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复变函数试题与答案

第一章复数与复变函数

一、

选择题

1．当i

z -+=

11时，5075100z z z ++的值等于（）（A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3

)2(π

+z arc ，6

5)2(π

-z arc ，那么=z （）（A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+-

（D ）i 2

123+- 3．复数)2

(

tan πθπ

θ<<-=i z 的三角表示式是（）（A ）)]2

sin()2

[cos(sec

θπ

θπθ+++i （B ）)]2

3sin()23[cos(sec θπ

θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(sec

θπθπθ+++-i （D ）)]2

sin()2[cos(sec θπ

θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则2

2z z -与z z 2的关系是（）

（A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 22

2=-

（C ）z z z z 22

2≤- （D ）不能比较大小

５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（）

（A ）圆（B ）椭圆（C ）双曲线（D ）抛物线６．一个向量顺时针旋转

，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为

i 31-，则原向量对应的复数是（）

（A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3

７．使得2

z z

=成立的复数z 是（）

（A ）不存在的（B ）唯一的（C ）纯虚数（D ）实数８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（）

（A ）i +-

43 （B ）i +43 （C ）i -4

（D ）i --43 ９．满足不等式

2≤+-i

z i

z 的所有点z 构成的集合是（）（A ）有界区域（B ）无界区域（C ）有界闭区域（D ）无界闭区域 10．方程232=

-+i z 所代表的曲线是（）

（A ）中心为i 32-，半径为2的圆周（B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周（C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周（D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（）（A ）

=+-z z （B ）433=--+z z （C ）

)1(11<=--a az

z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z

12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （）（A ）i 44--（B ）i 44+（C ）i 44-（D ）i 44+- 13．0

Im()Im(lim

0z z z z x x --→（）

（A ）等于i （B ）等于i -（C ）等于0（D ）不存在

14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（）（A ）),(y x u 在),(00y x 处连续（B ）),(y x v 在),(00y x 处连续

（C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续

15．设C z ∈且1=z ，则函数z

z z z f 1

)(2+-=的最小值为（）

（A ）3- （B ）2- （C ）1- （D ）1

二、填空题

1．设)

2)(3()

3)(2)(1(i i i i i z ++--+=

，则=z

2．设)2)(32(i i z +--=，则=z arg

3．设4

3)arg(,5π

-=i z z ，则=z 4．复数2

)

3sin 3(cos )5sin 5(cos θθθθi i -+的指数表示式为 5．以方程i z 1576

-=的根的对应点为顶点的多边形的面积为６．不等式522<++-z z 所表示的区域是曲线的内部

７．方程

1)1(212=----z

i i

z 所表示曲线的直角坐标方程为

８．方程i z i z +-=-+221所表示的曲线是连续点和的线段的垂直平分线９．对于映射z

i =

ω，圆周1)1(2

2=-+y x 的像曲线为 10．=+++→)21(lim 4

1z z i

三、若复数z 满足03)21()21(=+++-+z i z i z z ，试求2+z 的取值范围．四、设0≥a ，在复数集C 中解方程a z z =+22. 五、设复数i z ±≠，试证

+是实数的充要条件为1=z 或0)(=z IM .

六、对于映射)1

(21z

z +=

ω，求出圆周4=z 的像. 七、试证１.

)0(022

≠≥z z z 的充要条件为2121z z z z +=+；２.

)),,2,1,,,0(02

n j k j k z z z j =≠≠≥的充要条件为 n n z z z z z z +++=+++ 2121.

八、若0)(lim 0

≠=→A z f x x ，则存在0>δ，使得当δ<-<00z z 时有A z f 2

1)(>

. 九、设iy x z +=，试证

y x z y x +≤≤+2

十、设iy x z +=，试讨论下列函数的连续性：

1.??

??=≠+=0,00,2)(22z z y x xy

z f

2.??

???=≠+=0,00

,)(223z z y x y x z f .

第二章解析函数

一、选择题：

1．函数2

3)(z z f =在点0=z 处是( )

（A ）解析的（B ）可导的

（C ）不可导的（D ）既不解析也不可导 2．函数)(z f 在点z 可导是)(z f 在点z 解析的( )

（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件

（C ）充分必要条件（D ）既非充分条件也非必要条件 3．下列命题中，正确的是( )

（A ）设y x ,为实数，则1)cos(≤+iy x

（B ）若0z 是函数)(z f 的奇点，则)(z f 在点0z 不可导

（C ）若v u ,在区域D 内满足柯西-黎曼方程，则iv u z f +=)(在D 内解析（D ）若)(z f 在区域D 内解析，则)(z if 在D 内也解析 4．下列函数中，为解析函数的是( )

（A ）xyi y x 222--（B ）xyi x +2

（C ）)2()1(222x x y i y x +-+-（D ）33iy x +

5．函数)Im()(2

z z z f =在

=z 处的导数( )

（A ）等于0 （B ）等于1 （C ）等于1-（D ）不存在

6．若函数)(2)(2

x axy y i y xy x z f -++-+=在复平面内处处解析，那么实常数=a

( )

（A ）0（B ）1（C ）2（D ）2-

7．如果)(z f '在单位圆1

（A ）0（B ）1（C ）1-（D ）任意常数

8．设函数)(z f 在区域D 内有定义，则下列命题中，正确的是

（A ）若)(z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数（B ）若))(Re(z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数（C ）若)(z f 与)(z f 在D 内解析，则)(z f 在D 内是一常数（D ）若)(arg z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数 9．设2

)(iy x z f +=，则=+')1(i f ( )

（A ）2（B ）i 2（C ）i +1（D ）i 22+ 10．i i 的主值为( )

（A ）0（B ）1（C ）2

πe （D ）2

π-

11．z e 在复平面上( )

（A ）无可导点（B ）有可导点，但不解析

（C ）有可导点，且在可导点集上解析（D ）处处解析 12．设z z f sin )(=，则下列命题中，不正确的是( ) （A ）)(z f 在复平面上处处解析（B ）)(z f 以π2为周期

（C ）2

)(iz

iz e e z f --=（D ）)(z f 是无界的

13．设α为任意实数，则α

1( )

（A ）无定义（B ）等于1

（C ）是复数，其实部等于1（D ）是复数，其模等于1 14．下列数中，为实数的是( ) （A ）3

)1(i -（B ）i cos （C ）i ln （D ）i e 2

3π

15．设α是复数，则( )

（A ）αz 在复平面上处处解析（B ）α

z 的模为α

（C ）α

z 一般是多值函数（D ）α

z 的辐角为z 的辐角的α倍二、填空题

1．设i f f +='=1)0(,1)0(，则=-→z

z f z 1

)(lim

2．设iv u z f +=)(在区域D 内是解析的，如果v u +是实常数，那么)(z f 在D 内是 3．导函数x

v i x u z f ??+??=

')(在区域D 内解析的充要条件为

4．设2233)(y ix y x z f ++=，则=+-

')2

23(i f 5．若解析函数iv u z f +=)(的实部22y x u -=，那么=)(z f 6．函数)Re()Im()(z z z z f -=仅在点=z

处可导

7．设z i z z f )1(5

1)(5

+-=

，则方程0)(='z f 的所有根为 8．复数i i 的模为 9．=-)}43Im{ln(i

10．方程01=--z e 的全部解为三、设

),(),()(y x iv y x u z f +=为iy x z +=的解析函数，若记

)2,2()2,2(

),(i z z z z iv i z z z z u z z w -++-+=，则0=??z

．四、试证下列函数在z 平面上解析，并分别求出其导数 1．;sinh sin cosh cos )(y x i y x z f -=

2．);sin cos ()sin cos ()(y ix y y ie y y y x e z f x

++-=

五、设023

=+-z

e zw w ，求2

dz w

d dz dw . 六、设??

???=≠++=0,00

,)()(422z z y x iy x xy z f 试证)(z f 在原点满足柯西-黎曼方程，但却不可导.

七、已知2

y x v u -=-，试确定解析函数iv u z f +=)(. 八、设s 和n 为平面向量，将s

按逆时针方向旋转

即得n .如果iv u z f +=)(为解析函数，

则有

s v n u n v s u ??-=????=??,（s ??

与n

??分别表示沿s ,n 的方向导数）. 九、若函数)(z f 在上半平面内解析，试证函数)(z f 在下半平面内解析. 十、解方程i z i z 4cos sin =+.

第三章复变函数的积分

一、选择题：

1．设c 为从原点沿x y =2至i +1的弧段，则=+?

dz iy x )(2

( )

（A ）

i 6561- （B ）i 6561+- （C ）i 6561-- （D ）i 6

561+ 2．设c 为不经过点1与1-的正向简单闭曲线，则

dz z z z

c ?+-2

)

1)(1(为( ) （A ）

2i π（B ）2

i π-（C ）0 （D ）(A)(B)(C)都有可能 3．设1:1=z c 为负向，3:2=z c 正向，则

=?+=dz z z

c c c 2

12sin ( ) （A ） i π2- （B ）0 （C ）i π2 （D ）i π4 4．设c 为正向圆周2=z ，则

=-?dz z z

)1(cos ( ) （A ）1sin -（B ）1sin （C ）1sin 2i π-（D ）1sin 2i π

5．设c 为正向圆周21

z ，则=

--?dz z z z c

1(21

cos

( ) （A ）)1sin 1cos 3(2-i π（B ）0（C ）1cos 6i π（D ）1sin 2i π-

6．设ξξξξ

d z

e z

f ?=-=4

)(，其中4≠z ，则='）i f π(( ) （A ）i π2-（B ）1-（C ）i π2（D ）1

7．设)(z f 在单连通域B 内处处解析且不为零，c 为B 内任何一条简单闭曲线，则积分

dz z f z f z f z f c

?+'+'')

()

()(2)( ( ) （A ）于i π2（B ）等于i π2-（C ）等于0（D ）不能确定 8．设c 是从0到i 2

1π

的直线段，则积分=?c z dz ze （）

（A ）21e π-

(B) 21e π--(C)i e 21π+

(D) i e 2

1π- 9．设c 为正向圆周0222=-+x y x ，则=-?dz z z c

4sin(2

( ) （A ）

i π22（B ）i π2（C ）0（D ）i π2

- 10．设c 为正向圆周i a i z ≠=-,1，则

=-?c dz i a z

z 2

)

(cos ( ) （A ）ie π2（B ）

π2（C ）0（D ）i i cos 11．设)(z f 在区域D 内解析，c 为D 内任一条正向简单闭曲线，它的内部全属于D ．如果

)(z f 在c 上的值为2，那么对c 内任一点0z ,)(0z f ( )

（A ）等于0 （B ）等于1 （C ）等于2 （D ）不能确定 12．下列命题中，不正确的是( ) （A ）积分

=--r

a z dz a

z 1

的值与半径)0(>r r 的大小无关（B ）

2)(22≤+?c

dz iy x ,其中c 为连接i -到i 的线段（C ）若在区域D 内有)()(z g z f ='，则在D 内)(z g '存在且解析

（D ）若)(z f 在10<

)(z f 在0=z 处解析

13．设c 为任意实常数，那么由调和函数2

2y x u -=确定的解析函数iv u z f +=)(是 ( )

(A)c iz +2（B ）ic iz +2 （C ）c z +2（D ）ic z +2

14．下列命题中，正确的是( )

（A ）设21,v v 在区域D 内均为u 的共轭调和函数，则必有21v v = （B ）解析函数的实部是虚部的共轭调和函数（C ）若iv u z f +=)(在区域D 内解析，则

??为D 内的调和函数（D ）以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数

15．设),(y x v 在区域D 内为),(y x u 的共轭调和函数，则下列函数中为D 内解析函数的是( )

（A ）),(),(y x iu y x v +（B ）),(),(y x iu y x v -

（C ）),(),(y x iv y x u -（D ）x

v i x u ??-??

二、填空题

1．设c 为沿原点0=z 到点i z +=1的直线段，则=?

dz z 2

2．设c 为正向圆周14=-z ，则=-+-?c dz z z z 2

2)4(2

3．设?

=-=2)

2sin()(ξξξξπ

d z

z f ,其中2≠z ，则=')3(f 4．设c 为正向圆周3=z ，则

5．设c 为负向圆周4=z ，则=-?c z

dz i z e 5

)

(π 6．解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的

7．设)(z f 在单连通域B 内连续，且对于B 内任何一条简单闭曲线c 都有0)(=?c

dz z f ，那

么)(z f 在B 内

8．调和函数xy y x =),(?的共轭调和函数为

9．若函数2

),(axy x y x u +=为某一解析函数的虚部，则常数=a

10．设),(y x u 的共轭调和函数为),(y x v ，那么),(y x v 的共轭调和函数为三、计算积分 1.

?=+-R z dz z z z

)

2)(1(62

,其中1,0≠>R R 且2≠R ; 2.

?=++2

422z z z dz

．四、设)(z f 在单连通域B 内解析，且满足)(1)(1B x z f ∈<-.试证１．在B 内处处有0)(≠z f ；

=+?

dz z

２．对于B 内任意一条闭曲线c ，都有

()

(=''?

dz z f z f 五、设)(z f 在圆域R a z <-内解析，若)0()()(max R r r M z f r

a z <<==-，

则),2,1()

(!)()

( =≤

n r

r M n a f

n . 六、求积分?=1

z z

dz z e ，从而证明πθθπθ=?0cos )cos(sin d e . 七、设)(z f 在复平面上处处解析且有界，对于任意给定的两个复数b a ,，试求极限

?=+∞→--R z R dz b z a z z f ))(()

(lim

并由此推证)()(b f a f =（刘维尔Liouville 定理）.

八、设)(z f 在)1(>

?+?+

?+?.

十、若)(2

y x u u +=，试求解析函数iv u z f +=)(.

第四章级数

一、选择题：

1．设),2,1(4

)1( =++-=

n n ni

a n n ，则n n a ∞→lim ( ) （A ）等于0 （B ）等于1 （C ）等于i （D ）不存在

2．下列级数中，条件收敛的级数为( )

（A ）∑∞

=+1)231(n n

i （B ）∑∞

=+1

!)43(n n n i （C ） ∑∞

=1n n n i （D ）∑∞

=++-1

1)1(n n n i

3．下列级数中，绝对收敛的级数为( )

（B ） ∑∞

=+1)1(1n n i

n （B ）∑∞

=+-1

]2)1([n n n i n

(C)∑∞

=2ln n n n i （D ）∑∞

=-1

2)1(n n

n i 4．若幂级数

∑∞

n n n

z c

在i z 21+=处收敛，那么该级数在2=z 处的敛散性为( )

（A ）绝对收敛（B ）条件收敛（C ）发散（D ）不能确定 5．设幂级数

∑∑∞

=-∞=0

,n n n n n

n z

nc z c 和

∑∞

=++01

n n n z n c 的收敛半径分别为321,,R R R ，则321,,R R R 之间的关系是( )

（A ）321R R R << （B ）321R R R >> （C ）321R R R <=（D ）321R R R ==

6．设10<

∑∞

n n n z q 的收敛半径=R ( )

（A ）q （B ）

（C ）0 （D ）∞+ 7．幂级数

∑

∞

(2sin

n n z n n π

的收敛半径=R ( ) （A ） 1（B ）2（C ）2（D ）∞+

8．幂级数∑∞

=++-0

1)1(n n n z n 在1

（A ）)1ln(z +（B ）)1ln(z -

（D ）z +11ln

(D) z

-11

ln 9．设函数z e z cos 的泰勒展开式为∑∞=0n n

n z c ，那么幂级数∑∞=0

n n n z c 的收敛半径=R ( )

（A ）∞+（B ）1（C ）

（D ）π

10．级数

+++++22

1z z z z

的收敛域是( ) （A ）1

11．函数

z 在1-=z 处的泰勒展开式为( ) （A ）

)11()

1()

1(1

<++-∑∞

=-z z n n n n

（B ）)11()1()1(1

1<++-∑∞

=--z z n n n n

（C ）)11()

1(1

<++-

∑∞

=-z z n n n （D ）)11()1(1

<++∑∞

=-z z n n n

12．函数z sin ，在2

z 处的泰勒展开式为( )

（A ）)2

()2()!12()1(01

2+∞<-

-+-∑∞

=+π

z z n n n n

（B ）)2

()2()!

2()1(02+∞<-

--∑∞

=π

z z n n n

（C ）)2

()2()!

12()1(01

21+∞<-

-+-∑∞

=++π

z z n n n n

（D ）)2

()2()!

2()1(021+∞<-

--∑∞

=+π

z z n n n

13．设)(z f 在圆环域201:R z z R H <-<内的洛朗展开式为

∑∞

-∞

=-n n n

z z c

)(0，c 为H 内

绕0z 的任一条正向简单闭曲线，那么

=-?c dz z z z f 20)()

(( )

(A)12-ic π （B ）12ic π （C ）22ic π（D ）)(20z f i 'π

14．若?

??--==-+=

,2,1,4,2,1,0,)1(3n n c n

n n n ，则双边幂级数∑∞-∞=n n n z c 的收敛域为( ) （A ）

41<

+∞<

15．设函数)

4)(1(1

)(++=

z z z z f 在以原点为中心的圆环内的洛朗展开式有m 个，那么=

( )

（A ）1（B ）2 （C ）3（D ）4 二、填空题 1．若幂级数

∑∞

=+0)(n n n

i z c

在i z =处发散，那么该级数在2=z 处的收敛性为．

2．设幂级数∑∞

n n

z c

与∑∞

)][Re(n n n z c 的收敛半径分别为1R 和2R ，那么1R 与2R 之间的关

系是． 3．幂级数

∑∞

=+0

12)

2(n n n

z i 的收敛半径=R

4．设)(z f 在区域D 内解析，0z 为内的一点，d 为0z 到D 的边界上各点的最短距离，那么当d z z <-0时，∑∞

=-=

0)()(n n n

z z c

z f 成立，其中=n c ．

5．函数z arctan 在0=z 处的泰勒展开式为． 6．设幂级数

∑∞

n n

z c

的收敛半径为R ，那么幂级数∑∞

=-0

)12(n n n n z c 的收敛半径为．

7．双边幂级数∑∑∞

=∞

=--+--11

)21()1()2(1)1(n n n n

z z 的收敛域为． 8．函数z

e e 1

+在+∞<

9．设函数z cot 在原点的去心邻域R z <<0内的洛朗展开式为∑∞

-∞

=n n n

z c

，那么该洛朗级数

收敛域的外半径=R ． 10．函数

)

i z z -在+∞<-

三、若函数2

11z z --在0=z 处的泰勒展开式为∑∞

n n

n z a ，则称{}n a 为菲波那契(Fibonacci)数

列，试确定n a 满足的递推关系式，并明确给出n a 的表达式．四、试证明 1．);(11+∞<≤-≤-z e

z e

e z

2．);1()1(1)3(<-≤-≤-z z

e e z e z

五、设函数)(z f 在圆域R z <内解析，∑

k k

k n z k f S 0

)(!

)0(试证 1．)()

(21

)(1

11R r z d z z f i

z S n r

n n n <<--=

+=++?ξξξξξπξ

2．)()()

(2)((1

R r z d z f i

z z S z f r

n n n <<-=-?=++ξξξξπξ）

。

六、设幂级数∑∞

=12

n n

z n 的和函数，并计算∑∞

=12

n n n 之值.

七、设)()(),()(20

R z z b z g R z z a

z f n n n n n

<=<=

∑∑∞

=∞

=，则对任意的)0(1R r r <<，在

2rR z <内

∑=∞

==r

n n n n d z g f i

z b a ξξ

ξξπ)

()(21

。八、设在R z <内解析的函数)(z f 有泰勒展开式 +++++=n n z a z a z a a z f 2210)(

试证当R r <≤0时

∑?

∞

==0

)(21

n n n i r a d re f π

θπ

九、将函数

)

1()

2ln(--z z z 在110<-

十、试证在+∞<

∑∞

=+++=1

01)1

(n n n

n z

z z z c c e

其中),2,1,0(cos 10

cos 2 ==

n d n e c n π

θθ

θπ.

第五章留数

一、选择题： 1．函数

2cot -πz z

在2=-i z 内的奇点个数为 ( )

（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4

2．设函数)(z f 与)(z g 分别以a z =为本性奇点与m 级极点，则a z =为函数)()(z g z f 的( )

（A ）可去奇点（B ）本性奇点

（C ）m 级极点（D ）小于m 级的极点 3．设0=z 为函数

z e

x sin 14

-的m 级极点，那么=m ( ) （A ）5 （B ）4 (C)3 （D ）2 4．1=z 是函数1

sin

)1(--z z 的( ) (A)可去奇点（B ）一级极点（C ）一级零点（D ）本性奇点

5．∞=z 是函数2

23z z z ++的( )

(A)可去奇点（B ）一级极点（C ）二级极点（D ）本性奇点 6．设∑∞

)(n n n z a z f 在R z <内解析，k 为正整数，那么=]0,)

([

Re k z

z f s ( ) （A ）k a （B ）k a k ! （C ）1-k a （D ）1)!1(--k a k

7．设a z =为解析函数)(z f 的m 级零点，那么( ) (A)m （B ）m -（C ） 1-m （D ）)1(--m 8．在下列函数中，0]0),([Re =z f s 的是（）

='],)

()

([

Re a z f z f s

（A ） 2

1)(z e z f z -=（B ）z z z z f 1

sin )(-=

（C ）z z z z f cos sin )(+=

(D) z

e z

f z

11)(--= 9．下列命题中，正确的是( ) （A ）设)()

()(0z z z z f m

?--=，)(z ?在0z 点解析，m 为自然数，则0z 为)(z f 的m 级

极点．

（B ）如果无穷远点∞是函数)(z f 的可去奇点，那么0]),([Re =∞z f s （C ）若0=z 为偶函数)(z f 的一个孤立奇点，则0]0),([Re =z f s （D ）若

0)(=?c

dz z f ，则)(z f 在c 内无奇点

10． =∞],2cos

[Re 3

z s ( ) （A ）3

（B ）32 （C ）i 32

（D ）i 32-

11．=-],[Re 1

i e z s i

z ( )

（A ）i +-

61 （B ）i +-65（C ）i +61 （D ）i +6

12．下列命题中，不正确的是( )

（A ）若)(0∞≠z 是)(z f 的可去奇点或解析点，则0]),([Re 0=z z f s （B ）若)(z P 与)(z Q 在0z 解析，0z 为)(z Q 的一级零点，则)

()(],)()

([Re 000z Q z P z z Q z P s '= （C ）若

0z 为

)(z f 的m 级极点，m n ≥为自然数，则

)]()[(lim !1]),([Re 1000z f z z dz

d n z z f s n n n

x x +→-=

（D ）如果无穷远点∞为)(z f 的一级极点，则0=z 为)1(z

f 的一级极点，并且

(lim ]),([Re 0z

zf z f s z →=∞

13．设1>n 为正整数，则

=-?=2

z n

dz z ( ) (A)0（B ）i π2（C ）

π2（D ）i n π2 14．积分=-?=2

109

1z dz z z ( )

（A ）0 （B ）i π2（C ）10 （D ）

π 15．积分

=?=1

1sin z dz z z ( ) （A ）0 （B ）6

- （C ）3i π- （D ）i π-

二、填空题

1．设0=z 为函数3

3sin z z -的m 级零点，那么=m ．

2．函数z

z f 1cos

1)(=

在其孤立奇点),2,1,0(2

1 ±±=+

k k z k π

π处的留数

=]),([Re k z z f s ．

3．设函数}1

exp{)(2

z z z f +

=，则=]0),([Re z f s

复变函数试题2

第一部分选择题一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分)在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在题后的括号内。 1．复数i 25 8-2516z =的辐角为（） A ． arctan 2 1 B ．-arctan 2 1 C ．π-arctan 2 1 D ．π+arctan 2 1 2．方程1Rez 2=所表示的平面曲线为（） A ．圆 B ．直线 C ．椭圆 D ．双曲线 3．复数)5 ,-isin 5-3(cos z π π=的三角表示式为（） A ．)54isin ,543(cos -ππ＋ B ．)54 isin ,543(cos ππ－ C ．)54isin ,543(cos ππ＋ D ．)5 4 isin ,543(cos -ππ－ 4．设z=cosi ，则（） A ．Imz=0 B ．Rez=π C ．|z|=0 D ．argz=π 5．复数i 3e +对应的点在（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 6．设w=Ln(1-I),则Imw 等于（） A ．4π － B ． 1,0,k ,4 2k ±=ππ－ C ．4 π D ． 1,0,k ,42k ±=+ππ 7．函数2z w =把Z 平面上的扇形区域：2||,03 argz 0<<

复变函数_期末试卷及答案

一、单项选择题(本大题共15小题，每小题2分，共30分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．下列复数中，位于第三象限的复数是（） A. 12i + B. 12i -- C. 12i - D. 12i -+ 2．下列等式中，不成立的等式是（） 3．下列命题中，正确．．的是（） A. 1z >表示圆的内部 B. Re()0z >表示上半平面 C. 0arg 4 z π << 表示角形区域 D. Im()0z <表示上半平面 4．关于0 lim z z z z ω→=+下列命题正确的是（） A.0ω= B. ω不存在 C.1ω=- D. 1ω= 5．下列函数中，在整个复平面上解析的函数是（） 6．在复平面上，下列命题中，正确．．的是（） A. cos z 是有界函数 B. 2 2Lnz Lnz = 7 ．在下列复数中，使得z e i =成立的是（） 8．已知3 1z i =+，则下列正确的是（） 9．积分 ||342z dz z =-??的值为（） A. 8i π B.2 C. 2i π D. 4i π 10．设C 为正向圆周||4z =, 则10()z C e dz z i π-??等于（） A. 1 10! B. 210! i π C. 29! i π D. 29! i π- 11．以下关于级数的命题不正确的是（） A.级数0327n n i ∞ =+?? ?? ?∑是绝对收敛的 B.级数 212 (1)n n i n n ∞ =??+ ?-??∑是收敛的 C. 在收敛圆内，幂级数绝对收敛 D.在收敛圆周上，条件收敛 12．0=z 是函数(1cos ) z e z z -的（） A. 可去奇点 B.一级极点 C.二级极点 D. 三级极点

复变函数试题及答案

1、复数i 212--的指数形式是 2、函数w = z 1将Z S 上的曲线()1122 =+-y x 变成W S (iv u w +=)上的曲线是 3.若01=+z e ,则z ＝ 4、()i i +1= 5、积分()?+--+i dz z 22 22= 6、积分 ?==1sin 21z dz z z i π 7、幂级数()∑∞ =+0 1n n n z i 的收敛半径R= 8、0=z 是函数 z e z 1 11--的奇点 9、=??? ? ??-=1Re 21z e s z z 10、将点∞,i,0分别变成0,i,∞的分式线性变换=w 二、单选题（每小题2分） 1、设α为任意实数，则α1=（） A 无意义 B 等于1 C 是复数其实部等于1 D 是复数其模等于1 2、下列命题正确的是（） A i i 2< B 零的辐角是零 C 仅存在一个数z,使得 z z -=1 D iz z i =1 3、下列命题正确的是（） A 函数()z z f =在z 平面上处处连续 B 如果()a f '存在,那么()z f '在a 解析 C 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛 D 如果v 是u 的共轭调和函数,则u 也是v 的共轭调和函数

4、根式31-的值之一是（） A i 2321- B 2 23i - C 223i +- D i 2321+- 5、下列函数在0=z 的去心邻域内可展成洛朗级数的是（） A z 1sin 1 B z 1cos C z ctg e 1 D Lnz 6、下列积分之值不等于0的是( ) A ? =-12 3z z dz B ? =-1 2 1z z dz C ?=++1242z z z dz D ?=1 cos z z dz 7、函数()z z f arctan =在0=z 处的泰勒展式为（） A ()∑∞ =+-02121n n n n z （z <1） B ()∑∞ =+-0 1221n n n n z （z <1） C ()∑∞ =++-012121n n n n z （z <1） D ()∑∞=-0 221n n n n z （z <1） 8、幂级数n n n z 20 1)1(∑∞ =+-在1w 的分式线性变换是（） A )1(1>--=a z a a z e w i β B )1(1<--=a z a a z e w i β C )1(>--=a a z a z e w i β D )1(<--=a a z a z e w i β 三、判断题（每小题2分）

复变函数试题与答案

第一章复数与复变函数一、选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（）（A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π = -z arc ，那么=z （）（A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+- （D ）i 2 123+- 3．复数)2 ( tan πθπ θ<<-=i z 的三角表示式是（）（A ）)]2 sin()2 [cos(sec θπ θπθ+++i （B ）)]2 3sin()23[cos(sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则2 2z z -与z z 2的关系是（）（A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 22 2=- （C ）z z z z 22 2≤- （D ）不能比较大小５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（）（A ）圆（B ）椭圆（C ）双曲线（D ）抛物线６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为 i 31-，则原向量对应的复数是（）（A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3

７．使得2 2 z z =成立的复数z 是（）（A ）不存在的（B ）唯一的（C ）纯虚数（D ）实数８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（）（A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -4 3 （D ）i --43 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（）（A ）有界区域（B ）无界区域（C ）有界闭区域（D ）无界闭区域 10．方程232= -+i z 所代表的曲线是（）（A ）中心为i 32-，半径为2的圆周（B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周（C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周（D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（）（A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z （C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （）（A ）i 44--（B ）i 44+（C ）i 44-（D ）i 44+- 13．0 0) Im()Im(lim 0z z z z x x --→（）（A ）等于i （B ）等于i -（C ）等于0（D ）不存在 14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（）（A ）),(y x u 在),(00y x 处连续（B ）),(y x v 在),(00y x 处连续（C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续

10-11-1复变函数考试题A 2

2010-2011 第一复变函数与积分变换 (A) 数理学院自动化各专业（答案写在答题纸上，写在试题纸上无效）一、选择题（每小题3分，共18分） 1、设z =1-i ,则Im(21z )=____________. A 、1- B 、2 1- C 、21 D 、1 2、设z=cosi ，则____________. A 、Imz=0 B 、Rez=π C 、|z|=0 D 、argz=π 3、设C 为正向圆周|z|=1，则积分?c z dz ||=____________. A 、0 B 、2πi C 、2π D 、－2π 4、幂极数∑∞ =+1n n z (2n)!1)!n （的收敛半径为____________. A 、0 B 、1 C 、2 D 、＋∞ 5、点z =0是函数) 1(sin )1()(2--=z z z e z f z 的_____________. A 、可去奇点 B 、一阶极点 C 、二阶极点 D 、本性奇点 6、函数? ??><-=0101sgn t t t 在傅氏变换下的像为_____________. A 、ωi -11 B 、 ωi 1 C 、 ωi 2 D 、 ω i +11 课程考试试题学期学年拟题学院（系）: 适用专业:

二、填空题（每小题3分，共21分） 1、当1≤z 时，a z n +的最大值为_____________. 2、i i )1(+为_________. 3、函数) 3)(2()(-+=z z z z f 在1=z 的泰勒展开式的收敛圆域为_____________. 4、若)(z f =ζζζζζd z ?=-+2 353,则()f i ''-=_____________ 5、设)1()(1 -=z e z z f ,则Res[f (z ),0]=__________. 6、已知函数t e 在拉氏变换下的像为才，则t e t 2)1(-在拉氏变换下的像为______. 7、函数z 1=ω把z 平面上的曲线x y =映射成ω平面上的像为 ______. 三、计算题（每小题10分，共50分） 1、试讨论定义于复平面内的函数)Re()(z z z f =在何处可导？何处解析？在可导点求其导函数。 2、求) 2)(1(12)(+-+=z z z z f 在圆环域1

北京大学谭小江复变函数2017春期中考试题

《复变函数》期中试题本试卷共7道大题，满分100分 1.设f(x,y)是(0,0)∈R2=C邻域上关于实变量(x,y)二阶连续可导的函数。用复变量z=x+iy和ˉz=x?iy及其相关的一阶、二阶偏导给出这一函数在z=0邻域上的Taylor展开。（20分） 2.证明复函数(x2+2y)+i(y?3x)不是复变量z=x+iy的解析函数。构造一个尽可能简单地二阶多项式函数p(x,y)+iq(x,y)，使得(x2+2y)+i(y?3x)+p(x,y)+iq(x,y)是复变量z=x+iy不为常数的解析函数。（20分） 3.表述Cauchy定理（不证）。利用Cauchy定理证明解析函数的Cauchy 积分公式。（15分） 4.令D={x+iy|y>0}为上半平面，证明D到自身，并且将i∈D 映到i∈D的解析同胚全体构成的群可以用一个实参数来表示，给出群运算（同胚的复合与同胚的逆）与参数的关系。（15分） 5.(a)给出单位圆盘D(0,1)到上半平面D={x+iy|y>0}的所有解析同胚映射。证明你的结论； (b)证明在这些同胚中，存在唯一的一个同胚f(z)，满足f(0)= i,f′(0)>0。（15分） 6.设D={z|1<|z|<2}为圆环，f(z)是D上的解析函数，证明f(z) 可以分解为f(z)=f1(z)+f2(z)的形式，其中f1(z)和f2(z)分别是圆盘D(0,2)={z||z|<2}和扩充复平面ˉC=C∪{∞}中取区域ˉC?D(0,1)上的解析函数。如果上面分解中要求f (0)=0，问这样 1 的分解是否是唯一的，为什么？（8分） 7.令D={z=x+iy||z|<1,y>0}为单位圆盘的上半部分，设f(z) 是D上解析，D上连续的函数，并且当z=x为实数时，f(z)也是实数。在单位圆盘D(0,1)上定义函数g(z)为：g(z)=f(z)，如果z=x+iy满足y≤0;g(z)=f(ˉz)，如果z=x+iy满足y<0，证明g(z)是单位圆盘D(0,1)上的解析函数（本题的结论如果直接引用定理，请给出定理的证明。证明中用到的其他定理只需表述，不需证明）（7分） (编辑：伏贵荣2017年4月，任课老师：谭小江)

复变函数经典习题及答案

练习题一、选择、填空题 1、下列正确的是（ A ）； A 1212()Arg z z Argz Argz =+； B 1212()arg z z argz argz =+； C 1212()ln z z lnz lnz =+； D 10z Ln Ln Lnz Lnz z ==-=. 2、下列说法不正确的是（ B ）； A 0()w f z z =函数在处连续是0()f z z 在可导的必要非充分条件； B lim 0n n z →∞=是级数1 n n z ∞=∑收敛的充分非必要条件； C 函数()f z 在点0z 处解析是函数()f z 在点0z 处可导的充分非必要条件； D 函数()f z 在区域D 内处处解析是函数()f z 在D 内可导的充要条件. 3、(34)Ln i -+=（ 45[(21)arctan ],0,1,2,3ln i k k π++-=±± ），主值为（ 4 5(arctan )3 ln i π+- ）. 4、2|2|1 cos z i z dz z -=? =（ 0 ）. 5、若幂级数0n n n c z ∞=∑ 在1(1)2z = +处收敛，那么该级数在45 z i =处的敛散性为（绝对收敛）. 6、 311z -的幂级数展开式为（ 30n n z ∞=∑ ），收敛域为（ 1z < ）； 7、 sin z z -在0z =处是（ 3 ）阶的零点； 8、函数221 (1)z z e -在0z =处是（ 4 ）阶的极点；二、计算下列各值 1．3i e π+； 2．tan()4i π -； 3．(23)Ln i -+； 4 ． 5．1i 。解：（略）见教科书中45页例2.11 - 2.13

复变函数测试试题库

复变函数试题库

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《复变函数论》试题库梅一A111 《复变函数》考试试题（一） 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz __________.（n 为自然数） 2. =+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 7.若ξ =∞ →n n z lim ，则= +++∞→n z z z n n (i) 21______________. 8.= )0,(Re n z z e s ________，其中n 为自然数. 9. z z sin 的孤立奇点为________ . 10.若0z 是)(z f 的极点，则___ )(lim 0 =→z f z z . 三.计算题（40分）： 1. 设 )2)(1(1 )(--= z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式. 2. .cos 1 1||?=z dz z 3. 设 ? -++=C d z z f λ λλλ1 73)(2，其中 }3|:|{==z z C ，试求).1('i f + 4. 求复数 11 +-= z z w 的实部与虚部. 四. 证明题.(20分) 1. 函数 )(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内

复变函数试题与答案

复变函数试题与答案 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-

５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（）（A ）圆（B ）椭圆（C ）双曲线（D ）抛物线６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（）（A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 ７．使得2 2z z =成立的复数z 是（）（A ）不存在的（B ）唯一的（C ）纯虚数（D ）实数８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（）（A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -4 3 （D ）i -- 4 3 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（）（A ）有界区域（B ）无界区域（C ）有界闭区域（D ）无界闭区域 10．方程232=-+i z 所代表的曲线是（）

复变函数测试题及答案-精品

第一章复变函数测试题及答案-精品 2020-12-12 【关键字】条件、充分、关系、满足、方向、中心一、选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（）（A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π = -z arc ，那么=z （）（A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+- （D ）i 2 123+- 3．复数)2 (tan πθπ θ<<-=i z 的三角表示式是（）（A ）)]2sin()2[cos( sec θπθπ θ+++i （B ）)]2 3sin()23[cos(sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos( sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（）（A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点) ,(y x 的轨迹是（）（A ）圆（B ）椭圆（C ）双曲线（D ）抛物线６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为

i 31-，则原向量对应的复数是（）（A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 ７．使得2 2 z z =成立的复数z 是（）（A ）不存在的（B ）唯一的（C ）纯虚数（D ）实数８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（）（A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -43 （D ）i --4 3 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（）（A ）有界区域（B ）无界区域（C ）有界闭区域（D ）无界闭区域 10．方程232= -+i z 所代表的曲线是（）（A ）中心为i 32-，半径为2的圆周（B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周（C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周（D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（）（A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z （C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （）（A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 13．0 0) Im()Im(lim 0z z z z x x --→（）（A ）等于i （B ）等于i - （C ）等于0 （D ）不存在 14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（）

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【最新整理，下载后即可编辑】【最新整理，下载后即可编辑】《复变函数论》试题库梅一A111 《复变函数》考试试题（一） 1、 =-?=-1||00)(z z n z z dz __________.（n 为自然数） 2.=+z z 2 2 cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数0 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z n n (i) 21______________. 8.= )0,(Re n z z e s ________，其中 n 为自然数. 9. z z sin 的孤立奇点为________ . 10.若0z 是)(z f 的极点，则___ )(lim 0=→z f z z . 三.计算题（40分）： 1. 设)2)(1(1 )(--= z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式. 2. .cos 1 1||?=z dz z 3. 设 ? -++=C d z z f λ λλλ1 73)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f + 4. 求复数 11 +-= z z w 的实部与虚部. 四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数. 2. 试证 : ()f z =在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值. 《复变函数》考试试题（二）二. 填空题. (20分) 1. 设i z -=，则____,arg __,||===z z z 2.设C iy x z y x i xy x z f ∈+=?+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(lim 1z f i z ________. 3. =-?=-1||0 0)(z z n z z dz _________.（n 为自然数）

复变函数测试题及答案

第一章复数与复变函数一、选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（）（A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（）

（A ）圆（B ）椭圆（C ）双曲线（D ）抛物线６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（）（A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 i （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周（B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周（C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周（D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（）（A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z

（C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （）（A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 0) Im()Im(z z -） 1 1．设) 2)(3() 3)(2)(1(i i i i i z ++--+= ，则=z 2．设)2)(32(i i z +--=，则=z arg 3．设4 3)arg(,5π = -=i z z ，则=z

《复变函数》考试试题

伊犁师范学院数学系考试试题课程：复变函数专业：数学与应用数学年级：考试形式：闭卷编号：一命题教师：一、判断题（4x10=40分）： 1、若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0的某个邻域内可导。（） 2、如果z 0是f (z )的本性奇点，则)(lim 0 z f z z →一定不存在。（） 3、若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续，则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续。( ) 4、cos z 与sin z 在复平面内有界。（） 5、若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点。（） 6、若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件，则f (z )在z 0解析。（） 7、若)(lim 0 z f z z →存在且有限，则z 0是函数的可去奇点。（） 8、若f (z )在单连通区域D 内解析，则对D 内任一简单闭曲线C 都有0)(=? C dz z f 。（） 9、若函数f (z )是单连通区域D 内的解析函数，则它在D 内有任意阶导数。（） 10、若函数f (z )在区域D 内的解析，且在D 内某个圆内恒为常数，则在区域D 内恒等于常数。（）二、填空题（4x5=20分） 1、函数e z 的周期为__________。 2、幂级数∑+∞ =0n n nz 的和函数为__________。 3、设1 1 )(2+= z z f ，则f (z )的定义域为___________。 4、∑+∞ =0 n n nz 的收敛半径为_________。 5、=)0,(Res n z z e _____________。三、计算题（8x5=40分）：

(完整版)复变函数试题库

《复变函数论》试题库梅一A111 《复变函数》考试试题（一） 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz __________.（n 为自然数） 2. =+z z 2 2cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z n n ...lim 21______________. 8.= )0,(Re n z z e s ________，其中n 为自然数. 9. z z sin 的孤立奇点为________ . 10.若0z 是 )(z f 的极点，则___ )(lim 0 =→z f z z . 三.计算题（40分）： 1. 设 )2)(1(1 )(--= z z z f ，求)(z f 在} 1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式. 2. .cos 1 1||?=z dz z 3. 设 ? -++=C d z z f λ λλλ1 73)(2，其中 }3|:|{==z z C ，试求).1('i f + 4. 求复数 11 +-= z z w 的实部与虚部. 四. 证明题.(20分) 1. 函数 )(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在 D 内为常数. 2. 试证 : ()f z = 在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.

复变函数与积分变换期末试题(附有答案)

复变函数与积分变换期末试题一．填空题（每小题3分，共计15分） 1． 2 3 1i -的幅角是（ 2,1,0,23±±=+-k k ππ）；2. )1(i Ln +-的主值是（ i 4 32ln 21π + ）；3. 211)(z z f +=，=)0() 5(f （ 0 ），4．0=z 是 4sin z z z -的（一级）极点；5． z z f 1 )(=，=∞]),([Re z f s （-1 ）；二．选择题（每题3分，共15分） 1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（）；（A ） y x iu u z f +=')(；（B ）y x iu u z f -=')(；（C ） y x iv u z f +=')(；（D ）x y iv u z f +=')(. 2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （），则0d )(=?C z z f ．（A ） 23-z ；（B ）2)1(3--z z ；（C ）2)2()1(3--z z ；（D ）2 ) 2(3 -z . 3．如果级数∑∞ =1 n n n z c 在2=z 点收敛，则级数在（A ）2-=z 点条件收敛；（B ）i z 2=点绝对收敛；

（C ）i z +=1点绝对收敛；（D ）i z 21+=点一定发散．４．下列结论正确的是( ) （A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析； (B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析，则 0)(=? C dz z f （C ）如果 0)(=? C dz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析；（D ）函数 ),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是 ),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数． 5．下列结论不正确的是（）． (A) 的可去奇点；为z 1 sin ∞(B) 的本性奇点；为z sin ∞ (C) ;1sin 1 的孤立奇点为 z ∞(D) .sin 1的孤立奇点为z ∞ 三．按要求完成下列各题（每小题10分，共40分）（1）．设)()(2 2 2 2 y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求 .,,,d c b a 解：因为)(z f 解析，由C-R 条件

第一章复变函数习题及解答

第一章复变函数习题及解答 1.1 写出下列复数的实部、虚部；模和辐角以及辐角的主值；并分别写成代数形式，三角形式和指数形式．(其中,,R αθ为实常数) （1）1-；（2） ππ2(cos isin )33-；（3）1cos isin αα-+；（4）1i e +；（5）i sin R e θ ；（6）i + 答案（1）实部－1；虚部 2；辐角为 4π 2π,0,1,2,3k k +=±±；主辐角为4π 3；原题即为代数形式；三角形式为 4π4π2(cos isin )33+；指数形式为4π i 32e ．（2）略为 5π i 3 5π5π 2[cos sin ], 233i e + （3）略为 i arctan[tan(/2)][2sin()]2c e αα （4）略为 i ;(cos1isin1)ee e + （5）略为：cos(sin )isin(sin )R R θθ+ （6）该复数取两个值略为 i i isin ),arctan(1isin ),πarctan(1θθ θθθθθθ+=+=+ 1.2 计算下列复数 1）() 10 3 i 1+-；2）()3 1i 1+-；答案 1）3512i 512+-；2） ()13π/42k π i 6 3 2e 0,1,2k +=； 1.3计算下列复数（1 （2 答案（1）（2）(/62/3) i n e ππ+ 1.4 已知x 的实部和虚部．

【解】令 i ,(,)p q p q R =+∈，即,p q 为实数域(Real).平方得到 2 2 12()2i x p q xy +=-+，根据复数相等，所以 22 1,(p q pq p x q x ?-=??=??=±==±+ 即实部为 ,x ± 虚部为说明已考虑根式函数是两个值，即为±值． 1.5 如果 ||1,z =试证明对于任何复常数,a b 有| |1 az b bz a +=+ 【证明】因为||1,11/z zz z z =∴=∴=，所以 1() ()1||||| |||||||1()az b az b az b z az b az b z bz a bz a z z bzz az b az b az +++++=====+++++ 1.6 如果复数b a i +是实系数方程 ()011 10=++++=--n n n n a z a z a z a z P 的根，则b a i -一定也是该方程的根．证因为0a ，1a ，… ，n a 均为实数，故00a a =，11a a =，… ，n n a a =．且()() k k z z =，故由共轭复数性质有：()()z P z P =．则由已知()0i ≡+b a P ．两端取共轭得 ()( ) 00i i =≡+=+b a P b a P 即()0i ≡-b a P ．故b a i -也是()0=z P 之根．注此题仅通过共轭的运算的简单性质及实数的共轭为其本身即得证．此结论说明实系数多项式的复零点是成对出现的．这一点在代数学中早已被大家认识．特别地，奇次实系数多项式至少有一个实零点． 1.7 证明： 2222 121212||||2(||||)z z z z z z ++-=+,并说明其几何意义． 1.8 若 (1)(1)n n i i +=-，试求n 的值.

复变函数考试试题与答案各种总结

《复变函数》考试试题（一）一、判断题（20分）： 1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z 0解析. ( ) 2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( ) 3.若 } {n z 收敛，则 } {Re n z 与 } {Im n z 都收敛. ( ) 4.若f(z)在区域D 内解析，且 0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( ) 5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 7.若 ) (lim 0 z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( ) 8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈?≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=? C dz z f . ( ) 10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数.（）二.填空题（20分） 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz __________.（n 为自然数） 2. =+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 7.若ξ =∞ →n n z lim ，则= +++∞→n z z z n n (i) 21______________. = )0,(Re n z z e s ，其中n 为自然数.

复变函数与积分变换期中考试题附答案

得分得分 ?复变函数与积分变换?期中考试题电子信息专业2015年11月题号一二三四五六总分得分一．填空题（每小题3分，共计15分） 1．231i -的幅角是； 2,1,0,23 ±±=+- k k ππ 2.)1(i Ln +-的主值是；i 4 32ln 21π + 3. 211)(z z f +=， =)0()5(f ；0 4．以原点为中心，焦点在实轴上，长半轴短半轴分别为a ，b 的椭圆曲线方程是（用复数形式表示！！！）； z=acost+ibsint t ∈[0,2π] 5． =?+i 11 z)dz z(e^ ；ie^(1+i)=ie(cos1+isin1) 二．选择题（每小题3分，共计15分） 1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（）；B （A ） y x iu u z f +=')(；（B ）y x iu u z f -=')(；（C ） y x iv u z f +=')(；（D ）x y iv u z f +=')(. 2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （），则0d )(=?C z z f ； D （A ） 23-z ；（B ）2 ) 1(3--z z ；（C ）2)2()1(3--z z ；（D ）2)2(3-z .

3．若c 为不经过1与-1的正向曲线，则?+-c dz 1)^2)(z 1（z z 为（）；D （A ）πi/2； (B ）-πi/2；（C ）0； (D)以上的都可能. ４．下列结论正确的是( )；B （A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析； (B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析，则0)(=? C dz z f ；（C ）如果0)(=? C dz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析；（D ）函数 ),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是 ),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数． 5．函数)(z f 在z 点可导是)(z f 在点z 解析的（）．B (A) 充分不必要条件;(B) 必要不充分条件; (C) 充分必要条件;(D) 即不充分也不必要条件. 三．按要求完成下列各题（共计40分）（1）设)()(2 2 2 2 y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求 d c b a ,,,; 解：因为)(z f 解析，由C-R 条件 y v x u ??=?? x v y u ??-=?? y dx ay x 22+=+,22dy cx by ax --=+ ,2,2==d a ，,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c 给出C-R 条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。得分

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