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03年高考数学试题和答卷评价

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03年高考数学试题和答卷评价

华南师范大学王林全（广州,，）

引言. 我们处于一个改革变化的时代, 教育的理念,思维的方式都在发生变化, 03年高考数学试题（下称03年试题）反映了这种变化, 它向传统的教学方式提出了挑战.本文着重评价03年试题特色和答卷的有关问题．

1.03年高考数学试题的特点

1.1根据大纲，重视基础，要求熟练

03年试题按照考纲、大纲和现行课本要求命题.考题内容基本上没有超过课本与大纲。

?考查的知识面比较宽阔. 涉及代数，三角，立体几何，平面解析几何等多方面，

?要求对基础知识有相当的熟练程度。如（12）题, 如果对正三棱锥的图形特点和数量关系没有相当熟练的掌握, 是不易做出来的.

例1．第（12）题. 一个四面体的所有棱长都为2,四个顶点在同一球面上, 则此球的表面积为

(A) 3π(B)4π(C)33π(D)6π

分析: 如图1, 设正四面体P-ABC的外接球球心为O, 外接球半径为R, 则点O在四面体的高PO’上(O’是垂足), O’在正△ABC中AB的高CD 上, 已知PA=PB=PC=AB=BC=CA=2, 由直角三角形的边角关系算得: PD= 6/2, BO’=CO’=6/3, PO’=23/3, 在rt△OO’B中, 用勾股定理得(PO’－R)2+ BO’2=OB2, 从而得到关于R的方程:(23/3－R)2+(6/3)2= R2, 解得R=3/2, 得球表面积S = 3π. 答案(A).

图1

1.２稳中求变，难点增加，难度提高

０３年试题的题型结构,考题分量与近年历届试题持平，各分科所占比例大致合理。

? 对一些常用的公式给予适当的提示。然而，在数学学习中, 一定的记忆仍然需要。

? 提高起点，尾巴不翘. ０３年试题打破了过去由易到难的考题分布格局，填空题、选择题的难点分布明显增多，给考生形成一定的心理挑战。解答题的难度并非依题次而增高，几乎每题都设置了难点，作为解答题开始的(17)题，不同于往年设置较简单的代数题，而是有一定深度的立体几何问题，给考生造成一定的心理威胁。

? 选择题的难点增多。（7）—（12）等六题，都需要认真思考才能正确解答.

例2．第（9）题. 已知圆锥底面半径为R, 高为3R, 在它的所有内接圆柱中, 全面积的最大值是

(A)2πR 2 (B) 49πR 2 (C)38πR 2 (D)2

5πR 2 分析：如图2, 设R, r 分别为圆锥及其内接圆柱的半径, 内接圆柱的高为r ，则圆锥的高为３R, 利用平行线截比例线段定理,得

R R h r R 3=-，先求得圆锥的内接圆柱的全面积与圆柱半径r 的函数关系式S= 2(3Rr-2r 2), 当r=43

R 时, S max = 4

9πR 2, 从而答案为（B ）.该题把圆锥与及其内接圆柱的关系, 圆柱的性质和全面积计算,平行线截比例线段定理, 二次函数的极值等知识结合在一起, 具有相当的综合性。

图2 ? 难点分布广泛, 只需简单思考即可求解的问题明显减少. 选择题、填空题中的难度明显加大。学生完成这两部分的问题需要一个小时以上, 影响了做解答题的时间。

1.3 动态情景，实验尝试，探求规律

《高中课标》指出，要用数学“描述客观世界的变化规律”，“函数的思想方法将贯穿高中数学课程的始终”，０３年试题广泛出现运动变化的情境，要求学生解决相关的问题。如：

例3．第（1）题在同一直角坐标系中，表示直线

l：y=ax与

l：y=x＋a正确的是

线l

例

03年数学试题反映了这方面的学习要求. 如图5，本题需要求质点运动的入射角。先作实验尝试,先选定特殊值tgθ= 1/2, 则P0, P1, P2, P3分别为AB, BC, CD, DA的中点, P4与P 0重合, 此时x4=1；如果tgθ略小于1/2, 则P4的横坐标为x4>1，如图５的虚线所示. 可见tgθ< 1/2．符合题目所给的条件中, 只有(C)满足条件1

1.4理性思考，数形结合，突出分类

03年试题考查了多种数学思想方法.分类讨论思想和数形结合思想

在试题中占有重要分量。

? 分类讨论思想：

（18）题: 讨论所得的两根, 按题意去掉负根;

（19）题: 讨论a 的范围，讨论P 真Q 假, Q 真P 假等两种情况, 这是解决问题的主导思想;

（21）题: 首先要根据条件正确得到轨迹方程222)(2

1a a y x -+=1, 完成这一步可得8分，如能正确讨论a 2的取值对轨迹的影响, 确定所求轨迹的存在性以及曲线的不同类型，可再得4分.

(22) 题: 处理(-1)n-1的符号,需要分别讨论n 是奇数和偶数两种不同情况, 根据上述两种情况, 确定a 0的范围.讨论部分占全题14分中的8分. 由上述诸题可见, 分类讨论思想在03年试题中占有重要地位. 能否对解决问题的情况进行正确的分类, 反映了考生思考问题是否全面, 是否慎密, 这是一种重要的思维品质.

? 数学的似真推理

类比是数学发现的重要源泉, 然而, 由类比而得到的数学结论有待

进一步的实验验证, 要肯定所得的猜想是真命题, 还需要证明。然而，我们不能够因为类比的局限性就不敢进行猜想. 03年试题重视数学思维品质的培养, 鼓励学生进行合理的猜想.

图６

例6:第(15)题. 在平面几何里, 由勾股定理: “设△ABC 的两边AB 、AC 互相垂直, 则AB 2+AC 2= BC ”, 拓展到空间, 类比平面几何的勾股定理, 研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系,可以得出正确的结论是:“设三棱锥A-BCD 的三个侧面ABC, ACD, ADB 两两互相垂直,则_________________________________________.”

分析：（如图６）由于三棱锥A-BCD 的三个侧面ABC, ACD, ADB 两两

互相垂直, 故直角面可以类比于直角三角形的直角边, 底面BCD 被三个两两互相垂直的侧面所包围,故可以类比于直角三角形的斜边, 从而可以得到猜想: S 2△ABC + S 2△ACD + S 2△ADB = S 2△BCD .

当然, 上述猜想需要经过演绎论证后予以确认, 但回答填空题不要求写出证明过程.

（事实上，上式左边＝41（AB 2·AC 2+AC 2·AD 2+AD 2·AB 2）=41[ AB 2·AC 2+( AC 2+ AB 2) AD 2] =41

( AB 2·AC 2+BC 2· AD 2)=

41(BC 2·AE 2+ BC 2· AD 2) = 41 BC 2(AE 2+ AD 2) = 4

1BC 2DE 2= S 2△BCD = 右边，∴猜想成立．） ? 数形结合思想

历年高考都十分重视考查学生对数形结合思想的运用, 03年试题对

运用这种方法的考查也很突出。如（1），（2），（3），（5），（6），（8），（11），

（12），（15），（16），（17），（18），（19），（20），（21）等题都可以借助数形结合思想方法寻找解题思路。共占分值108分, 可见这种思想方法是解决数学问题的重要方法. 在数学教学中必须重视这种思想方法的运用．

? 归纳与演绎思想

数学归纳法既含有归纳思想，也运用了演绎推理。03年试题重视对