“求两线段长度值和最小”问题全解析

“求两线段长度值和最小”问题解析

在近几年的中考中，经常遇到求PA+PB最小型问题，

一、在三角形背景下探求线段和的最小值

1.1 在锐角三角形中探求线段和的最小值

例1如图1，在锐角三角形ABC中，AB=4,∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M,N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值为．

分析：在这里，有两个动点，所以在解答时，就不能用我们常用对称点法．我们要选用三角形两边之和大于第三边的原理加以解决．

解：如图1，在AC上截取AE=AN，连接BE．因为∠BAC的平分线交BC于点D，所以∠EAM=∠NAM，又因为AM=AM，所以△AME≌△AMN，所以ME=MN．所以BM+MN=BM+ME≥BE．因为BM+MN有最小值．当BE是点B到直线AC的距离时，BE取最小值为4，以BM+MN的最小值是4．故填4．

1.2在等边三角形中探求线段和的最小值

例2（2010 山东滨州）如图4所示，等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AC边上一点.若AE=2,EM+CM的最小值为 .

分析：要求线段和最小值，关键是利用轴对称思想，找出这条最短的线段，后应用所学的知识求出这条线段的长度即可．

解：因为等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,所以点C与点B关于AD对称，连接BE交AD于点M，这就是EM+CM最小时的位置，如图5所示，因为CM=BM，所以EM+CM=BE，过点E作EF⊥BC，垂足为F，因为AE=2，AC=6，所以EC=4，在直角三角形EFC中，因为EC=4,

∠ECF=60°，∠FEC=30°，所以FC=2,EF==2．因为BC=6，FC=2，所以BF=4．在直角三角形BEF中，BE==.

二、在四边形背景下探求线段和的最小值

2.1在直角梯形中探求线段和的最小值

例3（2010江苏扬州）如图3，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，点P是AB上一个动点，当PC＋PD的和最小时，PB的长为__________．

分析：在这里有一个动点，两个定点符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法．

解：如图3所示，作点D关于直线AB的对称点E，连接CE，交AB于点P，此时PC＋PD 和最小，为线段CE．因为AD＝4，所以AE=4．因为∠ABC＝90°，AD∥BC，所以∠EAP＝90°．

因为∠APE＝∠BPC,所以△APE∽△BPC，所以.因为AE=4，BC＝6，所以

，所以，所以,因为AB＝5，所以PB=3.

2.2在等腰梯形中探求线段和的最小值

例4如图4，等腰梯形ABCD中，AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，P是上底，下底中点EF 直线上的一点，则PA+PB的最小值为．

分析：根据等腰梯形的性质知道，点A的对称点是点D，这是解题的一个关键点．其次运用好直角三角形的性质是解题的又一个关键．

解：如图4所示，因为点D关于直线EF的对称点为A，连接BD，交EF于点P，此时PA ＋PB和最小，为线段BD．过点D作DG⊥BC，垂足为G，因为四边形ABCD是等腰梯形，且

AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，所以∠C=60°，∠GDC=30°，所以GC=,DG=．因为∠ABC ＝60°，AD∥BC，所以∠BAD＝120°．因为AB=AD，所以∠ABD=∠ADB=30°，所以∠ADBC=30°，

所以BD=2DG=2×=．所以PA+PB的最小值为．

2.3在菱形中探求线段和的最小值

例5如图5菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为．

分析：根据菱形的性质知道，点B的对称点是点D，这是解题的一个关键点．

解：如图5所示，因为点B关于直线AC的对称点为D，连接DE，交AC于点P，此时PE ＋PB和最小，为线段ED．因为四边形ABCD是菱形，且∠BAD=60°，所以三角形ABD是等边

三角形．因为E是AB的中点，AB=2，所以AE=1，DE⊥AB，所以ED=

=．所以PE＋PB的最小值为．

2.4在正方形中探求线段和的最小值

例6如图6所示，已知正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM=2，N是AC上的一个动点，则DN+MN的最小值为．

分析：根据正方形的性质知道，点B的对称点是点D，这是解题的一个关键点．

解：如图6所示，因为点D关于直线AC的对称点为B，连接BM，交AC于点N，此时DN ＋MN和最小，为线段BM．因为四边形ABCD是正方形，所以BC=CD=8．因为DM=2，所以MC=6，

所以BM==10.所以DN+MN的最小值为10.

三、在圆背景下探求线段和的最小值

例8（2010年荆门）如图8，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为( )

(A)2 (B) (C)1 (D)2

分析：根据圆的对称性，作出点A的对称点D，连接DB，则线段和的最小值就是线段DB的长度．

解：如图8，作出点A的对称点D，连接DB，OB,OD．因为∠AMN＝30°，B为AN弧的中点

所以弧AB的度数为30°，弧AB的度数为30°，弧AN的度数为60°．根据圆心角与圆周角的关系定理得到：∠BON＝30°．由垂径定理得：弧DN的度数为60°．所以∠BOD＝

∠BON +∠DON= 30°+60°=90°.所以DB==.所以选择B．四、在二次函数背景下探求线段和的最小值

例10（2010年玉溪改编）如图10，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，），△AOB的面积是.

（1）求点B的坐标；（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；

（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△AOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；

分析：在这里△AOC周长等于AC+CO+AO，而A,O是定点，所以AO是一个定长，所以要想使得三角形的周长最小，问题就转化成使得AC+CO的和最小问题．因为题目中有一个动点C，两个定点A,O符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法．

解：（1）由题意得:所以OB=2．因为点B在x轴的负半轴上，所以点B的坐标为（-2，）；

（2）因为B(-2,0),O(0,0),所以设抛物线的解析式为：y=ax（x+2），将点A的坐标为

（1，）代入解析式得：3a=，所以a=，所以函数的解析式为y=+x．（3）存在点C. 如图10，根据抛物线的性质知道点B与点O是对称点，所以连接AB 与抛物线的对称轴x= - 1交AC于点C，此时△AOC的周长最小.设对称轴与x轴的交点为E．

过点A作AF垂直于x轴于点F，则BE=EO=EF=1.因为△BCE∽△BAF,所以,所以，所以CE=．因为点C在第二象限，所以点C的坐标为（-1，）．

线段差的最大值与线段和的最小值问题

线段差的最大值与线段和的最小值问题 有关线段差的最大值与线段和的最小值问题的主要应用原理是：1、两点这间线段最短。2、三角形的任意两边之和大于第三边（找和的最小值）。3、三角形的任意两边之差小于第三边（找差的最大值）。 作图找点的关键：充分利用轴对称，找出对称点，然后，使三点在一条直线上。即利用线段的垂直平分线定理可以把两条线段、三条线段、四条线段搬在同一条直线上。证明此类问题，可任意另找一点，利用以上原理来证明。 一两条线段差的最大值： （1）两点同侧：如图，点P在直线L上运动，画出一点P，使︱PA－PB︱取最大值。 作法：连结AB并延长AB交直线L于点P。点P即为所求。︱PA－PB︱=AB 证明：在直线L上任意取一点P。，连结PA、PB，︱PA－PB︱＜AB p' （2两点异侧：如图，如图，点P在直线L上运动，画出一点P，使︱PA－PB︱取最大值。作法：1、作B关于直线L的对称点B。 B 2、连结AB并延长AB交直线L于点P。点P即为所求。︱PA－PB︱=AB 证明：在直线L上任意取一点P。，连结PA、PB、PB。︱PA－PB︱=︱PA－PB︱＜AB

（三角形任意两边之差小于第三边） 二、两条线段和的最小值问题： （1））两点同侧：如图，点P在直线L上运动，画出一点P使PA＋PB取最小值。 （三角形的任意两边之和大于第三边（找和的最小值），PA＋PB=AB （2）两点异侧：如图，点P在直线L上运动，画出一点P使PA＋PB取最小值。 （两点之间线段最短） 三、中考考点： 08年林金钟老师的最后一题：如图，在矩形ABCO中，B（3，2），E（3，1），F（1，2）在X轴与Y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形EFNM的周长最小？若存在，请求出周长的最小值，若不存在，请说明理由。 提示：EF长不变。即求FN＋NM＋MF的最小值。利用E关于X轴的对称点E，F的对称点F，把这三条线段搬到同一条直线上。

(word完整版)初中几何中线段和差最大值最小值典型分析最全

初中几何中线段和（差）的最值问题 一、两条线段和的最小值。 基本图形解析：（ 对称轴为：动点所在的直线上） 一）、已知两个定点： 1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA+PB 最小； （1）点A 、B 在直线m 两侧： （2）点A 、B 在直线同侧： A 、A ’ 是关于直线m 的对称点。 2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA+PQ+QB 最小。 m m A B m B m A B m

（1）两个点都在直线外侧： （2）一个点在内侧，一个点在外侧： （3）两个点都在内侧： n m n n m n n n m

（4）、台球两次碰壁模型 变式一：已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n 、 m 分别上求点D 、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短. 填空：最短周长=________________ 变式二：已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m 、 n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短.

二）、一个动点，一个定点： （一）动点在直线上运动： 点B 在直线n 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、两点在直线两侧： 2、两点在直线同侧： m n m n m n m

（二）动点在圆上运动 点B 在⊙O 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、点与圆在直线两侧： 2、点与圆在直线同侧： 三）、已知A 、B 是两个定点，P 、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度 m m m m

例谈求线段和的最小值问题

例谈求线段和的最小值问题 □广西何广保 平面几何中线段和的最小值问题是初中学生较难解决的问题之一，也是棘手问题。笔者就这个问题浏览了05年度全国部分省市的有关中考试题，本文下面将结合中考试题为例予以剖析，供参考。 一、以正方形为载体，求线段和的最小值 例1. 如图1，四边形ABCD是正方形，边长是4，E是BC上一点，且CE＝1，P 是对角线BD上任一点，则PE＋PC的最小值是_____________。 图1 分析：由于BD是正方形ABCD的对角线，连接AP，易证△ADP≌△CDP，所以PA ＝PC，此时求PE＋PC的最小值就转化为求PA＋PE的最小值，连接AE，在△PAE 中，因为PA＋PE以AE，故当点P为A与BD的交点时（即当A、P、E三点共线时），PA＋PE的最小值为AE，由勾股定理可求AE，所求问题可解。 解：连接PA，∵BD为正方形ABCD的对角线 ∴AD＝CD，∠ADP＝∠CDP 又DP＝DP，∴△ADP≌△CDP ∴PA＝PC 连接AE ∵CE＝1，∴BE＝3 在Rt△ABE中，

根据三角形中两边的和大于第三边可知，当P为AE与BD的交点时，PA＋PE的最小值为AE，即PA＋PE≥AE，∴PA＋PE≥5，即PE＋PC≥5，∴PE＋PC的最小值为5（仅当A、P、E三点共线时取等号）。 例2. 如图2，正方形ABCD的边长为8，点E、F分别在AB、BC上，AE＝3，CF ＝1，P是对角线AC上的一个动点，则PE＋PF的最小值是（） 图2 A. B. C. D. 分析：因为动点P在正方形ABCD的对角线AC上，在AD边上取点G，并截取AE ＝AG，易证△PGA≌△PEA，所以PG＝PE，所求PE＋PF的最小值就转化为求PG ＋PF的最小值，连接FG，在△PFG中，PG＋PF的最小值就是FG（仅当F、P、G 三点共线时取得最小值）。 解：在AD边上取点G，并截取AG＝AE，连接PG ∵AC是正方形ABCD的对角线 ∴∠PAG＝∠PAE，又AP＝AP ∴△PAG≌△PAE，∴PG＝PE 连接FG，过点G作GH⊥BC，垂足为H ∵AG＝AE＝3，而四边形ABHG为矩形， ∴BH＝AG＝3，GH＝AB＝8 又CF＝1，HC＝5，∴HF＝5－1＝4 在Rt△FHG中，由勾股定理，得 在△PFG中，PG＋PF≥GF（仅当F、P、G三点共线时取等号）

线段和最小值问题

线段和最小值问题 问题模型：如下图，、是直线同旁的两个定点． 问题：在直线上确定一点，使的值最小． 方法：作点关于直线的对称点，连结交于点，则的值最小（不必证明）． 题型一：两定一动一线 例1：如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，点E、F分别是边AB、BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE+PF的最小值，则这个最小值是______． 方法总结：当有两个定点时，做任一定点关于线的对称点，连接另一点和 对称点，和线的交点即为所求。 跟踪练习： 如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE=3，点Q为对角线AC 上的动点，则△BEQ周长的最小值为______． 题型二：一定两动一线 例2：如图，在矩形ABCD中，AB=10 , BC=5 ．若点M、N 分别是线段ACAB上的两个动点，则BM+MN的最小值为______．

方法总结：点P在AD上运动，则作线段AD关于线AE的对称线段，结合垂线段最短求最 小值。 跟踪练习 如图，正方形ABCD的边长为4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和 AE上的动点，则DQ+PQ的最小值是______． 拓展提升 题型三：三动一线（做法参照题型二） 例3：如图，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E、F、P分别是AB、BC、AC上的动点，PE+PF的最小值等于______． 题型四：一定两动两线 例4：如图，∠AOB=45°，角内有一动点P ，PO=10，在AO，BO上有两动点Q，R，求 △PQR周长的最小值______． 方法总结：分别作定点关于两线的对称点，连接两对称点所得线段即为线段和的最小值。 题型五：两定两动两线

利用轴对称知识求线段和的最小值问题透析

利用轴对称知识求线段和的最小值问题透析 求线段和的最小值问题，在初中数学中经常会遇到，利用轴对称知识可以比较简单的解决。我们先通过一个非常典型的例题来推导一个性质： 一、性质推导 例题：如图所示，在河岸L的一侧有两个村庄A、B，现要在河岸L上修建一个供水站，问供水站应建在什么地方，才能到A，B两村庄的距离之和最短？ 首先，我们来推导一个轴对称的性质，如图，作B点关于L的对称点B1, 在直线L上任意定一点M，连接B B1，BM，B1M，根据轴对称知识，我们可以求证BM＝B1M， 所以，我们可以得出这样的性质：成轴对称的两个对应点到对称轴上任意一点的距离相等。 在该例题中，利用这一性质，我们可得出：点B到河岸L上任意点M的距离等于对称B1到点M的距离。 要使AM+ B1M最小，必须使A、M、B1三点共线， 也就是说，必须使点M，与A B1连线和L的交点N重合， 所以，河岸上的N点为到A、B的距离之和最小的点。 B1 证明：M为L上的任意点 因为BM＝B1M 所以，BM+AM＝B1M+AM，而B1M+AM大于B1A， 所以，结论成立 二、应用 1：在图（1）中，若A到直线L的距离AC是3千米，B到直线L的距离BD是1千米，并且CD的距离4千米，在直线L上找一点P，使PA+PB的值最小。求这个最小值。 解：作出A1B（作法如上图） 过A1点画直线L的平行线与BD的延长线交于H， 在Rt△A1BH中，A1H=4千米，BH=4千米， 用勾股定理求得A1B的长度为42千米， 即PA+PB的最小值为42千米。

A1 2、 如图（1），在直角坐标系XOY 中，X 轴上的动点M （x ，0）到定点P （5，5）和到Q （2，1）的距离分别为MP 和MQ ，那么当MP+MQ 取最小值时，点M 的横坐标x=__________________。 解：如图（2），只要画出点Q 关于x 轴的对称点Q1（2，-1），连结PQ1 交x 轴于点M ，则M 点即为所求。点M 的横坐标只要先求出经过PQ1两点的直线的解析式，（y=2x-5），令y=0，求得x=5/2。（也可以用勾股定理或相似三角形求出答案）。 3、 求函数 解：方法（Ⅰ） 把原函数转化为y= 1 )3(2+-x ，因此可以理解为在X 轴上找一个 点，使它到点（3，1）和（-3，5）的距离之和最小。（解法同上一题）。 方法（Ⅱ） 如图（9），分别以PM=（3-x ）、AM=1为边和以PN=（x+3）、BN=5为边构建使（3-x ）和

线段和最小值问题

运用图形的轴对称求线段和的最小值 学习目标：会用轴对称知识解决一些常见几何图形的线段和最小值问题. 学习重点：利用常见几何图形的对称特性运用转化思想，学生会解决有关线段和 最小值问题. 学习方法：自主探究法、合作交流法 学习过程： 一、知识链接 1、已知直线l 及其两侧两点，在直线l 上求作一点P ，使PA+PB 和最小。 （写出画图方法，画出图形） 2、如图，已知点A,B 在直线l 的同一侧，在l 上求作一点P ，使得PA+PB 最小。 （写出画图方法，画出图形） 总结：此时PA+PB 等于线段 。 二、知识应用 如图，铁路l 同侧有两个仓库A,B,它们到铁路的距离AD,BE 分别为500m,300m,DE=600m. 现要在铁路上建一个货场C,要求CA+CB 最小，求这个最小值。 三、自主探究 知识链接：在平行四边形，矩形，菱形，正方形，等腰梯形，圆中，是轴对称图形的有 。 1、如图1，正方形ABCD 的边长为2，E 为BC 的中点，P 是BD 上一动点。连接EP,CP,则EP+CP 的最小值是 2、如图2，已知菱形ABCD,AB=6, ∠BAD=60°,E 为AD 的中点，M 为AC 上一动点，则EM+DM 的最小值是 3.如图3，梯形ABCD 中,AD ∥BC,AB=CD=AD=1，∠B=60°,直线MN 为梯形ABCD 的对称轴，P 为MN 上一动点,则PC+PD 的最小值为 . l A

(4) (3)(2)(1) 4.如图4，⊙O 直径AB 为2，∠COB=60°，D 是弧BC 中点，P 是直线AB 上一动点，则PC+PD 的最小值为 总结：以上问题利用了正方形、菱形、等腰梯形、圆的对称性，从图中能直接找到一个点的对称点。 三、研讨 1、在平面直角坐标系中有三点A(6,4),B(4,6),C(0,2),在x 轴上找一点D,使得四边形ABCD 的周长最小，求点D 的坐标。 四、延伸拓展 如图，点 A(1,3),D(2,1),在y 轴上找到点B,在x 轴上找到点C ，使得四边形ABCD 的周长最小，并求周长的最小值。（显示画图痕迹。提示：从点A 发出的光线经镜面y 轴反射到镜面x 轴上，再经镜面x 轴反射后如果经过点D ,这样光线所走的路径最短） 五、课堂检测 1、如图，已知正方形ABCD 的边长为8，F 是DA 上一点，且

线段差的最大值与线段和的最小值问题

For personal use only in study and research; not for commercial use 线段差的最大值与线段和的最小值问题 有关线段差的最大值与线段和的最小值问题的主要应用原理是：1、两点这间线段最短。2、三角形的任意两边之和大于第三边（找和的最小值）。3、三角形的任意两边之差小于第三边（找差的最大值）。 作图找点的关键：充分利用轴对称，找出对称点，然后，使三点在一条直线上。即利用线段的垂直平分线定理可以把两条线段、三条线段、四条线段搬在同一条直线上。证明此类问题，可任意另找一点，利用以上原理来证明。 一两条线段差的最大值： （1）两点同侧：如图，点P在直线L上运动，画出一点P，使︱PA－PB︱取最大值。作法：连结AB并延长AB交直线L于点P。点P即为所求。︱PA－PB︱=AB 证明：在直线L上任意取一点P。，连结PA、PB，︱PA－PB︱＜AB （2两点异侧：如图，如图，点P在直线L上运动，画出一点P，使︱PA－PB︱取最大值。作法：1、作B关于直线L的对称点B。 B

2、连结AB并延长AB交直线L于点P。点P即为所求。︱PA－PB︱=AB 证明：在直线L上任意取一点P。，连结PA、PB、PB。︱PA－PB︱=︱PA－PB︱＜AB （三角形任意两边之差小于第三边） 二、两条线段和的最小值问题： （1））两点同侧：如图，点P在直线L上运动，画出一点P使P A＋PB取最小值。 （三角形的任意两边之和大于第三边（找和的最小值），P A＋PB=AB （2）两点异侧：如图，点P在直线L上运动，画出一点P使P A＋PB取最小值。 （两点之间线段最短） 三、中考考点： 08年林金钟老师的最后一题：如图，在矩形ABCO中，B（3，2），E（3，1），F（1，2）在X轴与Y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形EFNM的周长最小？若存在，请求出周长的最小值，若不存在，请说明理由。 提示：EF长不变。即求F N＋NM＋MF的最小值。利用E关于X轴的对称点E，F的对称点F，把这三条线段搬到同一条直线上。

线段和最小值问题

线段和最小值问题 问题模型：如下图，、是直线同旁的两个定点. 问题：在直线上确定一点，使的值最小. 方法：作点关于直线的对称点，连结交于点，则的值最小（不必证明） ABCD 中，对角线 AC=6，BD=8，点E 、F 分别是 在运 动过程中，存在 PE+PF 的最小值，则这个最小 方法总结：当有两个定点时，做任一定点关于线的对称点，连接另一点和 对称点，和线的交点即为所求。 —：三三跟踪练习： 如图，在边长为4的正方形ABCD 中，E 是AB 边上的一点，且 AE=3，点Q 为对角线AC 上的动点，贝V △ BEQ 周长的最小值为 _________________ . 分别是线段ACAB 上的两个动点，则BM+MN 的最小值为 ______________ 若点M 、N 值是 ,AB=10 , BC=5 题型二：一定两动一线

方法总结：点P 在AD 上运动，则作线段 AD 关于线AE 的对称线段，结合垂线段最短求最 小值。 ABCD 的边长为4,/ DAC 的平分线交 DC 于点E ,若点P 、Q 分别是AD 和 则 DQ+PQ 的最小值是 . 题型三：三动一线（做法参照题型二） 例3:如图，菱形 ABCD 中，AB=2 , / BAD=60 , E 、F 、P 分别是 AB 、BC 、AC 上的动点, PE+PF 的最小值等于 . 题型四：一定两动两线 例4 :如图，/ AOB=45，角内有一动点 P , PO=10,在AO , BO 上有两动点 Q , R ,求 △ PQR 周长的最小值 _______ . 方法总结：分别作定点关于两线的对称点，连接两对称点所得线段即为线段和的最小值。 题型五：两定两动两线 跟踪练习 如 图，正方形 AE 上的动点, 拓展提升

“求两线段长度之和的最小值”问题全解析

“求两线段长度值和最小”问题全解析 在近几年的中考中，经常遇到求PA+PB最小型问题，为了让同学们对这类问题有一个比较全面的认识和了解，我们特此编写了“求两线段长度值和最小”问题全解析，希望对同学们有所帮助． 一、在三角形背景下探求线段和的最小值 1.1 在锐角三角形中探求线段和的最小值 例1如图1，在锐角三角形ABC中，AB=4,∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC 于点D，M,N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值为． 分析：在这里，有两个动点，所以在解答时，就不能用我们常用对称点法．我们要选用三角形两边之和大于第三边的原理加以解决． 解：如图1，在AC上截取AE=AN，连接BE．因为∠BAC的平分线交BC于点D，所以∠EAM=∠NAM，又因为AM=AM，所以△AME≌△AMN，所以ME=MN．所以BM+MN=BM+ME≥BE．因为BM+MN有最小值．当BE是点B到直线AC的距离时，BE 取最小值为4，以BM+MN的最小值是4．故填4． 1.2在等边三角形中探求线段和的最小值 例2（2010 山东滨州）如图4所示，等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M 是AD上的动点,E是AC边上一点.若AE=2,EM+CM的最小值为.

分析：要求线段和最小值，关键是利用轴对称思想，找出这条最短的线段，后应用所学的知识求出这条线段的长度即可． 解：因为等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,所以点C与点B关于AD对称，连接BE交AD于点M，这就是EM+CM最小时的位置，如图5所示，因为CM=BM，所以EM+CM=BE，过点E作EF⊥BC，垂足为F，因为AE=2，AC=6，所以EC=4，在直角三角形EFC中，因为EC=4, ∠ECF=60°，∠FEC=30°，所以FC=2,EF= =2． 因为BC=6，FC=2， 所以BF=4．在直角三角形BEF中，BE= =. 二、在四边形背景下探求线段和的最小值 2.1在直角梯形中探求线段和的最小值 例3（2010江苏扬州）如图3，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD ＝4，AB＝5，BC＝6，点P是AB上一个动点，当PC＋PD的和最小时，PB的长为__________． 分析：在这里有一个动点，两个定点符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法．

线段和最小值问题

(2)(1)运用图形得轴对称求线段与得最小值 学习目标：会用轴对称知识解决一些常见几何图形得线段与最小值问题、 学习重点：利用常见几何图形得对称特性运用转化思想，学生会解决有关线段与 最小值问题、 学习方法:自主探究法、合作交流法 学习过程： 一、知识链接 1、已知直线l 及其两侧两点,在直线l 上求作一点P ，使PA+P Ｂ与最小。 (写出画图方法,画出图形) 2、如图,已知点A,B 在直线l 得同一侧,在l 上求作一点Ｐ，使得PA+ＰＢ最小。 （写出画图方法，画出图形） 总结:此时PA+ＰB 等于线段 。 二、知识应用 如图,铁路ｌ同侧有两个仓库Ａ，B ，它们到铁路得距离ＡD ，BE 分别为5０0m ，30０m,ＤE=600ｍ、现要在铁路上建一个货场C,要求ＣA+ＣＢ最小，求这个最小值。 三、自主探究 知识链接：在平行四边形，矩形，菱形，正方形，等腰梯形,圆中,就是轴对称图形得有 。 1、如图1，正方形ABCD 得边长为2，E 为B Ｃ得中点,Ｐ就是B Ｄ上一动点。连接E Ｐ，ＣＰ,则ＥP+CP 得最小值就是 2、如图2，已知菱形ABCD ，AB=6， ∠ＢA Ｄ＝6０°，E 为ＡD 得中点,Ｍ为AC 上一动点,则E Ｍ+ＤM 得最小值就是 ３、如图3，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝ＣD=AD=１，∠B=60°,直线MN 为梯形ABC Ｄ得对称轴,P 为MN 上一动点,则P Ｃ+PD 得最小值为 、 4、如图４，⊙O 直径AB 为2,∠ＣOB=60°，D 就是弧B Ｃ中点，P 就是直线ＡB 上一动点，则PC+PD 得最小值为 1 如图，点A(1,3),Ｄ（2，1)，在y 在x 轴上找到点C ，使得四边形 AB 小，并求周长得最小值。从点A 再经镜面ｘ轴反射后如果经过点走得路径最短) 五、课堂检测 1、如图,已知正方形A ＢCD

求线段和最小值试题(周长)解法探析

求线段和(周长）最小值试题解法 近年来很多省市的中考数学试卷中出现求几条线段之和最小值的试题．这类试题通过考查点在直线上运动时与它相关线段和的最值情况，不但能了解学生综合运用数学知识解题能力，而且还能通过让学生对 “动”与“定”之间的关系的思考，深入了解学生的探索能力与识别能力，这对指导初中数学教师的教学及引导学生的学习有着重要的意义．现撷取关于求线段和最小值的几个例题进行分析． 一、“定——动——定”型试题 例1．（09山东威海）如图1，在直角坐标系中，点A ，B ，C 和坐标分别为（－1，0），（3，0），（0，3），过A ，B ，C 三点的抛物线的对称轴为直线l ，D 为对称轴l 上一动点．求当A D+CD 最小时点D 的坐标． 例2．（09福建彰州）如图2，O ⊙的半径为2，点A B C 、、在O ⊙上，O A O B ⊥， 60A O C ∠=°，P 是O B 上一动点，求P A P C +的最小值； 评析：例1与例2均涉及两个定点一个动点，属求“定——动——定”型折线最 小值问题，源于课本 “在直线上找一点，使其到直线同侧两点距离之和最短”，只是将问题背景改为抛物线或圆．以此考查学生的识别能力．这类只改变题型背景等非关键因素以适当加深问题的难度，隐蔽的应用课本上知识的试题常会在中考试卷中出现，用其检查 学生灵活运用知识的能力． 三、“定——动——动——定”型试题 例4．（福建彰州）如图4，∠AOB=45°，P 是∠AOB 内一点，PO=10，Q 、R 分别是OA 、OB 上的动点，求△PQR 周长的最小值． 分析：点P 是角内部的一个定点，要在角的两边各确定一点使这三点连成的三角形周长最小，只需将这三边的和转化为以两定点为端点的一条折线． 解：分别作点P 关于OA 、OB 的对称点P 1、P 2，连结P 1P 2， 根据轴对称性易知：OP 1=OP 2=OP=10，∠P 1OP 2=2∠AOB=90°，因而P 1P 2=102， 故△PQR 周长的最小值为102． 例5．（09湖北恩施）恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于 世.著名的恩施大峡谷（A ）和世界级自然保护区星斗山（B ）位于笔直的沪渝高速公路X 同侧，AB=50km,A 、B 到直线X 的距离分别为10km 和40km,拟建的恩施到张家界高速公路Y 与沪渝高速公路垂直，建立如图5所示的直角坐标系，B 到直线Y 的距离为30km,请你在X 旁和Y 旁各修建一服务区P 、Q,使P 、A 、B 、Q 组成的四边形的周长最小.并求出这个最小值. 评析：例4与例5涉及两个动点一个（或两个）定点，由于它们均是以定点为起止，动点在定点之间，因而属求“定——动——动——定”型折线最小值问题，应选用“两点之间，线段最短”这一性质 解题．另外在分析问题时既要考虑条件间的相同点，也要关注条件间 的区别，以正确地找出解题方法． 从上面的几个例题可以看出，求几条线段和的最短（小）值问题 P 2 P 1 A B P R Q O 图4 B C D N M N ′ 图3 B 1 A 1 Q Y X P O B A C 图5 图1 A ′ A B C P O 图2

求线段和最小值试题解法探析

求线段和最小值试题解法探析 江苏省泗阳中学（223700）洪晓岐 电子信箱hxq5678@https://www.wendangku.net/doc/0614847091.html, 2009年部分省市的中考数学试卷中出现求几条线段之和最小值的试题．这类试题通过考查点在直线上运动时与它相关线段和的最值情况，不但能了解学生综合运用数学知识解题能力，而且还能通过让学生对 “动”与“定”之间的关系的思考，深入了解学生的探索能力与识别能力，这对指导初中数学教师的教学及引导学生的学习有着重要的意义．现撷取关于求线段和最小值的几个例题进行分析，以供同行们在教学中参考并请指正． 一、“定——动——定”型试题 例1．（山东威海）如图1，在直角坐标系中，点A ，B ，C 和坐标分别为（－1，0）， （3，0），（0，3），过A ，B ，C 三点的抛物线的对称轴为直线l ，D 为对称轴l 上一动 点．求当A D+CD 最小时点D 的坐标． 分析：由于A 、C 两点在对称轴l 的同侧，所以要在对称轴l 上找一点D 使AD+CD 最小，关键是求出A 、C 两点中任一点关于直线l 的对称点． 解：因为l 是抛物线的对称轴，所以A 、B 两点关于直线l 对称． 设直线BC 的解析式为b kx y +=，因为其过点B （3，0），C （0，3），所以1-=k ，3=b ．即直线BC 解析式为3+-=x y ，又因为对称轴为1=x ，所以点D 坐标为（1，2）． 例2．（福建彰州）如图2，O ⊙的半径为2，点A B C 、、 在O ⊙上，OA OB ⊥，60AOC ∠=°，P 是OB 上一动点，求PA PC +的最小值； 分析；题中A 、C 是两个定点，OB 是一条定线段，因此确定点P ，关键是要找 出A 、C 两点中任一点关于直线OB 的对称点．由于过圆心的任一直线都是圆的对称 轴，所以直线AO 与圆的另一交点A ′就是点A 关于直线OB 的对称点． 解：延长AO 交⊙O 于点A ′，连结A ′C 交⊙O 于点P ，由于在△OA ′C 中O A ′=OC ，∠COA ′=120°，所以322 32260sin 2=??=??=OC AC ． 评析：例1与例2均涉及两个定点一个动点，属求“定——动——定”型折线最小值问题，源于课本 “在直线上找一点，使其到直线同侧两点距离之和最短”，只是将问题背景改为抛物线或圆．以此考查学生的识别能力．这类只改变题型背景等非关键因素以适当加深问题的难度，隐蔽的应用课本上知识的试题常会在中考试卷中出现，用其检查学生灵活运用知识的能力． 二、“定——动——动”型试题 例3．（陕西省）如图3，在锐角△ABC 中，AB=24，∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则MN BM +的最小值是_________ ． 分析；由于角平分线所在的直线是角的对称轴，所以点N 关于AD 的对称点一定在AC 上．因此本题可以转化为在AD 找一点M ，在AC 上找一点N ′，使BM+MN ′的值最小． 解：因为AD 是∠BAC 的平分线，所以点N 关于直线AD 的对称点N ′一定在AC 上．由垂线段最短可知当B N ′⊥AC 时，线段B N ′时最小．因此当点M 在直线B N ′上时BM+MN ′的值最小，最小值即为点B 到AC 的距离． A B C D N M N ′ 图3 图1 A ′ A B C P O 图2

线段和最小值问题

《求线段和最小值问题初探》导学案 班级 姓名 学习目标： 1.灵活掌握定理“两点之间线段最短”和“轴对称的性质”. 2.体会转化思想在数学中的应用，即化复杂问题为简单问题，化抽象问题为具体问题. 一、课本中的两点基本知识： 1、如图，一位小牧童，从A 地出发，赶着牛群到B 地，请问他应该选择怎样的路径，才能使牛群所走的路程最短？ 为什么？ 2、小牧童，从A 地出发，赶着牛群到河岸边L 饮水，然后再到B 地，请问怎样选择饮水的地点，才能使牛群所走的路程最短？请画出来，并说一说。 二、合作学习、展现精彩 变式1、利用等边三角形的对称性求线段和的最小值： （2010?滨州中考）如图等边ΔABC 中， 边长=1，E 是边BC 的中点， BD 是AC 边上的高，在BD 上确定一点， 使其到E 、C 的距离和最小， 这个最小值是 . A B L . . A B E . D B C A

变式2、利用正方形的对称性求线段和的最小值： 如图，正方形ABCD的边长为8， 点E、F分别在AB、BC上，AE＝3， CF＝1，P是对角线AC上的一个动点， 则PE＋PF的最小值是 . 变式3、利用圆的对称性求线段和的最小值：（2000年?荆门中考） 如图，A是半圆上一个三等分点， B是弧AN的中点，P是直径MN上一动点， ⊙O的半径为1， 则AP+BP的最小值是。 变式4、利用坐标轴的对称性求线段和的最小值： 某乡镇为了解决抗旱问题，要在某河道建 一座泵水站，分别向河的同一侧的张村Q和李 村P送水，工程人员设计图纸时，以河道上的 大桥O为坐标原点，以河道所在的直线为X轴 建立坐标系，Q（2，3），P（12，7）， 泵水站建在距离大桥O多远的地方可使输 水管道最短？泵水站坐标是

线段之和最短问题

线段之和最短问题 一． 常见数学模型： 1.如图，直线l 和l 的异侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使PA+PB 最小。 2.如图，直线l 和l 的同侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使PA+PB 最小。 l A 3. 如图，直线 和 的异侧两点A 、B ，分别在直线 、 上求作一点P 、Q 两点， 使AP+PQ+QB 最小。 4. 如图，直线 的同侧两点A 、B ，分别在直线 上求作一点P 、Q 两点，且PQ=a ， 使AP+PQ+QB 最小。 l 2 l 1B l A B a l 1 A

5.如图，点P 是∠MON 的一点，分别在OM ，ON 上作点A ，B 使△PAB 的长最小。 6.如图，点P ，Q 为∠MON 的两点，分别在OM ，ON 上作点A ，B 。使四边形PAQB 的 长最小。 N 为便归类，将这种情况称为“两点之间线段最短型” 5.如图，点A 是∠MON 外的一点，在射线ON 上作点P ，使PA 与点P 到射线OM 的距离之和最小 6. .如图，点A 是∠MON 的一点，在射线ON 上作点P ，使PA 与点P 到射线OM 的距离之和最小 N N N

为便归类，将以上两种情况，称为“垂线段最短型” 练习题 1．在平面直角坐标系中，有A（3，－2），B（4，2）两点，现另取一点C（1，n），当n =______时，AC + BC的值最小． 3．如图∠AOB = 45°，P是∠AOB一点，PO = 10，Q、P分别是OA、OB上的动点，求△PQR长的最小值．

4．如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC＋ED的最小值为_______。 A E C B 5．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC。已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x. (1)用含x的代数式表示AC＋CE的长； (2)请问点C满足什么条件时，AC＋CE的值最小? (3)根据(2)中的规律和结论，请构图求出代数式x2+4 +(12-x)2+9 的最小值

线段和最小值问题--已经分类整理

两线段之和最短专题 一、数学模型 1、实际问题： 要在河边修建一个水泵站，分别向村、庄送水，修在河边什么地方可使所用的水管最短 2、数学问题： 已知：直线l和l的同侧两点A、B。求作：点C，使C在直线l上，并且AC＋CB最小。 二、构建“对称模型”实现转化 三、练习题 1题图 2题图 3题图 1、如图，点P关于OA、OB的对称点分别为C、D，连接CD，交OA于M，交OB于N，若CD＝18cm，则△PMN 的周长为________。 2、已知，如图DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交BC于E，且AC＝5，BC＝8，则△AEC 的周长为__________。 3、已知，如图，在△ABC中，AB＜AC，BC边上的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E， AC＝8，△ABE的周长为14，则AB的长。 4、如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，若AC＝5cm，BC＝4cm，则△ BDC的周长为________．【正方形专区】 5、如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点， DN＋MN的最小值为_____ 4题图 5题图 6题图

6.（2013?）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是_________ ． 7.（2013?）如图，正方形ABCD的边长为4，点P在DC边上且DP=1，点Q是AC上一动点，则DQ+PQ的最小值为_________ ． 7题 8题 9题 10题 8.（2012?）如图，正方形ABCD中，AB=4，E是BC的中点，点P是对角线AC上一动点，则PE+PB的最小值为_________ ． 9.如图，正方形ABCD的边长为2，M、N分别为AB、AD的中点，在对角线BD上找一点P，使△MNP的周长最小，则此时PM+PN= _________ ． 10.（2010?越秀区二模）如图，正方形ABCD的面积为18，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD，在对角线AC上有一动点P，则PD+PE的最小值为_________ ． 【菱形矩形梯形专区】 11.（2013?江）已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值= _________ ． 11题 12题 13题 12.（2008?）如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是_________ ． 13.（2011?）如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠DAB=60°，E为AB的中点，F是AC上的一动点，则EF+BF的最小值为_________ ． 14.（2014?一模）如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，E为CD边的中点，P为BC边上的任一点，那么，AP+EP的最小值为_________ ． 14题

第8讲(教师1份)求线段和的最小值”

第8讲“求线段和的最小值” 平面几何中线段和的最小值问题是初中较难解决的问题之一，也是棘手问题。就这个问题浏览了全国部分省市的有关中考试题，下面将结合中考试题为例予以剖析，供参考。 一、以正方形为载体，求线段和的最小值 例1. 如图1，四边形ABCD是正方形，边长是4，E是BC上一点，且CE ＝1，P是对角线BD上任一点，则PE＋PC的最小值是_____________。 图1 分析：由于BD是正方形ABCD的对角线，连接AP，易证△ADP≌△CDP，所以PA＝PC，此时求PE＋PC的最小值就转化为求PA＋PE的最小值，连接AE，在△PAE中，因为PA＋PE以AE，故当点P为A与BD的交点时（即当A、P、E三点共线时），PA＋PE的最小值为AE，由勾股定理可求AE，所求问题可解。 解：连接PA，∵BD为正方形ABCD的对角线 ∴AD＝CD，∠ADP＝∠CDP 又DP＝DP，∴△ADP≌△CDP ∴PA＝PC 连接AE ∵CE＝1，∴BE＝3 在Rt△ABE中， 根据三角形中两边的和大于第三边可知，当P为AE与BD的交点时，PA＋PE的最小值为AE，即PA＋PE≥AE，∴PA＋PE≥5，即PE＋PC≥5，∴PE＋PC 的最小值为5（仅当A、P、E三点共线时取等号）。 例2.如图2，正方形ABCD的边长为8，点E、F分别在AB、BC上，AE＝3，CF＝1，P是对角线AC上的一个动点，则PE＋PF的最小值是（）

图2 A. B. C. D. 分析：因为动点P在正方形ABCD的对角线AC上，在AD边上取点G，并截取AE＝AG，易证△PGA≌△PEA，所以PG＝PE，所求PE＋PF的最小值就转化为求PG＋PF的最小值，连接FG，在△PFG中，PG＋PF的最小值就是FG （仅当F、P、G三点共线时取得最小值）。 解：在AD边上取点G，并截取AG＝AE，连接PG ∵AC是正方形ABCD的对角线 ∴∠PAG＝∠PAE，又AP＝AP ∴△PAG≌△PAE，∴PG＝PE 连接FG，过点G作GH⊥BC，垂足为H ∵AG＝AE＝3，而四边形ABHG为矩形， ∴BH＝AG＝3，GH＝AB＝8 又CF＝1，HC＝5，∴HF＝5－1＝4 在Rt△FHG中，由勾股定理，得 在△PFG中，PG＋PF≥GF（仅当F、P、G三点共线时取等号） ，即PE＋PF的最小值为 故应选D。 二、以菱形为载体，求线段和的最小值 例3.如图3，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上一个动点，M、N 分别是AB，BC边上的中点，PM＋PN的最小值是（）

北师大版初一数学上册求线段和的最小值

中考数学中的最短问题 —线段和的最值问题 洛南县景村中学田甜 学习目标：掌握线段和的最小值的求解方法。 知识准备： 1.轴对称的性质； 2.两点之间线段最短； 3.垂线段最短； 4.勾股定理； 5.角，等腰三角形，特殊四边形，圆的对称性。 一、问题呈现 1.如图，要在街道旁修建一个饮水站P,向居民区A,B提供纯净水， 饮水站P应建在什么地方，才能使从A,B到它的距离和最短？为什么？ 2.如图，要在街道旁修建一个饮水站P,向居民区A,B提供纯净水， 饮水站P应建在什么地方，才能使从A,B到它的距离和最短？为什么？

小结：求线段和的最小值的一般步骤： （1）. （2）. 基本图形： 基本解法： 二、拓展延伸 出题背景变式有：三角形，菱形，矩形，正方形，圆，坐标轴，抛物线等。 解题思路： 类型一、两个定点，一个动点 1.如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC 上的一个动点，点M,N分别是边AB,BC的中点，则PM+PN的最小值是

练习：如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是 类型二、两个动点，一个定点 如图，在锐角△ABC中，AB＝4√2，∠BAC=45°,∠BAC的平分线交BC于点D,M,N分别是AD和AB边上的动点，则BM+MN的最小值为 练习：如图，菱形ABCD中，AB=2,∠A=120°,点P,Q,K分别为线段BC,CD,BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为

类型三、多条线段和最小 如图，在直角坐标系中，点A的坐标是（2，4），点B(6,2),在y轴和x轴上找两点P,Q,使得A,B,P,Q四点组成的四边形周长最小，请画出示意图，并求出P,Q两点的坐标。 练习：著名的恩施大峡谷（A）和世界级自然保护区星斗山（B）位于笔直的沪渝高速公路X同侧，AB=50km，A,B到直线X的距离分别为10km和40km，拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直，建立如图所示的直角坐标系，B到直线Y的距离为30km，请你在X 旁和Y旁各修建一服务区P，Q,使P,A,B,Q组成的四边形的周长最小，

初三几何模型应用之线段和的最小值

几何模型----之”线段和”的最小值求法姓名_____ 求线段和的最小值有代数法模型——构造函数（二次函数）模型求最值方法； 也有几何模型：“将军饮马”模型；“胡不归模型”; “阿氏圆”;费马点等 理论基础：三角形两边之和大于第三边，垂线段最短，两点之间线段最短，圆内（或外）一点与圆上一动点的最短（或长）的连线段必过圆心，“折”大于“直”，“斜”大于“直”等思想方法。 一、“将军饮马”模型 “将军饮马”：把河岸看作直线L，先取A（或B）关于直线L的对称点A′（或B′），连接A′B （或B′A），并与直线交于一点P，则点P就是将军饮马的地点，即PA+PB即为最短路线。 1、在直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴与y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点 （1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标 （2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标。 2、如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3， AB=30 2．试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB的值为（） A．6 B．8 C．10 D．12 3、如图，在矩形ABCD中，5 AB=，3 AD=.动点P满足 1 3 PAB ABCD S S ? = 矩形 .则点P到A，B两点距离之和PA PB +的最小值为（） A′ P′ 河岸

A 29 B 342414、如图8，已知OAB C 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为坐标原点，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且OA =15，OC =9，在边AB 上选取一点 D ，将△AOD 沿OD 翻折，使点A 落在BC 边上，记为点 E . （1）求DE 所在直线的解析式； （2）设点P 在x 轴上，以点O 、E 、P 为顶点的三角形是等腰三角形，问这样的点P 有几个，并求出所有满足条件的点P 的坐标； （3）在x 轴、y 轴上是否分别存在点M 、N ，使四边形MNED 的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由. x y M N E B D C O 图8 A x y M N E B D C O (备用图) A 4、如图，直线y ＝kx ＋b （k 、b 为常数）分别与x 轴、y 轴交于点A (－4，0)、B (0，3)，抛物线y ＝－x 2＋ 2x ＋1与y 轴交于点C ． （1）求直线y ＝kx ＋b 的解析式； （2）若点P (x ，y )是抛物线y ＝－x 2＋2x ＋1上的任意一点，设点P 到直线AB 的距离为d ，求d 关于 x 的函数解析式，并求d 取最小值时点P 的坐标； （3）若点E 在抛物线y ＝－x 2＋2x ＋1的对称轴上移动，点F 在直线AB 上移动，求CE ＋EF 的最小 值． 5、如图，抛物线2 1242 y x x =- ++交y 轴于点B ，点A 为x 轴上的一点，OA=2，过点A 作直线MN AB ⊥交抛物线于M ，N 两点， （1）求直线AB 的解析式； （2）连接BM ，BN ，P 为抛物线BN 段上的一动点，是否存在这一点，使得四边形MBPN 的面积最大， 若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由； （3）在x 轴上是否存在点Q ，使得以A 、N 、Q 为顶点的三角形与△AOB 相似？如果存在，请求出点Q A B C O y=kx+b y ＝－ x 2 +2 x +1 · P ( x ， y )