代数部分真题集锦
17. 列方程或方程组解应用题:
某园林队计划由6名工人对180平方米的区域进行绿化,由于施工时增加了2名工人,结果
比计划提前3小时完成任务。若每人每小时绿化面积相同,求每人每小时的绿化面积。
18.已知关于x 的一元二次方程04222=-++k x x 有两个不相等的实数根
(1)求k 的取值范围;
(2)若k 为正整数,且该方程的根都是整数,求k 的值。
23.在平面直角坐标系x O y 中,抛物线
222--=mx mx y (0≠m )与y 轴交于点A ,其对称轴与x 轴交于点B 。
(1)求点A ,B 的坐标;
(2)设直线l 与直线AB 关于该抛物线的对称轴对称,求直线l 的解析式;
(3)若该抛物线在12-<<-x 这一段位于直线l 的上方,并且在32< 直线AB 的下方,求该抛物线的解析式。 17.如图,在平面直角坐标系xOy 中,函数()40y x x = >的图象与一次函数y kx k =-的图象的交点为()2A m ,. (1)求一次函数的解析式; (2)设一次函数y kx k =-的图象与y 轴交于点B ,若P 是x 轴上一点, 且满足PAB △的面积是4,直接写出点P 的坐标. 23.已知二次函数23(1)2(2)2 y t x t x =++++ 在0x =和2x =时的函数值相等。 (1) 求二次函数的解析式; (2) 若一次函数6y kx =+的图象与二次函数的图象都经过点(3)A m -,,求m 和k 的值; (3) 设二次函数的图象与x 轴交于点B C ,(点B 在点C 的左侧),将二次函数的图 象在点B C ,间的部分(含点B 和点C )向左平移(0)n n >个单位后得到的图象 记为G ,同时将(2)中得到的直线6y kx =+向上平移n 个单位。请结合图象 回答:当平移后的直线与图象G 有公共点时,n 的取值范围。 23.在平面直角坐标系xOy 中,二次函数()()2330y mx m x m =+-->的图象与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 左侧),与y 轴交于点C . ⑴ 求点A 的坐标; ⑵ 当45ABC ∠=时,求m 的值; ⑶ 已知一次函数y kx b =+,点(),0P n 是x 轴上的一个动点,在⑵的条件下,过点P 垂直于x 轴的直线交这个一次函数的图象于点M ,交二次函数()()2330y mx m x m =+-->的图象于点N 。若只有当22n -<<时,点M 位于点N 的上方,求这个一次函数的解析式。(找到两个点,确定直线) 18、如图,直线32+=x y 与x 轴交于点A ,与y 轴交于点B . (1)求A ,B 两点的坐标; (2)过点B 作直线BP 与x 轴交于点P ,且使OP =2O A ,求△ABP 的面积. 23、已知反比例函数x k y =的图象经过点A (3-,1). (1)试确定此反比例函数的解析式; (2)点O 是坐标原点,将线段OA 绕O 点顺时针旋转30°得到线段OB ,判断点B 是否在此反比例函数的图象上,并说明理由; (3)已知点P (m ,63+m )也在此反比例函数的图象上(其中0 21,设Q 点的纵坐标为n ,求9322+-n n 的值. 17.如图,A 、B 两点在函数x m y =(x >0)的图象上. (1)求m 的值及直线AB 的解析式; (2)如果一个点的横、纵坐标均为整数,那么我们称这个点是格点.请直接写出图中阴 影部分(不包括边界)所含格点的个数. 第17题图 23.已知关于x 的一元二次方程2x 2+4x +k -1=0有实数根,k 为正整数. (1)求k 的值; (2)当此方程有两个非零的整数根时,将关于x 的二次函数y =2x 2+4x +k -1的图象向下平移8个单位长度,求平移后的图象的解析式; (3)在(2)的条件下,将平移后的二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答:当直线b x y +=2 1(b <k )与此图象有两个公共点时,b 的取值范围. 25.如图,在平面直角坐标系xOy 中,△ABC 三个顶点的坐标分别为A (-6,0),B (6,0),C (0,43),延长AC 到点D ,使AC CD 21= ,过D 点作DE ∥AB 交BC 的延长线于点E . (1)求D 点的坐标; (2)作C 点关于直线DE 的对称点F ,分别连结DF 、EF ,若过B 点的直线y =kx +b 将四边形CDFE 分成周长相等的两个四边形,确定此直线的解析式; (3)设G 为y 轴上一点,点P 从直线y =kx +b 与y 轴的交点出发,先沿y 轴到达G 点,再沿GA 到达A 点.若P 点在y 轴上运动的速度是它在直线GA 上运动速度的2倍,试确定G 点的位置,使P 点按照上述要求到达A 点所用的时间最短. (要求:简述确定G 点位置的方法,但不要求证明) 23.已知:关于x 的一元二次方程2(32)220(0)mx m x m m -+++=>. (1)求证:方程有两个不相等的实数根; (2)设方程的两个实数根分别为1x ,2x (其中12x x <).若y 是关于m 的函数,且212y x x =-,求这个函数的解析式; (3)在(2)的条件下,结合函数的图象回答:当自变量m 的取值范围满足什么条件时,2y m ≤. 24.在平面直角坐标系xOy 中,抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A B ,两点(点A 在点B 的左侧),与y 轴交于点C ,点B 的坐标为(30),,将直线y kx =沿y 轴向上平移3个单位长度后恰好经过B C ,两点. (1)求直线BC 及抛物线的解析式; (2)设抛物线的顶点为D ,点P 在抛物线的对称轴上,且APD ACB ∠=∠,求点P 的坐标; (3)连结CD ,求OCA ∠与OCD ∠两角和的度数. 22.(本小题满分4分) 在平面直角坐标系xOy 中,反比例函数k y x =的图像与3y x =的图像关于x 轴对称,又与直线2y ax =+交于点(,3)A m ,试确定a 的值. 24. 在平面直角坐标系xOy 中,抛物线2y mx n =++经过P ,(0,2)A 两点. (1)求此抛物线的解析式; (2)设抛物线的顶点为B ,将直线AB 沿y 轴向下平移两个单位得到直线l ,直线l 与 抛物线的对称轴交于C 点,求直线l 的解析式; (3)在(2)的条件下,求到直线OB 、OC 、BC 距离相等的点的坐标. 21.(本小题满分5分) 在平面直角坐标系xOy 中,直线y x =-绕点O 顺时针旋转90得到直线l .直线l 与反比例函数k y x = 的图象的一个交点为(3)A a ,,试确定反比例函数的解析式. 代数式 【考纲说明】 1、理解字母表示数的意义及用代数式表示规律。 2、用代数式表示实际问题中的数量关系,求代数式的值。 【知识梳理】 1、代数式:指含有字母的数学表达式。 2、一个代数式由数、表示数的字母、运算符号组成。单个字母或数字也是代数式。 3、代数式的值:一般地,用数值代替代数式里的字母,计算后所得的结果叫做代数式的值。 4、用字母表示数的规范格式: (1)、数和表示数的字母相乘,或字母和字母相乘时,乘号可以省略不写,或用“.”来代替。 (2)、当数和字母相乘,省略乘号时,要把数字写到前面,字母写后面。如:100a或100?a,na或n?a。 (3)、后面接单位的相加式子要用括号括起来。如:( 5s )时 (4)、除法运算写成分数形式。 (5)、带分数与字母相乘时,带分数要写成假分数的形式。 5、列代数式时要注意: (1)语言叙述中关键词的意义,如“大”“小”“增加”“减少”。 “倍”“几分之几”等词语与代数式中的运算符号之间的关系。 (2)要理清运算顺序和正确使用括号,以防出现颠倒等错误,例如“积的和”与“和的积”“平方差”“差的平方”等等。 (3)在同一问题中,不同的数量必须用不同的字母表示。 【经典例题】 【例1】(2012重庆,9,4分)下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成。其中第①个图形一共有2个五角星,第②个图形一共有8个五角星,第③个图形一共有18个五角星,…,则第⑥个图形中的五角星的个数为( ) 【解析】仔细观察图形的特点,它们都是轴对称图形,每一行的个数都是偶数,分别是2,4,6,…,6,4,2,故第⑥个图形中五角星的个数为2+4+6+8+10+12+10+8+6+4+2=72。 答案:D 【例2】(2011甘肃兰州,20,4分)如图,依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形,再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形,按照此方法继续下去,已知第一个矩形的面积为1,则第n 个矩形的面积为 . 【解析】由中点四边形的性质可知,每次所得新中点四边形的面积是前一个图形的1 2 ,故后一个矩形的面积是前一个矩形的 1 4 ,所以第n 个矩形的面积是第一个矩形面积的1 22 1142n n --????= ? ??? ?? ,已知第一个矩形面积为1,则第n 个矩形的面积为22 12n -?? ? ?? 。 【例3】按一定规律排列的一列数依次为111111 ,,,,,,2310152635 …,按此规律,第7个数是 。 【解析】先观察分子:都是1;再观察分母:2,3,10,15,26,…与一些平方数1,4,9,16,…都差1,2=12 +1,3=22 -1,10=32 +1,15=42 -1,26=52 +1,…,这样第7个数为2 11 7150 =+。 答案: 150 【例4】已知: 114a b -=,则2227a ab b a b ab ---+的值为( ) A .6 B .--6 C .215- D .2 7 - 【解析】由已知114a b -=,得 4b a ab -=, z一元二次方程应用题经典题型汇总 一、增长率问题 例1 恒利商厦九月份的销售额为200万元,十月份的销售额下降了20%,商厦从十一月份起加强管理,改善经营,使销售额稳步上升,十二月份的销售额达到了193.6万元,求这两个月的平均增长率. 解 设这两个月的平均增长率是x.,则根据题意,得200(1-20%) (1+x)2=193.6, 即(1+x)2=1.21,解这个方程,得x1=0.1,x2=-2.1(舍去). 答 这两个月的平均增长率是10%. 说明 这是一道正增长率问题,对于正的增长率问题,在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义,即可利用公式m(1+x)2=n求解,其中m<n.对于负的增长率问题,若经过两次相等下降后,则有公式m(1-x)2=n即可求解,其中m>n. 二、商品定价 例2 益群精品店以每件21元的价格购进一批商品,该商品可以自行定价,若每件商品售价a元,则可卖出(350-10a)件,但物价局限定每件商品的利润不得超过20%,商店计划要盈利400元,需要进货多少件?每件商品应定价多少? 解 根据题意,得(a-21)(350-10a)=400,整理,得a2-56a+775=0, 解这个方程,得a1=25,a2=31. 因为21×(1+20%)=25.2,所以a2=31不合题意,舍去. 所以350-10a=350-10×25=100(件). 答 需要进货100件,每件商品应定价25元. 说明 商品的定价问题是商品交易中的重要问题,也是各种考试的热点. 三、储蓄问题 例3 王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”,到期后将本金和利息取出,并将其中的500元捐给“希望工程”,剩余的又全部按一年定期存入,这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%,这样到期后,可得本金和利息共530元,求第一次存款时的年利率.(假设不计利息税) 解 设第一次存款时的年利率为x. 则根据题意,得[1000(1+x)-500](1+0.9x)=530.整理,得 90x2+145x-3=0. 解这个方程,得x1≈0.0204=2.04%,x2≈-1.63.由于存款利率不能为负数,所以将x2≈-1.63舍去. 答 第一次存款的年利率约是2.04%. 说明 这里是按教育储蓄求解的,应注意不计利息税. 四、趣味问题 例4 一个醉汉拿着一根竹竿进城,横着怎么也拿不进去,量竹竿长比城门宽4米,旁边一个醉汉嘲笑他,你没看城门高吗,竖着拿就可以进去啦,结果竖着比城门高2米,二人没办法,只好请教聪明人,聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿,二人一试,不多不少刚好进城,你知道竹竿有多长吗? 解 设渠道的深度为xm,那么渠底宽为(x+0.1)m,上口宽为 (x+0.1+1.4)m. 则根据题意,得 (x+0.1+x+1.4+0.1)·x=1.8,整理,得x2+0.8x-1.8=0. 解这个方程,得x1=-1.8(舍去),x2=1. 所以x+1.4+0.1=1+1.4+0.1=2.5. 答 渠道的上口宽2.5m,渠深1m. 精品文档 线性代数试题精选与精解(含完整试题与详细答案,2020 考研数学基础训练) 一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分) 1.设3阶方阵A =(α1,α2,α3),其中αi (i =1,2,3)为A 的列向量,若| B |=|(α1+2α2, α2,α3)|=6,则| A |=( ) A.-12 B.-6 C.6 D.12 【答案】C 【解析】本题考查了矩阵行列式的性质。有性质可知,行列式的任意一列(行)的(0)k k ≠倍加至另一列(行),行列式的值不变。本题中,B 是由A 的第二列的2倍加到了第一列形成的,故其行列式不变,因此选C 。 【提醒】行列式的性质中,主要掌握这几条:(1)互换行列式的两行或两列行列式要变号;(2)行列式的任意一行(列)的(0)k k ≠倍加至另一行(列),行列式的值不变;(2)行列式行(列)的公因子(公因式)可以提到行列式的外面。 【点评】本题涉及内容是每年必考的,需重点掌握。热度:☆☆☆☆☆;可出现在各种题型中,选择、填空居多。 【历年考题链接】 (2008,4)1.设行列式D=3332 31 232221 131211a a a a a a a a a =3,D 1=33 32 3131 2322212113 12 1111252525a a a a a a a a a a a a +++,则D 1的值为( ) A .-15 B .-6 C .6 D .15 答案:C 。 2.计算行列式3 2 3 20 2 0 0 0 5 10 2 0 2 0 3 ----=( ) A.-180 B.-120 精品文档 C.120 D.180 【答案】A 【解析】本题考查了行列式的计算。行列式可以根据任意一行(列)展开。一般来说,按含零元素较多的行或列展开计算起来较容易。本题,按第三列展开,有: 44 1424344433 313233 3 0 2 0 302 2 10 5 000033(1)2105 0 0 2 000 2 2 3 2 3 3 3(002)6(1) =630180. 210 A A A A A A A ++--=?+?+?+?=-----=?+?-=---?=- 【提醒】还要掌握一些特殊矩阵的行列式的计算,如对角矩阵,上(下)三角矩阵,还有分块矩阵。 【点评】行列式的计算是每年必考的,常出现在选择、填空和计算中,选择、填空居多。近几年,填空题的第一题一般考察这个内容。需重点掌握。热度:☆☆☆☆☆。 【历年考题链接】 (2008,1)11.若,02 11 =k 则k=_______. 答案:1/2。 3.若A 为3阶方阵且| A -1 |=2,则| 2A |=( ) A.21 B.2 C.4 D.8 【答案】C 【解析】本题考查了逆矩阵行列式的计算,和矩阵行列式的运算性质。由于1 1,A A -= 由已知| A -1 |=2,从而12A = ,所以3 122842 A A ==?=。 高等代数 一、填空题 (共10题,每题2分,共20 分) 1.只于自身合同的矩阵是 矩阵。 2.二次型()()11212237,116x f x x x x x ?? ??= ? ????? 的矩阵为__________________。 3.设A 是实对称矩阵,则当实数t _________________,tE A +是正定矩阵。 4.正交变换在标准正交基下的矩阵为_______________________________。 5.标准正交基下的度量矩阵为_________________________。 6.线性变换可对角化的充要条件为__________________________________。 7.在22P ?中定义线性变换σ为:()a b X X c d σ?? = ??? ,写出σ在基11122122,,,E E E E 下的矩阵_______________________________。 8.设1V 、2V 都是线性空间V 的子空间,且12V V ?,若12dim dim V V =,则_____________________。 9.叙述维数公式_________________________________________________________________________。 10.向量α在基12,,,n ααα???(1)与基12,,,n βββ???(2)下的坐标分别为x 、y ,且从基(1)到基(2)的过渡矩阵为A ,则x 与y 的关系为_____________________________。 二、判断题 (共10 题,每题1分,共10分) 1.线性变换在不同基下的矩阵是合同的。( ) 2.设σ为n 维线性空间V 上的线性变换,则()1 0V V σσ -+=。 ( ) 3.平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合,对于向量的加法和数量乘法,构成实 数域上的线性空间。( ) 4.设1V 与2V 分别是齐次线性方程组120n x x x ++???+=与12n x x x ==???=的解空间,则 12n V V P ⊕= ( ) 5.2 2 11n n i i i i n x x ==??- ??? ∑∑为正定二次型。( ) 6.数域上任意一个矩阵都合同于一对角矩阵。( ) 7.把复数域C 看作复数域上的线性空间,C ξ?∈,令σξξ=,则σ是线性变换。( ) 8.若σ是正交变换,那么σ的不变子空间的真正交补也是σ的不变子空间。( ) 9.欧氏空间中不同基的度量矩阵是相似的。( ) 10.若σ为[]n P x (1n >)中的微分变换,则σ不可对角化。( ) 1.2 代数式 【考纲说明】 1、理解字母表示数的意义及用代数式表示规律。 2、用代数式表示实际问题中的数量关系,求代数式的值。 【知识梳理】 1、代数式:指含有字母的数学表达式。 2、一个代数式由数、表示数的字母、运算符号组成。单个字母或数字也是代数式。 3、代数式的值:一般地,用数值代替代数式里的字母,计算后所得的结果叫做代数式的值。 4、用字母表示数的规范格式: (1)、数和表示数的字母相乘,或字母和字母相乘时,乘号可以省略不写,或用“.”来代替。(2)、当数和字母相乘,省略乘号时,要把数字写到前面,字母写后面。如:100a或100?a,na或n?a。 (3)、后面接单位的相加式子要用括号括起来。如:(5s )时 (4)、除法运算写成分数形式。 (5)、带分数与字母相乘时,带分数要写成假分数的形式。 5、列代数式时要注意: (1)语言叙述中关键词的意义,如“大”“小”“增加”“减少”。 “倍”“几分之几”等词语与代数式中的运算符号之间的关系。 (2)要理清运算顺序和正确使用括号,以防出现颠倒等错误,例如“积的和”与“和的积”“平方差”“差的平方”等等。 (3)在同一问题中,不同的数量必须用不同的字母表示。 【经典例题】 【例1】(2012重庆,9,4分)下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成。其中第①个图形一共有2个五角星,第②个图形一共有8个五角星,第③个图形一共有18个五 角星,…,则第⑥个图形中的五角星的个数为( ) 【解析】仔细观察图形的特点,它们都是轴对称图形,每一行的个数都是偶数,分别是2,4,6,…,6,4,2,故第⑥个图形中五角星的个数为2+4+6+8+10+12+10+8+6+4+2=72。 答案:D 【例2】(2011甘肃兰州,20,4分)如图,依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形,再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形,按照此方法继续下去,已知第一个矩形的面积为1,则第n 个矩形的面积为 . 【解析】由中点四边形的性质可知,每次所得新中点四边形的面积是前一个图形的 12,故后一个矩形的面积是前一个矩形的14 ,所以第n 个矩形的面积是第一个矩形面积的1221142n n --????= ? ?????,已知第一个矩形面积为1,则第n 个矩形的面积为2212n -?? ???。 【例3】按一定规律排列的一列数依次为 111111,,,,,,2310152635 …,按此规律,第7个数是 。 【解析】先观察分子:都是1;再观察分母:2,3,10,15,26,…与一些平方数1,4,9,16,…都差1,2=12+1,3=22-1,10=32+1,15=42-1,26=52+1,…,这样第7个数为 2117150=+。 答案:150 【例4】已知: 114a b -=,则2227a ab b a b ab ---+的值为( ) A .6 B .--6 C .215- D .27 - 【解析】由已知114a b -=,得4b a ab -=, ∴4,4, 2()242 6.2272()787b a ab a b ab a ab b a b ab ab ab a b ab a b ab ab ab ∴-=-=-------∴===-+-+-+答案:A 【课堂练习】 1、(2012湖北武汉,9,3分)一列数a1,a2,a3,…,其中a1= 111,21n n a a -=+(n 为不 代数式经典测试题及答案 一、选择题 1.若(x +1)(x +n )=x 2+mx ﹣2,则m 的值为( ) A .﹣1 B .1 C .﹣2 D .2 【答案】A 【解析】 【分析】 先将(x+1)(x+n)展开得出一个关于x 的多项式,再将它与x 2+mx-2作比较,即可分别求得m ,n 的值. 【详解】 解:∵(x+1)(x+n)=x 2+(1+n)x+n , ∴x 2+(1+n)x+n=x 2+mx-2, ∴12n m n +=??=-? , ∴m=-1,n=-2. 故选A . 【点睛】 本题考查了多项式乘多项式的法则以及类比法在解题中的运用. 2.下列各运算中,计算正确的是( ) A .2a?3a =6a B .(3a 2)3=27a 6 C .a 4÷a 2=2a D .(a+b)2=a 2+ab+b 2 【答案】B 【解析】 试题解析:A 、2a ?3a =6a 2,故此选项错误; B 、(3a 2)3=27a 6,正确; C 、a 4÷a 2=a 2,故此选项错误; D 、(a+b )2=a 2+2ab +b 2,故此选项错误; 故选B . 【点睛】此题主要考查了积的乘方运算以及同底数幂的除法运算、完全平方公式、单项式乘以单项式等知识,正确化简各式是解题关键. 3.下列运算正确的是( ) A .21ab ab -= B 3=± C .222()a b a b -=- D .326()a a = 【答案】D 【解析】 【分析】 主要考查实数的平方根、幂的乘方、同类项的概念、合并同类项以及完全平方公式. 解: A 项,2ab ab ab -=,故A 项错误; B 3=,故B 项错误; C 项,222()2a b a ab b -=-+,故C 项错误; D 项,幂的乘方,底数不变,指数相乘,32236()a a a ?==. 故选D 【点睛】 本题主要考查: (1)实数的平方根只有正数,而算术平方根才有正负. (2)完全平方公式:222()2a b a ab b +=++,222()2a b a ab b -=-+. 4.已知:1+3=4=22,1+3+5=9=32,1+3+5+7=16=42,1+3+5+7+9=25=52,…,根据前面各式的规律可猜测:101+103+105+…+199=( ) A .7500 B .10000 C .12500 D .2500 【答案】A 【解析】 【分析】 用1至199的奇数的和减去1至99的奇数和即可. 【详解】 解:101+103+10 5+107+…+195+197+199 =22119919922++????- ? ????? =1002﹣502, =10000﹣2500, =7500, 故选A . 【点睛】 本题考查了规律型---数字类规律与探究,要求学生通过观察,分析、归纳发现其中的规律,并应用发现的规律解决问题. 5.下列各式中,计算正确的是( ) A .835a b ab -= B .352()a a = C .842a a a ÷= D .23a a a ?= 【答案】D 【解析】 【分析】 分别根据合并同类项的法则、同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则以及同底数幂除法法则解答即可. 自考4184线性代数(经管类)历年真题及答案: 篇一:2014年4月全国自考线性代数(经管类)试卷参考答案 2014年4月全国自考线性代数(经管类)试卷参考答案 篇二:2015年4月自学考试 04184线性代数(经管类)试卷及答案2015年4月高等教育自学考试全国统一命题考试 04184 线性代数(经管类)试卷 一、单项选择题(本大题共5小题,每小题2分,共10分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个选项是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设行列式D1=a1 a2b1b2,D2=a1a22b1?3a1,则D2= 【】 2b2?3a2 A.-D1 B.D1 C.2D1 D.3D1 2、若A=???10x??202???,B=??42y??,且2A=B,则【】 211???? A.x=1,y=2 B.x=2,y=1 C.x=1,y=1 D.x=2,y=2 3、已知A是3阶可逆矩阵,则下列矩阵中与A等价的是【】 ?100??100??100??100?????????A.?000? B.?010? C.?000?D.?010? ?000??000??001??001????????? 4、设2阶实对称矩阵A的全部特征值味1,-1,-1,则齐次线性方程组(E+A)x=0的基础解系所含解向量的个数为【】 A.0B.1 C.2 D.3 5、矩阵????31?? ?有一个特征值为【】1?3?? A.-3 B.-2 C.1 D.2 二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分) 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 6、设A为3阶矩阵,且A=3,则3A?1. ?21?*7、设A=??35??,则A= . ?? 8、已知A=???10??1?11????,B=,若矩阵X满足AX=B,则X=. ????21??112? 9、若向量组?1?(1,2,1)T,?2?(k-1,4,2)T线性相关,则数k=. ?x1?2x2?ax3?0?10、若齐次线性方程组?2x1?x2?x3?0有非零解,则数a=. ?3x?x?x?023?1 11、设向量?1?(1,-2,2)T,?2?(2,0,-1)T,则内积(?1,?2)= . 12、向量空间V={x=(x1,x2,0)T|x1,x2?R}的维数为 . 13、与向量(1,0,1)T和(1,1,0)T均正交的一个单位向量为 . 14、矩阵???12???的两个特征值之积为 . 23?? 22215、若实二次型f(x1,x2,x3)=x1?ax2?a2x3?2x1x2正定,则数a的取值范围是 . 三、计算题(本大题共7小题,每小题9分,共63分) 2 116、计算行列式D=1 1 1311114111的值. 15 17、设2阶矩阵A的行列式A? 1?1*,求行列式(2A)?2A的值. 2 科目名称:《高等代数》 姓名: 班级: 考试时间:120分钟 考试形式:闭卷 ≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌ ≌≌≌≌ 一、填空题(每小题5分,共25分) 1、在[]X P 中,向量21x x ++关于基23,1,12+--x x x 的坐标为 。 2、向 量 组 ()()()()()8,3,5,2,1,1,3,0,3,2,4,2,1,2,154321-=-==-=-=ααααα的秩 为 ,一个最大无关组为 .。 3、(维数公式)如果21,V V 是线性空间V 的两个子空间,那么 。 4、假设??? ? ? ??-----=175131023A 的特征根是 ,特征向量分别 为 。 5、实二次型()323121321224,,x x x x x x x x x f ++-= 的秩为 二、是非题(每小题2分,共20分) 1、如果r a a a ,,,21 线性无关,那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合。( ) 2、在][x P 中,定义变换)()(0x f x Af =,其中P x ∈0,是一固定的数,那么变换A 是线性变换。( ) 3、设21,W W 是向量空间V 的两个子空间,那么它们的并 21W W 也是V 的一个子空间。( ) 4、两个欧氏空间同构的充分且必要条件是它们有相同的维数。( ) 5、令),,,(4321x x x x =ξ是4R 的任意向量,那么δ是4R 到自身的线性变 换。其中),,,()(24232221x x x x =ξδ。( ) 6、矩阵A 的特征向量的线性组合仍是A 的特征向量。( ) 7、若矩阵A 与B 相似,那么A 与B 等价。( ) 8、n 阶实对称矩阵A 有n 个线性无关的特征向量。( ) 9、在)(2R M 中,若W 由所有满足迹等于零的矩阵组成,那么W 是 )(2R M 的 子空间。( ) 10、齐次线性方程组0)(=-X A E λ的非零解向量是A 的属于λ的特征向量。( ) 三、明证题(每小题××分,共31分) 1、设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基,A 是V 上的线性变换,证明:A 可逆当且仅当n A A A εεε,,,21 线性无关。 (10) 2、设δ是n 维欧氏空间V 的一个线性变幻,证明:如果δ是对称变幻, 2δ=l 是单位变幻,那么δ是正交变换。(11) 3、设V 是一个n 维欧氏空间,证明:如果21,W W 都是V 得子空间,那么() ⊥⊥⊥ =+2121W W W W 。(10) 四、计算题(每小题8分,共24分) 1、求矩阵??? ? ? ??---=466353331A 的特征根与特征向量,并求满秩矩阵P 使 得AP P 1-为对角形矩阵。 2、求一个正交矩阵U ,使得AU U '使对角形式,其中 二元一次方程组练习题100道(卷一) (范围:代数: 二元一次方程组) 一、判断 1、??? ??-==312y x 是方程组?????? ?=-=-9 1032 6 5 23y x y x 的解 …………( ) 2、方程组? ? ?=+-=5231y x x y 的解是方程3x -2y =13的一个解( ) 3、由两个二元一次方程组成方程组一定是二元一次方程组( ) 4、方程组???????=-++=+++2 5323 473 5 23y x y x ,可以转化为???-=--=+27651223y x y x ( ) 5、若(a 2-1)x 2 +(a -1)x +(2a -3)y =0是二元一次方程,则a 的值为±1( ) 6、若x +y =0,且|x |=2,则y 的值为2 …………( ) 7、方程组? ? ?=+-=+81043y x x m my mx 有唯一的解,那么m 的值为m ≠-5 …………( ) 8、方程组?? ???=+=+62 3 131 y x y x 有无数多个解 …………( ) 9、x +y =5且x ,y 的绝对值都小于5的整数解共有5组 …………( ) 10、方程组? ? ?=+=-351 3y x y x 的解是方程x +5y =3的解,反过来方程x +5y =3的解也是方程组 ?? ?=+=-3 51 3y x y x 的解 ………( ) 11、若|a +5|=5,a +b =1则3 2 -的值为b a ………( ) 12、在方程4x -3y =7里,如果用x 的代数式表示y ,则4 37y x += ( ) 二、选择: 13、任何一个二元一次方程都有( ) (A )一个解; (B )两个解; (C )三个解; (D )无数多个解; 14、一个两位数,它的个位数字与十位数字之和为6,那么符合条件的两位数的个数有( ) 中国海洋大学2007-2008学年第2学期期末考试试卷 授课教师命题教师或 命题负责人签字年月日院系负责人签 字年月日 共 2 页第 2 页 中国海洋大学 XXXX-XXXX 学年 第X 学期 期末考试试卷 五(10分)证明:设A 为n 级矩阵,()g x 是矩阵A 的最小多项式,则多项式()f x 以A 为根的充要条件是()g x |()f x . 六(10分)设V 是数域P 上的n 维线性空间,A B ,是V 上的线性变换,且=AB BA .证明:B 的值域与核都是A 的不变子空间. 七(10分)设2n 阶矩阵a b a b A b a b a ??????? ? =? ?? ??????? O N N O ,a b ≠,求A 的最小多项式. 八(10分)设f 是数域P 上线性空间V 上的线性变换,多项式()(),p x q x 互素,且满足 ()()0p f q f =(零变换) 求证:()()()(),ker ,ker V W S W p f S q f =⊕== 中国海洋大学 2007-2008学年 第2学期 期末考试 数学科学 学院 《高等代数》试题(A 卷)答案 一.判断题 1.× 2.× 3.× 4.√ 5.√ 二.解:A =???? ????????1111111111111111, 3|(4)E A λλλ-=-|,所以特征值为0,4(3重). 将特征值代入,求解线性方程组()0E A x λ-=,得4个线性无关的特征向量(答案可以不唯一),再正交单位化,得4个单位正交向量: 11111 ,,,)'2222α=( ,2α=, 3α= ,4'α=. 所以正交阵1 212 102610 2 T ?????? ?=??- ?? ???????? 而40'00T AT ??????=??????. 三.证:(1) ,.A B M ?∈ 验证,A B kA M +∈即可. (2) 令1101 010011 0n E D E -???? ? ??? ??== ????? ?????? O O O ,D 为循环阵, 00n k k k E D E -?? = ??? ,(k E 为k 阶单位阵) 则2 1 ,,,,n n D D D D E -=L 在P 上线性无关. 《代数式》典型例题 例1 列代数式,并求值. 有两种学生用本,一种单价是0.25元,另一种单价是0.28元,买这两种本的数分别是m 和n .(1)问共需要多少元?(2)如果单价是0.25元的本和单价是0.28元的本分别买了20和25本,问共花了多少钱? 例2 某城市居民用电每千瓦时(度)0.33元,某户本月底电能表显示数m ,上月底电能表显示数为n ,(1)用m 和n 把本月电费表示出来;(2)若本月底电能表显示数是1601,上月底电能表显示数为1497,问本月的电费是多少? 例3 春节前夕,铁路为了控制客流,使其卧铺票票价上浮20%,春节期间按原价下浮10%,若某地到北京的卧铺票原价是x 元,如果在春节期间乘坐要比春节前少花多少钱,用x 表示出;当228=x 时,求这个代数式的值。 例4 22b a -可以解释为___________. 例5 一个三位数,百位数上的数是a ,十位上的数是b ,个位上的数是c . (1)用代数式表示这个三位数. (2)把它的三位数字颠倒过来,所得的三位数又该怎样表示? 例6 选择题 1.x 的3倍与y 的2倍的和,除以x 的2倍与y 的3倍的差,写成的代数式是( ) A . y x y x 3223-+ B .x y y x 2323-+ C .y x y x 3223-+ D .y x y x 2223-+ 2.如图,正方形的边长是a ,圆弧的半径也是a ,图中阴影部分的面积是( ) A .224a a -π B .22a a π- C .22a a -π D .224a a π- 例7 通过设2003 1413121,20021413121++++=++++= b a 来计算: ).20021413121()200314131211()20031413121()200214131211(++++?+++++-++++?+++++ 例8 按给的例子,把输出的数据填上 例9 对于正数,运算“*”定义为b a a b b a +=*,求)333**(. 全国2010年度4月高等教育自学考试线性代数(经管类)试题答案 一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分) 1.已知2阶行列式m b b a a =2121,n c c b b =2121,则=++2 21 12 1 c a c a b b ( B ) A .n m - B .m n - C .n m + D .)(n m +- m n n m c c b b a a b b c a c a b b -=+-=+=++2 12 12121 221121. 2.设A , B , C 均为n 阶方阵,BA AB =,CA AC =,则=ABC ( D ) A .ACB B .CAB C .CBA D .BCA BCA CA B AC B C BA C AB ABC =====)()()()(. 3.设A 为3阶方阵,B 为4阶方阵,且1||=A ,2||-=B ,则行列式||||A B 之值为( A ) A .8- B .2- C .2 D .8 8||)2(|2|||||3-=-=-=A A A B . 4.????? ??=3332 312322 211312 11a a a a a a a a a A ,????? ??=3332 312322 211312 11333a a a a a a a a a B ,????? ??=100030001P ,??? ? ? ??=100013001Q ,则=B ( B ) A .PA B .AP C .QA D .AQ ????? ??=3332 31 232221 131211 a a a a a a a a a AP ????? ??100030001B a a a a a a a a a =??? ? ? ??=3332312322 211312 11333. 5.已知A 是一个43?矩阵,下列命题中正确的是( C ) A .若矩阵A 中所有3阶子式都为0,则秩(A )=2 B .若A 中存在2阶子式不为0,则秩(A )=2 C .若秩(A )=2,则A 中所有3阶子式都为0 D .若秩(A )=2,则A 中所有2阶子式都不为0 6.下列命题中错误..的是( C ) A .只含有1个零向量的向量组线性相关 B .由3个2维向量组成的向量组线性相关 第一部分选择题(共28分) 一、单项选择题(本大题共14小题,每小题2分,共28分)在每小题列出的四个选项中只有 一个是符合题目要求的,请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式a a a a 1112 2122 =m, a a a a 1311 2321 =n,则行列式 a a a a a a 111213 212223 + + 等于() A. m+n B. -(m+n) C. n-m D. m-n 2.设矩阵A= 100 020 003 ? ? ? ? ? ? ? ,则A-1等于() A. 1 3 00 1 2 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. 100 1 2 00 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? C. 1 3 00 010 00 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? D. 1 2 00 1 3 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.设矩阵A= 312 101 214 - - - ? ? ? ? ? ? ? ,A*是A的伴随矩阵,则A *中位于(1,2)的元素是() A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵,如有矩阵关系式AB=AC,则必有() A. A =0 B. B≠C时A=0 C. A≠0时B=C D. |A|≠0时B=C 5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关,则秩(A T)等于() A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组α1,α2,…,αs和β1,β2,…,βs均线性相关,则() A.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1(α1+β1)+λ2(α2+β2)+…+λs(αs+βs)=0 C.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1(α1-β1)+λ2(α2-β2)+…+λs(αs-βs)=0 D.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs和不全为0的数μ1,μ2,…,μs使λ1α1+λ2α2+…+ λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0 7.设矩阵A的秩为r,则A中() A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为0 8.设Ax=b是一非齐次线性方程组,η1,η2是其任意2个解,则下列结论错误的是() A.η1+η2是Ax=0的一个解 B.1 2η1+1 2 η2是Ax=b的一个解 C.η1-η2是Ax=0的一个解 D.2η1-η2是Ax=b的一个解 9.设n阶方阵A不可逆,则必有() 一、填空题 (共10题,每题2分,共20 分) 1.只于自身合同的矩阵是 矩阵。 2.二次型()()11212237,116x f x x x x x ?? ??= ? ????? 的矩阵为__________________。 3.设A 是实对称矩阵,则当实数t _________________,tE A +是正定矩阵。 4.正交变换在标准正交基下的矩阵为_______________________________。 5.标准正交基下的度量矩阵为_________________________。 6.线性变换可对角化的充要条件为__________________________________。 7.在22P ?中定义线性变换σ为:()a b X X c d σ?? = ??? ,写出σ在基11122122,,,E E E E 下的 矩阵_______________________________。 8.设1V 、2V 都是线性空间V 的子空间,且12V V ?,若12dim dim V V =,则_____________________。 9.叙述维数公式_________________________________________________________________________。 10.向量α在基12,,,n ααα???(1)与基12,,,n βββ???(2)下的坐标分别为x 、y ,且从基(1)到基(2)的过渡矩阵为A ,则x 与y 的关系为_____________________________。 二、判断题 (共10 题,每题1分,共10分) 1.线性变换在不同基下的矩阵是合同的。( ) 2.设σ为n 维线性空间V 上的线性变换,则()1 0V V σσ -+=。 ( ) 3.平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合,对于向量的加法和数量乘法,构成实数域上的线性空间。( ) 4.设1V 与2V 分别是齐次线性方程组120n x x x ++???+=与12n x x x ==???=的解空间,则 12n V V P ⊕= ( ) 5.2 2 11n n i i i i n x x ==??- ??? ∑∑为正定二次型。( ) 6.数域上任意一个矩阵都合同于一对角矩阵。( ) 7.把复数域C 看作复数域上的线性空间,C ξ?∈,令σξξ=,则σ是线性变换。( ) 8.若σ是正交变换,那么σ的不变子空间的真正交补也是σ的不变子空间。( ) 9.欧氏空间中不同基的度量矩阵是相似的。( ) 10.若σ为[]n P x (1n >)中的微分变换,则σ不可对角化。( ) 三、计算题 (共3题,每题10分,共30分) 代数式专项复习 一、知识储备 1. 代数式的定义 2. 单项式的定义、构成和注意事项 3. 多项式的定义、构成和注意事项 4. 求代数式的值的三种题型 5. 整式的定义 6. 同类项的定义 7. 去括号法则 8... 整式的运算法则(加减乘除乘方与混合运算).................... 9. 因式分解的定义和性质 10. 因式分解的常用方法 11. 公因式的定义 12. 因式分解的具体步骤 13. 因式分解的具体要求:幂大中正前,降整整畸形 14. 分式的定义和限制条件 15. 分式的基本性质 16. 分式的约分、通分和使用条件 17. 最简分式的定义 18.... 分式的运算法则(加减乘除乘方..............与混合运算.....). 19. 二次根式的定义和性质 20. 最简二次根式的定义 21. 化简最简二次根式的步骤 22. 同类二次根式的定义 23. 二次根式的基本性质 24.... 二次根式的运算法则(加减乘除乘方与混合运算)...................... 二、经典例题 1. 将下列的代数式分别填入相应的大括号内: 221ab ,b a ,31,2x x +,23312-+-n mn n m ,32-x ,y x +1,3122-+x x ,x x x ++12 单项式{ ...} 多项式{ ...} 二次式{ ...} 整式{ ...} 分式{ ...} 2. 若多项式()23522--+y n y x m 是关于x 、y 的四次二项式,求222n mn m +-的值。 3. 已知当2=x 时,代数式23+-bx ax 的值是-1,则当2-=x 时,这个代数式的值是( ) 4. 化简: (1)()()()()22223225x y y x y x y x -----+-,其中x =1,y =4 3; 代数式求值 经典题型 【编著】黄勇权 经典题型: 1、x+x 1 =3,求代数式 x 2 -2 x 1的值。 2、已知a+b=3ab ,求代数式b 1 a 1+的值。 3、已知 x 2 -5x+1=0,求代数式x 1x +的值。 4、已知x-y=3,求代数式(x+1) 2 -2x+y (y-2x )的值。 5、已知x-y=2,xy=3,求代数式x 2 -xy 6+y 2的值。 6、已知y x =2,则x y -x 的值是多少? 7、若2y 1x 1=+,求代数式:3y xy -3x y 3xy -x ++的值。 8、已知5-x =4y-4-y 2,则代数式2x-3+4y 的值 是多少? 9、化简求值,12x x 1-x 2 ++÷)(1x 2 1+-, 其中x=13- 10、x 2-4x+1=0,求代数式:x 2 +2 x 1 的值。 【答案】 1、x+x 1 =3,求代数式:x 2 -2 x 1的值。 解:x 2 -2 x 1 =(x+x 1)(x-x 1 ) =(x+x 1 )2x 1-x )( =(x+x 1 )2 2x 12x +- =(x+x 1)4x 12x 2 2 -++ =(x+x 1)4x 1x 2 -+)( 将 x+x 1 =3 代入式中 =3×432- =35 2、已知a+b=3ab ,求代数式:b 1 a 1+的值。 解:b 1 a 1+ =ab b a + 将a+b=3ab 代入式中 =3 3、已知x 2 -5x+1=0,求代数式:x 1 x +的值。 解:因x 2 -5x+1=0, 等式两边同时除以x 则有:x 0 x 1x x 5x x 2=+- 化简得:x-5+x 1 =0 把-5移到等号的右边,得: x 1 x +=5 经典例题 类型一.有关概念的识别 1.下面几个数:0.23,1.010010001…,,3π,,,其中,无理数的个 数有() A、1 B、2 C、3 D、4 解析:本题主要考察对无理数概念的理解和应用,其中,1.010010001…,3π,是无理数 故选C 举一反三: 【变式1】下列说法中正确的是() A、的平方根是±3 B、1的立方根是±1 C、=±1 D、是5的平方根的相反数 【答案】本题主要考察平方根、算术平方根、立方根的概念, ∵=9,9的平方根是±3,∴A正确. ∵1的立方根是1,=1,是5的平方根,∴B、C、D都不正确. 【变式2】如图,以数轴的单位长线段为边做一个正方形,以数轴的原点为圆心,正方形对角线长为半径画弧,交数轴正半轴于点A,则点A表示的数是() A、1 B、1.4 C、 D、 【答案】本题考察了数轴上的点与全体实数的一一对应的关系.∵正方形的边长为1,对角线为,由圆的定义知|AO|=,∴A表示数为,故选C. 【变式3】 【答案】∵π= 3.1415…,∴9<3π<10 因此3π-9>0,3π-10<0 ∴ 类型二.计算类型题 2.设,则下列结论正确的是() A. B. C. D. 解析:(估算)因为,所以选B 举一反三: 【变式1】1)1.25的算术平方根是__________;平方根是__________.2)-27立方根是__________. 3) ___________,___________,___________. 【答案】1);.2)-3. 3),, 【变式2】求下列各式中的 (1)(2)(3) 【答案】(1)(2)x=4或x=-2(3)x=-4 类型三.数形结合 3. 点A在数轴上表示的数为,点B在数轴上表示的数为,则A,B两点的距离为______ 解析:在数轴上找到A、B两点, 举一反三: 【变式1】如图,数轴上表示1,的对应点分别为A,B,点B关于点A的对称点为C,则点C 表示的数是(). A.-1 B.1-C.2-D.-2 【答案】选C [变式2]已知实数、、在数轴上的位置如图所示: 化简 【答案】: 类型四.实数绝对值的应用代数式知识点、经典例题、习题及答案
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