习题3 递推关系
习 题 三
3-1 解下列递推关系：
（1）???===+---1
,00
1071021a a a a a n n n （2）???===++--1,00961021a a a a a n n n
（3）???===+-2,00102a a a a n n （4）???==-=--1210
2
1a a a a a n n n
（5）???===-+=---2,1,099210
3
21a a a a a a a n n n n
（解）（1）特征方程为010x 7x 2
=+-。解得2x 1=，5x 2=，故通解为
n n n B A a 52?+?=
分别令n ＝0，1，并代入初值1010==a a ,
得关于系数A 、B 的方程组
??
?=+=+1
520
B A B A 解得31-
=A ，3
1
=B 。所以定解为 n a ＝
()
n n
253
1- （2）特征方程为0962
=+-x x 。解得321==x x ，故通解为
()n n Bn A a 3?+=
代入初值得
?
?
?=+=1330
B A A 解得0=A ，3
1
=
B 。 ∴ 1333
1-==
n n
n n n a
（3）特征方程为012
=+x 。解得i x ±=，故通解为
()n
n n i B i A a -?+?=
代入初值得
??
?=-=+2
Bi Ai B A 解得i A -=，i B =。
∴ n a ＝()n
n i i i i -+?-＝()
1
1---+n n i i ＝()
11
11---+n n i )(
可以看出，此数列为：0，2，0，－2，0，2，0，－2，……。
当然本数列可以不用特征根法求解，直接由解递推关系就可观察出2--=n n a a ，从而由初值即得结果。
（4）用特征根法求解可得解为n a ＝1。
本小题虽然是二阶递推关系，但由于其特殊性，并不一定要用特征根法求解，而用迭代法可能更容易计算出结果。即
0122a a a -=＝2×1－1＝1， 1232a a a -=＝2×1－1＝1，…… 立即可以观察出n a ＝1（n ＝0，1，2，…）。
（5）特征方程为0992
3
=+--x x x 。解得31-=x ，12=x ，33=x ，故通解为
()n n
n C B A a 33++-=
代入初值得方程组
??
?
??=++=++-=++2991330
C B A C B A C B A 解得121-=A ，4
1-=B ，31
=C 。
∴ ()n n n a 331413121
?+---=＝()[]
113134
1--+--n n 3-2 求由A ，B ，C ，D 组成的允许重复的排列中AB 至少出现一次的排列数。
（解）设由A ，B ，C ，D 组成的字符串为s ＝()n c c c 21，串的长度为n ，满足条件
的串有n a 个，则 n a ＝13-n a ＋()2242--+n n a ＋()3342--+n n a ＋……＋()
0042+a
即
∑-=-=-1
012n i i n n a a a ＋
()
143
11
--n 化简得
221143----+-=-n n n n n a a a a ∴ ???====+----1044210
221a a a a a a n n n n ,,
解之得
()()
n
n n
n a 3
26
3
233263234---++-=
3-3 求n 位二进制数中相邻两位不出现11的数的个数。
（解）设所求的数有n a 个，可将这样的数按左边第一位的值分成两类进行统计： （1） 第一位是0，这类数有1-n a 个；
（2） 第一位是1，则按照题目条件，第二位就必须为0，故此类数有2-n a 个。 由加法法则，符合条件的数共有1-n a ＋2-n a 个。因此，得n a 满足的递推关系为
??
?==≥+=--3
23
2121a a n a a a n n n ,,
反推可得10=a ，所以
???
????????? ??--???? ??+=+++2
22
25125151n n n n F a 3-4 利用递推关系求下列和
（1）∑==
n
k n k
s 0
2
（解）由原式得
??
?==+=-3121
2
1s s n s s n n , （3.2.2） 可以看出，1是齐次递推关系1-=n n s s 的特征根，故此非齐次定解问题的特解为
*
n
s ＝()
C Bn An n ++2＝Cn Bn An ++23 为了利用待定系数法确定待定常数A 、B 、C ，将*
n s 代入（3.2.2）的第一式得
()n C Bn An
+++23
-()()()()
1112
3
-+-+-n C n B n A ＝2n
即
()()C B A n B A An +-+--2332＝2n
对任意的n ，上式成立的充分必要条件是n 的同次幂的系数相等，即方程组
??
?
??=+-=-=00321
3C B A A B A 成立。解之得 31=A ，21=B ，6
1
=C 。所以，（3.2.2）的特解为
*
n
s ＝n n n 61213123++＝()()6
121++n n n 从而得（3.2.2）的通解
()()n n n n A n n n s s s 16
121?+++=
+=*
其中A 为任意常数。再由初值条件11=s 得
()()6
12111++?＋A ＝1
即0=A 。所以（3.2.2）的定解，即和式的求和结果为
()()6
121++=n n n s n
（2）()∑=-=
n
k n k k s 0
1
（解）类似（1）得n s 满足的递推关系为
??
?===-=--2
021021s s s n
n s s n n , 特解仍为
*
n
s ＝()C Bn An n ++2＝(
)
Cn Bn An ++23 但关于待定系数A 、B 、C 的方程则变为
??
?
??=+--=-=01321
3C B A A B A 解之得 31A =
，0B =，3
1
C -=。即特解为 *
n
s ＝n n 31313-＝()()3
11+-n n n 从而通解为
n s ＝*
n
s ＋n s ＝()()
3
11+-n n n ＋A
再由初值条件0s 0=得0A =，所以
n s ＝
()()3
11+-n n n
（3）()∑=+=n
k n k k s 0
2
（解）n s 满足的递推关系为
??
?==+=--3
021021s s n n s s n n ,,
其特解为
*
n
s ＝n n n 67233123++＝()()6
721++n n n 通解为
n s ＝*
n
s ＋n s ＝()()6
721++n n n ＋n
A 1?
其中A 为任意常数。以初值条件31=s 代入得
()()6
712111+?+?＋A ＝3
即0=A 。所以
n s ＝
()()6
721++n n n
（4）()()∑=++=
n
k n k k k s 0
21
（解）n s 满足的递推关系为
()()??
?==++=--602110
1s s n n n s s n n ,,
解之得
n s ＝n n n n 234112341234+++＝
()()()4
321+++n n n n
（解）设n 位四进制数中2和3必须出现偶数次的数有n a 个，2出现奇数次3出现偶数次的数为 n b 个，2出现偶数次3出现奇数次的数为 n c 个，两者都出现奇数次的数为 n d 个。
则对于满足题目要求的数而言，可将其按照最高位数字的值分为3类情况分别予以统计：（1）最高位是0或1，那么在后续的1-n 个数字中2和3还必须出现偶数次，这样的四进制数共有2 1-n a 个；（2）最高位是2，后1-n 位必须有奇数个2偶数个3，这样的数有1-n b 个；（3）最高位是3，后1-n 位必须有偶数个2奇数个3，这样的数有1-n c 个。各类情形，没有重复的数。由加法法则，得n a 满足的递推关系n a ＝21-n a ＋1-n b ＋1-n c 。同理也可得n b 、n c 和n d 满足的递推关系，即
?????
?
?++=++=++=++=------------1
111111
111
112222n n n n n n n n n n n n n n n n d c b d d c a c d b a b c b a a ， n ≥2 且知初值为21=a ，111==c b ，01=d 。解之得
∴ n a ＝1
142--+n n ，（n ≥1）
即所求的四进制数的个数。
3-6 试求由a ，b ，c 三个文字组成的n 位符号串中不出现aa 图像的符号串的数目。
（解）用n a 表示满足条件的串的个数，显然，1a ＝3，2a ＝2
3－1＝8，当n ≥3时，将符合要求的串分为两类：
第一类： 第一字母不是a ，这样的串有21-n a 个；
第二类： 首字母为a ，次字母必为b 或c ，这样的串有22-n a 个。 综合以上情况有
()
??
?==+=--8
322121a a a a a n n n , 解之得
n a ＝
()
()
n n
316
3
23316
3
23--+
++
b
a b
a a
b b a ab b a ++++10
000
1000
1000
设行列式的值为n d ，则将行列式按第一行展开得
n n b a b
a ab
b a ab b a d ++++=10000010001000
＝()1
10
000
0100
01000-+++++n b a b
a ab
b a ab b a b a
－1
10
000
0100
000001-+++n b a b
a a
b b a ab ab
＝()2
110
000
0100
01000--++++-+n n b a b
a ab
b a ab b a ab d b a
＝()b a +1-n d －ab 2-n d
∴ ()???++=+=-+=--2
2212
1b
ab a d b a d abd d b a d n n n , 下面解递推关系，特征方程为
()02=++-ab x b a x
特征根为
()2
21b
a b a x -±+=
,＝a ，b
对于通解，需根据a 与b 的关系分两种情形进行讨论：
（1）b a =≠0：此时特征根a x =为二重根，故通解为 n d ＝()n a Bn A +，其中A 、B 为任意常数。代入21,=n 时的初值得关于A 、B 的方程组
()()?
??=+=+2
2322a a B A a
a B A 解之得1==B A ，所以行列式的值为
n d ＝()n a n +1，1≥n
（2）b a ≠：有两个不同的特征根a 和b ，通解是
n d ＝n n Bb Aa +
代入初值得
?
??++=++=+2
222b ab a B b A a b
a bB aA 解之得
b a a A -=
，a
b b
B -= 故有
n d ＝
n n b a b b a b a a -+-＝b a b b a a n n ---++11 ＝n
n n n n b ab b a b a a +++++---1221 ，1≥n
3-8 在n ×m 方格的棋盘上，放有k 枚相同的车，设任意两枚不能互相吃掉的放
法数为F k (n,m )，证明F k (n ，m )满足递推关系
F k (n ，m)＝ F k (n -1，m )＋(m -k ＋1) F k-1(n -1，m )
（证）将放法分为两类：其一是第一行无棋子，共有()m n F k ,1-种放法；其二是第一行有车（且只能有一个），可以随意选一个车出来，先将其余k －1个车放入下边的n －1行，有()m n F k ,11--种放法，然后再把选出来的车放入第一行的某个格子，但要求该格子所在的列没有车，有()1--k m 列可供选择，故第二类放法总共有
()()m n F k m k ,111-+--种。
两类放法数相加，即得结论。
3-9 在n ×n 方格的棋盘中，令g (n )表示棋盘里正方形的个数（不同的正方形可
以迭交），试建立g (n )满足的递推关系。
（解）设每个正方形方格的面积为单位1，如图3.2.2，当棋盘大小由()()11-?-n n 变为n n ?时，所增加的正方形为
（1）()12-n 个面积为1的小正方形（图3.2.2中阴影部分）；
（2）包含阴影部分的面积为4的正方形（如图3.2.2中编号为1、2、7、8的4个小格子组成的正方形，2、3、8、9组成的正方形等），有()32112-=--n n 个；
（3）
同理，包含阴影部分且面积为9的正方形有()52122-=--n n 个；
………………
（n ）所有方格组成的最大的正方形（面积为2n ），只有1个. 所以
()()()()21
1121n n g k n g n g n
k +-=-+-=∑=
即g(n)满足的递推关系为
()()()?
?
?=+-=1112
g n n g n g
图3.2.2 面积为6×6的正方形
3-10 过一个球的中心做n 个平面，其中无3个平面过同一直径，问这些平面可把
球的内部分成多少个两两无公共部分的区域？
3-11 设空间的n 个平面两两相交，每3个平面有且仅有一个公共点，任意4个平
面都不共点，这样的n 个平面把空间分割成多少个不重叠的区域？
（解） 设所给n 个平面把空间分成()n h 个不相重叠的区域，又设π是其中一个平面，去掉平面π，则剩下的1-n 个平面把空间分成()1-n h 个不相重叠的区域。现把平面π放回原处，则平面π与其余1-n 个平面均相交，共得1-n 条交线，这1-n 条交线在平面π上，它们两两相交（因为任意3个平面交于一点），但无3条交线共点（因为任意4个平面不共点），而这1-n 条交线把平面分成
()12
1+-n n 个不连通的区域，每个这样的平面区域
把原来的一个空间区域一分为二，所以
()()()()()????
?
==+-+
-=2
1101211h h n n n h n h , 用迭代法求解，即
()()()1211+-+
-=n n n h n h ＝()??????+???? ??+-121n n h ＝()??????+???? ??+??????+????
?
?-+-121212n n n h
＝……
＝()??
?
???+???? ??++??????+???? ??+?????????? ??++121231221n h
因 ()21=h ，所以
()∑=++???? ??=n
k n k n h 212＝66
51313++=++???
? ??+n n n n ，()0≥n 3-12 相邻位不同为0的n 位二进制数中一共出现了多少个0？
（解）首先知11
=a ，22=a ，53=a （即010，011，101，110共4个二进制数中
的0，而000，001，100中的0是不算的）。分类统计0的个数：
（1） 最高位是1，问题变为计算1-n 位二进制数中一共出现了多少个0，显然有
1-n a 个；
（2） 最高位是0，则次高位就必须是1，而在后面的2-n 位二进制数中满足条件的数里0共出现了2-n a 个。另知相邻位不同为0的2-n 位二进制数共有n F 个（其中n F 是第n 个Fibonacci 数），故此类二进制数中0共出现了2-n a ＋n F 个。
综合两种情形，得n a 满足的递推关系
???????==???????????? ??--???? ??+++=--1
,0251251511021a a a a a n
n n n n 3-13 平面上有两两相交，无3线共点的n 条直线，试求这n 条直线把平面分成多
少个区域？
（解）先用n 条直线把平面划分成n a 个区域，因此，前n －1条直线把平面划分为1-n a 部分，由于第n 条直线与前一条直线有n －1个交点，从而把第条直线分成n 段，而每一段都把该段所在的区域分成两部分，由此可知
??
?=+=-21
1a n
a a n n 进一步，可由此方程得到
?????
??
??=--=--=-=------2
211232211a a n a a n a a n a a n n n n n n 将上列等式左右分别相加，便可得到
1a a n -＝()()2321+++-+-+ n n n
所以
()12
1++=
n n a n 3-14 证明Fibonacci 数列的性质，当n ≥1时，
（1）()n
n n n F F F 1221-=-++
（2）222123221n n n F F F F F F F =+++- （3）12121223221-=+++++n n n F F F F F F F
（4）()()3214121+-=+++-++-n F F F F n nF n n n
（证）（1）用数学归纳法。当n ＝1、2时，3122F F F -＝2112?-＝1-，4
223F F F -＝3122
?-＝1＝()21-，原式成立。
设n ＝k 时，结论成立，即 ()k
k k k F F F 1221-=-++
当n ＝k ＋1时，
3122+++-k k k F F F ＝()()12112++++++-+k k k k k k F F F F F F
＝212++-k k k F F F ＝(
)
221
++--k k k F F F
＝()k
1--＝()
1
1+-k
由归纳原理知结论成立。
（2）定义00=F ，并注意到012F F F +=，故首先可得
()()n n n n n n n n n n F F F F F F F F F F 2222222222121222-------+-=+
22222--=n n F F ，()1≥n
因此有
20222110F F F F F F -=?+?
22244332F F F F F F -=?+?
……
222222121222-----=?+?n n n n n n F F F F F F
将上述各式两端各自相加并代入00=F 即得
22212433221n n n F F F F F F F F F =++++-
（3）类似（2），对任意正整数n ，有
122212+-+n n n n F F F F ＝()()121212121212+-+-+--+-n n n n n n F F F F F F 212212-+-n n F F
因此有
21233221F F F F F F -=+ 23255443F F F F F F -=?+?
……
212212122212-++--=+n n n n n n F F F F F F
将上述各式两端各自相加即得
1223221++++n n F F F F F F ＝21212F F n -+＝1212-+n F
（4）对n 进行归纳法证明即得，关键的两不证明如下 首
先
，
n
＝
1
，
2
时
有
()()31315151+-=+-==F F ，
()()3232832621+-=+-==+F F F 。
其次，对任意正整数n ，有
()()1321211++++-+++n n F F F n nF F n
＝()()[]n n F F F n F n F n +++-+-+?-1321221... ＋[]1321++++++n n F F F F F
＝()[]34+-+n F n ＋()13-+n F ＝()()315++-+n F n
3-15 证明
（1） 当n ≥2时，
122221+?=+++n n n F F F F F
（2） 当n ≥4时，
()
()
11
1
432111----=-++-+-n n n n F F F F F F +1
（证）（1）记
n s ＝22221n F F F +++
则
1s ＝121=F ＝21F F ，2s ＝2221F F +＝1＋1＝1×2＝32F F
即n ＝1，2时等式成立。
设当n ＝k 时，有k s ＝1+k k F F ，则当n ＝k ＋1时有
1+k s ＝2122221+++++k k F F F F
＝k s ＋21+k F ＝1+k k F F ＋21+k F ＝()11+++k k k F F F ＝21++k k F F
由归纳原理知等式成立。
（2）用归纳法。由Fibonacci 数列的定义()
???==≥+=--1
22121F F n F F F n n n ,
反推知0F ＝0，
所以
1F ＝()00
111F -+=，01121=-=-F F ＝()111F -+
设当n ＝k 时，有()k k F F F F F 1
43211--++-+- ＝()
11
11---+k k F ，
则当n ＝k ＋1时有
()
()11
432111+--+-++-+-k k
k k F F F F F F
＝()
()111111+---+-+k k
k k F F ＝()()1111-+--+k k k
F F
＝()k k
F 11-+
由归纳原理知等式成立。
3-16 有2n 个人在戏院售票处排队，每张戏票票价为5角，其中n 个人各有一张
5角钱，另外n 个人各有一张1元钱，售票处无零钱可换。现将这2n 个人看成一个序列，从第一个人开始，任何部分子序列内，都保证有5角钱的人不比有1元钱的人少，则售票工作能依次序进行，否则，只能中断，请后面有5角钱的人先上来买票。前一种情况，售票工作能顺利进行，对应的序列称为依次可进行的。求有多少种这样的序列？
3-17 用a n 表示具有整数边长且周长为n 的三角形的个数，证明
()???
??-++
=+--是奇数当，是偶数
当n n a n a a n n n n 412
133, 3-18
（1） 证明边长为整数且最大边长为r 的三角形的个数是
()()?????++是奇数当，是偶数当r r r r 2
2
14
124
1, （2） 设f n 为边长不超过2n 的三角形的个数， g n 为边长不超过2n ＋1的三角形的个数，求f n 和g n 的解析表达式。
3-19 从1到n 的自然数中选取k 个不同且不相邻的整数，设此选取的方案数为
f (n ，k )
（1） 求f (n ，k )的递推关系及其解析表达式；
（2） 将1与n 也算作相邻的数，对应的选取方案数记作()k n g ,，利用f (n ，k )求
()k n g ,。
（解）（a ）对元素n 来说，不外乎两种情况：（1）n 被选进某一k 元子集。（2）n 没有选进任一k 元子集。若是（1），则1-n 就不能选进这一k 元子集，故其余k －1个元素
得从{}221-n ,,, 中去选取，所以有()12--k n f ,种选法。若是（2），k 元素子集中的k 个数可以从{
}121-n ,,, 中去选取，故有()k n f ,1-种选法。由加法法则得 ()()()k n f k n f k n f ,,,112-+--=
利用递推关系式对n 进行归纳证明
()???
?
??+-=k k n k n f 1, 规定()100=,f ，()00=k f , ()0≠k ，显然有()101=,f ，()111=,f 。 当2=n 时
()()()k f k f k f ,,,1102+-=
且有
()()()110011002=+=+-=,,,f f f ()()()211110012=+=+=,,,f f f
而对于???? ??+-k k n 1，当0=k 时，10102=???
?
??+-；当1=k 时，2121112=???? ??=???? ??+-。所以有
()???
?
??+-=k k k f 122, 设当小于n 时结论成立，即对1-≤n k 有
()???
?
??-=???? ??+--=-k k n k k n k n f 111, ()()???
?
??--=???? ??-+---=--1111212k k n k k n k n f , 则当n 时就有
()()()???
?
??+-=???? ??-+???? ??--=-+--=k k n k k n k k n k n f k n f k n f 11112,,, 所以对一切正整数n ，有
()???
?
??+-=k k n k n f 1, 另法：已知()k n f ,是{}n ,,, 21的没有两个连续整数的k 元子集的数目。先在{}n ,,, 21中任取k 个不相邻元素构成组合k a a a ,,, 21，不失一般性，可设k a a a <<< 21，则()k j i a a i j ≤<≤≥-12，令
()1--=i a b i i ，k i ,,21=
那么，()k j i b b i j ≤<≤≥-11 且有 1121+-≤<<<≤k n b b b k
因此所求组合数为从1至1+-k n 中任取k 个的组合数???
?
??+-k k n 1，即有()???
?
??+-=k k n k n f 1,。 注意若k n 21<+，则符合条件的组合数不存在。
3-20 球面上有n 个大圆，其中没有三个大圆通过同一点。用a n 表示这些大圆所形
成的区域数，例如，a 0＝1，a 1＝2，试证明
（1） a n+1＝a n ＋2n
（2） a n ＝n 2
－n ＋2 （证）（1）当2≥n 时，去掉所给1+n 个圆中的一个圆C ，则剩下的n 个圆把球面划分成n a 个不连通的区域。现把圆C 放回原处，则C 与其余n 个圆都相交，且所得的n 2个交点彼此相异（因无3个圆共点），这n 2个交点把圆C 分成n 2段弧，每段弧把原来的一个区域划分成两个小区域，故把圆C 放回原处后增加了n 2个区域，从而得n a 满足的递推关系为
??
?==+=+2
12101a a n
a a n n , （2）用迭代法求解递推关系，当2≥n 时，有
n a ＝()121-+-n a n ＝()()12222-+-+-n n a n
……
＝()()122222121-+-++?+?+n n a ＝()()()122122-+-++++n n
＝22
+-n n
显见当n ＝1时，上式仍成立。所以有
∴ ???≥+-==1
20
12n n n n a n ，，
3-21
(1) 试计算从平面坐标点O(0，0)到A (n ，n )点在对角线OA 之上但可以经过OA 上的点的递增路径的条数；
（2）试证明从平面坐标上O(0，0)点到A (n ，n )点在对角线OA 之上且不触及OA 的递增路径的条数是
()???
? ??-n n n 21221
3-22 有多少个长度为n 的0与1串，在这些串中，既不包含子串010，也不包含
子串101？例如，当n ＝4时，有10个这样的串
0000 0001 0011 0110 0111 1000 1001 1100 1110 1111 （不符合要求的串有 0010 0100 0101 1010 1011 1101）
（解）设长度为n 而满足条件的串有()n f 个，可将其分为两类：
（1） 最后两位相同。此种串可由长为 1-n 而满足条件的串a ，再加上与a 的末位
相同的数字构成，例如：0011001→，因此这种情形的串共有()1-n f 个。 （2） 最后两位不同。此种串可由长为2-n 的满足条件的串a ，再加上与a 的末位先
同而后异的两个数字构成，例如：011001→，此种串共有()2-n f 个。于是
有()()()21-+-=n f n f n f 。显然()21=f ，()42=f 。所以()n f 满足的递推关系为
()()()()()?
??==-+-=422121f f n f n f n f , 解得
()???
????????? ??--???? ??+==+++1
11
251251522n n n F n f ＝n
n ???
? ??--+???? ??++251555251555
(完整版)数列的递推公式教案
数列的递推公式教案 普兰店市第六中学陈娜 一、教学目标 1、知识与技能：了解数列递推公式定义，能根据数列递推公式求项，通过数列递推公式求数列的通项公式。 2、过程与方法：通过实例“观察、分析、类比、试验、归纳”得出递推公式概念，体会数列递推公式与通项公式的不同，探索研究过程中培养学生的观察归纳、猜想等能力。 3、情感态度与价值观：培养学生积极参与，大胆探索精神，体验探究乐趣，感受成功快乐，增强学习数学的兴趣，培养学生一切从实际出发，认识并感受数学的应用价值。 二、教学重点、难点和关键点 重点：数列的递推定义以及应用数列的递推公式求出通项公式。 难点：数列的递推公式求通项公式。 关键：同本节难点。 三、教学方法 通过创设问题的情境，在熟悉与未知的认知冲突中激发学生的探索欲望；引导学生通过自主探究和合作交流相结合的方式进行研究；引导学生积极思考，运用观察、试验、联想、类比、归纳、猜想等方法不断地提出问题、解决问题，再提出问题，解决问题……经历知识的发生和发展过程，并注意总结规律和知识的巩固与深化。 四、教学过程 环节1：新课引入 一老汉为感激梁山好汉除暴安良，带了些千里马要送给梁山好汉，见过宋江以后，宋江吧老汉带来的马匹的一半和另外一匹马作为回礼送给了他，老汉又去见卢俊义，把
现有的马匹全送给了他，卢俊义也把老汉送来的马匹的一半和另外一匹马作为回礼送给了老汉……… 一直送到108名好汉的最后一名段景住都是这样的，老汉下山回家时还剩下两匹马，问老汉上山时一共带了多少匹千里马？ 通过这个小故事让学生感受到数学来源于生活同时又为生活所服务。同时也能引起学生的兴趣和好奇心。 环节2：引例探究 (1）1 2 4 8 16……… (2) 1 ()1cos ()1cos cos ()]1cos cos[cos ……. (3)0 1 4 7 10 13 ……. 通过设置问题的情境，让学生分析找出这些数列从第二项（或后几项）后一项与前一项的关系，从而引出数列的递推公式的定义，便于学生对于数列递推公式的理解、记忆和应用。 递推公式定义： 如果已知数列的第1项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任意一项a n 与它的前一项a n-1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。递推公式是数列一种的表示法，它包含两个部分，一是递推关系，一是初始条件，二者缺一不可． 环节3：应用举例及练习 例1：已知数列｛a n ｝的第1项是1，以后的各项由公式 (n ≥2)给出，写出这个给出，写出这个数列的前5项. 解：据题意可知：a 1=1, 1 11n n a a -=+2111112,1a a =+=+=3211311,22a a =+=+=4312511,33a a =+=+=5413811.55a a =+ =+=
数列的递推公式练习
数列的递推公式练习 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】
课时作业5数列的递推公式(选学) 时间：45分钟满分：100分 课堂训练 1．在数列{a n}中，a1＝，a n＝(－1)n·2a n－1(n≥2)，则a5＝() A．－ C．－ 【答案】 B 【解析】由a n＝(－1)n·2a n－1知a2＝，a3＝－2a2＝－，a4＝2a3＝－，a5＝－2a4＝. 2．某数列第一项为1，并且对所有n≥2，n∈N，数列的前n项之积为 n2，则这个数列的通项公式是() A．a n＝2n－1 B．a n＝n2 C．a n＝D．a n＝ 【答案】 C 【解析】∵a1·a2·a3·…·a n＝n2，a1·a2·a3·…·a n－1＝(n－1)2，∴两式相除，得a n＝. 3．已知数列{a n}满足：a4n－3＝1，a4n－1＝0，a2n＝a n，n∈N＋，则a2009＝ ________，a2014＝________. 【答案】10 【解析】考查数列的通项公式． ∵2009＝4×503－3，∴a2009＝1， ∵2014＝2×1007，∴a2014＝a1007，
又1007＝4×252－1，∴a1007＝a4×252－1＝0. 4．已知数列{a n}，a1＝0，a n＋1＝，写出数列的前4项，并归纳出该数列的通项公式． 【解析】a1＝0，a2＝＝，a3＝＝＝，a4＝＝＝. 直接观察可以发现，把a3＝写成a3＝， 这样可知a n＝(n≥2，n∈N＋)． 当n＝1时，＝0＝a1， 所以a n＝(n∈N＋)． 课后作业 一、选择题(每小题5分，共40分) 1．已知数列{a n}满足：a1＝－，a n＝1－(n≥2)，则a4＝() C．－ 【答案】 C 【解析】∵a1＝－，a n＝1－(n≥2)， ∴a2＝1－＝1－＝5， a3＝1－＝1－＝， a4＝1－＝1－＝1－＝－. 2．数列{a n}满足a1＝，a n＝－(n≥2，n∈N＋)，则a2013＝() B．－ C．3 D．－3 【答案】 A
(完整版)已知数列递推公式求通项公式的几种方法
求数列通项公式的方法 一、公式法 例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。 解：1232n n n a a +=+?两边除以12n +，得 113222n n n n a a ++=+，则113222n n n n a a ++-=，故数列{}2 n n a 是以1222 a 1 1==为首项，以23 为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222 n n a n =-。 评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+?转化为 11 3 222 n n n n a a ++-=，说明数列{}2n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22 n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。 二、累加法 例2 已知数列{}n a 满足1121 1n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则 11232211 2 ()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)1 2[(1)(2)21](1)1 (1)2(1)1 2 (1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++?++?++=-+-++++-+-=+-+=-++=L L L 所以数列{}n a 的通项公式为2 n a n =。 评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，进而求出11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-++-+-+L ，即得数列{}n a 的通项公式。
递推数列通项公式求法(教案)讲解学习
递推数列通项公式求 法(教案)
由递推数列求通项公式 马鞍中学 --- 李群花 一、课题：由递推数列求通项公式 二、教学目标 1、知识与技能： 会根据递推公式求出数列中的项，并能运用累加、累乘、待定系数等方法求数列的通项公式。 2、过程与方法： ①复习回顾所学过的通项公式的求法，对比递推公式与通项公式区别认识到由递推公式求通项公式的重要性，引出课题。 ②对比等差数列的推导总结出叠加法的试用题型。 ③学生分组讨论完成叠乘法及待定系数法的相关题型。 3、情感态度与价值观： ①通过对数列的递推公式的分析和探究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神； ②通过对数列递推公式问题的分析和探究，使学生养成细心观察、 认真分析、善于总结的良好思维习惯； ③通过互助合作、自主探究等课堂教学方式培养学生认真参与、积极交流的主体意识。 三、教学重点：根据数列的递推关系式求通项公式。 四、教学难点：解题过程中方法的正确选择。 五、教学课型，课时：复习课 1课时 六、教学手段：多媒体课件，黑板，粉笔 七、教学方法：激励——讨论——发现——归纳——总结 八、教学过程 （一）复习回顾：
1、通项公式的定义及其重要作用 2、学过的通项公式的几种求法 3、区别递推公式与通项公式，从而引入课题 （二）新知探究： 问题1: 在数列{a n }中 a 1=1，a n -a n-1=2n-1（n ≥ 2），求数列{a n } 的通项公式。 活动：通过分析发现形式类似等差数列，故想到用叠加法去求解。教师引导学生细致讲解整个解题过程。 总结：类型1：)(1n f a a n n =-+，利用叠加法(逐差相加法)求解。 问题2：例2在数列{a n }中 a 1=1， （n ≥ 2），求数列{a n } 的通项公式。 方法归纳：利用叠乘法求数列通项 活动：类比类型1推导过程，让学生分组讨论研究相关解题方案。 练习2设{a n }是首项为1的正项数列，且(n+1)a n 2+1 –na n 2 +a n+1a n =0, n n n a a 21 =-
高中数学几种常见的数列递推关系式专题辅导
高中数学几种常见的数列递推关系式 数列的递推关系是指数列中的前一项（前几项）与后一项的关系式。递推数列是数列中的重要内容，通过递推关系，观察，探求数列的规律，进而可求出整个数列的通项公式。通过递推关系的学习，可以培养学生的观察能力，归纳与转化能力，综合运用知识等能力，因此，是近几年高考与竞赛的热点。 下面针对几种高中常见的递推形式及处理方法做一总结。 一. 定义法 常见形式： 已知：a a a a d n n 11==++， ① 或a a a a q n n 110=≠=+， ② （其中，d 常数，q ≠0为常数） 定义法即高中所学的两大基本数列——等差数列与等比数列的基本定义式。 已知首项，与递推关系，数列的通项即知，在此不做赘述。但这两个基本数列的求通项公式的方法在后续学习中，在方法上起到了指导作用。即我们下面要介绍的方法。 二. 迭代法 常见形式：已知 a a a a f n n n 110=≠=++，() ③ 或a a a a f n f n n n 110=≠=+，，()()不恒为零 ④ （这里的f n ()是关于n 的关系式）。 这两个形式的递推关系式，虽然不是等差与等比数列，但表达方式上非常接近。我们可以利用迭代的方法来求出通项a n 也可以分别称为叠加法和叠乘法。 如：③a a f 211-=() a a f 322-=() …… a a f n n n N n n -=-≥∈-112()()*， 将以上n -1个式子叠加，可得 a a f f f n n n N n -=+++-≥∈11212()()()()*…， 这里，我们只须已知数列的首项a 1利用求和求出上述等式右端的和，即可求出数列 {}a n 的通项公式来。 如：④的具体例子： 例1. （2006年东北三省三校一模试题21）已知数列{}a n ，S n 是数列的前n 项和， a S n a n n 212 ==，。求S n 。 解：因为S n S S n n N n n n =-≥∈-2 21()()*， 所以n S n S n n 22 21-=- S S n n n n N n n -= -≥∈123()*， S S S S S S S S n n n n n n N n n n n 324312131425364132 3·…····… ·，---=---≥∈()*
递归方程求解方法综述
递归方程求解方法综述 摘要：随着计算机科学的逐步发展，各种各样的算法相继出现，我们需要对算法进行分析，以选择性能更好的解决方案。算法分析中计算复杂度常用递归方程来表达，因此递归方程的求解有助于分析算法设计的好坏。阐述了常用的3种求解递归方程的方法：递推法、特征方程法和生成函数法。这3种方法基本上可以解决一般规模递归方程的求解问题。 关键词：递归；递推法；特征方程；生成函数 0引言 寻求好的解决方案是算法分析的主要目的，问题的解决方案可能不只一个，好的方案应该执行时间最短，同时占有存储空间最小，故算法分析一般考虑时间复杂性、空间复杂性两方面的参数。在算法分析时我们采用时间耗费函数来表示时间参数，用当问题规模充分大时的时间耗费函数的极限表示时间复杂度。 一般算法对应的时间耗费函数常用递归方程表示，找出递归方程的解，就可以表示其对应算法复杂度的渐进阶，从而比较算法的优劣。因此研究递归方程的解法意义重大。下文将分析并给出常用递归方程的3种解法。 1递归方程的解法 递归方程是对实际问题求解的一种数学抽象,递归的本质在于将原始问题逐步划分成具有相同解题规律的子问题来解决,原始问题与子问题仅在规模上有大小区别,并且子问题的规模比原始问题的
规模要小。对于规模为n的原始问题,我们通常会寻找规模n的问题与规模n-1或者规模n/2的问题之间存在的联系,从而进一步推导出具有递归特性的运算模型。 根据递归方程的一般形式，常用的解法有三种，分别是递推法、公式法及生成函数法。下面就分别来分析其求解过程。 1.1递推法 当递归方程形式简单且阶数较低时，一般可以采用递推法求解，根据一步一步递推找到方程的递推规律，得到方程的解。下面举例说明： t(1)=0 t(n)=2t(n/2)+n2(n≥2) t(n)=2t(n/2)+n2=2(2t(n/22)+(n/2)2)+n2 =22t(n/2)2+2n2/22+n2 =22(2t(n/23)+(n/22)2)+2n2/22+n2 =23(2t(n/23)+22n2/(22)2)+2n2/(22)1+n2… =2kt(n/2k)+∑k-1i=02in2(22)i递推到这里我们就可以发现递 归规律，找到递归出口， t(1)=0，令n=2k 则可以得到如下结果：t(n) =2kt(1) +∑k-1i=0n2(1/2)i)= n2(1-(1/2)k1-1/2)=2n2-2n 上面得到方程的解，我们来分析其对应算法复杂性的渐进阶，根据渐进阶定理有：设有函数f(n)，g(n）均是规模n的函数，则o(f(n))+o(g(n))=o(max(f(n), g(n)))。故有t(n)=o(n2)。 1.2公式法
关于递归与递推的那七道题
关于递归与递推的那七道题 递归与递推是动态规划最底层的东西，掌握好它对于彻底的理解动规是至关重要的，这次做的题不难，但是它很能锻练人的思维，每一道题都有多种解法。只要静下心来想，一般人都能做出来，而在做题的过程中，你会有很大的收获。 1、一只小蜜蜂... 题目是这样的，有一只经过训练的蜜蜂只能爬向右侧相邻的蜂房，不能反向爬行。请编程计算蜜蜂从蜂房a爬到蜂房b的可能路线数。 对于这种题目，我们首先得找出蜂房之间的关系，如从1只能走到2和3，从2只能走到3和4，从3只能走到4和5……，因此 我们可以得到它们的递推关系： f[a] = f[a+1]+f[a+2]； 下面我们再来找出口，把这个问题化简，即当a与b相邻时(a+1=b 或a+2=b)，f[a] = 1，所以这个问题可以解决了。它就是一个递归，遇到b就结束。为了减少重复访问，我们可以用记忆化搜索来提高效率。 这个题也可以顺着来推，即从a到a有0条路线，从a到a+1有1条路线,从a 到a+2有1条路线，而a+3的路线条数来源于a+1 和a+2的路径条数。 f[a] = 0; f[a+1] = 1; f[a+2] = 1; f[a+3] = f[a+1]+f[a+2]; …… f[b] = f[b-1]+f[b-2]; 由上面的式子就可以看出，它就是一个菲波拉契数列。 2、LELE的RPG难题
题目描述：有排成一行的ｎ个方格，用红(Red)、粉(Pink)、绿(Green)三色涂每个格子，每格涂一色，要求任何相邻的方格不能同色，且首尾两格也不同色．求全部的满足要求的涂法. 以上就是著名的RPG难题. 解法一： 这个题目经过同学们的讨论，得出了三种解法。我所用的方法还是搜索，我们先不考虑它的限制条件，把第一个格子看成是树的根，那么总共可以建成三棵树，每一棵树的结点都有三个孩子。我们的目标就是要统计这三棵树中分别从根结点走到叶子结点的总的路径条数。然后把限制条件加上，把不符合要求的路径去掉，即可得出最终的结果。具体的做法同样是记忆化搜索. 解法二：递推公式 f[n] = 3 * 2^(n-1) – f[n-1]； 解法三：数学公式 f[n] = (k-1)^n+(k-1)*(-1)^n； 证明略。 3、骨牌铺方格 题目描述：在2×n的一个长方形方格中,用一个1× 2的骨牌铺满方格,输入n ,输出铺放方案的总数. 法一： 这道题目，我是用数学方法解的，可以说是枚举。骨牌放入方格中只有两种方式，横放或竖放，设横放的有x张，竖放的有y张。则X+y = n；并且x只能是偶数(要把方格填满，横着放的骨牌只能是成对出现)，而题目给出n最大为50,所x,y 完全可以很快的枚举 出来。剩下的工作只需对由x/2，y组成的多重集合进行排列就行了。这个集合中共有两类不同类型的元素，第一类元素的重数k1=x/2， 第二类元素的重数k2=y；故最后的结果为(k1+k2)!/(k1! * k2!)。 法二： 假设f[n]为铺放方案的总数，我们只考虑最后放的那几张骨牌，有两种可能，一种是只放一张，竖着放，此时的方案总数为f[n-1]，还有 一种可能是放两张，横着放，此时的方案总数为f[n-2]。因此我可以得出递推公式 f[n] = f[n-1]+f[n-2]。 法三：
人教新课标版数学高二B版必修5素材 预习学案 2.1.2数列的递推公式(选学)
预习导航 1．体会递推公式是数列的一种表示方法． 2．理解递推公式的概念及含义，能够根据递推公式写出数列的前几项． 3．掌握由一些简单的递推公式求数列的通项公式． 1．数列的递推公式 如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项a n 与它的前一项1n a (或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． 名师点拨：(1)与所有的数列不一定都有通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式． (2)递推公式也是给出数列的一种重要方法．事实上，递推公式与通项公式一样，都是关于n 的恒等式，我们可用符合要求的正整数依次去替换n ，从而可以求出数列的各项． 【做一做1】 数列2，4，6，8，10，…的递推公式是( ) A ．a n ＝a n －1＋2(n ≥2) B ．a n ＝2a n －1(n ≥2) C ．a n ＝a n －1＋2，a 1＝2(n ≥2) D ．a n ＝2a n －1，a 1＝2(n ≥2) 答案：C 2．通项公式与递推公式的区别与联系 区别 联系 通项公式 项a n 是序号n 的函数式a n ＝f (n ) 都是给出数列的方法，可 求出数列中任意一项 递推公式 已知a 1(或前几项)及相邻项(或相邻几项) 间的关系式 但并不是所有的数列都有递推公式.例如\r(2)精确到1，0.1，0.01，0.001，…的不足近似值排列成一列数：1，1.4，1.41，1.414，…就没有递推公式. 【做一做2－1】 已知在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝a n －1＋2(n ≥2)，则{a n }的通项公式是 ( ) A ．3n B ．2n C ．n D ．n 2 答案：B 【做一做2－2】 在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋1－a n ＝1＋(－1)n (n ≥2)，则a 10＝________． 解析：由题意，知a 10－a 9＝1＋(－1)9，a 9－a 8＝1＋(－1)8，a 8－a 7＝1＋(－1)7，…，a 3
数列的递推关系
数列的递推关系 ? 教学重点： 数列的任意连续若干项能满足的关系式称为该数列的一个递推公式，由递推公式和相应有尽有前若干项可以确定一个数列．这种表示方法叫做递推公式法或递推法． ? 教学难点： 1．根据数列的首项和递推公式写出它的前几项，关归纳出通项公式． 2．n n S a 的关系 ???-=-1 1S S S a n n n )1() 2(=≥n n ． ? 教学过程： 一、复习 数列的定义，数列的通项公式的意义（从函数观点出发去刻划）． 二、递推公式 钢管的例子 3+=n a n 从另一个角度，可以： 1 4 11+==-n n a a a Λ ) 2() 1(≥=n n “递推公式”定义：已知数列{}n a 的第一项，且任一项n a 与它的前一项1-n a （或前n 项）间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的递推公式． 例1．已知21=a ，41-=+n n a a 求n a ． 解一：可以写出：21=a ，22-=a ，63-=a ，104-=a ，…… 观察可得：)1(42)4)(1(2--=--+=n n n a n 解二：由题设： 41-=-+n n a a
∴ Λ Λ4 4 432211-=--=--=------n n n n n n a a a a a a ) +412-=-a a )1(41--=-n a a n ∴ )1(42--=n a n 例2．若记数列{}n a 的前n 项之和为S n 试证明：?? ? -=-1 1 S S S a n n n ) 1()2(=≥n n 证：显然1=n 时 ，11S a = 当1≠n 即2≥n 时， n n a a a S +++=Λ21 1211--+++=n n a a a S Λ ∴ n n n a S S =--1 ∴???-=-1 1S S S a n n n )1() 2(=≥n n 注意：1? 此法可作为常用公式； 2? 当)(11S a =时 满足1--n n S S 时，则1--=n n n S S a ． 例3．已知数列{}n a 的前n 项和为① n n S n -=22 ② 12 ++=n n S n ，求数列{}n a 的 通项公式． 解：1．当1=n 时，111==S a 当2≥n 时，34)1()1(222 2-=-+---=n n n n n a n 经检验 1=n 时 11=a 也适合 34-=n a n 2．当1=n 时，311==S a 当2≥n 时，n n n n n a n 21)1()1(12 2=-----++= ∴ ?? ?=n a n 23 ) 2()1(≥=n n 例4．已知21=a ，n n a a 21=+ 求n a ．
九类常见递推数列求通项公式方法
递推数列通项求解方法 类型一：1n n a pa q += +（1p ≠） 思路1（递推法）：()123()n n n n a pa q p pa q q p p pa q q q ---??=+=++=+++=?? ......121(1n p a q p p -=++++ (2) 1 1)11n n q q p a p p p --??+=+?+ ? --?? 。 思路2（构造法）：设()1n n a p a μμ++=+，即()1p q μ-=得1 q p μ= -，数列 {}n a μ+是以1a μ+为首项、p 为公比的等比数列，则1 111n n q q a a p p p -??+ =+ ?--??，即1111n n q q a a p p p -??=++ ? --?? 。 例1 已知数列{}n a 满足123n n a a -=+且11a =，求数列{}n a 的通项公式。 解：方法1（递推法）： ()123232(23)3222333n n n n a a a a ---??=+=++=+++=?? (1) 22 3(122n -=++++ (2) 11 332 )12232112n n n --+??+=+?+=- ? --? ?。 方法2（构造法）：设()12n n a a μμ++=+，即3μ=，∴数列{}3n a +是以134 a +=为首项、2为公比的等比数列，则113422n n n a -++=?=，即1 23n n a +=-。
1n n +思路1（递推法）： 123(1)(2)(1)(3)(2)(1)n n n n a a f n a f n f n a f n f n f n ---=+-=+-+-=+-+-+-= …1 11 ()n i a f n -==+∑。 思路2（叠加法）：1(1)n n a a f n --=-，依次类推有：12(2)n n a a f n ---=-、 23(3)n n a a f n ---=-、…、21(1)a a f -=，将各式叠加并整理得1 11 ()n n i a a f n -=-= ∑ ，即 1 11 ()n n i a a f n -==+ ∑ 。 例2 已知11a =，1n n a a n -=+，求n a 。 解：方法1（递推法）：123(1)(2)(1)n n n n a a n a n n a n n n ---=+=+-+=+-+-+= ......1[23a =+++ (1) (1)(2)(1)]2 n i n n n n n n =++-+-+= = ∑ 。 方法2（叠加法）：1n n a a n --=，依次类推有：121n n a a n ---=-、232n n a a n ---=-、…、 212a a -=，将各式叠加并整理得12 n n i a a n =-= ∑ ，12 1 (1)2 n n n i i n n a a n n ==+=+ = = ∑ ∑ 。
递推与递归练习题
练习 1.（用递归做）5个人坐在一起，问第五个人多少岁？他说比第4个人大2岁。 问第4个人岁数，他说比第3个人大2岁。问第三个人，又说比第2人大两岁。问第2个人，说比第一个人大两岁。最后问第一个人，他说是10岁。请问第五个人多大？ 程序分析：利用递归的方法，递归分为回推和递推两个阶段。要想知道第五个人岁数，需知道第四人的岁数，依次类推，推到第一人（10岁），再往回推。 2.（用递归做）商人渡河问题是这样的：有三个商人，三个强盗，和一条船（船 每次只可以载小于等于两个人）他们同在河的一边，想渡过河去，但是必须保证在河的任何一边必须保证商人的数目大于等于强盗的数目，应该怎么过这条河呢？ 注意：开始时商人，强盗所在的河的这边设为0状态，另一边设为1状态（也就是船开始时的一边设为0，当船驶到对岸是设为1状态，在这两个状态时，都必须符合条件） 3.（用递推做）猴子第一天摘下若干个桃子，当即吃了一半，还不过瘾， 又多吃了一个，第二天早上又将剩下的桃子吃掉一半，又多吃了一个。 以后每天早上都吃了前一天剩下的一半多一个。到第30天早上想再吃时，见只剩下1个桃子了。求第一天共摘了多少。 4.（用递推做）已知一对兔子每一个月能生一对小兔子，而一对小兔子出 生后第二个月就开始生小兔子，假如一年内没有发生死亡，则以对兔子一年能繁殖成多少对？
答案： 1.#include
数列的递推公式练习
课时作业5 数列的递推公式(选学) 时间：45分钟 满分：100分 课堂训练 1．在数列{a n }中，a 1＝1 3，a n ＝(－1)n ·2a n －1(n ≥2)，则a 5＝( ) A ．－16 3 C ．－83 【答案】 B 【解析】 由a n ＝(－1)n ·2a n －1知a 2＝23，a 3＝－2a 2＝－4 3，a 4＝2a 3 ＝－83，a 5＝－2a 4＝163. 2．某数列第一项为1，并且对所有n ≥2，n ∈N ，数列的前n 项之积为n 2，则这个数列的通项公式是( ) A ．a n ＝2n －1 B ．a n ＝n 2 C ．a n ＝n 2 n －12 D ．a n ＝n ＋12 n 2 【答案】 C 【解析】 ∵a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，a 1·a 2·a 3·…·a n －1＝(n －1)2，∴两式相除，得a n ＝n 2 n －12 . 3．已知数列{a n }满足：a 4n －3＝1，a 4n －1＝0，a 2n ＝a n ，n ∈N ＋，则a 2 009＝________，a 2 014＝________. 【答案】 1 0 【解析】 考查数列的通项公式．
∵2 009＝4×503－3，∴a 2 009＝1， ∵2 014＝2×1 007，∴a 2 014＝a 1 007， 又1 007＝4×252－1，∴a 1 007＝a 4×252－1＝0. 4．已知数列{a n }，a 1＝0，a n ＋1＝1＋a n 3－a n ，写出数列的前4项，并归 纳出该数列的通项公式． 【解析】 a 1＝0，a 2＝1＋a 13－a 1＝13，a 3＝1＋a 23－a 2＝1＋13 3－13＝1 2，a 4＝1＋a 33－a 3 ＝1＋12 3－12 ＝3 5. 直接观察可以发现，把a 3＝12写成a 3＝2 4， 这样可知a n ＝n －1 n ＋1(n ≥2，n ∈N ＋)． 当n ＝1时，1－1 1＋1＝0＝a 1， 所以a n ＝n －1 n ＋1 (n ∈N ＋)． 课后作业 一、选择题(每小题5分，共40分) 1．已知数列{a n }满足：a 1＝－14，a n ＝1－1 a n －1(n ≥2)，则a 4＝( ) C ．－14 【答案】 C
几类常见递推数列的解题方法
叠加、 叠乘、迭代递推、代数转化 ——几类常见递推数列的教学随笔 已知数列的递推关系式求数列的通项公式的方法大约分为两类：一类是根据前几项的特点归纳猜想出a n 的表达式，然后用数学归纳法证明；另一类是将已知递推关系，用代数法、迭代法、换元法，或是转化为基本数列（等差或等比）的方法求通项．第一类方法要求学生有一定的观察能力以及足够的结构经验，才能顺利完成，对学生要求高．第二类方法有一定的规律性，只需遵循其特有规律方可顺利求解．在教学中，我针对一些数列特有的规律总结了一些求递推数列的通项公式的解题方法． 一、叠加相消． 类型一：形如a 1+n ＝a n + f (n )， 其中f (n ) 为关于n 的多项式或指数形式（a n ）或可裂项成差的分式形式．——可移项后叠加相消． 例1：已知数列｛a n ｝,a 1＝0,n ∈N +，a 1+n ＝a n ＋（2n －1），求通项公式a n ． 解：∵a 1+n =a n ＋（2n －1） ∴a 1+n =a n ＋（2n －1） ∴a 2－a 1 =1 、a 3－a 2=3 、…… a n －a 1-n =2n －3 ∴a n = a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a 1-n )=0＋1＋3＋5＋…＋(2n －3) = 2 1 [1＋(2n －3)]( n －1)=( n －1)2 n ∈N + 练习1：⑴.已知数列｛a n ｝,a 1=1, n ∈N +，a 1+n =a n ＋3 n ， 求通项公式a n ． ⑵.已知数列｛a n ｝满足a 1＝3，)1(2 1 +=-+n n a a n n ，n ∈N +，求a n ． 二、叠乘相约． 类型二：形如)(1n f a a n n =+.其中f (n ) =p p c mn b mn )()(++ （p ≠0，m ≠0,b –c = km ,k ∈Z ）或 n n a a 1+=kn （k ≠0）或n n a a 1+= km n ( k ≠ 0, 0＜m 且m ≠ 1)． 例2：已知数列｛a n ｝, a 1=1，a n ＞0,( n ＋1) a 1+n 2 －n a n 2＋a 1+n a n =0，求a n ． 解：∵( n ＋1) a 1+n 2 －n a n 2＋a 1+n a n =0 ∴ [(n ＋1) a 1+n －na n ](a 1+n ＋a n )= 0 ∵ a n ＞0 ∴ a 1+n ＋a n ＞0 ∴ (n ＋1) a 1+n －na n =0 ∴1 1+=+n n a a n n ∴n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n 112 12 31 2111 23 22 11 =???--?--?-=?????=----- 练习2：⑴已知数列｛a n ｝满足S n = 2 n a n ( n ∈N * ), S n 是{ a n }的前n 项和,a 2=1,求a n ．
常见递推数列通项公式求法(教案)
问题 1:已知数列{a } ， a 1 = 1 ， a n +1 = n + 2 ，求{a n }的通项公式。 2 常见递推数列通项公式的求法 一、课题：常见递推数列通项公式的求法 二、教学目标 (1)会根据递推公式求出数列中的项，并能运用叠加法、叠乘法、待定系数 法求数列的通项公式。 (2) 根据等差数列通项公式的推导总结出叠加法的基本题型，引导学生分 组合作并讨论完成叠乘法及待定系数法的基本题型。 (3)通过互助合作、自主探究培养学生细心观察、认真分析、善于总结的良 好思维习惯，以及积极交流的主体意识。 三、教学重点：根据数列的递推关系式求通项公式。 四、教学难点：解题过程中方法的正确选择。 五、教学课时： 1 课时 六、教学手段：黑板，粉笔 七、教学方法： 激励——讨论——发现——归纳——总结 八、教学过程 （一）复习回顾： 1、通项公式的定义及其重要作用 2、区别递推公式与通项公式，从而引入课题 （二）新知探究： a n 变式： 已知数列 {a n } ， a 1 = 1 ， a n +1 = a n + 2n ，求{a n }的通项公式。 活动 1：通过分析发现形式类似等差数列，故想到用叠加法去求解。教师引导学 生细致讲解整个解题过程。 解：由条件知： a n +1 - a = 2n n 分别令 n = 1,2,3,? ? ? ? ??,(n - 1) ，代入上式得 (n - 1) 个 等式叠加之， 即 (a 2 - a 1 ) + (a 3 - a 2 ) + (a 4 - a 3 ) + ? ? ? ? ? ? +(a n - a n -1 ) = 2 + 2 ? 2 + 2 ? 3 + 2 ? (n - 2) + 2 ? (n - 1) 所以 a - a = (n - 1)[2 + 2 ? (n - 1)] n 1 a = 1,∴ a = n 2 - n + 1 1 n
专题由递推关系求数列的通项公式含答案
专题 由递推关系求数列的通项公式 一、目标要求 通过具体的例题，掌握由递推关系求数列通项的常用方法： 二、知识梳理 求递推数列通项公式是数列知识的一个重点，也是一个难点，高考也往往通过考查递推数列来考查学生对知识的探索能力，求递推数列的通项公式一般是将递推公式变形，推得原数列是一种特殊的数列或原数列的项的某种组合是一种特殊数列，把一些较难处理的数列问题化为熟悉的等差或等比数列。 三、典例精析 1、公式法：利用熟知的公式求通项公式的方法称为公式法。常用的公式有???≥???????-=????????????????=-21 11n S S n S a n n n 及 等差数列和等比数列的通项公式。 例1 已知数列{n a }中12a =，2 +2n s n =，求数列{n a }的通项公式 评注 在运用1n n n a s s -=-时要注意条件2n ≥，对n=1要验证。 2、累加法：利用恒等式()()1211+......+n n n a a a a a a -=+--求通项公式的方法叫累加法。它是求型如 ()1+f n n n a a +=的递推数列的方法（其中数列(){}f n 的前n 项和可求）。 例2 已知数列{n a }中112a = ，121 ++32 n n a a n n +=+，求数列{n a }的通项公式 评注 此类问题关键累加可消中间项，而(f n ）可求和则易得n a 3、.累乘法：利用恒等式3 21121 n n n a a a a a a a a -=? ???????()0n a ≠求通项公式的方法叫累乘法。它是求型如()1n n a g n a +=的递推数列的方法(){}() g n n 数列可求前项积 例3 已知数列{n a }中1n n s na =- ，求数列{n a }的通项公式 评注 此类问题关键是化 ()1 n n a g n a -=，且式子右边累乘时可求积，而左边中间项可消。 4、转化法：通过变换递推关系，将非等差（等比）数列转化为等差或等比有关的数列而求得通项公式的方法 称为转化法。常用的转化途径有： ⑴凑配、消项变换——如将一阶线性递推公式1n n a qa d +=+（q, d 为常数，0,1q q ≠≠）通过凑配变成 11n d a q ++ -=1n d q a q ??+ ?-?? ，或消常数项转化为()211n n n n a a q a a +++-=- 例4、已知数列{n a }中，11a =，()1212n n a a n -=+≥，求数列{n a }的通项公式 点评： 此类问题关键是利用配凑或消项变换将其转化为等比数列
数列递推公式的九种方法
求递推数列的通项公式的九种方法 利用递推数列求通项公式，在理论上和实践中均有较高的价值.自从二十世纪八十年代以来，这一直是全国高考和高中数学联赛的热点之一. 一、作差求和法 例1 在数列{}中，31 =a , ) 1(11++ =+n n a a n n ，求通项公式. 解：原递推式可化为：1 111 +- + =+n n a a n n 则, 2 11112 -+=a a 3 12123-+ =a a 4 13134-+ =a a ，……，n n a a n n 1111--+ =-逐项相加得：n a a n 111- +=. 故n a n 14- =. 二、作商求和法 例 2 设数列{}是首项为1的正项数列，且 0)1(12 2 1 =+-+++n n n n a a na a n （n=1,2,3…） ，则它的通项公式是=▁▁▁（2000年高考15题） 解：原递推式可化为： ) ]()1[(11n n n n a a na a n +-+++=0 ∵ n n a a ++1＞0， 1 1+=+n n a a n n 则 ,4 3,32,21342312===a a a a a a ……，n n a a n n 11 -= - 逐项相乘得： n a a n 1 1=，即=n 1. 三、换元法 例3 已知数列{}，其中9 13,3421 == a a ，且当n ≥3时， ) (3 1 211----=-n n n n a a a a ，求通项公式（1986年高考文科第八
题改编）. 解：设1 1 ---=n n n a a b ，原递推式可化为： } {,3 1 21n n n b b b --=是一个等比数列，9 1 3491312 1 =-= -=a a b ，公比为3 1.故n n n n b b )3 1 ()31(91)31(2211 ==?=---.故n n n a a )3 1 (1=--.由逐差法可得： n n a )3 1(2123-= . 例4已知数列{}，其中2,12 1 ==a a ，且当n ≥3时，122 1 =+---n n n a a a ，求通项公式。解 由122 1 =+---n n n a a a 得：1)()(2 1 1 =------n n n n a a a a ，令1 1 ---=n n n a a b ，则上式为12 1 =---n n b b ，因此是一个等差数列，1121=-=a a b ，公差为1.故n b n =.。 由于112312121-=-++-+-=+++--n n n n a a a a a a a b b b ΛΛ 又2 )1(12 1 -= +++-n n b b b n Λ 所以)1(2 1 1-= -n n a n ，即)2(2 12 +-= n n a n 四、积差相消法 例5设正数列，，…，，…满足2 -n n a a 2 1---n n a a = ) 2(≥n 且11 ==a a ，求的通项公式. 解 将递推式两边同除以2 1--n n a a 整理得：122 1 1=----n n n n a a a a 设= 1 -n n a a ，则0 11 a a b = =1，1 21=--n n b b ，故有 1 212=-b b ⑴122 3 =-b b ⑵ … … … …
递推和递归作业
题1：编码（encode.???） 【问题描述】 编码工作常被运用于密文或压缩传输。这里我们用一种最简单的编码方式进行编码：把一些有规律的单词编成数字。 字母表中共有26个字母{a,b,……,z}，这些特殊的单词长度不超过6且字母按升序排列。把所有这样的单词放在一起，按字典顺序排列，一个单词的编码就对应着它在字典中的位置。 例如： a --> 1 b --> 2 z --> 26 ab --> 27 ac --> 28 你的任务就是对于所给的单词，求出它的编码。 【输入格式】 仅一行，被编码的单词。 【输出格式】 仅一行，对应的编码。如果单词不在字母表中，输出0。 【输入样例】 ab 【输出样例】 27 题2：特殊的子集（subset.???） 【问题描述】 集合M={1,2,3,……n}的子集中，有一些是不含相邻自然数元素的。例如：n=4时，集合{1,3}是满足要求的，而{1,3,4}是不满足的，因为它含有相邻自然数3和4。把所有满足要求的子集记作S i，对于每一个S i计算出它的所有元素的乘积T i，求∑T i2。 【输入格式】 仅一行，包括一个正整数n(n≤100) 【输出格式】 仅一行，即T i的平方和，可能会超出长整型范围。 【输入样例】 4
【输出格式】 119 题3：素数环（prime.???） 【问题描述】 给定一个n，求1..n组成的环，使得环上相邻的元素和为素数。 【输入格式】 n(1<=n<=10) 【输出格式】 把1放在第一位置，按照字典顺序不重复的输出所有解(顺时针，逆时针算不同的两种)，相邻两数之间严格用一个整数隔开，每一行的末尾不能有多余的空格。 【输入样例】 8 【输出样例】 1 2 3 8 5 6 7 4 1 2 5 8 3 4 7 6 1 4 7 6 5 8 3 2 1 6 7 4 3 8 5 2 题4：火力网（fire.???） 【问题描述】 在一个n*n的阵地中，有若干炮火不可摧毁的石墙，现在要在这个阵地中的空地上布置一些碉堡。假设碉堡只能向上下左右四个方向开火，由于建筑碉堡的材料挡不住炮火，所以任意一个碉堡都不能落在其它碉堡的火力范围内，请问至多可建造几座碉堡？ 【输入格式】 第一行一个整数n(n<=10)。 下面n行每行为一个由n个字符构成的字符串，表示阵地的布局，包括空地('.')，和石墙('X')。 【输出格式】 一个整数，即最多可建造的碉堡数。 【输入样例】 4