概率论公式汇总

概率论与数理统计公式大全

第1章 随机事件及其概率 例1.16 设某人从一副扑克中(52张)任取13张，设A 为“至少有一张红桃”，B 为“恰有2张红桃”，C 为“恰有5张方块”，求条件概率P (B |A )，P (B |C )解 13 52 1339 1352135213391)(1)(C C C C C A P A P -=-=-=13 52 11 39 213)(C C C AB P ?=13 39 135211392131352 13 39135213521139 213)() ()(C C C C C C C C C C A P AB P A B P -=-==1352 839 513)(C C C C P =13 52626213513)(C C C C BC P =8 39 6262131352 8395131352626 213513)() ()(C C C C C C C C C C C P BC P C B P === 某种动物出生后活到20岁的概率为0.7，活到25岁的概率为0.56，求现年为20岁的这种动物活到25岁的概率. 解设A 表示事件“活到20岁以上”，B 表示事件“活到25岁以上”，显然A B ?7.0)(=A P 56.0)(=B P 56 .0)()(==B P AB P 8.07 .056 .0)()()(=== A P A B P A B P

例1.21 某工厂生产的产品以100件为一批，假定每一批产品中的次品最多不 超过4件，且具有如下的概率：一批产品中的次品数0 1 2 3 4 概率0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 现进行抽样检验，从每批中随机抽取10件来检验，若发现其中有次品，则认 为该批产品不合格。求一批产品通过检验的概率。4 ()()() k k k P B P A P B A == ∑解设B 表示事件“一批产品通过检验”，A i (i =0,1,2,3,4)表示“一批产品含有i 件次品”，则A 0,A 1, A 2, A 3, A 4组成样本空间的一个划分， 00()0.1,()1 P A P B A ==1099 1110100 ()0.2,()0.900 C P A P B A C ===1098 2210100 ()0.4,()0.809 C P A P B A C ===1097 3310100 ()0.2,()0.727 C P A P B A C ===1096 4410100 ()0.1,()0.652 C P A P B A C ===814.0652 .01.0727.02.0809.04.0900.0.021.0≈?+?+?+?+=顾客买到的一批合格品中，含次品数为0的概率是 0004 ()(|) 0.11(|)0.123 0.814 ()(| ) i i i P A P B A P A B P A P B A =??= = ≈?∑类似可以计算顾客买到的一批合格品中，含次品数为1、2、3、4件的概率分别约 为0.221、0.398、0.179、0.080。 贝叶斯公式(Bayes) 1 ()() ()1,2,,()() k k k n i i i P A P B A P A B k n P A P B A =?= =∑L 第二章 随机变量及其分布 1离散型 随机变量 P(X=x k )=p k ，k=1,2,…， （1）0≥k p ， （2）∑∞ ==1 1 k k p 2连续 型随机变量概 ? ∞-=x dx x f x F )()( (1)0)(≥x f ;(2) ? +∞ ∞ -=1 )(dx x f 。 ()=()F x f x '? =-=≤

概率论与数理统计总复习 公式概念定理

概率论与数理统计总复习 第一章 概率论的基本概念 1. 事件的关系及运算 互不相容事件：AB =Φ 即A,B 不能同时发生。 对立事件：A B =ΩU 且AB =Φ 即A B B ==Ω- 差事件：A B - 即 A 发生但B 不发生的事件 切记： ()A B AB A AB A B B -==-=-U 2. 概率的性质 单 调 性 ： 若 B A ?，则 )()()(A P B P A B P -=- 加法定理：)()()() (AB P B P A P B A P -+=Y )()()()()(AB P C P B P A P C B A P -++=Y Y )()()(ABC P CA P BC P +-- 例1 设 ,,()0.7,()0.4,A C B C P A P A C ??=-= ()0.5P AB =，求()P AB C -。 解：()()()P A C P A P AC -=- ()()P A P C =- （AC C =Q ） 故 ()()()0.70.40.3P C P A P A C =--=-= 由此 ()()()P AB C P AB P ABC -= - ()()P AB P C =- （ABC C =Q ） 0.50.30.2=-=

注：求事件的概率严禁画文氏图说明，一定要用概率的性质 计算。 3. 条件概率与三个重要公式 乘法公式 全概率公式 1()()(/)n i i i P A P B P A B ==∑ 贝叶斯公式（求事后概率） 例2、（10分）盒中有6个新乒乓球，每次比赛从其中任取两个球来用，赛后仍放回盒中，求第三次取得两个新球的概率。 解：设A i ——第2次摸出i 个新球(i =0,1,2), B ——第3次摸出两个新球 ∵ A 0，A 1，A 2构成Ω的一个划分 ∴ 由全概率公式 其中 故 ; )/()()(A B P A P AB P =()(/) (/)() i i i P B P A B P B A P A = 2 ()()(|) k k k P B P A P B A ==∑201102 244224012222 666186(),()()151515C C C C C C P A P A P A C C C ======202002 334242012222 666631 (|)(|)(|)151515 C C C C C C P B A P B A P B A C C C ======4 ()0.16 25 P B ==

概率统计公式大全(复习重点)

第一章随机事件和概率 （1）排列组合公式 )! ( ! n m m P n m- =从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。 )! (! ! n m n m C n m- =从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。 （2）加法和乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。 （3）一些常见排列重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个） 顺序问题 （4）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。 （5）基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质： ①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； ②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用ω来表示。 基本事件的全体，称为试验的样本空间，用Ω表示。 一个事件就是由Ω中的部分点（基本事件ω）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是Ω的子集。 Ω为必然事件，?为不可能事件。 不可能事件（?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。 （6）事件的关系与运算①关系： 如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：B A? 如果同时有B A?，A B?，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。 A、B中至少有一个发生的事件：A B，或者A+B。 属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者B A，它表示A发生而B不发生的事件。 A、B同时发生：A B，或者AB。A B=?，则表示A与B不可能同时发生，称 事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。 Ω-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为A。它表示A不发生的

概率论与数理统计公式定理全总结

第一章 P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB) 特别地，当A 、B 互斥时， P(A+B)=P(A)+P(B) 条件概率公式 概率的乘法公式 全概率公式：从原因计算结果 Bayes 公式：从结果找原因 第二章 二项分布（Bernoulli 分布）——X~B(n,p) 泊松分布——X~P(λ) 概率密度函数 怎样计算概率 均匀分布X~U(a,b) 指数分布X~Exp (θ) 分布函数 对离散型随机变量 对连续型随机变量 分布函数与密度函数的重要关系： 二元随机变量及其边缘分布 分布规律的描述方法 联合密度函数 联合分布函数 联合密度与边缘密度 离散型随机变量的独立性 连续型随机变量的独立性 第三章 数学期望 离散型随机变量，数学期望定义 连续型随机变量，数学期望定义 ● E(a)=a ，其中a 为常数 ● E(a+bX)=a+bE(X)，其中a 、b 为常数 ● E(X+Y)=E(X)+E(Y)，X 、Y 为任意随机变量 随机变量g(X)的数学期望 常用公式 ) () ()|(B P AB P B A P =)|()()(B A P B P AB P =) |()(A B P A P =∑ ==n k k k B A P B P A P 1)|()()(∑ ==n k k k i i k B A P B P B A P B P A B P 1 )|()()|()()|() ,...,1,0()1()(n k p p C k X P k n k k n =-==-，,...) 1,0(! )(== =-k e k k X P k ，λλ 1)(=? +∞ ∞ -dx x f )(b X a P ≤≤?=≤≤b a dx x f b X a P )()() 0(1 )(/≥= -x e x f x θ θ ∑≤==≤=x k k X P x X P x F ) ()()(? ∞ -=≤=x dt t f x X P x F )()()(? ∞ -=≤=x dt t f x X P x F )()()() ,(y x f ),(y x F 0 ),(≥y x f 1),(=?? +∞∞-+∞ ∞ -dxdy y x f 1),(0≤≤y x F },{),(y Y x X P y x F ≤≤=?+∞ ∞ -=dy y x f x f X ),()(?+∞ ∞ -=dx y x f y f Y ),()(} {}{},{j Y P i X P j Y i X P =====) ()(),(y f x f y x f Y X =∑+∞ -∞ =?= k k k P x X E )(? +∞ ∞ -?=dx x f x X E )()(∑ =k k k p x g X g E )())((∑∑=i j ij i p x X E )(dxdy y x xf X E ??=),()() (1 )(b x a a b x f ≤≤-= ) ()('x f x F =

(完整版)概率论基本公式

1、 A B AB A AB;A B A (B A) 例： 证明： A B) B A AB AB A B. 第一部分 概率论基本公 式 概率论与数理统计基本公式 证明： 由(A B) B ，知 B 不发生， A 发生，则 AB 不发生，从而 A B) B A AB 成立，也即 A B 成立，也即 A B 成立。得证。 2、对偶率： A B A B ；A B A B. 3、概率性率： (1) 有限可加： A 1、 A 2为不相容事件，则 P(A 1 A 2) P(A 1) P(A 2) P(A B) P(A ) P(B);P(A) P(B) (3) 对任意两个事件有： P(A B) P(A) P(B) P(AB) 例：已知： P(A) 0.5， P(AB) 0.2，P(B) 0.4.求：(1)P(AB);P(A B); P(A 解： AB AB B,且B 、AB 是不相容事件， P(AB) P(AB) P(B) 即P(AB) 0.2.,又 P(A) 0.5, P(A B) P(A) P(AB) 0.3 P(A B) P(A) P(B) P(AB) 0.7, P( AB) PA B 1 P(A B) 0.3. 4、古典概 P(A B) P(A) P(AB),特别， B A 时有： (2) B); P( AB ) 例： n 双鞋总共 2n 只，分为 n 堆，每堆为 2只，事件 A 每堆自成一双鞋的概率 2n (2-n 2))!！ 2！ ,自成一双为： n! C 22 n 解：分堆法： C 22n n ！，则 P(A) 5、条件概率 P(B| A) P(AB) ,称为在事件 A 条件下，事件 B 的条件概 率， P(A) P(B)称为无条件概率。 乘法公式： P(AB) P(A)P(B |A) P(AB) P(B)P(A |B) 全概率公式：P(B) P(A i )P(B| A i ) i 贝叶斯公式： P(A i |B) P(A i B) P(A i )P(B|A i ) i P(B) P(A j )P(B |A j ) j 例：有三个罐子， 1号装有 2红1黑共 3个球， 2号装有 3红1黑 4个球， 3号装有 2红2

概率论知识点总结及心得体会

概率论总结及心得体会 2008211208班 08211106号 史永涛 班内序号：01 目录 一、前五章总结 第一章随机事件和概率 (1) 第二章随机变量及其分布 (5) 第三章多维随机变量及其分布 (10) 第四章随机变量的数字特征 (13) 第五章极限定理 (18) 二、学习概率论这门课的心得体会 (20) 一、前五章总结 第一章随机事件和概率 第一节：1.、将一切具有下面三个特点：（1）可重复性（2）多结果性（3）不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用E表示。 在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为随机事件，简称为事件。

不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为Ф。 必然事件：在试验中必然出现的事情，记为S或Ω。 2、我们把随机试验的每个基本结果称为样本点，记作e 或ω. 全体 样本点的集合称为样本空间. 样本空间用S或Ω表示. 一个随机事件就是样本空间的一个子集。 基本事件—单点集，复合事件—多点集 一个随机事件发生，当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。 事件间的关系及运算，就是集合间的关系和运算。 3、定义：事件的包含与相等 若事件A发生必然导致事件B发生，则称B包含A，记为B?A 或A?B。 若A?B且A?B则称事件A与事件B相等，记为A＝B。 定义：和事件 “事件A与事件B至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件 A与事件B的和事件。记为A∪B。用集合表示为: A∪B={e|e∈A，或e∈B}。 定义：积事件 称事件“事件A与事件B都发生”为A与B的积事件，记为A∩ B或AB，用集合表示为AB={e|e∈A且e∈B}。 定义：差事件 称“事件A发生而事件B不发生,这一事件为事件A与事件B的差 事件,记为A－B,用集合表示为 A-B={e|e∈A，e?B} 。

概率论知识点总结

概率论知识点总结 基本概念随机实验：将一切具有下面三个特点：（1）可重复性（2）多结果性（3）不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用 E 表示。随机事件：在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为随机事件，简称为事件。不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为Ф。 必然事件：在试验中必然出现的事情，记为Ω。 样本点：随机试验的每个基本结果称为样本点，记作ω、样本空间：所有样本点组成的集合称为样本空间、样本空间用Ω表示、一个随机事件就是样本空间的一个子集。基本事件多点集一个随机事件发生，当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。事件的关系与运算（就是集合的关系和运算）包含关系：若事件A 发生必然导致事件B发生，则称B包含A，记为或。 相等关系：若且，则称事件A与事件B相等，记为A＝B。事件的和：“事件A与事件B至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件A与事件B的和事件。记为A∪B。事件的积：称事件“事件A与事件B都发生”为A与B的积事件，记为A∩ B或AB。事件的差：称事件“事件A发生而事件B不发生”为事件A 与事件B的差事件,记为 A－B。用交并补可以表示为。互斥事件：如果A，B两事件不能同时发生，即AB＝Φ，则称事件A与事件B是互不相容事件或互斥事件。互斥时可记为A＋B。对立事

件：称事件“A不发生”为事件A的对立事件（逆事件），记为。对立事件的性质：。事件运算律：设A，B，C为事件，则有（1）交换律：A∪B=B∪A，AB=BA（2）结合律： A∪(B∪C)=(A∪B)∪C=A∪B∪C A(BC)=(AB)C=ABC（3）分配律：A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C) A(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)= AB∪AC（4）对偶律（摩根律）： 第二节事件的概率概率的公理化体系：（1）非负性： P(A)≥0；（2）规范性：P(Ω)＝1（3）可数可加性：两两不相容时概率的性质：（1）P(Φ)＝0（2）有限可加性：两两不相容时当AB=Φ时P(A∪B)＝P(A)＋P(B)（3）（4）P(A－B)＝P(A)－ P(AB)（5）P（A∪B）＝P(A)＋P(B)－P(AB)第三节古典概率模型 1、设试验E是古典概型, 其样本空间Ω由n个样本点组成,事件A由k个样本点组成、则定义事件A的概率为 2、几何概率：设事件A是Ω的某个区域，它的面积为 μ(A)，则向区域Ω上随机投掷一点，该点落在区域 A 的概率为假如样本空间Ω可用一线段，或空间中某个区域表示，则事件A 的概率仍可用上式确定，只不过把μ理解为长度或体积即可、第四节条件概率条件概率：在事件B发生的条件下，事件A发生的概率称为条件概率，记作 P(A|B)、乘法公式：P(AB)=P(B)P(A|B)＝P(A)P(B|A)全概率公式：设是一个完备事件组，则

第一章 概率论的基本概念练习题及答案

第一章 概率论的基本概念练习题 1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。 2. 在掷两颗骰子的试验中，事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件 D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。 3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用C B A ,,表示以下事件： （1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报； （3）只订一种报； （4）正好订两种报； （5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报； （7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅； （9）三种报纸不全订阅。 《 4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果：2A , 32A A +, 21A A , 21A A +, 321A A A , 313221A A A A A A ++. 5. 设事件C B A ,,满足Φ≠ABC ，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和： C B A ++，C AB +，AC B -. 6. 若事件C B A ,,满足C B C A +=+，试问B A =是否成立举例说明。 7. 对于事件C B A ,,，试问C B A C B A +-=--)()(是否成立举例说明。 8. 设 31)(=A P ，21 )(=B P ，试就以下三种情况分别求)(A B P ： （1）Φ=AB ， （2）B A ?， （3） 81 )(=AB P . 9. 已知41)()()(===C P B P A P ，161)()(==BC P AC P ，0 )(=AB P 求事件C B A ,,全 不发生的概率。 10. 每个路口有红、绿、黄三色指示灯，假设各色灯的开闭是等可能的。一个人骑车经过三个路口，试求下列事件的概率：=A “三个都是红灯”=“全红”； =B “全绿”； =C “全黄”； =D “无红”； =E “无绿”； =F “三次颜色相同”； =G “颜色全不相同”； =H “颜色不全相同”。 11. 设一批产品共100件，其中98件正品，2件次品，从中任意抽取3件（分三种情况：一次拿3件；每次拿1件，取后放回拿3次；每次拿1件，取后不放回拿3次），试求： （1） （1）取出的3件中恰有1件是次品的概率； （2） … （3） （2）取出的3件中至少有1件是次品的概率。 12. 从9,,2,1,0 中任意选出3个不同的数字，试求下列事件的概率： {}501与三个数字中不含=A ，{}502或三个数字中不含=A 。 13. 从9,,2,1,0 中任意选出4个不同的数字，计算它们能组成一个4位偶数的概率。 14. 一个宿舍中住有6位同学，计算下列事件的概率：

概率计算公式

概率计算公式 加法法则 P(A ∪ B)=P(A)+P(B) －P(AB 条件概率 当P(A)>0 ，P(B|A)=P(AB)/P(A) 乘法公式 P(AB)=P(A)×P(B|A)=P(B)P(A|B)× 计算方法 “排列组合”的方法计算 记法 P(A)=A 加法法则 定理 :设 A 、 B 是互不相容事件(AB=φ)， P(AB)=0. 则 P(A ∪ B)=P(A)+P(B)-P(AB)=p(A)+P(B) 推论 1:设 A1 、 A2 、?、 An 互不相容，则:P(A1+A2+...+ An)= P(A1) +P(A2) +?+P(An)推论 2:设 A1 、 A2 、?、 An 构成完备事件组，则:P(A1+A2+...+An)=1 推论 3: P(A)=1-P(A') 推论 4:若 B 包含 A ，则 P(B-A)= P(B)-P(A) 推论 5(广义加法公式): 对任意两个事件 A 与 B，有 P(A∪ B)=P(A)+P(B)-P(AB) 折叠条件概率 条件概率 :已知事件 B 出现的条件下 A 出现的概率，称为条件概率，记作:P(A|B) 条件概率计算公式: 当P(A)>0 ，P(B|A)=P(AB)/P(A) 当P(B)>0 ，P(A|B)=P(AB)/P(B) 折叠乘法公式 P(AB)=P(A)×P(B|A)=P(B)P(A|B)× 推广 :P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB) 折叠全概率公式 设: 若事件 A1 ， A2 ，?， An 互不相容，且 A1+A2+?+An=Ω，则称 A1 ，A2 ，?， An 构成一个完备事件组。 全概率公式的形式如下 : 以上公式就被称为全概率公式。

概率论的基本概念

概率论的基本概念 1.1 随机试验 1.随机现象在一定条件下具有多个可能的结果，个别几次观察中结果呈现出随机性（不确定性），在大量重复观察中结果又呈现出固有的客观规律性的自然现象称为随机现象. 随机现象的三大特点： （1）在一定条件下具有多个可能的结果，所有可能的结果已知； （2）在一次观察中，结果呈现出随机性，不能确定哪一个结果将会出现； （3）在大量的重复观察（相同条件下的观察）中，结果的出现又呈现出固有的客观规律性. 2.随机试验具有以下几个特点的实验称为随机实验，常用E 来表示 1）可以在相同的条件下重复进行； 2）试验的结果不止一个，并且能事先明确试验所有可能的结果； 3）进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现. 注：随机试验即可在相同条件下重复进行的针对随机现象的试验.

1.2 样本空间与随机事件 1. 样本空间与随机事件的概念 1) 样本空间 随机试验E的所有可能结果E的样本空间，记为S. 样本空间的元素，即E的每个结果，称为样本点. 样本空间依据样本点数可分为以下三类 （1）有限样本空间：样本空间中样本点数是有限的； （2）无限可列样本空间：样本空间中具有可列无穷多个样本点； （3）无限不可列样本空间：样本空间中具有不可列无穷多个样本点. 2) 随机事件一般，称随机试验E的样本空间S的任何一个子集为E的随机事件，简称为事件. 在一次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生. 注：（1）：随机事件在一次试验中可能发生，也可能不发生； （2）：由一个样本点构成的单点集，称为基本事件； （3）：样本空间S是必然事件，空集 是不可能事件，它们两个发生与否不具有随机性，为了方便将它们两个也称为随机事件。

《概率统计》公式符号汇总表及复习策略

《概率统计》公式、符号汇总表及各章要点及复习策略 （共4页） 第一章均独立。 与与与此时独立与B A B A B A B P A P AB P B A B P AB P B A P ,,);()()( )()()( (1)?=?= )() ()()( ) ()()()()( )3() (1)( ) ()( A B )()()( ) ()()()()( ) ()()()( )2(11A P B P B A P A B P B P B A P B P B A P A P A P A P B P A P AB P A P B A P A P A B P B P B A P AB P AB P B P A P B A P i i i n n ?=?++?=-=-?-=-?=?=-+= 第二、三章 一维随机变量及分布：X ， i P ， )(x f X ， )(x F X 二维随机变量及分布：),(Y X ， ij P ， ),(y x f ， ),(y x F *注意分布的非负性、规范性 （1）边缘分布：如：∑=j ij i p P ，?+∞ ∞-=dy y x f x f X ),()( （2）独立关系：J I IJ P P P Y X =?独立与 或)()()(y f x f y x f Y X =， ),,(11n X X 与),,(21n Y Y 独立),,(11n X X f ?与),,(21n Y Y g 独立 （3）随机变量函数的分布（离散型用点点对应法、连续型用分布函数法） 一维问题：已知X 的分布以及)(X g Y =，求Y 的分布 二维问题：已知),(Y X 的分布，求Y X Z +=、{}Y X M ,m ax =、{}Y X N ,m in =的分布- *??+∞∞-+∞ ∞--=-=dy y y z f dx x z x f z f Z ),(),()( M 、N 的分布--------离散型用点点对应法、连续型用分布函数法 第四章 （1）期望定义：离散：∑= i i i p x X E )( 连续：? ??+∞∞-+∞∞-+∞ ∞-==dxdy y x xf dx x xf X E ),()()( 方差定义：)()(]))([()(222X E X E X E X E X D -=-= 离散：∑-= i i i p X E x X D 2))(()( 连续：?+∞ ∞--=dx x f X E x X D X )())(()(2 协方差定义：)()()())]())(([(),(Y E X E XY E Y E Y X E X E V X COV -=--=

概率论的基本概念

第一章概率论的基本概念 第一节随机事件、频率与概率 一、教学目的： 1.通过本节起始课序言简介,使学生初步了解概率论简史、特色，从 而引导学生了解本课程概况及学习本课程的思想方法 2.通过本次课教学，使学生理解随机事件概念、频率与概率的概念， 了解随机试验、样本空间的概念，掌握事件的关系和运算，掌握 概率的基本性质及其运算 二、教学重点：概率的概念 三、教学难点：事件关系的分析与运算 四、教学内容： 1.序言：⑴简史⑵学法 2.§1.随机试验: ⑴实例⑵确定性现象⑶随机现象 3.§2.样本空间、随机事件: ⑴样本空间⑵随机事件⑶事件关系 与运算 4.§3. 频率与概率⑴频率定义、性质⑵概率定义、性质 五、小结： 六、布置作业： 标准化作业第一章题目 第二节古典概型、条件概率 一、教学目的： 通过本节教学使学生了解古典概型的定义，理解条件概率的概念，并能够解决一些古典概型、条件概率的有关实际问题． 二、教学重点：古典概率、条件概率计算 三、教学难点：古典概型与条件概率分析与建模 四、教学内容： 1.§４.古典概型 2.§５.条件概率（一） 五、小结： 六、布置作业： 标准化作业第一章题目 第三节乘法公式、全概率公式、Bayes公式、独立性 一、教学目的： 1.通过本节教学使学生在理解条件概率概念的基础上,掌握乘法公

式、全概率公式、Bayes公式以及能够运用这些公式进行概率计算。 2.理解事件独立性概念，掌握用独立性概念进行计算． 二、教学重点： 1.乘法公式及其使用 2.独立性概念及其应用 三、教学难点：应用公式分析与建模 四、教学内容： １.§５.条件概率（二、三）２.§６.独立性 五、小结： 六、布置作业： 标准化作业第一章题目 第四节习题课 一、教学目的： 通过本习题课教学使学生全面系统对概率论的基本概念进一步深化，同时熟练掌握本章习题类型，从而提高学生的分析问题与解决问题的能力． 二、教学重点： 1.知识内容系统化 2.几类问题解决方法 三、教学难点：实际问题转化为相应的数学模型 四、教学内容： 1.本章知识内容体系归纳 2.习题类型： ⑴古典概型计算 ⑵事件关系与运算 ⑶条件概率计算 ⑷乘法公式、全概率公式、Bayes公式使用与计算． ⑸独立性问题的计算 五、讲练习题 第二章随机变量及其分布 第一节随机变量、离散型随机变量的概率分布 一、教学目的： 通过本节教学使学生理解随机变量的概念，理解离散型随机变量的分布及其性质，掌握二项分布、泊松分布，并会计算有关事件的概率及其分布．

大学概率论与数理统计公式全集

大学概率论与数理统计公式全集 一、随机事件和概率 1、随机事件及其概率 运算律名称 表达式 交换律 A B B A +=+ BA AB = 结合律 C B A C B A C B A ++=++=++)()( ABC BC A C AB ==)()( 分配律 AC AB C B A ±=±)( ) )(()(C A B A BC A ++=+ 德摩根律 B A B A =+ B A A B += 2、概率的定义及其计算 公式名称 公式表达式 求逆公式 ) (1)(A P A P -= 加法公式 ) ()()()(AB P B P A P B A P -+=+ 条件概率公式 ) () ()(A P AB P A B P = 乘法公式 ) ()()(A B P A P AB P = )()()(B A P B P AB P = 全概率公式 ∑== n i i i A B P A P B P 1 )()()( 贝叶斯公式 （逆概率公式） ∑∞ == 1 ) ()() ()()(i i j j j j A B P A P A B P A P B A P 伯努利概型公式 n k p p C k P k n k k n n ,1,0,)1()(=-=- 两件事件相互独立相 应公式 ) ()()(B P A P AB P =；)()(B P A B P =；)()(A B P A B P =；1)()(=+A B P A B P ； 1)()(=+A B P A B P

二、随机变量及其分布 1、分布函数性质 )()(b F b X P =≤ )()()(a F b F b X a P -=≤< 2、离散型随机变量 分布名称 分布律 0–1分布),1(p B 1 ,0,)1()(1=-==-k p p k X P k k 二项分布),(p n B n k p p C k X P k n k k n ,,1,0,)1()( =-==- 泊松分布)(λP ,2,1,0,! )(===-k k e k X P k λλ 几何分布)(p G ,2,1,0, )1()(1=-==-k p p k X P k 超几何分布),,(n M N H ) ,min(,,1,,)(M n l l k C C C k X P n N k n M N k M +== =-- 3、连续型随机变量 分布名称 密度函数 分布函数 均匀分布),(b a U ?? ???<<-=其他,0,1 )(b x a a b x f ?? ? ????≥<≤--<=b x b x a a b a x a x x F ,1,,0)( 指数分布)(λE ???? ?>=-其他, 00 ,)(x e x f x λλ ? ??≥-<=-0,10, 0)(x e x x F x λ 正态分布),(2σμN +∞<<∞-= -- x e x f x 2 2 2)(21)(σμσ π ?∞ --- = x t t e x F d 21 )(2 22)(σμσπ 标准正态分布)1,0(N +∞<<∞-=- x e x x 2 221)(π ? ?∞ --- = x t t e x F d 21)(2 22)(σμσπ

概率论基本公式

概率论基本公式 Document number：PBGCG-0857-BTDO-0089-PTT1998

概率论与数理统计基本公式 第一部分概率论基本公式 1、)(;A B A B A AB A B A B A -?=?-==-- 例：证明： 2、对偶率：.- - - - ?=??=?B A B A B A B A ； 3、概率性率： (1) )()()(212121A P A P A A P A A +=?为不相容事件，则、有限可加：(2 ) ) ()();()()(),()()(B P A P B P A P B A P A B AB P A P B A P ≥-=-?-=-时有： 特别， （3）)()()()(AB P B P A P B A P -+=?对任意两个事件有： 4、古典概型 5、条件概率 例：有三个罐子，1号装有2红1黑共3个球，2号装有3红1黑4个球，3号装有2红2黑4个球，某人随机从其中一罐，再从该罐中任取一个球，（1）求取得红球的概率；（2）如果取得是红球，那么是从第一个罐中取出的概率为多少 . 348.0) () ()|()|()2(. 639.0)(3 1 )()()(.2 1 )|(;43)|(;32)|()|()()(}{3,2,1i }{)1(111321321i i 321≈=≈∴====== ====∑A P B P B A P A B P A P B P B P B P B A P B A P B A P A B P A P B P B B B A i B i i 由贝叶斯公式：，，依题意，有：由全概率公式是一个完备事件、、，由题知取得是红球。，号罐球取自设解：6、独立事件

概率论概念术语中英对照

概率论与数理统计重要数学概念英汉对照 Chapter 2 Sample Space：样本空间 Random event: 随机事件 Simple event:; 基本事件 Independent : 独立 Dependent: 不独立 Mutually exclusive or disjoint : 互斥，互不相容 Axiom: 公理 Union: 并 Intersection: 交 Complement: 补 The law of Total Probability: 全概率公式 Bayes’ Theorem: 贝叶斯原理 Chapter 3 Discrete random variable (rv) : 离散型随机变量 Continuous random variable : 连续型随机变量 Probability distribution : 概率分布 Parameter: 参数 Family of probability distribution: 分布族

Probability mass function (pmf): 概率质量函数 Cumulative distribution function (cdf) : 累积分布函数（分布函数）Step function: 阶梯函数 Expected value: 期望 Variance: 方差 Standard deviation: 标准差 Binomial distribution: 二项分布 Hypergeometric distribution: 超几何分布 Negative binomial distribution: 负二项分布 Geometric distribution: 几何分布 Poisson distribution: 泊松分布 Chapter 4 Probability density function(pdf): 概率密度函数 Uniform distribution: 均匀分布 Percentile of a continuous distribution: 连续型分布的百分位数Normal distribution: 正态分布 Probability Plots: 概率图 Sample percentiles: 样本百分位数 Chapter 5 Joint probability mass function: 联合概率（质量）函数

概率论公式总结

概率论公式总结 This manuscript was revised by the office on December 10, 2020.

第一章 P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB) 特别地，当A 、B 互斥时， P(A+B)=P(A)+P(B) 条件概率公式 概率的乘法公式 全概率公式：从原因计算结果 Bayes 公式：从结果找原因 第二章 二项分布（Bernoulli 分布）——X~B(n,p) 泊松分布——X~P(λ) 概率密度函数 怎样计算概率 均匀分布X~U(a,b) 指数分布X~Exp (θ) 分布函数 对离散型随机 变量 对连续型随机变量 分布函数与密度函数的重要关系： 二元随机变量及其边缘分布 分布规律的描述方法 联合密度 函数 联合分布函数 联合密度与边缘密度 )(b X a P ≤≤∑≤==≤=x k k X P x X P x F )()()(?∞-=≤=x dt t f x X P x F )()()(),(y x f ),(y x F 1),(0≤≤y x F

离散型随机变量的独立性 连续型随机变量的独立性 第三章 数学期望 离散型随机变量，数学期望定义 连续型随机变量，数学期望定义 E(a)=a ，其中a 为常数 E(a+bX)=a+bE(X)，其中a 、b 为常数 E(X+Y)=E(X)+E(Y)，X 、Y 为任意随机变量 随机变量g(X)的数学期望 常用公式 方差 定义式 常用计算 式 常用公式 当X 、Y 相互独立时： 方差的性质 D(a)=0，其中a 为常数 D(a+bX)=b2D(X)，其中a 、b 为常数 当X 、Y 相互独立时，D(X+Y)=D(X)+D(Y) 协方差与相关系数 协方差的性质 独立与相关 独立必定不相关 ∑+∞-∞=?=k k k P x X E )([]22)()()(X E X E X D -=

概率论核心概念及公式(全)

《概率论与数理统计》核心公式第1章随机事件及其概率 （1）排列组合公式 )! ( ! n m m P n m- =从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。 )! (! ! n m n m C n m- =从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。 （2）加法和乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。 （3）一些常见排列重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个） 顺序问题 （4）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。 试验的可能结果称为随机事件。 （5）基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质： ①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； ②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用ω来表示。 基本事件的全体，称为试验的样本空间，用Ω表示。 一个事件就是由Ω中的部分点（基本事件ω）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是Ω的子集。 Ω为必然事件，?为不可能事件。 不可能事件（?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。 （6）事件的关系与运算①关系： 如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：B A? 如果同时有B A?，A B?，则称事件A与事件B等价，或称A等于B： A=B。 A、B中至少有一个发生的事件：A B，或者A+B。 属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者B A，它表示A发生而B不发生的事件。 A、B同时发生：A B，或者AB。A B=?，则表示A与B不可能同时发生，称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。 -A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为。它表示A不发生的事件。互斥未必对立。 ②运算： 结合率：A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C 分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC) ΩA

《概率统计》公式、符号汇总表

《概率统计》公式、符号汇总表及各章要点 （共3页） 第一章 均独立。 与与与此时独立与B A B A B A B P A P AB P B A B P AB P B A P ,,);()()( ) ()()( (1)?=?= ) () ()()( )()()()()( )3() (1)( )()( A B )()()( )()()()()( )()()()( )2(11A P B P B A P A B P B P B A P B P B A P A P A P A P B P A P AB P A P B A P A P A B P B P B A P AB P AB P B P A P B A P i i i n n ?= ?++?=-=-?-=-?=?=-+= 第二、三章 一维随机变量及分布：X ， i P ， )(x f X ， )(x F X 二维随机变量及分布：),(Y X ， ij P ， ),(y x f ， ),(y x F *注意分布的非负性、规范性 （1）边缘分布：∑ = j ij i p P ，? +∞ ∞ -= dy y x f x f X ),()( （2）独立关系：J I IJ P P P Y X =?独立与 或)()()(y f x f y x f Y X =， ),,(1 1n X X 与),,(21n Y Y 独立),,(1 1n X X f ?与),,(21n Y Y g 独立 （3）随机变量函数的分布（离散型用列表法） 一维问题：已知X 的分布以及)(X g Y =，求Y 的分布-------连续型用分布函数法 二维问题：已知),(Y X 的分布，求Y X Z +=、{}Y X M ,max =、{}Y X N ,min =的分布- ? ? +∞ ∞ -+∞ ∞ --=-= dy y y z f dx x z x f z f Z ),(),()( M 、N 的分布---------连续型用分布函数法 第四章 （1）期望定义：离散：∑= i i i p x X E )( 连续：?? ? +∞∞ -+∞ ∞-+∞ ∞ -= = dxdy y x xf dx x xf X E ),()()( 方差定义：)()(]))([()(2 2 2 X E X E X E X E X D -=-= 离散：∑-=i i i p X E x X D 2 ))(()( 连续：? +∞ ∞ --= dx x f X E x X D X )())(()(2