高三数学第二次月考试题 文

辽宁省沈阳铁路实验中学2017届高三数学第二次月考试题 文

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的．

1．设全集}5,4,3,2,1{=U ,集合}2,1{=A ,}5,3,2{=B ,则=B A C U )(( ) A ．{}3,5 B ．{}3,4,5 C ．{}2,3,4,5 D ．{}1,2,3,4 2. 若复数z 满足5)43(=-z i ，则z 的虚部为( ) A ．

45 B ．－4

5

C ．4

D ．－4

3．设向量)1,(m a =

，)3,2(-=b ，若满足//a b ，则m =( )

A ．

13 B ．13- C ．23 D ．23

- 4．已知R x ∈，则“032>-x x ”是“04>-x ”的( )

A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5. 在等比数列{}n a 中，若4a ，8a 是方程0232=+-x x 的两根，则6a 的值是( )

D ．2±

6. 在满足不等式组??

?

??≥≤-+≥+-0030

1y y x y x 的平面点集中随机取一点),(00y x M ，设事件A =“002x y <”，

那么事件A 发生的概率是( ) A ．

41 B ．4

3

C ．31

D ．32 7. 某大学对1000名学生的自主招生水平测试成绩进行统计，得到样本频率分布直方图(如图)，则这1000名学生在该次自主招生水平测试中成绩不低于70分的学生数是( )

A ．300

B ．400

C ．500

D ．600 8. 已知双曲线

)0( 13

2

2

2

>=-

t x

t y

的一个焦点与抛物线2

8

1x y =

的焦点重合，则实数t 等于( ) 分数

开始

结束

输出i 1=s 2=i ?1000≥s

i s s ?= 2+=i i

否

是

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4 9. 有如图所示的程序框图，则该程序框图表示的 算法的功能是( )

A ．输出使1000421≥????n 成立的最小整数n .

B ．输出使1000421≥????n 成立的最大整数n .

C ．输出使1000421≥????n 成立的最大整数n +2.

D ．输出使1000421≥????n 成立的最小整数n +2

10. 已知直线01=-++c by ax （0>bc ）经过圆05222=--+y y x 的圆心，则c

b 1

4+的最小值是( )

A ．9

B ． 8

C ．4

D ．2

11. 已知四面体ABC P -的四个顶点都在球O 的球面上，若⊥PB 平面ABC ，AC AB ⊥，且1=AC ，

2==AB PB ,则球O 的表面积为( )

A.π7

B.π8

C.π9

D.π10 12. 已知函数)(x f y =是R 上的可导函数，当0≠x 时，有0)()(>+'x x f x f ,则函数x

x xf x F 1

)()(+=的零点个数是( )

A.0

B.1

C. 2

D.3

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上. 13. 在不等边ABC ?中，三个内角C B A ∠∠∠,,所对的边分别为c b a ,,，

且有a

b

B A =cos cos ，则角

C 的大小为 .

14. 某一容器的三视图如图所示，则该几何体的体积为__________.

15. 定义运算：?

??<≥=?)0( )

0( xy y xy x y x ，例如：343=?，44)2(=?-，

则函数)2()(22x x x x f -?=的最大值为____________.

16. 已知)(x f 为定义在R 上的偶函数，当0≥x 时，有)()1(x f x f -=+，且当[)1,0∈x 时，

)1(log )(2+=x x f ，给出下列命题：

①)2014()2013(-+f f 的值为0；②函数)(x f 在定义域上为周期是2的周期函数； ③直线x y =与函数)(x f 的图像有1个交点；④函数)(x f 的值域为)1,1(-. 其中正确的命题序号有 .

22

2

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置. 17. （本小题满分12分）已知函数2cos 3sin )(+-=x x x f ，记函数()f x 的最小正周期为β，

向量)cos ,2(α=a ，))2tan(,1(β+α=b （40π

<α<），且37=?b a .

(Ⅰ)求)(x f 在区间]3

4,32[

π

π上的最值； (Ⅱ)求α

-αβ+α-αsin cos )

(2sin cos 22的值.

18. （本小题满分12分）某学校的三个学生社团的人数分布如下表（每

名学生只能参加一个社团）： 学校要对这三个社团的活动效

果进

行抽样调查，按分层抽样的方法从三个社团成员中抽取18人，结果拳击社被抽出了6人. （Ⅰ）求拳击社女生有多少人；

（Ⅱ）从围棋社指定的3名男生和2名女生中随机选出2人参加围棋比赛，求这两名同学是一名男生和一名女生的概率.

19. （本小题满分12分）四棱锥ABCD S -，底面

ABCD 为平行四边形，侧面⊥SBC 底面ABCD .已知

135=∠DAB ，22=BC ，2===AB SC SB ，

F 为线段SB 的中点.

（Ⅰ）求证：//SD 平面CFA ； （Ⅱ）证明：BC SA ⊥.

20. （本小题满分12分）已知函数x x f ln )(=，b ax x g +=

2

1

)(. （Ⅰ）若)(x f 与)(x g 在1=x 处相切，试求)(x g 的表达式； （Ⅱ）若(1)

()()1

m x x f x x ?-=

-+在),1[+∞上是减函数，求实数m 的取值范围； （Ⅲ)证明不等式：

)1ln(14ln 13ln 12ln 1+++++n n

n 1312112+++++< . 围棋社 舞蹈社 拳击社 男生 5 10 28 女生

15

30

m

S

A

B

C

D

F

21. （本小题满分12分）已知两点)0,2(),0,2(B A -，直线AM 、BM 相交于点M ，且这两条直线的斜率之积为34

-

. （Ⅰ）求点M 的轨迹方程；

（Ⅱ）记点M 的轨迹为曲线C ，曲线C 上在第一象限的点P 的横坐标为1，直线PE 、PF 与圆

()

2

221x y r -+=（3

02

r <<）相切于点E 、F ，又PE 、PF 与曲线C 的另一交点分别为Q 、R .

求△OQR 的面积的最大值（其中点O 为坐标原点）.

考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时请写清题号. 22. （本小题满分10分）选修4—4：极坐标与参数方程

已知曲线1C 的极坐标方程为82cos 2=θρ，曲线2C 的极坐标方程为6

π

=

θ，曲线1C 、2C 相交于A 、B 两点,（p ∈R ）.

（Ⅰ）求A 、B 两点的极坐标；

（Ⅱ）曲线1C 与直线???

????=+=t y t x 21231（t 为参数）分别相交于N M ,两点，求线段MN 的长度.

23．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲 已知函数|32||22|)(-++=x x x f .

（Ⅰ）若R x ∈?，使得不等式m x f <)(成立，求m 的取值范围； （Ⅱ）求使得等式|14|)(-≤x x f 成立的x 的取值范围.

数学（文科）参考答案与评分参考

说明：

一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.

二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答末改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．

一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 参考答案 C

A

D

B

C

B

D

A

D

A

C

B

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 90 14.3

28π

- 15.4 16.①③④

三、解答题：本大题共70分.

17. 解：(Ⅰ) 2cos 3sin )(+-=x x x f =2)3sin(2+π

-x --------3分

∈x ]34,32[

ππ，],3

[3ππ

∈π-∴x ---------------4分 ∴)(x f 的最大值是4，最小值是2 ---------------6分

(Ⅱ) π=β2 ---------7分

∴37

sin 2)tan(cos 2=α+=π+αα+=?b a

3

1

sin =

∴α ---------------9分 α-αβ+α-α∴

sin cos )(2sin cos 22=α

-αα

-αsin cos 2sin cos 22=αcos 2=α-2sin 12=324 --------12分 (此处涉及三个三角公式，请各位阅卷老师酌情处理)

18. 解：（Ⅰ）由于按分层抽样的方法从三个社团成员中抽取18人，拳击社被抽出了6人

∴

m

m +++=

+28402018

286

∴2=m -----------6分

（Ⅱ）设=A “这两名同学是一名男生和一名女生”

5

3

106)(==

∴A P ---------------12分 19. 解：(Ⅰ) 连结BD 交AC 于点E ，连结EF

由于底面ABCD 为平行四边形 E ∴为BD 的中点. ------------------2分 在BSD ?中，F 为SB 的中点 ∴SD EF // ------------------4分 又因为?EF 面CFA ，?SD 面CFA ，

∴//SD 平面CFA . ------------------6分

（Ⅱ）取BC 中点O ，连结AO ，SO

∴BC SO ⊥ ------------------7分

45=∠ABC ，22=BC ，2=AB ∴2AC =

∴ABC ?是等腰直角三角形 ------------------9

分

又点O 是BC 的中点

BC OA ⊥∴ ------------------10分 ⊥∴BC 平面AOS ∴BC SA ⊥-------------12分

20. 解：（Ⅰ）由于)(x f 与)(x g 在1=x 处相切 且x x f 1)(=' a f 2

1

1)1(=='∴ 得：2=a ------------------2分 又

b a g +=

=2

1

0)1( ∴1-=b ∴ 1)(-=x x g ------------------3分 （Ⅱ）(1)()()1m x x f x x ?-=-+=(1)

ln 1

m x x x --+在),1[+∞上是减函数， 0)1(1

)22()(2

2≤+--+-=

?'∴x x x m x x 在),1[+∞上恒成立. ------------------5分

即01)22(2≥+--x m x 在),1[+∞上恒成立，由x

x m 1

22+≤-，),1[+∞∈x 又),2[1

+∞∈+

x

x 222≤-∴m 得2≤m ------------------7分 （Ⅲ)由（Ⅱ）可得：当2=m 时：)(x ?=x x x ln 1

)

1(2-+-在),1[+∞上是减函数 ∴当1>x 时：0)1()(=?

x x x ln 1

)

1(2-+-0<

A S

B

C

F

O

E

所以1)1(2ln +->

x x x 从而得到：11

21ln 1-+?

212ln 1?< 当3=x 时：24213ln 1?< 当4=x 时：

3

5214ln 1?< 当1+=n x 时：

n

n n 2

21)1ln(1+?

<+，2,≥∈+n N n 上述不等式相加得：

)1ln(14ln 13ln 12ln 1+++++n )2

352413(21n

n +++++< )2322212(21n n +++++=

n n 1

312112+++++= 即)1ln(14ln 13ln 12ln 1+++++n n n 1312112+++++< .（2,≥∈+n N n ） ------------------12分

21. 解答：（Ⅰ）设点),(y x M ，43

-

=BM AM K K 3224

y y x x ∴?=-+- ----------2分 整理得点M 所在的曲线C 的方程：22

143

x y +=（2x ≠±） -----------------3分

（Ⅱ）由题意可得点P （3

1,

2

） -----------------4分

因为圆()2

2

2

1x y r -+=的圆心为（1，0）， 所以直线PE 与直线PF 的斜率互为相反数

----------5分

设直线PE 的方程为3

(1)2

y k x =-+， 与椭圆方程联立消去y ，得：

()2222(43)(128)41230k x k k x k k ++-+--=， -------------6分

由于x =1是方程的一个解，

所以方程的另一解为22

4123

43

Q k k x k --=+ ------------7分 O

Q

R

x

y P E

F A

B

同理224123

43

R k k x k +-=+ ------------8分

故直线RQ 的斜率为

33

(1)(1)22R Q R Q RQ

R Q R Q k x k x y y k x x x x --+----==--=22286(2)14324243

k k k k k ---+=+

------------9分

把直线RQ 的方程1

2

y x b =

+代入椭圆方程，消去y 整理得2230x bx b ++-= 所以()222

243115

1422

b b RQ b --??=+?=

-

???

------------10分 原点O 到直线RQ 的距离为25

b d =

------------11分

()()222224211533

4432225

ORQ

b b b S b b b ?+-=?-?=-≤=. ---------------------12分

22. 解：（Ⅰ）由??

???π

=

θ=θρ68

2cos 2得：83cos 2

=πρ 162=ρ∴，即4±=ρ ------------3分 所以A 、B 两点的极坐标为：)6,4(),6,4(π-πB A 或)67,4(π

B ------------5分

（Ⅱ）由曲线1C 的极坐标方程得其普通方程为2

2

8x y -= ------------6分 将直线???

????=+=t y t x 2123

1代入228x y -=，整理得014322=-+t t ------------8分 所以1721

)

14(4)32(||2=-?-=

MN -----------10分

24. 解：（Ⅰ）由|32||22|)(-++=x x x f =|)2

3

||1(|2-

++x x 5≤ -----------3分 ∴使得不等式m x f <)(成立的m 的取值范围是 5>m -----------5分

（Ⅱ）由|32||22|)(-++=x x x f |3222|-++≥x x =|14|-x -----------7分 所以|22||23|x x ++-=|41|x -，当且仅当0)32)(22(≥-+x x 时取等--------9分

所以x 的取值范围是)23

[]1,(∞+--∞ -----------10分