次你追到我刚刚呆过的地方，我都又向前爬了一段距离。你只能离我越来越近，却永远也追不上我！”阿基里斯说：“哎呀！我明明知道能追上你，可你说的好像也有道理，这是怎么回事呢？”这个有趣的悖论，是公元前5世纪古希腊哲学家芝诺提出来的。之所以如此，是因为忽视了一个十分重要的因素：由于那些线段越来越短，阿基里斯跑完那些线段所用的时间也越来越短，下一次只相当于上一次的。

此悖论的症结在于无限段长度的和可能是有限的，无限段时间的和也可能是有限的。

3.希尔伯特旅馆——“有无限个房间”的旅馆

现实世界的旅馆不论有多大都只有有限个房间，客满以后就无法再安排客人入住了。“有无限个房间”的旅馆——这样的旅馆称为希尔伯特旅馆——则不然，客满以后再来客人仍然可以安排入住，由此也可以看出无限与有限的本质区别。

3.1这样的旅馆客满后又来了1位客人，老板能否安排

谈谈有限与无限的辩证关系

谈谈有限与无限的辩证关系 某物之所以为某物，是由于其内在规定性，这个规定也就构成了它的界限、有限性。然而事物由于其内在的矛盾必然要向前发展，这样它就势必会冲破自身的界限否定自身从而走向无限。这个过程就是事物由有限升入无限的过程，也是事物扬弃自身转变为他物的过程，这是一个无限的过程。任何事物在自身的发展过程中都是无限与有限的统一体，是有限，同时也是无限，这就是有限与无限之间的辩证法。 标签：有限；无限；辩证法；扬弃 [文献标识码]A 有限与无限是哲学上一对重要的范畴，它们之间是辩证的关系。黑格尔在他的《逻辑学》中对这种关系作了充分的论述，列宁在《哲学笔记》中对黑格尔的看法表示赞同，同时也给予这种论述以相当高的评价。那么依照他们的论述和评价，怎样才是正确地理解了有限与无限的这种辩证关系呢？ 一、关于有限和它的界限 黑格尔在讲实有的时候，认为任何一个事物都是具有内在规定的，这就是某物的“界限”。他从界限引出了有限，从而引出了有限与无限的辩证关系。让我们首先来看一下界限。 黑格尔说：“界限仍然在本质上是他物的非有，某物之所以有，就是由于它的界限。由于某物划了界限，它就因此同时把本身降低为被界限之物；但是它的界限，作为在它那里的他物的终止，本身同时也仅仅是某物的有；这个某物的有由于界限而成为其某物，在界限中有着它的质，这种关系是下述情况的外在现象，即：界限是单纯的否定，或第一个否定，同时他物又是否定之否定，是某物的内在的有。”〔1〕通过这段话我们就可以知道：某物之所以成为某物，就是因为它具有自己的界限。界限使某物与他物区别开来，某物就成为被限制之物，而他物就是某物界限以外之物。界限规定了某物的质，同时也构成了对某物的直接否定，他物也是对某物的否定，他物就是某物由于内在的否定而产生的，某物的内在否定使某物超出了某物的界限而成为他物，他物就是某物内在的否定，所以说他物“是某物内在的有”。这样某物就被否定而变为了他物，从而也终结了自身，这同时也说明了某物是有限的。那么有限是不是就是仅仅说某物有界限呢？ 黑格尔对于有限这样说：“某物以内在的界限而建立成为自身矛盾，通过矛盾，它被驱迫推动而超出自身，这就是有限物。”〔2〕由这句话我们可以知道，某物的自身矛盾不仅决定了自身的界限，而且还决定了它要超出自身即扬弃自身。黑格尔还说：“当我们说事物是有限的，我们的意思是说：它们不仅有规定性，质不仅是实在和自在之有的规定，它们也不仅仅是有界限的，——在界限之外，它们还有实有，——而且还不如说，非有构成它们的本性、它们的有。有有

有限与无限

“有限与无限”随想 1043111196郭铭玥软件三班 首先给大家介绍一下专业的“有限与无限”解释。 有限与无限：物质世界固有的矛盾之一。反映物质运动在时间和空间上辩证性质的一对哲学范畴。物质是不灭的、无限的，并且处在永恒的绝对运动之中，物质及其运动的永恒性、无限性，也就是物质的存在形式即时间持续和空间广延的无限性。物质的时空无限由具体的物质客体的有限时空所构成，并通过具体物质客体在有限时空上的运动和变化表现出来。有限和无限的范畴，反映了物质世界中客观存在的矛盾和辩证联系。 ——摘自《百度名片.有限于无线》 以上是哲学里关于“有限与无限”的概念，我既非哲学系的学生，也没有仔细研读过哲学范畴的内容，所以在此仅谈谈自己的理解。第一次见到这两个词摆在一起，感觉其互为矛盾，根本不可能兼容，任何一件事物或者是一种思想，你要么是有限的要么是无限的，例如树叶是绿的，花儿是红的，我们用感官世界完全就可以界定。泛读了霍金的《时间简史》，我曾很多次思考时间和空间到底是有限还是无限呢？如果是有限的话，如书中所言，时间和空间开始于宇宙大爆炸，那么在时空奇点之前世界又是怎样的一副面貌呢？是混沌，还是无限狭小的无所谓空间的境地？如果是无限，既然时间万物有其发生发展，必有其源头，一个所谓的起点事物必在一个范围内按一定的规律发生，否者何来大自然的秩序？ 康德很有名的二律背反中有这样一组命题。正题：世界在时间上有着开端，在空间上有着界限。反题：世界在时间上和空间上无限。我们日常所接受的由牛顿确立的绝对时空观念太简陋了。站在巨人的肩膀上，我知道空间并不是绝对存在的，莱布尼兹说过“物体不依靠广袤而存在，广袤却依靠物体而存在”，没有物体，没有力，没有场的地方，就不存在空间。空间依存于事物，而不是事物依存于空间。那又何谈空间的有限与无限？甚至连时间和空间都不再有意义。在有限的内部，随着自身的演进及秩序的运行，其有限性得以发生。有限与无限只是宇宙自身的同一。 死亡——曾经在深夜辗转反侧却无论如何也想不明弄不透，想象着生命可能是无限的永恒的吗？最后都是止于黑暗里的恐惧。看了耶鲁公开课《死亡》，或许有了更成熟一点的想法，至少不至于以之为无边的梦魇。柏拉图终其一生思考永恒不变的事物与“流动”的事物之间的关系，之中又尤其热衷不朽的灵魂说。我们的躯体总有一天会老旧，损坏直至化为尘土，因此人的肉体存在是有限的，可是二元论者认为肉体死亡后，还会有完全独立于肉体存在的灵魂会无限的以另一种方式存在着。有限与无限仿佛在

例谈学习中学数学中的“有限”与“无限”

例谈学习中学数学中的“有限”与“无限” 湖州二中陆丽滨 日常生活中，我们常常和有限、无限打交道：天空有边吗？星星有多少？两面镜子对照，镜子中有镜子，…，一共有多少面？文学作品中，如王之涣的“欲穷千里目，更上一层楼”；李白的“孤帆远影碧空尽，唯见长江天际流”；中国古代的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”等等，都是一种有限与无限的结合．在数学教育界也有两个尴尬的故事：一件是有一天《参考消息》译载美报刊上的“新闻”说：“美一位中学生找到了圆周率π的末位小数”，π是无理数，怎么有末位小数呢？这是个常识性错误，却经编辑与千百个人之手被广泛传播．另一件是关于0.91 =对吗？其中绝大多数师生认为“这是近似等式”，虽然最后结论是精确等式，却仍有千千万万的人“不服”．又是一个涉及无限观的常识性问题． 在今天的中学数学中，也有很多关于有限和无限的数学知识．美籍德国数学家魏尔说：“数学是关于无限的科学．”其中有限的方面叫人感觉具体、形象，便于教师教与学生学；而无限的方面使学生充满想象，让人对数学更多一份理性的思考．有限建立在无限基础之上，无限是有限的延伸．魏尔又指出：无限在数学中占有十分重要的地位，甚至可以说它是整个数学的基础． 在新课标教学中，笔者发现从必修1集合中的元素个数比较到必修3新增内容古典概型、几何概型等等，无不体现中学数学的“有限”与“无限”．下文浅谈一些中学数学中的“有限”与“无限”．一、比较两个集合的元素个数 人民教育出版社高中数学A版《必修1》第14页（2007年1月第2版，2008年5月浙江第6次印刷）阅读材料——“有限集合中元素的个数，可以一一数出来，而对于元素个数无限的集合，例如：

有限与无限_1000字

有限与无限_1000字 春意盎然，清风拂面，山变绿了，水变清了，妹妹正在像小树一样茁壮地成长。她圆圆的苹果脸，白皙的皮肤，月牙般的眼睛，快六岁了，每天欢天喜地地跑来跑去，让人看得满心欢喜。下午还像小鹿一样蹦来跳去，可是到了晚上却没精打采地躺在沙发上，饭也不想吃，妈妈过去一看，有点发烧，急忙在屋里找药，好不容易找到一盒感冒冲剂，可一瞧，已经过保质期了。 妈妈说：“算了，还是去药店吧！” 妹妹说：“那不是有药么，为什么还出去买药。” 妈妈说：“已经超过期限了，乖女儿，不能吃了。” 妹妹满脸疑惑：“超过期限了，药怎么还会有期限呢？” 妈妈很无奈地笑笑，小宝宝，有的呀！任何事物都是有期限的，她似懂非懂地点点头，或许期限对于小孩子来说，的确是一个比较难以理解的名词，可是对于我们来说，有限与无限确是经常要面对的问题。 雷锋说：要把有限的生命投入到无限的为人民服务中去。他知道生命的短暂，所以他想尽情燃烧。一个人做一件好事并不难，难的是一辈子做好事。他的一生虽然短暂，但他螺丝钉一样无私高尚的奉献精神，却牢牢地钉在了我们的心里。

泰戈尔说：天空不曾留下鸟的痕迹，但我已经飞过。大千世界，造就出的伟人屈指可数，更多的是平凡的中人，何必要为自己的平凡而心有不甘，只要我们曾经努力过，奋斗过，尽职尽责做好自己应该做的事情，开开心心地活着，即使没有成就一番轰轰烈烈的业绩，我也无怨无悔。 至尊宝说：如果非要给爱加上一个期限，我希望是一万年。爱你一万年，对你我凡夫俗子而言，无异于空头支票。多少痴男怨女曾经许下了海枯石烂的誓言，然而海未枯石未烂，倒是很多爱侣已经劳燕分飞，甚至反目相向。假如能给爱一个期限，谁又能保证这个期限能有效维持？或许比较客观的说法应该是这样，我的爱会陪伴着你，一直到你不再爱我的那一天为止。 我们不能延长生命的长度，但可以拓展生命的宽度。人的一生中，要不断地给自己归零，要及早给自己制定一个终身学习的计划。人的生命就像小草一样，生长时很旺盛、葱茏，一旦停止生长，就会枯黄、消逝。人生不售来回票，我们要有勇气改变可以改变的事情，要用胸怀改变不能改变的事情，当然，首要任务就是你必须培养出一个睿智的头脑，来区分二者。 你我在无限的宇宙中，不过是一粒尘埃，抑或下一时刻便会化为乌有，灰飞烟灭。好在我们心中都有一个世界，可以感受着，思考着周围的一切，那里有许多美好的往事，更

数学中的有限和无限

数学中得有限与无限

得,只就是当 ∞→n 时,部分与才超过任何一个指定得数,其她得发散级数通常也就是这样、数学分析中各种收敛性得判断我们都就是通过判断部分与来判断整体得收敛或发散、 4 有限由无限组成 公元前5世纪古希腊时代,在意大利半岛南部得埃利亚有一位叫芝诺得哲学家就留下一个很有意思得“二分说”论——为了从自己现处位置A,走向门得位置B,必须通过AB 得中点、从A 到AB 得中点,其中间还有中点……[]9如此考虑下去,从A 到B 得有无穷个这类中点、由此可见,有限得AB 段即使就是很短很短得一段线段也就是由无数个类似得中点组成得、 最近在书上瞧到这样得一句话,我觉得引用来这里就是一个很好得例子说明有限 就是由无限组成 “一尺之锤,日取其半,万世不竭” 2、说得就就是一尺之长得短棍, 今天取其中得一半,明天取其中得一半得一半,后天再取其中得一半得一半得一半,……依次类推下去,您就会发现这仅仅一尺之长得短棍竟然取不尽、 一尺之长得短棍本就是一个有限得物体,但它却可以无限地分割下去、这就给我们讲明了其实有限与无限就是统一,有限之中有无限,有限就是由无限组成得、用数学得语言去表示,那就更加得一目了然、 ()+∞∈=+++++++=+++++++=+++=+n ,1n 1n 1n 1n 1n 1n 1n 1n 118 18181818181818114 141414112 121 再如著名得康托(Cantor)集得构造6即我们所谓得三分点集构造: 一段长度为一米得直线段,做以下处理 第一次 我们挖去一个,其长度31,而余下2个,长度3 1; 第二次 我们挖去两个,其长度91,而余下22个,长度21193; 第n 次 我们挖去n 12个,其长度n 31,而余下n 2个,长度n 3 1; 显然,如此继续下去,直到无穷次后,由于在不断地分割舍弃得过程中,所形成得线点集就就是一个无限集、显然,这构造理论再次说明了有限就是由无限组成得、 再如,我们所有人都认识得两个简单得自然数0与1,然而在它们之间,我们却可以

有限公司与无限公司

111有限责任与无限责任是投资者对其投资企业的债务承担责任的形式。所谓有限责任即有限清偿责任，指投资人仅以自己投入企业的资本(出资额)对企业债务承担清偿责任，资不抵债的，其多余部分自然免除的责任形式。如某人向一有限责任公司投资100万元人民币，而公司因故经营不善而发生亏损，亏损额分摊到该投资人名下的为120万元，由于他承担的是有限责任，则他只需以100万元的投资本金承担责任即可，多余的20万元对该投资人依法予以免除。一般而言，法人类企业的投资者对企业债务均承担有限责任。如我国公司法规定，股东以投资公司的资本为限对公司债务承担有限责任。无限责任即无限清偿责任，指投资人对企业债务不以其投入的资本为限，当企业负债摊到他名下的份额超过其投入的资本时，他除以原投入的资本承担债务外，还要以自己的其他财产继续承担债务。举例来说，一个人投入企业的资本为1万元，而企业债务分摊到他身上的份额为1．5万元，如属有限责任股东，他只以1万元承担责任即可，其他债务依法免除；如属无限责任者，则他除以其投入企业的1万元投资承担债务外，还须另外拿出自己的5000元来清偿债务。如他的其他所有财产不足以清偿债务的，就只能依法申请破产保护，即由法院依法判定免除或推迟其债务。根据国际上的通行做法，合伙企业的普通合伙人和部分一人公司的投资人对其投资企业的债务应承担无限责任。我国合伙企业法规定，合伙企业的合伙人都要对企业债务承担无限责任。 111有限责任公司又称有限公司，是指符合法律规定的股东出资组建，股东以其出资额为限对公司承担责任，公司以其全部资产对公司的债务承担责任的企业法人。无限责任公司，由两个以上负无限清偿责任的企业法人。这种形式的公司的特点：（1）股东对公司承担无限责任。无限责任公司的股东不是仅以出资额而是以其出资额和全部个人财产对公司债务负合责。当公司资产不足以清偿债权人债务时，股东要以其私人财产偿还债务，直至偿付完毕。（2）股东承担连带偿债责任。全体股东共同对公司债务负责，而且每个股东都承担着偿付公司全部债务的责任。公司债权人有向公司任一股东提出清偿债务的权利，直到债务全部清偿为止。（3）是典型的人合公司。无限责任公司的股东都是自然人。公司的组建主要是基于股东之是的信任关系，公司的信用取决于股东个人的信用。股东一般直接参与公司的经营管理。股权的转让必须征得全体股东同意。（4）公司应有两个以上股东。无限责任公司组织简单、商业保密性强、公司信用好，但股东承担的风险很大，公司规模也受到限制。 一、无限(责任)公司 无限(责任)公司就是全体股东对公司债务承担连带无限责任的公司。所谓连带无限责任包括两层含义：(1)股东对公司债务负无限责任。就是指股东要以自己的全部资产对公司债务负责。当公司资不抵债时，不管股东出资多少，都要拿出自己的全部资产去抵债。(2)股东对公司债务负连带责任。即全体股东共同对公司债务负责，且每一个股东都承担全部债务的责任，在公司资不抵债时，债权人可以要求股东偿债，他既可要求全体股东共同偿债，也可只对其中一个股东提出偿债要求，股东不得拒绝，当一个股东偿还了公司的全部债务后，其他股东就可解除债务。除此之外，连带责任还包括：股东对其加入公司前公司所发生的债务也要负责；在退股登记后，股东对退股时公司所发生的债务在退股后二年内仍负有连带责任；在公司解散后的3年至5年内，股东对公司债务仍负有偿还责任。 无限公司的股东至少要有两个，公司资本是在股东相互熟悉、相互信任的基础上，出资形成的。在这里，人身信任因素起着决定性作用，非至亲好友难以成为公司股东。因此，人们也称无限责任公司为"人合公司"。（人合公司(personal Company) ,是指以股东的个人信用为公司信用基础的公司。具有很强的合伙色彩。股东之间具有很强的信任性，关系密切。无

有限与无限思想在高考数学解题中的应用-最新教育文档

有限与无限思想在高考数学解题中的应用 有限与无限思想方法就是把有限问题转化为无限问题，把无限问题转化为有限问题，并利用二者间的转化来解决问题。高考试题中运用有限与无限思想来解题的有很多，比如说极限、导数、数学归纳法等这些都是典型的有限与无限思想方法的应用。 下面结合高考例题谈谈有限与无限思想在高考数学解题中的具体应用。 一、在极限中的应用 近几年，高考对数列和函数极限的考查有所加重，题型主要以选择填空为主，难度在中等以下。数列极限主要以■型为主，或是在解答题中与数列问题相结合。函数极限主要考查四则运算和函数连续性的概念，或是与导数问题结合出现在解答题中。 例1：（2011年重庆卷理科3题）已知■(■+■)=2，则a=( )。 A.-6 B.2 C.3 D.6 分析：本题考察的是函数极限的概念及运算，已知当x→∞时函数的极限值求a，属于简单题。 例2：（2010年湖北卷理科7题）在半径为r的圆内做内接正六边形，再做内接正六边形的内接圆，又在此内接圆内做内接正六边形，如此无限继续下去。设Sn为前n个圆的面积之和，则■Sn=( )。A.2πr2 B.■πr2 C.4πr2 D.6πr2 分析：先求出这n个圆各自的半径rn=(■)n-1r，得到圆的面积Sn关于rn的表达式Sn=π[(■)n-1r]2，我们知道Sn是随着n的变化而变化的，n的变化是无限的。各个圆的面积Sn组成了一个无穷递缩等比数列，此题研究的是n无穷大时数列极限的问题，它将圆的面积之和转化为当n→∞时Sn的极限值，是有限与无限思想的典型应用。 极限研究的是数列和函数在无限过程中的变化趋势，从无限回归到有限或将有限化为无限是解决这类问题的指导思想。 二、在导数中的应用

论述有限与无限的区别与联系

论述有限与无限的区别与联系 有限与无限：物质世界固有的矛盾之一。反映物质运动在时间和空间上辩证性质的一对哲学范畴。物质是不灭的、无限的，并且处在永恒的绝对运动之中，物质及其运动的永恒性、无限性，也就是物质的存在形式即时间持续和空间广延的无限性。物质的时空无限由具体的物质客体的有限时空所构成，并通过具体物质客体在有限时空上的运动和变化表现出来。有限和无限的范畴，反映了物质世界中客观存在的矛盾和辩证联系。 有限集和无限集的辨证关系数学中的有限和无限是对现实世界的有限和无限的反映。整个物质世界的发展变化就是有限和无限的统一无限性首先就是指物质世界的无限性，宇宙的无限性。运动是物质的固有属性，时间和空间是物质的存在方式，物质世界的无限性就表现为时间的无限持续和空间的无限广延。数学中的无限性就是这种物质世界无限性的反映。有限则是说一切事物都存在具体的时间和空间之中，因此总是一段时间，有规模的、有界限的。即一切事物都是具体的事物。数学中的有限就反映了这种有限性。有限和无限是对立的统一，它们既是对立的，有区别的，又是相互联系的。并在一定条件下相互转化的。 数学中的无限和有限也反映了有限与无限相互转化这一点。例如，整数集是一个无限集合，人们无法得到一个完成了的整数集。但每个整数又都是有限的。我们可以得到任意的整数。任意给出一个数学的对象，我们立即就能判定它是否属于整数集，这样看问题，整数集又是一个完成了的集合，是一个有限的概念。因此整数集本身就是一个无限和有限的对立统一体。有限和无限是对立的、有区别的，有限集合和无限集合的性质有质的不同。例如一个有限集和它的任何一个真子集都无法建立一一对立关系，而无限集则可以与它的一个真子集建立一一对应关系。比如，自然数集和它的一个真子集偶自然数集就可以建立一一对应关系。再如，一个有限的良序数集，自然数集的一个有限数集必然有最大数和最小数。但是无限的良序数集则没有这种性质，实数集就没有最大数也没有最小数。有限和无限又是密切相联系着的，没有有限也就没有无限，没有无限也就没有有限。无限性是不能完全被证明或者说被完全实现的。这并不是因为无限性不存在，而只是因为如果无限性一旦得到完成，得到实现，那它就不再成为无限，而变成有限。但是如果所有的无限都变成有限，无限就不存在了，因此有限也就不存在了。由于有限是存在的,所以无限是不能完全实现的。事实上，有限的总和构成无限，无限是通过有限而存在的。这种情况在数学中也得到反映，比如整数集是由一个个具体的整数组成的，而这个集合的无限性就是通过无数个有限的整数总和表现出来的。有限和无限在一定条件下能够相互转化。比如，物质是无限可分的，这个分的过程就是一个有限和无限互相转化的过程。 有限与于无限的区别与联系：区别在于：第一：无限集合中“部分可以等于整体”第二：“有限”情况成立的许多命题，对于“无限”情况不再成立。联系在于：无限与有限有着本质的区别，也有许多联系。正因为两者有本质的区别，在有限与无限间建立联系的方法，往往十分重要。数学史上的三次危机都与无限有关：希帕索斯的无理数悖论、贝克莱的无穷小悖沦、

2013年高考数学预测新课标数学考点预测(31)：有限与无限思想

2013年高考数学预测新课标数学考点预测（31） 有限与无限的思想 一、考点介绍 1、有限与无限的思想就是将无限的问题化为有限来求解，将有限的问题化为无限来解决，利用已经掌握的无限问题的结论来解决新的无限问题. 2、把对无限的研究转化为对有限的研究，是解决无限问题的必经之路. 3、积累的解决无限问题的经验，将有限问题转化为无限问题来解决是解决有限问题的一个方向，同时有利于解决新的无限的问题. 4、立体几何中求球的表面积与体积的推导，实际上是先进行有限次分割，然后再求和、求极限；数学归纳法就是通过对有限的研究来解决无限的问题等等，这些都是典型的有限与无限思想的应用.取极限和数学归纳法就是由有限与无限的思想得到的具体的方法. 5、有限与无限的思想在近几年的高考中已经有很多具体的体现，随着高中课程改革，对新增内容的深入考查，必将加大对这一思想的考查,所以我们考前应该予以重视.二、高考真题 1.(2008安徽卷，理，14)在数列{}n a 在中，542 n a n =? ，2 12n a a a an bn ++=+?，* n N ∈,其中,a b 为常数，则lim n n n n n a b a b →∞?+的值是. 【解析】本题根据通项与前n 项和可以求出常数,a b 的值，再对所给的有限项求极限.这里我们要利用已经掌握的无限的结论(即lim 0(||1)n n q q →∞ =∈)来解决新的极限问题. 【答案】由5 42 n a n =? 知，{}n a 是公差为4的等差数列，故123(1) 4 22 n n n a a a n ?++=+??2an bn =+，解得2a =，12b =?，从而1 1()1()4lim lim lim 111(1()4 n n n n n n n n n n n b a b a b a b a →∞→∞→∞???===+++.2.(2005年福建卷，理，22)已知数列{}n a 满足1a a =,11 1n n a a +=+我们知道当a 取 不同的值时，得到不同的数列，如当1a =时，得到无穷数列：;.,35 ,23,2,1…当2 1?=a 时,得到有穷数列：0,1,2 1 ?? .（Ⅰ）求当a 为何值时40a =；（Ⅱ）设数列{}n b 满足11b =?, 11 ()1 n n n N b b ++= ∈?，求证：a 取数列{}n b 中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{}n a ；

有限和无限的游戏读后感1500字

有限和无限的游戏读后感1500字 导读：读书笔记有限和无限的游戏读后感1500字，仅供参考，如果觉得很不错，欢迎点评和分享。 有限和无限的游戏读后感1500字： 前些天在网上看到有人推荐这本书，也忘记为什么推荐，就买下来了。今天才读了34页，不由大惊，平实的语言竟有如此诡异的力量，竟然能时时刻刻影响着我。一些感悟也蓬勃喷涌，便有了这篇读书感悟。这本书一共188页，所以后续应该还会有其他感悟，这是其一。 什么是有限和无限的游戏？ 在美国哲学家詹姆斯·卡斯的眼中，在这世上至少有两种游戏，一种称为有限游戏，另一种称为无限游戏。有限游戏以取胜为目的，无限游戏以延续游戏为目的。 有限游戏是一种有边界的，必定会终结的，以取胜为目的的游戏，这种游戏需要有参与者，还要有对手，有敌方和友方。有限游戏没有太多惊奇，它从一开始就给自己找到了那个胜利。但惊奇却是一个关键因素，谁拥有惊奇谁就占有先机。有限游戏本身还存在一个巨大的矛盾，参与者渴望终结游戏，因为只有终结游戏，才能取胜。有限游戏的目的是获得头衔。 无限游戏是一种无时间空间界限的游戏，它的游戏目的是延续游戏，让每一个参与者都持续参与进去。这个游戏参与者只能自由参加，

谁若是被迫参加，他就失去了游戏的意义。无限的游戏中，参与者除了名字，什么都没有，他们肉体的死并不意味着游戏终结，他们也没有带着灵魂不朽这种永恒参与这场游戏。无限游戏同样有一个悖论：参与者要延续游戏，就渴望他们继续，只有他人继续游戏，参与者的游戏才能延续。 有限游戏一段一段的，它的取胜，是由过去到未来的奖励。无限游戏无边无际，它根本没有取胜，也没有奖励。 感悟： 我上面写的话，有的是摘抄，有的是大意，我想，应该很多人会一脸懵逼吧。 我刚开始也是这样的，然而当我放下书去洗澡，然后准备锻炼的时候，我猛然发觉，我不就是在进行一场有限游戏吗？我难道不是给了自己一个边界：成为一个健康的人？我的取胜，是以身体健康为结束吗？我在游戏的过程，我生命是否便放弃了其他东西？那么进行游戏的这段时间，本来就属于我生命的一部分，我有没有，享受这个过程呢？ 结果是一瞬间，但过程才是持续。太刻意求结果，失去了过程，岂不是陷入了有限游戏的世界里？我是否非常渴望结束这场游戏呢？当我打开其他的历史书时，我看书一字也看不下去。我想，看不下去为什么还要看？我是否也在进行一场有限游戏？我只是把看完书架上的书为目的，却忽视了书本身的意义。我的态度，显然是不正确的。 在这世界，不管是有限游戏，还是无限游戏，我们必须确定，自

粗谈有限和无限

粗谈有限和无限 牛华颖 （数学科学学院 1410055） 【摘要】：数学中有限和无限在哲学中有重要体现，哲学中也经常涉及到有限和无限的问题，本文主要是粗谈数学中有限和无限的联系和区别，并且浅薄地将其从哲学的观点来体现，着重讲述无限时不同的性质。 【关键词】：有限；无限；联系；区别 虽然课堂上老师讲过有限和无限的问题，但我对有限和无限颇感兴趣，课下读了部分相关书籍，现在，我来谈谈我对于有限和无限浅薄的认识。 在马克思出现之前，著名的哲学家都是唯心论者，唯物主义者在遭遇唯心主义者时，有一个简单的问题，他们就解释不了，唯心主义者问：有无限这个概念，但这世上有无限的例子吗。显然，自然界中，一切都是有限的，并没有什么是无限的。你头发的数目是有限的，大概几十万根；世上的人口数是有限的，目前几十亿；宇宙中的星体是有限的，只是暂时限制于科学水平还不能估算出数量······也许你会说，一个桌面有无限个点组成，然而，点也是人们抽象出的概念，你不可能在自然界中找到一个孤立的点。所以说，这个世上，没有无限的例子，唯物主义者就这样败在唯心主义者的手上。 一，有限和无限间的联系 虽然说，世上并没有无限的例子，然而，无限却是有限的基础。这个话听起来可能有点绕口，我举个例子说明。比如说，我假设自然数个数是有限个的，9999999是最大的自然数，那比9999999大的数，我们得忽略它；那么，相加结果大于9999999的式子比如说9999998+2就得不到结果，则我们平时使用的计算规则即数学的基础就是错误的，数学这座大厦就会轰然倒塌。然而，事实并不是如此。因为每当我们使用加减乘除这些技巧时，我们会将自然数

数学中的有限和无限

数学中的有限和无限 庄清清 摘要本文主要总结了数学中有限与无限的关系，通过实例讨论了无限是有限的基础，无限是由有限构成的，有限由无限组成，无限是有限的延伸，并讨论了它们的质的区别以 及相互关系，为更好的理解有限和无限的关系提供了一些参考. 关键词有限，无限关系 1 引言 “数学是讲述无限的科学.”这句话是代表20世纪数学界辉煌发展的著名数学家、美国普林斯顿高级研究所魏尔教授的至理名言.怎么听起来，这话让人感觉有些奇特而难以捉摸，但事实上数学中的无限的确蕴含着许多令人不可思议奥秘的东西. 然而，以前人们都认为数学是有限的，直到笛卡尔引入的坐标法以及微积分的问世之后，人们才清醒地意识到数学是从有限向无限发展的.这一个发现，结束了初等数学年代而进入了变量数学年代.美国数学史家贝尔说“没有一个一致的数学无限理论,就没有无理数理论，就没有与我们现在所有的即便稍许相似的、任何形式的数学分析,最后,没有分析,像现在存有的大部分数学——包括几何和大部分的应用数学——就不存在了”.由此可见,无限在现代科学数学发展领域中占据着十分重要的地位，甚至可以说，没有无限的延伸，就没有现代的科学数学. 在我们的日常生活当中，我们一般都习惯了数学领域的有限性，因为我们所接触的东西大多数都可以摁摁手指或者脚趾就可以数得清楚了，有限的人，有限的杯子，有限的盘子等等，于是无限的领域就像个无底洞，让我们觉得高深莫测了，但是当我们仔细地想一想，就会清楚地发现数学中，无限其实是由有限构成，而有限又包含着无限，两者相互交叉，相互联系，就例如我们生活中最常见的一条绳子，你就可以将它剪成无数的小段一样，另外我们大家所熟悉的自然数序列“1，2，3，4，5，6，7，8，9， ,n , ”，当你一个个数字的去数，你就会发现自然数序列实际上是一个永远在增长着的没完没了的数列，这就是所谓简单而又让人费解的数学中的无限领域，然而，它又恰恰是由一个个有限的单位组成的. 无限是如此的神秘，“自古以来，没有别的问题像无限这样深深地激动过人的情绪，没有别的想法像它这样富有成效地焕发过人的精神.同时，也没有别的概念像它这样迫切需要澄清 ”[]1.它引发了三次数学危机：第一次危机发生在公元前580～568 年之间的古希腊，数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派，他们错误地认为，宇宙间的一切现象都归结为整数或整数之比.第二次数学危机发生在十七世纪.十七世纪微积分诞生后，由于推敲微积分的理论基础问题，数学界出现混乱局面，即第二次数学危机.第三次数学危机发生在1902年，罗素悖论的产生震撼了整个数学界，号称天衣无缝，绝对正确的数学出现了自相矛盾.这三次数学危机都使人们深刻地认识到无限的重要性. 下面我们观察一下几个式子

高等数学教学有限与无限过程的划分

高等数学教学有限与无限过程的划分 [摘要] 高等数学教学中有限与无限量的变化规律及有联系又有区别,在教学中要时刻注意区分,这样才不致于出现把有限量的法则,规律用于无限量. [关键词] 教学;有限;无限;区分. 高等数学是由极限的思想和理论产生发展起来的,并以极限为工具刻划了微分和积分以及无穷级数等无限过程的概念.通过有限到无限变化过程的描述,把直与曲,方与圆,变与不变等矛盾从代数与几何的双重角度分析,归纳使之化为辩证的统一.那么有限与无限过程是如何演变的,在教学中又如何区分呢,下面举例说明. 一. 圆的面积. 三国时代我国著名数学家刘徽创造了”割圆术”,从而解决了求圆面积的问题他首 先做圆内接正六边形 ,再做正12边形,正24边形……一直做下去,虽然边数越来越多,但是无论是正几边形,哪怕是成千上万边形,它都不是圆,仍然是正多边形,只有当边数无限增大时,这个无限就成为转折点把有限过程转化为无限过程,从而发生了质的变化,直边演变成了曲边,内接正多边形演变成了圆,从而得到正多边形面积当边数无限增大时的极限就是圆的面积.这个过程经过了若干年,这样随着圆面积的求法产生了极限的概念,这是无限过程的硕果,这个发明充分的体现出人类无限的想象力和非凡的创造力.经过极限这个无限过程,使正多边形发生了质的变化,演变成一个圆.使几何上直线与曲线得到辩证统一.其实在解析几何里直线本来就是曲线的特例,化直为曲这是无限过程的非凡作用.是有限过程做不到的.同时以直代曲也是重要的数学思想.有限到无限是数学发展的一个飞跃.标志着数学发展到一个高级阶段. 二. 有限集,无限集. 我们每个人都知道整体大于部分这个事实,但在集合论中整体大于部分这条古老的公理却发生了矛盾.众所周知当两个集合的元素有一一对应关系时,其元素个数相等,比如集合A={1,2,3,4}和B={}4,3,2,12222它们可建立一一对应关系,所以它们的元素个数相等.但是对于自然数集N={1,2,3,4…}和其平方数集M={...}4,3,2,12222就不那么简单了,显然M 是N 的部分元素构成的集合,比如2N ∈但2M ?,然而N 与M 两个集合的元素也可建立一一对应关系,因此它们的元素个数应该相等.这使我们很难理解,整体既然大于部分,它怎么又等于部分呢?这是否具有普遍性呢?经过分析,在有限集中整体总大于部分,看来是无限集惹得祸,确实在无限集中整体大于部分就失灵了,我们不能简单的说两个无限集的元素谁多谁少.这个事实提醒我们在教学中有限集和无限集的理论不能混为一谈,有限集的有些理论,法则,公理不能直接用到无限集. 三. 定积分的概念 我们知道定积分?b a dx x f )(是一个积和式的极限.由于

数学中的“有限与无限”的思想

数学中的“有限与无限”的思想 一、知识概述 1、有限与无限的思想就是将无限的问题化为有限来求解，将有限的问题化为无限来解决，利用已经掌握的无限问题的结论来解决新的无限问题. 2、把对无限的研究转化为对有限的研究，是解决无限问题的必经之路. 3、积累的解决无限问题的经验，将有限问题转化为无限问题来解决是解决有限问题的一个方向，同时有利于解决新的无限的问题. 4、立体几何中求球的表面积与体积的推导，实际上是先进行有限次分割，然后再求和、求 极限；数学归纳法就是通过对有限的研究来解决无限的问题等等，这些都是典型的有限与无限思想的应用.取极限和数学归纳法就是由有限与无限的思想得到的具体的方法. 5、有限与无限的思想在近几年的高考中已经有很多具体的体现，随着高中课程改革，对新增内容的深入考查，必将加大对这一思想的考查,所以我们考前应该予以重视. 二、典例分析 1.在数列{}n a 在中，542 n a n =- ，212n a a a an bn ++=+L ，* n N ∈,其中,a b 为常数，则lim n n n n n a b a b →∞-+的值是 . 【解析】本题根据通项与前n 项和可以求出常数,a b 的值，再对所给的有限项求极限.这里我们要利用已经掌握的无限的结论(即lim 0(||1)n n q q →∞ =∈)来解决新的极限问题. 【答案】由542n a n =- 知，{}n a 是公差为4的等差数列，故123(1)422 n n n a a a n -++=+?L 2an bn =+，解得2a =，12b =-，从而11()1()4lim lim lim 111()1()4 n n n n n n n n n n n b a b a b a b a →∞→∞→∞---===+++. 2. 已知数列{}n a 满足1a a =,11 1n n a a +=+我们知道当a 取不同的值时，得到不同的数列，如当1 a =时，得到无穷数列：;.,35 ,23,2,1K 当21- =a 时,得到有穷数列：0,1,2 1 --. （Ⅰ）求当a 为何值时40a =； （Ⅱ）设数列{}n b 满足11b =-, 11 ()1 n n n N b b ++= ∈-，求证：a 取数列{}n b 中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{}n a ； （Ⅲ）若 )4(22 3 ≥<

例谈中学数学中的有限与无限

范围是（一∞，－１． 二 与该例类似的问题在各种期刊和教辅资料中均能见到，且解法与该例的“正确解答”相同．但笔者对上述解法存在不同看法．为方便说明现将有关教材中的内容摘录如下 １．《初二代数》（人民教育出版社数学室编，１９８９年１２月第二版）设口＜ｂ，那么：１．不等式组｛戈＞？的解集是石＞ｂ；２．不等式组ｆ戈＜？的解集是菇＜口；３．不等式组ｆｚ＞？的解集是口＜ｘ＜６；４．不 ｔＸ＜ｂ 等式组｛“、“的解集是空集． ｔｘ＞ｂ ２．全日制普通高级中学数学教科书（必修）第一册（上）ＰⅧ：设ａ，ｂ是两个实数，而且口＜ｂ．我们规定：（１）满足不等式口≤ｚ≤ｂ的实数戈的集合叫做闭区间，表示为［１７，，ｂ］；（２）满足不等式ｔ／，＜戈＜ｂ的实数戈的集合叫做开区间，表示为（口，６）；（３）满足不等式口≤并＜ｂ或ｏ＜戈≤ｂ的实数ｘ的集合叫做半开半闭区间，分别表示为［ａ，ｂ），（口，ｂ］． ３．人教Ａ版新教材必修ｌ与上述规定相同，这里从略． ４．全日制普通高级中学数学（必修）第一册（上）《教师教学用书》ｐⅦ：某些以实数为元素的集合有三种表示方法：集合表示法、不等式表示法和区间表示法．例如，大于３而小于７的实数的集合可表示为如下三种形式｛ｘ３＜戈＜７｝，３＜聋＜７，（３，７）．对于具体问题，教材中并不要求固定采用哪种表示方法，可根据习惯或简明的原则来采用．由上述规定可知①｛算Ｉ口＜菇＜ｂ｝，ａ＜算＜ｂ，（口，ｂ）是同一集合的三种表示，②集合的三种表示方法的前提都是口＜ｂ．③若一个集合为｛髫Ｉｔ／，＜ｘ＜６｝，意味着ｎ＜ｂ且｛ｘ＞口．④空集是不能表示 Ｉ．ｘ＜ｂ’ 为上述三种中的任何～种形式．由此上例的“正确解答”是错误的，正确解答如下 ｒ口一１≥一ｌｆｏ≥ｏ解由题意得｛２ａ一３≤４所以｛口≤ｉ／所 。ｏ—ｌ≤２ａ一３【口≥２ １一， 以２≤ｏ≤÷因此ｎ的取值范围是［２，÷］． 例谈中学数学中的“有限＂与“无限＂ 浙江省湖州二中３１３０００陆丽滨沈恒 浙江省金陵高级中学３１３１００李云 日常生活中，我们常常和有限、无限打交道：天空有边吗？星星有多少？两面镜子对照，镜子中有镜子，…，一共有多少面？文学作品中，如王之涣的“欲穷千里目，更上一层楼”；李白的“孤帆远影碧空尽，唯见长江天际流”；中国古代的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”等等，都是一种有限与无限的结合．在数学教育界也有两个尴尬的故事：一件是有一天《参考消息》译载美报刊上的“新闻”说：“美一位中学生找到了圆周率仃的末位小数”，盯是无理数，怎么有末位小数呢？这是个常识性错误，却经编辑与千百个人之手被广泛传播．另一件是关于０．９＝ｌ对吗？其中绝大多数师生认为“这是近似等式”，虽然最后结论是精确等式，却仍有千千万万的人“不服”．又是一个涉及无限观的常识性问题． 在今天的中学数学中，也有很多关于有限和无限的数学知识．美籍德国数学家魏尔说：“数学是关于无限的科学．”其中有限的方面叫人感觉具体、形象，便于教师教与学生学；而无限的方面使学生充满想象，让人对数学更多一份理性的思考．有限建立在无限基础之上，无限是有限的延伸．魏尔又指出：无限在数学中占有十分重要的地位，甚至可以说它是整个数学的基础． 在新课标教学中，笔者发现从必修１集合中的元素个数比较到必修３新增内容古典概型、几何概型等等，无不体现中学数学的“有限”与“无限”．下文浅谈一些中学数学中的“有限”与“无限”． １比较两个集合的元素个数 人民教育出版社高中数学Ａ版《必修１》第１４页（２００７年１月第２版，２００８年５月浙江第６次印刷）阅读材料——“有限集合中元素的个数，可以一一数出 ６３ 万方数据

对时间和空间的无限性和有限性的思考

对时间和空间的无限性和有限性的思考 时间和空间是有限的还是无限的？ 在古代，因受科学发展水平的限制，人们常以直观经验和思想为基础思考问题，中国战国时期有这样的句子“上下四方曰宇，往古来今曰宙”，这里的“宇”和“宙””就是空间和时间的概念，认为时间和空间是有限的。随着科学技术的发展，人们对宇宙有了更有效的观测手段，对时间和空间有了进一步的认识。卢克莱修、布鲁诺、黄宪、王充等无限论者对宇宙边界说进行了否定与反驳，提出时间和空间是具有无限性的，是指整个物质世界在时间上无始无终，在空间上无边无际。 马克思主义哲学理论中的时空有限性与无限性时间和空间不仅是绝对的和相对的，是一般与特殊的辩证统一，同时也是有限的和无限的，是有限与无限的辩证统一。 1、时间和空间无限性与有限性的含义 时间的无限性是指物质在持续性方面的无限性，整个宇宙的持续性是无始无终、无尽无休的。时间的有限性是指每一具体事物的发展过程是有始有终、有尽有休的。空间的无限性是指物质在广延性方面的无限性，整个物质世界的广延性是无穷无尽、无边无际的。空间的有限性是指每一个具体事物的广延性是有穷有尽、有边有际的。 整个宇宙在时间和空间上是无限的，但物质的各种具体形态在时间和空间上都是有限的。任何一种物质存在的具体形态及其运动都是整个世界的一个部分，都处于历史发展过程的一定阶段。它们都有自己产生、发展和灭亡的过程，也都具有各自的形态、体积和规模，并占据着相应的位置。不论宇宙天体，还是微观粒子，甚至各种社会形态，在时间空间上都是有限的。 2、时间和空间有限性与无限性的辩证关系 时间和空间的无限性与有限性是辩证统一的。 （1）无限包含着有限，无限由有限组成。各种具体事物的数量是无限的，它们的转化、发展是无穷的。正是无数有限的具体事物，构成了无限的物质世界;无数具体事物有限的时间和空间，构成了物质世界无限的时间和空间。物质世界在时间和空间上的无限性，是通过一个个具体事物的有限时间和空间表现出来的。

第二章 第三节 有限与无限的问题

第三节有限与无限的问题 教学目标 1.了解芝诺悖论的症结和意义 2.理解有限和无限的联系和区别 3.掌握潜无限和实无限的简史 教学重点 理解有限和无限的联系和区别 教学过程 一、引入 高等数学与初等数学的区别？ 更加全面； 更加深刻； 更加细微； 更加本质； 更加理论化； 更加系统化； ………… 从研究“常量”发展到研究“变量” 从研究“有限”发展到研究“无限” 初等数学更多地在“有限”的领域里讨论，更多地以“有限”为手段和工具进行讨论； 高等数学则更多地在“无限”的领域里讨论，更多地以“无限”为手段和工具进行讨论。 二、新授 1.芝诺悖论

悖论：从“正确”的前提出发，经过“正确”的逻辑推理，得出荒谬的结论。 悖论（paradox）具体是指：由一个被承认是真的命题为前提，设为B，进行正确的逻辑推理后，得出一个与前提互为矛盾命题的结论非B；反之，以非B为前提，亦可推得B。那么命题B就是一个悖论。 例如：“甲是乙”与“甲不是乙”这两个命题中总有一个是错的； 但“本句话是七个字”与“本句话不是七个字”又均是对的，这 就是悖论。 再如：“万物皆数”学说认为“任何数都可表为整数的比”；但以1 为边的正方形的对角线之长却不能表为整数的比，这也是悖论。 1. 外祖母悖论 我会穿梭时空，回到过去，把我自己的外祖母杀了。我外祖母没了，我妈就没了，我也就没了。而我没了，就没有人杀我外祖母，我外祖母就不会死，那我又有了。而有了我，外祖母就没了，我也就没了……这就是悖论， 自己与自己就有矛盾。 2.说谎者悖论——自指引发的悖论 “我正在说谎” 有克利特人中的一个本地中先知说：“克利特人常说谎话，乃是恶兽，又馋又懒”(《圣经·提多书》第一章) 3.“说谎者循环” A说：“下面是句谎话。 B说：“上面是句真话。” （1）、芝诺悖论---由无限引出的 芝诺（前490？—前430？）是（南意大利的）爱利亚学派创始人巴门尼德的学生。他企图证明该学派的学说：“多”和“变”是虚幻的，不可分的“一”及“静止的存在”才是唯一真实的；运动只是假象。于是他设计了四个例证，人称“芝诺悖论”。这些悖论是从哲学角度提出的。 1）两分法

浅谈对时间与空间的有限性与无限性的认识

浅谈对时间与空间的有限性与无限性 一、时间与空间的有限性与无限性的发展历史 在古代，由于受生产和科学发展水平的限制，人们对于宇宙空间的观测只能凭借于感性直观，因而极大地限制着人们的观测视野。人们以自己的感性直观表象来构造宇宙图景，由此形成最早的宇宙模型。但是无论是周朝的盖天说、浑天说，还是古代西欧的所谓宇宙球壳的说法，都设定了宇宙的空间边界，断言存在着某一确定的空间度量限度，反映了宇宙空间的有限性。同时，限于科学发展水平，古代的无限论者无法达到或突破宇宙有限论者所虚构的那些时空度量界限，只好以自己的想象来向这些东西进行挑战，对这些被设定的时空度量限界予以抽象的否定，他们总是以比喻的手法，想象的形式，千篇一律地只是对这些界限本身提出诘难，并且仅仅以此来证明与之相反的观点的正确，因而时空的无限性概念就建立在这种对宇宙有限论的抽象否定的基础上，并得不到认可，虽然卢克莱修、布鲁诺、黄宪、王充等无限论者对宇宙边界说进行了否定与反驳，但仅仅局限于对时空有限性的纯粹否定，未对时空的无限性概念做出更具体的规定。因此，时空有限论曾长期占据统治地位。 十七世纪，牛顿把时空无限性概念与万有引力定律联系起来，他在建立自己的宇宙模型时，以“普适的”万有引力定律作为判断空间是有限还是无限的根据或出发点。他曾这样阐述空间无限性观点的：“假使(形成)我们的太阳和它的行星的物质以及宇宙间其他物质均匀地散布在太空，而且每个粒子都对其它粒子具有内在的引力，我们还假定散布着物质的空间只是有限大小，那末在这空间里的物质由于引力作用都从这空间的极边处自外向内集合起来，其结果在这空间的中心形成一个巨大的团块。”很显然，我们世界的实际情况并非此。因此，牛顿否定了空间有限的观点。空间的无限性似乎第一次获得了真正自然科学的“证明”。 爱因斯坦的广义相对论是对时空有限论与无限论的进一步发展，其本身并没有对时空有限还是无限的问题给出确定的回答，它既允许在空间度量上无限的模型，也允许在空间度量上有限的模型；至于在时间度量上有限或无限的问题，则取决于对由场方程所推导出的那种奇异状态的诠释。 在近现代，时空有限性和无限性得到了进一步发展，其中的空间无限性概念不再简单地是从空间的任一方向，而是从它的“整体”来反映空间特性的，其意义是：表征宇宙空间体积的数量可以单调地、无止境地任意添加。从认识方法上说，在现代宇宙学之前，时间和空间是有限还是无限的问题，是被当作两个互不相干的问题完全分开来考察的，而在现代宇宙学中，这两个问题密切联系起来了。但要在时空有限还是无限之间判别孰真孰假，还是非常困难的。 二、马克思主义哲学理论中的时空有限性与无限性