子群陪集与群同态基本定理的一种几何模型

子群陪集与群同态基本定理的一种几何模型

赵兴杰

【摘 要】摘要: 本文研究了子群、群同态基本定理的几何意义.利用二、三维几何空间图形,得到了子群陪集、不变子群对群的分类、商群、同态满射和群同态基本定理的几何模型,为认识上述抽象的代数内容提供了直观的几何解释,同时也给出了其几何表示.

【期刊名称】数学杂志

【年(卷),期】2010(030)005

【总页数】4

【关键词】关键词:子群;陪集;群同态基本定理;几何模型

1 引言

群同态基本定理是群论中最重要的定理之一,它不仅形式简明、内容深刻,对讨论群的结构起着重要的作用,而且能进一步发展群的理论[1,2],得到群直积和内同构等方面的应用[3],也是理解环同态基本定理和构造环[4]的重要基础.众所周知,通常具体实例或直观的几何模型能解释抽象的理论,但几何模型的寻求往往比理论证明更困难.子群陪集对群的分类以及与其紧密联系的群同态基本定理的理论较抽象,其直观的几何解释尚未见资料反映.关于子群的其他结果参见文献[5–7].本文利用二、三维几何空间图形,分别给出了子群陪集、不变子群对群的分类、商群、同态满射和群同态基本定理的几何模型.

2 子群陪集的几何模型

为了便于叙述,先给出子群陪集的定义:

定义1[7]设H是群G的一个子群，a∈G，则集合aH={ah|h∈H}称为子群H的一个左陪集;集合

Ha={ha|h∈H}称为子群H的一个右陪集.

2.1子群陪集的几何模型

设G={α=(a,b,c)|a,b,c∈R}为三维几何空间R3中从原点出发的所有向量关于向量的加法作成的群(如图1),显然G是一个交换群.若α，β是G的两个线性无关向量,则α与β线性组合（与α、β共面的所有向量）构成的集合H={kα+lβ|k,l∈R}是G的一个不变子群.

显然α，β∈H，H/=φ. ξ,η∈H,则存在k0,k1,l0,l1∈R,使得

于是

所以H是G的一个子群，由G的运算可交换性，H是G的一个不变子群.不妨将H作为一个平面(如图2),则对于 γ∈G,H的一个陪集