2017-2018版高中数学第一章立体几何初步5.2平行关系的性质学案北师大版必修2

5．2 平行关系的性质

学习目标 1.能应用文字语言、符号语言、图形语言准确描述直线与平面平行，两平面平行的性质定理.2.能用两个性质定理，证明一些空间线面平行关系的简单问题．

知识点一直线与平面平行的性质

思考1 如图，直线l∥平面α，直线a平面α，直线l与直线a一定平行吗？为什么？

思考2 如图，直线a∥平面α，直线a平面β，平面α∩平面β＝直线b，满足以上条件的平面β有多少个？直线a，b有什么位置关系？

梳理性质定理

文字语言如果一条直线与一个平面______，那么过该直线的任意一个平面与已知平面的______与该直线________

符号语言a∥α，________________?a∥b

图形语言

知识点二平面与平面平行的性质

观察长方体ABCD－A1B1C1D1的两个面：平面ABCD及平面A1B1C1D1.

思考1 平面A1B1C1D1中的所有直线都平行于平面ABCD吗？

思考2 若m平面ABCD，n平面A1B1C1D1，则m∥n吗？

思考3 过BC的平面交平面A1B1C1D1于B1C1，B1C1与BC是什么关系？

梳理性质定理

文字语言如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线________

符号语言α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?________

图形语言

类型一线面平行的性质定理的应用

例1 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，

求证：AP∥GH.

引申探究

如图，在三棱锥P－ABQ中，E，F，C，D分别是PA，PB，QB，QA的中点，平面PCD∩平面QEF＝GH.求证：AB∥GH.

反思与感悟 线∥面线面平行的性质

线面平行的判定线∥线．在空间平行关系中，交替使用线线平行、线面平行的判定定理与性质定理是解决此类问题的关键．

跟踪训练1 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上，若EF ∥平面AB 1C ，则线段FE 的长度等于________．

类型二 面面平行的性质定理的应用

例2 如图，平面α∥β，A 、C ∈α，B 、D ∈β，直线AB 与CD 交于点S ，且AS ＝8，BS ＝9，

CD ＝34，求CS 的长．

引申探究

若将本例改为：点S 在平面α，β之间(如图)，其他条件不变，求CS 的长．

反思与感悟 应用平面与平面平行性质定理的基本步骤

跟踪训练2 已知：平面α∥平面β∥平面γ，两条直线l ，m 分别与平面α，β，γ相交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F ，如右图所示，求证：AB BC ＝

DE

EF

.

类型三平行关系的综合应用

命题角度1 由面面平行证明线面平行

例3 设AB，CD为夹在两个平行平面α，β之间的线段，且直线AB，CD为异面直线，M，P分别为AB，CD的中点．求证：MP∥平面β.

反思与感悟线线平行、线面平行、面面平行是一个有机的整体，平行关系的判定定理、性质定理是转化平行关系的关键，其内在联系如图所示：

跟踪训练3 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM＝DN.求证MN∥平面AA1B1B.

命题角度2 探索性问题

例4 在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过点A1作与截面PBC1平行的截面，能否确定截面的形状？如果能，求出截面的面积．

反思与感悟在将线面平行转化为线线平行时，注意观察图形中是不是性质定理中符合条件的平面．

跟踪训练4 如图所示，已知P是?ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，平面PBC∩平面PAD＝l.

(1)求证：l∥BC；

(2)MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论．

1．如图所示，在三棱锥S－ABC中，E，F分别是SB，SC上的点，且EF∥平面ABC，则( )

A．EF与BC相交

B．EF∥BC

C．EF与BC异面

D．以上均有可能

2．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线有( ) A．0条B．1条

C．0条或1条D．无数条

3．平面α∥平面β，平面γ∥平面δ，且α∩γ＝a，α∩δ＝b，β∩γ＝c，β∩δ＝d，则交线a，b，c，d的位置关系是( )

A．互相平行B．交于一点

C．相互异面D．不能确定

4．如图所示，直线a∥平面α，A?α，并且a和A位于平面α两侧，点B，C∈a，AB，AC 分别交平面α于点E，F，若BC＝4，CF＝5，AF＝3，则EF＝______.

5. 如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，P为平面ABC外一点，E，F分别是PA，PC的中点．记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明．

1．空间中各种平行关系相互转化关系的示意图

2．证明线与线、线与面的平行关系的一般规律是：“由已知想性质，由求证想判定”，是分析和解决问题的一般思维方法，而作辅助线和辅助面往往是沟通已知和未知的有效手段．

答案精析

问题导学

知识点一

思考1 不一定，因为还可能是异面直线．

思考2 无数个，a∥b.

梳理平行交线平行aβ，α∩β＝b

知识点二

思考1 是的．

思考2 不一定，也可能异面．

思考3 平行．

梳理平行a∥b

题型探究

例1 证明连接MO.

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴O 是AC 的中点．

又∵M 是PC 的中点，∴AP ∥OM . 又∵AP

平面BDM ，OM 平面BDM ，

∴AP ∥平面BDM .

又∵AP 平面APGH ，平面APGH ∩平面BDM ＝GH ，∴AP ∥GH . 引申探究

证明 因为D ，C ，E ，F 分别是AQ ，BQ ，AP ，BP 的中点， 所以EF ∥AB ，DC ∥AB . 所以EF ∥DC . 又EF

平面PCD ，DC 平面PCD ，

所以EF ∥平面PCD . 又EF 平面EFQ ， 平面EFQ ∩平面PCD ＝GH ， 所以EF ∥GH .

又EF ∥AB ，所以AB ∥GH . 跟踪训练1

2

例2 解 设AB ，CD 共面γ，因为γ∩α＝AC ，γ∩β＝BD ，且α∥β， 所以AC ∥BD ， 所以△SAC ∽△SBD ， 所以SC

SC ＋CD ＝SA

SB

，

即

SC SC ＋34＝8

9

，所以SC ＝272. 引申探究

解 设AB ，CD 共面γ，γ∩α＝AC ，γ∩β＝BD . 因为α∥β，所以AC 与BD 无公共点， 所以AC ∥BD ，

所以△ACS ∽△BDS ，所以AS BS ＝

CS

DS

.

设CS ＝x ，则x 34－x ＝8

9

，所以x ＝16，

即CS ＝16.

跟踪训练2 证明 如图，连接DC ，设DC 与平面β相交于点G ，则平面ACD 与平面α，β分别相交于直线AD ，BG ，平面DCF 与平面β，γ分别相交于直线GE ，CF .

因为α∥β，β∥γ，所以BG ∥AD ，GE ∥CF . 于是，得AB BC ＝DG GC ，DG GC ＝

DE EF ，所以AB BC ＝DE

EF

.

例3 证明 如图，过点A 作AE ∥CD 交平面β于点E ， 连接DE ，BE .

∵AE ∥CD ，∴AE ，CD 确定一个平面，设为γ， 则α∩γ＝AC ，β∩γ＝DE .

又α∥β，∴AC ∥DE (面面平行的性质定理)， 取AE 的中点N ，连接NP ，MN ， ∴M ，P 分别为AB ，CD 的中点， ∴NP ∥DE ，MN ∥BE . 又NP

β，DE β，MN β，BE β，

∴NP ∥β，MN ∥β，

∵NP ∩MN ＝N ，∴平面MNP ∥β. ∵MP 平面MNP ，MP

β，∴MP ∥β.

跟踪训练3 证明 如图，作MP ∥BB 1交BC 于点P ，连接NP ，

∵MP ∥BB 1， ∴

CM MB 1＝CP PB

. ∵BD ＝B 1C ，

DN ＝CM ，

∴B 1M ＝BN . ∴CP PB ＝DN NB

， ∴NP ∥CD ∥AB . ∵NP

平面AA 1B 1B ，AB 平面AA 1B 1B ，

∴NP ∥平面AA 1B 1B . ∵MP ∥BB 1，MP

平面AA 1B 1B ，

BB 1平面AA 1B 1B ，

∴MP ∥平面AA 1B 1B ，

又∵MP 平面MNP ，NP 平面MNP ，MP ∩NP ＝P ， ∴平面MNP ∥平面AA 1B 1B . ∵MN 平面MNP ， ∴MN ∥平面AA 1B 1B .

例4 解 能，如图，取AB ，C 1D 1的中点M ，N ，连接A 1M ，MC ，CN ，NA 1.

∵平面A 1C 1∥平面AC ，平面A 1C ∩平面A 1C 1＝A 1N ，平面AC ∩平面A 1C ＝MC ， ∴A 1N ∥MC . 同理，A 1M ∥NC .

∴四边形A 1MCN 是平行四边形． ∵C 1N ＝12C 1D 1＝1

2

A 1

B 1＝A 1P ，

C 1N ∥A 1P ，

∴四边形A 1PC 1N 是平行四边形， ∴A 1N ∥PC 1且A 1N ＝PC 1. 同理，A 1M ∥BP 且A 1M ＝BP . 又∵A 1N ∩A 1M ＝A 1，C 1P ∩PB ＝P ， ∴平面A 1MCN ∥平面PBC 1.

故过点A 1与截面PBC 1平行的截面是?A 1MCN . 连接MN ，作A 1H ⊥MN 于点H .

由题意，易得A 1M ＝A 1N ＝5，MN ＝2 2. ∴MH ＝NH ＝2，∴A 1H ＝ 3.

故1A MCN S Y ＝21A MN S ＝2×1

2×22×3＝2 6.

跟踪训练4 (1)证明 因为BC ∥AD ，

BC 平面PAD ，AD 平面PAD ，

所以BC ∥平面PAD .

又因为平面PBC ∩平面PAD ＝l ，所以BC ∥l . (2)解 平行．证明如下：

如图，取PD 的中点E ，连接AE ，NE ，

可以证得NE ∥AM 且NE ＝AM ，

所以四边形MNEA 是平行四边形，所以MN ∥AE . 又AE 平面PAD ，MN 平面PAD ，

所以MN ∥平面PAD . 当堂训练

1．B 2.C 3.A 4.3

2

5．解 直线l ∥平面PAC . 证明如下：

因为E ，F 分别是PA ，PC 的中点， 所以EF ∥AC . 又EF

平面ABC ，且AC 平面ABC ，

所以EF∥平面ABC.

而EF平面BEF，且平面BEF∩平面ABC＝l，所以EF∥l.

因为l平面PAC，EF平面PAC，

所以l∥平面PAC.

高中数学立体几何证明定理及性质总结

一．直线和平面的三种位置关系： 1. 线面平行 2. 线面相交 l 符号表示： 符号表示： 3. 线在面内 符号表示： 二．平行关系： 1.线线平行： 方法一：用线面平行实现。方法二：用面面平行实现。 m l m l l // // ? ? ? ? ? ? = ? ? β α β α m l m l// // ? ? ? ? ? ? = ? = ? β γ α γ β α 方法三：用线面垂直实现。若α α⊥ ⊥m l,，则m l//。 2.线面平行： 方法一：用线线平行实现。 α α α// // l l m m l ? ? ? ? ? ? ? ? 方法二：用面面平行实现。 α β β α // // l l ? ? ? ? ? 3.面面平行： 方法一：用线线平行实现。方法二：用线面平行实现 β α α β // ' ,' , ' // ' // ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 且相交 且相交 m l m l m m l l 。β α β α α // , // // ? ? ? ? ? ? ?且相交 m l m l 三．垂直关系： l

1. 线面垂直： 方法一：用线线垂直实现。 方法二：用面面垂直实现。 α α⊥??? ????? ?=?⊥⊥l AB AC A AB AC AB l AC l , αββαβα⊥???? ???⊥=?⊥l l m l m , 2. 面面垂直： 方法一：用线面垂直实现。 方法二：计算所成二面角为直角。 βαβα⊥?? ?? ?⊥l l 3. 线线垂直： 方法一：用线面垂直实现。 m l m l ⊥?? ?? ?⊥αα 方法二：三垂线定理及其逆定理。 PO l OA l PA l αα⊥? ? ⊥?⊥????

人教版高中数学教案立体几何04

课题：9. 2空间的平行直线与异面直线（一） 教学目的： 1. 会判断两条直线的位置关系. 2. 理解公理四，并能运用公理四证明线线平行? 3. 掌握等角定理，并能运用它解决有关问题? 4. 了解平移的概念，初步了解平几中成立的结论哪些在立几中成立+ 5. 掌握空间两直线的位置关系，掌握异面直线的概念，会用反证法和异面直线的判定定理证明两直线异面； 6. 掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念，能求出一些较特殊的 异面直线所成的角. 教学重点：公理4及等角定理的运用.异面直线所成的角. 教学难点：公理4及等角定理的运用.异面直线所成的角. 授课类型：新授课. 课时安排：1课时■ 教具：多媒体、实物投影仪 . 内容分析： 本节共有两个知识点，平行直线、异面直线■以平行公理和平面基本性质为 基础进一步学习平行直线的性质，把平行公理和平行线的传递性推广到空间并引出平移概念，了解了平移的初步性质.在这一节还由直线平行的性质学习异面 直线及其夹角的概念? 要求学生正确掌握空间平行直线性质和异面直线及其夹角的概念，这样就为学生学习向量和空间图形的性质打下了基础+ 教学过程： 一、复习引入： 把一张纸对折几次，为什么它们的折痕平行？ （答：把一张长方形的纸对折两次，打开后得4个全等 的矩形，每个矩形的竖边是互相平行的，再应用平行公理，可得知它 们的折痕是互相平行的J 你还能举出生活中的相关应用的例子吗？ 二、讲解新课： 1 +空间两直线的位置关系 （1）相交一一有且只有一个公共点； （2）平行——在同一平面内，没有公共点； （3）异面——不在任何一个平面内，没有公共点； 2 -平行直线 （1）公理4 :平行于同一条直线的两条直线互相平行 + 推理模式：a//b,b//c= a//c .

高中数学立体几何知识点归纳总结

高中数学立体几何知识点归纳总结 一、立体几何知识点归纳 第一章空间几何体 （一）空间几何体的结构特征 （1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体. 围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱 与棱的公共点叫做顶点。 旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其 中，这条定直线称为旋转体的轴。 （2）柱，锥，台，球的结构特征 1.棱柱 1.1棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都 互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 E'D' F' C'侧面 A'B' l 1.2相关棱柱几何体系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的 底面侧棱 关系： 斜棱柱 ED FC ① 底面是正多形 棱柱正棱柱 棱垂直于底面 直棱柱 其他棱柱 AB ②四棱柱底面为平行四边形平行六面体侧棱垂直于底面直平行六面体底面为矩形 长方体底面为正方形正四棱柱侧棱与底面边长相等正方体 1.3棱柱的性质： ①侧棱都相等，侧面是平行四边形； ②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； ③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形； ④直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。 1.4长方体的性质： ①长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的 D1 C1 平方和；【如图】 2222 ACABADAA 11 A1 D B1 ②（了解）长方体的一条对角线 AC 与过顶点A 的三条 1 C AB 棱所成的角分别是，，，那么

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222 coscoscos1， 222 sinsinsin2； ③（了解）长方体的一条对角线A C与过顶点A的相邻三个面所成的角分别是，，， 1 则 222 coscoscos2， 222 sinsinsin1. 2.侧面展开图：正n棱柱的侧面展开图是由n个全等矩形组成的以底面周长和侧棱长为邻 边的矩形. 3.面积、体积公式：S ch 直棱柱侧 直棱柱全底，V棱柱底 Sch2SSh （其中c为底面周长，h 为棱柱的高）1.5圆柱 2.1圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其 余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱. 母线A' B' O' C' 轴 轴截面 2.2圆柱的性质：上、下底及平行于底面的截面都是等圆；过轴的截面（轴截面）是全等的矩形. 2.3侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和AOC 侧面B 母线长为邻边的矩形. 底面2.4面积、体积公式： S圆柱侧=2rh；S 圆柱全= 2 2rh2r，V 圆柱=S底h= 2 rh（其中r为底面半径，h为圆柱高） 1.6棱锥 3.1棱锥——有一个面是多边形，其余各 S 顶点侧面面是有一个公共顶点的三角形，由这些高 面所围成的几何体叫做棱锥。 侧棱正棱锥——如果有一个棱锥的底面 是正多边形，并且顶点在底面的射影是 底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。 3.2棱锥的性质：底面 斜高DC ①平行于底面的截面是与底面相似的正 O AB H 多边形，相似比等于顶点到截面的距 离与顶点到底面的距离之比； ②正棱锥各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形； ③正棱锥中六个元素，即侧棱、高、斜高、侧棱在底面内的射影、斜高在底面的射影、底面边长一半，构成四个直角三角形。）（如上图：SOB,SOH,SBH,OBH为直角三角形） 3.3侧面展开图：正n棱锥的侧面展开图是有n个全等的等腰三角形组成的。

空间向量与立体几何(整章教案)

空间向量与立体几何 一、知识网络： 二．考纲要求： （1）空间向量及其运算 ① 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程； ② 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示； ③ 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示； ④ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 （2）空间向量的应用 ① 理解直线的方向向量与平面的法向量； ② 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系； ③ 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）； ④ 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。 三、命题走向 本章内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本章是立体几何的核心内容，高考对本章的考查形式为：以客观题形式考查空间向量的概念和运算，结合主观题借助空间向量求夹角和距离。 预测10年高考对本章内容的考查将侧重于向量的应用，尤其是求夹角、求距离，教

材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解，加大了向量的应用，因此作为立体几何解答题，用向量法处理角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度。 第一课时 空间向量及其运算 一、复习目标：1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘； 2．了解空间向量的基本定理； 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 二、重难点：理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法 三、教学方法：探析类比归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、谈最新考纲要求及新课标高考命题考查情况，促使积极参与。 学生阅读复资P128页，教师点评，增强目标和参与意识。 （二）、知识梳理，方法定位。（学生完成复资P128页填空题，教师准对问题讲评）。 1．空间向量的概念 向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。 说明：①由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示；②平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移。 ②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。 3．平行向量(共线向量)：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合， 则这些向量叫做共线向量或平行向量。a 平行于b 记作a ∥b 。 注意：当我们说a 、b 共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平 行直线；当我们说a 、b 平行时，也具有同样的意义。 共线向量定理：对空间任意两个向量a （a ≠）、b ，a ∥b 的充要条件是存在实数λ使b ＝λa （1）对于确定的λ和a ，b ＝λa 表示空间与a 平行或共线，长度为 |λa |，当λ>0时与

高一数学立体几何练习题及部分答案大全

立 体几何试题 一．选择题（每题4分，共40分） 1.已知AB 0300300150空间，下列命题正确的个数为（ ） （1）有两组对边相等的四边形是平行四边形,（2）四边相等的四边形是菱形 （3）平行于同一条直线的两条直线平行 ;（4）有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 A 1 B 2 C 3 D 4 3.如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系是（ ） A 平行 B 相交 C 在平面内 D 平行或在平面内 4.已知直线m αα过平面α外一点，作与α平行的平面，则这样的平面可作（ ） A 1个 或2个 B 0个或1个 C 1个 D 0个 6.如图,如果MC ⊥菱形ABCD 所在平面,那么MA 与BD 的位置关系是( ) A 平行 B 垂直相交 C 异面 D 相交但不垂直 7.经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有（ ） A 0个 B 1个 C 无数个 D 1个或无数个 8.下列条件中,能判断两个平面平行的是( ) A 一个平面内的一条直线平行于另一个平面; B 一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C 一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D 一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 9.对于直线m ,n 和平面,αβ,使αβ⊥成立的一个条件是( ) A //,,m n n m βα⊥? B //,,m n n m βα⊥⊥ C ,,m n m n αβα⊥=?I D ,//,//m n m n αβ⊥ 10 .已知四棱锥,则中,直角三角形最多可以有( ) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 二．填空题（每题4分，共16分） 11.已知?ABC 的两边AC,BC 分别交平面α于点M,N ，设直线AB 与平面α交于点O ，则点O 与直线MN 的位置关系为_________ 12.过直线外一点与该直线平行的平面有___________个，过平面外一点与该平面平行的直线有 _____________条 13.一块西瓜切3刀最多能切_________块

高中数学立体几何专项练习

立体几何简答题练习 1、正方形ABCD 与正方形ABEF 所在平面相交于AB,在AE 、BD 上各有一点P 、Q,且AP=DQ 。求证:PQ ∥平面BCE.（用两种方法证明） 2、如图所示,P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点,E 、F 分别在PA 、BD 上,且PE:EA=BF:FD,求证:EF ∥平面PBC. 3、如图，E ，F ，G ，H 分别是正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱BC ，CC 1，C 1D 1，AA 1的中点。 求证：（1）EG ∥平面BB 1D 1D ； （2）平面BDF ∥平面B 1D 1H ．

4、如图所示，已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别为AB 、PC 的中点，平面PAD ∩平面PBC ＝l. (1)求证：l ∥BC ； (2)MN 与平面PAD 是否平行？试证明你的结论。 5、如图，在四棱锥S-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，SA ⊥底面ABCD ，SA=SB ，点M 是SD 的中点，AN ⊥SC ，且交SC 于点N 。 （1）求证：SB ∥平面ACM ； （2）求证：平面SAC ⊥平面AMN ； （3）求二面角D-AC-M 的余弦值。 6、如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是边长为2的正方形,侧面PAD ⊥底面ABCD,且PA=PD= 2 2 AD,E 、F 分别为PC 、BD 的中点. 求证:(1) 求证:EF ∥平面PAD; (2) 求证:平面PAB ⊥平面PDC; (3) 在线段AB 上是否存在点G,使得二面角C-PD-G 的余弦值为3 1 ?说明理由.

高中数学立体几何教学研究

高中数学“立体几何”教学研究 一 . “立体几何”的知识能力结构 高中的立体几何是按照从局部到整体的方式呈现的，在必修2中，先从对空间几何体的整体认识入手，主通过直观感知、操作确认，获得空间几何体的性质，此后，在空间几何体的点、直线和平面的学习中，充分利用对模型的观察，发现几何体的几何性质并通过简单的“推理”得到一些直线和平面平行、垂直的几何性质，从微观上为进一步深入研究空间几何体做了必要的准备.在选修2-1中，首先引入空间向量，在必修2的基础上完善了几何论证的理论基础，在此基础上对空间几何体进行了深入的研究. 首先安排的是对空间几何体的整体认识，要求发展学生的空间想像能力，几何直观能力，而没有对演绎推理做出要求. 在“空间点、直线、平面之间的位置关系”的研究中，以长方体为模型，通过说理（归纳出判定定理，不证明）或简单推理进行论证（归纳并论证明性质定理）， 在“空间向量与立体几何”的学习中，又以几何直观、逻辑推理与向量运算相结合，完善了空间几何推理论证的理论基础，并对空间几何中较难的问题进行证明. 可见在立体几何这三部分中，把空间想像能力，逻辑推理能力，适当分开，有所侧重地、分阶段地进行培养，这一编排有助于发展学生的空间观念、培养学生的空间想象能力、几何直观能力，同时降低学习立体几何的门槛，同时体现了让不同的学生在数学上得到不同的发展的课标理念. 二. “立体几何”教学内容的重点、难点 1.重点： 空间几何体的结构特征：柱、锥、台、球的结构特征的概括； 空间几何体的三视图与直观图：几何体的三视图和直观图的画法； 空间几何体的表面积与体积：了解柱、锥、台、球的表面积与体积的计算公式； 空间点、直线、平面的位置关系：空间直线、平面的位置关系； 直线、平面平行的判定及其性质：判定定理和性质定理的归纳； 直线、平面垂直的判定及其性质：判定定理和性质定理的归纳. 2.难点： 空间几何体结构特征的概括：柱、锥、台球的结构特征的概括； 空间几何体的三视图与直观图：识别三视图所表示的几何体； 空间点、直线、平面的位置关系：三种语言的转化； 直线、平面平行的判定及其性质：性质定理的证明； 直线、平面垂直的判定及其性质：性质定理的证明.

高中数学立体几何知识点总结(详细)

高中数学立体几何知识点总结 一 、空间几何体 （一） 空间几何体的类型 1 多面体：由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各 个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 2 旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。其中，这条直线称为旋转体的轴。 （二） 几种空间几何体的结构特征 1 、棱柱的结构特征 1.1 棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 棱柱的分类 棱柱 四棱柱 平行六面体直平行六面体 长方体正四棱柱 正方体 性质： Ⅰ、侧面都是平行四边形，且各侧棱互相平行且相等； Ⅱ、两底面是全等多边形且互相平行； Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等； 棱长都相等 底面是正方形 底面是矩形 侧棱垂直于底面 底面是平行四边形 底面是四边形

1.3 棱柱的面积和体积公式 ch S =直棱柱侧（c 是底周长，h 是高） S 直棱柱表面 = c ·h+ 2S 底 V 棱柱 = S 底 ·h 2 、棱锥的结构特征 2.1 棱锥的定义 （1） 棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 （2）正棱锥：如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的投影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。 2.2 正棱锥的结构特征 Ⅰ、 平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比；截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的立方比； Ⅱ、 正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形； 正棱锥侧面积： 1 '2 S ch = 正棱椎（c 为底周长，'h 为斜高） 体积：1 3 V Sh = 棱椎（S 为底面积，h 为高） 正四面体： 对于棱长为a 正四面体的问题可将它补成一个边长为 a 2 2 的正方体问题。 A B C D P O H

高中数学立体几何全部教案

第一章：空间几何体 1.1.1柱、锥、台、球的结构特征 一、教学目标 1．知识与技能 （1）通过实物操作，增强学生的直观感知。 （2）能根据几何结构特征对空间物体进行分类。 （3）会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征。 （4）会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。 2．过程与方法 （1）让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出柱、锥、台、球的几何结构特征。（2）让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。 3．情感态度与价值观 （1）使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力。 （2）培养学生的空间想象能力和抽象括能力。 二、教学重点、难点 重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。 难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。 三、教学用具 （1）学法：观察、思考、交流、讨论、概括。 （2）实物模型、投影仪 四、教学思路 （一）创设情景，揭示课题 1．教师提出问题：在我们生活周围中有不少有特色的建筑物，你能举出一些例子吗？这些建筑的几何结构特征如何？引导学生回忆，举例和相互交流。教师对学生的活动及时给予评价。 2．所举的建筑物基本上都是由这些几何体组合而成的，（展示具有柱、锥、台、球结构特征的空间物体），你能通过观察。根据某种标准对这些空间物体进行分类吗？这是我们所要学习的内容。 （二）、研探新知 1．引导学生观察物体、思考、交流、讨论，对物体进行分类，分辩棱柱、圆柱、棱锥。 2．观察棱柱的几何物件以及投影出棱柱的图片，它们各自的特点是什么？它们的共同特点是什么？

3．组织学生分组讨论，每小组选出一名同学发表本组讨论结果。在此基础上得出棱柱的主要结构特征。（1）有两个面互相平行；（2）其余各面都是平行四边形；（3）每相邻两上四边形的公共边互相平行。概括出棱柱的概念。 4．教师与学生结合图形共同得出棱柱相关概念以及棱柱的表示。 5．提出问题：各种这样的棱柱，主要有什么不同？可不可以根据不同对棱柱分类？ 请列举身边具有已学过的几何结构特征的物体，并说出组成这些物体的几何结构特征？它们由哪些基本几何体组成的？ 6．以类似的方法，让学生思考、讨论、概括出棱锥、棱台的结构特征，并得出相关的概念，分类以及表示。 7．让学生观察圆柱，并实物模型演示，如何得到圆柱，从而概括出圆标的概念以及相关的概念及圆柱的表示。 8．引导学生以类似的方法思考圆锥、圆台、球的结构特征，以及相关概念和表示，借助实物模型演示引导学生思考、讨论、概括。 9．教师指出圆柱和棱柱统称为柱体，棱台与圆台统称为台体，圆锥与棱锥统称为锥体。 10．现实世界中，我们看到的物体大多由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组合而成。请列举身边具有已学过的几何结构特征的物体，并说出组成这些物体的几何结构特征？它们由哪些基本几何体组成的？ （三）质疑答辩，排难解惑，发展思维，教师提出问题，让学生思考。 1．有两个面互相平行，其余后面都是平行四边形的几何体是不是棱柱（举反例说明，如图） 2．棱柱的何两个平面都可以作为棱柱的底面吗？ 3．课本P8，习题1.1 A组第1题。 4．圆柱可以由矩形旋转得到，圆锥可以由直角三角形旋转得到，圆台可以由什么图形旋转得到？如何旋转？ 5．棱台与棱柱、棱锥有什么关系？圆台与圆柱、圆锥呢？ 四、巩固深化 练习：课本P7 练习1、2（1）（2） 课本P8 习题1.1 第2、3、4题 五、归纳整理 由学生整理学习了哪些内容 六、布置作业 课本P8 练习题1.1 B组第1题 课外练习课本P8 习题1.1 B组第2题

高中数学立体几何专题证明题训练

A P B C F E D 立体几何专题训练 1．在四棱锥P －ABCD 中，PA ＝PB ．底面ABCD 是菱形， 且∠ ABC ＝60°．E 在棱PD 上，满足DE ＝2PE ，M 是AB 的中点． （1）求证：平面PAB ⊥平面PMC ； （2）求证：直线PB ∥平面EMC ． 2．如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的各棱长都相 等， D 、 E 分别是CC 1和AB 1的中点，点 F 在BC 上且满 足BF ∶FC =1∶3. (1)若M 为AB 中点，求证：BB 1∥平面EFM ； (2)求证：EF ⊥BC 。 3.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，,E P 分别是 11,BC A D 的中点，M 、N 分别是1,AE CD 的中点，1,2AD AA a AB a === （1）求证：//MN 面11ADD A （2）求三棱锥P DEN -的体积 4如图1，等腰梯形ABCD 中，AD ∠ο 60⊥⊥⊥ 4a 2a （1）求证：平面PCF ⊥平面PDE ； （2）求四面体PCEF 的体积. 6如图，等腰梯形ABEF 中，//AB EF ，AB =2， 1AD AF ==，AF BF ⊥，O 为AB 的中点，矩形ABCD 所在的平面和平面ABEF 互相垂直. （Ⅰ）求证：AF ⊥平面CBF ； （Ⅱ）设FC 的中点为M ，求证：//OM 平面DAF ； （Ⅲ）求三棱锥C BEF -的体积. 7在直三棱柱111C B A ABC -中，,900=∠ABC E 、F 分别为 11A C 、11B C 的中点,D 为棱1CC 上任一点. （Ⅰ）求证：直线EF ∥平面ABD ；（Ⅱ）求证：平面ABD ⊥平面11BCC B 8已知正六棱柱111111ABCDEF A B C D E F -的所有棱长均为2，G 为 AF 的中点。 （1）求证：1F G ∥平面11BB E E ； （2）求证：平面1F AE ⊥平面11DEE D ； D A B C P E M A B D C E A B C D E P F A B C D E F M O C 1 A B C D E F A 1 B 1

高中数学“立体几何初步”教学研究

专题讲座 高中数学“立体几何初步”教学研究 袁京生北京市朝阳区教育研究中心 一、“立体几何初步”教学内容的整体把握 （一）“立体几何初步”内容的背景分析 1.从立体几何发展的历程看立体几何课程 （1）不同学段几何学习的特点 一个学生从小学的数学课中就接触到了空间图形，由于知识和年龄的限制，他们对空间图形的认识方法主要是大量的观察、操作，对空间图形形成一定的感性认识. 在初中，课程安排了简单几何体的概念及体积公式，三视图的基本知识，正方体的截面、展开问题，建立了长方体模型概念，已初步具有平面几何基础知识及推理论证能力， 总体上看，初中学生对空间图形的认识主要是直观感知，操作确认，但平面几何的学习又呈现出思辨论证等理性的特征. 总之，高中以前的学生对空间图形的认识主要是对图形的整体形象的直观感知，操作确认，这种基于直观和操作的认知的优点是简便、直观，不需要更多的知识作基础，但不足也是很明显的，即不能对空间图形及其内部的元素关系进行深入的分析，不能产生对空间图形本质的认识. 当学生进入高中以后，教材对空间图形的有了专门的介绍：立体几何.从历次的立体几何教材看，无论教材怎样变化，高中立体几何的最终目标都是要从学生可接受的理论高度来认识空间图形.除了传统的综合几何外，近几年的高中《大纲》或《课程标准》还引入了空间向量，空间向量进入几何，使几何有了更多代数的味道，因此现行的高中几何不完全是欧式几何. 当我们回顾大学的几何学习时，容易发现，大学的几何学习正是沿着几何代数化的方向展开，无论《空间解析几何》、《高等几何》、《微分几何》等无不是通过代数的手段对几何进行研究，通过代数的形式呈现几何结论. （2）几何研究方法的发展

高中数学立体几何知识点总结

高中数学之立体几何 平面的基本性质 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线. 公理3 经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面. 根据上面的公理，可得以下推论. 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面. 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. 空间线面的位置关系 共面平行—没有公共点 (1)直线与直线相交—有且只有一个公共点 异面(既不平行，又不相交) 直线在平面内—有无数个公共点 (2)直线和平面直线不在平面内平行—没有公共点 (直线在平面外) 相交—有且只有一公共点 (3)平面与平面相交—有一条公共直线(无数个公共点) 平行—没有公共点 异面直线的判定 证明两条直线是异面直线通常采用反证法. 有时也可用定理“平面内一点与平面外一点的连线，与平面内不经过该点的直线是异面直线”. 线面平行与垂直的判定 (1)两直线平行的判定 ①定义：在同一个平面内，且没有公共点的两条直线平行. ②如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，即若a∥α,aβ，α∩β=b,则a∥b. ③平行于同一直线的两直线平行，即若a∥b,b∥c,则a∥c. ④垂直于同一平面的两直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b ⑤两平行平面与同一个平面相交，那么两条交线平行，即若α∥β,α∩γ,β∩γ=b,则a∥b ⑥如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线与这两个平面的交线平行，即若α∩β=b,a∥α,a∥β，则a∥b. (2)两直线垂直的判定

高中数学-立体几何位置关系-平行与垂直证明方法汇总

高中数学-立体几何位置关系-平行与垂直证明方法汇总 （一）立体几何中平行问题 证明直线和平面平行的方法有： ①利用定义采用反证法； ②平行判定定理； ③利用面面平行，证线面平行。 主要方法是②、③两法 在使用判定定理时关键是确定出面内的 与面外直线平行的直线. 常用具体方法：中位线和相似 例1、P是平行四边形ABCD所在平面外一点,Q是PA的中点. 求证：PC∥面BDQ. 证明：如图，连结AC交BD于点O. ∵ABCD是平行四边形， ∴A O=O C.连结O Q，则O Q在平面BDQ内， 且O Q是△APC的中位线， ∴PC∥O Q. ∵PC在平面BDQ外， ∴PC∥平面BDQ. 例2、在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，设M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、C1D1、B1C1的中点.求证： (1)E、F、B、D四点共面； （2）面AMN∥面EFBD.

证明:(1)分别连结B 1D 1、ED 、FB ，如图， 则由正方体性质得 B 1D 1∥BD. ∵E 、F 分别是D 1C 1和B 1C 1的中点， ∴EF ∥ 21B 1D 1.∴EF ∥2 1 BD. ∴E 、F 、B 、D 对共面. （2）连结A 1C 1交MN 于P 点，交EF 于点Q ，连结AC 交BD 于点O ，分别连结PA 、Q O . ∵M 、N 为A 1B 1、A 1D 1的中点， ∴MN ∥EF ，EF ?面EFBD. ∴MN ∥面EFBD. ∵PQ ∥A O , ∴四边形PA O Q 为平行四边形. ∴PA ∥O Q. 而O Q ?平面EFBD ， ∴PA ∥面EFBD.且PA ∩MN=P ，PA 、MN ?面AMN ， ∴平面AMN ∥平面EFBD. 例3如图（1），在直角梯形P 1DCB 中，P 1D//BC ，CD ⊥P 1D ，且P 1D=8，BC=4，DC=4 6， A 是P 1D 的中点，沿A B 把平面P 1AB 折起到平面PAB 的位置（如图（2）），使二面角P —CD —B 成45°，设E 、F 分别是线段AB 、PD 的中点. 求证：AF//平面PE C ； 证明：如图，设PC 中点为G ，连结FG ，

高中数学立体几何知识点总结(详细)

高中数学立体几何知识点总结 一、空间几何体 （一）空间几何体的类型 1多面体：由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 2旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。其中，这条直线称为旋转体的轴。 （二）几种空间几何体的结构特征 1、棱柱的结构特征 1.1棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 棱柱的分类 「斜機柱 ①校*L曲査十底雨＞直棱 柱］一IF 皱ft 他械柱… 底面是四边形底面是平行四边形 棱柱四棱柱平行六面体侧棱垂直于底面底面是矩形 直平行六面体'长方体 底面是正方形棱长都相等 正四棱柱正方体 性质： I、侧面都是平行四边形，且各侧棱互相平行且相等； n、两底面是全等多边形且互相平行； 川、平行于底面的截面和底面全等；

2 1.3棱柱的面积和体积公式 S 直棱柱侧ch （ c 是底周长，h 是咼） S 直棱柱表面=c ? h+ 2S 底 V 棱柱=S 底? h 2、棱锥的结构特征 2.1棱锥的定义 （1） 棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共 顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 （2） 正棱锥：如果有一个棱锥的底面是正多边形， 并且顶 点在底面的投影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。 2.2正棱锥的结构特征 I 、平行于底面的截面是与底面相似的正多边形， 相似比 等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；它们面积 的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比； 截得的棱 锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱 锥的高的立方 比； n ＞正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形； 正棱锥侧面积： 1 S 正棱椎 （c 为底周长，h'为斜高） 2 1 体积：V 棱椎-Sh （ S 为底面积，h 为高） 3 正四面体： 对于棱长为a 正四面体的问题可将它补成一个边长为 2 -a 的正方体问题。 P O H C

高中数学空间几何体的结构教案

空间几何体的结构 一、观察思考 问题1：观察下面的图片，这些图片中的物体具有怎样的形状？日常生活中，我们把这些物体的形状叫做什么？我们如何描述它们的形状？ 问题2 观察下图，说说它们的结构特征。 二、自学小结（根据你的理解，用自己的话描述下列形状的结构特征） 1、棱柱 2、棱锥 3、棱台 4、圆柱 5、圆锥 6、圆台 7、球 给出定义： （一）空间几何体的结构 1. 多面体与旋转体：多面体棱顶点.；旋转体轴. 多面体定义：由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体；图形特征简单的说是有棱角； 相关概念：面：围成多面体的各个多边形叫做多面体的面. 棱：相邻两个面的公共边叫做多面体的棱. 顶点：棱与棱的公共点叫做多面体的顶点. 结论：<2>1、3、4、6、8、10、11、12是旋转体； 旋转体定义：我们把由一个平面图形绕它所在平面内的一条直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体；图形特征：简单的说是棱角被磨圆； 相关概念：轴：形成旋转体所围绕的定直线. 2. 棱柱：底面侧面侧棱顶点

直棱柱 斜棱柱 正棱柱 棱柱的定义：有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由 这些面所围成的几何体叫做棱柱. 棱柱' '''''F E D C B A ABCDEF —. 棱柱的性质：①两底面是对应边平行的全等多边形； ②侧面、对角面都是平行四边形； ③侧棱平行且相等； ④平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 棱锥的定义;有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体叫做棱 锥。 记作棱锥ABCD S — （1）棱锥的性质：①侧面、对角面都是三角形；②平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到 截面距离与高的比的平方. （2）正棱锥的性质：①正棱锥各侧棱都相等，各侧面都是全等的等腰三角形。②正棱锥的高，斜高和斜 高在底面上的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高，侧棱，侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形：。③正棱锥的侧棱与底面所成的角都相等。④正棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等。 棱台的定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台. 棱台''''D C B A ABCD — 棱台的性质：两底面所在平面互相平行；两底面是对应边互相平行的相似多边形；侧面是梯形；侧棱的延长线相交于一点. 4. 圆柱与圆锥，圆台：轴 底面 侧面 侧面的母线

高中立体几何证明方法及例题

由判定定理和性质定理构成一套完整的定理体系，在应用中：低一级位置关系判定高一级位置关系；高一级位置关系推出低一级位置关系，前者是判定定理，后者是性质定理。 1. 线线、线面、面面平行关系的转化： αβ αγβγ //,// ==???? a b a b 面面平行性质 ??? ? ? 面面平行性质 αγβγαβ //////?? ?? 2. 线线、线面、面面垂直关系的转化： a a OA a PO a PO a AO ?⊥?⊥⊥?⊥αα 在内射影则 面面垂直判定 线面垂直定义 l a l a ⊥??⊥? ??α α 面面垂直性质，推论2 αβ αββα⊥=?⊥?⊥??? ? ? b a a b a , αγβγαβ γ⊥⊥=?⊥? ?? ? ? a a 面面垂直定义 αβαβαβ =--?⊥? ?? l l ，且二面角成直二面角

面面∥面面平行判定2 线面垂直性质2a b a b //⊥?⊥??? α α a b a b ⊥ ⊥???? αα// a a ⊥⊥?? ?? αβα β // αβα β//a a ⊥⊥? ?? a 4. 应用以上“转化”的基本思路——“由求证想判定，由已知想性质。” 5. 唯一性结论： 1. 三类角的定义： （1）异面直线所成的角θ：0°＜θ≤90 ° （2）直线与平面所成的角：0°≤θ≤90° （3）二面角：二面角的平面角θ，0°＜θ≤180° 2. 三类角的求法：转化为平面角“一找、二作、三算” 即：（1）找出或作出有关的角；（2）证明其符合定义； （3）指出所求作的角； （4）计算大小。

高中数学必修立体几何教材分析和教学建议

高中数学必修2立体几何教材分析和教学建议立体几何内容的设计： 1.定位：定位于培养和发展学生把握图形的能力，空间想象与几何直观能力、逻辑推理能力等。强调几何直观，合情推理与逻辑推理并重，适当渗透公理化思想。 2.内容处理与呈现：按照从整体到局部的方式展开：柱、锥、台、球→ 点、线、面→ 侧面积、表面积与体积的计算（如图1），而原教材是点、线、面→ 柱、锥、台、球，即从局部到整体（如图2），突出直观感知、操作确认，并结合简单的推理发现、论证一些几何性质． 3.内容设计：螺旋上升，分层递进，逐步到位.在必修课程中，主要是通过直观感知、操作确认，获得几何图形的性质，并通过简单的推理发现、论证一些几何性质.进一步的论证与度量则放在选修2中用向量处理.教材在内容的设计上不是以论证几何为主线展开几何内容，而是先使学生在特殊情境下通过直观感知、操作确认，对空间的点、线、面之间的位置关系有一定的感性认识，在此基础上进一步通过直观感知、操作确认，归纳出有关空间图形位置关系的一些判定定理和性质定理，并对性质定理加以逻辑证明，不是不要证明，而是完善过程，既要发展演绎推理能力，也要发展合情推理能力。 4.教学内容增减： 删除（或在选修课内体现的）： （1）异面直线所成的角的计算。（2）三垂线定理及其逆定理。（3）多面体及欧拉公式.（4）原教材中有4个公理，4个推论，14个定理（都需证明）（不包含以例题出现的定理）.新教材中有4个公理，9个定理（4个需证明）． 增加：（7）简单空间图形的三视图．专设“空间几何体的三视图和直观图”这一节，重点在于培养空间想像能力．（8）台体的表面积和体积等内容．立体几何内容采用上述处理方式，主要是为了增进学生对几何本质的理解，培养学生对几何内容的兴趣，克服以往几何学习中易造成的学生两极分化的弊端． 立体几何初步是初等几何教育重要内容之一，它是在初中平面几何学习的基础上开设 的，以空间图形的性质、画法、计算以及它们的应用为研究对象，以演绎法为研究方法．通 过对三维空间的几何对象进行直观感知、操作确认、思辨论证，使学生的认识水平从平面图 形延拓至空间图形，完成由二维空间向三维空间的转化，发展学生的空间想象能力，逻辑推理能力和分析问题、解决问题的能力． 一、考纲要求： （1）空间几何体 ①认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. ② 能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图. ③ 会用平行投影与中心投影两种方法，画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式. ④会画某些建筑物的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）. ⑤ 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）. （2）点、直线、平面之间的位置关系 ①理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理. ◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点在此平面内. ◆公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面. ◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

人教版数学高一-空间几何体的直观图(1课时) 精品教案

1.2.2 空间几何体的直观图（1课时） 一、教学目标 1．知识与技能 （1）掌握斜二测画法画水平设置的平面图形的直观图。 （2）采用对比的方法了解在平行投影下画空间图形与在中心投影下画空间图形两种方法的各自特点。 2．过程与方法 学生通过观察和类比，利用斜二测画法画出空间几何体的直观图。 3．情感态度与价值观 （1）提高空间想象力与直观感受。 （2）体会对比在学习中的作用。 （3）感受几何作图在生产活动中的应用。 二、教学重点、难点 重点、难点：用斜二测画法画空间几何值的直观图。 三、学法与教学用具 1．学法：学生通过作图感受图形直观感，并自然采用斜二测画法画空间几何体的过程。 2．教学用具：三角板、圆规 四、教学思路 （一）创设情景，揭示课题 1．我们都学过画画，这节课我们画一物体：圆柱 把实物圆柱放在讲台上让学生画。 2．学生画完后展示自己的结果并与同学交流，比较谁画的效果更好，思考怎样才能画好物体的直观图呢？这是我们这节主要学习的内容。 （二）研探新知 1．例1，用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图，由学生阅读理解，并思考斜二测画法的关键步骤，学生发表自己的见解，教师及时给予点评。 画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置，因为多边形顶点的位置一旦确定，依次连结这些顶点就可画出多边形来，因此平面多边形水平放置时，直观图的画法可以归结为确定点的位置的画法。强调斜二测画法的步骤。 练习反馈 根据斜二测画法，画出水平放置的正五边形的直观图，让学生独立完成后，教师检查。 2．例2，用斜二测画法画水平放置的圆的直观图 教师引导学生与例1进行比较，与画水平放置的多边形的直观图一样，画水平放置的圆的直观图，也是要先画出一些有代表性的点，由于不能像多边那样直接以顶点为代表点，因

2018年北师大版高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》教案

北师大版高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》 第一课时平面向量知识复习 一、教学目标：复习平面向量的基础知识，为学习空间向量作准备 二、教学重点：平面向量的基础知识。教学难点：运用向量知识解决具体问题 三、教学方法：探究归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、基本概念 向量、向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量、相反向量、向量的加法、向量的减法、实数与向量的积、向量的坐标表示、向量的夹角、向量的数量积。（二）、基本运算 1、向量的运算及其性质

2、平面向量基本定理： 如果21,e e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且 只有一对实数21,λλ，使a = ； 注意)(2 1 OB OA OP += ,OA OA OP )1(λλ-+=的几何意义 3、两个向量平行的充要条件： ⑴ //a b 的充要条件是： ；（向量表示） ⑵ 若),(),,(2211y x b y x a == ，则//a b 的充要条件是： ；（坐标表示） 4、两个非零向量垂直的充要条件： ⑴ a b ⊥ 的充要条件是： ；（向量表示） ⑵ 若),(),,(2211y x b y x a == ，则a b ⊥ 的充要条件是： ；（坐标表示） （三）、课堂练习 1．O 为平面上的定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，若( -)·(+－2)=0，则?ABC 是（ ） A ．以A B 为底边的等腰三角形B ．以B C 为底边的等腰三角形 C ．以AB 为斜边的直角三角形 D ．以BC 为斜边的直角三角形 2．P 是△ABC 所在平面上一点，若?=?=?，则P 是△ABC 的（ ） A ．外心B ．内心 C ．重心D ．垂心 3．在四边形ABCD 中，?→ ?AB ＝?→?DC ，且?→?AC ·?→ ?BD ＝0，则四边形ABCD 是（ ） A ． 矩形 B ． 菱形 C ．直角梯形 D ．等腰梯形 4．已知||p = ||3q = ，p 、q 的夹角为45?，则以52a p q =+ ，3b p q =- 为邻边的 平行四边形的一条对角线长为（ ）