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高中数学必修五第三章：不等式专题

《不等式专题》

第一讲：不等式的解法

知识要点：

一、不等式的同解原理：

原理1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得不等式与原不等式是同解不等式；原理2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数或同一个大于零的整式，所得不等式与原不等式是同解不等式；

原理3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数或同一个小于零的整式，并把不等式改变方向后所得不等式与原不等式是同解不等式。

二、一元二次不等式的解法：

一元二次不等式的解集的端点值是对应二次方程的根，是对应二次函数的图像与x 轴交点的横坐标。

二次函数

（）

的图象

有两相异实根

有两相等实根

无实根

注意：

（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根12,x x 是相应的不等式2

0(0)ax bx c a ++>≠的解集的端点的取值，是抛物线2

(0)y ax bx c a =++≠与x 轴的交点的横坐标；

（2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决；

（3）解集分0,0,0?>?=?<三

种情况，得到一元二次不等式2

0(0)ax bx c a ++>≠与20(0)ax bx c a ++<≠的解集。

三、一元高次不等式的解法：

解高次不等式的基本思路是通过因式分解，将它转化成一次或二次因式的乘积的形式，然后利用数轴标根法或列表法解之。

数轴标根法原则：（1）“右、上”（2）“奇过，偶不过”

四、分式不等式的解法：

（1）若能判定分母（子）的符号，则可直接化为整式不等式。（2）若不能判定分母（子）的符号，则可等价转化：

()()()()()

()()()()()()()()()

()()()()000;0.0000;0.0

f x

g x f x f x f x g x g x g x g x f x g x f x f x f x g x g x g x g x ?≥?>??>≥??≠??≤?

（1）

()()()()()()

()

()()()

1; 01f x g x f x g x a a a f x g x a

a f x g x >>?>><

（2）

()()()()()()()()

log log (1)0;log log (01)0a a a a f x g x a f x g x f x g x a f x g x >>?>>><

六、含绝对值不等式的解法：

()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()220;0.

;..

f x a a f x a f x a f x a a a f x a f x

g x f x g x f x g x f x g x g x f x g x f x g x f x g x >>?<-><>?-<<>?<->?>或或对于含有多个绝对值的不等式，利用绝对值的意义，脱去绝对值符号。

典型例题：

【例1】不等式x 2－ax －b <0的解集为{x |20的解集为( )

{}{}23.312

1.213

.32.-<<-???

???-<<-??????<

【例2】(山东7) 不等式2

2(1)x x +-≥的解集是（） A ．132?

?-????

， B ．132??-????， C ．(]11132?????? ，， D ．(]11132??-????

，，

【例3】不等式2

x x +>+的解集为__________.

【例4】解不等式21

139x x x ---??< ???

。

【例5】不等式()

()2113

log 34log 210______.x x x -->+的解集为

【例6】（四川5）不等式2

2x x -<的解集为( )

（Ａ）()1,2- （Ｂ）()1,1- （Ｃ）()2,1- （Ｄ）()2,2-

【例7】不等式(1＋x )(1－|x |)＞0的解集为( ) A ．{x |0≤x ＜1} B ．{x |x ＜0且x ≠－1} C ．{x |－1＜x ＜1} D ．{x |x ＜1且x ≠－1}

【例8】解不等式327x x -++≥

【例9】若关于x 的方程x 2＋ax ＋a 2－1＝0有一正根和一负根，则a 的取值范围为________．

【例10】设a ∈(0,1)，则关于x 的不等式|x －log a x |＜|x |＋|log a x |的解集为( ) A ．(0，a ) B ．(0,1)

C ．(0，＋∞)

D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)

【例11】若关于x 的不等式|x ＋3|＋|x －1|＞a 恒成立，则a 的取值范围是________．

【例12】已知a ∈R ，若关于x 的方程x 2＋x ＋|a －1

4|＋|a |＝0有实根，则a 的取值范围是________．

强化训练：

1．已知集合A ＝{x |x 2－5x ＋6≤0}，集合B ＝{x ||2x －1|>3}，则集合A ∩B 等于( ) A ．{x |2≤x ≤3}

B ．{x |2≤x <3}

C ．{x |2

D ．{x |－1

2.不等式

<的解集为_________. 3．不等式5

x ＋2

≥1的解集为________．

5.不等式2

2150x x -->的解集是___________.

6．若不等式5－x >7|x ＋1|和不等式ax 2＋bx －2>0的解集相同，则实数a ，b 的值为________． 7.不等式3529x ≤-≤的解集是___________. 8.（江西13）不等式224

x x +-≤

的解集为． 9.已知()

log 211,1,1,______.b x a o b a

x -><<>且则的取值范围是

10.若关于x 的不等式21x x a ++-<的解集为?，则实数a 的取值范围是________. 11.若不等式34x x a -+-<有解，则实数a 的取值范围是________.

12. 不等式11x x a -++>对于任意的实数x 总成立，则a 的范围是__________. 13. 不等式10x x a --->对于任意的实数x 总成立，则a 的范围是__________. 14. 不等式31220x x a +-+-+≤对于任意的实数x 总成立，则a 的范围是__________.

答案：1.C,2.{}

01x x x <>或,3.{x |2

55x x x <->或,6.-4、-9,

7. {}

217x x x -≤≤≤≤或4，8. {x |-3≤x ≤1}，9. 112x x ??

，10.3a ≤，11. 1a >，12. 2a < 13. 1a <-，14. 2a ≥.

第二讲：基本不等式

知识要点：

1、基本不等式：若0a >，0b >，则

a b

ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立． 2

a b

+称为正数a 、b 的算术平均数，ab 称为正数a 、b 的几何平均数．变形应用：()2

0,02a b ab a b +??

≤>> ???

，当且仅当a b =时，等号成立．

2、基本不等式推广形式：

如果,a b R +

∈，则222a b +≥2a b +≥ab ≥2

11a b

+，当且仅当a b =时，等号成立．

3、基本不等式的应用：设x 、y 都为正数，则有

⑴若x y s +=（和为定值），则当x y =时，积xy 取得最大值2

s ．

⑵若xy p =（积为定值），则当x y =时，和x y +取得最小值2p ．注意：在应用的时候，必须注意“一正二定三等”三个条件同时成立。

4、常用不等式：

()()2

2222,22 2a b R a b ab ab a b a b ∈+≥≥+≥+若、则；

典型例题：

【例1】设a 、b ∈(0，＋∞)，若a ＋b ＝2，则1a ＋1

的最小值等于( )

A ．1

B ．3

C ．2

D ．4

【例2】设x ，y ∈R ，a ＞1，b ＞1，若a x ＝b y ＝3，a ＋b ＝2 3，则1x ＋1

y 的最大值为( )

A ．2 B.3

C ．1 D.12

【例3】已知a ＞0，b ＞0，则1a ＋1

b ＋2ab 的最小值是( )

A ．2

B ．2 2

C ．4

D ．5

【例4】已知a ＞0，b ＞0，且2b ＋ab ＋a ＝30，则ab 的最大值为________．

【例5】设a ＞b ＞c ，且1a －b ＋1b －c ≥m

a －c 恒成立，则m 的取值范围是________．

【例6】（江苏11）2

,,,230,y x y z R x y z xz

∈-+=的最小值为

【例7】设x ∈R ＋

且x 2

＋y 2

＝1，求x 1＋y 2的最大值．

【例8】已知0x >，0y >，且1x y +=，求 2121x y +++的最大值.

强化训练：

1．（浙江5）0,0a b ≥≥,且2a b +=，则 ( ) （A ）12ab ≤ （B ）12

ab ≥ （C ）222a b +≥ （D ）22

3a b +≤

2．已知a ＞b ＞c ，则(a －b )(b －c )与a －c 2的大小关系是________．

3.求2212sin cos y αα

0,2πα????∈ ??????

?的最小值

4．如果2

1x y +=,则34x y -的最大值是 ( ) A ．3 B ．5

C ．4

D ．5

5．设,x y R +∈ 且

1x y

+=,则x y +的最小值为________.

6. 已知a b a b >>+=0021，，，求t a b

=+11

的最小值。

7．函数4

2++=x x y 的最小值为多少？

8．已知0,0,1a b a b ≥≥+=，则12

a ++2

b 的范围是____________。

答案：1.C,2.

(a －b )(b －c )≤a －c 2,3.322+,4.5,5.16,6. 322+,7.5

,8.11

2222

a b <+

++≤.

不等式专题

第三讲：简单的线性规划问题

知识要点：

1二元一次不等式表示平面区域:

在平面直角坐标系中，已知直线Ax +By +C =0，坐标平面内的点P （x 0，y 0）

B ＞0时，①Ax 0+By 0+

C ＞0，则点P （x 0，y 0）在直线的上方；②Ax 0+By 0+C ＜0，则点P （x 0，y 0）在直线的下方

对于任意的二元一次不等式Ax +By +C ＞0（或＜0），无论B 为正值还是负值，我们都可以把y 项的系数变形为正数

当B ＞0时，①Ax +By +C ＞0表示直线Ax +By +C =0上方的区域；②Ax +By +C ＜0表示直线Ax +By +C =0下方的区域

2线性规划:

求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题

满足线性约束条件的解（x ，y ）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域（类似函数的定义域）；使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题

3.线性规划问题一般用图解法，其步骤如下：

（1）根据题意，设出变量x 、y ；（2）找出线性约束条件；

（3）确定线性目标函数z =f （x ，y ）；

（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）；

（5）利用线性目标函数作平行直线系f （x ，y ）=t （t 为参数）；

（6）观察图形，找到直线f （x ，y ）=t 在可行域上使t 取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案

典型例题：

一、线性目标函数问题

当目标函数是线性关系式如z ax by c =++（0b ≠）时，可把目标函数变形为a z c

y x b b

-=-+

，则

z c

-可看作在y 在轴上的截距，然后平移直线法是解决此类问题的常用方法，通过比较目标函数与线性约束条件直线的斜率来寻找最优解.一般步骤如下： 1.做出可行域;

2.平移目标函数的直线系,根据斜率和截距,求出最优解.

【例1】设变量x y ，满足约束条件142x y x y y --??

+???

≥，≤，≥则目标函数24z x y =+的最大值为

.A 10 .B 12 .C 13 .D 14

二、非线性目标函数问题的解法

当目标函数时非线性函数时，一般要借助目标函数的几何意义，然后根据其几何意义，数形结合，来求其最优解。近年来，在高考中出现了求目标函数是非线性函数的范围问题.这些问题主要考察的是等价转化思想和数形结合思想,出题形式越来越灵活,对考生的能力要求越来越高.常见的有以下几种：（1）比值问题

当目标函数形如y a

z x b

-时,可把z 看作是动点(,)P x y 与定点(,)Q b a 连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ 连线斜率的最值。

【例2】已知变量x ，y 满足约束条件?????x －y ＋2≤0，x ≥1，x ＋y －7≤0，

则 y

的取值范围是（）.

（A ）[95，6] （B ）（－∞，9

5]∪[6，＋∞）

（C ）（－∞，3]∪[6，＋∞）（D ）[3，6]

（2）距离问题

当目标函数形如2

()()z x a y b =-+-时,可把z 看作是动点(,)P x y 与定点(,)Q a b 距离的平方，这样目标函数的最值就转化为PQ 距离平方的最值。

【例3】已知?

????2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0，求x 2＋y 2

的最大值与最小值.

（3）截距问题

【例4】不等式组x+y 0

0x y x a ≥??-≥??≤?

表示的平面区域面积为81，则2

x y +的最小值为_____

（4）向量问题

【例5】已知点P 的坐标（x ，y ）满足：??

???≥-≤+≤+-.

01,2553,

034x y x y x 及A （2，0），则OP OA OA ? 的最大值是 .

三、线性变换问题

【例6】在平面直角坐标系x O y 中，已知平面区域A ＝{（x ，y ）|x ＋y ≤1，且x ≥0，y ≥0}，则平面区域B ＝{（x ＋y ，x －y ）|（x ，y ）∈A }的面积为 .

四、线性规划的逆向问题

【例7】给出平面区域如图所示.若当且仅当x ＝23，y ＝4

时，目标函数z ＝ax －y 取最小值，则实数a 的取值范围是 .

强化训练：

1.原点和点(1,1)在直线0x y a +-=的两侧，则a 的取值范围是

2.（06江苏）设变量,x y 满足约束条件22

11x y x y x y -??

--??+?

≤≥≥，则y x z 32+=的最大值为

3.在平面直角坐标系中，若不等式组101010x y x ax y +-≥??

-≤??-+≥?

（α为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则a

的值为

A. -5

B. 1

C. 2

D. 3

4.已知204025x y x y x y -+??+-??--?

≥≥≤0，则22

1025z x y y =+-+的最小值为

5.已知O 为直角坐标系原点，P ，Q 的坐标均满足不等式组4325022010x y x y x +-≤??

-+≤??-≥?

，则cos POQ ∠的最小值

为

A ．

B ．22

C ．32

D ．1

6.在如图所示的坐标平面的可行域(阴影部分且包括边界)内，目标函数ay x z -=2取得最大值的最优解

有无数个，则a 为

A ．－2

B ．2

C ．－6 D.1

7.若实数x 、y 满足10,

0,2,

x y x x -+≤??

>??≤?

则y x 的取值范围是（）

A.（0，2）

B.（0，2）

C.(2,+∞)

D.[2，+∞)

8．给出平面区域如图所示，其中A （5，3），B （1，1），C （1，5），若使目标函数z =ax +y (a >0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值是（） A ．

B ．21

C ．2

D ．2

高中数学必修5基本不等式知识点总结

高中数学必修５基本不等式知识点总结一．算术平均数与几何平均数１．算术平均数设a 、b 是两个正数，则 2 a b +称为正数a 、b 的算术平均数２．几何平均数 a 、 b 的几何平均数二基本不等式１．基本不等式：若0a >，0b >，则a b +≥，即 2 a b +≥２．基本不等式适用的条件一正：两个数都是正数二定：若x y s +=（和为定值），则当x y =时，积xy 取得最大值2 4 s 若xy p =（积为定值），则当x y =时，和x y +取得最小值三相等：必须有等号成立的条件注：当题目中没有明显的定值时，要会凑定值３．常用的基本不等式（１）()22 2,a b ab a b R +≥∈ （２）()22 ,2 a b ab a b R +≤∈ （３）()20,02a b ab a b +??≤>> ??? （４）()222,22a b a b a b R ++??≥∈ ??? ．三．跟踪训练１．下列各函数中，最小值为2的是 ( ) A ．1y x x =+ B ．1sin sin y x x =+，(0,)2x π∈ C ．2 y = D ．1y x =+ ２．当02x π <<时，函数21cos 28sin ()sin 2x x f x x ++=的最小值是( )。

Ａ. １Ｂ．２Ｃ. ４Ｄ. ３．x ＞０，当x 取什么值，x ＋1x 的值最小？最小值是多少？４．用２０ｃｍ长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应该怎样折？５．一段长为３０ｍ的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花园，墙长１８ｍ，这个矩形的长，宽各为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？６．设0,0x y >>且21x y +=，求11x y +的最小值是多少？７．设矩形ＡＢＣＤ（ＡＢ>ＡＤ）的周长是２４，把?ＡＢＣ沿ＡＣ向?ＡＤＣ折叠，ＡＢ折过去后交ＣＤ与点Ｐ,设ＡＢ=x ，求?ＡＤＰ的面积最大值及相应x 的值

高中数学必修5第三章不等式练习题

高中数学必修5第三章不等式题组训练 [基础训练A 组] 一、选择题（六个小题，每题5分，共30分） 1．若02522>-+-x x ，则221442 -++-x x x 等于（） A ．54-x B ．3- C ．3 D ．x 45- 2．函数y ＝log 2 1（x ＋ 1 1+x ＋1）（x > 1）的最大值是（） A ．－2 B ．2 C ．－3 D ．3 3．不等式x x --213≥1的解集是 ( ) A ．{x| 4 3≤x ≤2} B ．{x| 4 3≤x ＜2} C ．{x|x ＞2或x ≤4 3} D ．{x|x ＜2} 4．设a ＞1＞b ＞－1,则下列不等式中恒成立的是 ( ) A ． b a 11< B ． b a 11> C ．a ＞b 2 D ．a 2＞2b 5．如果实数x,y 满足x 2 ＋y 2 =1,则(1－xy) (1＋xy)有 ( ) A ．最小值21和最大值1 B ．最大值1和最小值 4 3 C ．最小值 4 3而无最大值 D ．最大值1而无最小值 6．二次方程x 2＋(a 2＋1)x ＋a －2=0,有一个根比1大,另一个根比－1小, 则a 的取值范围是 ( ) A ．－3＜a ＜1 B ．－2＜a ＜0 C ．－1＜a ＜0 D ．0＜a ＜2 二、填空题（五个小题，每题6分，共30分） 1．不等式组?? ?->-≥3 2x x 的负整数解是____________________。 2．一个两位数的个位数字比十位数字大2，若这个两位数小于30，则这个两位数为____________________。 3．不等式 0212 <-+x x 的解集是__________________。 4．当=x ___________时，函数)2(2 2x x y -=有最_______值，其值是_________。 5．若f(n)=)(21)(,1)(,12 2 N n n n n n n g n n ∈= -- =-+?,用不等号连结起来为____________.

高中数学必修五第二章数列学案等差数列的前n项和(2)

§2.3 等差数列的前n 项和(2) 主备人：王浩审核人：马琦学习目标 1. 进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式； 2. 了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题； 3. 会利用等差数列通项公式与前 n 项和的公式研究n S 的最大（小）值. 学习过程一、复习回顾 1：等差数列{n a }中， 4a ＝－15，公差d ＝3，求5S . 2：等差数列{n a }中，已知31a =，511a =，求和8S . 二、新课导学 ※ 探究一：如果一个数列{}n a 的前n 项和为2n S pn qn r =++，其中p 、q 、r 为常数，且0p ≠，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？ ※探究二：记等差数列{}n a 的偶数项和为S 偶，奇数项和为S 奇．当项数为2n 时，则有 S S nd -=奇偶；当项数为21n -时，则有n S S a -=奇偶。 ※探究三：当等差数列{}n a 的项数为21n -时，有12-n S = 。 ※ 典型例题例1、已知数列{}n a 的前n 项为212 n S n n =+，求这个数列的通项公式. 这个数列是等差数列

吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？变式：已知数列{}n a 的前n 项为212 343n S n n =++，求这个数列的通项公式. 小结：数列通项n a 和前n 项和n S 关系为 n a =11(1) (2)n n S n S S n -=??-≥?，由此可由n S 求n a . 例2、等差数列{}m a 共有2n 项,其中奇数项的和为90，偶数项的和为72，且 2133n a a -=-，求该数列的公差d 。变式：已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且745 3 n n A n B n +=+，求n n a b 。例2、已知等差数列24 54377，，，....的前n 项和为n S ，求使得n S 最大的序号n 的值. 变式：等差数列{n a }中， 4a ＝－15，公差d ＝3，求数列{n a }的前n 项和n S 的最小值.