江苏省2019高考数学二轮复习中档题专练六(附答案)

中档题专练(六)

1.在平面直角坐标系xOy中,设锐角α的始边与x轴的非负半轴重合,终边与单位圆交于点P(x1,y1),将射线OP绕坐标原点O按逆时针方向旋转后与单位圆交于点Q(x2,y2),记f(α)=y1+y

2.

(1)求函数f(α)的值域;

(2)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若f(C)=,且a=,c=1,求b.

2.(2018南京、盐城高三年级第二次模拟考试)调查某地居民每年到商场购物次数m与商场面积S、到商场距离d的关系,得到关系式m=k×(k为常数,k>0),如图,某投资者计划在与商场A相距10km 的新区新建商场B,且商场B的面积与商场A的面积之比为λ(0<λ<1).记“每年居民到商场A购物的次数”与“每年居民到商场B购物的次数”分别为m1、m2,称满足m1

(1)已知P与A相距15km,且∠PAB=60°,当λ=时,居住在P点处的居民是否在商场B相对于A的“更强吸引区域”内?请说明理由;

(2)若要使与商场B相距2km以内的区域(含边界)均为商场B相对于A的“更强吸引区域”,求λ

的取值范围.

3.(2018江苏南通模拟)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为

F1、F2,点P(3,1)在椭圆上,△PF1F2的面积为2.

( )①求椭圆C的标准方程;

②若∠F1QF2=,求QF1·QF2的值.

(2)直线y=x+k与椭圆C相交于A,B两点,若以AB为直径的圆经过坐标原点,求实数k的值.

答案精解精析

1.解析(1)由题意得y1=sinα,y2=sin=cosα,

所以f(α)=sinα+cosα=sin,

因为α∈0,所以α+∈,,

故f(α)的值域为(1,].

(2)因为f(C)=sin C=,且易知C∈0,所以C=,

在△ABC中,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC,

即1=2+b2-2 ×b,解得b=1.

2.解析设商场A、B的面积分别为S1km2、S2km2,点P到A、B的距离分别为d1km、d2km, 则S2=λS1(0<λ<1),m1=k,m2=k,k为常数,k>0.

(1)在△PAB中,AB= 0,PA= 5,∠PAB=60°,

由余弦定理,得=PB2=AB2+PA2- AB·PAcos60°= 02+152- × 0× 5×=175.

又=PA2=225,

则m1-m2=k-k=k-k=kS1-,

将λ=,=225,=175代入,得m1-m2=kS1

5-

50

.

因为kS1>0,所以m1>m2,即居住在P点处的居民不在商场B相对于A的“更强吸引区域”内. (2)以A为原点,AB所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(10,0),设

P(x,y),

由m1

代入坐标,得(x-10)2+y2<λ(x2+y2),

化简得(1-λ)x2+(1-λ)y2-20x+100<0,

配方得- 0+y2< 0,所以商场B相对于A的“更强吸引区域”是圆心为C 0,0,半径为

r1= 0km的圆的内部,与商场B相距2km以内的区域(含边界)是以B(10,0)为圆心,r2=2km为半径的圆的内部及圆周.

由题设知圆B内含于圆C,即BC<|r1-r2|.

因为0<λ<1,所以 0-10< 0-2,整理得4λ-5+1<0,

解得

<λ<1.

6

, .

所以,所求λ的取值范围是

6

3.解析( )①由条件可知+=1,c=2,

又a2=b2+c2,所以a2=12,b2=4,

所以椭圆C的标准方程为+=1.

②当∠F1QF2=时,

Q ,

Q Q·Q c)

所以QF1·QF2= 6.

得4x2+6kx+3k2-12=0, (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由

,

则x1+x2=-,x1x2=-,y1y2=-.

因为以AB为直径的圆经过坐标原点,则·=x1x2+y1y2=k2-6=0, 解得k=±6,此时Δ=120>0,满足条件,

因此k=±6.