等比数列教案
等比数列教案
【篇一：等比数列第一课时教案】
等比数列的定义教案
内容：等比数列
教学目标:1.理解和掌握等比数列的定义；
2.理解和掌握等比数列的通项公式及其推导过程和方法；
3.运用等比数列的通项公式解决一些简单的问题。
授课类型：课时安排：1教学重点：等比数列定义、通项公式的探
求及运用。
教学难点：等比数列通项公式的探求。
教具准备：多媒体课件
教学过程：
（一）复习导入
1．等差数列的定义 2．等差数列的通项公式及其推导方法
3.公差的确定方法.
4.问题：给出一张书写纸，你能将它对折10次吗？为什么？
（二）探索新知
1．引入：观察下面几个数列，看其有何共同特点？
（１）－2，1，4，7，10，13，16，19，?（２）8，16，32，64，128，256，? （３）1，1，1，1，1，1，1，? （４）1，2，4，8，16，?263 请学生说出数列上述数列的特性，教师指出实际生活中也有许多类似的例子，如细胞分裂问题.假设每经过一个单位时间每个
细胞都分裂为两个细胞，再假设开始有一个细胞，经过一个单位时
间它分裂为两个细胞，经过两个单位时间就有了四个细胞，?，一直
进行下去，记录下每个单位时间的细胞个数得到了一列数这个数列
也具有前面的几个数列的共同特性，这就是我们将要研究的另一类
数列——等比数列.
2．等比数列定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它
的前一．．．．
项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数
叫做等比数列．．
的公比；公比通常用字母q表示(q≠0)，
3.递推公式：an+1∶an=q(q≠0)
对定义再引导学生讨论并强调以下问题
（1）等比数列的首项不为0；（2）等比数列的每一项都不为0；（3）公比不为0. （4）非零常数列既是等比数列也是等差数列；
问题：一个数列各项均不为0是这个数列为等比数列的什么条件？
3．等比数列的通项公式：
【傻儿子的故事】
古时候,有一个人不识字,他不希望儿子也像他这样,他就请了个教书
先生来教他儿子认字，他儿子见老师第一天写“一”就是一划，第二
天“二”就是二划，第三天“三”就是三划,他就跑去跟他父亲说:“爸爸,
我会写字了,请你叫老师走吧!”这人听了很高兴,就给老师结算了工钱
叫他走了。
第二天,这人想请一个姓万的人来家里吃饭,就让他儿子帮忙写一张请帖,他儿子从早上一直写到中午也没有写好,这人觉得奇怪,就去看看,
只发现他儿子在纸上划了好多横线,就问他儿子什么意思.他儿子一边
擦头上的汗一边埋怨道:“爸,
这人姓什么不好,偏偏姓万,害得我从早上到现在才划了500划!!”
那么，你认为这孩子傻吗？今天，我们来运用“傻儿子”的思想方法
来求等比数列的通项公式。
与等差数列相类似，我们通过观察等比数列各项之间的关系，分析、探求规律．
设等比数列{an}的公比为q，则
a2=a1?q,
a3=a2?q=(a1?q)?q=a1?q2,
a4=a3?q=(a1?q)?q=a1?q,23
??
【说明】a1=a1? 1=a1?0q
依此类推，得到等比数列的通项公式：
an=a1?qn-1.
【想一想】
等比数列的通项公式中,共有四个量：an、a1、n和q，只要知道了
其中的任意三个量，就可以求出另外的一个量. 针对不同情况，应该
分别采用什么样的计算方法？
【典型例子】
111例2求等比数列-1,,-,, 248
的第10项．
解由于a1=-1，q=-，
故，数列的通项公式为
an=a1?q
所以
a10=(-1)101
210-1=1． 512
1
8n-112?1?=-1? -??2?n-1=-1?(-1)n-1?1?? ??2?n-1=(-1)n?1，
2n-1例3 在等比数列{an}中，a5=-1，a８=-，求a13．
1解由a5=-1,a8=-有 8
-1=a1?q4，（1）
1-=a1?q7，（2） 8
（2）式的两边分别除以(1)式的两边,得
1=q3, 8
由此得
q=1． 2
将q=1代人（1），得 2
a1=-24,
所以，数列的通项公式为
1an=-24?()n-1． 2
故
1?1? a13=a1?q12=-24? ?=-2-8=-2256??
例4 小明、小刚和小强进行钓鱼比赛，他们三人钓鱼的数量恰好组成一个等比数列．已知他们三人一共钓了14条鱼，而每个人钓鱼数量的积为64．并且知道，小强钓的鱼最多，小明钓的鱼最少，问他们三人各钓了多少条鱼？
分析知道三个数构成等比数列，并且知道这三个数的积,可以将这三个数a设为,a,aq,这样可以方便地求出a,从而解决问题. q
a解设小明、小刚和小强钓鱼的数量分别为,a,aq．则 q12
?a?q+a+aq=14,? ? a??a?aq=64.??q
解得
a=4,?a=4,???或?1 q=.?q=2,?2?
当q=2时
a4==2,aq=4?2=8, q2
此时三个人钓鱼的条数分别为2、4、8. 当q=1时 2
a41==8,aq=4?=2, q12
2
此时三个人钓鱼的条数分别为8、4、2.
由于小明钓的鱼最少，小强钓的鱼最多，故小明钓了2条 a将构成等比数列的三个数设为，,a,aq是经常使用的方法。 q
【四、课堂练习】
21.求等比数列,2,6, .的通项公式与第7项． 3
2.在等比数列{an}中，a2=-
是，请指出是第几项 1,a5=-5, 判断-125是否为数列中的项，如果25
【五、课时小结】
1.等比数列的定义
2.等比数列的递推公式
3.等比数列的通项公式及运用
【六、课后作业】
习题：2、3、4
【篇二：高一数学--等比数列教案】
等比数列教案
高一数学刘芳芳
一、教学目标
知识目标：通过教学使学生理解等比数列的概念，推导并掌握通项公式．能力目标：使学生进一步体会类比、归纳思想，培养学生的观察、概括能力．情感目标：培养学生勤于思考，实事求是的精神及严谨的科学态度．
二、教学重点和难点
重点：等比数列的定义，通项公式的猜想过程、理解．难点：等比数列的通项公式的应用．
三、教学用具
多媒体．
四、教学过程
（一）复习旧知
等差数列的定义，数学表达式，通项公式．（二）创设情境
情景引入生活中实际的例子．
1, 细胞分裂问题，可以记作数列：1,2,4,8, ．① 2, 取木棒问题可以记作数列： 1,
111
,,, . ② 248
3, 计算机病毒感染可以记作数列： 1,20,202,203,204
观察三组数列的共同特征．从第2项起, 每一项与前一项的比都等于同一常数.（三）讲解新课一、等比数列的定义
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项之比等于同一个常数，那么这个
数列叫做等比数列，这个常数叫做这个数列的公比，用q表
示,(q≠0)． 1, 等比数列的数学表达式：2, 对定义的认识
（1）等比数列的首项不为0；（2）等比数列的每一项都不为0;
an+1an
=q(q≠0,n∈n
*
).
二、等比数列的通项公式.
结合等比数列的定义可知，有：
a2a1
=q,
a3a2
=q,
a4a3
=q,
anan-1
=q.
即有: a2=a1q,a3=a1q, an=a1q
2n-1
(a1≠0,q≠0,n≥2)
等比数列的通项公式为: an=a1qn-1(a1≠0,q≠0,n∈n*) 变形公式为: an=amqn-m(q≠0,
m,n∈n*) 三、等比中项:
若a,g,b成等比数列,那么g叫做a与b的等比中项. g2=ab 四、等比数列与指数函数的关系：
五、等比数列的判断方法： 1、定义法：
an+1an
=q,(n∈n,an≠0,q≠0)
*
2*
2、等比中项法：an=an-1?an+1(n≥2,n∈n,an-1,an,an+1≠0)
3、通项公式法：an=cqn,(c=六、例题讲解
a1q
≠0,q≠0)
例1 已知某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的这种物质是原来的84%．这种物质的半衰期为多长(精确到1年)?
解设这种物质最初的质量是1，经过n年，剩余量是an．由条件可得，数列{an}是一个
q,=等比数列，其中 a1=0.84
n
设an=0.5，则 0.84=
0.．8 4
0．.5
lg．0∴n≈4．
两边取对数，得 nlg0.8=4
答：这种物质的半衰期大约为4年．
例2 一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18,求它的第1项和第2项．解设这个等比数列的第1项是a1，公比是q，那么
a1q=12，① a1q=18，②
3
32
2
163
．③．
163?32=8．
因此a2=a1q=
答：这个数列的第1项和第2项分别是
163
与8．
例3 已知{an},{bn}是项数相同的等比数列，求证{an?bn}是等比数列. 证: 设{an}的公比为p,{bn}的公比为q,
an+1?bn+1an?bn
=
a1b1(pq)a1b1(pq)
n
n-1
=pq,它是一个与n无关的常数,
∴{an?bn}是公比为pq的等比数列.
例4 已知等比数列{an},a1+a2+a3=7,a1a2a3=8,求an.
3
解: a1a2a3=a2=8,∴a2=2.
?a1+a3=5,?a1=1?a1=4∴?∴? 或 ?
aa=4,a=4a=1?13?3?3
n-13-n当a1=1时,an=2. 当a1=4时,an=2.
n+1
例5已知数列{an},sn=2-2.求证:{an} 是等比数列.
n
证: 当n≥2时,an=sn-sn-1=2.
当n=1时,a1=s1=2,
∴an=2,n∈n.
n
*
an+1an
=
2
n+1n
2
=2. ∴{an}是等比数列.
例6 已知等比数列的前三项和为168, a2-a5=42, 求a5,a7的等比中项. ?a1+a2+a3=a1+a1q+a1q2=168,
解:? 4
a1q-a1q=42,?
?a1=96,2
?a1(1+q+q)=168,?
∴∴??1 2
q=.aq(1-q)(1+q+q)=42,?1??2
设g是a5与a7的等比中项,
∴g=a5a7=a1q
2
2
10
2110
=96()=9.
2
七课堂小结
1 等比数列的定义，等比数列的通项公式；
2 注意在研究内容与方法上要与等差数列相类比；
3 用方程的思想认识通项公式，并加以应用．八课后作业
习题2.4 a组1，7，8题；
【篇三：等比数列的前n项和优秀教案】
等比数列的前n项和
一．教材分析
1.在教材中的地位和作用
在《数列》一章中，《等比数列的前n项和》是一项重要的基础内容，从知识体系来看，它不仅是《等差数列的前n项和》与《等比
数列》的顺延，也是前面所学函数的延续，实质是一种特殊的函数。而且还为后继深入学习提供了知识基础，同时错位相减法是一种重
要的数学思想方法，是求解一类混合数列前n项和的重要方法，因此，本节具有承上启下的作用。等比数列的前n项和公式的推导过
程中蕴涵了基本的数学思想方法，如分类讨论、错位相减等在数列
求和问题中时常出现。在实际问题中也有广泛的应用，如储蓄、分
期付款的有关计算。
2.教材编排与课时安排
提出问题——解决问题——等比数列的前n项和公式推导——强化
公式应用（例题与练习）
二．教学目标
知识目标：理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、公式的
特点，在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题。
能力目标：通过启发、引导、分析、类比、归纳，并通过严谨科学
的解题思想和解题方法的训练，提高学生的数学素养。
三．教学重点与难点：
教学重点：公式的推导、公式的特点和公式的应用。
教学难点：公式的推导方法(“错位相减”)和公式的灵活运用。
四．教学过程：
（一）、复习回顾：
（1）等比数列及等比数列通项公式。
复习回顾例题1：{an}为等比数列，请完成下表除{sn}外的所有项
答案如下：
（2）回忆等差数列前n项和公式的推导过程，是用什么方法推导的。（二）、情境导入：
国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者.这个故
事大家听说过吗？“请在第一个格子里放上1颗麦粒，第二个格子
里放上2颗麦粒，第三个格子里放上4颗麦粒，以此类推.每一个格
子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒的2倍.直到第64个格子.
请给我足够的麦粒以实现上述要求.”这就是国际象棋发明者向国王提出的要求。假定千粒麦子的质量为40 g，按目前世界小麦年度产量约6亿吨计.你认为国王能不能满足他的要求。怎样计算？请列出算式。
探讨1：s=1+2+22+23+…+2 63,①
注意观察每一项的特征，有何联系？
探讨2：如果我们把每一项都乘以2，就变成了它的后一项
2s=2+22+23+…+263+264,②
s64=264-1
粒麦子的质量为40 g，那么麦粒的总质量超过了7 000亿吨.而目前世界年度小麦产量约6亿吨，因此，国王不能实现他的诺言。国王不假思索地给国际象棋发明者一个承诺，导致了一个很不幸的后果的发生，这都是他不具备基本的数学知识所造成的结果，.而避免这个不幸的事情发生，正是我们这节课所要探究的知识.
五、推进新课
等比数列前n项公式的推导： 1.错位相减法，
sn=a1+a1q+a1q2+ +a1qn-2+a1qn-1①
23n-1n
aq+aq+aq+ +aq+aq11111qsn=②
①－②得：(1-q)sn=a1-a1qn
a11-qn当q≠1时，得到sn=
1-q当q＝1，sn=na1.
?na1?
等比数列前n项和公式：sn=?a11-qna1-anq
?1-q=1-q?
(q=1) (q≠1)
()
()
注意：1.公比为1的情况
2.已知 a1,q,n,an,sn 中的任意三项，可以求其他两项（知三求二）
六、例题剖析
例2：完善例1的表格
111
例3：，，…的等比数列
248
(1)求前8项的和
(2)求第4项到第8项的和解：（1） a1=
11
,q=,n=8 2211(1-n)
=255 ∴s8=12561-2
1
为公比的前5项和） 2
（2）方法一（先求出a4，等价于求一个以a4为首项，
解： a4=a1q=
1
,n=5 1611(1-5)
=31 ∴s=12561-2
3
方法二：（s8-s3）
1?1?
1- ?2?28?
解：s8-s3=-
1-2七、小结：1?1?1- ?312?23?
= 2561-2
1.熟记等比数列前n项和的通项公式，重点掌握错位相减的方法。
2.易错点：易忽略公比q=1的情况
3.思想方法：类比、分类讨论、错位相减、特殊到一般八．作业： 1.已知等比数列{an}的前n项和sn=48，s2n=60 求s3n （并思考用不
同的方法来解答这个问题）
2.课本p58 页1，2题