函数部分高考数学必胜秘诀在哪？

函数部分高考数学必胜秘诀在哪？

概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结

一、映射f : A →B 的概念。

在理解映射概念时要注意：

⑴ A 中元素必须都有象且唯一；⑵B 中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。

例1、设:f M N →是集合M 到N 的映射，下列说法正确的是

A 、M 中每一个元素在N 中必有象

B 、N 中每一个元素在M 中必有原象

C 、N 中每一个元素在M 中的原象是唯一的

D 、N 是M 中所在元素的象的集合；

例2、点),(b a 在映射f 作用下的象是),(b a b a +-，则在f 作用下点)1,3(的原象为点_ （2，－1）；

二、函数f : A →B 是特殊的映射。

特殊在定义域A 和值域B 都是非空数集！据此可知函数图像与x 轴的垂线至多有一个公共点，但与y 轴垂线的公共点可能没有，也可能有任意个。

例1、已知函数()f x ，x F ∈，那么集合{(,)|(),}{(,)|1}x y y f x x F x y x =∈= 中所含元素的个数有 个（答： 0或1）；

例2、若函数422

12+-=x x y 的定义域、值域都是闭区间]2,2[b ，则b ＝ （答：2） 三、同一函数的概念。

构成函数的三要素是定义域，值域和对应法则。而值域可由定义域和对应法则唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，它们一定为同一函数。

四、求函数定义域的常用方法（在研究函数问题时要树立定义域优先的原则）：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零，对数log a x 中0,0x a >>且1a ≠，三角形中0A π<<, 最大角3π≥

，最小角3π≤等。 例、函数()

()24lg 3x x y x -=-的定义域是__ __(答：(0,2)(2,3)(3,4) )；

（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围。

（3）复合函数的定义域：若已知()f x 的定义域为[,]a b ,其复合函数[()]f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤解出即可；若已知[()]f g x 的定义域为[,]a b ,求()f x 的定义域，相当于当[,]x a b ∈时，求()g x 的值域（即()f x 的定义域）。

例、函数2sin(2)3y x π

=-+的单调增区间为 ．

五、求函数值域（最值）的方法：

（1）配方法

例1、当]2,0(∈x 时，函数3)1(4)(2-++=x a ax x f 在2=x 时取得最大值，则a 的取值范围是___（答：

2

1-≥a ）； （2）换元法――通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。运用换元法时，要特别要注意新元t 的范围。

例1、2

2sin 3cos 1y x x =--的值域为_____（答：17[4,]8

-）； 例2、211y x x =++-的值域为_____（答：(3,)+∞）（令1x t -=，0t ≥。）； （3）函数有界性法――直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定所求函数的值域，最常用的就是三角函数的有界性。

例、求函数2sin 11sin y θθ

-=+的值域（答： 1(,]2-∞；

（4）单调性法――利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等函数的单调性。

例如求1(19)y x x x

=-<<的值域为__________答：80(0,)9； （5）数形结合法――函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离、直线斜率、等等。

例1、已知点(,)P x y 在圆221x y +=上，求

2y x +及2y x -的取值范围（答：33[,]33-、[5,5]-）； 例2、求函数22(2)(8)y x x =

-++的值域（答：[10,)+∞）； （6）2bx y x mx n

=++型，先化简，再用均值不等式. 例、求2

1x y x =+的值域（答：1(,]2-∞）； （7）不等式法――利用基本不等式2(,)a b ab a b R ++≥∈求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。

例、设12,,,x a a y 成等差数列，12,,,x b b y 成等比数列，则2

12

21)(b b a a +的取值范围是_ _(,0][4,)-∞+∞ （8）导数法――一般适用于全体函数。

例、求函数32

()2440f x x x x =+-，[3,3]x ∈-的最小值。（答：－48）

提醒：（1）求函数的定义域、值域时，你按要求写成集合形式了吗？

（2）函数的最值与值域之间有何关系？

六、分段函数的概念。

分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数，它是一类较特殊的函数。在求分段函数的值0()f x 时，一定首先要判断0x 属于定义域的哪个子集，然后再代相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集。 例、已知1(0)()1(0)x f x x ≥?=?-

，则不等式(2)(2)5x x f x +++≤的解集是________（答：3(,]2-∞） 七、求函数解析式的常用方法：

（1）代换（配凑）法――已知形如(())f g x 的表达式，求()f x 的表达式。值得注意的是所求解析式的定义域的等价性，即()f x 的定义域应是()g x 的值域。

例1、已知,sin )cos 1(2x x f =-求()2x

f 的解析式（答：242()2,[2,2]f x x x x =-+∈-）； 例2、若221)1(x

x x x f +=-，则函数)1(-x f =_____（答：223x x -+）； （2）方程的思想――已知条件是含有()f x 及另外一个函数的等式，可抓住等式的特征对等式的进行赋值，从而得到关于()f x 及另外一个函数的方程组。

例、已知()2()32f x f x x +-=-，求()f x 的解析式（答：2()33

f x x =--）； 八、反函数：

（1）存在反函数的条件是对于原来函数值域中的任一个y 值，都有唯一的x 值与之对应，故单调函数一定存在反函数，但反之不成立；偶函数只有()0({0})f x x =∈有反函数；周期函数一定不存在反函数。

例1、函数223y x ax =--在区间[1, 2]上存在反函数的充要条件是 （答：D ）

A 、(],1a ∈-∞

B 、[)2,a ∈+∞

C 、[1,2]a ∈

D 、(],1a ∈-∞ [)2,+∞

（2）求反函数的步骤：①反求x ；②互换 x 、y ；③注明反函数的定义域（原来函数的值域）。

注意函数(1)y f x =+的反函数不是1(1)y f x -=+，而是1()1y f x -=-。

例2、设)0()1()(2>+=x x x x f .求)(x f 的反函数)(1x f -（答：11()(1)1

f x x x -=>-）． （3）反函数的性质：

①反函数的定义域是原来函数的值域，反函数的值域是原来函数的定义域。

②函数()y f x =的图象与其反函数1()y f x -=的图象关于直线y x =对称，注意函数()y f x =的图象与1()x f y -=的图象相同。

例、已知函数()y f x =的图象过点(1,1),那么()4f x -的反函数的图象一定经过点_____（答：（1,3））；

③1()()f a b f b a -=?=。

例、设函数f (x )的图象关于点（1,2）对称，且存在反函数1()f x -，f (4)＝0，则1(4)f -＝ 答－2

④互为反函数的两个函数具有相同的单调性和奇函数性。

例、已知()f x 是R 上的增函数，点()()1,1,1,3A B -在它的图象上，()1f x -是它的反函数，那么不等式()12log 1

f x -<的解集为________（答：（2,8））；

⑤设()f x 的定义域为A ，值域为B ，则有1[()]()f f x x x B -=∈，1[()]f f x x -=

()x A ∈，但11[()][()]f f x f f x --≠。

九、函数的奇偶性。

（1）具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称。

（2）确定函数奇偶性的常用方法（若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性）：

①定义法：②利用函数奇偶性定义的等价形式：()()0f x f x ±-=或()1()

f x f x -=±（()0f x ≠）。 ③图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y 轴对称。

（3）函数奇偶性的性质：

①奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.②如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数.

③若()f x 为偶函数，则()()(||)f x f x f x -==.④若奇函数()f x 定义域中含有0，则必有(0)0f =.故(0)0f =是()f x 为奇函数的既不充分也不必要条件。⑤定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差）”。

⑥复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.

⑦既奇又偶函数有无穷多个（()0f x =，定义域是关于原点对称的任意一个数集）.

十、函数的单调性。

（1）确定函数的单调性或单调区间的常用方法：

①在解答题中常用：定义法（取值――作差――变形――定号）、导数法（在区间(,)a b 内，若总有()0f x '>，则()f x 为增函数；反之，若()f x 在区间(,)a b 内为增函数，则()0f x '≥，请注意两者的区别所在。如已知函数3()f x x ax =-在区间[1,)+∞上是增函数，则a 的取值范围是____(答：(0,3]）)； ②在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等，特别要注意(0b y ax a x

=+> 0)b >型函数的图象和单调性在解题中的运用：增区间为(,],[,)b b a a -∞-+∞，减区间为[,0),(0,]b b a a

-. ③复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减。

（2）特别提醒：求单调区间时，一是勿忘定义域；二是在多个单调区间之间不一定能添加符号“ ”和“或”；三是单调区间应该用区间表示，不能用集合或不等式表示．

（3）你注意到函数单调性与奇偶性的逆用了吗?（①比较大小；②解不等式；③求参数范围）

十一、常见的图象变换

十二、函数的对称性。

提醒：（1）求对称曲线方程的问题，实质上是利用代入法转化为求点的对称问题；（2）证明函数图像的对称性，即证明图像上任一点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；（3）证明图像1C 与2C 的对称性，需证两方面：①证明1C 上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在2C 上；②证明2C 上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在1C 上。

十三、函数的周期性。

（1）类比“三角函数图像”得：若()y f x =图像有两条对称轴,()x a x b a b ==≠，则()y f x =必是周期函数，且一周期为2||T a b =-；

（2）由周期函数的定义“函数()f x 满足()()x a f x f +=(0)a >，则()f x 是周期为a 的周期函数”得：①函数()f x 满足()()x a f x f +=-，则()f x 是周期为2a 的周期函数； ②若1()(0)()f x a a f x +=≠恒成立，则2T a =；③若1()(0)()

f x a a f x +=-≠恒成立，则2T a =. 十四、指数式、对数式：

m

n m n a a =，1m

n m n

a a -=，，01a =，log 10a =，log 1a a =，lg 2lg51+=，log ln e x x =，log (0,1,0)

b a a N N b a a N =?=>≠>，log a N a N =，log log log

c a c b b a =， log log m n a a n b b m

=。 十五、指数、对数值的大小比较：

（1）化同底后利用函数的单调性；（2）作差或作商法；

（3）利用中间量（0或1）；（4）化同指数（或同真数）后利用图象比较。 十六、函数的应用。

（1）求解数学应用题的一般步骤：

①审题――认真读题，确切理解题意，明确问题的实际背景，寻找各量之间的内存联系；

②建模――通过抽象概括，将实际问题转化为相应的数学问题，别忘了注上符合实际意义的定义域；

③解模――求解所得的数学问题；

④回归――将所解得的数学结果，回归到实际问题中去。

（2）常见的函数模型有：

①建立一次函数或二次函数模型；②建立分段函数模型；③建立指数函数模型；④建立b y ax x

=+型。 十七、抽象函数：

抽象函数通常是指没有给出函数的具体的解析式，只给出了其它一些条件（如函数的定义域、单调性、奇偶性、解析递推式等）的函数问题。求解抽象函数问题的常用方法是：

（1）借鉴模型函数进行类比探究。几类常见的抽象函数 ：

①正比例函数型：()(0)f x kx k =≠ ---------------()()()f x y f x f y ±=±；

②指数函数型：()x f x a = ------------()()()f x y f x f y +=，()()()

f x f x y f y -=； （2）利用函数的性质（如奇偶性、单调性、周期性、对称性等）进行演绎探究：

（3）利用一些方法（如赋值法（令x ＝0或1，求出(0)f 或(1)f 、令y x =或y x =-等）、递推法、反证法等）进行逻辑探究。

例1、若x R ∈，()f x 满足()()f x y f x +=()f y +，则()f x 的奇偶性是______（答：奇函数）；

例2、若x R ∈，()f x 满足()()f xy f x =()f y +，则()f x 的奇偶性是______（答：偶函数）；

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