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对数及对数运算

一、预习案：

()一预习目标：()1通过预习，掌握对数与指数的关系与互化()2了解常见对数及其运算

思考问题一：

假设2000年我国国民经济生产总值为a 亿元,如果平均每年增长率为8.2%,求5年后国民经济生产总值是2000年的多少倍？

思考问题二:

假设2000年我国国民经济生产总值为a 亿元,如果平均每年增长率为8.2%,问经过多少年后国民生产总值是2000年的2倍？

归纳:

1、对数的概念

（1）如果___________________,那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作_____________,其中____________叫做对数的底数，_________叫做真数。

2、对数的性质

()1 ()2 ()3

3、对数的运算法则

如果0,1a a >≠，M>0,N>0,那么

①log ()a M N ?=____________ ②log a N

=___________ ③log ________n

a M =（n R ∈） ④l o g a N

a =

⑤

预习检测:

1、指数与对数的关系:将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：

4613

(1)5625(2)2641(3)273

(4)1.082

x -===

2.求下列各式的值：

3.计算下列各式的值:

235

5log 4log 27lg10log 1125

(1)2(2)3(3)10

(4)5

4、计算下列各式的值

()221log 6log 3- ()2l g 5l g 2

()55

3log 3log 3

+ ()433log 5log 15-

、化简3log 1的结果是（）. A. 1

B. 1

C. 2

251(1).log 3

8(2).log 1253

(3).lg0.0013(4).ln10 2.303

=-==-=235(1)log 4;(2)log 27;(3)log 125;(4)lg1000;

(5)lg 0.001.

课堂案：学习目标：

（1）进一步熟练应用对数运算法则（2）把握换底公式及其简单应用（一）、对数运算法则的应用例1、计算下列各式的值：（1）lg0.001 （2）4log 8 （3

）ln .

练习、求解下列各式的值：

()2log 12

()312l o g 27 (

)38 (

)4l 0

例2:（1）2

642log ;(2)log 86(3)lg100;(4)ln 3

x x e x ===-=

练习:

3231lg91log 2

1).log 2,log 3,2).3

100

m n a a m n a ++===+=

设则计算

例3、用log ,log ,log a a a x y z 表示下列各式

（1）log a xy

z （2

）log a

练习、求值

()()75211og 42?

(2)

例4求下列各式的值 (1):

555552log 2log 311

log 10log 0.36log 8

+++

(2):2

lg5+-

练习（1）

lg 2lg5lg8lg50lg 40+-- （2

）21

lg5(lg8lg1000)(lg lg lg 0.066

++++

（二）、换底公式及其简单应用换底公式:log log log c a c b b a =

推论：()1l o g l o g 1a

b b a ?= ()2log log m n a a n

b b m

= 例5、已知23log 3,log 7a b ==，试用,a b 表示14log 56

变式强化：已知lg 2,lg3a b ==，试用,a b 表示12log 5

例6、求解下列各式的值

(1)2345log 3log 4log 5log 2??? (2)4839(log 3log 3)(log 2log 2)++

变式：求值()8271log 9log 32? ()892log 16log 27+

三、巩固案：

1．下列指数式与对数式互化不正确的一组是（）. A.

1ln10e ==与 B. 1()3

8111

log 223

-==-与 C. 1

23log 9293==与 D. 17log 7177==与

2、设

lg 525x

=，则x 的值等于（）. A. 10 B. 0.01 C. 100 D. 1000 3、设13

log 82

=，则底数x 的值等于（）. A. 2 B.

12 C. 4 D. 14

4、已知3

2()log f x x =, 则(8)f 的值等于（）.

A. 1

B. 2

C. 8

D. 12

5、化简3458log 4log 5log 8log 9??? 的结果是（）.

A .1 B. 3

2 C. 2 D.3

6、已知log 2,log 3a a m n ==，2m n a +=________________

7、若2

510a

b ==，则

a b

+= __________. 8、求下列x 的值

()271

1log 9x = ()12

2l o g 4

x =-

()3l o g

83x =-

()254log 2x =

9、求解下列各式的值

()114lg 23lg5lg 5+- ()3

2l g l g 7

0l g 3

()13

0.01

l o g 4

l o g 233

（5）lg 52

＋23

lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2

()916log 16

log 25

选作:对数综合应用

10、化简：（1）532111log 7log 7log 7++； (2)设3436x y ==，求21x y

+的值

11、（1）已知18log 9a =，185b

=，试用a 、b 表示18log 45的值；

（2）已知1414log 7,log 5a b ==，用a 、b 表示35log 28.

12、已知x ，y ，z 为正数，3x ＝4y ＝6z ，2x ＝py .(1)求p ；(2)求证1z －1x ＝1

2y .

对数运算法则公式及其练习题

b n m b a m a n log log =对数运算法则公式 1、b a b a =log 2、n m n m a a a log log )(log +=? 3、n m n m a a a log log )(log -= 4、b n b a n a log log ?= 5、b n b a a n log 1log = 6、a b b c c a log log log =(换底公式） 7、1log log =?a b b a

1、求值： 1、log 89log 2732 2、lg 243 lg9 3、44912log 3log 2log 32?- 4、9 1log 81log 251log 532?? 5、4839(log 3log 3)(log 2log 2)++ 6、2345log 3log 4log 5log 2 7、0.21log 35 - 8、log 427·log 94＋log 44 64； 9、(log 2125＋log 425＋log 85)(log 52＋log 254＋log 1258) 10、log 932·log 6427＋log 92·log 427.

1．82log 9log 3 的值是 2．34 3的值是 3．2323223log 2log 3(log 2log 3)log 3log 2 +--的值是 4．若02log 2log m n >>时，则m 与n 的关系是 A ．1m n >> B ．1n m >> C ．10m n >>> D ．10n m >>> 5．233351log 5log 15log 5log 3 ?--的值是 A ．0 B ．1 C ．5log 3 D ．3log 5 6．若3log 124 x =，则x ＝_____________． 7．有下列五个等式，其中a>0且a ≠1，x>0 , y>0 ①log ()log log a a a x y x y +=+， ②log ()log log a a a x y x y +=?， ③1log log log 2 a a a x x y y =-， ④log log log ()a a a x y x y ?=?， ⑤22log ()2(log log )a a a x y x y -=- 将其中正确等式的代号写在横线上______________． 8．化简下列各式： (1)14lg 23lg5lg 5+- (2)3lg lg 70lg 37+- (3) 2lg 2lg5lg 201+?-

对数函数运算公式

对数函数运算公式集团文件发布号：（9816-UATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-

两种方法只是性质不同,采用方法依实际情况而定又因为指数函数是单调函数，所以 log(a)(MN) = log(a)(M) + log(a)(N) 4、与（3）类似处理 MN=M÷N 由基本性质1(换掉M和N) a^[log(a)(M÷N)] = a^[log(a)(M)]÷a^[log(a)(N)] 由指数的性质 a^[log(a)(M÷N)] = a^{[log(a)(M)] - [log(a)(N)]} 又因为指数函数是单调函数，所以 log(a)(M÷N) = log(a)(M) - log(a)(N) 5、与（3）类似处理 M^n=M^n 由基本性质1(换掉M) a^[log(a)(M^n)] = {a^[log(a)(M)]}^n 由指数的性质 a^[log(a)(M^n)] = a^{[log(a)(M)]*n} 又因为指数函数是单调函数，所以 log(a)(M^n)=nlog(a)(M) 基本性质4推广 log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)] 推导如下：由换底公式（换底公式见下面）[lnx是log(e)(x)，e称作自然对数的底]

对数公式的运算

对数公式的运用 1．对数的概念如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，即a b=N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：log a N=b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．由定义知： ①负数和零没有对数； ②a>0且a≠1，N>0； ③log a1=0，log a a=1，a logaN=N(对数恒等式)，log a a b=b。特别地，以10为底的对数叫常用对数，记作log10N，简记为lgN；以无理数e(e=2．718 28…)为底的对数叫做自然对数，记作log e N，简记为lnN． 2．对数式与指数式的互化式子名称a b=N 指数式a b=N(底数)(指数)(幂值) 对数式log a N=b(底数) (真数) (对数) 3．对数的运算性质如果a>0，a≠1，M>0，N>0，那么 (1)log a(MN)=log a M+log a N． (2)log a（M/N）=log a M-log a N． (3)log a M n=nlog a M(n∈R)．问：①公式中为什么要加条件a>0，a≠1，M>0，N>0? ②log a a n=? (n∈R) ③对数式与指数式的比较．(学生填表) 式子a b=N，log a N=b名称：a—幂的底数b—N— a—对数的底数b—N— 运算性质： a m·a n=a m+n a m÷a n= a m-n (a>0且a≠1，n∈R) log a MN=log a M+log a N log a MN= log a M n= (n∈R) (a>0，a≠1，M>0，N>0) 难点疑点突破对数定义中，为什么要规定a＞0，，且a≠1? 理由如下： ①a＜0，则N的某些值不存在，例如log-28=? ②若a=0，则N≠0时b不存在；N=0时b不惟一，可以为任何正数? ③若a=1时，则N≠1时b不存在；N=1时b也不惟一，可以为任何正数? 为了避免上述各种情况，所以规定对数式的底是一个不等于1的正数?

对数函数基础运算法则及例题-答案

对数函数的定义：函数x y a log =)10(≠>a a 且叫做对数函数，定义域为),0(+∞，值域为 ),(+∞-∞．对数的四则运算法则：若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则 (1)log ()log log a a a MN M N =+; (2) log log log a a a M M N N =-; (3)log log ()n a a M n M n R =∈. (4)N n N a n a log 1 log = 对数函数的图像及性质

例1．已知x =4 9时，不等式 (x 2 – x – 2)＞ (–x 2 +2x + 3)成立，求使此不等式成立的x 的取值范围. 解：∵x =49使原不等式成立. ∴[249)49(2--]＞ )34 9 2)49(1[2+?+? 即16 13＞16 39. 而16 13＜16 39. 所以y = 为减函数，故0＜a ＜1. ∴原不等式可化为??? ????++-<-->++->--3220 320222 2 2x x x x x x x x ，解得??? ???? <<-<<->-<2513121x x x x 或. 故使不等式成立的x 的取值范围是)2 5, 2( 例2．求证：函数f (x ) =x x -1log 2 在(0, 1)上是增函数. 解：设0＜x 1＜x 2＜1，则f (x 2) – f (x 1) = 212 221log log 11x x x x ---2 1221 (1) log (1)x x x x -=-= .11log 2 1 122 x x x x --? ∵0＜x 1＜x 2＜1，∴1 2x x ＞1，2111x x --＞1. 则2 1 122 11log x x x x --? ＞0， ∴f (x 2)＞f (x 1). 故函数f (x )在(0, 1)上是增函数例3．已知f (x ) = (a – ) (a ＞1).

对数公式的推导(全)

对数函数公式的推导（全）由指数函数 (01)n a a a b >≠=且，可推知：log a n b =，从而： ()log a b a b =对数恒等式性质1、log ()log log a a a MN M N =+ <证法1> 由于m n m n a a a +?= 设 ,m n M a N a == 则： log a M m = l o g a N n = m n MN a += 于是： ()log log log a a a M N MN m n =+=+ <证法2> log log log a a a M N M N M N M N a a a =?=?对数恒等式即： log log log a a a MN M N a a +=由于指数函数是单调函数，故： log ()log log a a a MN M N =+ 性质2、log log log M a a a N M N =- <证明> log log log log log M M N a a a a N a M N a M M N N a a a -== =对数恒等式由于指数函数是单调函数，故：log log log M a a a N M N =- 性质3、log log ()(0,1)log b b a N N a b b >≠= 换底公式特例：1log log a b b a = <证明> 由对数恒等式可知：log log a b N N N a b ==，log b a a b = log log log log a b b a N a N a N b b ???→==?? log log log b b a N a N N b b ?→== 由于指数函数是单调函数，故：log log log b b a N a N =? 故：log log log b b a N N a = 性质4、log log n a a M n M = 特例：1 log log n a a n M M =

对数计算公式.

性质 ①loga(1)=0； ②loga(a)=1； ③负数与零无对数. 2对数恒等式 a^logaN=N (a>0 ，a≠1） 3运算法则 ①loga(MN)=l ogaM+l ogaN； ②loga(M/N)=l ogaM－logaN； ③对logaM中M的n次方有=nlogaM；如果a=e^m，则m为数a的自然对数，即lna=m，e=2.718281828…为自然对数的底。定义：若a^n=b(a>0且a≠1) 则n=log(a)(b)

基本性质： 1、a^(log(a)(b))=b 2、log(a)(MN)=l og(a)(M)+l og(a)(N); 3、log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N); 4、log(a)(M^n)=nl og(a)(M) 5、log(a^n)M=1/nl og(a)(M) 推导： 1、因为n=log(a)(b)，代入则a^n=b，即a^(log(a)(b))=b。 2、MN=M×N 由基本性质1(换掉M和N) a^[log(a)(MN)] = a^[log(a)(M)]×a^[log(a)(N)] 由指数的性质 a^[log(a)(MN)] = a^{[log(a)(M)] + [log(a)(N)]} 又因为指数函数是单调函数，所以 log(a)(MN) = log(a)(M) + log(a)(N) 3、与（2）类似处理 M/N=M÷N 由基本性质1(换掉M和N) a^[log(a)(M÷N)] = a^[log(a)(M)]÷a^[log(a)(N)] 由指数的性质 a^[log(a)(M÷N)] = a^{[log(a)(M)] - [log(a)(N)]} 又因为指数函数是单调函数，所以 log(a)(M÷N) = log(a)(M) - log(a)(N)

对数函数运算公式

对数函数运算公式标准化管理部编码-[99968T-6889628-J68568-1689N]

1 、b a b a =log 2、 b b a a =log 3、N a M a MN a log log log += 4、N a M a N M a log log log -= 5、M a M a n n log log = 6、M a M a n n log 1log = 1、a^(log(a)(b))=b 2、log(a)(a^b)=b 3、log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N); 4、log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N); 5、log(a)(M^n)=nlog(a)(M) 6、log(a^n)M=1/nlog(a)(M) 推导 1、因为n=log(a)(b)，代入则a^n=b ，即a^(log(a)(b))=b 。 2、因为a^b=a^b 令t=a^b 所以a^b=t ，b=log(a)(t)=log(a)(a^b) 3、MN=M×N 由基本性质1(换掉M 和N) a^[log(a)(MN)] = a^[log(a)(M)]×a^[log(a)(N)] =(M)*(N) 由指数的性质 a^[log(a)(MN)] = a^{[log(a)(M)] + [log(a)(N)]} 两种方法只是性质不同,采用方法依实际情况而定又因为指数函数是单调函数，所以 log(a)(MN) = log(a)(M) + log(a)(N) 4、与（3）类似处理 MN=M÷N 由基本性质1(换掉M 和N) a^[log(a)(M÷N)] = a^[log(a)(M)]÷a^[log(a)(N)] 由指数的性质 a^[log(a)(M÷N)] = a^{[log(a)(M)] - [log(a)(N)]} 又因为指数函数是单调函数，所以 log(a)(M÷N) = log(a)(M) - log(a)(N) 5、与（3）类似处理 M^n=M^n 由基本性质1(换掉M)

对数函数和运算

2.2对数函数 2.2.1对数与对数运算（1）对数的定义 ①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数． ②负数和零没有对数． ③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =?=>≠>．（2）几个重要的对数恒等式 log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）．（4）对数的运算性质如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么 ①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a M M N N -= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a N a N = ⑤log log (0,)b n a a n M M b n R b = ≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a = >≠且

2.2.2对数函数及其性质（5）对数函数 (6)反函数的概念设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ?=．如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ?=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ?=表示x 是y 的函数，函数()x y ?=叫做函数()y f x =的反函数，记作 1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=．（7）反函数的求法