湖北省宜昌市高新区2020-2021学年九年级上学期期末数学试题
湖北省宜昌市高新区2020-2021学年九年级上学期期末数学
试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列交通标志中，是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
2．下列事件中，是必然事件的是（）
A．掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数为偶数
B．三角形的内角和等于180°
C．不透明袋子中装有除色外无其它差别的9个白球，1个黑球，从中摸出一球为白球D．抛掷一枚质地均匀的硬币2次，出现1次“正面向上”，1次“反面向上”
3．已知x＝1是方程x2+m＝0的一个根，则m的值是（）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
4．若⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，那么点A与⊙O的位置关系是A．点A在圆外B．点A在圆上
C．点A在圆内D．不能确定
5．已知圆锥的母线长为4，底面圆的半径为3，则此圆锥的侧面积是（）
A．6πB．9πC．12πD．16π
6．圆的直径是13cm，如果圆心与直线上某一点的距离是6.5cm，那么该直线和圆的位置关系是（）
A．相离B．相切C．相交D．相交或相切
7．某种植基地2021年蔬菜产量为80吨，预计2021年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为（）
A．80（1+x）2=100 B．100（1﹣x）2=80 C．80（1+2x）=100
D．80（1+x2）=100
8．若点P（﹣m，﹣3）在第四象限，则m满足（）
A．m＞3 B．0＜m≤3C．m＜0 D．m＜0或m＞3 9．与y=2（x﹣1）2+3形状相同的抛物线解析式为（）
A．y=1+1
2
x2B．y=（2x+1）2C．y=（x﹣1）2D．y=2x2
10．如图所示的两个三角形（B、F、C、E四点共线）是中心对称图形，则对称中心是（）
A．点C B．点D
C．线段BC的中点D．线段FC的中点
11．如图，已知⊙O的内接正六边形ABCDEF的边长为6，则弧BC的长为（）
A．2πB．3πC．4πD．π
12．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD=88°，则∠BCD的度数是
A．88°B．92°C．106°D．136°
13．如图，AC为⊙O的直径，AB为⊙O的弦，∠A=35°，过点C的切线与OB的延长线相交于点D，则∠D=（）
A．20°B．30°C．40°D．35°
14．在同一坐标系中，一次函数y=ax+2与二次函数y=x2+a的图象可能是（）
A．B．C．D．
15．将两个圆形纸片（半径都为1）如图重叠水平放置，向该区域随机投掷骰子，则骰子落在重叠区域（阴影部分）的概率大约为（）
A．1
2
B．
1
4
C．
1
6
D．
1
8
二、解答题
16．解方程：x2＋x﹣3＝0．
17．如图，四边形ABCD是矩形，E为CD边上一点，且AE、BE分别平分∠DAB、∠ABC．
（1）求证：△ADE≌△BCE；
（2）已知AD＝3，求矩形的另一边AB的值．
18．如图，△ABC的坐标依次为（﹣1，3）、（﹣4，1）、（﹣2，1），将△ABC绕原点O 顺时针旋转180°得到△A1B1C1．
（1）画出△A1B1C1；
（2）求在此变换过程中，点A到达A1的路径长．
19．已知x2﹣8x+16﹣m2＝0（m≠0）是关于x的一元二次方程
（1）证明：此方程总有两个不相等的实数根；
（2）若等腰△ABC的一边长a＝6，另两边长b、c是该方程的两个实数根，求△ABC的面积．
20．一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“魅”、“力”、“宜”、“昌”的四个个球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球．
（1）若从中任取一个球，球上的汉字刚好是“宜”的概率为多少？
（2）甲同学从中任取一球，记下汉字后放回袋中，然后再从袋中任取一球，请用画树图成列表的方法求出甲同学取出的两个球上的汉字恰能组成“魅力”或“宜昌”的概率p甲；（3）乙同学从中任取一球，不放回，再从袋中任取一球，请求出乙同学取出的两个球上的汉字恰能组成“魅力”或“宜昌”的概率p乙，并指出p甲、p乙的大小关系．
21．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于点E，DA平分∠BDE （Ⅰ）求证：AE是⊙O的切线；
（Ⅱ）若∠DBC=30°，DE=1 cm，求BD的长．
22．倡导全民阅读，建设书香社会．
（调査）目前，某地纸媒体阅读率为40%，电子媒体阅读率为80%，综合媒体阅读率为90%．
（百度百科）某种媒体阅读率，指有某种媒体阅读行为人数占人口总数的百分比；综合阅读率，在纸媒体和电子体中，至少有一种阅读行为的人数占人口总数的百分比，它反映了一个国家或地区的阅读水平．
（问题解决）（1）求该地目前只有电子媒体阅读行为人数占人口总数的百分比；
（2）国家倡导全民阅读，建设书香社会．预计未来两个五年中，若该地每五年纸媒体阅读人数按百分数x减少，综合阅读人数按百分数x增加，这样十年后，只读电子媒体的人数比目前增加53%，求百分数x．
23．矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，O为边AD上一点，以O为圆心，OA为半径r 作⊙O，过点B作⊙O的切线BF，F为切点．
（1）如图1，当⊙O 经过点C 时，求⊙O 截边BC 所得弦MC 的长度；
（2）如图2，切线BF 与边AD 相交于点E ，当FE ＝FO 时，求r 的值；
（3）如图3，当⊙O 与边CD 相切时，切线BF 与边CD 相交于点H ，设△BCH 、四边
形HFOD 、四边形FOAB 的面积分别为S 1、S 2、S 3，求123
S S S 的值． 24．如图1，抛物线y ＝ax 2+bx+c 的顶点（0，5），且过点（﹣3，
114
），先求抛物线的解析式，再解决下列问题：
（应用）问题1，如图2，线段AB ＝d （定值），将其弯折成互相垂直的两段AC 、CB 后，设A 、B 两点的距离为x ，由A 、B 、C 三点组成图形面积为S ，且S 与x 的函数关系如图所示（抛物线y ＝ax 2+bx+c 上MN 之间的部分，M 在x 轴上）：
（1）填空：线段AB 的长度d ＝ ；弯折后A 、
B 两点的距离x 的取值范围是 ；若S ＝3，则是否存在点
C ，将AB 分成两段（填“能”或“不能”） ；若面积S ＝1.5时，点C 将线段AB 分成两段的长分别是 ；
（2）填空：在如图1中，以原点O 为圆心，A 、B 两点的距离x 为半径的⊙O ；画出点C 分AB 所得两段AC 与CB 的函数图象（线段）；设圆心O 到该函数图象的距离为h ，则h ＝ ，该函数图象与⊙O 的位置关系是 ．
（提升）问题2，一个直角三角形斜边长为c （定值），设其面积为S ，周长为x ，证明S 是x 的二次函数，求该函数关系式，并求x 的取值范围和相应S 的取值范围．
参考答案
1．D
【解析】
【分析】
根据中心对称图形的概念判断即可．
【详解】
A、不是中心对称图形；
B、不是中心对称图形；
C、不是中心对称图形；
D、是中心对称图形．
故选D．
【点睛】
本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2．B
【分析】
根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型．
【详解】
解：A、掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数为偶数是随机事件；
B、三角形的内角和等于180°是必然事件；
C、不透明袋子中装有除色外无其它差别的9个白球，1个黑球，从中摸出一球为白球是随机事件；
D、抛掷一枚质地均匀的硬币2次，出现1次“正面向上”，1次“反面向上”是随机事件；
故选：B．
【点睛】
本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3．A
【分析】
把x=1代入方程，然后解一元一次方程即可．
【详解】
把x=1代入方程得：1+m=0，解得：m=﹣1．
故选A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解．掌握一元二次方程的解的定义是解答本题的关键．
4．C
【分析】
要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；利用d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内判断出即可．
【详解】
解：∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，
∴d＜r，
∴点A与⊙O的位置关系是：点A在圆内，
故选C．
5．C
【分析】
圆锥的侧面积就等于经母线长乘底面周长的一半．依此公式计算即可．
【详解】
解：底面圆的半径为3，则底面周长=6π，侧面面积=1
2
×6π×4=12π，
故选C．
考点：圆锥的计算．
6．D
【解析】
【分析】
比较圆心到直线距离与圆半径的大小关系，进行判断即可.
【详解】
圆的直径是13cm，故半径为6.5cm. 圆心与直线上某一点的距离是6.5cm，那么圆心到直线的距离可能等于6.5cm也可能小于6.5cm，因此直线与圆相切或相交.故选D.
本题主要考查直线与圆的位置关系，需注意圆的半径为6.5cm，那么圆心与直线上某一点的距离是6.5cm是指圆心到直线的距离可能等于6.5cm也可能小于6.5cm.
7．A
【解析】
【分析】
利用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），设平均每次增长的百分率为x，根据“从80吨增加到100吨”，即可得出方程．
【详解】
由题意知，蔬菜产量的年平均增长率为x，
根据2021年蔬菜产量为80吨，则2021年蔬菜产量为80（1+x）吨，
2021年蔬菜产量为80（1+x）（1+x）吨，预计2021年蔬菜产量达到100吨，
即：80（1+x）2=100，
故选A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用（增长率问题）．解题的关键在于理清题目的含义，找到2021年和2021年的产量的代数式，根据条件找准等量关系式，列出方程．
8．C
【分析】
根据第四象限内点的特点，横坐标是正数，列出不等式求解即可．
【详解】
解：根据第四象限的点的横坐标是正数，可得﹣m＞0，解得m＜0．
故选：C．
【点睛】
本题考查平面直角坐标系中各象限内点的坐标符号，关键是掌握四个象限内点的坐标符号．9．D
【分析】
抛物线的形状只是与a有关，a相等，形状就相同．
【详解】
y=2（x﹣1）2+3中，a=2．
【点睛】
本题考查了抛物线的形状与a的关系，比较简单．
10．D
【分析】
直接利用中心对称图形的性质得出答案．
【详解】
解：两个三角形（B、F、C、E四点共线）是中心对称图形，则对称中心是：线段FC的中点．
故选：D．
【点睛】
本题比较容易，考查识别图形的中心对称性．要注意正确区分轴对称图形和中心对称图形，中心对称是要寻找对称中心，旋转180度后重合．
11．A
【分析】
连接OC、OB，求出圆心角∠AOB的度数，再利用弧长公式解答即可．
【详解】
解：连接OC、OB
∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴∠COB＝
1
360
6
??＝60°，
∵OA=OB
∴△OBC是等边三角形，∴OB＝OC＝BC＝6，
弧BC的长为:606
2
180
π
π
?
＝．
故选：A．
【点睛】
此题考查了扇形的弧长公式与多边形的性质相结合，构思巧妙，利用了正六边形的性质，解题的关键是掌握扇形的弧长公式．
12．D
【分析】
首先根据∠BOD=88°，应用圆周角定理，求出∠BAD的度数；然后根据圆内接四边形的性质，可得∠BAD+∠BCD=180°，据此求出∠BCD的度数
【详解】
由圆周角定理可得∠BAD=1
2
∠BOD=44°，
根据圆内接四边形对角互补可得∠BCD=180°-∠BAD=180°-44°=136°，
故答案选D．
考点：圆周角定理；圆内接四边形对角互补．
13．A
【解析】
【详解】
∵∠A=35°，
∴∠COB=70°，
∴∠D=90°-∠COB=20°．
故选A．
14．C
【解析】
试题分析：根据二次函数及一次函数的图象及性质可得，当a＜0时，二次函数开口向上，顶点在y轴负半轴，一次函数经过一、二、四象限；当a＞0时，二次函数开口向上，顶点在y轴正半轴，一次函数经过一、二、三象限．符合条件的只有选项C，故答案选C．
考点：二次函数和一次函数的图象及性质．
15．B
【解析】
【分析】
连接AO 1，AO 2，O 1O 2，BO 1，推出△AO 1O 2是等边三角形，求得∠AO 1B=120°，得到阴影部分的面积=
2π3
=1π3
，于是得到结论． 【详解】
解：连接AO 1，AO 2，O 1O 2，BO 1，则O 1O 2垂直平分AB
∴AO 1=AO 2=O 1O 2=BO 1=1，
∴△AO 1O 2是等边三角形，
∴∠AO 1O 2=60°，AB=2AO 1sin60°
=21?=∴∠AO 1B=120°，∴阴影部分的面积=2×
（2120π11136022?-?
=2π3-2
，
∴空白部分和阴影部分的面积和=2π-（2π3
=4π3
2π≈14， 故选B ．
【点睛】 此题考查了几何概率，扇形的面积，三角形的面积，正确的作出辅助线是解题的关键． 16．x 1＝?1+√132，x
2＝?1?√132
【解析】
【分析】
利用公式法解方程即可.
【详解】
∵a ＝1，b ＝1，c ＝﹣3，
∴b 2﹣4ac ＝1＋12＝13＞0，
∴x ＝﹣1±√132
， ∴x 1＝?1+√132，x 2＝?1?√132
． 【点睛】
本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的几种解法是解答的关键.
17．（1）证明见解析；（2）AB ＝6．
【分析】
（1）根据矩形的性质，即可得到∠D ＝∠C ，AD ＝BC ，∠DAE ＝∠CBE ＝45°，进而得出△ADE ≌△BCE ；
（2）依据△ADE 是等腰直角三角形，即可得到DE 的长，再根据全等三角形的性质以及矩形的性质，即可得到AB 的长．
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠D ＝∠C ＝∠BAD ＝∠ABC ＝90°，AD ＝BC ，
又∵AE 、BE 分别平分∠DAB 、∠ABC ， ∴1145,4522
DAE DAB CBE CBE ∠∠=?∠∠=?＝＝
∴∠DAE ＝∠CBE ＝45°，
∴△ADE ≌△BCE （ASA ）；
（2）∵∠DAE ＝45°，∠D ＝90°，
∴∠DAE ＝∠AED ＝45°，
∴AD ＝DE ＝3，
又∵△ADE ≌△BCE ，
∴DE ＝CE ＝3，
∴AB ＝CD ＝6．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
18．（1）画图见解析；（2）点A 到达A 1的路径长为．
【分析】
（1）根据旋转的定义分别作出点A ，B ，C 绕原点旋转所得对应点，再首尾顺次连接即可得；
（2）点A 到达A 1的路径是以O 为圆心，OA 为半径的半圆，据此求解可得．
【详解】
解：（1）如图所示，△A 1B 1C 1即为所求．
（2）∵OA ，
∴点A 到达A 1的路径长为
12＝． 【点睛】
本题考查利用旋转变换作图，勾股定理，弧长公式，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．
19．（1）证明见解析；（2）△ABC
【分析】
（1）计算判别式的值得到△＝4m 2，从而得到△＞0，然后根据判别式的意义得到结论；
（2）利用求根公式解方程得到x ＝4±m ，即b ＝4+m ，c ＝4﹣m ，讨论：当b ＝a ＝6时，即
4+m ＝6，解得m ＝2，利用勾股定理计算出底边上的高，然后计算△ABC 的面积；当c ＝a 时，即4﹣m ＝6，解得m ＝﹣2，即a ＝c ＝6，b ＝2，利用同样方法计算△ABC 的面积．
【详解】
（1）证明：△＝（﹣8）2﹣4×（16﹣m 2）
＝4m 2，
∵m≠0，
∴m 2＞0，
∴△＞0，
∴此方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵22284164m m ?＝（﹣）﹣（﹣）＝
∴84||42
x m m ±=±=±＝ ， 即b ＝4+m ，c ＝4﹣m ，
∵m≠0
∴b≠c
当b ＝a 时，4+m ＝6，解得m ＝2，即a ＝b ＝6，c ＝2，
如图，AB=AC=6，BC=2，AD 为高，
则BD=CD=1，
∴AD ==
∴△ABC 的面积为：
12× 当c ＝a 时，4﹣m ＝6，解得m ＝﹣2，即a ＝c ＝6，b ＝2，
如图，AB=AC=6，BC=2，AD 为高，
则BD=CD=1，
∴AD ==
∴△ABC 的面积为：
12×
即△ABC
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的根的判别式△＝b 2﹣4ac ：①当△＞0，方程有两个不相等的实数根；②当△＝0，方程有两个相等的实数根；③当△＜0，方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系．
20．（1）；
14（2）14p 甲＝；（3）13p 乙＝p p 甲乙，＜ ． 【分析】
（1）由一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“魅”、“力”、“宜”、“昌”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，直接利用概率公式求解即可求得答案；
（2）首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与取出的两个球上的汉字恰能组成“魅力”或“宜昌”的情况，再利用概率公式即可求得答案；
（3）首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与取出的两个球上的汉字恰能组成“魅力”或“宜昌”的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】
解：（1）从中任取一个球，球上的汉字刚好是“宜”的概率为
14
； （2）列表如下：
所有等可能结果有16种，其中取出的两个球上的汉字恰能组成“魅力”或“宜昌”的有4种结果，
所以取出的两个球上的汉字恰能组成“魅力”或“宜昌”的概率
41
=
164
p
甲
＝；
（3）列表如下：
所有等可能的情况有12种，取出的两个球上的汉字恰能组成“魅力”或“宜昌”的有4种结果，
所以取出的两个球上的汉字恰能组成“魅力”或“宜昌”的概率
41
=
123
p
乙
＝，
所以p p
甲乙
＜．
【点睛】
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件;树状图法适合两步或两步以上完成的事件;解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比．
21．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）4.
【详解】
（Ⅰ）证明：连结OA ，
∵DA 平分∠BDE ，
∴∠ADE ＝∠ADO ，
∵OA=OD ，
∴∠OAD ＝∠ADO ，
∴∠ADE ＝∠OAD ，
∴OA ∥CE ，
∵AE ⊥CD ，
∴AE ⊥OA ，
∴AE 是⊙O 的切线；
（Ⅱ）∵BD 是⊙O 的直径，
∴∠BCD ＝90°，
∵∠DBC=30°，
∴∠BDE ＝120°，
∵DA 平分∠BDE ，
∴∠ADE ＝∠ADO=60°，
∵OA=OD ，
∴△OAD 是等边三角形，
∴AD=OD=12
BD ， 在Rt △AED 中，DE=1，∠ADE=60°，
∴AD=cos 60DE
= 2， ∴BD=4.
22．（1）该社区有电子媒体阅读行为人数占人口总数的百分比为50%．（2）x 为10%．
【分析】
（1）根据题意，利用某地传统媒体阅读率为80%，数字媒体阅读率为40%，而综合阅读率为90%，得出等式求出答案；
（2）根据综合阅读人数﹣纸媒体阅读人数＝只读电子媒体的人数，结合该地每五年纸媒体阅读人数按百分数x 减少，综合阅读人数按百分数x 增加列出方程即可求出答案．
【详解】
解：（1）设某地人数为a ，既有传统媒体阅读又有数字媒体阅读的人数为y ，
则传统媒体阅读人数为0.8a ，数字媒体阅读人数为0.4a ．依题意得：
0.8a+0.4a ﹣y ＝0.9a ，
解得y ＝0.3a ，
∴传统媒体阅读又有数字媒体阅读的人数占总人口总数的百分比为30%．
则该社区有电子媒体阅读行为人数占人口总数的百分比为＝80%﹣30%＝50%．
（2）依题意得：0.9a （1+x ）2+0.4a （1﹣x ）2＝0.5a （1+0.53），整理得：5x 2+26x ﹣2.65＝0，
解得：x 1＝0.1＝10%，x 2＝﹣5.3（舍去），
答：x 为10%．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意得出正确等量关系是解题关键．
23．（1）CM ＝
53
；（2）r ＝﹣2；（3）1． 【分析】
（1）如图1中，连接OM ，OC ，作OH ⊥BC 于H ．首先证明CM ＝2OD ，设AO ＝CO ＝r ，在Rt △CDO 中，根据OC 2＝CD 2+OD 2，构建方程求出r 即可解决问题．
（2）证明△OEF ，△ABE 都是等腰直角三角形，设OA ＝OF ＝EF ＝r ，则OE r ，根据AE ＝2，构建方程即可解决问题．
（3）分别求出S 1、S 2、S 3的值即可解决问题．
【详解】
解：（1）如图1中，连接OM ，OC ，作OH ⊥BC 于H ．
∵OH⊥CM，
∴MH＝CH，∠OHC＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠HCD＝90°，
∴四边形CDOH是矩形，
∴CH＝OD，CM＝2OD，
设AO＝CO＝r，
在Rt△CDO中，∵OC2＝CD2+OD2，∴r2＝22+（3﹣r）2，
∴r＝13
6
，
∴OD＝3﹣r＝5
6
，
∴CM＝2OD＝5
3
．
（2）如图2中，
∵BE是⊙O的切线，
∴OF⊥BE，
∵EF＝FO，
∴∠FEO＝45°，
∵∠BAE＝90°，
∴∠ABE＝∠AEB＝45°，